FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Entre la longitud de un vector ubicado en el plano cartesiano y sus proyecciones horizontal y vertical, se pueden establecer las razones; estas razones corresponden a las funciones trigonométricas y su valor se determina según la ubicación del ángulo.

Del gráfico podemos establecer las siguientes relaciones:

FUNCIÓN SENO: Es la razón entre la proyección vertical del segmento orientado y la longitud del vector.

Senα =

EJEMPLO: calcula la función seno del ángulo β (beta) dado el punto P = ( -7 , 9 ) sobre el lado terminal.

SOLUCIÓN:1. Representamos gráficamente

2. Hallamos la longitud del vector “v” aplicando teorema de Pitágoras. Teniendo en cuenta: Vx = -7 y Vy = 9

V= 3. calculamos la función seno:

sen β =

FUNCIÓN COSENO: El coseno de un ángulo en posición normal es la razón entre la proyección horizontal del segmento orientado y la longitud del mismo.

Simbólicamente:

Cosα =

EJEMPLO: Calcular la función coseno de un ángulo alfa dado el punto P = ( -3 , -7 ), sobre el lado terminal:

SOLUCIÓN: Vx = -3 ; Vy = -7

Cosα = =

FUNCIÓN TANGENTE: La tangente de un ángulo en posición normal es la razón entre la proyección vertical y la proyección horizontal del vector; se debe tener en cuenta que la proyección horizontal no puede ser cero. Simbólicamente se representa así:

Tanα =

EJEMPLO: calcular el valor de la tangente del ángulo formado P = (4 , -3), sobre el lado terminal.

SOLUCIÓN: Tanα = =

FUNCIÓN COTANGENTE: La función cotangente es la recíproca de la tangente y se define como el cociente entre la proyección horizontal y la proyección vertical. Simbólicamente se representa así:

Cot α =

FUNCIÓN SECANTE: Es la función recíproca del coseno, y se define como el cociente entre la longitud del vector y su proyección horizontal, así:

Secα =

FUNCIÓN COSECANTE: Es la función recíproca del seno; se define como la razón entre la longitud del vector y su proyección vertical; así:

Cscα =

EJEMPLO: Hallar el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo determinado cuyo lado terminal es el punto P = (-5 , 3).

SOLUCIÓN: Identificamos los elementos: Vx = -5 ; Vy = 3 y V, lo calculamos mediante el teorema de Pitágoras.

senα = Tanα = = Secα =

Cosα = = Cot α = Cscα =

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS MULTTIPLICATIVAS

De acuerdo con las anteriores definiciones se satisfacen las siguientes relaciones:

Cot θ = ; Sec θ = ; Csc θ =

EJEMPLO:a. Determinar las funciones coseno y tangente del ángulo x, si: Secx = -1.2 y Cotx = -2

b. Si el ; Sec θ= y tan θ = ; Hallar las demás funciones trigonométricas

Solución: a. como, Sec x = =

Tanx =

b. = =

Cot θ =

Csc θ =

SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SEGÚN EL CUADRANTE

FunciónCuadrante

Sen Cos Tan Cot Sec Csc

I + + + + + +

II + - - - - +III - - + + - -IV - + - - + -

ACTIVIDAD

1. Encuentra el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos determinados por el vector cuyo extremo es:a. P = (4,3) b. A = (-3,-5) c. Q = (-4, 4) d. R= (5, -3)

2. Las coordenadas del extremo de un vector situado en posición normal son P = .

Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a. Sen θ + cos θ b. tan θ c. 5sen θ + 2 cos θ

d. tan θ + cot θ e. tan² θ - sen²θ f.

FUNCIONES DE ÁGULOS ESPECIALES

FUNCIONES PARA ÁNGULOS DE 30° Y 60°

h =

h = L

Funciones para ángulos de 30°

Sen 30° = tan 30° =

Cos 30° = = cot 30° =

Sec 30° = csc 30° =

Funciones para ángulos de 60°

Sen 60° = cot 60°=

Cos 60° = sec 60° =

Tan 60° = csc 60° =

Funciones para el ángulo de 45°

h=

sen 45° = tan 45° = sec 45° =

cos 45° = cot 45° = csc 45° =

RESUMEN DE LAS FUNCIONES PARA ÁNGULOS ESPECIALES

FunciónÁngulo

sen cos tan cot sec csc

30° =

60° =

45°= 1 1

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS

Para los ángulos anteriores podemos establecer las funciones trigonométricas:

Para los ángulos de primer gráfico para los ángulos del segundo gráfico:

sen α = sen (-α) = sen α = sen (-α) =

cos α= cos (-α)= cos α= cos (-α)=

tan α= tan (-α)= tan α= tan (-α)=

Se deduce entonces que para cualquier ángulo alfa (α) se cumplen las siguientes relaciones:

sen (-α) = -sen α cot (-α) = -cot α

cos (-α)= cos α sec (-α) = sec α

tan (-α) = - tan α csc (-α) = - csc α

FUNCIONES DE ÁNGULOS CUADRANTES

FUNCIONES

ÁNGULO

Sen Cos tan cot sec csc

0° 0 1 0 ∞ 1 ∞

90° 1 0 ∞ 0 ∞ 1

180°= 0 -1 0 ∞ -1 ∞

270°= -1 0 ∞ 0 ∞ -1

360°=2 0 1 0 ∞ 1 ∞