Nivel PRE

FUNCIONES

REALES

Prof.: Christiam Huertas

ℍ𝜇𝑒𝑟𝜏𝛼𝕤𝒙 −14

Par ordenado

Es un conjunto de dos elementos denotado por (𝑎, 𝑏) donde importa

el orden.

Ejemplos:

1era

componente

2da

componente

2; 5 −1; 3 1

2; 𝜋 𝜋;

1

2

Teorema (Igualdad de pares ordenados)

𝑎, 𝑏 = 𝑐, 𝑑 ↔ 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑

Ojo

Son diferentes

Ejemplo:

Si 𝑥 − 2; 6 = 3; 2𝑦 → 𝑥 − 2 = 3 ∧ 6 = 2𝑦 → 𝑥 = 5 ∧ 𝑦 = 3

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Plano cartesiano

Un sistema de coordenadas cartesianas (o rectangular), se forma

con dos rectas numéricas perpendiculares que se cruzan en el punto

correspondiente al número 0 en cada línea.

𝑿

𝒀

Primer

cuadrante

Segundo

cuadrante

Cuarto

cuadrante

Tercer

cuadrante

𝑥

𝑦 (𝑥; 𝑦)

𝟎

Nombrado en honor del matemático y filosofo francés René Descartes.

1596 - 1650

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Plano cartesiano

Represente geométricamente los puntos: 3; 2 , −4; 1 y (2;−3).

𝑿

𝒀

3

2 (3; 2)

𝟎

Ejemplo.

−4

1 (−4; 1)

2

−3 (2; −3)

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Producto cartesiano

Dados dos conjuntos no vacíos 𝐴 y 𝐵. El producto cartesiano de 𝐴

con 𝐵 se denota por 𝐴 × 𝐵 y se define como:

Ejemplo:

𝐴 × 𝐵 = 𝑎, 𝑏 / 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵

Dados los conjuntos 𝐴 = 1; 3 y 𝐵 = 2; 4; 5

Entonces

𝐴 × 𝐵 = 1; 2 , 3; 2 , 1; 5 , 3; 5 3; 4 , 1; 4 ,

Propiedades:

𝟏. 𝐴 × 𝐵 𝐵 × 𝐴

Del ejemplo anterior

≠ 𝐵 × 𝐴 = 2; 1 , 2; 3 , 4; 1 , 4; 3 , 5; 1 , (5; 3)

𝟐. 𝐴 × 𝐵 = 𝐵 × 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵

𝟑. 𝑛(𝐴×𝐵) = 𝑛 𝐴 ⋅ 𝑛 𝐵 En el ejemplo: 𝑛(𝐴×𝐵) = 2 ⋅ 3 = 6

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Relación binaria

Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos no vacíos. Se llama relación de 𝐴 en 𝐵 a

todo subconjunto del producto cartesiano 𝐴 × 𝐵. Es decir,

𝑅 es una relación de 𝐴 en 𝐵 ↔ 𝑅 ⊂ 𝐴 × 𝐵

Ejemplo:

Dados los conjuntos 𝐴 = 1; 3 y 𝐵 = 2; 4; 5

Entonces

𝐴 × 𝐵 = 1; 2 , 3; 2 , 1; 5 , 3; 5 3; 4 , 1; 4 ,

Algunas relaciones de 𝐴 en 𝐵 seran:

𝑓 = 1; 2 ⊂ 𝐴 × 𝐵

𝑔 = 1; 4 , (3; 2) ⊂ 𝐴 × 𝐵

𝑕 = 1; 2 , 1; 5 , 3; 5 ⊂ 𝐴 × 𝐵

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Función

Diremos que la relación 𝑓 de 𝐴 en 𝐵 es una función si y solo si:

a cada elemento 𝑥 ∈ 𝐴 le corresponde un único elemento 𝑦 ∈ 𝐵, tal

que 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓.

Notación funcional: 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 o 𝐴 𝑓

𝐵

Ejemplo:

Dada la relación 𝑓 = 3; 5 , 5; 1 , 8; 2 .

Lo representamos con un diagrama sagital:

⋅ 3

⋅ 5

⋅ 8

⋅ 1

⋅ 2

⋅ 5

𝐴 𝐵 𝑓 Vemos que a cada elemento del

conjunto 𝐴 , le corresponde un único

elemento del conjunto 𝐵.

Por lo tanto, 𝑓 es una función.

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Función

Ejemplo: indique cual de las siguientes relaciones es un función.

𝑓 𝑔 𝑕

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Condición de unicidad

Sea 𝑓 una función.

Si 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥; 𝑧 ∈ 𝑓, entonces, 𝑦 = 𝑧

Ejemplo:

Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función,

halle el valor de 𝑎 + 𝑏.

𝑓 = 2; 𝑎 − 5 , 5; 9 , 𝑏 + 2; 1 , 2; 6 , 5; 𝑏2

De la función vemos que:

𝑎 − 5 = 6 → 𝑎 = 11

9 = 𝑏2 → 𝑏 = 3 ∨ 𝑏 = −3

Analicemos para cada caso:

Si 𝒃 = 𝟑: 𝑓 = 2; 6 , 5; 9 , 5; 1 (no es función)

Si 𝒃 = −𝟑: 𝑓 = 2; 6 , 5; 9 , −1; 1 (si es función)

Es decir, 𝑎 = 11 y 𝑏 = −3. Por lo tanto, 𝑎 + 𝑏 = 8

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Dominio y rango de

una función

Dominio de una función:

Es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los

pares ordenados que pertenecen a la función.

Rango de una función:

Es el conjunto formado por todas las segundas componentes de los

pares ordenados que pertenecen a la función.

Se denota por: Dom(𝑓)

Se denota por: Ran(𝑓)

Ejemplo:

Dada la función 𝑓 = 3; 5 , 5; 1 , 8; 2 .

Dom 𝑓 =

Ran 𝑓 = 2

3; 5; 8

5; 1;

(Conjunto de pre imágenes)

(Conjunto de imágenes)

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Regla de correspondencia

Es la relación que existe entre los elementos del dominio y los del

rango.

Sea 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 una función, entonces

𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓 ↔ 𝑓 𝑥 = 𝑦

denota la dependencia entre 𝑥 e 𝑦.

Además, 𝑥 es la variable independiente.

𝑦 es la variable dependiente.

Ejemplo.

Dada la función 𝑓 = 1; 1 , 2; 4 , 3; 9 , (4; 16)

Se obtiene que:

𝑓 1 = 1

𝑓 2 = 4

𝑓 3 = 9

𝑓 4 = 16

= 12

= 22

= 32

= 42

𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑥 ∈ 1; 2; 3; 4

o 𝑦 = 𝑥2 𝑥 ∈ 1; 2; 3; 4

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Funciones reales

Diremos que la función 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 es una función real de variable

real, si 𝐴 y 𝐵 son subconjuntos de los reales.

Es decir: 𝐴 ⊂ ℝ ∧ 𝐵 ⊂ ℝ.

Ejemplo:

𝑓: −1; 3 ⟶ 1; 10

𝑥 ⟼ 𝑥2 + 1

𝐴

𝐵

𝑓 𝑥

Como 𝐴 = −1; 3 ⊂ ℝ y 𝐵 = 1; 10 ⊂ ℝ, entonces 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 es

una función real de variable real.

Observaciones:

1. Dom 𝑓 = 𝐴

2. Ran 𝑓 ⊆ 𝐵

En el ejemplo, Dom 𝑓 = −1; 3

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Cálculo del dominio y rango

Sea 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 una función tal que 𝐴 ⊂ ℝ y 𝐵 ⊂ ℝ.

Dominio de 𝒇:

Esta formado por todos los

valores reales de 𝑥 ∈ 𝐴 , que

garantizan la existencia de

𝑦 = 𝑓 𝑥 .

Rango de 𝒇:

Esta formado por todos los

valores reales de 𝑦 ∈ 𝐵 (conjunto

de imágenes) y se calcula a

partir de su dominio.

Ejemplo: Halle el dominio y rango de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 + 1

𝑓 𝑥 existe en ℝ si y solo si:

𝑥 − 2 ≥ 0

→ 𝑥 ≥ 2

→ 𝑥 ∈ 2;+∞

→ Dom 𝑓 = 2;+∞

Se tiene la función 𝑦 = 𝑥 − 2 + 1

Como 𝑥 ≥ 2 (Dominio)

→ 𝑥 − 2 ≥ 0

→ 𝑥 − 2 ≥ 0

→ 𝑥 − 2 + 1 ≥ 1

𝑦

∴ Ran 𝑓 = 1;+∞

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Cálculo del dominio y rango

Halle el rango de la función 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥, si se sabe que su

dominio es igual al conjunto de los números reales.

APLICACIÓN

Se sugiere completar el cuadrado:

𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 = − 𝑥2 − 2𝑥 +1 − 1

(𝑥 − 1)2

= −(𝑥 − 1)2

Como Dom 𝑓 = ℝ, entonces, 𝑥 ∈ ℝ

→ (𝑥 − 1) ∈ ℝ

→ (𝑥 − 1)2 ≥ 0

→ −(𝑥 − 1)2 ≤ 0

→ −(𝑥 − 1)2 + 1 ≤ 1

𝑓 𝑥

∴ Ran 𝑓 = −∞; 1

+1

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