Función linealSistema de ecuaciones

Prof. Viviana LLoret

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Función lineal3

La función lineal es una función polinómica de grado uno.

Su forma general es f(x): R R / f(x) = m. x + bSu representación gráfica es una recta.

m se llama Pendiente, es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.b se llama Ordenada al origen, y es el valor que toma la función en el origen de coordenadas, es decir para x=0.

Función creciente y decreciente

Si m<0 la función es decreciente, la recta forma un ángulo obtuso con el eje de abscisas.

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Si m>0 la función es creciente, la recta forma un ángulo agudo con el eje de abscisas.

Casos particulares5

Cómo graficar?6

Representar:

f(x) = 4 x -2

Cómo graficar?7

Graficaremos y= 3 x + 1

1. Marcamos la Ordenada al origen, en este caso b=12. Avanzamos una unidad hacia la derecha3. Subimos (si m es positiva) o bajamos (si m es negativa), en este caso

subimos 3 unidades4. Marcamos el punto Q, luego unimos B y Q

Cálculo de la raíz8

Sabemos que llamamos raíz o raíces de una función al punto en donde su gráfica corta al eje x, veamos entonces cómo calculamos la misma:Consideremos, por ejemplo, la función lineal:f(x)= 4 x – 2

Igualamos y a 0

0 = 4 x – 2

Pasamos 2 sumando al primer miembro2 = 4 x

Pasamos 4 dividiendo al primer miembro2/4 = x

Luego la raíz de la función f(x) = 4 x – 2 es:X= ½ -Punto verde en la gráfica-

Fórmula pendiente9

Aprenderemos, ahora, a encontrar el valor de la pendiente conociendo dos puntos que pertenecen a su gráfica.

Si la gráfica de la función pasa por los puntos P=(x1,y1) y Q=(x2,y2) empleamos la siguiente fórmula para hallar el valor de la pendiente:

m=𝒚𝟐−𝒚

𝟏

𝒙𝟐−𝒙

𝟏

En el ejemplo, P=(1,1) y Q=(2,3),Luego la pendiente es igual a 2.

Rectas paralelas

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Si dos rectas son paralelas entonces sus pendientes son iguales, es decir:

Considerando R1 y=m1 x + b1

R2 y=m2 x + b2

Si R1 // R2 m1 = m2

Rectas perpendiculares11

Si dos rectas son perpendiculares entonces sus pendientes son opuestas e inversas, es decir:

Considerando R1 y=m1 x + b1

R2 y=m2 x + b2 Si R1 R2 m1 = -1/m2

Ejercicios resueltos

12Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q, siendo:P=(1;1) y Q=(5;6)

Recordemos la fórmula de la función linealy= m.x + b

Por medio de la fórmula m=𝒚𝟐−𝒚

𝟏

𝒙𝟐−𝒙

𝟏

calculamos su pendiente, luego

m=6−1

5−1=

5

4 m=

𝟓

𝟒

Luego consideramos las coordenadas de cualquiera de los dos puntos, por ejemplo, el punto Q, reemplazamos a x por 5 y a y por 6 en la fórmula

6 = 𝟓

𝟒. 5 +b Despejamos b

6 = 25

4+b

6 -25

4= b b=-

𝟏

𝟒luego la ecuación es y=

𝟓

𝟒x -

𝟏

𝟒

Ejercicios resueltos13

Encuentra la fórmula de la función lineal sabiendo que su pendiente es igual a -3 y su raíz es x= 4.

Recordemos la fórmula de la función lineal y= mx + b

Como la pendiente es -3 reemplazamos m por -3y= -3 x + b

Ahora solo nos resta calcular b, para ello utilizamos el otro dato, si su raíz es 4 significa que la gráfica de la función pasa por el punto (4,0), luego reemplazamos x por 4 e y por 0 y despejamos b.

0= -3. 4 + b0= -12 + b

12 = b

Luego la fórmula pedida es:y= 3 x + 12

Ejercicios resueltos14

Encuentra la fórmula de la función lineal sabiendo que tiene ordenada al origen -8 y pasa por (1;4).

Recordemos la fórmula de la función lineal y= mx + b

Como la ordenada al origen es -8 reemplazamos b por -8y= m x - 8

Ahora solo nos resta calcular m, para ello utilizamos el otro dato, si pasa por el punto (1,4), reemplazamos x por 1 e y por 4 y despejamos m.

4= m 1 -84 + 8 = mm = 12

Luego la fórmula pedida es:y= 12 x - 8

Ejercicios resueltos15

Hallar la ecuación de la recta paralela a y= 3 x + 5 que pasa por el punto (1,3)Recordemos la fórmula de la función lineal

y= mx + b Como es paralela a y= 3 x + 5 tiene la misma pendiente, es decir m= 3.

y= 3 x + b Ahora solo nos resta calcular b, para ello utilizamos el otro dato, si pasa

por el punto (1,3), reemplazamos x por 1 e y por 3 y despejamos b.3 = 3. 1 + b

3- 3 = bb = 0

Luego la fórmula pedida es:y= 3 x

Ejercicios resueltos16

Hallar la ecuación de la recta perpendicular a y= 1/ 3 x + 5 que pasa por el punto (1,3)Recordemos la fórmula de la función lineal

y= mx + b Como es perpendicular a y= 1/3 x + 5 tiene la pendiente opuesta e

inversa, es decir m= -3.y= -3 x + b

Ahora solo nos resta calcular b, para ello utilizamos el otro dato, si pasa por el punto (1,3), reemplazamos x por 1 e y por 3 y despejamos b.

3 = -3. 1 + b3+ 3 = b

b = 6

Luego la fórmula pedida es:y= -3 x + 6

Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

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18

Hallaremos, en primer lugar, el punto donde se cortan las rectasy= 2 x + 3y= x +4

Como x=1 e y=5 verifican las dos ecuaciones a la vez decimos que las mismas forman un sistema.

El punto (1,5) es la solución del sistema

𝑦 = 2 𝑥 + 3𝑦 = 𝑥 + 4

Método de sustitución19

𝒚 + 𝟐 𝒙 = 𝟕𝟐 𝒚 + 𝒙 = 𝟓

1

2

Este método consiste en:1- Despejo alguna de las dos variables en una de las ecuacionesEn despejo y:

y= 7-2x

2- Reemplazo en la ecuación la variable que despejamos (en este caso y) por la expresión obtenida (7- 2x)

2 (7- 2x) + x = 5Aplicamos Propiedad distributiva:14 – 4 x + x = 514 -5 = 4x – x9 = 3xx= 9: 3x=3Luego y = 7 – 2. 3

y= 1

1

2

S= (3;1)

Método de igualación20

𝒚 + 𝟐 𝒙 = 𝟕𝒙 − 𝒚 = 𝟐

1

2

Este método consiste en:1- Despejo la misma variable en las dos ecuacionesEn despejo y:

y= 7-2xEn despejo y:

x - 2 = yComo y = y

7- 2x = x - 2

Despejo x:7 + 2 = x + 2 x9 = 3 xx=3Luego y = 7 – 2. 3

y= 1

1

2

S= (3;1)