Pensamiento…

Dedicatoria

Dedicatoria…

“Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, solo se le revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella”.

Carl friedrich Ganss

Le dedicamos este trabajo a Dios, ya que sin muchos de nuestros logros no hubiesen sido posibles, a nuestros padres por darnos la oportunidad de recibir una educación de calidad, y especialmente a nuestra querida profesora de matemáticas Carolina Robles por todos los conocimientos impartidos en este periodo del año escolar.

Introducción

El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.

Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, al-Khwarizmi, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de éste, Valentin Otho.

La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas "Fórmulas de Euler".

En el desarrollo de este trabajo presentaremos las clasificaciones de estas ya mencionadas funciones trigonométricas.

Las funciones trigonométricas tienen una larga historia y lista de aplicaciones, en este trabajo aprenderemos a encontrar los valores más comunes de la funciones trigonométricas básicas, como seno; coseno; tangente; cotangente; secante; cosecante. También aprenderemos a dibujar sus gráficas, y listaremos algunas de sus propiedades más básicas.

Índice

PensamientoDedicatoriaIntroducción

Contenido La trigonometría Funciones trigonométricas Ángulos agudos Ángulos cualesquiera Ángulos especiales

Conclusiones

Bibliografía

ORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍA La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros,

pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.

Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Propiedades básicas de las funciones trigonométricas:Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.

El nombre de algunas funciones trigonométricas

Quizás la más curiosa de las historias de los nombres de la función seno. El término se debe a una confusión medieval. El nombre proviene d la palabra jiba que significa cuerda y fue usada por primera vez en la india `por Aryabhata el mayor 510 a.c .realmente quería decir media cuerda pero la abrevió. Este vocablo fue levado al árabe, y como jiba no tenia significado, comenzó a escribirse así mismo modo que jaib,, que en árabe significa pecho, bahía ,seno o hueco los especialistas tradujeron los trabajos árabes al latín encontrando que la palabra sinis también significa pecho, seno, o hueco y de sinus obtuvimos la palabra seno.

El nombre antiguo para tangente es una umbraversa que significa:

Sombra regresada refiriéndose al uso de la tangente refiriéndose al uso de la tangente en la resolución de problemas de altura mediante sombras. El termino tangente introducido por Thomas fincke en 1583 tiene que ver con la interpretación grafica de de la función tangente de un ángulo en el interior de la circunferencia trigonométrica de este ángulo es tangente en la circunferencia.

El termino coseno surge como el seno del complemento de un ángulo a menudo escrito, por ejemplo, como sen co a. más adelante tomo nombre y abreviatura propia coseno y respectivamente.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN ANGULOS AGUDOS

Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo, dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente. Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.A continuación mostramos un applet que permite ver como se genera la gráfica de la función seno al ir variando el ángulo:

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.

Las funciones trigonométricas de ángulos agudos son seis, a saber: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante; se abrevian sen, cos, tan, cot, sec y csc, respectivamente. Y son aplicables a los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (tiene un ángulo recto). El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa, los otros dos lados se llaman catetos y forman el ángulo recto, si tenemos un ángulo recto a la derecha de un

triángulo y el ángulo agudo a la izquierda, el cateto de la base se llama adyacente y el que está enfrente opuesto.

Si queremos definir las funciones trigonométricas en función de estos lados, son así:

Sen A = CAT opuesto/hipotenusa.Cos A = CAT adyacente/hipotenusa.Tan A = CAT opuesto/CAT adyacente.Cot A = CAT adyacente/CAT opuesto.Sec A = hipotenusa/CAT adyacente.Csc A = hipotenusa/CAT opuesto.Nota que las tres últimas son inversas de las tres primeras.

La función seno

Definición geométrica El seno de un número real t es la coordenada y (altura) del punto P en el siguiente diagrama, donde |t| es el largo del arco que se indica.

sin t = coordenada y del punto P

Definición "rueda bicicleta" Si una rueda cuyo radio es 1 roda hacia delante a una velocidad de 1 unidad por segundo, sin t el la altura de un marcador fijo en su neumático después de t segundas, si se empieza a medio camino entre la parte superior y la parte inferior de la rueda.

Ejemplos

Considere la siguiente gráfica, que muestra una curva de seno "general" (desplazada y escalada):

Pregunta ¿Que es la ecuación de la gráfica? Contesta Consultando la función seno generalizado a la izquierda, vemos que la ecuación de esta curva es:

y = A sin[ω(x-α)] + C,

donde

Gráfica de la función seno

y = sin x

Función seno general La función seno "generalizado" tiene la siguiente forma:

y = A sin[ω(x - α)] + C

A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).

C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).

P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).

ω es la frecuencia angular, y se expresa por ω= 2π/P o P = 2π/ω.

α es el desplazamiento de faso.

La línea base (el punto medio de oscilación) se ubica 2 unidades abajo del eje x

A = amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base) = 2

C = desplazamiento vertical = coordenada y de la línea base = -2

P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia de un máximo al siguiente) = 4

ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2

α = desplazamiento de faso = 1 Esta es la distancia horizontal del eje y al primero punto donde la gráfica cruza la línea base.

Entonces, la ecuación de la curva más arriba es

y = 2 sin[π/2 (x - 1)] - 2

Para comprobar que sirve esta

La función coseno Ejemplos

Definición geométrica El coseno de un número real t es la coordenada x del punto P en el siguiente diagrama, donde |t| es el largo del arco que se indica.

cos t = coordenada x del punto P

sin t = coordenada y del punto P

Gráfica de la función coseno

y = cos x

Función coseno general La función coseno "generalizado" tiene la siguiente forma:

y = A cos[ω(x - α)] + C

A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).

Considere la siguiente gráfica, que muestra la misma curva de seno "general" (desplazada y escalada) que más arriba:

Pregunta ¿Esta vez, que es su ecuación, esta vez escrita como una función coseno general? Contesta Consultando la función coseno generalizado a la izquierda, vemos que la ecuación de esta curva es:

y = A cos[ω(x-α)] + C,

donde

La línea base (el punto medio de oscilación) se ubica 2 unidades abajo del eje x

A = amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base) = 2

C = desplazamiento vertical = coordenada y de la línea base = -2

P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia de un máximo al siguiente) = 4

ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2

α = desplazamiento de faso = 2 Es distinto para coseno: la distancia

C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).

P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).

ω es la frecuencia angular, y se expresa por ω= 2π/P o P = 2π/ω.

α es el desplazamiento de faso.

horizontal del eje y al primero máximo.

Entonces, la ecuación de la curva más arriba es:

y = 2 cos[π/2 (x - 2)] - 2

Identidades trigonométricas fundamentales: Relaciones

entre seno y coseno

El seno y coseno de un número t se relacionan con

sin2t + cos2t = 1

Podemos obtener la curva coseno desplazando la curva seno hacia la izquierda una distancia igual a π/2. A la inversa, podemos obtener la curva seno desplazando la curva coseno π/2 hacia la derecha. Estos hechos se puede expresar como sigue

cos t = sin(t + π/2) sin t = cos(t - π/2)

Formulación alternativa

Podemos también obtener la curva coseno por primero invertiendo la curva seno de manera vertical (reemplace t por -t) y después desplazando hacia la derecha una distancia igual a π/2. Esto nos da dos formulas alternativas (que son mas fáciles de recordar):

cos t = sin(π/2 - t)

El coseno es el seno del complemento.

sin t = cos(π/2 - t) El seno es el coseno del complemento.

Ejemplos

Por la identidad a la izquierda obtenemos

sin2x = 1 + cos2x

1 - cos2x

cos2x - 1

Por la identidad penúltima a la izquierda obtenemos:

cos π/3 = sin π/2

sin π/3

sin π/6

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN ÁNGULOS CUALESQUIERA

Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido anti horario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.

En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).

PROPIEDADES IMPORTANTES:Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.

Funciones trigonométricas en ángulos especiales

Explicaremos este tema relacionándolo con experiencias vividas por los mismos estudiantes, en el salón de matemáticas.

El calentador está apagado. La sala múltiple (salón de actos, comedor, sala de electivo, explayación de artistas, etc.) está helada. En un intento de encontrar calor, buscamos nuestra típica mesa redonda apretujándonos como unos pobres pollos condenados a una nueva clase de electivo. Afuera la nieve caía silenciosamente, mientras cada uno meditaba sobre cuál sería su reacción al recibir su primera nota en trigonometría.

En medio de la "calidez" descrita apareció Danny señalando que trabajaríamos con algunas de las funciones trigonométricas de mayor uso, siendo estas las de 30º, 45º y 60º(son los ángulos especiales ). De las pruebas no se pronunció, a pesar de ser de los profes que aplica una prueba y las entrega siempre a la clase siguiente, pero nadie comentó nada, total "ojos que no ven, corazón que no siente"

Para iniciar nuestra labor, el profe nos pidió que determináramos las funciones trigonométricas de 30º y 60º y que utilizáramos para ello un triángulo equilátero de lado 2 unidades. (Después descubrimos de que con cualquier medida da lo mismo).

Empecemos

Después de un breve análisis de 20 minutos, nos dimos cuenta de que debíamos trazar una de las alturas del triángulo para formar así un ángulo de 30º y un triángulo rectángulo necesario para nuestro trabajo.

La figura quedó así:

En el triángulo ADC, calculamos la altura CD por Pitágoras, obteniendose

cm. Luego

Sen 30º = = cos 60º; ya que sen = cos(90 - )

Cos 30º = = sen 60º

Tg 30º = (al racionalizar) = cot 60º

Cot 30º = = tg 60º

Sec 30º = = cosec 60º

Cosec 30º = 2 = sec 60º

Y ahora, dijo el profe, ¿qué tipo de triángulo debemos utilizar para obtener las funciones trigonométricas de 45º?

Nuevamente nuestros cerebros comenzaron a mover sus multiples engranajes y parece que ya están bien engrasados porque pudimos dar rápido con la respuesta.

Para determinar las funciones trigonométricas de 45º, el triángulo a utilizar debe ser un triángulo rectángulo isósceles de catetos 1 cm (o cualquier otra medida).

Obtengamos primero la hipotenusa, por Pitágoras, y luego calculemos las funciones trigonométricas pedidas.

Sen 45º = = cos 45º

TG 45º = 1 = cot 45º

Sec 45º = = cosec 45º.

Ángulos de Elevación y de Depresión.

La trigonometría de los triángulos rectángulos se utiliza frecuentemente para encontrar la altura de un objeto alto de manera indirecta. Para resolver un problema de este tipo, mide el ángulo desde la horizontal hasta tu recta de visión, cuando veas la parte superior o inferior del objeto.Si miras hacia arriba, medirás el ángulo de elevación.

Si miras hacia abajo, medirás el ángulo de depresión.

EJEMPLO A El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio?_ Solución Haz un dibujo para ilustrar la situación.Observa que, como el fondo del mar es paralelo a la superficie del agua, el ángulo de elevación desde los restos del naufragio hasta el barco es igual al ángulo de depresión desde el barco hasta los restos del naufragio (según la Conjetura AIA).La distancia que el buzo es bajado (40 m) es la longitud del lado opuesto al ángulo de 12°. La distancia que el buzo necesita avanzar es la longitud del lado adyacente al ángulo de 12°. Establece la razón tangente. Tan 12° _ _4 d0_ d (tan 12°) _ 40 d __tan4012° _ d _ 188.19

El buzo necesita avanzar aproximadamente 188 metros para llegar a los restos del naufragio.

Ejemplo 2 Calcula la altura de un edificio que se observa desde un punto en que el ángulo de elevación es 62º y, alejándose 75 m. de ese punto, el ángulo es ahora 34º.

De esta figura podemos obtener dos ecuaciones:

    ; 

o sea    ;   

Despejamos x en ambas ecuaciones y por igualación obtenemos que 1,88y = 0,67y + 50,25; donde y = 41,5 metros.

Reemplazando este valor de y, nos da que x = 78 metros.

La altura del edificio es de 78 metros.

Ahora calcularemos las funciones trigonométricas en la calculadora científica.

Para calcular las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, etc. a través del uso de la calculadora, lo primero

que se debe hacer es seleccionar el sistema de medición del ángulo.

Cundo la pantalla de la calculadora aparee DEG significa que el sistema de medición es e grados.

Si se trata del ángulo medido en radiantes, en la pantalla aparece, entonces RAD.

Observa el siguiente ejemplo.

Digita el nº 30

Presiona la tecla sen

Observa la pantalla de la calculadora, donde aparece una cantidad.

Allí está el resultado.

Conclusiones En esta lección pudimos:

Conocer la historia de las funciones trigonométricas y ciertas curiosidades de las mismas.

A que se deben algunos nombres de las funciones trigonométricas.

Diferenciar las funciones trigonométricas de seno, coseno y Tangente.

Conocer las funciones trigonométricas seno, coseno, y tangente.

● Usar las funciones trigonométricas para encontrar las longitudes laterales desconocidas en triángulos rectángulos.

● Usar las funciones trigonométricas inversas para encontrar las medidas desconocidas de ángulos en triángulos rectángulos.

Además de que nos dimos cuenta de la importancia de estas funciones trigonométricas para el uso diario y la extraordinaria función que estos desempeñan.

Las funciones trigonométricas nos ayudan a resolver problemas cotidianos como determinar la altura de un edificio con tan solo tener como base una sombra del mismo.

Bibliografía http://www.keymath.com/documents/dg3/

CondensedLessonPlansSpanish/DG_CLPS_12.pdf

http://www.ixl.com/?gclid=CM3unOvLuqoCFdMn2godICEP8A

http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110209174206AAE5eZk

Libro:

Editorial susaeta, tema funciones trigonométricas, págs. 110-137

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