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Funciones

Profesor: Javier Trigoso Página 1

FUNCIONES

Indicadores

Calcula el valor de incógnitas usando la definición de función. Determina valores de la variable dependiente a partir de valores dados

a la variable independiente. Determina los puntos de corte entre la representación gráfica de una

función y los ejes cartesianos. Identifica tramos crecientes y decrecientes, así como máximos y

mínimos relativos. Determina el dominio y rango de una función a partir de su gráfica y

utilizando la definición. Reconoce y diferencia una función inyectiva de una sobreyectiva.

Contenido

¿Qué es una función? Definición de términos básicos

o Par ordenado, Producto cartesiano, Relación, Dominio y Rango, Función

Notación de función Valor numérico de una función Gráfica de una función

o Interceptos con los ejes

o Crecimiento y decrecimiento o Máximos y mínimos relativos o Continuidad y discontinuidad o Simetría y periodicidad

Determinación del dominio y rango de una función Función Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

¿Qué es una función?

Una función es, en matemáticas, el término usado para indicar la relación de correspondencia o dependencia entre dos o más cantidades. Como dependencia, se entiende la conexión entre las

características de las cantidades. Así, un cambio de una generará un efecto en las otras. Este es un elemento muy importante en la noción de función.

Por otra parte, la idea de dependencia está intrínsecamente ligada a la de variación y variable, pues la manera de predecir que una cosa depende de otra es hacer variar cada una a su turno y constatar cuál es el efecto de la variación. Se

considera, pues, que los principales elementos de las funciones son la variación, la dependencia y la correspondencia.

Las funciones numéricas proporcionan una manera de cuantificar y descubrir la dependencia entre variables y también un modelo para el estudio del comportamiento de la situación analizada.

Una función, que resulte de la modelación de un hecho, posibilita hacer previsiones y tomar las precauciones necesarias cuando la magnitud que se estudia se acerca a valores que se consideran críticos. Es por eso que resulta muy importante hacer un análisis de las características

globales de la función: dónde crece, dónde decrece, cuán rápidamente lo hace, dónde toma valores extremos, qué valor toma en cada punto toma en cada punto, etc.

El matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650) mostró en sus

trabajos de geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de “variable’’ y “función’’, al realizar una

clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que

los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma

simultánea, las ecuaciones

que las representan.

Est

atu

ra

(en

metr

os)

1,8

1,5

1,2

0,9

0,6

0,3

0 5 10 15 20 25 Edad (en años)

La estatura es una función de la edad

50

40

30

20

10

Co

sto

(en

S/.

)

0 50 100 150 200

250 Masa (en g)

El costo es una función de la

masa

Funciones


Así como los números surgen de la necesidad de contar, las funciones surgen a partir de la observación de la

relación existente entre cantidades que varían, una en dependencia de otras. Cuando realizamos mediciones de magnitudes físicas observamos que

existen muchas situaciones en las que una cantidad depende de otra. Por ejemplo: la estatura de una persona depende de su edad, la temperatura depende de la fecha, el costo de enviar

un paquete por correo, de su peso. Todos estos son ejemplos de funciones, decimos que la estatura es una función de la edad y que el costo de enviar un

paquete por correo es una función de la masa del paquete. Aunque no existe una regla simple que relacione la estatura con la edad, sí

existe una que relaciona el costo de enviar un paquete por correo con su masa (de hecho, ésta es la que utiliza la oficina de correos).

Definición de términos básicos

Es importante que definamos de manera precisa cada uno de los siguientes términos: • Par ordenado: es un conjunto de dos elementos considerados en un

determinado orden (x; y)

(x;y) (y;x)

• Producto cartesiano: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, el producto

cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) de modo

que la primera componente le pertenece al conjunto A y la segunda al conjunto B, es decir:

A xB (x;y) / x A y B

• Relación: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se denomina relación R

de A en B (R: A→ B) a todo subconjunto del producto cartesiano A x B,

es decir:

R A xB

• Dominio: llamado también conjunto de pre imágenes, es el conjunto que

tiene por elementos a todas las primeras componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación.

RDom(R) D x A / (x;y) R

Funciones


• Rango: llamado también conjunto de imágenes, es el conjunto que tiene

por elementos a todas las segundas componentes de los pares ordenados

pertenecientes a la relación.

RRan(R) R y B / (x;y) R

• Variable independiente: se refiere a la variable que representa a los

posibles valores del dominio. • Variable dependiente: se refiere a la variable que representa a los

posibles valores del rango.

• Función: es una relación tal que a cada elemento del dominio le

corresponde exactamente un elemento del rango. Es decir:

fF (x;y) R x R / x D y F(x)

En términos formales:

Si (x;y) F (x;z) F y z

Notación de una función

Si f es una función definida en A con valores en B, que a cualquier

x A pone en correspondencia un y B cualquiera, se simboliza por:

F : A B

x y F(x)

Donde la ecuación y = f(x) se denomina REGLA DE

CORRESPONDENCIA entre x e y, además:

A: Conjunto de partida B: Conjunto de llegada

x: pre-imagen de y o variable independiente y: imagen de x o variable dependiente:

Valor numérico de una función

Dada la función F : A B / y F(x)

Evaluar la función f significa obtener el valor de y mediante su regla de correspondencia, luego de asignarle un cierto valor a x. Por ejemplo, para x = a, el valor de la función llamado también IMAGEN, que le

corresponde será f(a), con lo cual se dice que el par (a; f(a)) pertenece

a la función f. En la definición de función la variable independiente x desempeña el papel de “marcador de posición”. Por ejemplo la función

2f(x) 3x 2x 5 se puede considerar como:

2f(....) 3(....) 2(....) 5

Funciones


Es útil considerar una función como una máquina (ver figura). Así cuando se introduce x en la máquina, es aceptada como una entrada y la

máquina produce una salida f(x) de acuerdo con la regla de la función.

… PARA LA CLASE

01. Halla a - b, si F es una función

F 4;a 3 , 4;5 a , a ;b , b;a

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 02. Halla la suma de los elementos del dominio de la siguiente función:

2F 6;25 , m;4 , 5;8 , 6;m

A. -15 B. -10 C. -6 D. 4

03. Dada la función f (1,2) ;(3,6) ;(4,8) ;(5,7)

Calcula el valor de

f(1)f(3) f(4)

Ef(5)

A. 2 B. 4 C. 8 D. 9

04. Dada la función x ; x 0

f(x)x ; x 0

Señala el valor de: E = f(-2) + f(3) – f(-8 + f(7)) A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 05. Dadas las funciones f y g tales que f(x) = ax + 3 y g(x) = bx + a

Si además f(2) = g(1) = 13. Halla ab. A. 5 B. 8 C. 13 D. 40

06. Sean dos funciones reales tales que f(x) = mx -1 y g(x) = 4x - b, si además f(3) = g(-2) y f(-2) = g(3). Halla P = f(2) + g(3) A. -4 B. -3

C.-2 D. -1 07. Si f(x) es una función definida por f(x) = ax2 + bx + c, tal que: f(0) = 3, f(1) = 8 y f(–1) = 2. Calcula el valor de f(–2). A 3 B. 4

C.5 D. 6 08. La función f(x) = ax2 + bx + a + b, tiene valores: f(0) = 12 y f(–1) = 14. Calcular el valor de f(2)

A. 30 B. 40 C.50 D. 60

09. Dada la función F 3a;5 , 11;b , c;10 con regla de

correspondencia F(x) = x – 2a. Halla M = a + b + c A. 5 B. 16 D. 19 E. 26

Funciones


10. Dadas las funciones F a; 19 , 1;b y G(x) = 7x – 3. Si

sabemos que G(h) = F(h) + 2 para todo valor de h. Halla a + b A. -2 B. -1

C. 0 D. 1

… PARA LA CASA

01. Halla a/b, si f es una función

f 2;a 1 , 2;b 2 , 5;2a b , 5;a 2

A. -1/2 B. -1/5

C. 3/5 D. -5/2

02. El conjunto f 2;3 , 5;a b , 2;a b , 5;7 es una función.

Halla el valor de a2 + b2 A. 25 B. 29

C. 34 D. 36 03. Halla a – b , siendo la función F definida en por:

2F 2;5 ; 3;a ; 2;a b ; 3;4 ; b;5

A.-9 B. -6 C. 6 D. 9

04. Calcula x.y para que el conjunto de pares ordenados sea una función

f 2;4 , 3;x y , 5;6 , 3;8 , 2;x y

A. 6 B. 8 C. 12 D. 14

05. Dada la siguiente función 2f 4;k , 2;5k , 7 ;2k 1 , 4;2k 1

Halla el valor de k A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

06. Halla la suma de los elementos del rango de la siguiente función

2f 1;5 , a ;6 , 3;a , 3;2a 3

A. 8 B. 9

D. 12 E. 13

07. Sean f y g dos funciones definidas en por: f 2;a , b;2 y

g(x) = 3x + 1. Si se sabe que f(x) + 2 = g(x), halla el valor de a + b A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

08. Dado el conjunto A 1; 2;3;4 , se definen las funciones F y G

con dominio en A, tales que F 1;k , 2;5 , 1;3 , p;k , 3;5

y G(x) = kx + 2p. Halla la suma de todos los elementos del rango de G A. 46 B. 48

C. 60 D. 62 09. Si el conjunto de pares ordenados:

2 2 2a b c

f 1;a , 2; , 3;a b , 3; cbc ac ab

representa una función,

calcula el valor de f(2) A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

Funciones


10. Si f(x) = ax + b; a < 0; f(0) = 2, f(f(1)) = 5. Halla f(-2) A. -8 B. -2

D. 2 D. 8

11. Señala el valor de: E = f(-3) + f(2) - f(f(0)), si:

2x 3 ; x 1f(x)

4x 3 ; x 1

A. 5 B. 7 C. 9 D. 18

12. Si 32

2x 5 ; x 2

F(x) x 1 ; 2 x 5

x x ; x 5

, Calcula: P = F(-5) + F(3) + F(8)

A. 58 B.63 C. 65 D. 68

13. Dadas las funciones f(x) = 3x + 2 y g(x) = x2 + 2x - 4 Determina el valor de « a », si f(a + 1) = g(a) + 3 A. -4 B. -3 C.-2 D. -1

14. Dada una función f(x) = mx + b definida mediante la siguiente tabla:

x 1 2 3

f(x) 8 11 14

Halla f(-4)

A.-9 B. -7 C. -5 D. -3 15. Sean f y g dos funciones reales definidas por f(x) = ax2 + 5 y

g(x) bx – c. Si (2; 17) pertenece a la función f y además f(3) = g(-1). Halla el valor de a - b + c.

A. -30 B.-29 C. -28 D.-27

16. Sean f y g dos funciones reales definidas por f(x) = 2x – 5 y g(x) = 3x + a. Si g(f(x)) = f(g(x), ¿cuál es el valor de a? A.-10 B.- 9

C. -8 D.-7

17. Sabiendo que f(x) = x2 + 2x + 2 y 3 3g(x) 2x 3 x 3x 1 .

Determina el valor de « a », si f(a) = g(-8)

A.-3 B. -2 D. 2 E. 3 18. Sean f y g dos funciones reales definidas por: f(x) = 3x + b y g(x) = x - 1. Si (2, y) pertenece a ambas funciones; calcula f (-2)

A. -11 B. -5 C. 5 D. 11 19. Si f(x) = ax2 + b. Además f(f(x) = 8x4 + 24x2 + c.

Halla el valor de: E = a + b + c A. 24 B.26 C. 28 D. 29

20. Sea f una función definida en R con regla de correspondencia f(x) = x. Si f(a - b) = 5 y además f(a + b) = 3; entonces el valor de f(a2 – b2) es: A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

Funciones


Si f(0) = b, entonces f(x) corta al eje Y en el punto (0; b)

Si f(a) = 0, entonces f(x) corta al eje X en el punto (a; 0)

Gráfica de una función

La gráfica de una función y = F(x) es el conjunto de todos los pares

ordenados (x; y), donde x pertenece al dominio de la función e y es el valor que toma la función f en el elemento x.

Para dibujar la gráfica de una función f se hace una tabla de las coordenadas (x; f(x)) para distintos valores de la variable x en el dominio de la función. Después se representan todos esos puntos en el plano cartesiano. Si la función no tiene saltos y no representa cambios

bruscos de dirección, se pueden unir todos los puntos con una línea continua, es decir, sin levantar el lapicero del papel. Ejemplo

Se quiere dibujar la gráfica de la función f(x) = x2 – 2. Su dominio es el

conjunto de todos los números reales. Se da a continuación una tabla de los pares (x; y) tales que y = x2 – 2:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

x2 – 2 7 2 -1 -2 -1 2 7

L a gráfica de una función f está formada por los puntos de la forma (a; f(a)), donde a es un punto cualquiera del eje X y f(a) se encuentra en el

eje Y.

Teorema

Una relación es una función si y solo si toda recta vertical corta a la

gráfica de F a lo más en un punto.

Puntos de corte con los ejes

Observamos en la siguiente gráfica que la función corta a los ejes de coordenadas en

diferentes puntos. Vemos que las coordenadas del punto sobre el eje Y tiene abscisa igual a cero (0), así mismo las

coordenadas de los puntos sobre el eje X tienen ordenada igual a cero (0). En general:

Funciones


Ejemplos:

Encuentra los puntos de corte con los ejes. f(x) = 4- 2x

Con el eje Y: f(0) = 4 – 2(0) = 4 … Punto de corte (0; 4)

Con el eje X: 4 – 2x = 0 ….. x = 2 … Punto de corte (2; 0) g(x) = x2 - 4

Con el eje Y: g(0) = 02 – 4 = -4 … Punto de corte (0; -4)

Con el eje X: x2 - 4 = 0 ….. x = -2 … Puntos de corte (-2; 0) y (2; 0)

h(x) = x3 – 4x

Con el eje Y: g(0) = 03 – 4(0) = 0 …Punto de corte (0; 0) Con el eje X: x3 – 4x = 0 ….. x(x2 – 4) = 0 … x(x – 2) (x + 2) = 0 … Puntos de corte (-2; 0); (2; 0) y (2; 0)

Si adicionalmente, evaluamos la función en otros valores de x, podemos bosquejar sus gráficas, como se aprecia en los ejemplos anteriores

Crecimiento y decrecimiento de una función

Dada una función f(x) y dos valores x = a y x = b tales que a < b:

Si f(b) > f(a), la función es creciente entre a y b. Si f(b) < f(a), la función es decreciente entre a y b. Si f(a) = f(b), la función es constante entre a y b.

El crecimiento y decrecimiento de una función son propiedades locales, es decir, no se estudian globalmente, sino por intervalos.

Máximos y mínimos en una función

Una función f(x) tiene en x = a un máximo cuando a su izquierda la función es creciente y a su derecha decreciente. Y tiene un mínimo, si a

su izquierda la función es decreciente y a su derecha creciente.

Funciones continuas y discontinuas

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo,

es decir, si no presenta puntos de discontinuidad. Una función es discontinua si tiene puntos en los cuales una pequeña

variación de la variable independiente produce un salto en los valores de

Funciones


la variable dependiente. A estos puntos se les denomina puntos de discontinuidad. Los puntos de discontinuidad pueden ser de dos tipos:

Puntos en los que la función no está definida, es decir, los puntos

que no pertenecen al dominio de la función, gráfica a. Puntos en los que la gráfica presenta un salto, gráfica b.

Función periódica

Una función es periódica si su gráfica, o las imágenes de los valores de

x, se repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo, T, se le llama período y significa que: f(x) = f(x + T) = f(x + 2T) = ... = f(x + k · T), siendo k un número

entero. La gráfica de una función periódica es del tipo:

Funciones simétricas

Una función puede ser simétrica respecto del eje de ordenadas o respecto del origen. Se denominarán funciones pares o impares, respectivamente. Estudiamos dos tipos de simetrías:

Simetría respecto del eje de ordenadas (eje OY).

Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando f(x) = f(-x). Este tipo de función se llama función par.

Simetría respecto del origen. Una función es simétrica respecto

del origen cuando verifica que f(-x) = -f(x). Este tipo de función se llama función impar.

Cuando realizamos el estudio completo de una función lo que

hacemos es estudiar todas sus propiedades: continuidad, dominio,

rango, puntos de corte con los ejes, crecimiento, decrecimiento,

máximos, mínimos, simetría y periodicidad.

http://www.kalipedia.com/matematicas-funciones/tema/limites-continuidad/funciones-simetricas.html?x=20070926klpmatfnc_59.Kes

http://www.kalipedia.com/matematicas-funciones/tema/limites-continuidad/funciones-simetricas.html?x=20070926klpmatfnc_59.Kes

Funciones


Algunas ejemplos

Dominio [ - 1; +∞[

Crecimiento y decrecimiento Creciente [-1;4]

Decreciente [4; +∞[ Máximos y mínimos

Máximos: (2; 4)

Dominio: Dominio f(x) = R Puntos de corte

Eje x: (-4,0), (-1,0), (3,0) Eje y: (-3, 0) Continuidad: Es continua en R (no

hay saltos) Crecimiento y decrecimiento

Miramos el eje X de izquierda a derecha y vemos que: Desde x ]-∞; -2] creciente

Desde x [-2; 0] decreciente

Desde x [ 0; -∞[ creciente Máximos y mínimos

Máximos: ramas creciente-decreciente Máximo en (-2; 2) Mínimos: ramas decreciente-creciente Mínimo en ( 0; -3)

Dominio f(x): R - {0} . En x = 0 la

función no existe. Puntos de corte: no corta a los

ejes Continuidad: la función es

discontinua en x = 0, hay un salto. Podemos leer función por la izquierda y por la derecha de x = 0 pero no en x = 0. Crecimiento y decrecimiento: las

dos ramas de la función son decrecientes. Máximos y mínimos: no tiene, la función es siempre decreciente.

Dominio f(x): R - { -1; 1 } Puntos de corte: no corta a los

ejes Continuidad

La función es discontinua en x = -1, hay un salto. La función es discontinua en x = 1, hay un salto. Crecimiento y decrecimiento

Crece desde ]-∞; -1[ U ]-1; 0] Decrece desde [0; -1[ U ]-1; +∞[

Máximos y Mínimos: tiene un máximo en el punto (0; -1)

Funciones


Determinación del Dominio y Rango de una función

En la clase anterior estudiamos el concepto de dominio de una función, y recordando, dijimos que el dominio de una función es

el conjunto de números reales que una función puede procesar, o en la cual una función puede operar. El objetivo que

perseguimos en esta clase es encontrar este conjunto para una función dada. En general, una función opera por medio de las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, división, potencias o radicales, y en vista de

esto, afirmamos que para encontrar el dominio de una función necesitamos solo conocer las operaciones involucradas en la regla de correspondencia de la función dada.

Para la suma, resta, multiplicación y potenciación sabemos que no hay restricción en el conjunto de números que pueden relacionarse por medio de estas operaciones. Para la división si hay una restricción, ya que sabemos que no podemos dividir entre cero. Para la radicación o extracción de raíces, tenemos restricción si el índice de la raíz es par,

es decir, debemos restringirnos a operar solo con números reales no negativos; si el índice de la raíz es impar no tenemos restricción. Entonces, solo tenemos problemas de búsqueda de dominios para aquellas funciones que pueden ser comparadas, en su forma, con las

siguientes funciones:

1f(x) ; f(x) x

x

Busquemos el dominio de estas funciones.

Dominio de funciones que contienen fracciones

Para la función f definida por la regla: 1

f(x)x

tenemos que la división

del número 1 entre algún número x en R solo es posible si x 0 Así, el

conjunto de números que esta función puede operar es: R 0

Ejemplo

Encuentra el dominio de la función 4

f(x)x 3

Esta función es comparable con la función 1

x según su forma, pues es

una división entre una expresión que contiene a la variable x. Entonces para buscar el dominio, primero resolvemos la igualdad:

x + 3 = 0

Despejando la variable x, tenemos: x = -3. Segundo, eliminamos del

conjunto R, este valor, y el conjunto resultante es el dominio buscado.

Entonces: Dom(f) R 3

Dominio de funciones que contienen raíces

Para la función g definida por la regla: f(x) x tenemos lo

siguiente: las raíces pares existen solo si el radicando es mayor o igual

a cero, es decir, es no negativo, entonces debemos resolver la desigualdad: x 0 .

La solución de esta desigualdad nos conduce al intervalo: 0; el

cual es el dominio de la función dada.

Funciones


Ejemplo

Encuentra el dominio de la función f(x) x 5

Si comparamos esta función con la función x vemos que son similares en la forma, es decir, f es la obtención de una raíz de índice par.

Entonces procedemos a buscar el dominio resolviendo la desigualdad:

x 5 0

Despejando la variable x, tenemos: x 5 . Y esto nos conduce al

intervalo 5; Entonces: Dom(f) 5;

Vamos ahora a generalizar esta manera de encontrar dominios. Si la función dada es la división entre una expresión que

contiene a la variable x, resolvemos la ecuación: Denominador 0

Procedemos a eliminar de R los valores encontrados en la solución de la ecuación anterior, y el conjunto resultante es el dominio.

Si la función dada contiene una raíz de índice par, resolvemos la desigualdad:

Radicando ≥ 0

El conjunto solución resultante es el dominio buscado. Cuando la regla de correspondencia de la función contiene raíces en el denominador, es necesario imponer las dos condiciones anteriores.

… PARA LA CLASE

01. Determina el dominio y rango de las siguientes funciones:

02. Dadas las funciones: f(x) 3x 2 ; x 0;2

g(x) 1 x ; x 2;5

Halla: Ran(f) Ran(g)

A. R B. 4;4

C. D. 4;4

03. Halla el dominio de la función 1

f(x) xx

A. R B. R – {0} C. R - {-1}

D. R - {1}


2f(x)

x 4

A. R - {-2;2} B. R - {-2}

C. R - {2} D.]-2;2[

Funciones


05. Calcula el dominio de la función f(x) 2 x x 3

Y da como respuesta la suma de sus valores enteros A. -3 B. -1 C. 1 D. 3

06. Halla el dominio de la función x 2

f(x)x

A. R+ B. R-

C. ;0 D. 0;

07. Halla el dominio de la función f(x) 1 1 x

A. R B. 0;1

C. D. 1;0


2

x 2x 1f(x)

9 4x

A. 3 3;

2 2 B. 3 3

;2 2

C. 2 2;

3 3

D. 2 2;

3 3

09. Halla el rango de la función x 1

f(x)x 2

A. R - {0} B. R - {1} C. R - {2}

D. R - {3}

10. Halla el rango de f, si 2f(x) 4x 16x 17

A. 1;1 B. 1;

C. 1; D. 1;

… PARA LA CASA

01. Determina el dominio y rango de las siguientes funciones:

02. Calcula el Dom(f) Ran(f) para la función: 2

3x ; 2 x 3f(x)

x ; 3 x 5

A. 2;5 B. 2;5

C. 2;5 D. 2;5

03. Sea la función 2

x 1 ; x 3;9

f(x) x ; 3 x 2

x ; x 25; 4

Halla el Rango de f

A. 4;10 B. 0;10

C.

0;9 D. 4;5

04. Si f es una función definida por f(x) x 1 ; x 0;8 , entonces

el rango de f es.

A. 0;3 B. 1;3

C. 0;2 D. 1;8

Funciones


05. Sea 2f(x) 4x x , halla Ran(f) Dom(f)

A. 2;0 B. 0;4

C.

2;2 D. 0;2

06. Dada la función 4 ; 2 x 6

g(x)x 2 ; 6 x 11

Hallar Dom(g) Ran(g)

A. 2;11 B. 2;3

C. 2,3 4 D. R 2;3

07. Dada la función x 3

f xx 2

Hallar: Dom(f) Ran(f)

A. R 2 B. R 1

C. R 3

D. R 2;1;3

08. Halla el dominio de la función 1 x

f(x)x 3

Y da como respuesta

su mayor valor entero

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4


2x 5f(x)

x 5x 6

A. R 2;3 B. 2;3

C. R 2;3 E. R 3

10. Halla el dominio de la función 4f(x) x 1 x 3

A. 1; B. 3;

C. ;1 D. ;3

11. Halla el dominio de la función 4 8f(x) x 1 1 x

A. 1 B. R 1

C. 0 D. R 0


f(x) x 34 x

A. 3; B. 3; 4

C. R 4 D. 3; 4

13. Indica el dominio de la función: x

f(x) 1 2xx

A. 0;1 B. 0;1 / 2

C. 0;2 E. ;1 / 2

14. Obtén el número de elementos enteros del dominio de:

2

x 3 3 xf(x)

x 1

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Funciones


15. Sea 1

f(x) 5 xx 2

una función real de variable real,

entonces su dominio es:

A. 2;5 B. 2;5

C. 2;5 D. 2;5

16. Si 2x 5x 6

f(x)x 4

da como respuesta el mayor entero

negativo de su dominio A. -4 B. -3

C. -2 D. -1

17. Si 2

x 4f(x)

x 5x 6

da como respuesta el menor entero

negativo de su dominio A. -5 B. -4 C. -3 D. -2

18. Halla el dominio de la función 2 x

f(x)(x 3)(x 4)

A. ;2 4; B.

;2 3;4

C. ;2 3;4 D.

R 2;3;4

19. Halla Dom(f) Ran(f) para la función: 2f(x) 2x 6x 8 ; 1 x 4

A.25

;2

B.25

;42

C. 1;0 D. 1;0

20. Dada la función f según: 2f(x) 2x 16x 16 ; 1 x 5

hallar: Dom(f) - Ran(f)

A. 5;16 B. 2;1 5;16

C. 2;5 D. 1;16

Funciones


Función Inyectiva, Suryectiva y Biyectiva

"Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan información sobre el comportamiento de una función.

Función Inyectiva

Una función puede tomar el mismo valor en diferentes puntos de su dominio, tal es el caso de la función:

2f(x) x que toma el mismo valor para elementos opuestos de su dominio, por ejemplo:

f(2) 4 y f( 2) 4 En el caso de la función:

f(x) x 3 x 5 tenemos que.

f(3) 0 y f(5) 0

Las funciones para las que esta clase de repetición no tiene lugar, se denominan inyectivas.

Definición

Una función es inyectiva o univalente (uno a uno) si y solo si a elementos

distintos del dominio le corresponden imágenes distintas es decir:

1 2 1 2Si x x f x f x

En forma equivalente:

1 2 1 2Si f x f x x x

Observa en el gráfico siguiente como TODOS los elementos del conjunto X, tienen diferente

imagen en el conjunto Y.

Observación

En toda función inyectiva se cumple que cualquier

recta horizontal intercepta a su gráfica en no más de un punto.

Función Suryectiva

Es aquella donde cada elemento del conjunto de llegada (Rango) es imagen de algún elemento del conjunto de partida (Dominio). Es decir el conjunto de llegada e imagen son iguales. Definición

Sea f: A B una función. La función f es suryectiva o sobreyectiva si

para todo y є B, existe x є A, tal que f(x) = y. Es decir, f es suryectiva si Ran(f) = B.

En el gráfico siguiente observa como TODOS los elementos del conjunto Y, son imagen de los elementos del conjunto X.

Funciones


Función Biyectiva

Sea f: A B una función. La función f es biyectiva si y solo si es

inyectiva y suryectiva.

… PARA LA CLASE

01. ¿Cuántas de las siguientes gráficas corresponden a funciones inyectivas?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

02. Halla el valor de 2 2x y sabiendo que la función f es

inyectiva f 5; 1 , 3;2 , 2x y; 1 , y x;2 , x;6

A. 1 B. 4 C. 5 D. 13

03. Indica el conjunto de valores de k, de tal manera que la función f sea inyectiva.

2 4 kxf x;y R / y

x 1

A. 4 B. R 1

C. R 4 D. R 4

04. Dada la función f : m;7 n;3m con regla de

correspondencia f(x) = 5 – 2x, determina el valor de m + n, si f es sobreyectiva. A. -10 B. -8 C. 8 D. 10

05. Dada la función f : a;10 20;b

con regla de

correspondencia 2f(x) x 4x 32 . Halla a + b para que f sea

biyectiva. A. 6 B. 18

C. 28 D. 34

06. Dada la función 2

3

x ;x 1f x

x ; 1 x 1

Determina si la función es inyectiva y halla su rango. A. Si; 1; 1 B. Si; 1;

C. No; 1; 1 D. No; 1;

07. Si f es una función inyectiva definida por

2f x;x 2x / x ;k 5 entonces es verdad que:

A. k ≤ 2 B. k ≤ 5

C. k ≤ 6 D. k ≤ 7

y

x

y

x

y

x

y

x

Funciones


08. Sea 2f x x 2x 1 una función sobreyectiva cuyo dominio es

2;10 y rango a;b 1

. Halla el valor de a.

A. -1 B. 1 C. 80 D. 81 09. Dada la función f : 0;3 3; B

definida por:

2

x 7;x 3

f x 5

x 7 ;0 x 3

Halla B para que f sea suryectiva. A. 7; 2

B. 2;

C. ; 7 2; D. 7; 2 2;

10. Dada la función f : R R con regla de correspondencia:

x 3 ;x k

f x2x 7 ;x k

Halla k, si f es biyectiva. A. -10 B. -4/3

C. 4/3 D. 10

… PARA LA CASA

01. ¿Cuántas de las siguientes gráficas corresponden a funciones inyectivas? A. 1

B. 2 C. 3 D. 4

02. Dada la función f : A A definida por el diagrama sagital.

Señala verdadero o falso. I. es inyectiva II. es suryectiva

III. es biyectiva A. VVF B. VVV C. FVV D. FFV

03. Dada la función f : 2;5 a;b con regla de correspondencia

f(x) = 5x – 2, determina el valor de b – a, si f es sobreyectiva. A. 5 B. 8 C. 15 D. 23

y

x

y

x

y

x

y

x

A B f

1

2

3

a

b

c

Funciones


04. Dada la función f : a;4 9;b con regla de correspondencia

f(x) = 2x + 1, determina el valor de a + b, si f es sobreyectiva. A. 2 B. 5 C. 10 D. 13

05. Si la función f definida por:

f : 3;1 1;11 / f x kx 2 , es biyectiva, calcula f(-2)

A. -8 B. -4

C. 4 D. 8

06. Dada la función f : 3;k 4;6 con regla de correspondencia:

2 2x ; 3 x 1

f x5 x ; 1 x k

Halla k, si f es biyectiva.

A. 4 B. 5

C. 6 D. 7

07. Dada la función biyectiva: f : a;b 1;5 con regla de

correspondencia 3f(x) x 1 . Señala el valor de a + b

A. 0 B. 63

C. 120 D. 126 08. Si f es una función definida por:

2f : 3;2 2;15 / f x x 3x 1 .

Indica si f es sobreyectiva e indica su rango A. Si; 1;10

B. No; 1;10

C. No; 5

;114

D. Si; 2;15

09. Si f : R B es una función suryectiva tal que f(x) x 2 x

Halla B

A. 2; B. 2;2

C. 2; D. 2;0

10. Si la función f definida por:

2f : a;4 6;b / f x 2x 16x 24

es biyectiva, el valor de a + b es:

A. 5 B. 6

C. 7 D. 11

11. Con respecto a la función: 2f : 3;8 a;b / f x 6x 20k

Calcula M b a , si la función es suryectiva.

A. 2 B. 3

C. 4 D. 5

12. Dada la función biyectiva: f : 5;b a;72 con regla de

correspondencia 2f(x) x 8x 7 Señala el valor de a + b

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

13. Dada la función: f : 2;3 3; B definida por

6x 7; 2 x 3

5f xx

;x 3x 3

Halla B para que f sea suryectiva. A. 1; B. 0;1 1;

C. 5;1 1; D. 5;1 1;

Funciones


14. Con respecto a la función: 2

2

x 4f : 2;5 a 1;b / f x

x 3

Calcula b aE a b , si la función es suryectiva. A. 1,25 B. 1,5

C. 1,75 D. 2,25

15. Sea f : 0;5 1;7 definida por:

2

4 x ;0 x 3f x

x 6x 2;3 x 5

Se cumple que: A. f es inyectiva y sobreyectiva

B. f es inyectiva pero no sobreyectiva C. f es sobreyectiva pero no inyectiva D. f no es inyectiva ni sobreyectiva

16. Con respecto a la función:

2f x;y R / y 4x 7 es correcto afirmar que:

A. Es inyectiva B. Es biyectiva

C. Es sobreyectiva D. No es función 17. Dados los conjuntos

A 1;2;3 B 1;2 y la función f : A B . Indica verdadero (V) o

falso (F) según corresponda:

I. 1;1 , 2;1 , 3;2 es sobreyectiva

II. 1;2 , 2;2 , 1;3 es inyectiva

III. 1;2 , 2;2 , 3;1 es sobreyectiva

A. VVV B. VVF

C. VFV D. VFF

18. Dada la función:

f : 1;1 ;0 con regla de correspondencia

x 1f(x)

x 1

.

¿Qué clase de función es f?

A. Inyectiva B. Suryectiva C. Biyectiva D. No es función 19. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. f x 3x x es inyectiva

II. f : 3; 1; con regla de correspondencia

2f x x 6x 10 es biyectiva

III. 2f x 3x 5x 3 es inyectiva x ; 1

A. Solo I B. I y II C. II y III D. Solo III

20. Dadas las funciones:

f : R A / f x x

x 1g : R R / g x

2

Donde A x R / x 0

Señala la proposición verdadera A. f y g son suryectivas B. f es inyectiva y g es suryectiva C. f y g son inyectivas D. f es suryectiva y g es inyectiva

funciones ¿qué es una función? - portal del colegio de ... · pdf...

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