INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

ESCUELA DE ELECTRICIDAD

EXTENSIÓN SAN FELIPE

Integrantes:

Rubén Rodríguez

Oswaldo Pérez

Antony Muñoz

Prof. Marienny Arrieche

5to Semestre

Escuela 70

SAN FELIPE JULIO 2013

Respuesta en Frecuencia

La respuesta de frecuencia es una

característica de un sistema que tiene una

respuesta medida que es el resultado de una

entrada conocida aplicada. En el caso de

una estructura mecánica, la respuesta de

frecuencia es el espectro de la vibración de la

estructura, dividido entre el espectro de la fuerza

de entrada al sistema. Para medir la respuesta

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y

RESPUESTA

EN FRECUENCIA

de frecuencia de un sistema mecánico, hay que medir los espectros de la fuerza

de entrada al sistema y de la respuesta de vibración .Esto se hace más fácilmente

con un analizador TRF. Las mediciones de respuesta de frecuencia se usan

mucho en el análisis modal de sistemas mecánicos.

La función de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que

consiste en amplitud vs fase vs frecuencia. Por eso una gráfica verdadera de ella

necesita tres dimensiones, lo que es difícil de representar en papel. Una manera

de realizar esto es la llamada gráfica de Bode, que consiste en dos curvas, una de

amplitud vs frecuencia, y una de fase vs frecuencia. Otra manera de ver la función

es de resolver la porción de fase en dos componentes ortogonales, una parte en

fase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase (llamada la parte

imaginaria o parte de la cuadratura).

Bode

Un diagrama de Bode consta de dos gráficas, una para la amplitud de

salida y otra para el desfase de salida. Se los denominará respectivamente

diagrama de ganancias y diagrama de fases. Los dos diagramas representan las

frecuencias de forma logarítmica en el eje de abscisas empleando rad/s.

El diagrama de ganancias representa en el eje de ordenadas la amplitud de

la señal de salida transformados a decibelios. El diagrama de fases representa en

el eje de ordenadas el desfase de la señal de salida en grados.

En realidad, el uso de los decibelios como unidad de medida es una forma

solapada de representar la amplitud de salida en escala logarítmica. Conviene

resaltar que los logaritmos son siempre decimales, no neperianos. El factor 20 de

la (ecu.1) se debe en parte al uso de la fracción del belio y en parte al empleo de

la potencia de la señal, lo que hace que haya que elevar al cuadrado la amplitud

dentro del logaritmo y salga fuera de él como un factor de dos. En el eje

logarítmico de frecuencias se denomina década a cualquier intervalo que va desde

una determinada frecuencia hasta otra diez veces mayor. Se denomina octava a

cualquier intervalo que va desde una frecuencia hasta su doble.

Trazas de Bode

Trazas de esquina o trazas asintóticas

El diagrama de Bode ha recibido también los nombres de trazas de

esquinas o trazas asintóticas ya que las trazas de Bode se pueden construir

empleando aproximaciones en línea recta que son asintóticas a la gráfica real. En

términos simples las trazas de Bode tienen las siguientes características:

1. El diagrama de bode consta de dos trazados los mismos que están

representados en función de la frecuencia en escala logarítmica.

Diagrama del logaritmo del módulo de una función de transferencia

Diagrama del ángulo de fase

2. La representación común de la magnitud logarítmica de G (jw) es 20 logG (jw),

donde la base del logaritmo es 10. En la representación logarítmica se dibujan con

escala logarítmica para la frecuencia y la escala para cualquier magnitud (en

decibelios) o el ángulo de fase (en grados).

3. En los diagramas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos

de octavas o décadas.

a. Una octava es una banda de frecuencia de w1 a 2 w1, donde w1 es

cualquier frecuencia.

b. Una década es una banda de frecuencia de w1 a 10 w1, donde w1 es

cualquier frecuencia.

4. Ya que la magnitud de G (jw) en las trazas de Bode se expresa en dB, los

factores de producto y división de G (jw) se vuelve adiciones y sustracciones,

respectivamente. Las relaciones de fase también son sumadas y restadas entre sí

de manera algebraica como se indicó en la propiedad de los logaritmos expuesta

al principio del ensayo.

5. La gráfica de magnitud de las trazas de Bode de G (jw) se puede aproximar

mediante segmentos de línea recta, lo que permite el simple bosquejo de las

trazas sin cálculos detallados.

6. El diagrama de Bode de una función de transferencia G(s), que contiene varios

ceros y polos, se obtiene sumando la gráfica debida a cada polo y cero

individuales. La magnitud asintótica total se puede dibujar sumando las asíntotas

debidas a cada factor. La característica de fase total, ϕ (w), se obtiene sumando la

fase debida a cada factor.

7. El diagrama de Bode de un factor de cero (1+jwτ) se obtiene de la misma forma

que para el del polo. Sin embargo, la pendiente es positiva en 20 dB/década y el

ángulo de fase es ϕ (w)=tan-1wt.

8. Ya que la aproximación en línea recta de las trazas de Bode es relativamente

fácil de construir, los datos necesarios para otras trazas en el dominio de la

frecuencia, tales como la traza polar y la traza de magnitud-fase, pueden ser

fácilmente generados a partir de las traza de Bode.

Ventajas de las trazas de Bode

En ausencia de una computadora, las trazas de Bode se pueden bosquejar

por la aproximación de magnitud y fase con segmentos de línea recta.

El cruce de ganancia, el cruce de fase, el margen de fase se determinan

más fácilmente en las trazas de Bode que en la traza de Nyquist.

Para propósitos de diseño, los efectos de añadir controladores y sus

parámetros se visualizan con mayor facilidad sobre las trazas de Bode que

sobre la traza de Nyquist.

La ventaja principal de utilizar el diagrama de Bode es que la multiplicación

de magnitudes se convierte en suma.

Cuenta con un método simple para dibujar una curva aproximada de

magnitud logarítmica

Desventajas de las trazas de Bode

La estabilidad absoluta y relativa de sistemas de fase mínima se puede

determinar desde las trazas de Bode.

No es posible dibujar las curvas hasta frecuencia cero, debido a la

frecuencia logarítmica (log 0=-∞).

Pasos para Construir el Diagrama de Bode

En un diagrama de Bode se representa por un lado el módulo de la función

y por otro la fase . La figura 1 muestra como ejemplo el diagrama de

Bode de un filtro paso baja de primer orden, cuya función de transferencia es:

Figura 1: Diagrama de bode de un filtro paso baja de primer orden

A la hora de elaborar un diagrama de Bode hay que prestar atención al

hecho de que la escala correspondiente al eje de frecuencias es logarítmica.

¿Qué es una escala logarítmica y por qué usarla? Las escalas logarítmicas

se emplean cuando se quieren representar datos que varían entre sí varios

órdenes de magnitud (como en el ejemplo de la figura 1, en el que la frecuencia

varía entre 1 rad/s y 106 rad/s). Si hubiésemos empleado una escala lineal, sólo

apreciaríamos bien los datos correspondientes a las frecuencias mayores mientras

que, por ejemplo, todos los puntos por debajo de 104 rad/s se

representarían en la centésima parte del eje de abscisas. Esto se muestra, como

ejemplo, en la Figura 2.

Figura 2: módulo de la función de transferencia empleando una escala lineal en el

eje de frecuencias

Para evitar este problema se usan las escalas logarítmicas, que permiten

representar en un mismo eje datos de diferentes órdenes de magnitud,

separándolos en décadas. Para ello, en lugar de marcar sobre el eje la posición

del dato que queremos representar se marca la de su logaritmo decimal. Esto se

hace aprovechando la siguiente propiedad de los logaritmos:

De este modo, el orden de magnitud (D) establece un desplazamiento,

separando una década (D = i) de la siguiente (D = i + 1) y los puntos

correspondientes a un mismo orden de magnitud (década) tienen el mismo

espacio para ser representados que los pertenecientes a una década superior.

Como ejemplo, en la figura 3 se indica dónde se ubicarían en un eje logarítmico

los puntos correspondientes a 60, 600 y 6000.

Figura 3: representación de puntos en una escala logarítmica

Obsérvese que otra particularidad del diagrama de Bode en módulo es que

se representa en dB. Es decir, en lugar de representar se representa 20

log . Ésta es otra forma de poder visualizar también funciones de

transferencia que pueden variar en varios órdenes de magnitud.

NOTA IMPORTANTE: no confundir representar los datos en escala

logarítmica (como se hace con el eje de frecuencias del diagrama de Bode) con

representar el logaritmo de los datos, o algo proporcional (como en el eje de

ordenadas del diagrama de Bode en módulo). Cuando se usa una escala

logarítmica se cambia la posición de los puntos respecto de una escala lineal, pero

se siguen etiquetando con su valor (10, 60, 100, 600,… en la figura 3).

Análisis de Estabilidad utilizando el Diagrama de Bode

La siguiente figura resume el concepto de estabilidad absoluta en un

sistema identificado con una función de transferencia Gs y un controlador con una

función de transferencia Gc. Rompiendo el lazo cerrado y aplicando una señal

senoidal A y consigna U igual a cero, se transmite por el otro extremo una señal B

que es opuesta a la realimentación o señal de medida Y, ya que Y cambia de

signo en el nudo de señales. En estas condiciones, el sistema convierte la señal A

en otra señal Y que tendrá un determinado retraso de fase. Si el retraso de Y

respecto de A no puede llegar a 180º para ninguna frecuencia, entonces puede

cerrarse el lazo, uniendo B con A, sin que las oscilaciones aumenten, porque B

también tendrá desfase respecto de A y por lo tanto se amortiguan en un cierto

grado, es decir, el sistema consume energía y las oscilaciones disminuyen. Por el

contrario, si el retraso de Y respecto de A sí puede llegar a 180º, entonces las

señales A y B no tendrán desfase, tal como vemos en la figura. En estas

condiciones, la estabilidad depende de la amplitud de la señal Y o la de B, que

serán iguales. Si la amplitud de B es menor que la de A y se cierra el lazo,

resultará un sistema estable, porque la señal A irá perdiendo amplitud, ya que se

iguala con B. Al contrario, si la amplitud de B es mayor o igual que la de A,

resultará un sistema inestable, porque la señal A se mantiene o se incrementa, ya

que se iguala con B.

Es verdad que pueden evitarse señales con una frecuencia tal, que el

retraso no alcance los 180º, pero en la práctica no es aceptable porque toda señal

es siempre una superposición de muchas otras, llamadas armónicos, de modo que

alguna de ellas puede coincidir o acercarse demasiado a la frecuencia que lo

inestabiliza, ese armónico será amplificado por el sistema y terminará dominando

la respuesta. Tampoco ha de olvidarse la influencia de perturbaciones ajenas al

sistema.

Este concepto de estabilidad absoluta solo nos dice si el sistema es estable

o no lo es, pero no nos aporta una medida de la estabilidad. Con los diagramas de

Bode también se puede determinar la estabilidad relativa como se representa en la

siguiente figura. Se conoce como frecuencia de corte (en lazo abierto) a la

frecuencia con la que se anula el módulo (expresado de decibelios), o, lo que es

igual, a la frecuencia con la que la ganancia es igual a 1, ya que el logaritmo de 1

es cero. Con frecuencias mayores a la de corte, el módulo es negativo y la

ganancia menor de 1, de modo que el sistema atenúa las oscilaciones de

frecuencias mayores a la de corte. Si el retraso de 180º se alcanza a mayor

frecuencia que la de corte, entonces el sistema es estable porque, como se acaba

de decir, la ganancia es menor de 1. El margen de fase y el margen de ganancia,

marcados en la figura, son una medida de la estabilidad relativa y miden,

respectivamente, el número de grados y el número de decibelios que faltan para

llegar a la inestabilidad. En el ejemplo representado como inestable, se observa

que con el retraso de 180º tenemos un módulo mayor que cero, por lo que la

ganancia será mayor de 1 y si se cierra el lazo (uniendo B con A como en la figura

anterior) aumentarán las oscilaciones.

En lazo cerrado se denomina "banda pasante" al intervalo de frecuencias

entre las que el sistema mantiene buena ganancia, concretamente se corresponde

con una pérdida en módulo de 3 dB. En esta banda de frecuencias responde con

rapidez a las exigencias de control y lógicamente, interesa que la banda pasante

sea grande para que mantenga la capacidad de reaccionar con altas frecuencias.

La banda pasante (en lazo cerrado) coincide aproximadamente con la frecuencia

de corte (en lazo abierto), por lo tanto, aumentar la frecuencia de corte significa

aumentar la velocidad de respuesta del sistema. Sin embargo, a medida que se

aumenta la frecuencia de corte disminuyen los márgenes de fase y de ganancia,

acercándose a la inestabilidad.

Para mejorar la respuesta se necesita, en consecuencia, aumentar la

frecuencia de corte a la vez que se disminuye el retraso de fase, de forma que el

módulo siempre sea menor de cero cuando se alcance el retraso de 180º. En el

siguiente tema veremos los diferentes bloques o comportamientos que

caracterizan a todo sistema y a cualquier regulador. Cada bloque tiene su propio

diagrama de Bode característico, de forma que podemos configurar el regulador o

controlador con los bloques que mejor se adapten para mejorar la respuesta del

sistema. Como el controlador y el sistema estarán en serie, sus correspondientes

diagramas de Bode pueden sumarse, lo que permite probar diferentes

configuraciones de control hasta alcanzar el objetivo: Aumentar la frecuencia de

corte y disminuir el retraso de fase sin que se pierda la estabilidad. Para garantizar

en la práctica un comportamiento satisfactorio, el margen de fase debe estar entre

30º y 60º y el margen de ganancia ser superior a 6 dB.