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Funciones Algebraicas

Integrantes del equipo:Teresa de Jesús Islas Santiago

Iris Yarkeli Villegas AmadorSheyla Melissa Ruiz Solís

Maestro:Placido Diego Martínez

Curso:

Álgebra su enseñanza y aprendizaje

Semestre: Segundo Grupo:”B”

ÁlGEBRA: SU APRENDIZAJE Y SU ENSEÑANZA 1

Centro Regional de Educación Normal

“Dr. Gonzalo Aguirre Beltrán”

Página

Introducción……………………………………………………….3¿Qué es una función?...........................................................................................4Las representaciones de una función y sus relaciones…………...9

Funciones algebraicas……………………………………..10Funciones trascendentes…………………………………...16

Función Lineal…………………………………………………….22Función Cuadrática……………………………………..………...25Funcion Inversa………………………………………………….28Función Racional………………………………………………..30La enseñanza y el aprendiza de las funciones………………...39Dificultades en la enseñanza yel aprendizaje de las funciones………………………………..43

La tecnología en la enseñanza y el aprendizaje de las funciones………………………………..50

Conclusiones…………………………………………………....53Referencias Bibliográficas……………………………………..54


Índice

Cualquier persona en alguna etapa de su vida sin duda alguna tuvo algún acercamiento con el tema de las funciones, algunos quizá de manera implícita otros explícitamente, pero sin lugar a duda todos hemos escuchado hablar de ello; hago referencia a esto porque precisamente el tema principal de este producto es ese, conocer los que es una función.

Abordando un poquito más a fondo sobre las diferentes representaciones y las relaciones existentes en cada una de ellas, conociendo lo que son las familias de funciones de una manera objetiva, así como también analizar los 4 tipos de funciones más comunes que se manejan como lo son la función lineal, cuadrática, racional y la inversa.

Puesto que estos 4 tipos de funciones son los que abarcaremos dentro de esta segunda unidad de aprendizaje, una vez que ya se haya analizado esto, nos basaremos a los que es su enseñanza y el aprendizaje dentro de la educación a nivel básico, así como también las dificultades con las que nos podemos encontrar al momento de abordar este tema, ya que para muchos les resulta difícil, tedioso y aburrido.

Tratando de encontrar una alternativa que cambien esta situación estudiado el tema de la tecnología en la enseñanza y el aprendizaje de las funciones debido a que nos encontramos en pleno siglo XXI, donde todo se maneja con el uso de las tecnologías, por lo que el tema de funciones dentro de las matemáticas no se podía quedar atrás ya que de alguna manera el implemento de las TIC hace que el trabajo sea más ameno e interactivo.

Al final de una manera conclusa se realizara un análisis de todo lo abordado dentro de este trabajo para formar una conclusión acerca de los visto sobre las funciones.

Ya que el desarrollo de este trabajo está pensado con el objetivo de que cada uno de nosotros creemos nuestro propio conocimiento acerca de la noción de funciones, así como también todo lo que estas involucran; además de que nosotros como futuros docentes conozcamos más acerca de lo que es su enseñanza, el cómo se aprenden, y de algún modo desarrollemos esa empatía con nuestros alumnos conociendo los problemas que tienen al momento de abordar este tipo de temas, para que no caigamos en los mismo errores que muchos profesores; aparte se da a conocer que las TIC también están involucrados dentro de las funciones, presentado algunas cosas que nos podrían servir.

Ya que, aunque es posible que nosotros no vayamos a abordar este tema tal cual se explica en este producto, es necesario que conozcamos a lo que se van a enfrentar nuestros alumnos para irlos preparando de alguna forma.


Introducción

El origen del concepto de función ha estado siempre unido al estudio de los fenómenos sujetos a cambios. Las referencias más antiguas al concepto de función se encuentran en algunos escritos de astrónomos babilonios. En la Edad Media el estudio de funciones aparece ligado al concepto de movimiento, siendo uno de los primeros en realizarlo Nicolás de Oresme (1323-1392) el cual representó en unos ejes coordenados gráficos relacionados con el cambio de la velocidad respecto al tiempo.

Tres siglos más tarde, Galileo, en 1630, estudió el movimiento desde un punto de vista cuantitativo, justificándolo experimentalmente y estableciendo a partir de ello, leyes y relaciones entre magnitudes.

A partir de Galileo, el concepto de función fue evolucionando hasta que a comienzos del siglo XIX, en 1837, Dirichlet formuló la definición de función como relación entre dos variables, que es la que actualmente aceptamos y manejamos.

Definición de función

Primera definición: una función es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el condominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del condominio f(x).

Para que se cumpla la función tiene que haber UNICIDAD y EXISTENCIA.

UNICIDAD: Cuando de un número del DOMINIO (X) tiene más que un número del CODOMINIO (Y) no se cumple con la condición de UNICIDAD.

EXISTENCIA: Cuando un número del DOMINIO no tiene su destinatario en el CODOMINIO se cumple la existencia.

Si alguna de estas operaciones no se cumple, NO ES FUNCIÓN.


¿Qué es una

función?

¿Con qué elementos cuenta para que sea una función?

Representaciones de manera grafica

Grafico cartesiano

Diagrama de Venn


Representaciones de una función

Tablas

X Y

0 -2

1 1

2 4

3 7

Funciones representadas en formulas

Tipos de funciones

Función sobre (suprayectiva)

En aquella en la que todo elemento del Codomino le corresponde cuando menos un elemento del Dominio:

O sea, el Rango de la función, tiene que ser igual al Codominio. En el caso de una función real de variable real, el Rango debe de ser igual al conjunto de los números reales.


Ejemplos de funciones suprayectivas

Función uno a uno (Inyectiva)

Es quela en la que a elementos distintos del Dominio le corresponden elementos distintos del Codominio.

No importa que elementos del Codominio no sean imágenes del Dominio.

O sea, dos o más elementos del Dominio, no pueden tener la misma imagen; y el Rango de la función no tiene que ser igual al codominio.

Dato interesante


Prueba de la recta horizontal: puesto que a cada Dominio de una función debe de corresponder un elemento distinto del Codominio, ninguna recta horizontal puede cortar la gráfica cartesiana de una función INYECTIVA en más de un punto.

Prueba de la recta horizontal: puesto que a cada elemento distinto del Dominio de una función debe de corresponder un elemento distinto del Codominio, ninguna recta horizontal puede cortar la gráfica cartesiana de una función INYECTIVA en más de un punto.

Poder identificar el concepto de función, es algo muy importante en el aprendizaje del algebra, ya que es muy importante conocerlo, para poder tener un mejor entendimiento de esta rama de las matemáticas. Además de que las funciones son de mucho valor y utilidad, para poder resolver problemas de la vida diaria y nos ayudan a desarrollar nosotros como estudiantes ciertas habilidades, con referente al manejo de cifras numéricas en correspondencia con otros, y con ello se hace uso de los números reales.


Las funciones se pueden clasificar de diferentes maneras, según el tipo de operaciones que se tienen que realizar para obtener sus valores, entre las más comunes están las Algebraicas y las Trascendentes.

Las funciones algebraicas se refieren a aquellas cuya regla de correspondencia puede ser expresada por medio de un polinomio una expresión racional (cociente de dos polinomios) o una expresión irracional (forma radical).

Las funciones trascendentales se refieren a las funciones cuya regla de correspondencia no es algebraica como las funciones trigonométricas, las funciones exponenciales y logarítmicas.


Funciones

Algebraicas

Constante

Identidad

Lineal

Cuadratica

Cúbica

Polinomiales

Racionales

Irracionales

Trascendentes

Trigonometricas

Exponenciales

Logaritmicas

Las representaciones de una función y sus relaciones

Función Constante:Es aquella de la forma f(x)=k o Y=k, seguido K es constante, es decir el codominio de todos los argumentos X=K. Su grafica consiste en el lugar geométrico de los puntos (x,k). Las funciones constantes son de grado 0°, su representación gráfica corresponde a una recta horizontal, es decir paralela al eje X.El dominio, es decir paralela al eje X de estas funciones es todo el eje real {R}.F(x)=5

No importa que valor se le dé a X; Y siempre será el mismo valor.

Función de Identidad:Como su nombre lo indica el codominio es igual al dominio Y=X siempre pasa por el origen, el ángulo que forma es=45°.Su grafico corresponde a una recta que pasa por el origen con una inclinación de 45° respecto al eje X. esta puede prolongarse de manera infinita en cualquier sentido, por lo que el dominio de definiciones corresponde a todo el eje real.


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

1

2

3

4

5

6

Valores Y

Funciones Algebraicas

X Y-2 5-1 50 51 52 5

Función Lineal:Presenta la forma: y=mx + b tiene como representación una recta en donde los parámetros y=m y b se relacionan con la inclinación e intercesión en y de esta respectivamente.También el dominio de la función lineal es el eje real. Tiene una única solución para su exponente.

F(x)= 2x+1

Es de la forma f(x)=ax²+bx+c a≠0Su lugar geométrico corresponde a una parábola con eje de simetría paralelo al eje Y. Su dominio es también el conjunto de número naturales reales que se representan con la letra R, ya que X puede tomar cualquier punto del eje real.

F(x)=x²-2x-3

X Y

-2 5-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

3 0

4 5

Función Cubica:Como su nombre lo indica, la expresión que aparece en la regla funcional es un polinomio de 3°grado posee la forma:


-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-6

-4

-2

0

2

4

6

Valo...

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-4-3-2-10123456

Valores Y

X Y-2 -3

-1 -10 11 32 5

F(x)= ax³+bx²+cx+d a≠0Dependiendo de los parámetros a, b, c y d, la gráfica de una función cubica varia: las gráficas típicas son:


Función Polinomial:De grado n tiene la forma:

F(x)=a0 xh+a1 xh−1+a2 xh−2…an xh−n a0≠0Todas las funciones algebraicas vistas anteriormente son un caso especial de la función polinomial. Por ejemplo la función lineal corresponde a la polinomial de primer grado y así sucesivamente.

El dominio para cualquier función polinomial es también R, ya que X pertenece a R (X є R). La grafica de f(x) dependerá de los valores que posean sus parámetros.

F(x)=5x³-4x²+7x+2


-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Valores Y


Gráfica y características

Raíces real y compleja

Resolución de

problemas

Modelaje de problemas

Funciones polinomiales de grado 3 y

4

Función cuadrática

Función lineal

Función constante

Funciones Polinomiales

Función Racional:Si P y Q representan un par de funciones polinomiales entonces su cociente es una función racional, es decir su forma es:

F(x)=Q(x)P(x ) p≠0

Conviene a veces incluir las funciones polinomiales como casos especiales de las racionales en donde el denominador es la unidad.El dominio de la función racional es todo R excepto las raíces del denominador es decir aquellos valores en donde este se anula por ejemplo:

F(x)= 2x−3(x−1)(x+3) x≠1 x≠−3

La función tiene como dominio todo R∩ X=1, X=-3Función Irracional:

Si la regla funcional posee expresiones algebraicas llamamos a la función así definidamente irracional. Involucrando sobre todo expresiones que poseen radicales.

Ejemplo: f ( x )=√x f ( x )=1−2x √2x−3

Una función es irracional si no es posible expresarla como el coeficiente de 2 polinomios, finitos de coeficientes enteros.De una manera general, dada la función racional f ( x )=√ax+b la expresión dentro de la raíz no puede ser negativa porque daría resultados imaginarios. El dominio contiene a todos los números X mayores o iguales que –b/a.Es decir: Xє [-b/a,∝]

Función Exponencial:Una función exponencial es una función trascendente cuya ecuación es de la forma y=bx de donde X acepta cualquier valor real y b es un número distinto de 1. La ecuación y=A .bx es la forma de representación más general de una función exponencial donde A representa su valor inicial, cuando x=0.


Funciones Trascendentes

La función exponencial puede considerarse además como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que:

Representación gráfica de varias funciones exponenciales.

Función exponencial, según el valor de la base.Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes propiedades generales:La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:F (0) = a0 = 1.La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:f (1) = a1 = a.La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.f (x + x?) = ax+x? = ax ax? = f (x) f (x?).La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:F (x - x?) = ax-x? = ax/ax? = f (x)/f (x?).

Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = ex. El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión:


(1 + 1/n)n

Cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos La función ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada El dominio de las funciones exponenciales está formado por el conjunto de números reales, mientras que el rango por todos los valores de y mayores que cero, es decir que la gráfica se representa siempre por encima del eje X ya que este en su asíntota horizontal.

Función Logarítmica:La función logarítmica es trascendente cuya ecuación tiene la forma y= logb x donde b es un número positivo diferente de 1, y X solo acepta valores reales positivos. La función logarítmica a su vez es la inversa de la exponencial esto es, que se puede pasar de una notación a otro dado que:

log a x=b⇔ab=x .

Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales).Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:


La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+).Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

Función Trigonométrica:Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.La función seno

Se denomina función seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.

Gráfica de la función seno.La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes.La función coseno

La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.


Gráfica de la función coseno.La función secante se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.La función tangente

Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada en radianes.

Gráfica de la función tangente.La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en radianes.Propiedades de las funciones trigonométricas

Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:

Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2 y el de la función tangente es .

Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).

Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.


Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.

Funciones circulares recíprocas

Se llaman funciones circulares recíprocas a las que anulan la acción de las funciones trigonométricas. A cada función trigonométrica le corresponde una función circular recíproca, según la relación siguiente:

La función recíproca del seno es arco seno, simbolizada por f (x) = = arc sen x. La función recíproca del coseno es arco coseno, expresada por f (x) == arc cos x. La función recíproca de la tangente es arco tangente, denotada por f (x) == arc tg x


Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el Codominio.

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado

La función lineal se define por la ecuación

f(x) = mx + b o y = mx + b

Llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y. Ambas son constantes.

Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio es proporcional al incremento de los valores en el codominio, siempre que a no sea cero.

Este número a se llama pendiente o coeficiente angular de la recta.

La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta está dada por la pendiente a y la ordenada en el origen es b.

El punto de corte de la recta con el eje y es la ordenada en el origen y la llamamos b.

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2

Vemos que m= 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3.

b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y).


Función Lineal

Tipos de funciones lineales

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son los incrementos.

g(x) = -3x+7 Si x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 = 0+7 = 7

Si x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4

Si x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.

h(x) = 4 Si x= 0 , entonces h(0) = 4

Si x= 98 entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.


Ejemplos:

*Representa gráficamente las siguientes funciones lineales y = 2x y y = - 3x + 4

y = 2xVamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.

Para x = - 2, y = 2(-2) = -4 quedando la pareja (-2 , -4)

Para x = 1, y = 2(1) = 2 quedando la pareja (1 , 2)

y = - 3x + 4Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.

Para x = - 1, y = -3(-1)+ 4 = 7 quedando la pareja (-1 , 7)

Para x = 2, y = -3(2) + 4 = -2 quedando la pareja (2 ,-2).

En conclusión Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio real, cuya expresión analítica es f: R —> R / f(x) = a. x+b con a y b números reales.

La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta está dada por la pendiente a y la ordenada en el origen es b.


http://www.x.edu.uy/graficalineal.htm

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

Donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

ax2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

En la ecuación de segundo grado o cuadrática si tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

La representación gráfica de una función cuadrática, es una curva llamada parábola. Dicha parábola características o elementos:

Orientación o concavidad (ramas o brazos) Puntos de corte

con el eje de abscisas (raíces)

Punto de corte con el eje de ordenadas

Eje de simetría Vértice


Por ejemplo esta función: y= x² sí es cuadrática, ya que el valor del coeficiente (a) es 1, b y c son 0.

Función Cuadrática

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html



Cuando hablamos de la orientación o concavidad de una parábola nos referimos a la abertura de sus brazos. Es decir; cuando las ramas de una parábola se orientan hacia arriba es una Parábola Cóncava; y cuando sus ramas se orientan hacia abajo, se trata de una Parábola Convexa.

Esta orientación está definida por el valor del signo que tenga el término cuadrático (ax²).

Una función cuadrática es un polinomio de grado 2, es decir, el exponente más alto en la variable es 2.

Ejemplos:

Como vimos la función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación

. Si hacemos una tabla con los valores de esta función, vemos que el rango (los valores de y, o salida) no se comportan como una función lineal. En una función lineal, el valor de y cambia por la misma cantidad cada vez que el valor de x aumenta por 1. Eso no sucede con una función cuadrática:

Los valores de y no cambian por una cantidad constante. Grafiquemos algunos puntos para ver cómo se vería la función:


x y = x2

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Después de graficar algunos puntos, podría ser tentador conectar los puntos con segmentos de línea, que son rectos. Pero esto estaría mal, y produciría un patrón que no representa la función. Para trazar correctamente la función graficamos el resto de los puntos:

Ahora dibujamos una curva suave conectando los puntos.

Y ya tenemos nuestra parábola

Graficada.

Terminando por analizar que las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como, por ejemplo, Física, Economía o Arquitectura. Son útiles para describir movimientos con aceleración constante, trayectoria de proyectiles, ganancias y costos de empresas, y obtener así información sin necesidad de recurrir a la experimentación. En general, las funciones cuadráticas responden a la forma f (x) = ax2 + bx + c. El vértice es un indicador importante del punto máximo o mínimo alcanzado. Estas funciones también se representan como texto, tablas de valores y fórmulas.


Las funciones, han sido utilizadas en matemáticas desde hace mucho tiempo. El uso de las funciones es algo básico en matemáticas y por eso se analiza y se estudia a las funciones. Pero en este caso en específico, nos fijaremos en las funciones inversas, que también son tan básicas como las funciones normales.

Existen diferentes definiciones de función inversa, aunque el concepto matemático es el mismo. Expondremos aquí se encuentran algunas de ella, para efectos formales, ya que para hallar la inversa de una función no se requiere la utilización de la definición.

Definición 1

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Un ejemplo de ello:

Se puede observar

que:

El dominio de f−1 es el

recorrido de f.

El recorrido de f−1 es el

dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su

función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad .

(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = x


Función Inversa

Las gráficas de f y f-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer

cuadrante.

Procedimiento para el cálculo de la función inversa

1. Se sustituye f(x) por y es la función dada.2. Se intercambian x y y para obtener x = f (y).3. Se despeja la variable y.4. En la solución se escribe f−1(x) en vez de y.

En conclusión, podemos decir que una función uno a uno nos asegura la formación de una segunda función al invertir los pares ordenados, a esta segunda función que resulta del intercambio de su dominio y condominio o rango, se le conoce con el nombre de función inversa y se representa f−1. Por lo que esta función muestra simetría con respecto a la recta y= x


Tener la idea de lo que es un función es algo muy importante, y no solo para lo que son las matemáticas, puesto que como sabemos una función es una relación, y una relación la podemos encontrar en cualquier situación de la vida, ya que todo en este mundo se encuentra unido uno a uno, una vez que de alguna manera tenemos el conocimiento del concepto de función, y nos acercamos más a ella podemos saber que esta cuenta con una enorme familia que va desde funciones Algebraicas a las funciones Transcendentales.

Así también de estas se desglosan muchas más funciones, sin embargo en esta apartado la única familia que nos interesa es la de las Algebraicas puesto que en esta clasificación se encuentra nuestro tema principal a tratar que es nuestra Función Racional.

Dicha función está compuesta por muchos elementos que van desde un dominio, rango, hasta sus distintas representaciones gráficas, puesto que al momento de graficarlas nos pueden dar como resultado asíntotas verticales, horizontales y oblicuas características que se detallan a continuación.

A lo que comenzaremos con definir que es una función racional.

Comúnmente dentro de la función racional existen la representación de P y Q las cuales figuran un par de funciones polinomiales donde su cociente es una función racional, es decir su forma es:

F(x)=Q(x)P(x )

Dicho de otra manera la división de dos funciones polinomiales dan origen a una función racional por ejemplo:

f ( x )= x ²−16x−4

Aunque en ocasiones es conviene a veces incluir las funciones polinomiales como casos especiales de las racionales en donde el denominador es la unidad.

El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que el denominador sea diferente de cero.

{RϵX } p≠0


Función Racional

Al momento de llevar una función racional a una gráfica presenta las siguientes características:

o Cuando el denominador de la fracción es un polinomio de segundo grado, puede haber hasta dos valores que anulen el denominador. En estos puntos no existirá la función, y el dominio serán todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

o Esto determinará el número de ramas de la función: 3 si hay dos puntos de discontinuidad, 2 si hay un punto de discontinuidad y 1 si no hay ninguno.

o Si el numerador es de primer grado, la función cortará al eje OX en el valor de x que haga cero el numerador y al eje OY cuando la x valga 0 (si pertenece al dominio).

o Tendrá intervalos de crecimiento y decrecimiento y podrá tener máximos o mínimos según los valores de los parámetros, b y c.

Además todas las funciones racionales están regidas por los teoremas siguientes:

Teorema 1: Sea f una función racional definida de la forma:

Donde P(x) y Q(x)son polinomios. Si a es un número real que Q(a) = 0 y P(a) es diferente de cero, entonces la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica dey = f(x). Ejemplo:


Teorema 2: Sea f una función racional definida por el cociente de dos polinomios,

Entonces: 1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal.3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales.

Ejemplo:

f ( x )= 4 x+1x−2

Teorema 3: Si f es una función definida de la forma:

Donde P(x) y Q(x) son polinomios y el grado de P(x) es 1 más que el grado de Q(x), entonces se puede expresar de la forma:

Donde el grado de r(x) es menor que el grado de Q(x). La recta y = mx + b es una asíntota oblicua para la gráfica de f.

Esto nos lleva a que:


Ejemplos de función racional:

1.-y =5/x

k = 5

1) Tipo de función: es una función racional de proporcionalidad inversa, cuya gráfica corresponde a una hipérbola equilátera.

2) Dominio: como es una función racional, Dom. ( f )=R−{0 }.

3) Recorrido o

imagen: ℑ(f )=(−∞,0)∪(0 ,+∞ ).

4) Continuidad: es discontinua en x = 0.

5) Simetría:

f (−x)=5/(−x )=−(5/ x)=−f (x)

La función f es simétrica impar.

6) Corte con los ejes:

Las funciones racionales de proporcionalidad inversa no corta a los ejes.

7) Signo:

Como k>0 es negativa en (−∞,0) y positiva en (0 ,+∞) .

8) Monotonía:

Como k>0 la función es decreciente en: (−∞,0)∪ (0 ,+∞ )

9) Máximos y mínimos relativos:

La función no tiene ni máximos ni mínimos.


10) Curvatura y puntos de inflexión:

Como k>0 , la función es convexa en (−∞0) y cóncava en (0 ,+∞) .

11) Asíntotas:

La función tiene una asíntota horizontal en y = 0.

limx→−∞

5x=0 lim

x→∞

5x=0

La función tiene una asíntota vertical en x = 0

(Valor que anula al denominador)

lim

x→ 0+¿ 5x=+∞¿

¿

limx→ 0−¿ 5

x=−∞¿

¿

12) Acotación:

La función no está acotada ni superiormente ni inferiormente.


x Y

-5 -1

-2 -5/2

-1 -5

1 5

2 5/2

5 1

Como la gráfica es una hipérbola equilátera, cada punto de la gráfica forma con el punto donde se cortan las asíntotas, un rectángulo de área 5 unidades cuadradas.

2.-y = - 2/x

k = - 2

1) Tipo de función: es una función racional de proporcionalidad inversa, cuya gráfica corresponde a una hipérbola equilátera.

2) Dominio: como es una función racional, Dom. ( f )=R−{0 }.

3) Recorrido o imagen: ℑ(f )=(−∞,0)∪ (0 ,+∞ ).

4) Continuidad: es discontinua en x = 0.

5) Simetría:

f (−x)=−2/(−x )=2/ x=−f (x )

La función f es simétrica impar.

6) Corte con los ejes:

Las funciones racionales de proporcionalidad inversa no corta a los ejes.

7) Signo:

Como k<0 es negativa en (−∞,0) y positiva en (0 ,+∞) .

8) Monotonía:

Como k<0 la función es creciente en: (−∞,0)∪(0 ,+∞)

9) Máximos y mínimos relativos:

La función no tiene ni máximos ni mínimos.

10) Curvatura y puntos de inflexión:

Como k<0 , la función es concava en (−∞0) y convexa en (0 ,+∞) .

11) Asíntotas:

La función tiene una asíntota horizontal en y = 0.


limx→−∞

−2x

=0

limx→∞

−2x

=0

La función tiene una asíntota vertical en x = 0

(Valor que anula al denominador)

lim

x→ 0+¿ −2x =−∞¿

¿

limx→ 0−¿ −2

x =+∞¿

¿

12) Acotación:

La función no está acotada ni superiormente ni inferiormente.

Como la gráfica es una hipérbola equilátera, cada punto de la gráfica forma con el punto donde se cortan las asíntotas, un rectángulo de área 2 unidades cuadradas.


x y-4 ½-2 1-1 21 -22 -14 -1/2

Como pudimos ver el tema de la Función Racional, tiene un sinfín de información que debemos conocer acerca de ella y que si indagáramos de manera más profunda podríamos encontrar más de ella.

Como cualquier otra función esta delimita por un dominio, un rango, además de estar compuesta por el cociente de dos funciones polinomiales, que son las que le dan el origen a este tipo de función. También cabe recalcar que como toda función esta es posible ser representada dentro de un plano cartesiano, más sin embargo al momento de realizar dicha representación debemos tomar en cuenta la forma que la asíntota adquiera puesto que dependiendo de esta será clasificada ya sea en verticales, horizontales y oblicuas.

En forma general podríamos decir que una función racional es aquella de la forma

Q(x)P(x )

A la cual le pertenecen todo el conjunto de numero reales, tales que P sea diferente

de cero; representado de la siguiente forma {R∈X }∨P≠0.

Este tipo de función es implementada con mayor frecuencia en lo que es el sector económico ya que mediante esta se pueden calcular el costo de algunos productos, la inversión en ellos, etc.

Más dentro de la educación de nivel básico, prácticamente la encontraremos al momento de ver la velocidad de los cuerpos, sus masas, la distancia que recorren, la temperatura

etc. Esto mediantes ecuaciones de tipo v=dt , entre muchas otra más, puesto que

presentan la forma de una ecuación racional.


Es fácil mirar a nuestro alrededor y contemplar la cantidad de aplicaciones que surgen de las matemáticas, ya que a lo largo del día realizamos una infinidad de procesos matemáticos y nos relacionamos con esta ciencia de una manera directa o indirecta. Acciones tan frecuentes como extraer dinero de un cajero o comprar una bebida en una máquina expendedora no sería posibles si no hubiese detrás un soporte mecánico que hiciera factible su uso.

La historia de la humanidad y en particular el desarrollo de la Ciencia y de la Tecnología no han hecho más que subrayar lo acertado de su visión. Por otra parte, en nuestra sociedad es creciente el papel cada vez más ubicuo y polifacético que las matemáticas desempeñan: telecomunicaciones, finanzas, informática, medicina, biotecnología... sin mencionar las clásicas áreas de la Ingeniería. Por otra parte las Matemáticas forman parte de nuestro entramado educativo desde que el niño entra en la escuela. Por tanto, todos desarrollamos una relación con las matemáticas que dura al menos diez años, y que frecuentemente volvemos a vivir a través de nuestros hijos cuando ya las creíamos dejadas atrás definitivamente.

Las Matemáticas, junto con la Lengua, forman los dos pilares centrales sobre los que se asienta todo el proceso educativo del niño. Entender el mundo, la naturaleza de los procesos que en él se desarrollan y sus interacciones pasa, en todas las civilizaciones, por las Matemáticas. En efecto, como dijo en su día R. Bacon, “Sin Matemáticas, las Ciencias no pueden ser entendidas, no se pueden enseñar, no se pueden aprender." No nos queda más remedio entonces que aprender de números, operaciones, sistemas métricos, regla de tres, resolución de sistemas simples de ecuaciones, geometría, y un largo etcétera. Y todo esto lleva mucho, mucho tiempo y esfuerzo, y sobre todo, las etapas no pueden quemarse, es necesario avanzar aumentando de manera paulatina el grado de complejidad de los conceptos y volver una y otra vez sobre los mismos, adquiriendo así una comprensión cada vez más profunda y consolidada.

Pero sin duda podemos observar que al momento de hablar de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas ya sea en cualquier rama: como el álgebra, nos encontraremos con problemas en este proceso. Haciendo énfasis en los aspectos didácticos, considera que la mayor fuente de problemas en la enseñanza de las Matemáticas radica en el exceso y complejidad de los contenidos y que las soluciones han de venir de reducir estos a la vez que se profundiza en la formación didáctica del profesorado. Es decir, quienes consideran que si los estudiantes tienen problemas con las


La Enseñanza y el Aprendizaje de las funciones.

Matemáticas es porque, por una parte, los matemáticos han hecho los contenidos innecesariamente complicados y que, por otra, los maestros y profesores no han adquirido la destreza pedagógica suficiente para transmitir con claridad el dominio de las técnicas matemáticas.

Por otro lado existe la postura de que a pesar de lo complejo de la situación, el punto clave sigue siendo el mantenimiento y adecuación de los contenidos necesarios para garantizar una educación matemática satisfactoria, a la vez que se facilita, a través de medidas legislativas, que los estudiantes vayan diseñando unos itinerarios en los que, estando garantizados unos mínimos, puedan optar al grado de profundización que deseen en Matemáticas, decisión en la que, obviamente, han de incidir, en particular, su gusto y capacidad en el ámbito de esta disciplina y la carrera profesional que en el futuro deseen desarrollar.

De este modo reconocemos que cualquier mejora en los aspectos metodológicos y evitar el barroquismo de los contenidos, creemos que es importante mantener unos objetivos matemáticos claros en lo fundamental no muy distintos a los tradicionales. Opinamos asimismo que la manera más eficaz de alcanzarlos es la habitual, consistente en explicaciones claras por parte del profesorado y en el trabajo personal del alumno y que para esto las dos mejores recetas son: garantizar una buena formación matemática de los maestros y profesores, y el que el alumno ejercite los diversos temas a través de relaciones de problemas, como ha sido históricamente el caso.

La persistencia en los contenidos ha de ir acompañada de una adaptación en los modos de enseñar las Matemáticas que hagan que éstas se mantengan atractivas para los alumnos más capacitados e interesados, a la vez que se hacen más accesibles a la mayoría, tarea difícil de la que hablaremos en las siguientes secciones.

Cuando se habla de métodos de enseñanza es imposible no mencionar los avances tecnológicos y la exigencia de actualización que estos emiten en la enseñanza de las matemáticas. Por ejemplo el mundo de los ordenadores y de la computación en general, hoy en día, irremediablemente, acompaña a las Matemáticas como un elemento de apoyo en el aprendizaje y comprensión de estas.

Ahora, hablando específicamente de las funciones, sabemos que principalmente se utilizan en campos como la física, en casos como comprobar cómo varia la velocidad con respecto a la aceleración, o la energía potencial con respecto a la altura. Hemos puesto solo dos ejemplos pero existen una infinidad de fórmulas dentro de este campo que relacionan a dos variables. Esto no solo ocurre en la física, sino que también se muestran presentes en la economía y muchas otras ciencias. Un ejemplo sería: para calcular la cantidad mínima de cartón que debe utilizar una fábrica de envasado se utilizará la optimización de funciones.


Y como hemos dicho nos enfrentamos a una diversidad de alumnos, por lo que creemos que no es posible trabajar simultáneamente con los alumnos que muestran más facilidad y afición por las matemáticas de los que muestran rechazo a ella.

Por ejemplo muchos estudiantes serían capaces de resolver el siguiente problema: evaluar la función en los puntos p= x=1,2,3,….Pero quizá no tantos sean capaces de entender que esta fórmula algebraica, es una manera de codificar un sin fin de relaciones, que manipular esta relación puede ser menos costoso que manejar un gran número de datos, y que dicha relación puede tener algo que ver con una trayectoria parabólica en el plano. O, por usar un ejemplo más próximo a la realidad cotidiana, muchos estudiantes saben calcular cuanto supone el 15 % de una cantidad, pero quizá tengan algunas dificultades para saber qué tanto por ciento supone una subida de un 15 % anual en el precio de la vivienda durante cuatro años consecutivos.

En este punto conviene no engañarse ni confundir términos: aunque el Álgebra sea una herencia de la Grecia y el Oriente antiguos, puede que no resulte de acceso fácil a la mayoría de los alumnos. Del mismo modo si hay muchos alumnos que, por diversas razones, no están capacitados para acceder al pensamiento formal de manera inmediata, el profesor de Matemáticas, ¿tendrá que limitarse a enseñar recetas y evaluar la eficacia del alumno en su aplicación?

La cuestión no es simple puesto que es frecuentemente ejercitando suficientemente los aspectos operacionales que el ser humano es capaz de entender la lógica subyacente, y de ese modo adquirir una comprensión abstracta, más global y duradera y que le permita abordar con autonomía problemas más complejos. Los aspectos mecánicos y los abstractos van, por tanto, unidos y es difícil establecer una línea divisoria.

Es por esto que debemos centrarnos en qué posición en las matemáticas se encuentran los alumnos para poder abordar el álgebra. Ya que para poder sumergirnos en el mundo de las letras y los números se deben tener estos conocimientos previos:

Dominar las cuatro reglas: suma, resta, multiplicación y división.

Tener una idea bastante precisa de las fracciones y de su manipulación.

Convendría también que fuese capaz de utilizar “la regla de tres”. Lamentablemente, ni siquiera se hace referencia explícita a ella en los programas actuales, quizás por la inercia a la que nos habíamos acostumbrado.

Asimismo, se debería garantizar que fuesen capaces de calcular áreas y volúmenes de los objetos geométricos elementales y dominar el sistema métrico decimal.


Ahora, al enseñar, en el curso de aprender álgebra se encuentra el concepto de variables y ecuaciones. Aunque hay muchas facetas en el plan de estudios de álgebra, lo básico para que los alumnos hablen y trabajen con el álgebra se reduce a la resolución de ecuaciones simples y lineales.

Para enseñar el álgebra básica se comienza por explicar las partes de una ecuación. Hay dos componentes básicos: constantes y variables. El elemento clave de una ecuación, sin embargo, es el signo de igual. Explicar a los estudiantes que esto significa que cada lado de la ecuación es igual o tiene el mismo valor que el otro. Lo que se hace en un lado de la ecuación se debe hacer en el otro lado para mantener un equilibrio. Después mover todas las constantes a un lado del signo igual y combínalas en una sola constante. Haz esto, ya sea con adición o sustracción, cualquier operación cancelará las constantes en el lado donde quieras sacarlos. Para localizar todos los coeficientes en el mismo lado de la ecuación. Mover todas las variables, los valores con una x, al mismo lado de la igualdad. Haz esto de la misma manera que moviste las constantes. Deseas las variables en un lado de la ecuación y las constantes en el otro. Posteriormente usar el inverso multiplicativo con el fin de deshacer el coeficiente del término x. Del mismo modo que se utiliza la operación inversa para mover una constante, se debe utilizar la operación inversa para reducir el coeficiente a 1, la identidad multiplicativa. Si la ecuación se simplifica a algo con una fracción o la variable se dividió, se utiliza la multiplicación. Por ejemplo, si tu ecuación era x / 3 = 5 tendrías que multiplicar ambos lados por tres. 3 X x/3 = 5 X 3 te da la solución x = 15. 3 es el inverso multiplicativo de 1/3, que había sido el coeficiente.

Desde allí, se continúa con los problemas más complejos, el desarrollo de habilidades para resolver problemas, ahora de mayor grado, como lo son las ecuaciones cuadráticas y polinomiales. Es por esto que mencionábamos que para enseñar álgebra básica se requiere de una comprensión de las cuatro operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación y división. Además, se debe estar familiarizado con los números positivos y negativos.

Frente a todo este panorama de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y el álgebra se busca en las diversas iniciativas en materia educativa que se garantice que cada alumno tenga la educación en matemáticas para la que está capacitado y a la que está dispuesto a hacer frente y como docentes impartiendo esta materia debemos cuidar los siguientes aspectos para lograr un correcto proceso de aprendizaje y enseñanza:

* El volumen de información. Los estudiantes no necesitan un exceso de información, sin duda un problema creciente en nuestra sociedad. Pero si necesitan desarrollar sus propios criterios, su voluntad para poder elegir en un mundo cada vez más complejo.

* Crear un ambiente de interés. No hay que dejar que los estudiantes sientan miedo o intimidación hacia el álgebra antes de comenzar la lección. Comenzar una clase en un tono optimista, del mismo modo que si hablaras de tu tema favorito. Esta es tu oportunidad de moldear las mentes de los niños en la creencia de que el álgebra es algo que pueden disfrutar, en lugar de algo que va a temer en el futuro.


*Los libros de texto. El tipo de textos que hoy se edita son excelentes para el Profesor. Están llenos de gráficos, de datos históricos, de aplicaciones, etc. Pero es poco probable que textos de semejantes dimensiones atraigan la atención del alumno, condicionado por la diversidad de materias, de la frecuencia de los exámenes, y la falta de tiempo que el ritmo de vida actual imprimen incluso a los niños y adolescentes. Tal vez fuese conveniente editar junto con estos excelentes textos, manuales más breves que atrajesen más fácilmente el interés inmediato del alumno. Lamentablemente, en la actualidad dos o tres editoriales lideran el mercado con unos determinados libros, y el resto se limita a intentar imitarlas. La originalidad brilla por su ausencia.

* Las aplicaciones de las Matemáticas. Queremos llamar la atención al modo en que algunas aplicaciones de las Matemáticas se presentan en los textos. Por ejemplo, las aplicaciones de la Programación Lineal a lo que hoy se denominan las Ciencias Sociales y hay matemáticas muy simples y bonitas en torno a estos temas que se pueden enseñar. Resulta sorprendente ver que a veces estas aplicaciones se presentan como si fuesen de última generación y más aún cuando se pretende justificar a través de ellas la necesidad de cambios en los contenidos de los currícula, o de tipo metodológico.

Así mismo no conviene olvidar que lo esencial de las Matemáticas se mantiene prácticamente invariable, como hemos mencionado anteriormente, y que, por tanto, los cambios en la forma de enseñar que las nuevas tecnologías traerán en las próximos años, no deben alterar los contenidos básicos y habrá que seguir ejercitando el cálculo y la memoria como se ha trabajado desde nuestros antepasados.


Para iniciar la última etapa de este trabajo, donde se aplicarán los conceptos y recomendaciones anteriores a un aspecto específico de la Matemática, se estima adecuado explicar los motivos que nos llevaron a encarar la presente temática y a denominarla como “el capítulo que parece más difícil de redactar” esto porque nos lleva a tomar a las funciones en nuestros días como un capitulo, más si lo analizamos no es un capítulo de la Matemática, porque se puede decir, sin exagerar, que es la Matemática en sí, y que todo parece girar a su alrededor. Desempeña un papel análogo al del Sol en el sistema solar. Es indudable que Venus o Marte no son el Sol y que se puede hablar de esos planetas por sí mismos, pero es inconcebible su existencia independientemente de la del Sol. No hay ninguna parte de la Matemática que el análisis de las funciones no pueda explicar” (Pelletier; 1958).

De este modo empecemos a detallar cada una de las dificultades que enfrentan los alumnos al momento de aprender el tema de funciones comenzado por:

Pensamiento funcional

Es importante partir del llamado “pensamiento funcional”, nacido en Alemania hace algunas décadas bajo la dirección del matemático Félix Klein, quien buscó la manera de lograr que los estudiantes pensaran en términos de variables y funciones, intentando además proyectar esta posición a la vida cotidiana, pero apartándose del conductismo para proyectarse en el constructivismo.

Esta posición se relaciona con los descubrimientos de la Psicología, que señalan que la memoria humana no es un simple recipiente vacío para ser llenado, sino que se trata de una conjunto interactivo de tres sistemas de memoria: la memoria sensorial (un segundo), la memoria a corto plazo (de uno a 30 segundos), con un límite entre 5 y 9 trozos independientes, y la memoria a largo plazo (desde unos minutos hasta toda la vida) (Molina García; 1998).

Esto significa que en la enseñanza de las matemáticas, en general y, en particular en el caso de las funciones, nos enfrentamos, a grandes cuerpos de materia con unos altos niveles potenciales de interrelaciones, debiéndose prestar particular atención a las limitaciones de la memoria de corto plazo, que podrían ser superadas con la construcciones de conocimientos a partir de la aplicación del concepto matemático de función. De esta manera se lograría salvar tanto los problemas derivados del aprendizaje de este tema como aspectos imbricados con la memoria a corto plazo.

Puesto que existe una diferencia fundamental entre los genios y los que aún no han desarrollado su intelecto el cual estriba en que los genios han estructurado sus conocimientos en la memoria a largo plazo de forma que puedan trabajar con grandes trozos, o sea, potentes conceptos, principios o teorías” (Molina García; 1998). En otros términos, construyendo conocimientos a partir de la


Dificultades en la enseñanza y el aprendizaje de las funciones.

vinculación entre variables los estudiantes podrán mejorar la memoria a largo plazo, lográndose el objetivo primario de superar las dificultades en el estudio de este tema matemático pero asimismo obtener mejores rendimientos en otras áreas del conocimiento

En este punto es importante recordar que, desde el punto de vista matemático que puede extenderse hacia otros campos de la ciencia, una función describe el modo como una variable y depende de otra variable x; o, dicho más general, como se proyecta una variedad desde el campo de un elemento variable, sobre otra (o la misma) variedad. Esta idea de función, proyección o representación, es sin duda uno de los conceptos fundamentales que acompañan tanto a la matemática como otras disciplinas en sus pasos de teoría o de aplicación, por cuya causa se estima esencial su aprehensión a partir de la construcción de sus conceptos y la utilización para el desarrollo del conocimiento a largo plazo.

Un ejemplo clásico de las funciones es el descubrimiento de Galileo Galilei quien expresó la ley cuadrática de caída libre, según la cual el espacio recorrido por un cuerpo que cae libremente en el vacío, es una función cuadrática del tiempo transcurrido desde que se soltó. Mediante esta ley, Galileo convirtió una ley natural contenida en el movimiento efectivo de los cuerpos en una función matemática cuyo concepto esencial los estudiantes deben construir a partir de una participación activa bajo la dirección de los docentes.

En este caso, como en otros que se pueden elaborar, se encuentran los siguientes rasgos característicos del proceso de formulación de una función matemática:

Variables, como el tiempo (t) y el espacio (s), cuyos valores posibles pertenecen al campo de los números reales, que podemos repasar enteramente porque es un campo nacido de nuestra propia y libre construcción.

La representación de esas variables por símbolos.

Funciones, o proyecciones o representaciones, construidas del campo de una variable t sobre el campo de otra, s. El tiempo es la variable independiente por antonomasia.

En consecuencia, al estudiar una función hay que dejar que la variable independiente recorra todo su campo. Una conjetura acerca de la interdependencia de cantidades de la Naturaleza puede examinarse en el pensamiento, incluso antes de someterla a la prueba de la experiencia, por el procedimiento de estudiar si se cumple a través de todo el campo de las variables independientes (Molina García; 1998).

Además la mayoría de las variables, tal como indica el pensamiento funcional, de las que nos ocupamos en el análisis de la Naturaleza son variables continuas, como el tiempo, pero aunque la palabra tienda a sugerirlo, el concepto matemático no se restringe al caso de la variable continua.

Inconvenientes culturales

Algo que también debe tenerse en consideración para la construcción del concepto de función son los inconvenientes derivados de los esquemas conceptuales de los educandos.

Al respecto Azcárate Giménez (1993) realizó un estudio sobre esta cuestión donde destaca que “de las respuestas de los alumnos, lo primero que llama la atención es que sus expresiones adolecen de graves problemas lingüísticos, tantos sintácticos como léxicos, y, sobre todo, que contrastan con el sentido convencional de rigor científico de los adultos. Hemos constatado que


buena parte de los alumnos se expresan confusamente lo cual se manifiesta en la utilización de un vocabulario inadecuado o incorrecto, desde el punto de vista de las definiciones científicas”.

Esta falta de homogeneidad en el léxico de los alumnos revela que existe una confusión importante en lo que atañe a conceptos básicos relacionados con el estudio analítico de funciones.

Estas constataciones tienen importantes consecuencias en el planteamiento didáctico de un tema como el de una función. En efecto, si estamos convencidos del carácter constructivo del conocimiento, debemos planificar unas secuencias de enseñanza que produzcan un aprendizaje significativo, para lo cual es imprescindible tener en cuenta la competencia cognitiva de los alumnos, una de cuyas características son los conocimientos anteriores y la capacidad de expresión verbal de los mismos.

En ese mismo sentido los jóvenes tienen que reconocer las vaguedades de sus creencias verbales y aprender a pensar más concretamente, ya que solamente si consiguen este objetivo serán capaces de dar el paso de la abstracción, en el cual las ideas intuitivas se sustituyen por construcciones puramente simbólicas. “Las palabras son herramientas peligrosas, creadas para las necesidades de nuestra vida cotidiana” debiéndose a partir de la activa participación de los alumnos, “atravesar la niebla de las palabras abstractas para alcanzar la roca concreta de la realidad” (Bishop; 1988).

Por ejemplo el primer paso en la explicación de la teoría de la relatividad a partir del concepto de función tiene que consistir siempre en destruir la creencia dogmática en los términos temporales pasado, presente y futuro. Es imposible aplicar la matemática mientras las palabras sigan escondiendo como nubes la realidad. En este segundo paso hay que sustituir la imagen intuitiva por una construcción simbólica ya que nuestra concepción del espacio depende de una captación constructiva de todos los lugares posibles, de un modo parecido a la concepción de los números naturales.

Construcción de funciones

La matemática y su parte esencial como explicáramos, a pesar de su edad, no están ni mucho menos condenada a una esclerosis progresiva por su complejidad creciente, sino que sigue intensamente viva, y se alimenta por las profundas raíces que tiene en la mente y en la naturaleza, esto es, en la teoría y en la práctica.

Esa aparente imprecisión, que debe considerarse como elemento previo a la construcción de las funciones, deriva de su dualidad entre ciencia natural, que persigue encontrar y entender las leyes de la naturaleza, y filosofía o arte, en el sentido más puro y platónico de estas disciplinas, puesto que hace matemática quien a partir de unos datos numéricos calcula un área o un volumen o el tiempo necesario para que un proyectil alcance su meta, pero también hace y practica matemática quien busca propiedades de los números primos, establece teoremas sobre figuras geométricas o aclara la equivalencia entre postulados básicos de la teoría de conjuntos.

Aparentemente, esta dualidad de la matemática, podría pensarse como una consecuencia de su extensión y que, por tanto, sus distintos aspectos son partes alejadas de un mismo cuerpo original, cada día más distanciadas entre sí. Pero el distanciamiento y poca conexión entre sus partes son solo aparentes y de manera significativa se aúnan en las funciones en sus diversas expresiones. Es así que la unidad de la matemática es indisoluble y poco se puede avanzar en una dirección si se pierden de vista las otras ramas hermanas. Las aplicaciones son el estímulo y muchas veces la guía de la matemática pura en general y las funciones en particular. Pero sin ésta, la matemática


aplicada se agota rápidamente, se convierte en poco tiempo en cúmulo de recetas rutinarias, sin perspectiva de progreso (Molina García, 1998).

Por esta causa, a partir de la introducción de los conceptos teóricos básicos por parte de los docentes, que despierten el interés por aprender a aprender, deberá construirse el concepto de función mediante el trabajo en equipo y la participación activa de todos los estudiantes y su relación con el contexto social y su cultura, teniendo además presente que el prurito de exactitud, es a veces ilusorio y muchas veces innecesario.

Por esta causa, también se debe incorporar la enseñanza de las funciones aproximadas, para lograr una mayor aproximación a la vida real, ya que la matemática de hoy no puede desentenderse de los problemas a los que no puede dar respuesta exacta, que son la mayoría de los que se presentan en la práctica, sino que trata de decir algo sobre todos ellos, sea en términos de probabilidad, sea dentro de un intervalo de valores.

Esto significa que para superar las dificultades en el aprendizaje de las funciones mediante la construcción de conocimientos los docentes deben cuidar la matemática de aproximación y no desechar los resultados aproximados ya que no se puede pretender dar, en todos los casos, soluciones exactas para la mayoría de los problemas reales. “Es mucho si podemos predecir los resultados con cierto grado de aproximación, debiendo aplicarse el concepto de las funciones matemáticas no solo al mundo inanimado, sino también a la vida” (Weyl; 2001).

Es que mediante las funciones no solamente se trata de resolver los mismos problemas que la clásica, sino que especialmente desea atender los que se presentan en la vida diaria, aunque no pueda darles solución exacta, ya que la actual posición es, como se expresara, no tener miedo de salirse de la exactitud de la matemática tradicional para usar métodos más amplios y diversos, si es que resultan necesarios. Siguiendo este camino y tras conocer aspectos teóricos esenciales, los alumnos deben hallar volúmenes de cuerpos irregulares, por ejemplo midiendo la cantidad de agua que desalojan en una probeta graduada como también determinar las capacidades de jarras y vasijas de forma irregular, por el volumen o el peso del agua que pueden contener, estableciendo relaciones y, a partir de las mismas, construyendo el concepto de función.

Es que hay que medir desde la longitud del lápiz y las dimensiones del asiento, hasta la altura del alumno y las dimensiones del patio de la escuela, para con estos datos sobre los objetos reales se pueden enunciar problemas también reales y determinar con claridad las funciones que vinculan esos guarismos. En este tipo de problemas se pone en juego la inventiva de cada alumno para llegar al resultado y construir los conceptos, siendo ellos la verdadera matemática, mucho más que le recitado de memoria de lo que es una ley asociativa o de un postulado geométrico. En este marco el papel cuadriculado puede servir para medir muchas áreas irregulares: el área del pie del alumno o de su mano. Todo lo que se refiere a su persona, el alumno lo aprenderá con interés y difícilmente lo olvidara (Weyl; 2001).

La matemática y, específicamente las funciones, deben empezar por la intuición y, para ello, los métodos gráficos son de importancia capital. Desde los primeros años de la enseñanza el alumno debe graficar. Diagramas de Venn, gráficos en árbol, gráficos de funciones, representaciones a escala y cuestiones análogas deben ser de constante uso. La fórmula del área del círculo, por sí sola, no da idea completa de su contenido si no se gráfica en función del radio, por ejemplo. En todos los casos, aparte de que las gráficas obtenidas pueden servir para interpolar y extrapolar áreas y longitudes para distintos valores del radio, deben ser utilizadas para construir los conceptos fundamentales que serán empleados en otras situaciones más frecuentes en la vida real como


también en otras ciencias, concretando las relaciones que ayuden al desarrollo de la memoria del largo plazo.

Es que para aprender técnicas destinadas a resolver problemas la teoría de grafos y las funciones presenta ingeniosos métodos que, a manera de juego, ilustran sobre profundas ideas de topología, combinatoria y otras ramas de las ciencias.

Construir el conocimiento

Tomando como base las exposiciones anteriores, podemos afirmar que para enseñar las funciones, los alumnos deben tener, como expresa Sadovsky (2002) "una participación más activa en la producción del conocimiento”, ya que en la enseñanza tradicional, a los chicos se les impartía un concepto, por ejemplo la regla de tres simple, y luego se les daba una serie de problemas donde tenían que aplicar el concepto aprendido. En el enfoque que se propone en este trabajo se deben desarrollar actividades en el aula en las cuales los estudiantes deban tomar decisiones acerca de los conceptos que tiene que utilizar para resolver una situación, y hacerse cargo de validar por sí mismos la producción que han realizado, puesto que el proceso de construcción de un conocimiento matemático comienza a partir del conjunto de actividades intelectuales que el alumno pone en juego frente a un problema para cuya resolución le resultan insuficientes los conocimientos de los que dispone hasta el momento.

Resulta esencial que los chicos aprendan a moverse entre diferentes formas de representación para abordar un problema, que sean capaces de seleccionar aquélla que resulte más fértil para resolver la situación que se les propone; que puedan, por ejemplo, plantear de manera algebraica un problema geométrico o que se den cuenta de que a veces la representación gráfica de un conjunto de ecuaciones provee bastante información respecto de la solución de ese sistema (Sadovsky; 2000).

Pero además debe aclararse que un chico no aprende a pasar de una representación a otra en forma espontánea, sino que es el docente el que debe propiciar este trabajo. Es que debe recordarse que generalmente, en la enseñanza tradicional, el tipo de representación que se utiliza viene dado en el enunciado mismo del problema, el alumno no decide nada al respecto. La idea central en este enfoque es que el alumno capte el sentido de un concepto, es decir, que entienda qué tipo de problemas puede resolver a través de él y cuáles no puede resolver si lo usa. Además, que sepa cómo juega ese concepto junto con otros conceptos cercanos que se emplean para resolver problemas más o menos similares.

Es fundamental que el alumno pueda recuperar los conceptos y aplicarlos en otras situaciones. "La resolución de problemas es central, pero si en la clase no se reflexiona acerca de ellos, no se confrontan distintas estrategias producidas por los diferentes alumnos, no se alienta a los estudiantes a que propongan argumentos que muestren la validez de sus resultados, no se los invita a revisar lo que se ha hecho hace algún tiempo y relacionarlo con lo que se está haciendo en ese momento, es difícil que los alumnos puedan transferir los conceptos aprendidos a situaciones nuevas", (Sadovsky; 2000).

En muchas clases de matemática, los alumnos resuelven ejercicios que vienen formulados en una guía y las únicas interacciones que se propician se limitan a corregir los resultados. La falta de discusión, de debate, empobrece la actividad del aula. La explicitación hace posible tomar conciencia del conocimiento, permite nombrarlo, hacerlo público y hablar de él. Defender el propio punto de vista en una situación en la que se confrontan diferentes perspectivas compromete al


estudiante en la producción de argumentos que no se elaborarían si sólo tuviera que convencerse a sí mismo de la validez de sus resultados.

Hay rasgos esenciales del quehacer matemático, en especial en el caso de la formulación de funciones, que la escuela tiene la obligación de hacer conocer. "Construir herramientas que permitan obtener resultados sobre aspectos de la realidad sin necesidad de realizar experiencias efectivas, y responsabilizarse matemáticamente por la validez de esos resultados, son dos aspectos ineludibles del quehacer matemático escolar, en especial vinculado al aprendizaje de las funciones escolar. Dicho de otro modo, el chico, ante una situación, se hace preguntas, toma decisiones, encuentra límites, hace propuestas, decide la forma de representación y de la forma que adopta la función y, finalmente, fundamenta sus resultados.

Es importante aclarar, por si quedan algunas dudas al respecto, que no estamos obviando el papel del docente que enseña y explica. La idea es que el docente proponga una situación y explique cuando se ha generado una necesidad, luego de que los chicos vieron que las herramientas de las que disponían son insuficientes para resolver el problema.Obviamente esto requiere del docente una preparación especial. En la enseñanza tradicional se enseña aquello que es fácilmente controlable y evaluable. En cambio, en este nuevo enfoque se plantean situaciones abiertas, y el educador tiene que estar dispuesto a que surjan en el aula diversidad de propuestas, algunas correctas, y otras, no. Gestionar esta diversidad es, sin duda, una tarea compleja. "Es importante disponer de un docente formado, y que haya un contacto profundo entre la investigación y la capacitación docente" (Sadovsky; 2000).

De manera general uno de los principales problemas que enfrenta los alumnos al momento de abordar el tema de funciones es que adquieren conocimiento de manera temporal esto debido a que intenta memorizar todo, en lugar de tratar de entender su concepto, la función y aplicación que esta tiene; ya que muchas veces no entiende cual es la aplicación que tendrá en su vida cuestionándose el ¿y esto a mí en que me va a servir?, lo q los sitúa en solo aprender para acreditar alguna materia y después olvidar cualquier noción de esta.

Otro dificultad muy común son las expresiones que presentan graves problemas lingüísticos, tantos sintácticos como léxicos, y, sobre todo, que contrastan con el sentido convencional de rigor científico de los adultos, es decir al momento de dar lectura o elaborar una función ya que muchas veces los alumnos son incapaces de manejar una pronunciación correcta, puesto que esta involucra un sinfín de signos que permiten identificar el procedimiento a seguir o la diferencia entre una y otra, regresando al punto anterior refiriéndonos a su capacidad de memorizar todo de manera temporal.

Además carecen de iniciativa propia, puesto que les falta la motivación y el interés para construir su propio conocimiento acerca de lo que son las funciones ya que como anteriormente hacía mención no tienen bien en claro el para que les van a servir, y eso es algo que podemos afirmar ya que nosotras como estudiantes alguna vez escuchamos a alguno de nuestros compañeros hacer esa pregunta a algún profesor esperando que este le dijera de todo lo que él quería saber, sin tomar en cuenta que además de lo que le podía aportar el docente, él también podría investigar por otras fuentes y construir su propio conocimiento.


La tecnología es hoy más cambiante que nunca antes en la historia de la humanidad. Su impacto se deja sentir en todas las esferas de la actividad humana. En particular, en la esfera educativa.

Hemos sido testigos de una forma más o menos constante, en muchas áreas, una de ellas es la integración de la tecnología en el campo educativo. Como por ejemplo la calculadora, la computadora, etc., por mencionar algunos de los avances de la tecnología, que han beneficiado al campo de la educación.

La enseñanza de las matemáticas se ha visto como un campo, en la aplicación de estas tecnologías, ya que son muy accesibles y no tiene un costo muy elevado, por lo que su utilización en este campo se ha ido implementando más y más.

En el mercado existen diferentes tecnologías que podemos utilizar en nuestras aulas.

Calculadoras

Existen diferentes tipos de calculadora, desde las más elementales que realizan poco más que las cuatro operaciones básicas, hasta las científicas y las graficadoras. Entre estas últimas hay aquellas en las que se puede introducir expresiones algebraicas, y hasta se puede programar con ellas.

La calculadora científica permite realizar cálculos de razones trigonométricas, logaritmos, potencias, radicales, etc. Con este medio podemos realizar cálculos numéricos y de funciones, que han dejado de lado el uso de tablas de las razones trigonométricas y de logaritmos.

Se encuentran también calculadoras con opción de graficar: Casio, Hewlett Packard, Texas Instruments, etc., cada una con un diferente lenguaje de escritura. Este tipo de calculadora va dirigido en su aplicación a las ingenierías; sin embargo se ha encontrado cierta utilidad a algunas de ellas para la representación y explicación de diferentes tópicos a nivel de secundaria y universitaria.

El uso en el aula de esta calculadora, puede realizarse de dos maneras:

Exposición. El profesor da el tema con la ayuda de la calculadora, proyectando el despliegue en una pantalla en la pizarra. Los estudiantes observan y discuten sobre los


La tecnología en la enseñanza y el

aprendizaje de

las funcione

s

resultados presentados por el profesor. Aunque ventajosa, con respecto a la clase magistral, no deja de tener sus limitantes, pues el estudiante juega un papel pasivo en la clase.

Clase-Taller. En este caso todos los estudiantes (o en parejas) tienen su calculadora. El profesor da una guía a seguir, la cual el estudiante debe de realizarla. Al final de la clase se discuten las experiencias. Lo importante de este tipo de actividad es que el estudiante es el que está trabajando con la máquina; él es el que comete errores y los corrige; el alumno es el que está construyendo su conocimiento con la guía del profesor.

Computadora

La computadora es una de las principales herramientas para la didáctica de la matemática desde una perspectiva tecnológica.

No obstante, pareciera que la computadora tiene algunas ventajas sobre la calculadora. Quizá ésta le gana a aquélla en portabilidad. Pero el despliegue gráfico de la computadora supera en mucho al de la calculadora.

Computadora como herramienta de presentación : Se puede utilizar una sola computadora en el aula, la cual es manipulada por el profesor para mostrar a sus estudiantes presentaciones, dibujos, cálculos numéricos y algebraicos, gráficos o la solución de problemas. Además, en este caso esto no priva al estudiante de hacer uso del computador para realizar exposiciones a sus compañeros.

Juegos Educativos: Algunos de los programas desarrollados para la enseñanza de la Matemática adoptan formas de juego, con lo cual resultan más atractivos e interesantes para los alumnos. Estos juegos suelen utilizarse con objetivos pedagógicos bien determinados, generalmente de crear o aumentar habilidades específicas.

Como apoyo a la administración docente: Diferentes programas de computación (procesador de texto, hojas de cálculo, análisis estadísticos, etc.) permiten que las tareas administrativas del docente se puedan realizar de una manera más práctica y rápida. Entre las aplicaciones más comunes a la administración de la docencia tenemos: Registro de calificaciones y asistencia, cálculo de promedios, confección de material didáctico escrito, gráfico o audio - visual, confección de las pruebas, etc.

Como apoyo a la administración docente: Diferentes programas de computación (procesador de texto, hojas de cálculo, análisis estadísticos, etc.) permiten que las tareas administrativas del docente se puedan realizar de una manera más práctica y rápida. Entre las aplicaciones más comunes a la administración de la docencia tenemos: Registro de


calificaciones y asistencia, cálculo de promedios, confección de material didáctico escrito, gráfico o audio - visual, confección de las pruebas, etc.

Internet

En la actualidad existen diferentes opciones didácticas para trabajar desde la Internet, se pueden encontrar juegos educativos, software gratuito para la didáctica de la matemática, etc.

Un ejemplo del uso de la tecnología en la enseñanza de las funciones es el

“Laboratorio de álgebra”

El Laboratorio de Álgebra es un software educativo desarrollado para contribuir en la enseñanza de esta materia ayudando a los alumnos a visualizar los diferentes objetos algebraicos y brindando las herramientas para interactuar con dichos objetos. Son estas herramientas las que ayudan a que un estudio de memorización y mecanizado se convierta en una experiencia que invita a explorar y descubrir la importancia del mundo del Álgebra. De esta manera, se propicia el desarrollo de habilidades y

destrezas necesarias para resolver diversos problemas algebraicos.

Con el Laboratorio de Álgebra el alumno cuenta con herramientas para poder experimentar al convertir un problema expresado verbalmente en un modelo algebraico llevado al Laboratorio. En general, con esta herramienta se puede modelar cualquier problema o fenómeno cuyo resultado sea un modelo algebraico.

Existen diferentes opciones para utilizar las nuevas tecnologías en la clase de matemáticas, de manera tal que una misma herramienta se pueda aprovechar dependiendo de la disposición y actividad a realizar.Solamente hay que diseñar estrategias de uso, desarrollar la didáctica tomando en cuenta las herramientas tecnológicas disponibles, y otras acciones que pongan en juego la creatividad del docente. En la actualidad la implementación de las nuevas tecnologías en campo matemático es muy importante. Y para la enseñanza del álgebra resulta ser menos complicado para el alumno, ya que haciendo uso de ellas se puede mejora el entendimiento de los alumnos y por ende su aprendizaje.


ConclusionesLa matemática siempre ha sido una de las asignaturas con mayor dificultad tanto para los alumnos como para los profesores, los primeros porque las ven muy difíciles y los segundos porque tienen que pensar en nuevas estrategias o alternativas que les permitan llegar a los alumnos y posibilitar en éstos la formación y adquisición de nuevos conceptos en sus estructuras cognitivas. En específico entrar al mundo del álgebra puede ser confuso para los estudiantes si no se emplean las estrategias correctas. Las cuales se concretan en una serie de actividades de aprendizaje dirigidas a los estudiantes y adaptadas a sus características, a los recursos disponibles y a los contenidos objeto de estudio.

Es así que podemos partir de los conocimientos previos que tienen el alumno e iniciar de manera tan sencilla como entender: qué es una función, antes de entrar al mundo de las ecuaciones, gráficas, despejes y de más. Ahora sabemos que una función es esa relación existente entre un conjunto de valores llamado Dominio, del cual depende un segundo conjunto de valores llamado codominio ya que atienden a una regla de correspondencia. Dicha regla de correspondencia puede aumentar en nivel de dificultad y es aquí cuando entran los distintos tipos de funciones que existen; primeramente las funciones son clasificadas en dos grupos: las Algebraicas y las Trascendentes. Dentro de las algebraicas están las funciones constantes, lineales, cuadráticas, cúbicas, polinomiales, racionales e irracionales. Y en las trascendentes encontramos las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Así mismo sabemos que cada tipo de función tiene una representación gráfica que atiende a ciertas características propias, esta representación requiere de un plano cartesiano en el que podamos ubicar los puntos, para obtener dichos datos nos podemos apoyar en la tabulación de los valores de x y y, así mismo existe otro gráfico llamado de Venn, que nos permite constatar de manera aún más visual si se cumple la relación de la función.

Tras el estudio de las nombradas funciones matemáticas, podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias, en especial la física y la química. Y es que a pesar de que estos conocimientos son algo establecido, tedioso de aprender y en muchas ocasiones aburrido, nos podemos sorprender de las grandes aplicaciones que tiene el uso de las funciones en nuestra vida cotidiana, entender cómo ha sido posible la creación de nueva tecnología e infraestructura gracias a estas. Las funciones matemáticas han facilitado la labor en muchas ciencias y son sumamente necesarias para obtener resultados precisos para cada situación.


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http://matepop.com.mx/phocadownload/Libros/GuiaProfesM4/Unidad2-parte1.pdf

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Referencias

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