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9 Versión: 6 de noviembre de 2017

Funciones de varias variables

En este tema introducimos algunos elementos básicos del cálculo diferencial en varias variables. Muchos procesos(físicos, biológicos, . . . ) dependen de varias variables. Muy frecuentemente, estas son la posición espacial y eltiempo, pero también pueden ser otras. Por ejemplo, la temperatura de un ser vivo puede variar en tiempo(según las horas del día), pero también en espacio (el punto del cuerpo que se considere), la concentración denutrientes en el interior y en torno a la célula, la concentración de una determinada droga en el cuerpo, lavelocidad y la presión del viento en el aire, o la intensidad de un campo eléctrico o magnético generado por unacorriente eléctrica, entre otros muchos ejemplos.

Al igual que ocurre con las funciones de una variable, las derivadas de una función de varias variables permitenobtener información valiosa sobre ésta: permiten conocer y estimar cómo varía, si alcanzan un valor máximo omínimo, permiten obtener aproximaciones mediante polinomios, por ejemplo. Aprender a obtener este tipo deinformación va a ser el objetivo básico de este tema.

9.1 Dominio y recorrido de una función de varias variables

Recordamos la notación que usamos para funciones de una variable. Sea, por ejemplo

f : [0, 4] ⊂ R 7→ R definida por f(x) =√x

Dominio es el conjunto de números x para los cuales la función está definida, es decir, se puede calcular.

Recorrido es el conjunto de todos los valores y = f(x) que se obtienen al evaluar f para todos los puntos xde su dominio.

En el caso del ejemplo, el dominio de f es [0, 4] y el recorrido es el intervalo [0, 2].

Consideramos ahora funciones de dos variables, definidas para pares de números reales (x, y), con x ∈ R yy ∈ R. Se denomina también a estos pares puntos y se suele escribir

(x, y) ∈ R2

para indicar que ambas componentes pertenecen a R. Se identifican con los puntos en el plano. A cada par (x, y)la función asocia un número real z = f(x, y).

Igual que para funciones de una variable, el dominio de una función

f : D ⊂ R2 7→ R

es el subconjunto D de R2 sobre el que consideramos la función o sobre el que está bien definida, y el recorridoes el conjunto de valores z que se obtienen al evaluar f en todos los puntos de su dominio.

1

9. Funciones de varias variables 2

Ejemplo 9.1 f(x, y) =x

y

El dominio de esta función el el conjunto de puntos (x, y) ∈ R2 para los cuales se puede calcularx

y, es decir

es todo el plano, menos la recta y = 0:

D = {(x, y) ∈ R2 : y 6= 0}

El recorrido de f es el conjunto de todos los números reales.

Ejemplo 9.2 f(x, y) =xy

x2 + y2

El dominio de esta función el el conjunto de puntos (x, y) ∈ R2 menos el origen de coordenadas:

D = R2 \ {(0, 0)}

El recorrido de f es el conjunto de todos los números reales.

Ejemplo 9.3 f(x, y) =√y2 − x

El dominio de esta función el el conjunto de puntos (x, y) ∈ R2 para los cuales se puede calcular√y2 − x.

Para ello tiene que ocurrir

y2 − x ≥ 0 ⇔ y2 ≥ x

Vamos a identificar la región del plano OXY en la cual severifica x ≤ y2. Está claro que la región en la que x ≤ y2

está separada de la región en la que x > y2 por la curvax = y2. Esta curva divide el plano OXY en dos partes.Para saber en cuál de ellas se verifica x ≤ y2 se puede eva-luar la función en algún punto de cada región. Por ejemplo,en el punto (−1, 0) se tiene x = −1 < y2 = 0 mientras queen el punto (1, 0) se tiene x = 1 > y2 = 0. El dominio de fes, por tanto la parte «exterior» a la parábola:

D = {(x, y) ∈ R2 : x ≤ y}

El recorrido de f es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que cero.

Matemática Aplicada y Estadística Dpto. EDAN - Univ. de Sevilla


Ejemplo 9.4 f(x, y) = [0, 1]× [0, 1] 7→ R, f(x, y) = x+ y

La notación [0, 1]× [0, 1] indica que la primera componentedel par (x, y), es decir, x, varía en el primero de los interva-los, [0, 1] y lo mismo la segunda, (ya que en este caso ambosson iguales).Es decir, que f está definida en el cuadrado de la figura queincluye sus fronteras.¿Qué conjunto de valores toma f?Está claro que el valor mínimo lo toma en el punto (x, y) =(0, 0), f(0, 0) = 0, y que el valor máximo lo toma cuando(x, y) = (1, 1), f(1, 1) = 2.Luego el recorrido de f es el intervalo [0, 2].

9.2 Representación gráfica de una función de dos variables

En el caso de las funciones de una variable, el dibujo de su gráfica resulta de enorme ayuda para comprender elcomportamiento de una función.Vamos a ver ahora de qué forma se puede representar gráficamente una función real de dos variables reales.

9.2.1 Representación como una superficie en el espacio tridimensional

Una forma de hacerlo es escribir

z = f(x, y)

e interpretar que, a cada punto (x, y) del plano OXY la función f le hace corresponder una «altura» dada porz = f(x, y). La representación, en el espacio tridimensional, de los puntos

{(x, y, z) : (x, y) ∈ D, z = f(x, y)}

constituye una superficie. En la Figura 9.1 están representados los ejes de coordenadas en el espacio 3D. Enla parte de abajo los ejes OX y OY, con la orientación relativa habitual.

Y

Z

X

Figura 9.1: Los ejes de coordenadas en el espacio 3D.

Y

P(a,b,c)

c

b

Z

a

X

Figura 9.2: Un punto en el espacio 3D viene definidopor tres coordenadas.



Ejemplo 9.5 f(x, y) = 2x2 − y2

El dominio de esta función es todo el plano R2. La gráficade la derecha está realizada para (x, y) ∈ [−2, 2] × [−2, 2](obsérvese la graduación de los ejes). También se observaque, para estos valores de (x, y), la función toma valoresentre −4 y 8 (véase la graduación del eje OZ (eje vertical).

Si se mantiene constante una de las variables, por ejemplola variable y = 0.5, entonces, sobre esta línea recta y = 0.5la función depende sólo de la variable x:

f(x, 0.5) = 2x2 − (0.5)2 = 2x2 − 0.25

que es la expresión de una parábola convexa, como se puedeconfirmar en la gráfica de la derecha, observando que elcorte de la superficie z = 2x2 − y2 con el plano verticaly = 0.5 que es una parábola «hacia arriba».

Si, en cambio, se mantiene constante la variable x, por ejem-plo la variable x = 0, entonces sobre esta recta x = 0 lafunción depende sólo de la variable y:

f(0, y) = 0− y2 = −y2

y su gráfica es una parábola invertida, como puede obser-varse en la gráfica adjunta.



Ejemplo 9.6 f(x, y) = x sen y

Cuando la gráfica se puede representar en un medio queadmita color, es frecuente acompañarla de una «barra decolor» que ayuda a identificar los valores de la función.Como se puede comprobar en el dibujo de la derecha, cuan-do se mantiene la variable x constante, por ejemplo x = −2,la función se reduce a

f(−2, y) = −2 sen y

mientras que si se mantiene constante la variable y, porejemplo y = −1 la función se reduce a una recta

f(x,−1) = x sen(−1) = constante× x

Obviamente, dibujar a mano una superficie en el espacio tridimensional no es fácil. Afortunadamente, existenbuenos programas de ordenador que lo pueden hacer por nosotros.

9.2.2 Representación mediante curvas de nivel

Otra forma habitual de visualizar funciones es representar sus curvas de nivel: curvas que unen los puntos deldominio en los que la función toma el mismo valor. En otras palabras, para

f : D ⊂ R 7→ R

la curva de nivel de valor k es la que forman los puntos

{(x, y) ∈ R2 : f(x, y) = k}

Estas curvas se dibujan en el plano OXY. También se llaman curvas de isovalores.

Ejemplo 9.7 f(x, y) = 4x2 + y2

La superficie z = 4x2 + y2 está representada en la Figura 9.3. Curva de nivel de valor k tiene la ecuación:

4x2 + y2 = k

Para k = 0 es un punto (0, 0). Para k > 0 es una familia de elipses de la forma:

x2

k/4+y2

k= 1

Se puede observar en la Figura 9.4 algunas curvas de nivel correspondientes a los valores de k regularmenteespaciados: 1, 2, 3, 4, 5.



−1.5−1

−0.50

0.51

1.5

−3

−2

−1

0

1

2

3

0

2

4

6

8

10

12

14

16

X

4x2+y

2

Y

Figura 9.3: La superficie f(x, y) = 4x2 + y2 del Ejem-plo 9.7 junto con las curvas de nivel proyectadas en elplano OXY.

1 1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

3

44

4

4

4

5

5 5

5

5

5

X

Y

4x2+y

2

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Figura 9.4: Las curvas de nivel de f(x, y) = 4x2+y2 estánmarcadas con los valores a los que corresponden. Todos losvalores están regularmente espaciados: 1, 2, 3, 4, 5.

Cuando la curvas de nivel se dibujan sobre la superficie de z = f(x, y), como se muestra en la Figura 9.5, se lessuele llamar líneas de contorno. A menudo no se hace esta distinción y se usan indistintamente.

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

2

0

2

4

6

8

10

12

Z

(2x2+y

2)exp(−(x+y)

2)

Y X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Figura 9.5: En esta figura están dibujadas, sobre la su-perficie de ecuación z = (2x2 + y2)e−(x+y)2 , sus lineas decontorno (es decir curvas de nivel sobre la superficie).

X

Y

(2x2+y

2)exp(−(x+y)

2)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Figura 9.6: Cuando las curvas de la Figura 9.5 se proyec-tan sobre el plano OXY se obtienen las curvas de nivel. Siel dibujo es en color, con frecuencia se acompaña de una«barra de color» para identificar los distintos valores.

Con frecuencia se dibujan las curvas de nivel correspondientes a un conjunto de valores regularmente espaciados,como en el caso de las Figuras 9.4 y 9.6 . En este caso, la separación entre las curvas da una idea de la variaciónde la función: cuanto más próximos estén las curvas de nivel, más rápidamente crece o decrece la función es esazona.

Cuando se dibuja sin utilizar color, se suelen marcar las curvas de nivel con los valores correspondientes, comose hace en la Figuras 9.4 y 9.7.



0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

1

1

1

1

11

2

2

2

2

4

4

4

4

6

6

8

8

10

10

X

Y

(2x2+y

2)exp(−(x+y)

2)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 9.7: Algunas curvas de nivel de la función z = (2x2+y2)e−(x+y)2 .Las curvas están marcadas con los valores a los que corresponden. Obsér-vese que, en este caso, no todos los valores elegidos están regularmenteespaciados: 0.1, 0.5, 2, 4, 6, 8, 10.

El tipo de gráficas con curvas de nivel son habituales, por ejemplo, en meteorología y en topografía, véanse lasFiguras 9.8 y 9.9.

Figura 9.8: En los mapas meteorológicos con frecuenciase dibujan las isobaras, curvas de nivel de la presiónatmosférica (los puntos del mapa que tienen la mismapresión).

Figura 9.9: Mapa topográfico: se representa la altitud(sobre el nivel del mar) en cada punto. Con ayuda de estemapa se pordría representar el «perfil» de una ruta, porejemplo, entre los puntos A y B.



9.3 Derivadas parciales de funciones de dos variables

Supongamos que queremos estudiar la asimilación de CO2 de una cierta planta y, más concretamente, la res-puesta a los cambios de temperatura y luminosidad.¿Cómo se haría esto experimentalmente?Denotemos T a la temperatura, L la luminosidad y A a la cantidad de CO2 asimilada, de forma que se tiene

A = A(T, L)

Lo más natural es estudiar las variaciones de A en función de la temperatura T , manteniendo constante laintensidad de la luz L y haciendo esto para distintas intensidades. Luego habría que estudiar las variaciones deA en función de la luminosidad manteniendo constante la temperatura.Esto ilustra la idea en que se basan las derivadas parciales de una función. Para saber cómo varía una funciónf(x, y) cuando cambian x e y, en vez de hacer variar las dos variables, se hacen variar sólo una de de ellas,manteniendo la otra constante.

Derivada parcial

Sea f(x, y) una función de dos variables independientes x e y:

Se define la derivada parcial de f con respecto de x:

∂f

∂x(x, y) = lım

h→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

h

Análogamente, se define la derivada parcial de f con respecto de y:

∂f

∂y(x, y) = lım

h→0

f(x, y + h)− f(x, y)

h

Para indicar que se trata de una derivada parcial en lugar de una derivada ordinaria (las de funciones de unavariable) se utiliza el símbolo ∂ en lugar de la d habitual. También son usuales las notaciones siguientes, quetienen el mismo significado:

∂f

∂x(x, y) ≡ ∂f(x, y)

∂x≡ ∂xf(x, y) ≡ fx(x, y)

(y análogamente para la derivada parcial con respecto de y).Este concepto se puede generalizar de manera obvia a funciones dependientes de tres o más variables.El cálculo de derivadas parciales no presenta ninguna dificultad adicional: para obtener la derivada parcial de fcon respecto de x (por ejemplo) sólo hay que derivar de forma habitual la expresión de f(x, y) considerando la xcomo variable independiente y tratando a y como si fuera una constante. De la misma manera, para obtener laderivada parcial de f con respecto de y hay que derivar de forma habitual la expresión de f(x, y) considerandola y como variable independiente y tratando a x como si fuera una constante.

Ejemplo 9.8 Calcular las derivadas parciales de la función f(x, y) = yexy

Consideramos y como si fuera una constante y derivamos la función respecto de x:

∂f

∂x(x, y) =

∂

∂x(yexy) = y exy y = y2exy

Para calcular la derivada parcial con respecto de y, consideramos x como si fuera una constante y derivamoscon respecto de y:

∂f

∂y(x, y) =

∂

∂y(yexy) = exy + y xexy = (1 + xy)exy



Ejemplo 9.9 Calcular las derivadas parciales de la función f(x, y) =sen(xy)

cos(y)


∂f

∂x(x, y) =

∂

∂x

(sen(xy)

cos(y)

)=y cos(xy) · cos(y)− sen(xy) · 0

cos2(y)=y cos(xy)

cos(y)

Para calcular la derivada parcial con respecto de y, consideramos x como si fuera una constante y derivamoscon respecto de y:

∂f

∂y(x, y) =

∂

∂y

(sen(xy)

cos(y)

)=

cos(xy) · x · cos(y)− sen(xy) · (− sen(y))

cos2(y)

=x cos(xy) cos(y) + sen(y) sen(xy)

cos2(y)

Las derivadas parciales representan, como en el caso unidimensional, pendientes de rectas tangentes a ciertascurvas.

Por ejemplo, consideramos la derivada parcial con respecto de x en el punto (a, b):∂f

∂x(a, b).

Si en z = f(x, y) mantenemos constante y = b obtenemos una curva: la intersección de la superficie z = f(x, y)con el plano vertical y = b (plano vertical paralelo al plano OXZ). La pendiente de la tangente a esta curva en

el punto x = a es∂f

∂x(a, b)

De forma análoga, si en z = f(x, y) mantenemos constante x = a obtenemos la curva intersección de la superficiez = f(x, y) con el plano vertical x = a (plano vertical paralelo al plano OYZ). La pendiente de la tangente a

esta curva en el punto y = b es∂f

∂y(a, b).



Ejemplo 9.10 f(x, y) = 3−x3−y2. Calcular ∂f∂x

(1, 1) e interpretar geométricamente los resultados


∂f

∂x(x, y) = −3x2 ⇒ ∂f

∂x(1, 1) = −3

Es decir, si en z = 3−x3−y2 mantenemos constante y = 1 obtenemos una curva: la intersección de la superficiez = 3− x3 − y2 con el plano vertical y = 1 (plano vertical paralelo a OXZ).En nuestro caso el la curva

z = f(x, 1) = 3− x3 − 1 = 2− x3

La pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto (1, 1) es∂f

∂x(1, 1) = −3.

X

Z

1

1

Ejemplo 9.11 f(x, y) = 3−x3−y2. Calcular ∂f∂y

(1, 1) e interpretar geométricamente los resultados

Consideramos x como si fuera una constante y derivamos la función respecto de y:

∂f

∂y(x, y) = −2y ⇒ ∂f

∂y(1, 1) = −1

Es decir, si en z = 3−x3−y2 mantenemos constante x = 1 obtenemos una curva: la intersección de la superficiez = 3− x3 − y2 con el plano vertical x = 1 (plano vertical paralelo a OYZ). En nuestro caso el la curva

z = f(1, y) = 3− 13 − y2 = 2− y2

La pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto (1, 1) es∂f

∂y(1, 1) = −2.

Y

Z

1

1



La principal información que aportan las derivadas parciales es, como ocurría en el caso de las funciones de unavariable, cómo cambia la función cuando varía una de las variables. El siguiente ejemplo, debido a Holling1,puede ilustrar estas afirmaciones.

Ejemplo 9.12

En 1959 Holling obtuvo una función que se usa en Ecología para expresar el número P de presas devoradaspor un depredador (en un intervalo de tiempo fijado T ), en función de dos variables: la densidad de presasdisponibles, N , y el tiempo de caza, C, que necesita para perseguir, dominar, consumir y digerir cada presa:

P (N,C) =aN T

1 + aCN

Aquí, a es una constante positiva, que se suele interpretar como la tasa de ataque del depredador.El significado intuitivo de las derivadas parciales se ilustra de manera sencilla con esta función:

¿Cómo afecta al número de presas devoradas un aumento del tiempo de caza dedicado a cada presa?

Lo que queremos saber es si el valor de la variable P aumenta o disminuye al aumentar C (manteniéndoseconstante el valor de la otra variable, N). Es decir, queremos determinar si P es función creciente odecreciente de C (para N fijo). Para responder a esto, calculamos la derivada parcial correspondiente:

∂P

∂C(N,C) = − a2N2 T

(1 + aCN)2< 0

El hecho de que esta derivada sea negativa nos dice que el número de presas devoradas disminuye alaumentar el tiempo de caza, C, dedicado a cada presa (lo cual es muy razonable).

¿Cómo afecta al número de presas devoradas un incremento de la densidad de presas?

Lo que queremos saber ahora es si el valor de la variable P aumenta o disminuye al aumentar N (mante-niéndose constante el valor de la otra variable, C). Es decir, queremos averiguar si P es función crecienteo decreciente de N (para C fijo). Para responder a esto, calculamos la derivada parcial correspondiente:

∂P

∂N(N,C) =

a T

(1 + aCN)2> 0

El hecho de que esta derivada sea positiva nos dice que el número de presas devoradas aumenta alaumentar el número de presas disponibles, N (lo cual es también muy razonable).

Para representar el número de presas devoradas,P , en función de C y N , por ejemplo, en un inter-valo de T = 24 horas y cuando la tasa de ataquedel depredador es a = 0.3 tendríamos que repre-sentar la función de dos variables

P (N,C) =0.3× 24N

1 + 0.3CN=

7.2N

1 + 0.3CN

cuya gráfica se muestra en la figura adjunta.Obsérvese que los hechos arriba comentados seconfinan en la gráfica: a mayor tiempo de caza, elnúmero de presas devoradas disminuye y a mayordensidad de presas, el número de presas devora-das aumenta.

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

0

5

10

15

20

25

30

35

Densidad de presasTiempo dedicado a cada presa

Nú

me

ro d

e p

resa

s d

evo

rad

as

1C. S. Holling es un ecologista Canadiense nacido en 1930



9.3.1 Regla de la cadena

Al comienzo de esta sección presentamos un ejemplo del estudio de la asimilación, A, de CO2 en función detemperatura, T , y de la intensidad de la luz, L: A = A(T, L).Si, además queremos realizar un seguimiento temporal de la asimilación de CO2, hay que tener en cuenta quela temperatura y la intensidad de la luz dependen del tiempo.Denotemos T (t) a la temperatura en el instante t, L(t) a la luminosidad en el instante t y A(t) a la asimilaciónde CO2 en el instante t. Entonces A(t) es función de T (t) y L(t), de forma que se tiene

A = A(T (t), L(t))

La asimilación A es por tanto una función compuesta.

Para derivar funciones compuestas de un variable se utiliza la regla de la cadena. Por ejemplo, supongamos quey = f(x) es una función de una variable y que x depende de t, x = x(t). Si se desea derivar y = f(x(t)) conrespecto de t, la regla de la cadena dice que

dy

dt=df

dx(x(t))

dx

dt

La regla de la cadena se puede extender a funciones de más de una variable.Sea z = f(x, y) una función de dos variables. En primer lugar consideramos el caso en el que cada una de lasvariables x e y son a su vez funciones de una variable independiente, t, con lo que

z = f(x(t), y(t))

será una función de t. Nos planteamos calcular la expresión de la la derivada de z con respecto de t.

Regla de la cadena: z = f(x, y) con x = x(t), y = y(t)

Si la función f(x(t), y(t)) es derivable, entonces la derivada de z(t) = f(x(t), y(t)) viene dada por

dz

dt=∂f

∂x(x(t), y(t)) · dx

dt+∂f

∂y(x(t), y(t)) · dy

dt

Ejemplo 9.13 Sea f(x, y) = x2y3 con x(t) = sen(t) e y(t) = e−t. Calcular la derivada de z = f(x, y)con respecto de t cuando t = π/2

Utilizando la regla de la cadena, se obtiene:

dz

dt=

∂f

∂x(x(t), y(t))

dx

dt+∂f

∂y(x(t), y(t))

dy

dt= 2xy3

dx

dt+ x23y2

dy

dt= 2xy3 cos(t)− 3x2y2e−t

Tenemos x(π/2) = sen(π/2) = 1 y y(π/2) = e−π/2. Usando que cos(π/2) = 0, tenemos

dz

dt

∣∣∣∣t=π/2

= 2 sen(t)e−3t cos(t)− 3 sen2(t)e−3t∣∣∣t=π/2

= −3e−3π/2

Si ahora supongamos que cada una de las variables x e y son a su vez funciones de 2 variables independientesr y t con lo que

z = f(x(r, t), y(r, t))

será una función de r y t. En este caso, en la regla de la cadena anterior hay que sustituir las derivadas ordinariaspor las derivadas parciales.



Regla de la cadena: z = f(x, y) con x = x(r, t), y = y(r, t)

Si la función f(x(r, t), y(r, t)) es derivable, entonces la derivada parcial de z(r, t) = f(x(r, t), y(r, t)) con respectode r es:

∂z

∂r=∂f

∂x(x(r, t), y(r, t))

∂x

∂r+∂f

∂y(x(r, t), y(r, t))

∂y

∂r

y la derivada parcial de z(r, t) = f(x(r, t), y(r, t)) con respecto de t es:

∂z

∂t=∂f

∂x(x(r, t), y(r, t))

∂x

∂t+∂f

∂y(x(r, t), y(r, t))

∂y

∂t

Ejemplo 9.14 Sea f(x, y) = xy2 con x(r, t) = r sen(t) e y(r, t) = r cos(t). Calcular las derivadasparciales z(r, t) = f(x(r, t), y(r, t)) con respecto de r y de t

Utilizando la regla de la cadena, la derivada parcial de f con respecto de r es:

∂z

∂r=

∂f

∂x

∂x

∂r+∂f

∂y

∂y

∂r= y2

∂x

∂r+ x2y

∂y

∂r= y2 cos(t) + 2xy sen(t)

= (r cos(t))2 cos(t) + 2r cos(t)r sen(t) sen(t) = r2 cos3(t) + 2r2 cos(t) sen2(t)

Análogamente, la derivada parcial de f con respecto de t es:

∂z

∂t=

∂f

∂x

∂x

∂t+∂f

∂y

∂y

∂t= y2

∂x

∂t+ x2y

∂y

∂t= y2r(− sen(t)) + 2xy cos(t)

= −(r cos(t))2r(− sen(t)) + 2r cos(t)r sen(t) cos(t)

= −r3 cos2(t) sen(t) + 2r2 cos2(t) sen(t) = r2 cos2(t) sen(t)(2− r)

9.3.2 Derivadas parciales de orden superior

Como en el caso de funciones de una variable, en funciones de dos variables se pueden definir también derivadasparciales de orden superior. Por ejemplo, para obtener la derivada parcial segunda de f(x, y) con respecto de xhay que derivar con respecto de x la derivada parcial de f con respecto de x, es decir

∂2f

∂x2(x, y) =

∂

∂x

(∂f

∂x(x, y)

)También son usuales las siguientes notaciones que tienen el mismo significado:

∂2f

∂x2(x, y) ≡ ∂2f(x, y)

∂x2≡ ∂xxf(x, y) ≡ fxx(x, y)

Análogamente se define la derivada parcial segunda de f(x, y) con respecto de y:

∂2f

∂y2(x, y) =

∂

∂y

(∂f

∂y(x, y)

)siendo las siguientes notaciones habituales

∂2f

∂y2(x, y) ≡ ∂2f(x, y)

∂y2≡ ∂yyf(x, y) ≡ fyy(x, y)



Se pueden calcular también derivadas mixtas. Por ejemplo si se deriva primero f(x, y) con respecto de y yluego con respecto de x, se escribe

∂2f

∂x ∂y(x, y) =

∂

∂x

(∂f

∂y(x, y)

)≡ fyx

Se observa que el subíndice «yx» de f y el orden ∂x∂y son las dos notaciones que significan que se derivaprimero con respecto de y.

De forma análoga, si se deriva primero f(x, y) con respecto de x y luego con respecto de y, se escribe

∂2f

∂y ∂x(x, y) =

∂

∂y

(∂f

∂x(x, y)

)≡ fxy

Ejemplo 9.15 Sea f(x, y) = sen(x) + xey. Calcular las derivadas parciales de orden dos.

fxx(x, y) ≡ ∂2f

∂x2(x, y) =

∂

∂x

(∂f

∂x(x, y)

)=

∂

∂x

(∂

∂x(sen(x) + xey)

)=

∂

∂x(cos(x) + ey) = − sen(x)

fyy(x, y) ≡ ∂2f

∂y2(x, y) =

∂

∂y

(∂f

∂y(x, y)

)=

∂

∂y

(∂

∂y(sen(x) + xey)

)=

∂

∂y(xey) = xey

fyx(x, y) ≡ ∂2f

∂x ∂y(x, y) =

∂

∂x

(∂f

∂y(x, y)

)=

∂

∂x

(∂

∂y(sen(x) + xey)

)=

∂

∂x(0 + xey) = ey

fxy(x, y) ≡ ∂2f

∂y ∂x(x, y) =

∂

∂y

(∂f

∂x(x, y)

)=

∂

∂y

(∂

∂x(sen(x) + xey)

)=

∂

∂y(cos(x) + ey) = ey

En el ejemplo anterior podemos ver que

fxy(x, y) ≡ fyx(x, y)

lo que implica que el orden de derivación no importa. Aunque esto no se cumple siempre, existen condicionesque garantizan que el orden de derivación en derivadas parciales mixtas no es relevante. Dar estas condicionesse escapa del objetivo de este tema. En los ejemplos de funciones de dos variables que se van a considerar enesta asignatura, podemos suponer que esto ocurre siempre.

9.4 Vector gradiente

Recordemos que un vector en el plano es un segmento orien-tado, en el que hay que distinguir tres características:

módulo es la longitud del segmento,

dirección es la orientación de la recta,

sentido indica cual es el origen y cual es el extremofinal de la recta. Figura 9.10: Un vector en el plano.



Se recuerda también que las componentes de un vector,son dos valores que vienen dados en forma de par de núme-ros que indican las unidades que tenemos que desplazarnoshorizontalmente y verticalmente, para llegar desde el origendel vector al extremo de éste. Escribimos

v = (v1, v2)

para indicar que v1 y v2 son las componentes del vector v.

v

v1

v2

x

y

Figura 9.11: Componentes de un vector.

Vector gradiente

Sea z = f(x, y). Se llama el vector gradiente de f en el punto (x, y) al vector cuya primera componente esla derivada parcial de f con respecto de x en el punto (x, y) y la segunda componente es la derivada parcialde f con respecto de y en el punto (x, y) (si ambas derivadas parciales existen):

∇f(x, y) =

(∂f

∂x(x, y),

∂f

∂y(x, y)

)

La notación ∇f se lee «gradiente de f». A veces también se usa la notación alternativa gradf . El símbolo ∇se llama «nabla» y su origen se debe a que su aspecto es similar al instrumento musical arpa que en el hebreoantiguo se llamaba así.

Ejemplo 9.16 Calcular el gradiente de f(x, y) = x2y − 2y2 en el punto (−3, 2)

∂f

∂x(x, y) = 2xy,

∂f

∂y(x, y) = x2 − 4y

Luego el vector gradiente viene dado por:

∇f(x, y) =(2xy, x2 − 4y

)Evaluando dicho vector en el punto (−3, 2), se obtiene

∇f(−1, 2) = (2 · (−3) · 2, (−3)2 − 4 · 2) = (−12, 1)



Ejemplo 9.17 Calcular el gradiente de f(x, y) =√x2 + 2y2 en el punto (−1, 2)

∂f

∂x(x, y) =

x√x2 + 2y2

,∂f

∂y(x, y) =

2y√x2 + 2y2

Luego el vector gradiente viene dado por:

∇f(x, y) =

(x√

x2 + 2y2,

2y√x2 + 2y2

)Evaluando dicho vector en el punto (−1, 2), se obtiene

∇f(−1, 2) =

(−1√1 + 8

,4√

1 + 8

)=

(−1

3,

4

3

)

Propiedades del vector gradiente:

1. En cualquier punto (a, b), la función f(x, y) tiene su máximo incremento en la dirección delvector gradiente ∇f(a, b).

Es decir, de entre todas las (infinitas) direcciones que parten del punto (a, b) la dirección definida por elgradiente es aquélla en la que la función f crece (localmente) más rápidamente. Como consecuencia, ladirección opuesta al gradiente es aquélla en la que la función decrece más rápidamente.

Esta propiedad es de importancia primordial en muchas situaciones reales. Por ejemplo, la quimiotaxis,que es el mecanismo por el que algunas células se mueven de acuerdo con la concentración de ciertassustancias químicas en su medio ambiente, eligiendo para ello la dirección del gradiente de la concentra-ción, si se busca, por ejemplo alimento, o la opuesta al gradiente, si se bucea, por ejemplo, alejarse delveneno. En los organismos multicelulares es fundamental tanto en fases tempranas del desarrollo (porejemplo en el movimiento de los espermatozoides hacia el óvulo) como en las fases más tardías (como lamigración de neuronas o linfocitos).

2. El vector gradiente de la función f en el punto (a, b) es perpendicular a la curva de nivelf(x, y) = k que pasa por (a, b).

Ejemplo 9.18 ¿En qué dirección f(x, y) = x2y + y2 tiene su máximo incremento en (1, 1)?

El máximo incremento de f(x, y) en el punto (1, 1) se produce en la dirección de ∇f(1, 1). Tenemos

∇f(x, y) = (2xy, x2 + 2y) ⇒ ∇f(1, 1) = (2, 3)

Es decir, el incremento más rápido de f(x, y) en el punto (1, 1) se produce en la dirección del vector (2, 3).



Ejemplo 9.19 f(x, y) =√x2 − y2. Calcular un vector que sea perpendicular a la curva de nivel

de f que pasa por el punto (1, 2)

Sabemos que el gradiente de f(x, y) en el punto (1, 2) es perpendicular a la curva de nivel que pasa por dichopunto, es decir el vector gradiente es el vector buscado.

El gradiente de f viene dado por:

∇f(x, y) = (2x,−2y) ⇒ ∇f(1, 2) = (2,−4)

El vector perpendicular a la curva de nivel que pasapor el punto (1, 2) es (2,−4).

Además, la curva de nivel que pasa por el punto(1, 2) es f(x, y) = −3, ya que 12 − 22 = −3. Enla gráfica adjunta, con las flechas están dibujadoslos gradientes en diferentes puntos y, en particularen el punto (1, 2), por el que pasa la curva de nivelf(x, y) = −3. Podemos observar que efectivamenteel vector gradiente es perpendicular a dicha curvaen el punto (1, 2) y que el incremento máximo de fen (1, 2) se produce en la dirección del gradiente.

−4

−4

−4

−4

−4

−4

−3

−3

−3

−3

−3

−3

−2

−2

−2

−2

−2

−2

−1

−1−1

−1

−1

−1−1

−1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

9.5 Plano tangente y aproximación lineal

Recordamos la noción de la recta tangente para funcio-nes de una variable.Si y = f(x) es una función de una variable, la rectatangente a f en el punto (a, f(a)) viene dada por

y = f(a) + f ′(a)(x− a)

Por ejemplo, para la función f(x) = 2 − x3 la rectatangente en el punto (1, 1) viene dada por

y = 1− 3(x− 1) = 4− 3x

y está representada en la Figura 9.12.

X

Y

1

1

Figura 9.12: La recta tangente a la curva f(x) = 2−x3

en el punto (1, 1).

Por otra parte, podemos usar la recta tangente para aproximar el valor la función y = f(x) en las proximidadesde un punto a, lo que se conoce como aproximación lineal o linealización:

f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x− a) si x→ a

En el caso del ejemplo anterior, f(x) ≈ 4− 3x en un entorno de a = 1.

Generalizamos esta idea a funciones de dos variables. El análogo a la recta tangente se denomina plano tangentecomo muestra la Figura 9.13.



Ecuación del plano tangente a una superficie

Si existe el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto (a, b, c) (c = f(a, b)), entonces su ecuaciónviene dada por

z = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)(x− a) +

∂f

∂y(a, b)(y − b) (9.1)

Ejemplo 9.20 Calcular el plano tangente a f(x, y) = 9− x2 − y2 en (1, 1) y en (0, 0)

Tenemos que f(1, 1) = 9−12−12 = 7, luego el punto (1, 1, 7) se encuentra en la superficie (véase la Figura 9.13).Calculamos las derivadas parciales:

∂f

∂x(x, y) = −2x ⇒ ∂f

∂x(1, 1) = −2

∂f

∂y(x, y) = −2y ⇒ ∂f

∂y(1, 1) = −2

Por tanto, la ecuación del plano tangente en el punto (1, 1) es:

z = 7− 2(x− 1)− 2(y − 1) ⇒ −2x− 2y − z = 11

Análogamente, para el punto (0, 0), tenemos f(0, 0) = 9, fx(0, 0) = 0 y fy(0, 0) = 0. Luego la ecuación delplano tangente a f en (0, 0) es:

z = 9

En la Figura 9.14 están representados la superficie z = 9 − x2 − y2 y el plano tangente en el punto (0, 0). Seobserva que, en este caso, el vector gradiente es cero en (0, 0) y que por tanto el plano tangente es horizontal.

Figura 9.13: El plano tangente a la superficie f(x, y) =9 − x2 − y2 en el punto (1, 1). Obsérvese que el punto(1, 1) se encuentra en el plano XY y en la superficie estásituado el punto (1, 1, f(1, 1)) = (1, 1, 7).

Figura 9.14: El plano tangente a la superficie f(x, y) =9 − x2 − y2 en el punto (0, 0). Obsérvese el punto(1, 1, f(1, 1)) = (1, 1, 9) está en la superficie y que el planotangente en este punto es horizontal.



Ejemplo 9.21 Calcular el plano tangente a f(x, y) = 4x2 + y2 en (1, 2)

Tenemos que f(1, 2) = 4 + 22 = 8, luego el punto (1, 2, 8) se encuentra en la superficie.Calculamos las derivadas parciales:

∂f

∂x(x, y) = 8x ⇒ ∂f

∂x(1, 2) = 8

∂f

∂y(x, y) = 2y ⇒ ∂f

∂y(1, 2) = 4

Por tanto, la ecuación del plano tangente en el punto (1, 2) es:

z = 8 + 8(x− 1) + 4(y − 2) ⇒ 8x+ 4y − z = 8

En el caso de una función de una variable, usando la recta tangente, consideramos la aproximación lineal dedicha función. Del mismo modo, podemos usar el plano tangente para considerar una aproximación lineal parauna función de dos variables en un entorno de un punto.

Aproximación lineal de una función de los variables

Se llama la aproximación lineal o linealización de f(x, y) en un punto (a, b) a la función

L(x, y) = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)(x− a) +

∂f

∂y(a, b)(y − b)

La aproximación

f(x, y) ≈ L(x, y)

se denomina mejor aproximación lineal o aproximación por plano tangente de f(x, y) en (a, b).

Ejemplo 9.22 Calcular la aproximación lineal de f(x, y) = x2y + 2xey en (2, 0)

La linealización de f(x, y) en (2, 0) es

L(x, y) = f(2, 0) +∂f

∂x(2, 0)(x− 2) +

∂f

∂y(2, 0)(y − 0)

Tenemos

∂f

∂x(x, y) = 2xy + 2ey,

∂f

∂y(x, y) = x2 + 2xey

y

∂f

∂x(2, 0) = 2,

∂f

∂y(2, 0) = 4 + 4 = 8

Como f(2, 0) = 4, se obtiene

L(x, y) = 4 + 2(x− 2) + 8y = 2x+ 8y



Ejemplo 9.23 Calcular la aproximación lineal de f(x, y) = ln(x − 2y2) en (3, 1). Utilizar dichafunción para aproximar el valor de f el el punto (3.05, 0.95). Utilizando una calculadora calcularel error cometido.

La linealización de f(x, y) en (3, 1) es

L(x, y) = f(3, 1) +∂f

∂x(3, 1)(x− 3) +

∂f

∂y(3, 1)(y − 1)

Tenemos

∂f

∂x(x, y) =

1

x− 2y2,

∂f

∂y(x, y) =

−4y

x− 2y2

y

∂f

∂x(3, 1) =

1

3− 2= 1,

∂f

∂y(3, 1) =

−4

3− 2= −4

Como f(3, 1) = ln(3− 2) = ln(1) = 0, se obtiene

L(x, y) = 0 + (x− 3)− 4(y − 1) = 1 + x− 4y

Por tanto, en (3.05, 0.95):

L(3.05, 0.95) = 3.05− 4 · 0.95 + 1 = 0.25

Usando la calculadora obtenemos que f(3.05, 0.95) = ln(3.05 − 2 · (0.95)2) ≈ 0.2191. Luego el error de laaproximación es:

|0.25− 0.2191| = 0.031

9.6 Máximos y mínimos relativos

En el caso de una función de una variable definimos sus extremos locales y métodos para calcularlos. Losextremos locales se pueden definir también para funciones de dos variables.De modo informal, unmáximo local (o respectivamentemínimo local) de una función de dos variables f(x, y)es un punto (a, b) en el que el valor de la función es mayor (o respectivamente menor) que el valor de la funciónen los puntos cercanos.

¿Cómo se calculan los extremos locales?Recordemos que en el caso de una sola variable, si y = f(x) tiene un extremo en el punto c, entonces la rectatangente en (c, f(c)) es horizontal, es decir

f ′(c) = 0

Esta idea se puede generalizar a funciones de más de una variable. Observando la Figura 9.14, se puede ver queel plano tangente en el extremo local es horizontal. La ecuación del plano horizontal tangente a la gráfica dez = f(x, y) en el punto (a, b) es

z = f(a, b)

Comparando esta expresión con la forma general del plano tangente (9.1), se puede ver que fx(a, b) = 0 yfy(a, b) = 0, es decir que ∇f(a, b) = (0, 0). Por tanto,



Condición necesaria de extremo relativo de una función de dos variables

Si f(x, y) tiene un extremo local en el punto (a, b), entonces

∇f(a, b) = (0, 0),

lo que geométricamente significa que el plano tangente a z = f(x, y) en el punto (a, b) es horizontal.

Los puntos (a, b) que cumplen esta condición se denominan puntos críticos.

Igual que en el caso de una variable, esta condición sólo identifica los candidatos a los extremos locales. Esnecesario un estudio posterior para determinar si un candidato es en realidad un extremo local.

Ejemplo 9.24 Calcular los puntos críticos de f(x, y) = x2 + y2 + 1 y el plano tangente en estospuntos

Calculamos en primer lugar el vector gradiente

∇f(x, y) =

(∂f

∂x(x, y),

∂f

∂y(x, y)

)= (2x, 2y)

Tenemos

∇f(x, y) = 0 ⇔ x = 0, y = 0

de donde el punto crítico es (0, 0).La expresión del plano tangente en (0, 0) es

z = f(0, 0)+∂f

∂x(0, 0)(x−0)+

∂f

∂y(0, 0)(y−0) = 1+0+0 = 1

es decir la ecuación del plano tangente en (0, 0) esz = 1, lo que demuestra que el plano tangente eshorizontal.

Ejemplo 9.25 Calcular los puntos críticos de f(x, y) = x2 + y2 + xy.

Calculamos en primer lugar el vector gradiente

∇f(x, y) =

(∂f

∂x(x, y),

∂f

∂y(x, y)

)= (2x+ y, 2y + x)

Luego

∇f(x, y) = 0 ⇔ 2x+ y = 0, x+ 2y = 0

Tenemos que resolver el sistema de ecuaciones{2x+ y = 0x+ 2y = 0

⇒{

y = −2xx+ 2(−2x) = 0

⇒{

y = −2x−3x = 0

de donde x = 0 y por tanto y = 0. El punto crítico es (0, 0).



9.6.1 Uso de las derivadas segundas para determinar máximos y mínimos relativos

Obviamente el cálculo de los extremos locales de una función de dos variables es más complejo que en el casode una función de una variable. Recordemos que cuando la función y = f(x) depende de una variable, elprocedimiento del cálculo de máximos y mínimos locales consiste estudiar el crecimiento y decrecimiento de lafunción, calculando para ello los puntos que anulan la derivada primera de la función. O bien, usando la vía dela derivada segunda de f .En el caso de funciones de dos variables no existe un orden entre los puntos, es decir no podemos decir queun punto (x1, y1) sea mayor o menor que otro (x2, y2), por tanto no tiene sentido definir lo que sería unafunción creciente o decreciente. Por esta razón, vamos a usar las derivadas segundas para tener condiciones quegaranticen que un punto crítico va a ser un máximo o un mínimo local.

Notemos también que el estudio de los máximos y mínimos globales es más complicado en el caso de funcionesde varias variables y que se escapa del objetivo de este tema.

Criterio de mínimo / máximo local

Sea (a, b) tal que ∇f(a, b) = (0, 0). Se define la siguiente cantidad llamada el Hessiano

H = fxx(a, b)fyy(a, b)− f2xy(a, b)

Se tiene:

1. Si H > 0 y fxx(a, b) > 0, entonces f tiene un mínimo local en (a, b).

2. Si H > 0 y fxx(a, b) < 0, entonces f tiene un máximo local en (a, b).

3. Si H < 0, entonces f no tiene extremo local en (a, b) y se dice que el punto (a, b) es un punto de silla.

En los demás casos, este criterio no permite extraer conclusiones.

Ejemplo 9.26 Determinar si el punto crítico (0, 0) de f(x, y) = x2 + y2 + 1 es un máximo o unmínimo local

Hemos visto en el Ejemplo 9.24 que

∇f(x, y) =

(∂f

∂x(x, y),

∂f

∂y(x, y)

)= (2x, 2y)

Calculamos las derivadas segundas:

∂2f

∂x2(x, y) = 2,

∂2f

∂y2(x, y) = 2,

∂2f

∂x∂y(x, y) = 0

Luego

H = fxx(a, b)fyy(a, b)− f2xy(a, b) = 2 · 2− 02 = 4 > 0

Como H > 0 y fxx(0, 0) = 2 > 0, se deduce que el punto (0, 0) es un mínimo local de f .



Ejemplo 9.27 Determinar si el punto crítico (0, 0) de f(x, y) = x2 + y2 + xy es un máximo o unmínimo local

Hemos visto en el Ejemplo 9.25 que

∇f(x, y) =

(∂f

∂x(x, y),

∂f

∂y(x, y)

)= (2x+ y, 2y + x)

Calculamos las derivadas segundas:

∂2f

∂x2(x, y) = 2,

∂2f

∂y2(x, y) = 2,

∂2f

∂x∂y(x, y) = 1

Luego

H = fxx(a, b)fyy(a, b)−f2xy(a, b) = 2·2−12 = 3 > 0

Como H > 0 y fxx(0, 0) = 2 > 0, se concluye queel punto (0, 0) es un mínimo local de f .

Ejemplo 9.28 Calcular los extremos locales de f(x, y) = 3xy−x3−y3 y clasificarlos como máximoso mínimos locales o un punto de silla

Los puntos críticos cumplen

∇f(x, y) =

(∂f

∂x(x, y),

∂f

∂y(x, y)

)= (3y − 3x2, 3x− y2) = (0, 0)

de donde obtenemos que y = x2 y x = y2. Las soluciones de estas ecuaciones son x = 0, y = 0 y x = 1, y = 1,es decir los puntos críticos son (0, 0) y (1, 1).Calculamos las derivadas segundas:

∂2f

∂x2(x, y) = −6x,

∂2f

∂y2(x, y) = −6y,

∂2f

∂x∂y(x, y) = 3

Luego para el punto (1, 1) tenemos

H = fxx(a, b)fyy(a, b)− f2xy(a, b) = 36− 9 > 0

Como fxx(1, 1) = −6 < 0, se concluye que el punto(1, 1) es un máximo local de f .Luego para el punto (0, 0) tenemos

H = fxx(a, b)fyy(a, b)− f2xy(a, b) = 0− 9 < 0

Como H < 0, se concluye que el punto (0, 0) no esni máximo ni mínimo local, es un punto de silla.


Bibliografía

[1] R. Echevarría, Matemáticas Generales Aplicadas a la Bioquímica, Apuntes de la asignatura.

[2] C. Neuhauser Matemáticas para Ciencias, Pearson, Madrid, 2004.

24

Índice de Tema 9

9. Funciones de varias variables 19.1. Dominio y recorrido de una función de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2. Representación gráfica de una función de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

9.2.1. Representación como una superficie en el espacio tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . 39.2.2. Representación mediante curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

9.3. Derivadas parciales de funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89.3.1. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129.3.2. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

9.4. Vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149.5. Plano tangente y aproximación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179.6. Máximos y mínimos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

9.6.1. Uso de las derivadas segundas para determinar máximos y mínimos relativos . . . . . . . 22

Bibliografía 23

25

funciones de varias variables - personal.us.espersonal.us.es/doubova/mae/tema9mae.pdf · 9...

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