funciones fin

CECyTE Puebla Cálculo Funciones

FUNCIONES

Objetivo ParticularAl terminar podrás expresar funciones tomadas de situaciones reales, así como su dominio y contradominio utilizando su nomenclatura, además de tabular y graficarlas para solucionar problemas contextuales del entorno.

Resultados de Aprendizaje

Conocimientos Definición de función. Variable dependiente y variable independiente. Dominio y contradominio. Notación. Tabulación y Graficación. Definición de Función en base a las coordenadas del plano cartesiano.

Habilidades Interpretar con modelos matemáticos o ecuaciones relaciones de

conjuntos, tomados del entorno que los rodea. Expresar funciones de ejemplos contextuales, aplicando dominios, contradominios, además de utilizar la

nomenclatura. Tabular funciones con los dominios y contradominios para crear pares de coordenadas y graficarlas en la

solución de problemas contextuales. Interpretar la gráfica de una función tomada de ejemplos contextuales.

Introducción

¿Qué tanto sabes de funciones?

A estas alturas de tus estudios seguramente has escuchado hablar de funciones, funciones trigonométricas, funciones de hojas de cálculo (Excel), funciones de la calculadora, etc. O has escuchado frases como “la economía está en función de la oferta y la demanda”, “El consumo de gasolina está en función de la distancia recorrida”, etc.

Pues bien en esta parte podrás conocer el concepto y aplicación de Función, que te servirá como base para comprender los temas de Límites, Derivada, e Integral, los cuales podrás utilizar para la solución de problemas contextuales de tu entorno diario, social, científico y tecnológico. Además de ser temas de base para tus estudios universitarios de Ingeniería.

ISC Miguel Ángel Rodríguez Flores 1


Alumno: Grupo: No Lista:

Actividades de Apertura

Instrucciones: En equipos de 5 integrantes contesta las siguientes actividades, durante ellas comparte tus conocimientos, dudas, aportaciones, etc. De ser necesario pregunta a otros equipos o a tu docente.

1.- En la vida cotidiana sin darnos cuentas manejamos funciones o somos variables de funciones. Te preguntaras como es esto. Pues déjame contarte como sucede.

Donde vives debe existir transporte colectivo, ¿Verdad? Dime ¿Cuánto Cobra? , cuando lo tomas te cobra la cantidad que escribiste, ¿Correcto?, y si vas con algún otro compañero, entonces te cobra , pero si vas con otros dos compañeros de tu escuela, debe cobrarte .

2.- Entonces una tabla de costos sería… me podrías ayudar a terminarla.

3.- Si puedes apreciar, para calcular el costo del pasaje realizas una operación aritmética, ¿Cuál es? (Selecciona tu respuesta con un circulo)

Suma Resta Multiplicación División Potencia

Esta operación la manejas con el número de pasajeros y la tarifa del pasaje del transporte colectivo donde vives.

4.- Entonces ayúdame a completar la siguiente expresión.

$Costo del pasaje = No. x $ .

5.- Y si tuvieses que asignarle una variable o utilizar una variable que represente el número de pasajeros, ¿Cuál ocuparías? Me imagino que utilizaste una de las variables que ocupaste en tu materia de Álgebra, como X, Y o Z, y si soy adivino diría que fue X, ¿Verdad?

6.- Y si tuvieses que asignarle una variable o utilizar una variable que represente el costo, ¿Cuál ocuparías? Me imagino que fue Y, ¿Verdad?

7.- Entonces ayúdame a completar la siguiente expresión. = , o mejor aun y= x , quedándonos una expresión algebraica.

Instrucciones: Es probable que desees verificar los resultados que llevas hasta ahora, si deseas aclarar alguna duda, puedes acercarte a otro equipo para verificar tus resultados.

Hasta el momento vas muy bien, te felicito. Ahora ayúdame con lo siguiente…

8.- Quiero hacerte unas preguntas, en esta tabla que realizamos, dime ¿Quién depende de quien? Coloca una o una para calificar la preposición y posteriormente completa la conclusión.

Preposiciones:a) El número de pasajeros depende del costo b) El costo depende del número de pasajeros .

Conclusión: Si x=número de pasajeros, y= costo. Entonces: y d_______e de x.

9.- Si tuviésemos que darles un nombre a las variables que utilizaste (x, y), A que variable llamarías variable dependiente y a que variable llamarías variable independiente .

10.- En base a lo anterior, dime ¿Quién domina a quien? Coloca una o una


No. Pasajeros

Costo $

12345…8...10


El número de pasajeros domina al costo o el costo domina al número de pasajeros .

Si x=número de pasajeros, y= costo. Entonces x representa el d_______o de y.

11.- Ahora, dime ¿Quién esta en función de quien? Coloca una o una

El número de pasajeros esta en función del costo o el costo esta en función del número de pasajeros .

Como te dije al principio en la vida diaria manejamos funciones o somos parte de ellas.

Espacio para escribir notas, comentarios o conclusiones:


No. de P C

12345…8…10

$$$$$…$…$

x y

Variable in Variable de

Dom Con



Actividades de Desarrollo

Instrucciones: En equipos de 5 integrantes contesta las siguientes actividades, durante ellas comparte tus conocimientos, dudas, aportaciones, etc. De ser necesario pregunta a otros equipos o a tu docente.

1.- Hasta este momento hemos identificado un ejemplo de función en nuestro entorno. Ahora utiliza las siguientes palabras para construir la definición de función:

Relación conjunto correspondencia

Función: Es la o que existe entre un y otro.

En el caso de la situación contextual de tu transporte colectivo, la relación o correspondencia que existe entre el costo y el número de pasajeros es multiplicar a x (No. De pasajeros) por tarifa del transporte colectivo.

2.- Completa el siguiente diagrama sagital de acuerdo al ejemplo del transporte colectivo de tu comunidad. Utiliza flechas para simbolizar la función (relación o correspondencia) entre los dos conjuntos.

3.- Definamos ahora dominio y contradominio de la misma forma que función, utiliza las palabras para construir la definición.

posibles valores conjunto resultados x y

Dominio: Es el de todos los que puede tomar . Contradominio: Es el de todos los que puede tomar .

4.- Escoge (encierra en un círculo) que notación puede representar a una función, de tal forma que se pueda leer en función de x o función de x:

∑ x ∫ xdx f ( x ) √ xAsí es, también puede representarse con g( x ) , h( x ), f (a ) de tal forma que la variable que esta entre paréntesis sea la variable independiente.

5.- Ahora escoge (encierra en un círculo) la notación que representaría la situación contextual del costo del pasaje en el transporte colectivo, posteriormente pregunta a tu docente por las instrucciones para compartir con los demás equipos tus respuesta, verificar resultados, aclarar dudas, y de ser necesario corregir.


La relación o correspondencia que hay entre estos dos conjuntos es: Multiplicar x por la tarifa del transporte.

y=___x

Donde y es el costo y x es el No. De pasajeros


f ( x )=¿ x ∫¿¿ ∑ x=¿¿¿ limx=¿ x

¿


Actividades de Cierre

Instrucciones: Ahora vamos a comprobar los conocimientos y habilidades que has adquirido y desarrollado al lado de tus compañeros.

Una vez concluido esto menciona tres ejemplos de funciones que puedan extraerse de tu entorno diario, indicando la relación que existe entre el dominio y el contradominio de la función.

1.-

2.-

3.-

Autoevaluación:

Sin necesidad de regresar a las hojas anteriores contesta las siguientes preguntas:

1.- Describe que es una función y da un ejemplo:

2.- ¿Cuál es la notación que se ocupa para Función?:

3.- Describe variable dependiente:

4.- Describe Contradominio de una función:

Ahora en la siguiente tabla coloca en los conocimientos construidos o habilidades que has desarrollado una en los que aun tienes dudas. Así también coloca comentarios sugerencias para tu docente.

Conocimientos o Habilidades o Actitudes o

Función Expresar funciones extraídas de mi entorno Trabajar en equipo.Notación de Función Utilizar notación de funciones. Expresar ideas de manera claraDominio Determinar la variable dependiente e independiente Respeto y ToleranciaContradominio Uso de las TIC’s

Comentarios y sugerencias:

De las siguientes competencias marca con en los que piensas has desarrollado y una las que aun no has desarrollado.

Competencias o

Competencias o

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques

Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean


Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.


f(x)= y

x0

No. de P

Costo


Tabulación y Graficación – Actividades de Apertura

Bien, para entender el concepto de tabulación y su aplicación, toma en cuenta la tabla que realizaste de los costos. Si tuvieras que formar con los valores de la tabla coordenadas ¿Cómo quedaría?

x

y Coord.( x, y)

1 ( , )2 ( , )3 ( , )4 ( , )5 ( , )… ( … , … )8 ( , )… ( … , … )10 ( , )

Y ¿Cómo representarías las coordenadas en una gráfica?. dale escala en el eje x y en el eje y


No. Pasajeros

Costo $

12345…8...10


Lo que acabas de realizar es tabular tu función y representarla en una gráfica, gracias a las coordenadas que formaste con x y y. Es decir “graficaste la función de costos del transporte colectivo de tu comunidad”.

Ahora pasemos a un nuevo ejemplo. En tu municipio seguramente existan programas de apoyo a la comunidad. Por ejemplo becas, despensas, desayunos escolares, etc. Yo conozco un programa que reparte despensas por medio de una asociación, para lo cual cada mes se les asigna 100 despensas y son repartidas entre las personas que solicitan el apoyo. Es decir el número de despensas que le tocan a cada persona está dado por:

No despensas por persona = 100 x donde x representa el No. de P .

Si tuvieras que representarlo utilizando la variable dependiente y y la variable independiente x como sería:

y=o también

f ( x )=función de despensas por personas, y depende del No. de perdonas que solicitaron el apoyo.

Realiza entonces su tabulación

Por último gráfica la función en una hoja milimétrica o en tu libreta.

Aplicaciones sencillas de las funciones. – Actividades de Desarrollo

Una vez que ya se ha comprendido estos conceptos, te preguntaras para que me son útiles, ¿verdad? Vamos a analizarlo.

Ignoro cuánto cobra tu transporte colectivo, pero supongamos que mi transporte colectivo cobra $6.00 entonces la función que describe el costo de viajar en dicho transporte es:

f ( x )=6 x donde x representa al No de P , que viajarían en el transporte.

Si quisiera saber cuánto me cobrarían por mi familia que está conformada por 5, entonces sería:

f (5)=6(5 )=30

Es sencillo, pero si se presentara la situación en la cual solo tengo $50.00 para cubrir el pasaje de mis compañeros de equipo de fútbol, ¿para cuantos compañeros me alcanzaría?.

f ( x )=6 x como solo tengo $50.00 entonces podríamos decir que f ( x )≤50así que al igualarlo quedaría:

50≤6 x despejando nos daría x≤50

6 dando x≤8 .3Lo cual quiere decir que solo me alcanza para pagar el transporte de 7 compañeros y el mío.


No. de Personas

DespensasPor persona

Coordenadas( x , y )

1 ( , )2 ( , )3 ( , )4 ( , )5 ( , )6 ( , )7 ( , )8 ( , )9 ( , )10 ( , )


De igual manera, resuelve la siguiente situación. En una empresa para la construcción, se pagó 15000 cuando trabajaron 12 empleados en una semana. Tu tío es capataz de dicha constructora, así que ha decidido invitarte a trabajar junto con otros 4 primos tuyos, y tu deseas saber cuanto ganaras a la semana, además tu tío necesitar saber cuanto saldrá de nómina a la semana para pagar a los empleados, incluyendo a ti y tus primos.

EjerciciosDetermine los resultados de las siguientes funciones, puede apoyarse en sus compañeros o docente.

a)f (2)=x+2 x2b)f (6 )= x+2 x2

x c)f (4 )=√2+2 x2d) f (3)=3 x+6

x2



Determinar Dominio y Contradominio

Para determinar cuál es Dominio de una función, es decir los posibles valores que puede tomar la variable independiente x es necesario utilizar las propiedades de operaciones aritméticas y operaciones Algebraicas vistas en el 1er semestre, además del manejo de ecuaciones y desigualdades.

Dominio

Tomando el ejemplo de la asociación que reparte despensas, si recuerdas su función es f ( x )=100

x donde x representa el inscritas al programa.

Estamos consientes que al menos una persona solicitaría el apoyo, pero si nadie solicitara el apoyo que pasaría? es posible que desaparezca ese programa de ayuda, o las despensas sean devueltas, es decir x no deber valer 0 y mucho menos ser negativo.

Entonces x deber ser mayor de cero x>0 , de acuerdo a esta deducción el dominio de x es DF = (0,+) intervalo abierto de 0 a + .

El dominio de f ( x )=100

x esta formado por todos los números positivos.

ContradominioAhora supongamos que tenemos la siguiente función que expresa la fórmula para obtener el área de un cuadrado.

Área = (lado)2 f ( x )=x2donde x representa el valor del lado.

Independiente del tamaño que tenga el lado del cuadrado, siempre existirá un área, ¿cierto?, aun a pesar de que le asignáramos valores negativos a su variable independiente x siempre será un valor positivo o cero (mayor o igual a cero).

Por tal motivo su Contradominio es y≥0 , de acuerdo a esta conclusión el contradominio de y es CF = [0, +) un intervalo semiabierto que incluye al 0 como resultado de la función.

EjemplosPara los casos anteriores no se tuvo mucho problema al determinar el dominio y contradominio.

1) Si f ( x )=5 x−2

x+4 entonces sabemos que no se puede dividir entre cero, por lo cual x+4≠0 despejando

esta desigualdad tendríamos x≠−4 , por lo tanto la función no se puede determinar cuando x=−4 , así que su dominio es cualquier número excepto el -4. Representándose con intervalos como DF = (-,-4) U (-4, +).

2) Si f ( x )=√ x−2 entonces conocemos que no existen raíces cuadradas negativas, por lo cual x−2>0

despejando esta desigualdad tendríamos x>2 , por lo cual su dominio es cualquier valor mayor de 2, representándose con intervalos como DF =(2, +)

Ejercicios: Determine el dominio de las siguientes funciones, puede apoyarse en sus compañeros o docente.

a)f ( x )=x+2 x2b)f ( x )= x+2x2

x c)f ( x )=√2+2 x2d) f ( x )=3 x+6

x2


Intervalo abierto e intervalo abierto.

Recuerda que los intervalos abiertos no incluyen a los valores de referencia, mientras que los intervalos cerrados si los incluyen.



Cierre

1.- Para la reafirmación de los conceptos realice un mapa conceptual.2.- Utilice la nomenclatura de funciones para representar la fórmula utilizada para convertir grados Celsius a grados Fahrenheit.

F=95C+32 ()= +32

3.- Apoyándose de su mapa conceptual, realice un diagrama sagital representando la función utilizada para convertir grados Celsius a grados Fahrenheit. Además de colocar los elementos involucrados en la representación de la función.

4.- Realice la Tabulación y graficación de la función utilizada para convertir grados Celsius a grados Fahrenheit.

5.- En diferentes disciplinas, tales como la Física, Química, Electrónica se emplean fórmulas o funciones, escoja una para representarla como una función, tabúlela y grafíquela.

Ahora en la siguiente tabla coloca en los conocimientos construidos o habilidades que has desarrollado una en los que aun tienes dudas. Así también coloca comentarios sugerencias para tu docente.

Conocimientos o Habilidades o Actitudes o

Dominio Tabular funciones. Trabajar en equipo.Contradominio Crear pares de coordenadas a partir de funciones. Expresar ideas de manera claraTabulación Graficar funciones a partir de coordenadas. Respeto y ToleranciaGraficación Interpretar la gráfica de una función tomada de

ejemplos contextualesSolucionar problemas contextuales aplicando funciones. Uso de las TIC’s

Comentarios y sugerencias:

De las siguientes competencias marca con en los que piensas has desarrollado y una las que aun no has desarrollado.

Competencias o

Competencias o

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques

Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.


Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean


Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.


Cel____ Fa_________ Coordenadas1º ( , )2º ( , )3º ( , )4º ( , )5º ( , )6º ( , )7º ( , )8º ( , )9º ( , )10º ( , )


EvaluaciónAlumno: Grupo: No Lista:

Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios y situaciones, en una hoja coloca tus procedimientos y en esta solo tus resultados, entrega ambas hojas al terminar.

a) Determine los resultados de las siguientes funciones.

1)f (2)=3 x5−7 x2+15 2)f (4 )=( x2+4 )( x−3 ) 3)f (5)=√x2−10

4)f (6 )= x−3

x+2+10

5)f (1)=√ 5−x

x

b) Encuentre el Dominio de las siguientes funciones

1)f ( x )=x √x 2)f ( x )=2x+1

x+3 3)f ( x )=√3−4 x2

4)f ( x )= x2

1+x 5)f ( x )=√2 x2−1

c) Grafique las siguientes funciones

1)f ( x )=x √x 2) 2)f ( x )=(x2+4 )( x−3 ) 3)f ( x )=√3−4 x2

d) Tres kilogramos de sal valen $18.00. Escribe y representa la función que define el coste de la sal en función de los kilogramos comprados.

e) En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establecer una función a fin que dé la altura de la planta en función del tiempo y representar gráficamente.

f) Por el alquiler de un coche cobran $1000.00 diarios más 30.00 por kilómetro. Encuentra la función que relaciona el costo diario con el número de kilómetros y represéntala en una gráfica. Si en un día se ha hecho un total de 300 km, ¿qué importe debemos abonar?

g) Para poner piso a una casa de 120m2, se utilizaron 960 mosaicos, y se invirtió $18000.00, aplicando funciones indique cuánto costaría poner piso a una casa de 100m2 y cuantos mosaicos me sobrarían si he decidido comprar un millar (1000).


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