funcion medible excelente

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Tio Petros

Este blog es una invitación a dar un paseo por la matemática. Intentarécomentar los aspectos más bellos y si es posible menos tópicos de lamisma. En todo caso, es tan sólo un paseo que debe darse como se haceen una soleada tarde de verano: con placer.

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¿Qué es una función medible?

Viene de aquí.

Vamos a fijar un poco la nomenclatura para entendernos. Hemos afirmado que laintegral de Lebesgue es aplicable a un mayor número de funciones que la deRiemann. Este conjunto de funciones es el de las funciones medibles. Unafunción medible está definida en un espacio de medida, en el que "todos" lossubconjuntos tienen asociado un número, que es la medida del mismo. Lapalabra todos aparece entrecomillada porque en realidad no son todos , sino unnúmero muy grande de ellos, que forman una estructura denominada sigma-algebra de los conjuntos medibles del espacio dado. Una sigma-algebra no es sinouna colección de subconjuntos tales que toda unión, intersección o paso alcomplementario así como uniones numerables de subconjuntos es un nuevosubconjunto que también de la misma pertenece a ella, .

Cuando estuvimos hablando de variables aleatorias mencionamos el concepto,que no vendrá mal recordar aquí. Allí venía a cuento porque los espacios

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probabilísticos son espacios medibles, y las variables aleatorias son precisamentefunciones medibles en dichos espacios. Ahora hablaremos con toda generalidad,sin mencionar qué tipo de espacio medible es en el que estamos trabajando.

Un espacio de medida, recordamos, es una tríada (X,A,M), donde X es unconjunto cualquiera, A es una sigma-álgebra (la de los subconjuntos medibles)subre X y M es una medida definida en A.

Supongamos que tenemos dos espacios de medida: (X,A,MX) y (Y,B,MY); y unaaplicación f de X a Y. Diremos que f es una función medible cuando laantiimagen de todo subconjunto de Y que sea elemento de B es un subconjuntode X que es a su vez elemento de A.

De esta forma, la función “es respetuosa” con las sigma-álgebras de partida y dellegada.

Este aparente galimatías esconde una idea extremadamente sencilla: loselementos de las respectivas sigma-álgebras son simplemente aquellossubconjuntos para los cuales tiene sentido aplicar el concepto de medida, y porello se denominan conjuntos medibles . La propiedad pedida a las funcionesmedibles exige que cada medible del conjunto de llegada tenga un alter egomedible en el conjunto de partida del cual es imagen por dicha aplicación.

Fijémonos en la figura: un punto p del espacio de partida tiene su imagen por lafunción f en el punto f(p) del espacio imagen. Dado un sunconjunto medible(con la medible definida en la imagen), existe otro medible en el origen (ahoracon la medida definida en el espacio de origen) tal que es la contraimagen por lafunción f del primero.

Es fácil comprender que este tipo de funciones son las interesantes entreespacios medibles. Nuestra meta será definir una integral que sirva para todaslas funciones medibles que se puedan construir en un espacio de medida.

El tipo más sencillo de funciones medibles es el de las funciones indicatrices.

Una función indicatriz de un subconjunto no es sino una función que vale unopara todos los puntos de un subconjunto dado, valiendo cero para el resto. Esindicatriz de este subconjunto dado. Es importante señalar que la función no estádefinida sólo en dicho conjunto, sino en todo el espacio de partida.


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Dado un subconjunto medible A de un conjunto medible X, la función indicatrizde A es:

IA(x)= 1 si x pertenece a A

IA(x)= 0 si x no pertenece a A

Demostremos que toda función indicatriz es medible:

La función indicatriz sólo toma dos valores, uno o cero. Dado un subconjunto Bmedible de R , que es el espacio de llegada, sólo pueden darse tres casos:

1.- que B contenga al uno y no al cero,

2.- que contenga al cero y no al uno,

3.- que contenga a ambos y

4.- que no contenga a ninguno.

En el primer caso, la contraimagen de B es precisamente A, porque pordefinición la contraimagen de B será el conjunto de todos aquellos puntos quetoman valores en B, y de todos los posibles valores de B, sólo el uno tieneposibilidad de ser el valor asignado a puntos del origen. Como por definicion dela función indicatriz, los puntos que tienen asociado el valor unidad son lospertenecientes a A, tenemos el resultado. Razonando de la misma manerallegaremos a la conclusión de que en el segundo caso, la contraimagen de B es elcomplementario de A, en el tercero es el conjunto de origen entero y en elcuarto es el conjunto vacío. Todos ellos son conjuntos medibles por ser medibleA, por lo que ya tenemos demostrado el resultado.

Continuaremos construyendo funciones más complicadas a partir de lasindicatrices manteniendo la medibilidad de las mismas y definiendo la integralde Lebesgue enseguida.

Seguimos en breve.

23/11/2005 12:10 #. sin tema

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Autor: Luisca

Enhorabuena por el blog, llevo un par de semanas suscrito y los temas son muyinteresantes y están explicados cuidadosamente. No sé si me ha quedado claro el


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concepto de función medible, ¿podrías poner algún ejemplo de función nomedible?

Fecha: 23/11/2005 18:51.

Autor: Tio Petros

Hola Luisca.Estamos hablando de un tipo de funciones muy general, de modo que es normalque al principio no quede claro del todo el concepto. Buscar funciones nomedibles no es sencillo, precisamente porque queremos que bajo el conceptoqueden englobadas todas las funciones que puedan ser interesantes de algúnmodo, y poder integrarlas.

El ejemplo más claro de una función no medible es el de una función indicatrizde un subconjunto A no medible (¿ves porqué?). Es la existencia de conjuntos nomedibles la que hace que existan funciones que no lo sean. Ahora la pregunta setraslada poner algún ejemplo de conjunto no medible. Hablaremos de ello enbreve,te lo prometo.

Fecha: 24/11/2005 07:58.

Autor: Magda

Jesús te felicito por la iniciativa, estoy conociendo tu blog por estos días y meanima tu coraje de explicar las funciones medibles en este tipo de espacio, perome resulta formidable como los jóvenes se enganchan con tu propuesta.Es interesante lograr que los estudiantes tengan curiosidad por la matemática.Soy profesora universitaria en carreras de Economía y me cuesta enganchar amis alumnos con el saber matemáticoFelicitaciones, te visitaré a menudo.

Fecha: 25/11/2005 15:50.

Autor: Jose Brox

En el primer párrafo del artículo hay un anacoluto y por su causa no se entiendela definición de medida.

Fecha: 04/01/2006 01:39.

Autor: Jose Brox

Quería decir la definición de sigma-álgebra.

Aparte cuando consideras los distintos casos para la función indicatriz dices "haytres casos" y luego describes cuatro xD

Fecha: 04/01/2006 01:45.

Autor: jose

Me gustaria saber por que tanto misterio respecto a la medida e integracion. Loque quiero decir que con algunos ejemplos todo se entenderia mejor. Me podriandar algunos ejemplos de lo que sucede con esta teoria.

Fecha: 06/04/2008 01:16.


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