funciones cuadráticas

Instituto Superior

Dr. Bernardo Houssay

Capilla del Monte - Córdoba

Álgebra 1er Año

Tecnicatura Superior

en Análisis de Sistemas

Profesor Ing. Edmundo Kinast

Unidad 2

Funciones Cuadráticas

Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Cuadráticas

16/05/2010 16:39:00 Página 2 de 8

Página dejada en blanco intencionalmente


16/05/2010 16:39:00 Página 3 de 8

Función Cuadrática Ecuación Explícita de la Recta

A la función polinómica de segundo grado 2( )f x ax bx c , siendo a, b, c,

números reales y 0a , se la denomina función cuadrática. Los términos de la

función reciben los siguientes nombres:

2ax Término cuadrático

bx Término lineal

c Término independiente

La representación gráfica de la función cuadrática es una parábola.

1) Funciones de la forma 2y ax

Como vimos en la Unidad 1 todas las funciones del tipo 2x por ser potencias pares,

al elevarse al cuadrado tanto los valores positivos de x como los negativos se

obtiene un valor positivo de y. De este modo la tabla de valores queda como sigue:

2y x 21

2y x

x y x y

-3 9 -3 4,5

-2 4 -2 2

-1 1 -1 0,5

0 0 0 0

1 1 1 0,5

2 4 2 2

3 9 3 4,5

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

2

3

4

5

6

7

8 y=12 x²

9

y=x²


16/05/2010 16:39:00 Página 4 de 8

Forma de la parábola:

0a la parábola “va” hacia arriba

0a la parábola “va” hacia abajo

0 | | 1a la parábola de “abre”

| | 1a la parábola se “cierra”

2) Funciones de la forma 2y ax c

Posición de la parábola:

0c La gráfica se desplaza hacia arriba

0c La gráfica se desplaza hacia abajo

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

2

3

4

5

6

7

8

y= x²-3

9

y=x²

y=x²+2


16/05/2010 16:39:00 Página 5 de 8

3) Funciones de la forma 2y ax bx

Posición de la parábola:

Si a y b tienen el mismo signo, la gráfica se desplaza hacia la izquierda. Si a y b tienen distinto signo, la gráfica se desplaza

hacia la derecha.

2y x x 2 2y x x

1; 1a b 1; 2a b

x y x y

-3 6 -2 8

-2 2 -1 3

-1 0 0 0

-0,5 -0,25 1 -1

0 0 2 0

1 2 3 3

2 6 4 8

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

2

3

4

5

6

7

8 y= x²-2x

9

y= x²+x


16/05/2010 16:39:00 Página 6 de 8

Raíces de la parábola.

Son los puntos de intersección de la gráfica y el eje x, vale decir que ( ) 0f x .

2

1 2

4;

2

b b acx x

a

Vértice de la parábola.

1 2

2v

x xx ó

2v

bx

a ( )v vy f x

Las coordenadas del vértice son: ( ; ( ))v vV x f x

Eje de simetría.

Es la recta que tiene por ecuación vx x

Ordenada al origen.

Es el punto de intersección de la gráfica con el eje y, vale decir que (0)f c .

2( ) 2 3f x x x 1 2 3a b c

Raíces:

2

1 2

4;

2

b b acx x

a

2 4 4.1( 3)

2.1

2 4 12

2

2 16

2

2 4

2

1

2 41

2x

2

2 43

2x

Vértice:

2v

bx

a

2

2.1 1vx

( )v vy f x 2( 1) 2( 1) 3 4vy

Eje de simetría: 1x Ordenada al origen: (0; 3) Punto simétrico: ( 2; 3)


16/05/2010 16:39:00 Página 7 de 8

Gráfica de la parábola.

Para representar la gráfica de la parábola, 2( )f x ax bx c ,

se deben calcular los elementos de la misma y luego representarla, algunos valores se calcularon en la página anterior, vamos a completar la tabla:

2( ) 2 3f x x x

x Y

-4 5

-3 0

-2 -3

-1 -4

0 -3

1 0

2 5

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

2

3

4

5

6

7

8y= x²+2x-3

9

y= x²+2x-3

Raíz x=1Raíz x=-3

Vértice (-1;-4)

Ordenada al origen

(-1;-4)

Eje de simetría

Punto simétrico (-2;-3)


16/05/2010 16:39:00 Página 8 de 8

Ejercicios:

1. Escribir V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.

a. La gráfica de 2y x n con n>0 es la gráfica de 2y x desplazada

hacia arriba.

b. La gráfica de 2y x rx con r>0 es la gráfica de 2y x desplazada

hacia la izquierda.

c. La gráfica de 2y x m con m<0 es la gráfica de 2y x desplazada

hacia abajo.

d. La gráfica de 2y x tx con t<0 es la gráfica de 2y x desplazada

hacia la izquierda.

2. Completar las siguientes oraciones correspondientes a la ecuación 23 2y x x

a. Los coeficientes de los términos de la función son: a= , b= , c= b. El vértice de la parábola es el punto: c. El eje de simetría de la parábola es la recta: d. La ordenada al origen de la función es el punto:

e. Las raíces de la función son 1x 2x

3. Completar el siguiente cuadro:

Función a b c Raíces Vértice Eje de Simetría

Ordenada al origen

2 2y x

22 4 1y x x

2 4 5y x x

4. Realizar el gráfico aproximado de las siguientes funciones:

a. 2 2y x x

b. 2 52 4

2y x x

c. 23 12 12y x x

d. 21 75

2 2y x x

funciones cuadráticas

Documents