funciones

Profa. Ana Blanco de González, EdD 1

CÁTEDRA DE MATEMÁTICA I

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA

CÁTEDRA DE MATEMÁTICA I

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA

PROFESORA ANA BLANCO DE GONZÁLEZ, EdDPROFESORA ANA BLANCO DE GONZÁLEZ, EdD

FUNCIONES FUNCIONES REALES DE UNA REALES DE UNA VARIABLE REALVARIABLE REAL

FUNCIONES FUNCIONES REALES DE UNA REALES DE UNA VARIABLE REALVARIABLE REAL


•Correspondencia

•Asociación

•Conjunto de pares ordenados

RELACIÓNRELACIÓN


Dominio: (Dom)

Rango: (Rgo)

Elementos del conjunto de partida que están relacionados

Elementos del conjunto de llegada que están relacionados

Imágenes:

Elementos del conjunto de partida que están relacionados


•Frases:

•Los países y sus capitales

•Los venezolanos y sus números de cédula

•Un estudiante y sus calificaciones

•Ecuaciones:

•y = x2

•Ejes cartesianos

Representación:


Conjunto de partida R Conjunto de llegada

Perú Lima

Colombia Bogotá

Venezuela Caracas

Ecuador Quito

Bolivia La Paz

Dom R = {P, C, V, E, V}

Rgo R = {L, B, C, Q, L}

Imag R = {L, B, C, Q, L}

Diagramas:


Relación donde todos

los elementos del conjunto de

partida tienen sólo una imagen

en el conjunto de llegada

Conclusión:

Todos los elementos del conjunto de partida están en el dominio

FUNCIÓNFUNCIÓN


Función

Relación


Definición de Función:

Dados dos conjuntos A y B tal que f: A B entonces:

f es función f A x B

a) x A, y B: (x,y) f

b) (x,y) f (x,z) f y = z


Notación funcionalNotación funcional

y =f (x)

Nombre de

la función

Variable

independiente

Variable

dependiente

•Se lee: y es igual a f de x

•Se interpreta: los valores de y dependen de los valores de x

• y es la imagen de x

• x es la preimagen o contraimagen de y


• Criterio para determinar el dominio de una función a partir de su gráfica:

Basta con trazar rectas verticales en los extremos de la gráfica. El Intervalo comprendido entre las rectas representa el dominio de la función

• Criterio para determinar el rango de una función a partir de su gráfica:

Basta con trazar rectas horizontales en los extremos de la gráfica. El Intervalo comprendido entre las rectas representa el rango de la función

• Criterio para determinar si una relación es una función a partir de su gráfica:

Basta con verificar que cualquier recta vertical corta a la gráfica en a lo más un punto


No es función

FunciónNo es función

Función


a b

Dominio: [a,b]

Dominio:

[a,b] U [c,d]a b c d


Rango: [0,i]

Rango:

[m,k] U [0,i]

i

0

K

m

i

0


Funciones de una variable:Funciones de una variable:

Cuando el valor de una variable depende del valor de una variable independiente

Funciones de varias variables:Funciones de varias variables:

Cuando el valor de una variable depende del valor de varias variables independientes


Ejemplos:

i) El área de un círculo depende

(Función de una variable)

de la longitud de su radio

ii) El área de un triángulo

depende

(Función de dos variables)

de la longitud de su base

y la longitud de su altura

A(r)= .r2

A(b,h)=b.h/2


Ejemplos:iii) El volumen de un paralelepípedo

depende de la longitud del ancho, largo y altura

(Función de tres variables)

iv) Las ganancias de una compañía dependen de varios factores: costo, producción, mano de obra, etc.

(Función de varias variables)

V(l,a,h)=l.a.h

G(c,l,k,q,p)=U


Funciones cuyos dominios y rangos son subconjuntos de los números reales R

f : R R

Conjunto de partida

DominioRango

Conjunto de llegada

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE


Cálculo del dominio de una funciónCálculo del dominio de una función

Para calcular el dominio de cualquier función, deben considerarse las siguientes restricciones:

• Para funciones con raíces de índice par, la cantidad subradical debe ser mayor que cero o igual a cero

• Para funciones logarítmicas, el argumento debe ser mayor que cero

• Para funciones expresadas como fracciones, el denominador debe ser distinto de cero

• Se intersecan los dominios, una vez aplicadas las restricciones y el resultado es el dominio de la función


Ejemplo: Calcula el dominio de la siguiente función


5

)43(xLn f(x)

2

x

x


• Se considera f como resultado de la operación de dos funciones:


• Se aplican las restricciones a cada una de las funciones:

)(4, ,-1)(- x 0 43 xi) 2 x

)43(xLn f(x) 2 x5

1 (x)f2

x

),5(505ii) xxx


- -1 0 4 5

• Se intersecan los intervalos resultantes de las restricciones:


• El intervalo resultado de la intersección es el

dominio de la función f: Dom f = (5,)


Clasificación de funciones realesClasificación de funciones reales

Algebraicas

Trascendentes

Explícitas

Implícitas

Enteras

Racionales


Clasificación de funcionesClasificación de funcionesSea f: A B

• Función Inyectiva

Si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas

f es inyectiva a,bA: ab f(a)f(b)

o también

f es inyectiva a,bA: f(a) = f(b) a = b

• Función Biyectiva:

Si f es inyectiva y sobreyectiva


Clasificación de funcionesClasificación de funciones

Sea f: A B

• Función Sobreyectiva:

Si cada elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del dominio

f es sobreyectiva bB a A: b = f(a)

o también

f es sobreyectiva Ranf = B

• Función Biyectiva:

Si f es inyectiva y sobreyectiva


Clasificación de funcionesClasificación de funciones

• Criterio para determinar si una función es inyectiva a partir de su gráfica:

Basta con verificar que cualquier recta horizontal corta a la gráfica en a lo más un punto

• Criterio para determinar si una función es sobreyectiva a partir de su gráfica:

Basta con verificar con rectas horizontales que a cualquier y le corresponde un x, es decir, al menos un punto según la gráfica


No es inyectiva

No es sobreyectiva

No es biyectiva

Es inyectiva

No es sobreyectiva

No es biyectiva

Es inyectiva

Es sobreyectiva

Es biyectiva


Clasificación de funciones reales

Sea f: A R

f es par x A: f(x) = f(-x)

f es impar x A -x A: f(x) = -f(-x)

• Una función par tiene gráfica simétrica con respecto al eje y

• Una función impar tiene gráfica simétrica con respecto al origen

• Una gráfica simétrica con respecto al eje x corresponde a una relación, no es función

• Existen funciones que no son pares ni impares


Es par

Simétrica con respecto al eje y

y = f (x) = f (-x)

Es impar

Simétrica con respecto al eje y

y = f (x) - y = f (-x)

No es par

No es impar

-x x

y -x x

y

- y



Sea f: A R y un intervalo I A

f es creciente en I a,b I: a < b f(a) < f(b)

f es decreciente en I a,b I: a < b f(a) > f(b)

También

f es no-decreciente en I a,b I: a < b f(a) f(b)

f es no-creciente en I a,b I: a < b f(a) f(b)


Gráficamente:

En el intervalo (-,0) es Decreciente: a < b f (a) > f (b)

En el intervalo (0,) es Creciente: c < d f (c) < f (d)

f(a)

f(d)

f(c)

f(b)

- a b 0 c d


Gráficamente:

En el intervalo (-,0) f es Creciente: a < b f (a) < f (b)

En el intervalo (0,) f es Creciente: c < d f (c) < f (d)

f(d)

f(c)

f(b)

f(a)

- a b 0 c d



Sea f: A B

f tiene un máximo en a x A: f(x) f(a)

f tiene un mínimo en b x A: f(x) f(b)

También

f tiene un máximo en a f(a) es el máximo de Ranf

f tiene un mínimo en b f(b) es el mínimo de Ranf


Gráfica de una función real de una variable realGráfica de una función real de una variable real

Para graficar funciones es útil determinar los puntos de corte con los ejes coordenados, sea f(x) = y

Corte con el eje x: se resuelve la ecuación f(x) = 0 los puntos obtenidos pueden ser más de uno, se escriben (xi,0)

0 x

y

Corte con el eje y: se calcula: y = f(0) el punto es único, se escribe (0,f(0))

Conjunto de todos los puntos (x,f(x))


Traslado horizontal de la gráfica de una función real de una variable real:

La gráfica de g es equivalente a la gráfica de f trasladada a unidades horizontalmente

Siendo y = f(x) g(x) = f(x+a)

Si a > 0 la gráfica de f se traslada hacia la izquierda

Si a < 0 la gráfica de f se traslada hacia la derecha

0 x

y


Traslado vertical de la gráfica de una función real de una variable real:

La gráfica de g es equivalente a la gráfica de f trasladada k unidades verticalmente

Siendo y = f(x) g(x) = f(x) + k

Si k > 0 la gráfica de f se traslada hacia arribaSi k < 0 la gráfica de f se traslada hacia abajo

0 x

y


Traslado simultáneo de la gráfica de una función real de una variable real:

La gráfica de g es equivalente a la gráfica de f trasladada a unidades horizontalmente k unidades verticalmente

Siendo y = f(x) g(x) = f(x+a) + k

0 x

y


Función Constante: f(x) = cEjemplos : y = 1 y = - 3 y = 5

Algunas Funciones RealesAlgunas Funciones Reales



Función Lineal: f(x) = m x + k

• A y = m x + k se le llama Ecuación de la recta

• La representación gráfica de la Función Lineal es

una recta cuyos puntos de corte con los ejes son:

- Corte con el eje x: (-k/m,0)

- Corte con el eje y: (0,k)

•Al valor m se le llama pendiente de la recta


f(x) = x +5 g(x) = -x +1 h(x) = x -3

Ejemplos de funciones lineales:



Función Cuadrática: f(x) = ax2 +bx +c

• Representación gráfica: una parábola

• Si a > 0 la concavidad es hacia arriba (f es cóncava)

• Si a < 0 la concavidad es hacia abajo (f es convexa)

• Corte con el eje x: (x1, 0)(x2, 0)

• Corte con el eje y: (0,c)

• Vértice: (-b/2a, f(-b/2a))


f(x) = x2 g(x) = -x2 -1 h(x) = (x-5)2 -1

Ejemplos de funciones cuadráticas:



Función Potencial: f(x) = a xn

•Si n = 0 corresponde a la función constante f(x) = a

• Si n < 0 la gráfica es una curva asintótica con respecto a los ejes coordenados

•Si n = -1 la gráfica se denomina hipérbola rectangular, y crece o decrece indefinidamente a medida que x toma valores cercanos a cero y viceversa

•Si 0 < n < 1 la gráfica es una curva, y crece o decrece moderadamente a medida que x cambia de valor

• Si n = ½ corresponde a la función raíz cuadrada f(x) = x, la gráfica es la mitad de una parábola


•Si n = 1/3 corresponde a la función raíz cúbica f(x) = 3x

•Si n = 1 corresponde a la función lineal f(x) = a x

• Si n > 1 la gráfica es una curva, y crece o decrece pronunciadamente a medida que x cambia de valor

• Si n = 2 corresponde a la función cuadrática f(x) = a x2

• Si n = 3 corresponde a la función cúbica f(x) = a x3

• El signo de a determina el cuadrante del sistema de coordenadas donde se ubica la gráfica de la función

• En economía estas funciones son usadas frecuentemente, consideradas sólo para valores a > 0


Función Potencial: f(x) = a xn


Ejemplos de funciones potenciales:

f(x) = x-1 g(x) = -x-1 h(x) = x-3 i(x) = -x-3


Ejemplos de funciones potenciales:

j(x) = x1/3 k(x) = x1/2 m(x) = x4 q(x) = -x4


f(x) = x3 g(x) = 2 x3 h(x) = - 2 x3

Ejemplos de funciones cúbicas:


Funciones Polinómicas:

f(x) = cnxn + c n-1xn-1 +... +c2x2 + c1x1 + c0

F.Cúbica:f(x)= c3x3 + c2x2 + c1x1 + c0

F.Cuadrática: f(x)= c2x2 + c1x1 + c0

F.Lineal:f(x)= c1x1 + c0

F.Constante:f(x)= c0



f(x) = x g(x) = -x - 1 h(x) = x-5- 1


Función Valor Absoluto: f(x) = xEjemplos:


f(x) = (½)x g(x) = 2x h(x) = (2x + 5) - 3


Función Exponencial: f(x) = ax (a>0 a1)

Ejemplos:


f(x) = ln x g(x) = ln (x + 3) h(x) = ln(x-5) - 2


Función Logarítmica: f(x) = logaxEjemplos:


Gráfica de una función a trozos

Gráfica de una función a trozos

• Considerando sus respectivos dominios, cada una de las funciones se grafica por separado

• Luego se representan en un sistema de coordenadas único


Ejemplo: construye la gráfica de la siguiente funciónEjemplo: construye la gráfica de la siguiente función

x4 si 5

4x1 si 23

1x5- si )5ln(

-5x- si 1

)(2 xx

x

x

xf


Ejemplo:

La gráfica de f(x) = x – 1 es la siguiente:


Ejemplo:

La gráfica de f(x) = ln(x + 5) es la siguiente:


Ejemplo:

La gráfica de f(x) = x2 – 3 x + 2 es la siguiente:


Ejemplo:

La gráfica de f(x) = – 5 es la siguiente:


Ejemplo:Se representan las funciones dadas en un único sistema

de coordenadas, considerando los respectivos dominios

de cada función

- -5 -1 0 4 +

X-1 Ln(x+5) X2-3x+2 -5


Ejemplo:

La gráfica de f es la siguiente:


Operaciones con funcionesOperaciones con funcionesAl operar funciones:• Se ubican en el sistema de ejes coordenados

los dominios de cada una de las funciones

• Se intersecan los dominios

• Se operan las funciones en cada uno de los intervalos así construidos

• En aquellos intervalos donde no se definen todas las funciones, no se realiza la operación (en ese caso no hay intersección)


Ejemplo: Dadas las funciones f y g, construye las funciones: f + g , f – g , f . g , f / g. Indica el dominio

6 si x (- , - 4)

g(x) = ln (x – 2) si x [-3, 1)

x - 3 + 1 si x [ 1, + )

x2– 3 x + 4 si x (- , - 3)

f (x) = x + 4 - 2 si x [-3, - 1]

ln (x – 2) si x (- 1, + )

Operaciones con funcionesOperaciones con funciones


f

- -3 -1 0

- -4 -3 0 1

g


• Los intervalos resultantes de la intersección son:

(-,-4) (-4,-3) (-3,-1) (-1,1) (1,)

• Cualquier función resultado de una operación entre f y g, estará definida en esos intervalos


x2– 3 x + 4 x + 4 - 2

- -3 -1 0

ln (x – 2)

- -4 -3 0 1

6 ln (x – 2) x - 3 + 1


• En el intervalo (-,-4) se operan las funciones: (x2– 3 x + 4) y 6

• En el intervalo (-4,-3) no se operan funciones, solo está (x2– 3 x + 4)

• En el intervalo (-3,-1) se operan las funciones: x + 4 - 2 y ln (x – 2)

• En el intervalo (-1,1) se operan las funciones: ln (x – 2) y ln (x – 2)

• En el intervalo (1,) se operan las funciones: ln (x – 2) y x - 3 + 1



Por ejemplo:

(x2– 3 x + 4) + 6 si x (-,-4]

(f + g)(x)= x + 4 - 2 + ln (x – 2) si x [-3,-1]

ln (x – 2) + ln (x – 2) si x (-1,1)

ln (x – 2) + x - 3 + 1 si x [1,)

El Dominio de la función f + g:

(-,-4] [-3,-1] (-1,1) [1,)

o también: (-,-4] [-3,)


Cálculo de la compuesta de dos funciones

Cálculo de la compuesta de dos funciones

Dadas f(x) y g(x) para calcular la compuesta:

• Se verifica la condición de existencia de la compuesta

• Si se pide (f o g)(x), se calcula f(g(x)), es decir, se calcula g(x) y a este resultado se le aplica f

• Si se pide (g o f)(x), se calcula g(f(x)), es decir, se calcula f(x) y a este resultado se le aplica g


Ejemplo: Dadas f y g, calcula f o g y g o f

Cálculo de la compuesta de dos funcionesCálculo de la compuesta de dos funciones

Se calcula el dominio y el rango de f y g, para verificar la condición de existencia de (fog) ó (gof)

Domf = R Rgof = [-1,) Domg =(0,) Rgog = R

f(x) = x2 – 1 g(x) = Ln x


Para fog, la condición de existencia Rgog Domf se cumple: R R


Entonces, se calcula f(g(x)):

(f o g)(x) = f (g(x))

(f o g)(x) = (Lnx)2 - 1

(f o g)(x) = (g(x))2 - 1

g(x) = Ln x f(x) = (x)2 – 1

(f o g)(x) = (Lnx)2 - 1



(g o f)(x) = g (f(x))

(f o g)(x) = Ln (x2 - 1)

(g o f)(x) = Ln (f(x))

f(x) = x2 – 1 g(x) = Ln (x)

(f o g)(x) = Ln (x2 - 1)

Para gof, la condición de existencia Rgof Domg se cumple: [-1,) (0,)

Entonces, se calcula g(f(x)):


Cálculo de la inversa de una funciónCálculo de la inversa de una función

Para calcular la inversa de una función f:• Se verifica la condición de existencia de f - 1 • Analíticamente:

- en la ecuación y = f(x) se despeja x- se intercambian los nombres: en lugar de y se escribe x, en lugar de x se escribe f - 1

• Gráficamente: - las gráficas de f y f - 1 son simétricas con

respecto al origen


Ejemplo: Dada f(x) = x2 – 1 calcula f -1


(1) Se calcula el dominio y el rango de f: Domf = R Rgof = [-1,)

(2) Se representa gráficamente f, la cual es una función cuadrática


(3) Se verifica la condición de existencia de la inversa de f, es decir si f es una función biyectiva:

(i) ¿Es f inyectiva? No porque f(1) = f(-1) = 0


Para que f sea inyectiva se hace restricción al dominiogarantizando que no haya dos x con la misma imagen

(ii) ¿Es f sobreyectiva? No porque Rgof R

Para que f sea sobreyectiva se hace restricción al conjunto de partida garantizando que todas las y sean imagen de alguna x


Analíticamente:(1) Se despeja x de la ecuación:


1 y x

1 y x

1 xy

1x f(x)

2

2

2

(2) Se hace restricción, tomando una de las dos soluciones:

1 y x


Analíticamente:(3) Se intercambian los nombres: en lugar de y se

escribe x, en lugar de x se escribe f -1


!!!!!!! f -1 es la inversa de f !!!!!!!

1 x f

1 y x

1-


Gráficamente:Las gráficas de f –1 y f son simétricas con respectoal origen



Analíticamente:Se puede comprobar que f y f -1 son inversas, con

la composición de ambas funciones:


x

x

11x

1)1(x

1f(x)(f(x))f

1x(x)f

2

2

2

1-

-1

) )

x

1-1 x

11x(x))f(f

1(x)f(x))f(f

1x f(x)

21-

21-1-

2

funciones

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