Funciones polinómicas

Características y representación

Vamos a ver cómo podemos esbozar la gráfica de una función polinómica siguiendo unos pocos pasos.

Veremos también algunas de las características de este tipo de funciones.

Para ello utilizaremos como ejemplo la función f(x)=x3-3x2+4

Funciones polinómicasf(x)=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0

Para hallar el corte con el eje OX, igualamos a cero, es decir, hallamos las raíces del polinomio.

1. Corte con el eje OX

Las raíces son:x=-1x=2

Como máximo, puede cortar al eje

OX en n puntos.(n=grado del

polinomio)

Dibujamos los puntos obtenidos de corte con el eje OX

El corte con el eje OY, al igual que en las funciones lineales y cuadráticas, viene dado por el término independiente: P=(0,a0)

2. Corte con el eje OY

En nuestro caso, será el punto (0,4)

Añadimos el punto obtenido de corte con el eje OY

El dominio de una función polinómica siempre es toda la recta real.

Las funciones polinómicas no tienen asíntotas verticales, horizontales u oblícuas.

3. Tabla de valores

Por tanto vamos a completar con una tabla de valores. Daremos valores cercanos a los puntos que ya hemos obtenido.

x y

-2 -16

1 2

3 4

El primer punto (-2,-16) se sale de la gráfica.

No importa, pues vamos a añadir más, ya que necesitamos más información

Añadimos algunos valores más para ver cómo se comporta la función.

En temas posteriores veremos cómo averiguar los puntos máximos y mínimos de la función, así como su monotonía, curvatura y puntos de inflexión. Estos datos harán más sencilla la representación gráfica de funciones polinómicas.

x y

-1,5 -6,125

2,5 0,875

Con estos puntos ya podemos hacernos una idea más aproximada de la gráfica de la función

Unimos los puntos con segmentos para tener una primera imagen.

Pero la gráfica de una función polinómica no puede tener “picos”, sino que debe ser curva en todo su dominio. Veremos en próximos temas que esto es así porque es una función derivable.

Otro par de datos que te pueden ayudar son los siguientes:

• El número de máximos y mínimos relativos es, a lo sumo, igual a n-1.

• El número de puntos de inflexión es, a lo sumo, igual a n-2.

Si eliminamos los picos y continuamos la gráfica, nos queda de esta forma:

Que es la gráfica que buscábamos