Funciones cuadráticas

Características y representación

Funciones f(x)=ax2+bx+c

Familia de parábolas Siempre ha de ser a0

Las funciones polinómicas de segundo grado dependen de tres parámetros reales a, b y c que influyen en sus características

Veamos cómo estudiar esas características y cómo representar parábolas

El valor del coeficiente a determina dos cosas:

Orientación: Si a>0, la parábola está abierta

hacia arriba. Si a<0, está abierta hacia abajo.

Apertura: La parábola está más abierta cuanto

menor sea a en valor absoluto.

1. Apertura

Todas las parábolas tienen un vértice, que será el máximo o el mínimo de la función, dependiendo de la forma de la parábola. Para hallar el vértice buscamos sus dos coordenadas:

Abscisa:

Ordenada: sustituimos xv en la función

2. Vértice

La función es

f(x)=x2-6x+5

por tanto los coeficientes son:

a = 1 b = -6 c = 5

Las parábolas tienen un eje de simetría que es la recta vertical que pasa por el vértice, por lo que sólo tendremos que calcular valores de una rama, y la otra será simétrica.

3. Tabla de valores

La función es f(x)=x2-6x+5

y antes vimos que el vértice es:

V=(3,-4), luego el eje es la recta x=3

Si calculamos dos puntos a la derecha:

Por simetría tenemos otros dos:

Con los tres pasos anteriores ya tenemos suficiente información para esbozar la gráfica de una función cuadrática.

Además, es claro que:

4. Dominio y Recorrido

Eje OX:Tenemos que resolver la ecuación

ax2+bx+c=0

Dependiendo de las soluciones de la ecuación, cortará en dos puntos, uno o ninguno.

Eje OY:Una parábola siempre corta al eje OY en

el punto P=(0,c)

5. Corte con los ejes