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Cálculo aplicado resumen del tema: funciones trigonométricasHerramientas: Evaluador y Graficador de Funciones | Graficador Excel

Tópicos: La función seno | La función coseno | Identidades trigonométricas fundamentales | Las otras funciones trigonométricas |Derivadas de funciones trigonométricas | Integrales indefinidas de funciones trigonométricas

La función seno

Definición geométricaEl seno de un número real t es la coordenada y (altura) del punto P en elsiguiente diagrama, donde |t| es el largo del arco que se indica.

sin t = coordenada y del punto P

Definición "rueda bicicleta"Si una rueda cuyo radio es 1 roda hacia delante a una velocidad de 1 unidadpor segundo, sin t el la altura de un marcador fijo en su neumático despuésde t segundas, si se empieza a medio camino entre la parte superior y laparte inferior de la rueda.

Gráfica de la función seno

y = sin x

Función seno generalLa función seno "generalizado" tiene la siguiente forma:

Ejemplos

Considere la siguiente gráfica, que muestra una curva deseno "general" (desplazada y escalada):

Pregunta ¿Que es la ecuación de la gráfica?Contesta Consultando la función seno generalizado a laizquierda, vemos que la ecuación de esta curva es:

y = A sin[ω(x-α)] + C,

donde

La línea base (el punto medio de oscilación) se ubica2 unidades abajo del eje xA = amplitud (la altura de cada máximo arriba de lalínea base) = 2C = desplazamiento vertical = coordenada y de lalínea base = -2P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia deun máximo al siguiente) = 4ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2α = desplazamiento de faso = 1 Esta es la distanciahorizontal del eje y al primero punto donde lagráfica cruza la línea base.

Entonces, la ecuación de la curva más arriba es

y = 2 sin[π/2 (x - 1)] - 2

Para comprobar que sirve esta ecuación, pruebela en laevaluador y graficador de funciones o en la graficador Excel(si tienes Excel en su computadora).

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y = A sin[ω(x - α)] + C

A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).ω es la frecuencia angular, y se expresa por ω= 2π/P o P = 2π/ω.α es el desplazamiento de faso.

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La función coseno

Definición geométricaEl coseno de un número real t es la coordenada x del punto P en el siguientediagrama, donde |t| es el largo del arco que se indica.

cos t = coordenada x del punto Psin t = coordenada y del punto P

Gráfica de la función coseno

y = cos x

Función coseno generalLa función coseno "generalizado" tiene la siguiente forma:

y = A cos[ω(x - α)] + C

A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).ω es la frecuencia angular, y se expresa por ω= 2π/P o P = 2π/ω.

Ejemplos

Considere la siguiente gráfica, que muestra la misma curvade seno "general" (desplazada y escalada) que más arriba:

Pregunta ¿Esta vez, que es su ecuación, esta vez escritacomo una función coseno general?Contesta Consultando la función coseno generalizado a laizquierda, vemos que la ecuación de esta curva es:

y = A cos[ω(x-α)] + C,

donde

La línea base (el punto medio de oscilación) se ubica2 unidades abajo del eje xA = amplitud (la altura de cada máximo arriba de lalínea base) = 2C = desplazamiento vertical = coordenada y de lalínea base = -2P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia deun máximo al siguiente) = 4ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2α = desplazamiento de faso = 2 Es distinto paracoseno: la distancia horizontal del eje y alprimero máximo.

Entonces, la ecuación de la curva más arriba es:

y = 2 cos[π/2 (x - 2)] - 2

Para comprobar que sirve esta ecuación, pruebela en laevaluador y graficador de funciones o en la graficador Excel(si tienes Excel en su computadora). .

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α es el desplazamiento de faso.

Identidades trigonométricas fundamentales: Relacionesentre seno y coseno

El seno y coseno de un número t se relacionan con

sin2t + cos2t = 1

Podemos obtener la curva coseno desplazando la curva seno hacia laizquierda una distancia igual a π/2. A la inversa, podemos obtener la curvaseno desplazando la curva coseno π/2 hacia la derecha. Estos hechos sepuede expresar como sigue

cos t = sin(t + π/2)sin t = cos(t - π/2)

Formulación alternativa

Podemos también obtener la curva coseno por primero invertiendo la curvaseno de manera vertical (reemplace t por -t) y después desplazando hacia laderecha una distancia igual a π/2. Esto nos da dos formulas alternativas (queson mas fáciles de recordar):

cos t = sin(π/2 - t) El coseno es el seno del complemento.sin t = cos(π/2 - t) El seno es el coseno del complemento.

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Ejemplos

Por la identidad a la izquierda obtenemos

sin2x =1 + cos2x1 - cos2xcos2x - 1

Por la identidad penúltima a la izquierda obtenemos:

cos π/3 =sin π/2sin π/3sin π/6

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The Other Trigonometric Functions

The ratios and reciprocals of sine and cosine are given their own names:

Tangent tan x = sin xcos x

Cotangent: cot x = cot x = cos xsin x = 1

tan x

Secant: sec x = 1cos x

Cosecant: csc x = csc x = 1sin x

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Derivadas de funciones trigonométricas

La siguiente tabla resume las derivadas de las seis funcionestrigonométricas, y también sus homólogos que se surgen de la regla de lacadena (es decir, el seno, coseno, etc. de una función).

Regla original Regla generalizada(Regla de la cadena)

ddx sin x = cos x d

dx sin u = cos u dudx

ddx cos x = - sin x d

dx cos u = - sin u dudx

ddx tan x = sec2 x

ddx tan u = sec2u

dudx

ddx cot x = - csc2x

ddx cot u = - csc2u

dudx

Ejemplo

1. ddx x sin x = 1.sin x + x cos x Regla del producto

= sin x + x cos x

2. ddx cos(2x2+1) = sin(2x2+1)

ddx (2x2+1)

= sin(2x2+1).4x = 4x sin(2x2+1)

3. ddx sec(x3) = sec(x3) tan(x3)

ddx (x3)

= sec(x3) tan(x3) . 3x2

= 3x2 sec(x3) tan(x3)

5. ddx x cos(x2) = Use formato correcto para

graficadora/computadora

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ddx

sec x = sec x tanx

ddx

sec u = sec u tanu

dudx

ddx csc x

= - csc x cot x

ddx csc u

= - csc u cot u dudx

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Indefinite Integrals of Trigonometric Functions

sin x dx = -cos x + C Porque ddx -cos x = sin x

cos x dx = sin x + C Porque ddx sin x = cos x

tan x dx = -ln |cos x| + C Porque ddx -ln |cos x| = tan x

cot x dx = ln |sin x| + C

sec x dx = ln |sec x + tan x| + C

csc x dx = -ln |csc x + cot x| + C

sec2x dx = tan x + C Porque ddx tan x = sec2x

Inicio de páginaUltima actualización: julio 2007

Derechos de autor © 2007 Stefan WanerInicio de página

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