funciones polinominales

LECCIN

CONDENSADA

7.1En esta leccin

Grado polinomial y diferencias finitas

Aprenders la terminologa asociada con los polinomios Usars el mtodo de diferencias finitas para determinar el grado de un polinomio Encontrars una funcin polinomial que modele un conjunto de datos

Un polinomio con solamente una variable es cualquier expresin que se puede escribir de la forma anx n an 1x n1

a1x 1

a0

donde x es una variable, los exponentes son nmeros enteros no negativos, y los coeficientes son nmeros reales. Una funcin de la forma f(x) anx n an 1x n 1 a1x1 a0 es una funcin polinomial. El grado de un polinomio o de una funcin polinomial es la potencia del trmino que posee el exponente mayor. Si los grados de los trminos de un polinomio disminuyen de izquierda a derecha, el polinomio se encuentra en la forma general. Los polinomios siguientes estn en la forma general. 1er grado 3x 7 2do grado x2 2x 1.8 3er grado 9x 3 4x 2 x 11 4to grado 5x 4

Un polinomio con un solo trmino, como 5x 4, se llama un monomio. Un polinomio con dos trminos, como 3x 7, se llama un binomio. Un polinomio con tres trminos, como x 2 2x 1.8, se llama un trinomio. Los polinomios con ms de tres trminos, como 9x 3 4x 2 x 11, por lo general se llaman simplemente polinomios. En las funciones lineales, cuando los valores x estn espaciados de manera uniforme, las diferencias entre los correspondientes valores y son constantes. Esto no es cierto para las funciones polinomiales de grado superior. Sin embargo, para los polinomios de segundo grado, las diferencias entre las diferencias, llamadas segundas diferencias y abreviadas como D2, son constantes. Para los polinomios de tercer grado, las diferencias entre las segundas diferencias, llamadas terceras diferencias y abreviadas como D3, son constantes. Esto se ilustra en las tablas en la pgina 361 de tu libro. Si tienes un conjunto de datos con valores x igualmente espaciados, puedes encontrar el grado de la funcin polinomial que se ajusta a los datos (si existe una funcin polinomial que se ajuste a los datos) analizando las diferencias entre los valores y. El ejemplo en tu libro ilustra esta tcnica, que se llama el mtodo de diferencias finitas. Lee dicho ejemplo atentamente. Observa que el mtodo de diferencias finitas slo determina el grado del polinomio. Para hallar la ecuacin exacta para la funcin polinomial, necesitas encontrar los coeficientes, resolviendo un sistema de ecuaciones o usando algn otro mtodo. En el ejemplo, los valores D2 son iguales. Cuando utilizas datos experimentales, tal vez tengas que conformarte con diferencias que son casi iguales.(contina)Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish2004 Key Curriculum Press CHAPTER 7

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Leccin 7.1 Grado polinomial y diferencias finitas (continuacin) Investigacin: Cada librePaso 1 Si tienes un sensor de movimiento, rene los datos (tiempo, altura) como se describe en el Paso 1 en tu libro. Si no, usa esta muestra de datos. (Los valores de las dos ltimas columnas se calculan en el Paso 2.) Tiempo (s) x 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 Altura (m) y 2.000 1.988 1.951 1.890 1.804 1.694 1.559 1.400 1.216 1.008 D1 0.012 0.037 0.061 0.086 0.110 0.135 0.159 0.184 0.208 0.025 0.024 0.025 0.024 0.025 0.024 0.025 0.024 D2

Completa los Pasos 2 a 6 en tu libro. Los resultados dados estn basados en la muestra de datos. Las primeras y segundas diferencias, D1 y D2, se muestran en esta tabla.Paso 2

Para estos datos, podemos detenernos en las segundas diferencias porque son casi constantes.Paso 3

Las tres grficas se muestran a continuacin.

(L1, L2)

(L3, L4)

(L5, L6)

[0, 1, 0.5, 0, 2.5, 0.5]Paso 4

[0, 1, 0.5,

0.25, 0.25, 0.25]

[0, 1, 0.5,

0.25, 0.25, 0.25]

La grfica de (L1, L2) parece ser parablica, lo que sugiere que el modelo correcto puede ser una funcin polinomial de 2do grado. La grfica de (L3, L4) muestra que las primeras diferencias no son constantes, pues disminuyen de forma lineal. La grfica de (L5, L6) muestra que las segundas diferencias son casi constantes, as que el modelo correcto debe ser una funcin polinomial de 2do grado. Un polinomio de segundo grado de la forma y a los datos.Paso 5

ax 2

bx

c se ajusta

Paso 6 Para escribir el sistema, escoge tres puntos. Por cada punto, escribe una ecuacin sustituyendo los valores x y y por los valores del tiempo y de la altura en la ecuacin y ax 2 bx c. El siguiente sistema se basa en los valores (0, 2), (0.2, 1.804), y (0.4, 1.216).

c 2.000 0.04a 0.2b 0.16a 0.4b

c c

1.804 1.216

Una manera de resolver este sistema es escribir la ecuacin matricial 0 0.04 0.16 0 0.2 0.4 1 1 1 a b c 2.000 1.804 1.216 4.9, b 0, y c 4.9x 2 2. 2,

y resolverla con una matriz inversa. La solucin es a de modo que la ecuacin que se ajusta a los datos es y

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7.2En esta leccin

Formas cuadrticas equivalentes

Aprenders sobre la forma de vrtice y la forma factorizada de una ecuacin cuadrtica, y sobre la informacin que cada forma proporciona relacionada a la grfica Usars la propiedad del producto cero para hallar las races de una ecuacin factorizada Escribirs un modelo cuadrtico para un conjunto de datos en las formas de vrtice, general, y factorizada

Una funcin polinomial de 2do grado se llama una funcin cuadrtica. En la Leccin 7.1, aprendiste que la forma general de una funcin cuadrtica es y ax 2 bx c. En esta leccin exploras otras formas de una funcin cuadrtica. Sabes que cada funcin cuadrtica es una transformacin de y x 2. Cuando una 2 y k x h 2 funcin cuadrtica se escribe de la forma a y a xbh k, sabes b que el vrtice de la parbola es (h, k) y que los factores de escala vertical y horizontal son a y b. A la inversa, si conoces el vrtice de una parbola y conoces (o puedes hallar) los factores de escala, entonces puedes escribir su ecuacin en una de estas formas. La funcin cuadrtica y a x b h k se puede reescribir de la forma a a y b 2 (x h)2 k. El coeficiente b 2 combina los dos factores de escala en un factor de escala vertical. En la forma de vrtice de una ecuacin cuadrtica, y a(x h)2 k, este nico factor de escala se denota simplemente con a. De esta forma puedes identificar el vrtice, (h, k), y el factor de escala vertical, a. Si conoces el vrtice de una parbola y el factor de escala vertical, puedes escribir una ecuacin en forma de vrtice. La propiedad del producto cero establece que para todos los nmeros reales a y b, si ab 0, entonces a 0 b 0, o alternativamente a 0 y b 0. Por ejemplo, si 3x(x 7) 0, entonces 3x 0 x 7 0. Por tanto, x 0 x 7. Las soluciones de una ecuacin de la forma f(x) 0 se llaman las races de la ecuacin, de modo que 0 y 7 son las races de 3x(x 7) 0. Las intersecciones x de una funcin tambin se llaman los ceros de la funcin (porque los valores y son 0). Se dice que la funcin y 1.4(x 5.6)(x 3.1), en el Ejemplo A de tu libro, est en forma factorizada porque se escribe como el producto de factores. Los ceros de la funcin son las soluciones de la ecuacin 1.4(x 5.6)(x 3.1) 0. En el Ejemplo A se muestra cmo puedes usar la propiedad del producto cero para hallar los ceros de la funcin. En general, la forma factorizada de una funcin cuadrtica es y a x r1 x r2 . En esta forma puedes identificar las intersecciones x (o ceros), r1 y r2, y el factor de escala vertical, a. A la inversa, si conoces las intersecciones x de una parbola y conoces (o puedes hallar) el factor de escala vertical, entonces puedes escribir la ecuacin en forma factorizada. Lee el Ejemplo B atentamente.2

Investigacin: RodandoLee Procedure Note (la nota de procedimiento) y los Pasos 13 en tu libro. Asegrate de que puedes imaginar cmo funciona el experimento. Usa estaDiscovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish2004 Key Curriculum Press

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Leccin 7.2 Formas cuadrticas equivalentes (continuacin)muestra de datos para completar los Pasos 48, y despus compara tus resultados con los siguientes. (Se han ajustado estos datos a la posicin de la lnea de inicio, como se describe en el Paso 3.)Tiempo (s) x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 Paso 4 Distancia desde la lnea (m), y 0.357 0.355 0.357 0.184 0.546 1.220 1.821 2.357 2.825 3.231 Tiempo (s) x 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 Distancia desde la lnea (m), y 3.570 3.841 4.048 4.188 4.256 4.257 4.193 4.062 3.871 3.619 Tiempo (s) x 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 Distancia desde la lnea (m), y 3.309 2.938 2.510 2.028 1.493 0.897 0.261 0.399 0.426 0.419

He aqu una grfica de los datos, que tienen una forma parablica. Pueden modelarse con una funcin cuadrtica. Ignorando los primeros y los ltimos datos (cuando la lata empieza a moverse y cuando se detiene), las segundas diferencias, D2, son casi constantes, lo cual implica que un modelo cuadrtico es apropiado.Paso 5 Las coordenadas del vrtice son (3.2, 4.257). Considera [ 1, 7, 1, (5.2, 0.897) como la imagen de (1, 1). Las distancias horizontal y vertical de (1, 1) desde el vrtice de y x 2 son ambas 1. La distancia horizontal de (5.2, 0.897) desde el vrtice, (3.2, 4.257), es 2 y la distancia vertical es 3.36. As pues, los factores de escala horizontal y vertical son 2 y 3.36, respectivamente. Esto se puede representar como el factor de escala vertical 3.236 0.84. Por tanto, la forma de vrtice de un modelo de los 2 datos es y 0.84(x 3.2)2 4.527.

1, 7, 1]

Sustituyendo los puntos (1, 0.546), (3, 4.256), y (5, 1.493) en la forma general, y ax 2 bx c, se obtiene el sistema a b c 0.546 9a 3b c 4.256 25a 5b c 1.493 La solucin de este sistema es a 0.81, b 5.10, y c 3.74, de modo que la forma general de la ecuacin es y 0.81x 2 5.10x 3.74.Paso 6 Paso 7 Las intersecciones x estn en aproximadamente (0.9, 0) y (5.5, 0). El factor de escala, hallado en el Paso 5, es 0.84. De modo que la forma factorizada de la ecuacin es y 0.84(x 0.9)(x 5.5). Paso 8

Utilizas la forma de vrtice cuando conoces el vrtice y el factor de escala, o el vrtice y algn otro punto que puedas usar para determinar el factor de escala. Utilizas la forma general cuando conoces cualesquiera tres puntos. Utilizas la forma factorizada cuando conoces las intersecciones x y al menos un punto para determinar el factor de escala. [ 1, 7, 1, 1, 7, 1]

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7.3En esta leccin

Completar el cuadrado

Usars el mtodo de completar el cuadrado para hallar el vrtice de una parbola cuya ecuacin se da en forma general Resolvers problemas que implican el movimiento de proyectiles

Muchos problemas reales implican encontrar el valor mnimo o mximo de una funcin. Para las funciones cuadrticas, el valor mximo o mnimo se presenta en el vrtice. Si tienes una ecuacin en forma de vrtice, fcilmente puedes hallar las coordenadas del vrtice de una parbola. Tambin es bastante sencillo hallar el vrtice si la ecuacin est en la forma factorizada. La cosa se complica si la ecuacin est en forma general. En esta leccin aprenders una tcnica para convertir una ecuacin cuadrtica de la forma general a su forma de vrtice. El movimiento de proyectilesel lanzamiento o la cada de objetos bajo la influencia de la gravedadpuede modelarse mediante funciones cuadrticas. La altura de un proyectil depende de la altura de que se tir, la velocidad hacia arriba con que se tir, y el efecto de la gravedad en el objeto. La altura se puede modelar por la funcin 1 2 y v0x s0 2 gx donde x es el tiempo en segundos, y es la altura (en metros o en pies), g es la aceleracin debida a la gravedad (9.8 m/s2 32 pies/s2), v0 es la velocidad inicial hacia arriba del objeto (en m/s o pies/s), y s0 es la altura inicial del objeto (en metros o en pies). Lee el Ejemplo A en tu libro, que ilustra cmo escribir una ecuacin de movimiento de proyectil cuando conoces solamente las intersecciones x (las dos ocasiones en que la altura es 0) y cmo usar las intersecciones x para encontrar las coordenadas del vrtice. Es importante entender que la coordenada x del vrtice de la parbola es la media de las intersecciones x. Este hecho te permite hallar el vrtice de una parbola a partir de la forma factorizada de su ecuacin. Observa los diagramas correspondientes a (x 5)2 y (a b)2 en tu libro. Asegrate de entender el patrn descrito despus de los diagramas.

Investigacin: Completa el cuadradoCompleta la investigacin en tu libro. Cuando hayas terminado, compara tus respuestas con las siguientes.Paso 1

a. Debes sumar 9. b. x 2 6x x 2 6x 9 9 (x 3)2 9 c. Introduce x 2 6x como Y1 y (x 3)2 9 como Y2, y verifica que los valores de la tabla o las grficas son las mismas para ambas expresiones.Paso 2

a. 9 b. x 2 6x 4 x 2 6x 9 9 4 (x 3)2 13 c. Introduce x 2 6x 4 como Y1 y (x 3)2 13 como Y2, y verifica que los valores de la tabla o las grficas son las mismas en ambas expresiones.Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish2004 Key Curriculum Press

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Leccin 7.3 Completar el cuadrado (continuacin)Paso 3

a. Pon la atencin en x 2 14x. Para completar un cuadrado perfecto, necesitas sumar 49. (Esto resulta en una expresin de la forma a2 2ab b 2, donde a xyb 7.) Necesitas restar 49 para compensar. As pues, x2 14x 3 x2 14x 49 49 3 (x 7)2 46b 2 2

b. Para hacer x 2 bx un cuadrado perfecto, debes sumar 2 restar b para compensar. As pues, 4 x2Paso 4

b2 4.

Necesitas

bx 6x

10 1

x2 2 x2 2 x2 2 x

bx 3x 3x 3 22

b2 4 1 9 4 7 2

b2 4

10

x

b 2

2

10

b2 46x.

a. 2x 2

Factoriza 2x 2

9 2 4

1

Completa el cuadrado. Debido a que sumas 2 9 , debes restar 2 9 . 4 4 Escribe la expresin en la forma a(x h)2 k.

b. ax 2

10x

7

a x2 a x2 a x

10 ax 10 ax 5 a c2

7 25 a2 7 25 a 25 a a2 7

Factoriza ax 2

10x.

Completa el cuadrado. Debido a que sumas a 25 , debes restar a 25 . a2 a2 Escribe la expresin de la forma a(x h)2 + k.

Paso 5

ax 2

bx

c

a x2 a x2 a x

b a b a b 2ab2 4a2

b2 4a 2 c

b2 4a b2 4a

c

Paso 6

Usando los resultados del Paso 5, puedes escribir yb 2 2a b 2a

ax 2 a(xb2 4a

bx h) .

c como k,

y

a x

c yk

. Esto est en forma de vrtice, y cb2 4a .

en la que h

As que el vrtice es

b 2a ,

c

Debido a tu trabajo en la investigacin, ahora conoces dos formas de encontrar el vrtice, (h, k), de una funcin cuadrtica dada en forma general, y ax 2 bx

c.

1. Puedes usar el proceso de completar cuadrados para reescribir la ecuacin en forma de vrtice, y a(x h)2 k, y despus leer el vrtice en la ecuacin modificada. b b2 2. Puedes usar las frmulas h c 4a para calcular las coordenadas 2a y k del vrtice directamente. Puedes usar cualquiera de los dos mtodos, pero asegrate de conocer bien la tcnica de completar cuadrados, pues tendrs que utilizarla en tu trabajo futuro. En el Ejemplo B en tu libro se muestran ambos mtodos. Trabaja ese ejemplo meticulosamente. En el Ejemplo C se aplica lo que aprendiste en la investigacin para resolver un problema de movimiento de proyectiles. Intenta resolver el problema por tu cuenta. 100CHAPTER 7


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LECCIN

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7.4En esta leccin

La frmula cuadrtica

Aprenders cmo se deriva la frmula cuadrtica Usars la frmula cuadrtica para resolver problemas de movimiento de proyectiles

Puedes usar una grfica para aproximar las intersecciones x de una funcin cuadrtica. Si puedes escribir la ecuacin de una funcin en forma factorizada, puedes hallar los valores exactos de sus intersecciones x. La mayora de las ecuaciones cuadrticas no se pueden convertir fcilmente a su forma factorizada. Aprenders como encontrar las intersecciones x exactas de cualquier funcin cuadrtica. Lee el Ejemplo A en tu libro atentamente, y despus lee el ejemplo siguiente.

EJEMPLO

Encuentra las intersecciones x de y

2x 2

7x

1.

Solucin

Las intersecciones x son las soluciones de 2x 2 7x 1 0. Intenta proporcionar el motivo de cada paso de la solucin siguiente. Observa que los primeros cuatro pasos implican reescribir el lado izquierdo de la forma a(x h)2 k. 2x 2 2 x2 2 x2 7 2x 49 16 2 x 7 4 7x 7 2x 49 82

1 1 1 41 8 7 4 7 42

0 0 0 0 41 8 41 16 41 4 7 47 4 41

2 x x x

2

7 4 x

41 4

7 4

417 4 41

Las intersecciones x son x

3.351 y x

0.149.

La serie de ecuaciones que viene despus del Ejemplo A en tu libro muestra cmo puedes derivar la frmula cuadrtica siguiendo los mismos pasos del Ejemplo A. La frmula cuadrtica, x b b2 2a 4ac

da la solucin general de una ecuacin cuadrtica de la forma ax 2 bx c 0. Sigue los pasos de la derivacin, usando papel y lpiz. Para asegurarte de que entiendes la frmula cuadrtica, sala para verificar que las soluciones de 41 7 41 7 2x 2 7x 1 0 son x = yx . 4 4Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish2004 Key Curriculum Press

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Leccin 7.4 La frmula cuadrtica (continuacin) Investigacin: Hasta qu altura?Completa la investigacin en tu libro, y despus compara tus respuestas con las siguientes.Paso 1

La ecuacin es y 16x 2 88x 3, donde y es la altura y x es el tiempo en segundos. (Si respondiste a esta pregunta errneamente, regresa al anlisis del movimiento de proyectiles en la Leccin 7.3.) La ecuacin es 24 16x 2 88x 3. c 0, la ecuacin es 16x 2 88x 21 0. 88, y c 21. Sustituyendo estos valores en la 88 32 6400 88 32 80

Paso 2 Paso 3

En la forma ax 2 bx Para esta ecuacin, a 16, b frmula cuadrtica, se obtiene x 88

882 4( 16)( 21) 2( 16)

88 80 88 80 Entonces, x 0.25 x 5.25. As que la pelota se encuentra a 32 32 24 pies por encima del suelo a los 0.25 segundos despus de golpeada (en su trayectoria de subida) y a los 5.25 segundos despus de golpeada (en su trayectoria de bajada).

El vrtice es el mximo. La pelota alcanza la altura mxima una sola vez. La pelota alcanza otras alturas una vez cuando sube y otra vez cuando baja, pero el punto mximo es la altura donde la pelota cambia de direccin, as que es alcanzado solamente una vez.Paso 4 Paso 5

La ecuacin es 124 16x 2 88x 3. En la forma ax 2 bx c 0, 2 la ecuacin es 16x 88x 121 0. Para esta ecuacin, a 16, b 88, y c 121. Sustituyendo estos valores en la frmula cuadrtica, se obtiene x 88 882 4( 16)( 121) 2( 16) 88 32 0 88 32 2.75

La pelota alcanza una altura mxima a los 2.75 segundos despus de golpeada. Se hace evidente que hay una sola solucin cuando te das cuenta de que el valor que est dentro del signo de raz cuadrada es 0.Paso 6

La ecuacin es 200 16x 2 88x 3. En la forma ax 2 bx c 0, 2 la ecuacin es 16x 88x 197 0. Para esta ecuacin, a 16, b 88, y c 197. Sustituyendo estos valores en la frmula cuadrtica, se obtiene x 88 882 4( 16)( 197) 2( 16) 88 32 4864

El valor dentro del signo de raz cuadrada es negativo. Debido a que la raz cuadrada de un nmero negativo no es un nmero real, la ecuacin no tiene solucin que sea nmero real. Tu trabajo en la investigacin muestra que cuando el valor que est dentro del signo de raz cuadrada, b 2 4ac, es 0, la ecuacin ax 2 bx c 0 tiene una sola solucin y que cuando el valor que est dentro del signo de raz cuadrada, b 2 4ac, es negativo, la ecuacin ax 2 bx c 0 no tiene solucin dentro de los nmeros reales. Esto significa que si tienes una ecuacin cuadrtica en forma general, puedes usar el valor b 2 4ac para determinar si la grfica tendr cero, una, o dos intersecciones x. El Ejemplo B en tu libro muestra la importancia de escribir una ecuacin en su forma general, antes de intentar aplicar la frmula cuadrtica. Lee el ejemplo atentamente. 102CHAPTER 7


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LECCIN

CONDENSADA

7.5En esta leccin

Nmeros complejos

Aprenders que algunas ecuaciones polinomiales tienen soluciones que son nmeros complejos Aprenders cmo sumar, restar, multiplicar, y dividir los nmeros complejos x2 x 2.5 no tiene intersecciones x.y 4

La grfica de y

4

2 2 4

2

4

x

Si usas la frmula cuadrtica para intentar encontrar las intersecciones x, obtienes x 1 12 4(1)(2.5) 2(1) 1 2 9

Los nmeros 1 2 9 y 1 2 9 no son nmeros reales porque contienen la raz cuadrada de un nmero negativo. Los nmeros en los que estn incluidos los nmeros reales, adems de las races cuadradas de nmeros negativos, se conocen como nmeros complejos. La definicin del conjunto de los nmeros complejos hace posible resolver ecuaciones como x 2 x 2.5 0 y x 2 4 0, que no tienen soluciones en el conjunto de los nmeros reales. Las races cuadradas de nmeros negativos se expresan usando una unidad imaginaria que se llama i y se define como i 2 1i 1 . Puedes reescribir 9 como 9 1 , 3i. Por tanto, las dos soluciones de la ecuacin cuadrtica anterior se pueden escribir como 1 2 3i y 1 2 3i , 1 3 i 2 2 y 1 3 i. Estas dos soluciones son un par conjugado, lo que significa que una 2 2 est en la forma a bi y la otra en la forma a bi. Los dos nmeros de un par conjugado son conjugados complejos. Las races de las ecuaciones polinomiales pueden ser nmeros reales o nmeros complejos no reales, o los dos. Sin embargo, siempre que el polinomio tenga coeficientes de nmeros reales, cualquier raz no real aparecer en par conjugado, como 3i y 3i 6 5i y 6 5i. En tu libro se define un nmero complejo como un nmero de la forma a bi, donde a y b son nmeros reales y i 1 . El nmero a se conoce como la parte real y el nmero b se conoce como la parte imaginaria. El conjunto de nmeros complejos incluye todos los nmeros reales y todos los nmeros imaginarios. Observa el diagrama en la pgina 392, donde se muestra la relacin entre estos nmeros y algunos otros conjuntos de nmeros que tal vez ya conozcas, as como ejemplos de nmeros de cada conjunto. Despus lee el ejemplo en tu libro, donde se muestra cmo resolver la ecuacin x 2 3 0.Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish2004 Key Curriculum Press

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Leccin 7.5 Nmeros complejos (continuacin) Investigacin: Aritmtica complejaEn esta investigacin descubrirs las reglas para realizar clculos con nmeros complejos. Parte 1: Adicin y sustraccin Sumar y restar nmeros complejos es parecido a combinar trminos semejantes. Usa tu calculadora para sumar o restar los nmeros de las Partes 1ad en tu libro. Despus haz una conjetura sobre cmo sumar los nmeros complejos sin calculadora. A continuacin estn las soluciones y una posible conjetura. a. 5 i b. 5 3i c. 1 9i d. 3 i Posible conjetura: Para sumar dos nmeros complejos, suma las partes reales y las partes imaginarias. En smbolos, (a bi) (c di) (a c) (b d)i. Parte 2: Multiplicacin Multiplicar los nmeros complejos a bi y c di es muy parecido a multiplicar los binomios a bx y c dx. Slo necesitas tener en mente que i 2 1. Multiplica los nmeros complejos de las Partes 2ad, y expresa las respuestas en la forma a bi. Las respuestas se muestran a continuacin. a. (2 4i)(3 5i) 2 3 6 6 6 26 b. c. d. 16 3i 12 16i 8 16i 2 5i 10i 2i 2i 2i 12i 20i 2 20( 1) 4i 3 20i 2 4i 5iDesarrolla como lo haras para un producto de binomios. Multiplica dentro de cada trmino. Combina 10i y i2 1 12i.

Combina 6 y 20.

Parte 3: Los conjugados complejos Completa las Partes 3ad, que implican hallar la suma o el producto de un nmero complejo y su conjugado. Las respuestas se muestran a continuacin. a. b. c. d. 4 14 20 32

Posibles generalizaciones: La suma de un nmero y su conjugado es un nmero real: (a bi) (a bi) 2a. El producto de un nmero real y su conjugado es un nmero real: (a bi)(a bi) a 2 b 2.(contina)

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Leccin 7.5 Nmeros complejos (continuacin)Parte 4: Divisin Para dividir dos nmeros complejos, escribe el problema de divisin como conjugado del denominador fraccin, multiplica por conjugado del denominador (para cambiar el denominador a un nmero real) y despus escribe el resultado de la forma a bi. Divide los nmeros de las Partes 4ad. Aqu tienes las respuestas. 7 2i 7 2i 1 i conjugado del denominador a. 1 i Multiplica por conjugado del denominador . 1 i 1 i 5 2 2.5 4.5i b. 0.56 0.92i c. 0.22 0.04i d. 0.6 0.8i 9iMultiplica. El denominador se vuelve un nmero real. Divide.

Los nmeros complejos pueden graficarse en un plano complejo, en el cual el eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario. El nmero a bi se representa mediante el punto cuyas coordenadas son (a, b). He aqu la grfica de los nmeros 3 4i y 4 i.Eje imaginario 5 3 4 5 i 5 Eje real 4i

5


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LECCIN

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7.6En esta leccin

Factorizacin de polinomios

Aprenders sobre las funciones cbicas Usars las intersecciones x de una funcin polinomial para ayudarte a escribir la funcin en forma factorizada

Las ecuaciones polinomiales y x 2 6x 9 y y (x 3)(x 3) son equivalentes. La primera est en forma general y la segunda est en forma factorizada. Escribir una ecuacin polinomial en forma factorizada es til para encontrar las intersecciones x, o ceros, de la funcin. En esta leccin aprenders algunas tcnicas para escribir los polinomios de grado superior en forma factorizada. Una funcin polinomial de 3er grado se llama una funcin cbica. Aqu se ve una grfica de la funcin cbica y 4x 3 16x 2 9x 36.y 50

(0, 36) Las intersecciones x de la funcin son 4, 1.5, y 1.5, de modo que su ecuacin factorizada debe estar en la forma y a(x 4)(x 1.5)(x 1.5). (4, 0) Para hallar el valor de a, puedes sustituir las coordenadas de otro punto de 5 la curva. La interseccin y es (0, 36). Sustituyendo este punto en la ecuacin, se obtiene 36 a(4)(1.5)( 1.5). Entonces, a 4 y la forma factorizada (1.5, 0) de la ecuacin es 50

(1.5, 0) 5 x

y

4(x

4)(x

1.5)(x

1.5)

Investigacin: La fbrica de cajasPuedes hacer una caja a partir de una hoja de papel de 16 por 20 unidades, cortando cuadrados de longitud x en las esquinas y doblando los lados hacia arriba. Sigue Procedure Note en tu libro para construir cajas de diferentes valores enteros de x. Registra las dimensiones y el volumen de cada caja. (Si no deseas construir las cajas, intenta dibujarlas en tu mente.) Completa la investigacin y despus compara tus resultados con los siguientes.Paso 1 Aqu se presentan los resultados para los valores enteros de x, de 1 hasta 6. Volumen y 252 384 420 384 300 192(contina)Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish2004 Key Curriculum Press CHAPTER 7

x x

x x

16

x x 20 x

x

x 1 2 3 4 5 6

Longitud 18 16 14 12 10 8

Ancho 14 12 10 8 6 4

Altura 1 2 3 4 5 6

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Leccin 7.6 Factorizacin de polinomios (continuacin)Paso 2 Las dimensiones de las cajas son 20 la funcin del volumen es y (16 2x)(20 Paso 3

2x, 16 2x)(x).

2x, y x. Por tanto,

Los puntos de datos se encuentran en la grfica de la funcin.

[ 2, 12, 1,Paso 4

200, 500, 100]

Si desarrollaras (16 2x)(20 2x)(x), el resultado sera un polinomio, y la mayor potencia de x sera 3. Por consiguiente, la funcin es una funcin polinomial de tercer grado.

Paso 5 Las intersecciones x de la grfica son 0, 8, y 10, de modo que la funcin es y x(x 8)(x 10). Paso 6 Las grficas tienen las mismas intersecciones x y la misma forma general, pero sus factores de escala verticales son diferentes. Un factor de escala vertical de 4 las hace equivalentes: y 4x(x 8)(x 10).

[ 2, 12, 1,8 8 Corta

200, 500, 100]8 Corta 8 16

Si x 0, no hay lados para doblar y no se puede formar una caja. Para x 8, se cortaran tiras de 8 unidades de ancho de los lados de la hoja. Doblar los lados significara doblar la tira restante a la mitad, lo cual no formara una caja.Paso 7

Un valor de x 10 es imposible porque es ms de la mitad de la longitud del lado ms corto de la hoja. En esta situacin, slo tiene sentido un dominio de 0 x 8. Al hacer un zoom y rastrear la grfica para hallar las coordenadas del punto ms alto, puedes hallar que el valor x de aproximadamente 2.94 maximiza el volumen.

8

Corta 8 20

Corta 8

8

Trabaja el ejemplo en tu libro, que te pide encontrar la forma factorizada de una funcin polinomial usando las intersecciones x de la grfica. Este mtodo funciona bien cuando los ceros de una funcin son valores enteros. Desafortunadamente, ste no es siempre el caso. En ocasiones, los ceros de un polinomio no son agradables valores racionales o enteros, y a veces ni siquiera son nmeros reales. En las funciones cuadrticas, si no puedes hallar los ceros factorizando o trazando la grfica, siempre puedes usar la frmula cuadrtica. Ya que conoces los ceros, r1 y r2, puedes escribir el polinomio de la forma y a x r1 x r2 . Lee el resto de la leccin en tu libro, y despus lee el ejemplo siguiente.(contina)

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Leccin 7.6 Factorizacin de polinomios (continuacin)EJEMPLOEscribe la ecuacin de la funcin siguiente en forma factorizada.y 2 2 2 4 6 8 2 4 6 (2, 2) 8 x

Solucin

La ecuacin factorizada est en la forma y a x r1 x r2 , donde r1 y r2 son los ceros. De la grfica, puedes ver que el nico cero real es 3. Si el otro cero fuera un nmero no real, entonces su conjugado tambin sera un cero. Esto significara la existencia de tres ceros, lo cual no es posible. As pues, 3 debe ser un doble cero. Esto quiere decir que la funcin est en la forma y a(x 3)(x 3), o y a(x 3)2. Para hallar el valor de a, sustituye (2, 2): 2 a( 1)2, de modo que a 2. La forma factorizada de la funcin es y 2(x 3)2.


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7.7En esta leccin

Polinomios de grado superior

Describirs los valores extremos y el comportamiento extremo de las funciones polinomiales Resolvers un problema que implica la maximizacin de una funcin polinomial Escribirs ecuaciones para unas funciones polinomiales con intersecciones dadasy

A menudo los polinomios con grado 3 o mayor se conocen como los polinomios de grado superior. Aqu se muestra la grfica del polinomio y x(x 3)2, 3 2 y x 6x 9x. La propiedad del producto cero te dice que los ceros son x 0 y x 3, los valores de x para los que y 0. Las intersecciones x de la grfica lo confirman. La grfica tiene otras caractersticas claves, adems de las intersecciones x. El punto (1, 4) se llama un mnimo local porque es ms bajo que los otros puntos cercanos a l. El punto (3, 0) se llama un mximo local porque es ms alto que los otros puntos cercanos a l. Puedes describir el comportamiento extremo de la grfica, es decir, lo que sucede en la grfica a medida que los valores x aumentan en las direcciones positiva y negativa. En esta grfica, a medida que x toma valores positivos ms grandes, y se vuelve cada vez ms negativa. A medida que x toma valores negativos ms grandes, y se vuelve cada vez ms grande. En la introduccin a la Leccin 7.7 en tu libro, se da otro ejemplo de un polinomio de tercer grado y su grfica. La grfica de una funcin polinomial con coeficientes reales tiene una interseccin y, posiblemente una o ms intersecciones x, y otras caractersticas como mximos o mnimos locales y su comportamiento extremo. Los mximos y mnimos se llaman valores extremos.2

2 2 2 4 6 (1, 4) 4 6 x

Investigacin: El tringulo mayorEmpieza con una hoja de papel de 8.5 por 11 pulg. En centmetros, las dimensiones son 21.5 por 28 cm. Orienta el papel de modo que el lado largo quede horizontal. Dobla la A esquina superior izquierda de modo x que toque algn punto del lado 2, inferior. Encuentra el rea, en cm del tringulo que se forma en la esquina inferior izquierda.

A x

Qu distancia, x, a lo largo del lado inferior de la hoja, produce el tringulo con mayor rea? Para responder esta pregunta, primero encuentra una frmula para el rea del tringulo en trminos de x. Trata de hacerlo por tu cuenta, antes de seguir leyendo. He aqu una manera de encontrar la frmula: sea h la altura del tringulo. Entonces la hipotenusa tiene una longitud de 21.5 h. (Por qu?)Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish2004 Key Curriculum Press

h

21.5

h

x (contina)CHAPTER 7

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Leccin 7.7 Polinomios de grado superior (continuacin)Usa el teorma de Pitgoras para ayudarte a escribir h en trminos de x. 462.25 x 2 x 2 h 2 (21.5 h)2, entonces h 43 Ahora puedes escribir una frmula para el rea, y. y 1 462.25 2x 43 x2

Aqu se presenta una grfica de la funcin del rea. Si rastreas la grfica, encontrars que el punto mximo se ubica en aproximadamente (12.4, 44.5). Por tanto, el valor de x que da la mayor rea es aproximadamente 12.4 cm. El rea mxima es aproximadamente 44.5 cm2. [ 5, 25, 5, El Ejemplo A en tu libro muestra cmo encontrar la ecuacin para un polinomio dadas las intersecciones x y una interseccin y. Lee el ejemplo atentamente. Para evaluar tu comprehensin, encuentra una funcin polinomial con las intersecciones x de 6, 2, y 1, y la interseccin y de 60. (Una respuesta es y 5(x 6)(x 2)(x 1).) Las Grficas A a D en la pgina 407 de tu libro muestran las formas posibles de la grfica de una funcin polinomial de tercer grado. La Grfica A es la grfica de la funcin madre y x 3. La grfica de cualquier otro polinomio de tercer grado ser una transformacin de la Grfica A. El Ejemplo B en tu libro muestra cmo encontrar una funcin polinomial con ceros dados, cuando algunos de ellos son ceros complejos. La clave para encontrar la solucin es recordar que los ceros complejos vienen en pares conjugados. Lee ese ejemplo atentamente, y despus lee el ejemplo siguiente. 10, 50, 10]

EJEMPLO

Encuentra una funcin polinomial de cuarto grado con coeficientes reales y ceros x 2, x 3, y x 1 i. Los ceros complejos se presentan en pares conjugados, de modo que x 1 i tambin debe ser un cero. As pues, una posible funcin, en forma factorizada, es y (x 2)(x 3)(x (1 i))(x (1 i))

Solucin

Multiplica los factores para obtener un polinomio en forma general. y (x x2 x2 x2 x4 x4 2)(x x x x 2x 3 3x 3 3)(x 6 x2 6 x2 6 x2 2x 2 2x 2 (1 (1 x 2x x3 10x i))(x i)x ix 2 2x 2 12 2x 6x 2 12x 12 x (1 ix (1 i)) i)x 2 (1 i)(1 i)

Verifica la solucin haciendo una grfica. (Slo vers los ceros reales.) Observa que una funcin polinomial de grado n siempre tiene n ceros. Sin embargo, algunos ceros pueden ser nmeros no reales, y es posible que la funcin no tenga n intersecciones x. 112CHAPTER 7


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7.8En esta leccin

Ms sobre cmo encontrar soluciones

Usars la divisin larga para hallar las races de un polinomio de grado superior Usars el Teorema de la raz racional para encontrar todas las posibles races racionales de un polinomio Usars la divisin sinttica para dividir un polinomio entre un factor lineal

Puedes encontrar los ceros de una funcin cuadrtica factorizando o usando la frmula cuadrtica. En ocasiones puedes usar una grfica para hallar los ceros de los polinomios de grado superior, pero este mtodo puede darte solamente una aproximacin de los ceros reales, y no funcionar en lo absoluto para encontrar los ceros no reales. En esta leccin aprenders un mtodo para hallar los ceros exactos, reales y no reales, de muchos polinomios de grado superior. El Ejemplo A en tu libro muestra que, si conoces algunos de los ceros de una funcin polinomial, en ocasiones puedes usar la divisin larga para hallar las otras races. Sigue este ejemplo usando papel y lpiz. Asegrate de entender cada paso. Para confirmar que un valor es un cero de una funcin polinomial, sustityelo en la ecuacin, para verificar que el valor de la funcin es cero. En este proceso se utiliza el Teorema del factor, que establece que (x r) es un factor de una funcin polinomial P(x) si y solamente si P(r) 0. Cuando divides los polinomios, asegrate de escribir tanto el divisor como el dividendo de modo que los trminos estn en orden decreciente segn el grado. Si no est presente ningn grado, inserta un trmino con coeficiente 0, para preservar el lugar. Por ejemplo, para dividir x 4 13x 2 36 entre x 2 9, reescribe x 4 13x 2 36 como x 4 0x 3 13x 2 0x 36 y x 2 9 como x 2 0x 9. El problema de divisin siguiente muestra que x 4 13x 2 36 x2 9 x2 4 . x2 0x x2 9 x4 x4 4 0x 3 0x 3 13x 2 9x 2 4x 2 4x 2 0x 0x 0x 36 36 36 0

En el Ejemplo A, encontraste algunos ceros a partir de la grfica. Si las intersecciones x de una grfica no son enteras, la identificacin de los ceros puede resultar difcil. El Teorema de la raz racional te dice cules nmeros racionales podran ser ceros. Establece que si la ecuacin polinomial P(x) 0 tiene races p racionales, entonces son de la forma q , donde p es un factor del trmino constante y q es un factor del coeficiente del trmino de mayor grado. Observa que este teorema te ayuda a encontrar solamente las races racionales. El Ejemplo B muestra cmo se utiliza el teorema. Trabaja ese ejemplo y despus lee el ejemplo siguiente.(contina)Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish2004 Key Curriculum Press CHAPTER 7

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Leccin 7.8 Ms sobre cmo encontrar soluciones (continuacin)EJEMPLOEncuentra las races de 7x 3 3x 2 56x 24 0.

Solucin

Aqu se muestra la grfica de la funcin y 7x 3 3x 2 56x 24. Ninguna de las intersecciones x son enteras. El Teorema de la raz racional te dice que cualquier raz racional ser un factor de 24 dividida entre un factor de 7. Los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, y 24. Los factores [ 3, 3, 1, 60, 60, 10] de 7 son 1 y 7. Sabes que no hay races enteras, de modo 1 2 3 4 6 que slo necesitas considerar los nmeros 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 8 12 24 3y 7, 7,y 7 . La grfica indica que una de las races se encuentra entre 2. Ninguna de las posibilidades se encuentra en ese intervalo. Otra raz es un poco menor que 1 . sta podra ser 3 . Intenta sustituyendo 3 en el polinomio. 2 7 7 3 7 73

3 3 7

2

3 56 7

24

27 49

27 49

24

243 7

0 es un factor. Usa la divisin

Entonces, 3 es una raz, lo cual significa que x 7 para separar este factor del polinomio. x3 7

7x 2 7x 3 7x 3

56 3x 2 3x 2

56x 56x 56x

24 24 24 0 0. 8.

As que 7x 3 3x 2 56x 24 0 es equivalente a x 3 7x 2 56 7 Para hallar las otras races, resuelve 7x 2 56 0. Las soluciones son x Por tanto, las races son x 3 , x 8, y x 8. 7 La divisin sinttica es un mtodo corto para dividir un polinomio entre un factor lineal. Lee el resto de la leccin en tu libro para ver cmo usar la divisin sinttica. A continuacin se presenta un ejemplo en el que se usa la divisin sinttica para hallar7x 3 3x 2 x 56x3 7

24

. Observa que en el ejemplo anterior,

encontraste este mismo cociente usando la divisin larga. Cero conocido Coeficientes de 7x 3 3x 2 56x 24

3 _ 7

73 2 _ 7 7

3 3 07x 3 3x 2 x 3 7 56x3 7

565 Suma3 4 _ 0 7

247 Suma7

1 Baja 3 Suma

06 _ 3 567x 3

56

24 0

7El resultado demuestra que 7x 3 114 3x 2 56x 24 x

24

56, de modo que

7x 2

56 .Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish2004 Key Curriculum Press

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funciones polinominales

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