funciones algebraicas

Unidad 9 - Funciones Algebraicas Matemática I – CUC_______________________________________________________________________________________________________

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Lic.Graciela Alvarez de Cardozo_____________________________________________________________________________

9.1- Funciones Polinomiales

Una función polinomial de grado “n”, es una función de la forma:

y el exponente de cada “ x “ debe ser un entero no negativo.

Ejemplo:

9.1.1-Dominio de las funciones polinomiales:Como podemos observar en las funciones

polinomiales no existe ninguna restricción para los valores que puede tomar “ x” , por lo tanto, si el dominio no está dado en forma explícita, se considerará como el conjunto de los números reales. El rango será un subconjunto de los reales.

Ejemplo:a) Sea

Observemos la gráfica para ver la imagen más clara:

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

2

4

6

8

b) Ahora si consideramos la misma función pero sin explicitar el dominio, tendremos:

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x

y

-2 -1 0 1 20

2

4

6

9.1.2- Función lineal

Una función lineal es una función de la forma:

Su gráfica es siempre una recta, donde a es la pendiente y b la ordenada al origen

y

a b

1

X

9.1.2.1. Relación entre el signo de la pendiente y el crecimiento o decrecimiento de la función.

Si es creciente. Lo demostraremos, para ello recordemos cuando una función es creciente:

es creciente :

Ejemplo:Consideremos la función:

185


x

y

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

2

4

6

Podemos observar que cuando x se incrementa en una unidad la función crece en tres unidades.

Si es decreciente. Lo demostraremos, para ello recordemos cuando una función es decreciente:

es decreciente :

Ejemplo:Consideremos la función

x

y

-2 -1 0 1 2

-2

0

2

Podemos observar que cuando x se incrementa en una unidad la función decrece en tres unidades.

9.1.2.2- Aplicaciones económicas

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1) Un concepto importante en economía es el de ingreso marginal (ingreso adicional obtenido con la venta de una unidad más de un producto o servicio). Si cada unidad de un producto se vende a un mismo precio, el ingreso marginal siempre es igual al precio.

Por ejemplo: si un producto se vende a $ 10 por unidad, la función ingreso marginal (I M), puede expresarse como una función constante:

I M

10

Nº de unidades vendidas del producto

2) Consumo y ahorroEl economista John M. Keynes (1883-1946) estudió el consumo de la gente, e hizo el

siguiente planteo: “La ley psicológica fundamental consiste en que los hombres, como regla general y en promedio, están dispuestos a incrementar su consumo a medida que su ingreso aumenta, pero no en la misma cantidad del aumento de su ingreso”. Vale decir que si una persona recibe un aumento de sueldo de $ 100, deseará consumir más que antes, pero gastará los $100 sino una parte menor, ahorrando el resto.

Un economista matemático podría proponer la siguiente función para explicar la relación entre las mejoras en los ingresos y los gastos: , donde “ y “ representa el gasto de consumo y “ x “ los ingresos.

La pendiente c, igual al cociente entre los cambios en el consumo y los cambios en el ingreso, recibe el nombre técnico de propensión marginal a consumir y representa el cambio en el consumo cuando el ingreso cambia una unidad,

Por ejemplo, si el valor de la pendiente es 7/10, significa que por cada $10 de aumento en los ingresos se gastan $7 y se ahorran $3; así mismo si el ingreso disminuye en $10 dejarán de gastarse $7.

Es notable el hecho de que la ordenada al origen b, sea siempre mayor que cero; lo que significa que cuando una persona no percibe ingresos, igual gastará una cierta cantidad b de dinero, la que conseguirá de sus ahorros, de un préstamo o de alguna otra forma, pero hay consumos, como los de la alimentación, que no pueden dejar de realizarse.

Ejemplo:2.1) Si en nuestro país la función consumo fuera:

a) ¿Cuánto gastará alguien desempleado?b) ¿Cuánto gastará una persona que cobra $700?c) ¿Cuánto ahorrará?d) Si su sueldo disminuye a $350, ¿podrá ahorrar?e) Y si su sueldo aumenta a $1000, ¿cuánto podrá gastar y ahorrar?f) ¿A partir de qué sueldo tendrá dinero para ahorrar?

2.2) ¿Qué significa que en la función keynesiana c = 1?2.3) ¿Puede ocurrir que c > 1?2.4) ¿Cuál es el dominio de la función consumo?, ¿cuál la imagen?

3) Oferta y demandaEn toda sociedad existen intercambios comerciales, que surgen a partir de necesidades

de los consumidores y la oferta de los productores. Los primeros demandan productos que satisfagan sus necesidades (alimentos, vestimenta, energía eléctrica, atención médica, etc.); los productores detectan esas necesidades y ofrecen esos bienes (o servicios).

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Una ley de demanda es una ley económica que trata de explicar la relación entre el precio de los productos y las cantidades demandadas por los consumidores.

Una ley de oferta, por su parte, trata de explicar la relación entre el precio de un producto y las cantidades ofrecidas por los fabricantes.

Estas dos leyes en conjunto indican cuál es el precio que productores y consumidores creen justo y en el que ambas partes se ponen de acuerdo. Las leyes de la oferta y la demanda se pueden estudiar en forma matemática; el precio del artículo puede ponerse en función de la cantidad de unidades adquiridas por los consumidores.

Una expresión que permita relacionar el precio de un producto con la cantidad adquirida se denomina ley de demanda.

La ley de demanda más simple es una función lineal: , donde “y” es el precio por unidad, y “x” la cantidad de productos adquiridos por los consumidores.

Si el precio de un producto aumenta, la demanda disminuye, porque menos consumidores podrán adquirirlo; mientras que si el precio disminuye, la demanda se incrementa. La pendiente “a” de la relación de demanda es negativa. La constante “b” (ordenada al origen) corresponde a un precio tan alto que los consumidores no comprarán ningún producto (x = 0) precio por unidad

b curva de demanda lineal

Cantidad de unidades que demandan los consumidores

Una ley de oferta relaciona el precio de venta “y” de un artículo con la cantidad “x” que los productores están dispuestos a ofrecer. La ley de oferta más simple es una función lineal: donde “ y “ es el precio por unidad, y “ x” la cantidad ofrecida del producto. En general, los proveedores inundarán el mercado con una gran cantidad de artículos si pueden obtener un precio alto; y con una cantidad más pequeña de artículos si el precio obtenido es menor. Es decir, la oferta aumenta al aumentar el precio. La ordenada al origen “b” corresponde a un precio tan bajo que los proveedores no ofrecerán ningún artículo ( x=0).

Precio por unidad

Curva de oferta lineal

b

cantidad de unidades por los productores

Punto de equilibrio del mercado: Si el precio de un artículo es demasiado alto, los consumidores no

lo adquirirán; mientras que si es demasiado bajo, los proveedores no lo venderán. En un mercado competitivo, cuando el precio por unidad solo depende de la cantidad demandada y de la oferta, siempre existe una tendencia del precio a ajustarse por sí mismo, de modo que la cantidad demandada por los consumidores iguale a la cantidad ofrecida por los proveedores. Se dice que alcanza el punto de equilibrio del mercado cuando la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida. Esto corresponde al punto de intersección de las curvas oferta y demanda.

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Q

$

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 240

10

20

30

40

50


Por ejemplo:En las siguientes leyes de la oferta y la demanda “x” representa la cantidad de millones

de barriles de petróleo; “y” el precio por cada unidad. Ley de demanda Ley de oferta

El precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio se pueden determinar resolviendo el sistema de ecuaciones formado por ambas leyes.

Por lo tanto, el precio de equilibrio es $ 32, y la cantidad de equilibrio es 8 millones de barriles.

PARA RESOLVER

1) Un fabricante advierte que si el precio de un artículo es de $ 200, las ventas ascienden a 2.500 unidades mensuales; a un precio de $ 190, se venden 2.700 unidades. ¿Cuál es la ley de demanda?

2) Un mayorista de electrodomésticos vende 200 planchas mensuales a $ 30 la unidad y 250

unidades a $ 27 cada una. La ley de la oferta para ese artículo es:

a) ¿Cuál es la ecuación de la demanda?b) ¿Cuál es el punto de equilibrio entre la oferta y la demanda?

3) Una economía de mercado se rige por una función de oferta , y una función de demanda dada por , donde “y” indica las unidades producidas y “x” el precio. Determina:

a) el precio y la cantidad de equilibrio.b) ¿A qué precio se produciría una escasez de 60 unidades de producto?c) Para un precio de 120 u.m. ¿Qué situación se produciría en el mercado?

4) Cierto pozo de petróleo rinde 400 barriles de petróleo crudo por mes, que peden venderse a $15 por barril.

a) Establezca una función que exprese el ingreso total proveniente del pozo durante los próximos “ x “ meses.

b) ¿A cuánto ascenderán los ingresos provenientes del pozo de petróleo durante los próximos 6 meses?

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Punto de equilibrio


5) Un fabricante compra un valor de $200.000 en maquinaria que se desprecia linealmente de manera que su valor comercial después de 10 años será de $10.000.

a) Expresa el valor de la maquinaria en función de su antigüedad.b) ¿Cuál es el valor de la maquinaria después de transcurridos 4 años?

6) Un fabricante de muebles puede vender mesas de comedor a $70 cada una. Sus costos incluyen unos gastos generales fijos de $8000 más un costo de producción de $30 por mesa.

a) Expresa el ingreso del fabricante como una función del número de mesas que vende.b) Expresa los costos del fabricante como una función del número de mesas que vende.c) Representa gráficamente las funciones de ingresos y costos y encuentra el punto de

intersección de ambas. ¿Cuál es el significado económico de este punto?

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