M. Bocco - 2018

FUNCIONES

EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

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OBJETIVOS

• Describir analítica y gráficamente las funcionesexponenciales y logarítmicas y reconocerlas comofunciones inversas.

• Aplicar las propiedades que definen elcomportamiento gráfico de las funcionesexponenciales y logarítmicas.

• Resolver problemas que involucran crecimientos odecrecimientos modelizados por funcionesexponenciales y logarítmicas.

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Funciones Exponenciales y Logarítmicas

• Definición de funciones exponenciales. Gráficos

distintos tipos.

• Mónotonía del crecimiento. Crecimiento logístico.

• Definición de funciones logarítmicas. Gráficos

distintos tipos.

• Propiedades del Logaritmo.

CONTENIDOS

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Definición:

Llamamos función exponencial a una función

f : R R que verifica:

f (x) = a x

con a > 0 y a 1 un número real.

FUNCIÓN EXPONENCIAL

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• a 1 pues f (x) = 1x es una función constante.

• la base a es una constante.

• a > 0 para asegurar Dom f = R

Observación

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Gráfico de la Función Exponencial

Caso I a > 1

1. Dom f = R e Img f = (0 , + )

2. La función pasa por el punto (0,1)

xxf 2)(

3a. El gráfico de la función y = 2x , para x > 0 seencuentra por encima de la recta y = 1

3b. El gráfico de la función y = 2x , para x < 0 seencuentra por debajo de la recta y = 1

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4. La función y = 2x es creciente para todo x R

5. El gráfico que representa a la función tiene trazo

continuo y es cóncavo hacia arriba.

x

y

y = 2x

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Caso II 0 < a < 1

1. Dom f = R e Img f = (0 , + )

2. La función pasa por el punto (0,1)

3a. El gráfico de la función y = (½) x , para x > 0 seencuentra por debajo de la recta y = 1

3b. El gráfico de la función y = (½) x , para x < 0 seencuentra por encima de la recta y = 1

x

xf

2

1)(

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4. La función y = (½) x es decreciente para todo x R

5. El gráfico que representa a la función tiene trazo

continuo y es cóncavo hacia arriba.

x

y

y = (½)x

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Propiedades de la Función Exponencial

f (x) = a x con a > 1

✓ Dom f = R

✓ Img f = R > 0 = (0, + )

✓ Pasa por (0,1)

✓ Es creciente

✓ Tiene trazo continuo

✓ Si x + entonces a x +

✓ Si x - entonces a x 0

x

y = f (x)

•1

y = a x

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f (x) = a x con 0 < a < 1

✓ Dom f = R

✓ Img f = R > 0 = (0, + )

✓ Pasa por (0,1)

✓ Es decreciente

✓ Tiene trazo continuo

✓ Si x + entonces a x 0

✓ Si x - entonces a x +

x

y = f (x)

•1

y = a x

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Dos funciones especiales:

Base decimal: y = 10 x

Base natural: y = e x e = 2,71...

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Definición:

La función f : R > 0 R definida por

f (x) = log a x a y = x

con a > 0 y a 1 se llama función logarítmica de

base a.

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

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Propiedades de la Función Logarítmica

f (x) = log a x con a > 1

✓ Img f = R

✓ Dom f = R > 0 = (0, + )

✓ Pasa por (1,0)

✓ Es creciente

✓ Si x + entonces log a x +

x

y = f (x)

•1

y = log a x

✓ Si x > 1 , log a x es positivo

✓ Si x 0 + entonces log a x -

✓ Si x < 1 , log a x es negativo

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f (x) = log a x con 0 < a < 1

✓ Img f = R

✓ Dom f = R > 0 = (0, + )

✓ Pasa por (1,0)

✓ Es decreciente

✓ Si x + entonces log a x -

x

y = f (x)

•1

y = log a x

✓ Si x > 1 , log a x es negativo

✓ Si x 0 + entonces log a x +

✓ Si x < 1 , log a x es positivo

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Dos logaritmos especiales:

Logaritmo decimal: y = log 10 x = log x

Logaritmo natural: y = log e x = ln x

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Se verifica, si los logaritmos involucrados existen, que:

Propiedades de la Función Logaritmo

1. nmnm aaa loglog).(log

nmn

maaa logloglog

2.

mrm ar

a log.)(log 3.

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Cambio de Base

y = log a x

y log a = log x

log x

log ay =

y ln a = ln x

ln x

ln ay =

log x

log alog a x =

ln x

ln a=

x = a y

log a y = log x ln a y = ln x

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Modelo Logístico

Crecimiento natural con límite superior de desarrollo

Esta ecuación se denomina Ecuación de Verhulst. Fuepublicada por primera vez por Pierre F. Verhulst en 1838,quien la derivó de las propuestas por:

• Thomas Malthus, que la llamó Ecuación logística, y lautilizó para describir crecimiento de la población humana

• Alfred Lotka que la llamó Ley de crecimiento poblacional.

ktCeB

Atf

)(

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Función Logística

y = ex

y = e x y = e -x

y = e -x

y = 2 e -x

y = 2 e -x

y = 3+ 2 e -x

y = 3+ 2 e -x

xe

xf1

23

15)(