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UNIVERSIDAD DE COSTA RICAESCUELA DE MATEMATICA
DPTO. DE MATEMATICA APLICADAMA 0001 PRECALCULO
FUNCIONES I
Daniel Mena GonzalezKattia Rodrıguez Ramırez
Indice general
1. Analisis de graficas 1
2. Funcion Polinomial 111. Raıces y factores de funciones de grado mayor o igual a tres . . . . . . . . . . . . 172. Acercamiento al Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3. Funcion Racional 271. Fracciones algebraicas racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322. Division de polinomios y fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403. Acercamiento al Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4. Funcion Radical 511. Racionalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582. Acercamiento al Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
I
Capıtulo 1Analisis de graficas
En este capıtulo interesa realizar el estudio de la grafica de una funcion real a partir de su re-presentacion en el sistema de coordenadas cartesianas, a partir de la lectura y analisis de lagrafica, en cuanto al dominio, ambito, imagen, preimagen, coordenadas de interseccion con losdos ejes, ecuacion de la asıntota vertical, horizontal u oblicua, intervalos donde la funcion esconstante, estrictamente creciente y estrictamente decreciente, puntos maximos, puntos mıni-mos, intervalos donde la funcion es convexa (concavidad hacia arriba) o concava (concavidadhacia abajo), puntos de inflexion, signo de la funcion (mayor o menor que cero, mayor o menorque un numero dado).
A continuacion se enuncian algunas definiciones basicas, ademas en el esquema de la figura 1se presentan algunos contenidos practicos respecto al tema que ayudan a realizar el estudio dela grafica de una funcion real.
Definicion 1
Dada una funcion real f : Df → R si ]x1, x2[ ⊆ Df tal que a, b ∈ ]x1, x2[ dondea < b si:
� f(a) < f(b) se dice que f es una funcion estrictamente creciente en ]x1, x2[
� f(a) > f(b) se dice que f es una funcion estrictamente decreciente en ]x1, x2[
Definicion 2
Dada una funcion real f : Df → R si ]a, b[ ⊆ Df tal que ∀ x ∈ ]a, b[ si:
� f(x) > 0 se dice que f es una funcion positiva en ]a, b[
� f(x) < 0 se dice que f es una funcion negativa en ]a, b[
1
2 Funciones reales
Figura 1. Estudio de la grafica de una funcion (Elaborado por uno de los autores)
Funciones reales 3
Ejemplo 1. Considere el trazo de la grafica de la funcion real f y determine el dominio, puntos deinterseccion con los ejes, ambito, una preimagen de−1 , el conjunto donde f es estrictamente creciente yconstante, el maximo de f , un punto maximo y mınimo local, un intervalo donde f es concava, el puntode inflexion y la ecuacion de la asıntota vertical.
f : Df → R
Solucion
Para dar respuesta a los distintos ıtemes consultados, se considera la teorıa expuesta anteriormente.
a. Dominio:]−∞,
−7
2
[∪ [−3,+∞[
b. ∩x : (−3, 0), (−1, 0), (1, 0)
c. ∩y : (0, 1)
d. Ambito: ]−∞, 1] ∪ {2}
e. Una preimagen de −1: −2
f. Conjunto f estrictamente creciente: ]−2, 0[
g. Conjunto donde f es constante: ]2,+∞[
h. El valor maximo de f es: 2
i. Un punto maximo local es: (0, 1)
j. Un punto mınimo local es: (−2,−1)
k. Un intervalo donde f es concava: ]−1, 2[
l. El punto de inflexion es: (−1, 0)
m. Ecuacion de la asıntota vertical: x =−7
2
4 Funciones reales
Cabe destacar que cuando se pregunta por conjunto se refiere al mayor intervalo real que cumple la con-dicion dado.
Ejemplo 2. Considere el trazo de la grafica de la funcion real h y determine el dominio, puntos de in-terseccion con los ejes, ambito, signo de una imagen, el conjunto donde f es estrictamente decreciente,punto mınimo local, un intervalo donde f es convexa, y la ecuacion de la asıntota oblicua.
h : Dh → R
Solucion
Para dar respuesta a los distintos ıtemes consultados, se considera la teorıa expuesta anteriormente.
a. Dominio: R− {1}
b. ∩x : (−1, 0)
c. ∩y : (0, 2)
d. Ambito: R
e. Signo de la imagen de −123: negativo
f. Conjunto f estrictamente decreciente: ]1, 2. 8[
g. Un punto mınimo local es: (2. 8, 4. 97)
h. Un intervalo donde f es convexa: ]−∞, 1[
i. Ecuacion de la asıntota oblicua si la pendientees 1: y = x + 1
Funciones reales 5
Ejercicios 1.
I. De acuerdo con la informacion de cada grafica responda, en los espacios delineados, lo solicitado.
1. f : Df → R 2. h : Dh → R
Dominio: Dominio:
∩x : ∩x :
∩y : ∩y :
Ambito: Ambito:
Una preimagen de −1: Imagen de −4:
Conjunto f estrictamente decreciente: Conjunto h estrictamente creciente:
Conjunto solucion f(x) > 0 : Conjunto solucion h(x) > 2:
Intervalo donde f es concava: Intervalo donde h es convexa:
Ecuacion asıntota vertical: Ecuacion asıntota horizontal:
Conjeture:¿Hacia donde tienden los valores de f(x) cuando xse aproxima a 2 por la izquierda o derecha?
El comportamiento de los valores de f(x) cuando xse aproxima a −3 por la izquierda o derecha.
¿Si la funcion f es continua en el intervalo[−5, 2] y en el [−7,−5]?
6 Funciones reales
3. p : Dp → R 4. m : Dm → R
Dominio: Dominio:
∩x : ∩x :
∩y : ∩y :
Ambito: Ambito:
Imagen de 4: Una preimagen de 3:
Un intervalo donde p es decreciente: Un intervalo donde m es creciente:
Conjunto solucion p(x) < 0 : Conjunto solucion m(x) > 0:
Intervalo donde p es convexa: Intervalo donde m es convexa:
Ecuacion asıntota vertical: Ecuacion asıntota oblicua si la pendiente es −1:
Ecuacion asıntota horizontal: Ecuacion asıntota vertical:
Valor numerico de p(−2) · p(4): Valor numerico de 3m(10):
Conjeture: Conjeture:
¿Hacia donde tienden los valores de p(x) cuando x ¿Que sucede a los valores de m(x) cuando x
se aproxima a 3 por la izquierda o derecha? se aproxima a 6 por la izquierda o derecha?
Funciones reales 7
Cabe destacar que el signo de una funcion se puede responder a partir del trazo de la graficacomo se trabajo en los ejemplos anteriores, pero tambien a partir del criterio de la funcion locual se explica en la siguiente seccion.
Ejercicios Complementarios 1.
1. Determinar a partir de la grafica de la funcion f :
i. Dominio
ii. Ambito
iii. Intersecciones con los ejes
iv. Intervalos de monotonıa. Puntos maximos y mınimos (locales, absolutos)
v. Intervalos de concavidad. Puntos de inflexion.
vi. Ecuaciones de las asıntotas (si corresponde)
viii. Signo de la funcion (f(x) < 0, f(x) > 0)
a.
b.
8 Funciones reales
c.
d.
Funciones reales 9
e.
f.
g.
10 Funciones reales
Capıtulo 2Funcion Polinomial
Muchos fenomenos que se presentan a su alrededor estan modelados por algunas funcionesreales, este capıtulo se dedicara a una de ellas la funcion polinomial; donde, se mencionan algu-nos contenidos algebraicos necesarios para trabajar con este tipo de funcion como tecnicas defactorizacion, teorema del factor, del residuo y division sintetica.
Una funcion polinomial se define como
f : R→ R, f(x) = anxn + an−1x
n−1 + ... + a2x2 + a1x + a0; donde an, ... , a0 ∈ R,
an 6= 0 y los exponentes de la variable x son numeros naturales
Las funciones polinomiales se pueden clasificar segun el grado de la variable, por ejemplo:
� Funcion constante f : R→ R, f(x) = a0� Funcion lineal f : R→ R, f(x) = a1x + a0, con a1 6= 0� Funcion cuadratica f : R→ R, f(x) = a2x
2 + a1x + a0, con a2 6= 0� Funcion cubica f : R→ R, f(x) = a3x
3 + a2x2 + a1x + a0, con a3 6= 0
Si el criterio de la funcion es de grado mayor o igual que cuatro las funciones se pueden nom-brar como funcion de cuarto orden y ası sucesivamente.
Aparte de conocer el nombre de las funciones es importante conocer el trazo de la grafica paraalgunas funciones basicas, las coordenadas de interseccion con los ejes, ası como el ambito.
Ejemplo 3. A continuacion se muestran las graficas de ciertas funciones polinomiales, observe su trazoy responda la informacion solicitada en cada caso.
11
12 Funciones reales
1. g : R → R, g(x) = x 2. h : R → R, h(x) = x2
∩x : ∩x :
∩y : ∩y :
Ambito: Ambito:
3. k : R → R, k(x) = x3 4. m : R → R, m(x) = x4
∩x : ∩x :
∩y : ∩y :
Ambito: Ambito:
Cuando al criterio de las funciones basicas se le aplican algunas transformaciones las coordena-das de interseccion con los ejes cambian, y se necesitan de algunos procedimientos algebraicospara poder determinar estas si no se cuenta con el trazo de la grafica.
Funciones reales 13
Ejemplo 4. A continuacion se muestran algunos ejemplos de funciones reales con sus respectivas grafi-cas, observe su trazo y responda la informacion solicitada en cada caso.
1. f : R → R, f(x) =3
2x− 5 2. h : R → R, h(x) = −x2 + 3
∩x : ∩x :
∩y : ∩y :
3. g : R → R, g(x) = x3 − 1 4. p : R → R, p(x) = x4 + 1
∩x : ∩x :
∩y : ∩y :
14 Funciones reales
Ahora bien, si en un ejercicio se da el criterio de la funcion pero no su representacion grafica,conviene conjeturar acerca del contenido matematico que puede utilizar para determinar lascoordenadas de interseccion con los ejes:
a. Eje x
b. Eje y
Por ejemplo, para determinar las coordenadas de interseccion de la grafica del item 2, 3 y 4 delejemplo 2 con los ejes coordenados puede utilizar alguna de las tecnicas de factorizacion paraescribir el criterio de la funcion de forma factorizada, de ahı que es importante estudiar algunasde esas tecnicas (ver figura 1).
Figura 1. Tecnicas de factorizacion 1
1Elaborado por uno de los autores
Funciones reales 15
Ejemplo 5. Considere las funciones dadas, factorice el criterio y determine los puntos de interseccioncon el eje x.
a. h : R → R, h(x) = −x2 + 3
b. g : R → R, g(x) = x3 − 1
c. p : R → R, p(x) = x4 + 1
Solucion
Como el criterio de la funcion h y g estan formados por polinomios que constan de dos terminos se apli-ca la tecnica de diferencia de cuadrados y diferencia de cubos, de acuerdo con la informacion de la figura 1.
a. h : R → R, h(x) = −x2 + 3
Al determinar la raız cuadrada de cada uno de los terminos del binomio el criterio de la funcion hse reescribe como:
h(x) = 3− x2
h(x) =(√
3− x) (√
3 + x)
Ahora, se iguala el criterio a 0 y se resuelve la ecuacion para determinar los puntos de interseccioneje x.
0 = (√
3− x)(√
3 + x)
⇔ 0 =√
3− x o 0 =√
3 + x Aplique el teorema: a · b = 0 ⇔ a = 0, b = 0
⇔ x = ±√
3
∴ ∩x :(−√
3, 0),(√
3, 0)
b. g : R → R, g(x) = x3 − 1
Al determinar la raız cubica de cada uno de los terminos del binomio el criterio de la funcion g sereescribe como:
g(x) = x3 − 1
16 Funciones reales
g(x) = (x− 1) (x2 + x + 1)
Ahora, se iguala el criterio a 0 y se resuelve la ecuacion para determinar los puntos de interseccioneje x.
0 = (x− 1) (x2 + x + 1) Aplique diferencia de cubos
⇔ 0 = x− 1 o 0 = x2 + x + 1 Aplique el teorema: a · b = 0 ⇔ a = 0, b = 0
⇔ x = 1, dado que el trinomio x2 + x + 1 tiene ∆ < 0 y no tiene ceros reales.
∴ ∩x : (1, 0)
Es importante aclarar aquı que para estas dos funciones la calculadora cuenta con el modulo deresolucion de ecuaciones cuadraticas y cubicas. A continuacion se muestra la ruta a seguir:
• Tecla MODE
• Tecla 5 (EQN)
• Tecla 3 (ax2 + bx + c = 0) o Tecla 4 (ax3 + bx2 + cx + d = 0)
• Se introduce cada coeficiente numerico seguido de la tecla =
• Se oprimie la tecla = y se muestran las raıces o soluciones
c. p : R → R, p(x) = x4 + 1
El criterio de la funcion p corresponde a una suma de binomios de grado 4 y al observar su graficase concluye que solo interseca al eje y, lo cual podrıa interpretarse como que el polinomio no sefactoriza; sin embargo, resulta esto no puede generalizarse puesto que, la tecnica de completar elcuadrado (que se analizara en la segunda parte del curso) permite obtener su factorizacion con dosfactores cuadraticos irreducibles.Lo anterior se refiere a que p(x) =
(x2 +
√2 x + 1
) (x2 −
√2 x + 1
)Ejercicios 2.
I. Reescriba los criterios de las funciones dadas con dominio y codominio R de forma factorizada y escribalos puntos de interseccion de la grafica de la funcion con los ejes coordenados, si existen.
a. f(x) = x2 − 5
b. g(x) = x5 + x4 + 3x3 + 3x2 + 2x + 2
c. h(x) = 3x2 + 5x− 2
Funciones reales 17
d. p(x) = x4 − 9
Hasta el momento las funciones que se han trabajado tienen por criterio un polinomio de gradouno, dos o cuatro; a continuacion se presentan algunos polinomios de grado mayor o igual quetres para determinar los puntos de interseccion de la grafica de una funcion con el eje x, paraello se requiere aplicar otros contenidos los cuales se explican en el siguiente apartado.
2.1. Raıces y factores de funciones de grado mayor o igual a tres
Para determinar las coordenadas de interseccion con el eje x de la grafica de una funcion cuyocriterio es un polinomio de grado mayor o igual a tres puede aplicar la tecnica de factorizacionusando division sintetica, pero antes es necesario hacer referencia a dos teoremas.
Teorema del residuo:
Teorema
Si un polinomio P (x) se divide por un binomio de la forma x− b, con b ∈ R el residuode la division es P (b)
Ejemplo 6. Si el criterio de la funcion f : R → R, f(x) = 2x3 − 7x − 6 se divide por el binomio(x− 3) determine el residuo de esta division.
Solucion
Si se aplica el teorema anterior el residuo se obtiene al evaluar la funcion en x = 3, es decir determinarf(3), ası que
f(3) = 2 · (3)3 − 7 · 3− 6
f(3) = 27
Teorema del factor:
Teorema
Un polinomio P (x) tiene un factor de la forma x− b, con b ∈ R sı y solo si P (b) = 0
18 Funciones reales
Ejemplo 7. Para la funcion p : R → R, p(y) = 2y3 − 5y2 − y + 6 determine si las expresionesy + 2, y + 1 son factores del criterio de la funcion p.
Solucion
Si se aplica el teorema del factor, al evaluar p(−2) y p(−1) se debe obtener 0, es decir, se busca verificar
quep(y)
y + 2y que
p(y)
y + 1tengan como residuo cero, ası que
p(−2) = 2 · (−2)3 − 5 · (−2)2 − (−2) + 6
p(−2) = −28
Como p(−2) 6= 0⇒ y + 2 no es un factor de p(y)
p(−1) = 2 · (−1)3 − 5 · (−1)2 − (−1) + 6
p(−1) = 0
Como p(−1) = 0⇒ y + 1 si es un factor de p(y)
Ejemplo 8. Para la funcion f : R → R, f(x) = 2x3− x2− 13x− 6 determine si x =−1
2es una raız
de f(x).
Solucion
Al aplicar los teoremas anteriores se debe evaluar f
(−1
2
)y si el residuo es cero esto significa que
x =−1
2es una raız de la f(x):
f
(−1
2
)= 2
(−1
2
)3
−(−1
2
)2
− 13 ·(−1
2
)− 6
f
(−1
2
)= 0
⇒ x =−1
2es una raız o cero de la funcion, ademas se puede afirmar que el par ordenado(
−1
2, 0
)es una interseccion de la grafica de la funcion con el eje x.
Por otro lado, se tiene que x +1
2es un factor del criterio.
Funciones reales 19
Ejemplo 9. Para la funcion g : R → R, g(y) = y3 − 4y2 + ky − k + 6 con k ∈ R una constante sise sabe que y + 2 es un factor de g(y) determine el valor de la constante k y el criterio de la funcion g.
Solucion
Como y + 2 es un factor de g(y) al aplica el teorema del factor esto significa que g(−2) = 0:
g(−2) = (−2)3 − 4 · (−2)2 + (−2) · k − k + 6
0 = −18− 3k
18 = −3k
−6 = k
Luego, al sustituir el valor de k = −6 en el criterio de la funcion se obtiene g(y) = y3−4y2−6y+12
Ahora bien, conociendo los dos teoremas ( del residuo y del factor), hace falta enunciar el pro-cedimiento de la division sintetica para factorizar o para determinar las raıces del criterio deuna funcion.
El procedimiento de la division sintetica se fundamenta en que si b es una raız o un cero de un po-linomio en una variable entonces (x− b) es una factor del polinomio y por ende un factor de lafactorizacion completa del criterio de la funcion. La division sintetica es un metodo abreviadoen donde se trabaja con los coeficientes numericos del polinomio y se utilizan las operacionesaritmeticas de multiplicacion y suma.
Para determinar el valor de b que hace cero a una funcion polinomial f : R → R, f(x) =anx
n +an−1xn−1 + ...+a2x
2 +a1x+a0; con an, ... , a0 ∈ Z, an 6= 0 donde el grado de n > 1 hayque determinar los cocientes
( c
d
)entre los divisores del termino constante (a0) del polinomio con
los divisores del coeficiente del termino de mayor exponente (an) , llamado coeficiente principal. Aeste resultado se le conoce como teorema de las raıces racionales. Para realizar este procedimientoel criterio de la funcion debe estar ordenado en forma descendente.
Ejemplo 10. Para la funcion g : R → R, g(x) = 2x3 − x2 − 13x − 6 determine los puntos deinterseccion de la grafica con los ejes coordenados, si existen.
Solucion
Para determinar el par ordenado de interseccion con el eje y basta con determinar la imagen de 0, dadoque es un elemento del dominio de la funcion:
20 Funciones reales
g(0) = 2 · (0)3 − (0)2 − 13 · 0− 6g(0) = −6⇒ ∩y : (0,−6)
Para determinar el par ordenado de interseccion de la grafica de la funcion con el eje x se utiliza ladivision sintetica, teorema del residuo y del factor, para ello hay que determinar todos los divisores delcoeficiente de grado cero (termino constante) y los divisores del coeficiente principal en el criterio de lafuncion g(x) = 2x3 − x2 − 13x− 6.
Los divisores de 6 son {±1, ±2, ±3, ±6}
Los divisores de 2 son {±1, ±2}
Las posibles raıces o ceros racionales son{±1, ±2, ±3, ±6, ±1
2, ±3
2
}
Cabe indicar que las posibles raıces racionales enteras son {±1, ±2, ±3, ±6} y las racionales no
enteras son{±1
2, ±3
2
}Realice la division sintetica con cada una de las posibles raıces racionales, aquella donde el residuode la division sea cero significa que ya tiene un cero de la funcion.
2 -1 -13 -6 12 1 -12
2 1 -12 - 18Note que x = 1 no es un cero de la funcion porque el residuo es−18 y no 0
Esto implica que debe continuar probando hasta determinar los ceros de la funcion, si es que los hay.
2 -1 -13 -6 -2-4 10 6
2 -5 -3 0Note que x = −2 es un cero de la funcion g porque el residuo es 0
Busque si la funcion tiene otros ceros, para ello puede continuar con division sintetica o bien ana-lizar el ∆ de la expresion 2x2 − 5x − 3 que es el polinomio resultante despues de realizar laprimera division donde el residuo es cero.
2 -5 -3 36 3
2 1 0x = 3 es otro cero de la funcion g porque el residuo es 0
Luego, se obtiene la expresion 2x + 1 y el valor que la hace cero es x =−1
2
∴ ∩x son (−2, 0), (3, 0) y(−1
2, 0
)
Funciones reales 21
Ejemplo 11. Para la funcion p : R → R, p(x) = x4+7x3+17x2+17x+6 determine la factorizacioncompleta del criterio y las coordenadas de interseccion de la grafica con el eje x.
Solucion
Para determinar la factorizacion del criterio de la funcion se utiliza division sintetica, el teorema del re-siduo y del factor, por eso hay que determinar todos los divisores del coeficiente de grado cero (6) y losdivisores del coeficiente principal (1) para la funcion.
Los divisores de 6 son {±1, ±2, ±3, ±6}
Los divisores de 1 son {±1}
Las posibles raıces o ceros racionales son {±1, ±2, ±3, ±6}
Realice la division sintetica con cada una de las posibles raıces racionales, aquella donde el residuode la division sea cero significa que ya tiene un cero de la funcion.
1 7 17 17 6 -1-1 -6 -11 -6
1 6 11 6 0x = −1 es un cero de p porque el residuo es 0 y x + 1 es un factor
Continue probando hasta determinar otros ceros de la funcion, si es que los hay.
1 6 11 6 -2-2 -8 -6
1 4 3 0x = −2 es otro cero de la funcion porque el residuo es 0 y el factor es x + 2
Busque si la funcion tiene otros ceros, para ello puede seguir haciendo uso de division sintetica opuede analizar el ∆ de la expresionx2 + 4x + 3 que es el polinomio resultante despues de realizarla segunda division donde el residuo es cero.
Observe los factores de p(x)
p(x) = x4 + 7x3 + 17x2 + 17x + 6
p(x) = (x + 1)(x + 2)(x2 + 4x + 3) como el ∆ > 0 puede usar inspeccion para factorizarel trinomio cuadratico
p(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 1)(x + 3)
Luego, la factorizacion completa para el criterio de la funcion es p(x) = (x + 1)2(x + 2)(x + 3)
22 Funciones reales
Para determinar las coordenadas de interseccion de la grafica de la funcion con el eje x, basta condeterminar las preimagenes de 0, ası se tiene que
0 = (x + 1)2(x + 2)(x + 3)
⇔ 0 = x + 1 ∨ 0 = x + 2 ∨ 0 = x + 3 Aplique el teorema: a · b = 0 ⇔ a = 0, b = 0
⇔ x = −1 ∨ x = −2 ∨ x = −3
∴ ∩x son (−3, 0), (−2, 0) y (−1, 0)
Ejercicios 3.
I. Considere las funciones dadas en su maximo dominio y codominio R reescriba los criterios de las fun-ciones en forma factorizada, y determine los puntos de interseccion de la grafica de la funcion con el ejex.
a. f(x) = x2(x + 2)− 5(x + 2)
b. g(x) = 4x3 − 4x3 − x + 1
c. h(x) = 3x4 − 4x3 − 2x2 − 5x + 2
d. p(x) = (x3 + 8)− 4(x + 2)
II. Considere las funciones con dominio y codominio R, determine si la expresion dada es un factor de lafuncion.
a. f(x) = x3 + 5x2 + 6x + 8, (x− 4)
b. g(x) = 2x4 − x3 + x2 − 2x− 6, (2x− 3)
III. Para la funcion p : R → R, p(m) = 2m3 − 1
6km2 − 3km + 9 con k ∈ R una constante, si se
sabe que m = 3 es una raız de p(m) determine el valor de la constante k y el criterio de la funcion p.
IV. Para la funcion r : R → R, r(x) = x4 − 7x2 + 12 compruebe si x =√
3 es un cero de la funcion,y determine los puntos de interseccion de la grafica de la funcion p con los ejes coordenados, si existen.
Funciones reales 23
Ejercicios Complementarios 2.
1. Factorice completamente el criterio de las funciones dadas con dominio R.
a. f(x) = x4 + 2x3 − x− 2
b. P (x) = −14x2 + 23x− 3
c. g(x) = 4x3 − 3x + 1
d. h(x) = 6x8 + 17x4 + 12
e. j(t) = (t3 − 125)− (t− 5)3 − 5t3(t− 5)
f. m(x) = 9x4 − 63x3 + 10x5 + 4x2 + 12x
g. Q(x) = x2(x−√
5) + 4(x2 − 5)
h. M(t) = (t + 1)3 + (t− 3)3
Factorizacion con sustitucion
Considere el criterio de la funcion k(x) = x43 − 13x
23 + 36.
Note que no es una funcion polinomial pero si se realiza una sustitucion el criterio puede tomarla apariencia de una polinomial.
Observe que x43 = x2· 2
3 y usando la propiedad de potencias ymn = (ym)n = (yn)m entonces se
tiene a conveniencia x43 =
(x
23
)2.
Al reescribir el criterio se obtiene
k(x) =(x
23
)2− 13x
23 + 36
se evidencia que la expresion x23 esta repetida en dos terminos, por ello la sustitucion que se hace
es t = x23 .
24 Funciones reales
Con lo anterior se obtiene una nueva funcion con criterio
q(t) = t2 − 13t + 36
¿Cual es la factorizacion de este nuevo criterio?
Por lo tanto, el criterio de la funcion k se puede expresar como
k(x) = ( )( )
2. Factorice el criterio de la funcion definida por s(x) = 3(x + 4)2 + (x + 4)− 2 haciendo una susti-tucion. ¿ Puede resolverse el ejercicio de otra forma?
4. Determine el criterio de una funcion polinomial f que satisfaga las condiciones dadas. Utilice elteorema del factor.
a. Grado 4; coeficiente de x4 es 1; ceros −2,±1, 4
b. Grado 3; ceros −4, 3, 0; f(−2) = −36
5. Si el criterio de la funcion T esta dado por T (x) = x3 − 8x + m y tiene como factor al polinomiox + 3, determine el valor de m.
6. Determine el o los valores de k ∈ R para que el residuo de la division entre f(x) = 3x2 − 4kx + 1y d(x) = x + 3 sea −20. Las funciones f y d se consideran definidas en su dominio maximo ycodominio R
7. Si f(x) = x2 − 3x− 1 se divide por d(x) = x− c, c ∈ R, se tiene que el residuo es 3. Determineel o los valores de c
8. Considere la funcion P definida por P (y) = y4 − (3 + k)y3 + (2 + 3k)y2 − 2ky, con k ∈ R unaconstante.
a. Verifique que 0 y k son ceros de P (y).
b. Determine la factorizacion completa de P (y)
c. Determine los otros ceros de P (y)
9. Determine los puntos de interseccion con los ejes de las graficas de las siguientes funciones dadosu criterio y con dominio R
a. P (x) = 8− x3
b. F (t) = 5t4 − 7t2 + 2
Funciones reales 25
c. T (x) = x4 − 12x3 + 48x2 − 64x
d. G(t) =−1
4(t− 2)2(t + 2)2
e. R(x) = x4 − 9x2
f. S(t) = 1− t6
2.2. Acercamiento al Calculo
En el curso de Calculo para determinar el lımite al infinito de criterios de funciones formadaspor el cociente de funciones polinomiales se utiliza la tecnica de obtener un factor del criteriode la funcion polinomial que no es comun a todos los terminos del mismo. De hecho, el factores la potencia mayor de la variable del polinomio.
A continuacion se muestra como proceder con el criterio de la funcion q(x) = −x3 +x2− 3x+ 1:
1. El factor que se desea obtener es x3
2. El otro factor se obtiene dividiendo cada termino con el factor x3
3. Se tiene que q(x) = x3
(−x3
x3+
x2
x3− 3x
x3+
1
x3
)4. Como paso final se simplifica y el criterio toma la apariencia q(x) = x3
(−1 +
1
x− 3
x2+
1
x3
)
Ejemplo 12. Calcular el lımite dado por lımx→−∞
−x3 + x2 − 3x + 1
x2 + 1
SolucionPara calcular el lımite se utiliza lo explicado en este apartado.
lımx→−∞
−x3 + x2 − 3x + 1
x2 + 1= lım
x→−∞
x3
(−1 +
1
x− 3
x2+
1
x3
)x2
(1 +
1
x2
)
= lımx→−∞
x
(−1 +
1
x− 3
x2+
1
x3
)1 +
1
x2
= +∞
26 Funciones reales
Nota: una expresion como lımx→−∞
1
xes igual a cero cuando x tiende a ±∞.
Ejercicios 4.
Escriba el criterio de cada funcion como producto de dos factores tal y como se realizo en el ejemploanterior.
a. M(x) = −6x2 − 12x + 1− 4
5x3
b. N(x) = −3x2 + 4x + 5
c. Q(x) = 2x4 − 3x2 + 1
Capıtulo 3Funcion Racional
Este capıtulo se dedicara al estudio de algunas caracterısticas de la funcion racional en cuan-to a su grafica, dominio, asıntotas, intersecciones con los ejes; ademas, se mencionan algunoscontenidos algebraicos necesarios para trabajar con este tipo de funcion como simplificacion,suma y resta de fracciones algebraicas racionales, division de polinomios, y fracciones parciales.
Una funcion racional se define como
f : R − {x ∈ R/ Q(x) = 0 } → R, f(x) =P (x)
Q(x)donde P (x), Q(x) son
polinomios
Es importante notar que el maximo dominio de una funcion racional esta formado por el con-junto de los numeros reales menos los valores que hacen cero al denominador; es decir, hay quedeterminar las restricciones al resolver una ecuacion que depende del grado del polinomio deldenominador.
Ejemplo 1. Para las siguientes funciones dadas determine el maximo dominio de cada una de ellas.
a. h : Dh → R, h(x) =2
x− 3
b. g : Dg → R, g(x) =1
4x2 − 25
c. p : Dp → R, p(x) =1
x3 − 1
Solucion
Hay que buscar las restricciones para cada una de la funciones.
27
28 Funciones reales
a. Para la funcion h hay que resolverx− 3 = 0
⇔ x = 3
∴ Dh = R − {3}
b. Para la funcion g hay que resolver4x2 − 25 = 0
⇔ x2 =25
2
⇔ x = ± 5
2
∴ Dg = R −{−5
2,5
2
}c. Para la funcion p hay que resolver
x3 − 1 = 0
⇔ x3 = 1
⇔ x = 1
∴ Dp = R − {1}
Es importante conocer el trazo de la grafica para la funcion estandar racional, y las coordenadasde interseccion con los ejes, ası como el ambito de la funcion.
Ejemplo 2. A continuacion se muestra la grafica de una funcion racional, observe su trazo y respondala informacion solicitada en cada caso. Justifique sus respuestas.
f : Df → R, f(x) =1
x
Dominio :
∩x :
∩y :
Ambito:
Funciones reales 29
Como pudo observar en el ejemplo 2, el trazo de la grafica de esta funcion racional no intersecaa los ejes. Justifique este resultado .
Para determinar las coordenadas de interseccion de la grafica de la funcion con el eje x, hay queresolver la ecuacion:
0 =P (x)
Q(x)
⇔ P (x) = 0, con Q(x) 6= 0
Ejemplo 3.
Determine los puntos de interseccion de la grafica de la funcion g : R − {3} → R, g(x) =x3 − 2x
x− 3con los ejes coordenados si existen.
Solucion
a. ∩ x : (x, 0) , para la funcion g hay que resolver
0 =x3 − 2x
x− 3
⇔ 0 = x3 − 2x, con x− 3 6= 0
⇔ 0 = x(x−√
2) (
x +√
2)
Aplique: factor comun y diferencia de cuadrados
⇔ 0 = x ∨ 0 = x−√
2 ∨ 0 = x +√
2 Aplique el teorema: a · b = 0 ⇔ a = 0, b = 0
⇔ x = 0 ∨ x =√
2 ∨ x = −√
2
∴ ∩ x son(−√
2, 0), (0, 0),
(√2, 0)
b. ∩ y : (0, y) Note que ya la obtuvo anteriormente pues (0, 0) es tambien interseccion con eje y
Ademas, la grafica de una funcion racional puede presentar asıntotas verticales, horizontales uoblicuas (algunas veces llamada inclinada).
La grafica de la funcion del ejemplo 2, g : R − {0} → R, g(x) =1
xtiene asıntota vertical y
horizontal, cuyas ecuaciones estan dadas por: x = 0 (valor que hace cero al denominador delcriterio de la funcion) y y = 0 (dado que no existe la imagen de 0).
Para determinar si una recta de la forma x = c es una asıntota vertical de la grafica de la funcionracional determine si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
30 Funciones reales
Definicion 3
las imagenes de la funcion tienden a ±∞ (toman valores infinitamente pequenos ograndes) cuando el valor de x tiende a c+ (se lee c por la derecha) y esto es que x tomavalores cercanos a c pero mayores, o a c− (se lee c por la izquierda), es decir, que xtoma valores cercanos a c pero menores.
Una recta de la forma y = b es una asıntota horizontal de la grafica de la funcion racionalcuando:
Definicion 4
las imagenes de la funcion tienden a b cuando el valor de x tiende a ±∞
Una recta de la forma y = mx + b es una asıntota oblicua de la grafica de la funcion racional si:
Definicion 5
las imagenes de la funcion tienden o se aproximan a las imagenes de la recta y = mx+bcuando el valor de x tiende a ±∞
Ejemplo 4. A continuacion se muestran las graficas de ciertas funciones racionales, observe su trazo yresponda la informacion solicitada en cada caso.
Funciones reales 31
g : Dg → R, g(x) = 2 +1
x + 1h : Dh → R, h(x) =
x2 − 2x + 1
x + 1
Dominio : Dominio :
∩x : ∩x :
∩y : ∩y :
Ambito: Ambito:
Ecuacion Asıntotas: Ecuacion Asıntotas:
k : Dk → R, k(x) =1
x2m : Dm → R, m(x) =
x
x + 2
Dominio : Dominio :
∩x : ∩x :
∩y : ∩y :
Ambito: Ambito:
Ecuacion Asıntotas: Ecuacion Asıntotas:
32 Funciones reales
Despues de estudiar algunas graficas de funciones racionales cabe preguntarse ¿que contenidosmatematicos puede utilizar para reescribir el criterio de la funcion de la izquierda (ver cuadro 1)como el de la derecha? Para ello considere las funciones en su maximo dominio y con codominioR:
i(x) =(x− 3)
x(x− 3)(2x + 1)7−→ i1(x) =
1
x(2x + 1)
h(r) =r3 + r2 − 25r − 25
r2 − 257−→ h1(r) = r + 1
p(x) =3
2x− 2
x + 17−→ p(x) =
−x + 3
2x(x + 1)
q(a) =a2 − 2a + 1
a + 17−→ q(a) = a− 3 +
4
a + 1
m(t) =−3t− 9
t2 − t− 27−→ m(t) =
−5
t− 2+
2
t + 1
Cuadro 1.
En este curso el estudiante debe ser capaz de expresar el criterio de una funcion racional enforma simplificada, mediante una sola fraccion, mediante fracciones mas simples los cuales seestudiaran en los siguientes apartados.
3.1. Fracciones algebraicas racionales
Para simplificar el criterio de una funcion racional o para reducir dos o mas criterios de unafuncion formados por fracciones algebraicas racionales se utiliza el concepto de simplificaciony el de suma y resta de fracciones algebraicas racionales. Para ello analice la informacion delesquema de la figura 2.
Funciones reales 33
Figura 2. Operaciones con expresiones algebraicas racionales 1
Ejemplo 5. Simplifique al maximo el criterio de las siguientes funciones.
a. f : R → R, f(x) =x3 − 8
2x2 + 4x + 8
b. g : R −{−√
3,√
3}→ R, g(x) =
x−√
3
x2 − 3
Solucion
Para simplificar los criterios de las funciones compruebe si se puede aplicar alguna tecnica de factoriza-cion y aplique alguno de los procedimientos enunciados en el esquema de la figura 2.
a. Note que no hay ningun valor de x que haga cero al denominador de la funcion f , por eso el domi-nio de la funcion es R
f(x) =x3 − 8
2x2 + 4x + 8
1Elaborado por uno de los autores
34 Funciones reales
f(x) =(x− 2)(x2 + 2x + 4)
2(x2 + 2x + 4)Factorice por: diferencia de cubos y factor comun
f(x) =(x− 2)
2Aplique la ley de cancelacion
Por lo tanto, el nuevo criterio de la funcion simplificado corresponde a f1 : R → R, f1(x) =x− 2
2
b. Note que la funcion g si se evalua en x = −√
3, x =√
3 su resultado tiene cierta forma, observe:
g(x) =x−√
3
x2 − 3
g(√
3) =
√3−√
3(√3)2 − 3
g(√
3) =0
0Esta expresion se conoce con el nombre de forma indeterminada
Esto significa que g(√
3) no esta definida, en el trazo de la grafica de la funcion no existe el parordenado
(√3, g(√
3))
lo que aparece es un agujero (ver figura 3). Esta forma indeterminada seestudia con detalle en la parte de lımites en el curso de Calculo. Ademas, en este caso la grafica dela funcion g tiene una asıntota vertical x = −
√3 y la ecuacion de la asıntota horizontal es y = 0
Figura 3.
Al evaluar la funcion g en x = −√
3 se tiene
g(x) =x−√
3
x2 − 3
g(−√
3) =−√
3−√
3(−√
3)2 − 3
g(−√
3) =−2√
3
0
Funciones reales 35
Como el criterio de la funcion tiene por denominador 0 esto indica que al acercarse a x = −√
3por la izquierda o por la derecha las imagenes tienden a −∞ o ∞ respectivamente, por lo quex = −
√3 es la unica asıntota vertical.
Luego de analizar el comportamiento de la funcion se aplica alguna de las tecnicas de factorizacion
para simplificar el criterio de la funcion g y eliminar la forma indeterminada0
0.
g(x) =x−√
3
x2 − 3
g(x) =x−√
3(x−√
3) (
x +√
3) , con x 6=
√3
g(x) =1(
x +√
3) La cual corresponde a una nueva funcion
∴ g1 : R −{−√
3}→ R, g1(x) =
1(x +√
3)
Donde su grafica corresponde al trazo de la figura 4 y no aparece el agujero.
Figura 4.
Ejemplo 6. Reescriba el criterio de las siguientes funciones mediante una sola fraccion y determine sudominio maximo.
a. p : Dp → R, p(x) =3
2x− 2
x + 1
b. g : Dg → R, g(x) =x− 1
x2 − 7x + 12+
2
−4x + x2
36 Funciones reales
Solucion
Para poder simplificar los criterios de las funciones hay que aplicar los procedimientos enunciados en elesquema de la figura 2.
a. p(x) =3
2x− 2
x + 1Se determina el mınimo denominador comun
p(x) =3(x + 1)− 2 · 2x
2x(x + 1)Se homogenizan las fracciones
p(x) =3x + 3− 4x
2x(x + 1)Se realizan las operaciones en el numerador
p(x) =3− x
2x(x + 1)Se simplifica
Para determinar el maximo dominio note que la funcion p esta formada por la resta de dos funcio-nes racionales y hay que utilizar la siguiente definicion:
Definicion
Considere las funciones f : Df → R y g : Dg → R donde (f − g) (x) = f(x) − g(x),(f − g) : Df ∩ Dg → R
La definicion anterior indica que para determinar el maximo dominio de una resta de funcioneshay que hallar el dominio de cada una de las funciones involucradas y luego buscar la interseccionentre ellos. Ası que:
p(x) =3
2x− 2
x + 1donde p1(x) =
3
2xy p2(x) =
2
x + 1
Luego, Dp1 = R − {0}
Dp2 = R − {−1}
∴ p : R − {0} ∩ R − {−1} → R, p(x) =−x + 3
2x(x + 1)
p : R − {−1, 0} → R, p(x) =−x + 3
2x(x + 1)
Funciones reales 37
b. g(x) =x− 1
x2 − 7x + 12+
2
−4x + x2Se factoriza los denominadores
g(x) =x− 1
(x− 4)(x− 3)+
2
x(x− 4)
g(x) =(x− 1) · x + 2 · (x− 3)
x(x− 4)(x− 3)Se homogenizan las fracciones
g(x) =x2 − x + 2x− 6
x(x− 4)(x− 3)Se realizan las operaciones en el numerador
g(x) =x2 + x− 6
x(x− 4)(x− 3)Se simplifica
Como la funcion g esta formada por la suma de dos funciones racionales para determinar el maximodominio hay que utilizar:
Definicion
Considere las funciones f : Df → R y g : Dg → R donde (f + g) (x) = f(x) + g(x),(f + g) : Df ∩ Dg → R
Al aplicar la definicion anterior se tiene:
g(x) =x− 1
x2 − 7x + 12+
2
−4x + x2donde g1(x) =
x− 1
x2 − 7x + 12y g2(x) =
2
−4x + x2
Ası, Dg1 = R − {3, 4}
Dg2 = R − {0, 4}
∴ g : R − {3, 4} ∩ R − {0, 4} → R, g(x) =x2 + x− 6
x(x− 4)(x− 3)
g : R − {0, 3, 4} → R, g(x) =x2 + x− 6
x(x− 4)(x− 3)
Ejemplo 7. Considere la funcion t : R → R, t(x) = x3 + 5x. Simplifique al maximo el criterio de la
funcion T , definida en su dominio maximo y codominio R, con T (h) =t(x + h)− t(x)
h
SolucionPrimero note que la expresion t(x + h) corresponde a la imagen de x + h en la funcion t, es decir,
t(x + h) = (x + h)3 + 5(x + h).
38 Funciones reales
Por otro lado, (x + h)3 corresponde a un binomio de Newton (producto notable), cuyo desarrollo corres-ponde a x3 + 3x2h + 3xh2 + h3.Los binomios de Newton (∆ ± �)n, n ∈ N, n ≥ 2 se pueden desarrollar con la ayuda del triangulode Pascal, el cual permite determinar los coeficientes numericos, donde el valor n indica el nivel en eltriangulo.
Las potencias para cada termino estan determinadas ası: la mayor potencia es n y las restantes van enforma descendente, ademas si considera cada expresion ∆p�q se debe cumplir que p + q = n
Retomando el ejercicio, se tiene que
T (h) =t(x + h)− t(x)
h
=(x + h)3 + 5(x + h)− (x3 + 5x)
h
=x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 5x + 5h− x3 − 5x
h
Funciones reales 39
=3x2h + 3xh2 + h3 + 5h
h
=h(3x2 + 3xh + h2 + 5)
h, h 6= 0
= 3x2 + 3xh + h2 + 5
Ejercicios 1.
I. Simplifique al maximo los criterios de las funciones en su maximo dominio y codominio R. Ademas,determine la ecuacion de la asıntota vertical para el ıtem a y b ası como los valores de x donde el trazo dela grafica de la funcion presenta agujeros.
a. h(x) =r3 + r2 − 25r − 25
(r − 5)(r2 + r)
b. g(x) =x− 3
x3 − 27
c. g(h) =G(x + h)−G(x)
hsi G(x) =
2
x2
II. Determine el maximo dominio de los criterios de las funciones con codominio R.
a. f(x) =3x
x + 1− 1
x− 4
b. g(x) =x + 2
x+
2
x− x + 3
x− 2
III. Reescriba los criterios de las funciones dadas mediante una sola fraccion.
a. f(x) =2x
x + 2− x
x2 − 4
b. g(x) =x + 2
x2 − 2x− 1
x+
x + 3
x− 2
IV. Determine los puntos de interseccion de la grafica de la funcion con los ejes coordenados para loscriterios de las funciones dadas.
a. f(t) =t3 − t2 − 2t
t + 2
b. g(u) =1
u + 2− 1
u
40 Funciones reales
Para trabajar ejemplos de criterios de funciones como los indicados en el cuadro 1 (q y m ) esnecesario aplicar otros contenidos los cuales se explican a continuacion.
3.2. Division de polinomios y fracciones parciales
En Calculo al trabajar con criterios de funciones racionales algunas veces conviene expresar-los mediante fracciones mas simples lo cual se logra utilizando la division de polinomios o bienfracciones parciales. Tambien es posible determinar la ecuacion de asıntotas horizontales y obli-cuas empleando la division de polinomios.
Dado el criterio de una funcion f(x) =P (x)
Q(x)se tienen dos casos:
a. Si el polinomio del numerador tiene el grado mayor o igual al polinomio del denominador
se realiza una division de polinomios para reescribir el criterio como f(x) = C(x) +R(x)
Q(x),
donde C(x) es el resultado del cociente y R(x) es el residuo. En algunos casos hay que
verificar si la fraccionR(x)
Q(x)puede descomponerse en fracciones parciales. Conviene re-
cordar el procedimiento a seguir para realizar la division:
1. El dividendo (numerador del criterio de la funcion) y el divisor (de-nominador del criterio de la funcion) deben estar ordenados en formadescendente (del mayor exponente de la variable al menor), de no ser ası secompleta con un cero la expresion que falte.
2. Se divide el primer termino del dividendo entre el primer monomio deldivisor y el resultado que se obtiene sera el primer termino del cociente.
3. Se multiplica el resultado del paso 2 por el divisor y se coloca debajo deldividendo para proceder a realizar la resta. Para ello tome en cuenta que sedeben cambiar los signos al restar un polinomio de otro.
4. El resultado de la resta es el nuevo dividendo con el cual vamos a repetirlos pasos 2 y 3.
5. La division concluye hasta que el grado del polinomio obtenido en elresiduo sea menor que el grado del polinomio del cociente.
b. Si el grado del polinomio Q(x) es mayor que el de P (x) y el polinomio Q(x) puede facto-rizarse con algun factor de la forma: (px + q)n donde el polinomio lineal es irreducible, o
Funciones reales 41
(px2 + qx + r)m donde el polinomio cuadratico es irreducible. El proceso para expresar el
criterio de una funcion como f(x) =4x + 3
x2 − xen f(x) =
−3
x+
7
x− 1recibe el nombre de
”descomposicion en fracciones parciales”. Conviene explicitar el procedimiento a seguir pararealizar la descomposicion en fracciones:
1. Factorizar completamente el polinomio del denominador del criterio dela funcion.
2. Determinar que tipo de factores se han obtenido en el paso 1:
Lineales y todos distintos (x, x− a)
Potencias de lineales [(x− a)2]
Cuadraticos y todos distintos [(ax2 + b), (cx2 + bx + d)]
Potencias de cuadraticos [(ax2 + b)2]
Combinacion de los tipos [x, (x− b), (x− a)2, ...]
3. A cada factor le corresponde una fraccion en la descomposicion de laexpresion original:
Si el factor es lineal (con o sin potencia), el numerador es una constan-
te: A, B, ..., ; por ejemplo: f(x) =A
x+
B
(x− a)
Si el factor es cuadratico (con o sin potencia), el numerador es una
expresion lineal: Ax + B ; por ejemplo: f(x) =Ax + B
(ax2 + bx + c)
En el caso de los factores con potencias colocar tantas fracciones comopotencias menores o iguales hayan del factor:
f(x) =A
(ax + b)1+
A2
(ax + b)2+ ...
Ak−1
(ax + b)k−1+
Ak
(ax + b)k
4. Luego, se iguala el criterio de la funcion dada con las fracciones delpaso 3, para determinar los valores de las constantes, para ello es necesariohomogenizar las fracciones, agrupar terminos semejantes y aplicar ciertosconocimientos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Ejemplo 8. Para la funcion p : R − {1} → R, p(x) =19x2 − 10x3 + x5 − 14x + 6
x2 + 1− 2xexpresar el
42 Funciones reales
criterio en la forma p(x) = C(x) +R(x)
Q(x).
Solucion
Para dar respuesta al ejercicio hay que utilizar el procedimiento de division de polinomios porque el gradodel numerador es mayor que el del denominador.
p(x) =19x2 − 10x3 + x5 − 14x + 6
x2 + 1− 2x
p(x) =x5 + 0x4 − 10x3 + 19x2 − 14x + 6
x2 − 2x + 1Ordenar en forma descendente
Realizar la division de polinomios
x5 +0x4 −10x3 +19x2 −14x +6 x2 − 2x + 1
−x5 2x4 −x3 x3 + 2x2 − 7x + 3
0 2x4 −11x3 +19x2 −14x +6−2x4 4x3 −2x2
0 −7x3 +17x2 −14x +6
7x3 −14x2 +7x
0 3x2 −7x +6
−3x2 +6x −3
0 −1x +3
∴ p(x) = x3 + 2x2 − 7x + 3 +−x + 3
x2 − 2x + 1
Ejemplo 9. Considere la funcion f : R − {−1} → R, f(x) =x2 − x
x + 1. Determine la ecuacion de la
asıntota oblicua.
SolucionEs importante destacar que se sabe que existe dicha recta pues los polinomios difieren en uno sus
grados y el de grado mayor esta en el numeradorSe procede a realizar la division
Funciones reales 43
x2 −x x + 1−x2 −x x− 2
−2x2x +2
2
Por lo tanto f(x) =x2 − x
x + 1= x− 2 +
2
x + 1La ecuacion de la asıntota oblicua es y = x− 2Observe la grafica de la funcion de f :
La justificacion de este procedimiento se basa en que para valores muy grandes o muy pequenos de xen f (se dice tiende a ±∞), las imagenes respectivas tienden a aproximarse a las imagenes en la rectay = x− 2.
Por ejemplo, si x = 100 se tiene que f(100) =1002 − 100
100 + 1≈ 98. 01 y evaluando en la recta y =
100− 2 = 98Adicionalmente, se puede determinar que la grafica tiene una asıntota vertical con ecuacion x = −1 yaque es la restriccion de la funcion y su criterio no se simplifica.
Ejemplo 10. Considere la funcion f : R − {1} → R, f(x) =−x3
x3 − 1. Determine la ecuacion de la
asıntota horizontal.
SolucionEs importante destacar que se sabe que existe dicha recta pues los polinomios tienen el mismo grado
Se procede a realizar la division
44 Funciones reales
−x3 x3 − 1x3 −1 −1
−1
Por lo tanto f(x) =−x3
x3 − 1= −1 +
−1
x3 − 1La ecuacion de la asıntota horizontal es y = −1Observe la grafica de la funcion de f :
En forma similar al ejemplo anterior, para valores muy grandes o muy pequenos de x en f (se dice tiendea ±∞), las imagenes respectivas tienden a aproximarse a las imagenes en la recta y = −1.
Por ejemplo, si x = 100 se tiene que f(−100) =−(−100)3
(−100)3 − 1≈ −0. 999999 y en la recta y = −1
Ademas, la grafica tiene una asıntota vertical con ecuacion x = 1 ya que es la restriccion de la funcion ysu criterio no se simplifica.
Ejemplo 11. Para la funcion h : R − {0, 1} → R, h(x) =2x2 − x + 1
x(x− 1)2expresar el criterio de la
funcion en fracciones mas simples.
Solucion
Para dar respuesta al ejercicio hay que utilizar el procedimiento de descomposicion en fracciones parcia-les porque el grado del numerador es menor que el del denominador. Ademas, el denominador del criteriode la funcion esta factorizado con factores lineales y uno de ellos con potencia, ası que para resolver elejercicio se aplica el procedimiento #3 y #4 para fracciones parciales.
h(x) =2x2 − x + 1
x(x− 1)2
2x2 − x + 1
x(x− 1)2=
A
x+
B
x− 1+
C
(x− 1)2Hay tres fracciones por la cantidad de factores
Funciones reales 45
2x2 − x + 1
x(x− 1)2=
A · (x− 1)2 + Bx(x− 1) + Cx
x (x− 1)2Se homogeniza el miembro de la derecha
2x2 − x + 1
x(x− 1)2=
Ax2 − 2Ax + A + Bx2 −Bx + Cx
x (x− 1)2Se realizan operaciones
2x2 − x + 1
x(x− 1)2=
(A + B)x2 + (−2A +−B + C)x + A
x (x− 1)2Se agrupan terminos semejantes
Ahora, para que dos fracciones algebraicas racionales sean iguales basta con igualar los numerado-res pues los denominadores son los mismos, ası que
2x2 − x + 1 = (A + B)x2 + (−2A +−B + C)x + A (1)
Se igualan los coeficientes numericos de ambos polinomios y se forman las siguientes ecuaciones
2 = A + B (2)
−1 = −2A−B + C (3)
1 = A (4)
Luego, al sustituir A = 1 en la ecuacion (2) se obtiene 1 = B
Al sustituir A = 1 , B = 1 en la ecuacion (3) se obtiene 2 = C
Por lo tanto, la descomposicion del criterio de la funcion en fracciones mas simples corresponde a:
h(x) =2x2 − x + 1
x(x− 1)2
h(x) =1
x+
1
x− 1+
2
(x− 1)2
Conviene indicar que no siempre las ecuaciones que quedan se resuelven tan facil como las de esteejemplo, por eso para determinar los valores de las constantes A, B, .... tambien se hace asignandovalores a la variable, ya que la identidad (1) es cierta para cualquier valor de x en particular losvalores que hacen cero a cada uno de los factores del denominador.
46 Funciones reales
Ejercicios 2.
I. Considere las siguientes funciones reales, determine cual o cuales de ellas pueden descomponerse en la
forma p(x) = C(x) +R(x)
Q(x), C(x) 6= 0, justifique su respuesta.
a. q : R − {−1} → R, q(x) =1
x + 1
b. r : R − {−2, 2} → R, r(a) =2a + 7
a2 − 4
c. p : R − {2, 3} → R, p(a) =a2 − 3a
a2 − 5a + 6
II. Para las funciones dadas exprese el criterio en la forma p(x) = C(x) +R(x)
Q(x), C(x) 6= 0.
a. q : R − {−1} → R, q(x) =x2 − 2x + 1
x + 1
b. r : R −{−√
7,√
7}→ R, r(a) =
a3 − 3a2 + a + 4
a2 − 7
III. Determine la descomposicion en fracciones parciales del criterio de cada funcion.
a. m : R − {−1, 2} → R, m(t) =−3t− 9
t2 − t− 2
b. f : R − {1} → R, f(t) =t2 + 5
(t− 1)(t2 + t + 1)
IV. Determine la ecuacion de cada asıntota de la grafica de las siguientes funciones.
a. m : R − {−3, 4} → R, m(x) =2x2 + 3
x2 − x− 12
b. m : R − {0} → R, m(x) =x4 − 2x2 + 1
x3 + x2 + x
Funciones reales 47
Ejercicios Complementarios 3.
1. Reescriba el criterio de la funcion f de la forma f(x) = C(x) +R(x)
Q(x), C(x) 6= 0 con C, Q, R
polinomios, en caso de ser posible y determine la ecuacion de las asıntotas, segun corresponda. Enalgunos casos utilizar division sintetica.Considere las funciones definidas en su respectivo dominio.
a. f(x) =2x4 − x3 − 3x2 + 7x− 12
x2 − 3
b. f(x) =9x + 4
2x− 5
c. f(x) =−5x4 + 3
x3 − 3x + 9
d. f(x) =7x + 2
2x2 − x− 4
e. f(x) =3x3 − 5x2 − 4x− 8
2x2 + x
f. f(x) =3x5 − 6x2 + 7
x + 2
g. f(x) =27x4 − 9x3 + 3x2 + 6x + 1
x +1
3
h. f(x) =4x3 − 6x2 + 8x− 3
2x− 1
2. Simplifique al maximo el criterio de la funcion. En algunos casos necesita realizar operaciones conexpresiones algebraicas racionales.
a. f(x) =x2 − 25
x3 − 125; Df = R− {5}
b. g(x) =10 + 3x− x2
x4 + 2x3; Dg = R− {−2, 0}
c. h(x) =5x3 + 9x2 − 7x + 1
10x2 + 13x− 3; Dh = R−
{−3
2,1
5
}
d. t(x) =12x
2x + 1− 3
2x2 + x+
5
x; Dt = R−
{−1
2, 0
}
e. m(t) =t2 + 1
t− 2− t3 − 6t2 + 1
t2 − t− 2; Dm = R− {−1, 2}
f. p(u) =
1
u + 2− 3
4
u− u
; Dp = R− {−2, 0, 2}
48 Funciones reales
g. P (h) =q(x + h)− q(x)
h; si q(x) = x2 − 3x y DP = R− {0}
h. T (h) =j(x + h)− j(x)
h; si j(x) =
1
x3y DT = R− {0} , x 6= 0
3. Determine la descomposicion en fracciones parciales del criterio de las funciones. Considere cadafuncion definida en su respectivo dominio.
a. T (u) =8u− 1
(u− 2)(u + 3)
b. F (x) =x + 34
x2 − 4x− 12
c. G(t) =2t2 − t + 1
t2(t− 1)2
d. M(x) =16x + 16
x(x− 4)(x2 + 4)
e. P (u) =4u3 − u2 + 15u− 29
2u3 − u2 + 8u− 4
f. A(x) =5x3 − 3x2 + 7x− 3
(x2 + 1)2
g. H(x) =2x2 − x + 7
(x− 6)(x2 + x + 5)
h. J(t) =6t− 1
t3(2t− 1)
4. Determine los puntos de interseccion con los ejes de la grafica de las siguientes funciones dado sucriterio.
a. f(t) =t3 − 3t2 + 4
t2 + 3t + 2
b. g(x) =3
7x− 2− 9
3x + 1
c. p(t) =−3
t + 4+
7
t− 4− −5t + 4
t2 − 16
d. j(x) =
(x
x + 1
)2
− 2x
x + 1− 8
5. Descubra y comente el error del siguiente ejercicio cuya indicacion es:“Descomponer en fracciones parciales el criterio de la funcion T”.
T (x) =x2 + 1
x(x− 1)
Primero se tiene que T (x) =x2 + 1
x(x− 1)=
A
x+
B
x− 1
Luego realizando la suma de fracciones T (x) =x2 + 1
x(x− 1)=
A
x+
B
x− 1=
A(x− 1) + Bx
x(x− 1)
Igualando los numeradores de las fracciones obtenemos x2 + 1 = A(x− 1) + Bx
Funciones reales 49
Sustituyendo x = 0 y x = 1 en la ecuacion anterior se concluye que A = −1 y B = 2
Entonces la descomposicion es T (x) =x2 + 1
x(x− 1)=−1
x+
2
x− 1
Corroborando si se realizo correctamente el procedimiento se nota que
−1
x+
2
x− 1=−(x− 1) + 2x
x(x− 1)=
x + 1
x(x− 1)6= T (x)
¿Donde se cometio un error?
3.3. Acercamiento al Calculo
La division de polinomios esta ıntimamente relacionada con dos contenidos del curso de Calcu-lo: asıntota oblicua e integracion.
Cuando se trabaja el tema de integracion se ensena un metodo denominado fracciones parcialesel cual se trabajo en este capıtulo.
Ejemplo 12. Resolver la integral∫
x4 + 2x3 + 6x2 + 20x + 6
x3 + 2x2 + xdx.
Solucion
Se inicia realizando la division de polinomios para obtener
x4 + 2x3 + 6x2 + 20x + 6
x3 + 2x2 + x= x +
5x2 + 20x + 6
x3 + 2x2 + x
Ası∫
x4 + 2x3 + 6x2 + 20x + 6
x3 + 2x2 + xdx =
∫x +
5x2 + 20x + 6
x3 + 2x2 + xdx
La fraccion resultante de la division se descompone en fracciones parciales obteniendo
5x2 + 20x + 6
x3 + 2x2 + x=
6
x+−1
x + 1+
9
(x + 1)2
Finalmente ∫x +
5x2 + 20x + 6
x3 + 2x2 + xdx =
∫x +
6
x+−1
x + 1+
9
(x + 1)2dx
Hasta el punto anterior corresponde a los procedimientos algebraicos aplicados al criterio de lafuncion y lo que sigue es propiamente la aplicacion del concepto de integral indefinida
50 Funciones reales
Capıtulo 4Funcion Radical
Otra funcion que conviene estudiar es la funcion radical, para ello se presenta algunas carac-terısticas acerca del dominio, representacion grafica, intersecciones con los ejes; ademas, se hacereferencia al contenido de racionalizacion necesario para simplificar el criterio de una funcionformado por el cociente de expresiones radicales en el numerador, en el denominador o ambosde la fraccion.
Una funcion radical se define como
f : Df → R, f(x) = n√
P (x) donde P (x) es un polinomio y n ∈ N−{1}
Es importante notar que el maximo dominio de una funcion radical depende del ındice n de laexpresion:
� Si n es un numero par el maximo dominio de la funcion son todos los numeros reales quecumplen P (x) > 0, es decir hay que resolver una inecuacion que depende del grado del polino-mio. Para efectos de este curso, determinar los valores x que satisfacen P (x) > 0 corresponde adeterminar el signo positivo o cero de la funcion P
� Si n es un numero impar el maximo dominio de la funcion es R.
Ejemplo 1. Para las siguientes funciones dadas determine el maximo dominio de cada una de ellas.
a. h : Dh → R, h(x) =√
6x− 12
b. g : Dg → R, g(x) = 5√
3x− 5
c. p : Dp → R, p(x) = 4√
3− 8x
d. m : Dm → R, m(x) =√x2 − 2x + 15
51
52 Funciones reales
Solucion
Hay que determinar el ındice de cada expresion radical, para el ejercicio a, c, d el ındice es un numeropar de ahı que se resuelve una inecuacion para el dominio de la funcion, pero en el item b el maximodominio de la funcion es R por tratarse de un ındice impar.
a. Para la funcion h hay que resolver6x− 12 > 0
⇔ 6x > 12
⇔ x > 2
∴ Dh = [2,+∞[
c. Para la funcion p hay que resolver3− 8x > 0
⇔ 3− 8x > 0
⇔ −8x > −3 Note que el coeficiente de la variable tiene signo ”−”
⇔ −8x
−86−3
−8Observe el cambio que se realizo al signo de la desigualdad
⇔ x 63
8∴ Dp =
]−∞,
3
8
]d. Para la funcion m hay que hallar el conjunto solucion de P (x) = x2 − 2x + 15 > 0.
Como P es una funcion cuadratica, el discriminante brinda informacion valiosa para determinarel dominio de mNote que ∆ = (−2)2 − 4 · 1 · 15 = −56, indicando que no hay raıces reales para la funcion y porende no se factoriza el criterio.Otro elemento importante es que a = 1, con lo cual la grafica es convexa (concava hacia arriba)Lo anterior permite asegurar que la funcion siempre toma valores positivos, para todo x ∈ R y sepuede corroborar con la grafica de P
Funciones reales 53
Es ası que se puede afirmar que el dominio de la funcion m corresponde a R en vista que la funcionP siempre tiene signo positivo o bien P (x) ≥ 0 se cumple para todo x ∈ R
Para una funcion cuadratica f : R→ R, f(x) = ax2 + bx+ c, con a > 0 y ∆ < 0,se tiene que f(x) > 0 o f(x) ≥ 0 se cumple para todo x ∈ R
Si a < 0 y ∆ < 0 entonces f(x) < 0 o f(x) ≤ 0 se cumple para todo x ∈ R. Sedebe indicar que este caso no tiene sentido para determinar el dominio maximo deuna funcion radical, por la desigualdad planteada.
Si a > 0 y ∆ = 0 entonces solo f(x) ≥ 0 se cumple para todo x ∈ R.
Es importante conocer el trazo de la grafica para la funcion estandar radical, y los puntos deinterseccion de la grafica con los ejes coordenados, ası como el ambito de la funcion.
Ejemplo 2. A continuacion se muestra la grafica de dos funciones radicales, observe su trazo y respondala informacion solicitada en cada caso. Justifique sus respuestas.
p : Dp → R, p(x) =√x r : Dr → R, r(x) = 3
√x
Dominio : Dominio :
∩x : ∩x :
∩y : ∩y :
Ambito: Ambito:
Para determinar la interseccion de la grafica de la funcion con el eje x, hay que resolver ecua-ciones con radicales, como:
54 Funciones reales
0 =√x
⇔ (0)2 = (√x)
2
⇔ 0 = |x|
⇔ 0 = x pues x > 0
∴ ∩ x (0, 0)
0 = 3√x
⇔ (0)3 = ( 3√x)
3
⇔ 0 = x
∴ ∩ x (0, 0)
Ejemplo 3.Determine los puntos de interseccion de la grafica de la funcion
g :
[9
5,+∞
[→ R, g(x) = x− 3−
√5x− 9 con los ejes, si existen.
Solucion
∩ x: (x, 0) , para la funcion g hay que resolver0 = x− 3−
√5x− 9
⇔ −x + 3 =√
5x− 9
⇔ (−x + 3)2 =(√
5x− 9)2
⇔ x2 − 6x + 9 = |5x− 9|
⇔ x2 − 6x + 9 = 5x− 9 pues x >9
5
⇔ x2 − 11x + 18 = 0
⇔ x = 2 o x = 9
Considere que el o los valores que se obtienen deben pertenecer al dominio de la funcion y tenercomo imagen el valor cero.En este caso 2 ∈ [4,+∞[ y 9 ∈ [4,+∞[ pero g (2) = −2 y g (9) = 0∴ ∩ x: (9, 0)
∩ y: (0, y) , pero note que 0 6∈[
9
5,+∞
[por lo que no existe interseccion con este eje
Funciones reales 55
Puede corroborar lo anterior con la grafica de g
Ejemplo 4. Com-plete los espacios delineados para determinar los puntos de interseccion de la grafica de la funciong : R→ R, g(x) = 3
√4x + 8 + 2 con ambos ejes.
Solucion
∩ x: (x, 0) , para la funcion g hay que resolver
.......... = 3√
4x + 8 + 2
⇔ −2 = 3√
4x + 8
⇔ (−2)3 = ..........
⇔ .......... = 4x + 8
⇔ .......... = 4x
⇔ −4 = x
∩ y: (0, y) , para la funcion g hay que determinar la imagen de cero, ası que
g(0) = ..........
g(0) = ..........
∴ ∩ x corresponde a .......... y ∩ y corresponde a ..........
Ejercicios 1.
I. Elabore un esquema donde explique los procedimientos necesarios para resolver una ecuacion con ra-dicales, para ello considere lo expuesto en el ejemplo 3 y 4.
56 Funciones reales
II. Determine el maximo dominio de las siguientes funciones reales.
a. h : Dh → R, h(x) = 4√−x + 7
b. g : Dg → R, g(x) = 3
√−x +
1
2
c. m : Dm → R, m(x) =√x2 + 2x + 1
III. Determine las coordenadas de interseccion de la grafica de la funcion con ambos ejes (si existen) paralas siguientes funciones reales.
a. h : R → R, h(x) = 2 3√−x + 4
b. g :
]−∞,
3
2
]→ R, g(x) =
√−2x + 3− x
c. m :
[7
3, ∞
[→ R, m(x) =
1
5
√3x− 7− 2
Ademas de trabajar con criterios de funciones radicales como los del ejercicio 1 interesa cono-cer y aplicar ciertos conceptos para reescribir el criterio la funcion como el criterio de la derecha(ver cuadro 2). Es importante, que determine la forma que adquiere el criterio de cada funciondel cuadro 2 cuando x = 1 para la funcion j , r = −8 para la funcion h , a = −3 para lafuncion p.
j(x) =
√x− 1
x− 17−→ j1(x) =
1√x− 1
h(t) =t + 83√t + 2
7−→ h1(t) =3√t2 − 2 3
√t + 4
p(x) =
√9 + x + 3
x7−→ p1(x) =
1√9 + x− 3
Cuadro 2.
Como habra notado cada una de las funciones j, h, p al evaluarlas en los valores dex = 1, t = −8, x = −3 respectivamente, el criterio de cada una de las funciones tiene la for-
ma indeterminada0
0la cual puede evitarse al utilizar ciertos procedimientos algebraicos; pero
Funciones reales 57
antes es importante referirse al maximo dominio de cada una de las funciones.
Para determinar el maximo dominio observe que los tres criterios de las funciones del cuadro2 estan formadas por el cociente de dos funciones reales, donde el dominio esta dado por lasiguiente definicion:
Definicion
Considere las funciones f : Df → R y g : Dg → R donde(f ÷ g) (x) = f(x) ÷ g(x), (f ÷ g) : Df ∩ Dg− {x ∈ R/ g(x) = 0 } → R
Al utilizar la definicion anterior hay que determinar el dominio de cada una de las funciones,hallar el valor o valores que hacen cero al denominador de la fraccion y buscar la interseccionentre ellos.
Ejemplo 5. Determine el maximo dominio de las siguientes funciones:
a. p : Dp → R, p(x) =
√9 + x + 3
x
b. h : Dh → R, h(r) =t + 83√t + 2
Solucion
a. p(x) =
√9 + x + 3
xdonde p1(x) =
√9 + x + 3 y p2(x) = x
Luego, Dp1 = [−9,+∞[
Dp2 = R
Ademas, x 6= 0
∴ p : [−9,+∞[ ∩ R − {0} → R, p(x) =
√9 + x + 3
x
p : [−9,+∞[ − {0} → R, p(x) =
√9 + x + 3
x
58 Funciones reales
b. h(t) =t + 83√t + 2
donde h1(t) = t + 8 y h2(t) = 3√t + 2
Luego, Dh1 = R
Dh2 = R
Ademas, 3√t + 2 6= 0 ⇔ t 6= −8
∴ h : R ∩ R − {−8} → R, h(t) =t + 83√t + 2
h : R − {−8} → R, h(r) =t + 83√t + 2
Funciones como las anteriores son objeto de estudio en Calculo por eso es necesario trabajarcon ciertos procedimientos algebraicos que pueden aplicarse a este tipo de criterios para rees-cribirlos de otra forma, lo cual se explica en el siguiente apartado.
4.1. Racionalizacion
El criterio de una funcion radical con raıces en el denominador, en el numerador o ambos puedemanipularse utilizando el procedimiento de Racionalizacion que consiste en escribir la expresionen otra mas sencilla, que no contenga radicales en alguna de sus partes; para ello se multiplicael criterio de la funcion por el numero 1 y este numero se expresa como una fraccion unitariaadecuada, y se realizan las operaciones respectivas.
Ejemplo 6. Observe por cual expresion se multiplica el radical dado para comenzar a racionalizar cadaradical.
�√x− 1 =
√x− 1 · 1y �
√x− 2 =
√x− 2 · 1y
=√x− 1 ·
√x− 1√x− 1
=√x− 2 ·
√x + 2√x + 2
a. Escriba algunas caracterısticas que presentan estos ejemplos.
Funciones reales 59
b. Escriba cuales contenidos matematicos se utilizan para completar cada uno de los dos ejemplos.
c. Para racionalizar una expresion de la forma 3√t + 2 por cual expresion se debe multiplicar para
comenzar a racionalizarla. Justifique su respuesta.
Ejemplo 7. Para la funcion h : R − {27} → R, h(t) =3√t2 + 3 3
√t + 9
t− 27racionalice el criterio y
simplifique al maximo.
SolucionPara dar respuesta al ejercicio observe que aparece una expresion radical de ındice impar en el numerador
de la fraccion por lo que se debe utilizar la formula notable (∆ +�)(∆2 −∆�+�2) = ∆3 +�3.
h(t) =3√t2 + 3 3
√t + 9
t− 27
=3√t2 + 3 3
√t + 9
t− 27· 1
=3√t2 + 3 3
√t + 9
t− 27·
3√t− 3
3√t− 3
=
(3√t)3 − (3)3
(t− 27)(
3√t− 3
)=
t− 27
(t− 27)(
3√t− 3
)=
13√t− 3
Ejemplo 8. Para la funcion f : ]0, 1[ ∪ ]1,+∞[ → R, f(x) =1− 3√
3x + 1
x−√x
racionalice el criterio
respecto con el numerador y el denominador, ademas simplifique al maximo.
60 Funciones reales
SolucionAl tener una expresion radical de ındice impar en el numerador se debe utilizar la formula notable
(∆−�)(∆2 + ∆�+�2) = ∆3 −�3.Al tener una expresion radical de ındice par en el denominador se debe utilizar la formula notable(∆−�)(∆ +�) = ∆2 −�2
f(x) =1− 3√
3x + 1
x−√x
=1− 3√
3x + 1
x−√x· 1 · 1
=1− 3√
3x + 1
x−√x·
1 + 3√
3x + 1 +(
3√
3x + 1)2
1 + 3√
3x + 1 +(
3√
3x + 1)2 · x +
√x
x +√x
=
((1)3 −
(3√
3x + 1)3)
(x +√x)(
(x)2 − (√x)
2)(
1 + 3√
3x + 1 +(
3√
3x + 1)2)
=(1− (3x + 1)) (x +
√x)
(x2 − x)(
1 + 3√
3x + 1 +(
3√
3x + 1)2)
=(1− 3x− 1) (x +
√x)
(x2 − x)(
1 + 3√
3x + 1 +(
3√
3x + 1)2)
=−3x (x +
√x)
x (x− 1)(
1 + 3√
3x + 1 +(
3√
3x + 1)2)
=−3 (x +
√x)
(x− 1)(
1 + 3√
3x + 1 +(
3√
3x + 1)2)
Ejercicios 2.
I. Escriba en el espacio delineado la expresion algebraica que permite completar el ejercicio dado parautilizar una de las formulas notables estudiadas.
a.(√
2(x + h)−√
2x)
( .............................)
b. (5 + 3√x) ( .............................)
c.(√
y +√y + 1
)( .............................)
II. Considere el criterio de las funciones dadas en su maximo dominio y codominio R, racionalice elcriterio de la funcion y simplifique al maximo.
Funciones reales 61
a. f(h) =
√(x + h) + 1 +
√x + 1
h
b. p(x) =3√x− 3√
2
x− 2
Ejercicios Complementarios 4.
1. Determine el maximo dominio de las siguientes funciones con codominio R.
a. f(x) = 4√x2 − 2x + 2 − 2
b. g(t) =
√t + 5
3√t + 1
c. j(x) =√
2h + 15−√
2− h
d. t(x) =1√
h− 4− 5
e. m(t) = 3√
4− x
2. Racionalice el criterio de las funciones segun corresponda y simplifique al maximo. Considere cadafuncion definida en su respectivo dominio.
a. f(x) = −2(√
2− x + 3)
b. g(t) =t− 8
t( 3√t− 2)
c. j(x) =
√2(x + h) + 1−
√2x + 1
h
d. t(x) =3√
(x + h)2 + 3√x(x + h) +
3√x2
h
e. m(x) =
x3
15− x2
5− x
3+ 1
(x− 1)−√x + 1
f. h(x) =1−√x− 1
1 + 3√
1− x(respecto con numerador y denominador)
62 Funciones reales
3. Determine los puntos de interseccion de la grafica de cada funcion con los ejes coordenados. Con-sidere las funciones en su maximo dominio (debe determinarlo) y con codominio R.
a. T (x) =√
3− x− x− 3
b. N(x) = 3√
6− x2 + 5
c. P (x) = 2x13 − 3x
16 + 1 (Utilice la sustitucion t = x
16 y que x
13 = (x
16 )2 )
d. F (t) =2( 3√t− 1)3√t
4. Dos estudiantes de Precalculo se encuentran estudiando algunos ejercicios de racionalizacion. Elle muestra a ella la solucion encontrada para un ejercicio que tiene como indicacion:Racionalizar y simplificar al maximo el criterio de la funcion
g(x) =x2 − 9
3√x + 3√
3
Solucion
g(x) =x2 − 9
3√x + 3√
3=
3√x− 3√
33√x− 3√
3
=(x− 3)2( 3
√x− 3√
3)
x− 3
= (x− 3)( 3√x− 3√
3)
La companera le indica a su companero que cometio errores al resolver el ejercicio. Encuentre loserrores cometidos por el estudiante y proceda a corregir el ejercicio.
Funciones reales 63
4.2. Acercamiento al Calculo
Analice la informacion que se presenta a continuacion:
Al calcular √4
resulta inmediato contestar 2.
Pero ¿que tal si se expresa√
4 como√
22? La respuesta sigue siendo la misma√
4 =√
22 = 2
aunque tambien es verdadero que√
4 =√
(−2)2
¿ Se puede afirmar, entonces que√
4 =√
(−2)2 = −2? Es decir, ¿√
4 dacomo resultado dos valores distintos? La respuesta es NO.
Lo anterior se justifica al considerar que f(x) =√x es una Funcion, y la raız
cuadrada de un numero positivo es unica. Ası que para obtener el resultadocorrecto se procede ası:
√4 =
√(−2)2
= | − 2|= 2
Es importante aclarar que esta situacion se presenta para cualquier radicalde ındice par, y se tiene que f(x) = n
√∆n = |∆| donde ∆ representa
cualquier expresion.
Ahora bien, en el curso de Calculo el resultado anterior y lo estudiado en la seccion 1.3. en re-lacion con factorizar en un polinomio una expresion que no es comun a todos los terminos seintegran en ejercicios relacionados con calcular un lımite.
64 Funciones reales
Ejemplo 9. Calcular el lımite lımx→−∞
2x + 1√x2 + 2
Solucion
Primero se aplica la tecnica de obtener como factor la mayor potencia de x en el numerador y
denominador ası: lımx→−∞
x
(2 +
1
x
)√
x2
(1 +
2
x2
)
Se aplica el resultado comentado en esta seccion lımx→−∞
x
(2 +
1
x
)|x|√
1 +2
x2
Como se esta analizando el comportamiento para preimagenes negativas por tener −∞ entonces|x| = −x
Sustituyendo lo anterior y simplificando se tiene lımx→−∞
x
(2 +
1
x
)−x√
1 +2
x2
= lımx→−∞
2 +1
x
−√
1 +2
x2
Resta aplicar el concepto de lımite al infinito que es del curso de Calculo
Ejercicios 3.
Reescribir el criterio de cada funcion como se mostro en esta seccion.
a. f(x) =
√x2 + 10x
x− 8si x > 0
b. g(x) =3√−x + 5x3 − 2
2x2 − 3x + 1si x < 0
c. h(x) =8x3 − 14√x4 − 5
si x < 0