função de green

Funoes de Green cProf. Dr. Ricardo L. Viana Departamento de F sica Universidade Federal do Paran a Curitiba - PR 28 de maro de 2011 c

2

Sumrio a1 Funes de Green para EDOs co 1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 1.2 A Funo de Green do Operador de Sturm-Liouville . ca 1.2.1 A Equao de Sturm-Liouville . . . . . . . . . ca 1.2.2 Determinao da funo de Green . . . . . . . ca ca 1.2.3 Soluo da equao no-homognea . . . . . . ca ca a e 1.2.4 Um exemplo do mtodo geral . . . . . . . . . . e 1.3 Expanso da Funo de Green em Autofunes . . . . a ca co 1.3.1 Propriedades do operador de Sturm-Liouville . 1.3.2 Desenvolvimento em Srie da Funo de Green e ca 1.4 Deexo de uma corda esticada . . . . . . . . . . . . . a 1.5 Part cula sob uma fora dependente do tempo . . . . . c 1.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 9 9 10 12 14 15 15 16 18 19 21 25 25 25 26 31 33 35 35 37 39 42 43 44

2 Funes de Green para EDPs - I co 2.1 Funo de Green para a equao do calor . . . . . . . . . . . . . ca ca 2.1.1 Equao do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 2.1.2 Funo de Green para as condies iniciais . . . . . . . . ca co 2.2 Funo de Green para uma fonte extensa de calor . . . . . . . . . ca 2.3 Mtodo das imagens: conduo do calor numa barra semi-innita e ca 2.3.1 Perl inicial constante para a temperatura da barra semiinnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Fonte extensa na barra semi-innita . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Um modelo simples para o resfriamento da Terra . . . . . 2.5 Funo de Green para condies de contorno no-homogneas . . ca co a e 2.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Resumo das solues elementares da equao do calor unidimenco ca sional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Funes de Green para EDPs - II co 49 3.1 A equao de Laplace-Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ca 3.2 Funo de Green para a equao de Laplace-Poisson: sem suca ca perf cies de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.1 Expanso da funo de Green em harmnicos esfricos . . 51 a ca o e 3.2.2 Exemplo: potencial de um anel carregado . . . . . . . . . 54 3.3 Funo de Green para a equao de Laplace-Poisson: com suca ca perf cies de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3

4 3.4 3.5 Mtodo das imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.4.1 Carga puntiforme e superf condutora aterrada cie Mtodo da expanso em autofunes . . . . . . . . . . . e a co 3.5.1 Teoria geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Funo de Green para o espectro discreto . . . . ca 3.5.3 Funo de Green para o espectro cont ca nuo . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SUMARIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 57 59 60 61 64 70 71

3.6

Apndices e

A Complementos matemticos a 73 A.1 Transformada de Fourier em seno e cosseno . . . . . . . . . . . . 73 A.2 Funo erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 ca B Autofunes e autovalores de operadores co B.1 Operador de Sturm-Liouville . . . . . . . B.1.1 L auto-adjunto . . . . . . . . . . e B.1.2 Os autovalores de L so reais . . . a B.1.3 Os autovetores de L so ortogonais a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 75 75 76 77

Cap tulo 1

Funes de Green para co EDOs1.1 Introduo ca

Antes de apresentarmos a teoria geral para equaes diferenciais ordinrias co a (EDOs) do tipo de Sturm-Liouville, vamos discutir dois exemplos simples, para mostrar as idias bsicas do mtodo das funes de Green. Inicialmente abore a e co daremos a equao diferencial no-homognea ca a e y = f (x), (0 x 1), (1.1)

com as seguintes condies de contorno (de Dirichlet) homogneas: y(0) = co e y(1) = 0. O termo de fonte, no caso, uma funo arbitrria f (x), cont e ca a nua por partes no intervalo [0, 1]. A funo de Green correspondente a essa equao, denotada G(x, ), tem ca ca como termo de fonte uma funo delta de Dirac aplicada no ponto x = : ca d2 G(x, ) = (x ), dx2 (0 1). (1.2)

A funo de Green deve satisfazer `s mesmas condies de contorno do problema ca a co original, ou seja G(0, ) = G(1, ) = 0. (1.3) Como a funo delta nula para todo x = , decorre que a funo de Green ca e ca satisfaz a equao diferencial homognea ca e d2 G(x, ) = 0, dx2 (x = ) (1.4)

cujas solues, ` esquerda e ` direita de x = , podem ser escritas como co a a G(x, ) = ax + b, a 1 x + b1 , se 0 x , se < x 1. (1.5)

onde a, b, a1 e b1 so constantes de integrao que podem ser determinadas por a ca meio de duas informaes essenciais. A primeira informao vem das condies co ca co 5

6

CAP ITULO 1. FUNCOES DE GREEN PARA EDOS

de contorno (1.3) que fornecem, respectivamente: b = 0 e b1 = a1 . Logo G(x, ) = ax, a1 (x 1), se 0 x , se < x 1. (1.6)

A segunda informao de que precisamos para determinar a e a1 vem do ca comportamento da funo de Green no entorno de x = , que o intervalo ca e [ , + ] centrado na funo delta (x ). Apesar dessa ultima representar ca uma singularidade em x = , a funo de Green dever ser cont ca a nua no ponto x = , ou seja, no limite 0: G( 0, ) a = = G( + 0, ), a1 ( 1) (1.7) (1.8)

Alm disso, a derivada da funo de Green deve ser descont e ca nua no ponto x = . Para calcular o salto dessa derivada (ou seja, a diferena entre as c derivadas ` esquerda e ` direita de x = ) ns integramos a equao (1.2) no a a o ca entorno da funo delta: ca+

d dx

dG(x, ) dx dG(x, ) dx

+

dx =+

1 1

(x )dx

(1.9) (1.10) (1.11)

=

G ( + , ) G ( , ) No limite quando 0:

=

G ( + 0, ) G ( 0, ) = 1 Como G (x, ) = a, a1 , se 0 x , se < x 1. a1 = ,

(1.12)

(1.13)

(1.12) implica em a1 a = 1. Substituindo em (1.7) obtemos a = 1 , (1.14)

de modo que a funo de Green do problema dada por ca e G(x, ) = (1 )x, (1 x), se 0 x , se < x 1. (1.15)

que simtrica na troca de x por e vice-versa: e e G(x, ) = G(, x) (1.16)

Uma vez determinada a funo de Green, a soluo da equao no-homognea ca ca ca a e (1.1) obtida por integrao e ca1

y(x) =0

dG(x, )f (),

(1.17)

1.1. INTRODUCAO

7

Como a funo de Green diferente ` esquerda e ` direita de , precisamos ca e a a fazer essa integral com bastante cuidado. Dividiremos o intervalo [0, 1] em dois sub-intervalos: [0, x] e [x, 1], lembrando que x um parmetro, enquanto e a e apenas uma varivel (muda) de integrao. No primeiro sub-intervalo, cujo a ca extremo superior x, temos que < x, ou seja, x > e usamos (1 x) como e funo de Green. J no segundo sub-intervalo > x pois x o limite inferior do ca a e mesmo. Logo, como, x > , a funa de Green a ser usada (1 )x. Temos, c o e poisx 1

y(x)

=0

d(1 x)f () +x 0

x

d(1 )xf (),1 x

(1.18) (1.19)

=

(1 x)

df () + x

d(1 )f (),

Para mostrar que essa realmente a soluo da equao diferencial noe ca ca a homognea, derivamos (1.18) em relao a x e ca y (x) = (1 x) x d dxx 0

d dxx 1

x 0

x

df ()

0

df () 1 x

d(1 )f () +

d(1 )f () = (1 x)xf (x) 1 x

df () (1 x)xf (x) +

d(1 )f ()

(1.20)

onde usamos o teorema fundamental do clculo 1 . Derivando novamente em a relao a x ca y (x) = x x d d df () d(1 )f () dx 0 dx 1 = xf (x) (1 x)f (x) = f (x)

(1.21) (1.22)

em conformidade com (1.1). Finalmente, podemos vericar que a soluo enca contrada satisfaz, de fato, as condies de contorno, fazendo x = 0 e x = 1 em co (1.19). Como um exemplo de aplicao do mtodo da funo de Green, considere ca e ca f (x) = ex . Ento (1.19) fornece ax 1

y(x)

= = =

(1 x)

de + x0 x 0 x

d(1 )e ,1

(1.23) (1.24) (1.25)

E importante salientar que a funo de Green depende, em geral, da condio ca ca de contorno utilizada, e no somente da equao diferencial em si. Para ilustrar a ca esse ponto, vamos retornar ` equao (1.1) mas, agora, com outra condio de a ca ca contorno: y(0) = 0 e y (1) = 0. Impondo essas novas condies sobre a equao co ca (1.6), temos que b = 0 e a1 = 0, ou seja, G(x, ) =1 Seja

ex + x(e 1) + 1.

(1 x) e ( 1)

x e ( 2) x ,

ax, b1 ,

se 0 x , se < x 1.d dx x

(1.26)F ()d = F (x).

F (x) cont nua por partes no intervalo de interesse. Ento a

8


A continuidade da funo de Green no ponto x = , Eq. (1.7), fornece ca a = b1 , ao passo que o salto da derivada da funo de Green nesse ponto, dado ca por (1.12), implica em que a = 1. Logo b1 = , e a funo de Green para essas ca novas condies de contorno co e G(x, ) = x, , se 0 x , se < x 1. (1.27)

de forma que a soluo da equao no-homognea (1.1) ser, usando (1.17), ca ca a e a dada porx 1

y(x) =0

df () + xx x

df (),

(1.28)

Para o mesmo exemplo anterior, onde f (x) = e , teremos y(x) = ex + ex 1 (1.29)

Para xar a metodologia usada nos exemplos anteriores, vamos considerar a equao diferencial no-homognea ca a e xy + y = f (x), (0 x 1) (1.30)

com as condies de contorno: y(0) < e y(1) = 0. A equao a ser satisfeita co ca pela funo de Green ca e xG + G = (x ), com as mesmas condies de contorno co G(0, ) < , G(1, ) = 0. (1.32) (0 1). (1.31)

Quando x = , temos a equao homognea ca e xG + G = (xG ) = 0, (1.33)

que pode ser integrada imediatamente, fornecendo as seguintes solues, ` esco a querda e ` direita de x = : a G(x, ) = a1 ln x + b1 , a2 ln x + b2 , se 0 x , se < x 1. (1.34)

Aplicando as condies de contorno (1.32) chegamos a a1 = 0 e b2 = a1 , tal co que b1 , se 0 x , G(x, ) = (1.35) a2 ln x, se < x 1. Usando a continuidade da funo de Green no ponto x = , obtemos b1 = a2 ln . ca Para calcular o salto da derivada da funo de Green em x = integraremos ca (1.31) no entorno da funo delta: ca+

d dx

x

dG(x, ) dx

dx = =

x

dG(x, ) dx

+

= 1 (1.36) (1.37)

( + )G ( + , ) ( )G ( , )

1

1.2. A FUNCAO DE GREEN DO OPERADOR DE STURM-LIOUVILLE 9 No limite 0:

1 G ( + 0, ) G ( 0, ) = ,

(1.38)

que resulta em a2 = 1, de modo que b1 = ln . A funo de Green ser, ca a pois, dada por ln , se 0 x , G(x, ) = (1.39) ln x, se < x 1. A soluo da equao no-homognea (1.30) obtida por integrao ca ca a e e ca1

y(x)

=0

dG(x, )f (),x 1

(1.40) d ln f (),x

=

ln x

0

df ()

(1.41)

Quando, por exemplo, f (x) = x 1, teremosx 1

y(x)

= =

ln x x2

0

d( 1)

x

d( 1) ln ,

(1.42) (1.43)

1 3 + ln x + x(2 ln x + 1) . 4 4

1.21.2.1

A Funo de Green do Operador de Sturmca LiouvilleA Equao de Sturm-Liouville ca

A equao de Sturm-Liouville homognea ca e e dy(x) d p(x) s(x)y + r(x)y = 0, dx dx (1.44)

onde a x b, e p(x) 0, s(x) 0 e r(x) 0. As condies de contorno co desse problema podem ser especicadas de forma geral como c1 y(a) + c2 y (a) k1 y(b) + k2 y (b) = = 0, 0, (1.45) (1.46)

com c1 c2 = 0, k1 k2 = 0, e que incluem os casos usuais: Dirichlet, Neumann e mistas. Uma equao diferencial ordinria de segunda ordem homognea dada na ca a e forma geral A(x)y + B(x)y + C(x)y + y = 0, (1.47) pode ser colocada na forma de Sturm-Liouville. Dividimos (1.47) por A(x) = 0 e multiplicamos pelo fator integrantex

p(x) = exp

B() d , A()

(1.48)

10


tal que obtemos as outras funes presentes em (1.44) como co s(x) r(x) = = C(x) p(x), A(x) p(x) . A(x) (1.49) (1.50)

Por exemplo, considere a equao ca 2x2 y xy + (x2 + 1)y = 0, (1.51)

cujos coecientes so A(x) = 2x2 , B(x) = x, C(x) = x2 , e = 1. O fator a integrante ex

p(x) = exp de tal sorte que

1 d = exp 2 2 2 1 s(x) = , 2 x

x

1 d = e(ln x)/2 = , x 1 . 2x2 x

(1.52)

r(x) =

(1.53)

Denindo o operador de Sturm-Liouville L[y(x)] dy(x) d p(x) s(x)y, dx dx (1.54)

podemos reescrever a Eq. (1.44) numa forma mais compacta L[y(x)] + r(x)y(x) = 0. (1.55)

Podemos generalizar o tratamento dado na seo anterior considerando a ca seguinte equao de Sturm-Liouville no-homognea ca a e L[y(x)] + r(x)y(x) = f (x). (1.56)

1.2.2

Determinao da funo de Green ca ca

Vamos determinar a funo de Green do operador de Sturm-Liouville no caso ca onde = 0, para o qual ela satisfaz a equao ca L[G(x, )] = (x ), (1.57)

tal que, para x = , devemos resolver a equao homognea L[G(x, )] = 0, ca e a qual dever fornecer resultados diferentes ` direita e ` esquerda do ponto a a a x = . As constantes de integrao devem ser determinadas pela anlise tanto ca a das condies de contorno como do comportamento nas vizinhanas de x = . co c Comportamento no entorno da funo delta ca A funo de Green deve ser cont ca nua no ponto x = , tal que no limite 0: G( 0, ) = G( + 0, ). (1.58)

1.2. A FUNCAO DE GREEN DO OPERADOR DE STURM-LIOUVILLE 11 Integrando (1.57) no entorno da funo delta: ca+ + +

L[G(x, )]dx = +

(x )dx,

(1.59) (1.60)

d dG(x, ) p(x) . dx dx dx

s(x)G(x, )dx = 12

Usando o teorema do valor mdio do clculo integral e a+ 0

pode-se concluir que (1.61)

lim

s(x)G(x, )dx = 0.

Logo, no limite de 0: G ( + 0, ) G ( 0, ) = 1 , p() (1.62)

onde usamos a suposio de que a funo p(x) cont ca ca e nua em x = . Anlise das condies de contorno a co O Wronskiano de duas funes y1 (x) e y2 (x) dado pelo determinante co e W (y1 (x), y2 (x)) = y1 (x) y2 (x) y 1 (x) y 2 (x) . (1.63)

Se y1 e y2 forem linearmente independentes (LI), ento o seu Wronskiano a e no-nulo: W = 0. a Sabemos que a funo de Green deve satisfazer as mesmas condies de ca co contorno do problema original, ou seja c1 G(a, ) + c2 G (a, ) k1 G(b, ) + k2 G (b, ) = = 0, 0, (1.64) (1.65)

A funo de Green tem, em geral, formas diferentes ` direita e ` esquerda ca a a do ponto x = . Vamos considerar inicialmente o intervalo a x < . Seja y1 (x) uma soluo no-trivial da equao homognea que satisfaz a condio de ca a ca e ca contorno em x = a. Nesse caso, c1 ou c2 deve ser no-nulo (ou ambos, logicaa mente). Isto corresponde a solues no-triviais do sistema linear homogneo co a e formado pelas Eqs. (1.45) e (1.64): y1 (a) G(a, ) y 1 (a) G (a, ) c1 c2 = 0 0 . (1.66)

Sabemos que solues no-triviais existem desde que o determinante dos coeco a cientes seja no-nulo a y1 (a) y 1 (a) = 0, (1.67) G(a, ) G (a, ) de modo que o Wronskiano de y1 (x) e G(x, ) deve ser nulo em x = a: W (y1 (a), G(a, )) = y1 (a)G (a, ) y 1 (a)G(a, ) = 02 Se

(1.68)

F (x) cont e nua em [a, b] existe y [a, b] tal que

b a

F (x)dx = F (y)(b a).

12


Logo y1 (x) e G(x, ) no so linearmente independentes no intervalo a x , a a ou seja, G dever ser proporcional a y1 nesse intervalo: a G1 (x, ) = C1 y1 (x), (a x < ) (1.69)

onde C1 uma constante (ou seja, no depende de x mas pode depender de ). e a Por um racioc nio anlogo, se y2 uma soluo da equao homognea ` direita a e ca ca e a de x = , ento a funo de Green correspondente ser a ca a G2 (x, ) = C2 y2 (x), ( < x < b) (1.70)

Impondo as condies (1.58) e (1.62) teremos o sistema de equaes: co co C1 y1 () C2 y2 () C1 y 1 () C2 y 2 () = = 0 1 p() (1.71) (1.72)

o qual ter uma soluo no-troivial para C1 e C2 sempre que o Wronskiano de a ca a y1 e y2 no se anule para x = : a W () W (y1 (), y2 ()) = y1 ()y 2 () y 1 ()y2 () = 0 (1.73)

que , com efeito, a condio para que as solues y1 e y2 sejam linearmente e ca co independentes. Caso contrrio, ou seja, se a equao tiver uma soluo noa ca ca a trivial que satisfaa ambas as condies de contorno simultaneamente, ento c co a y1 e y2 deixaro de ser linearmente independentes (uma ser um mltiplo da a a u outra), e seu Wronskiano ser nulo. Nesse caso no haver funo de Green a a a ca para o problema. Excluindo esse caso, podemos supor que W () = 0, e a soluo do sistema ca de equaes (1.71)-(1.72) ser co a C1 = y2 () , p()W () C2 = y1 () , p()W () (1.74)

de modo que a funo de Green do operador de Sturm-Liouville (1.69)-(1.70) ca ser escrita como a G1 (x, ) G2 (x, ) = y1 (x)y2 () , p()W () y2 (x)y1 () = , p()W () (a x ), ( x b). (1.75) (1.76)

que, denindo x> = max{x, } e x< = min{x, }, pode ser condensada numa unica expresso: a y1 (x< )y2 (x> ) G(x, ) = . (1.77) p()W ()

1.2.3

Soluo da equao no-homognea ca ca a e

Vamos demonstrar que, uma vez conhecida a funo de Green, a soluo da ca ca equao de Sturm-Liouville no-homognea ca a e L[y(x)] = f (x) (1.78)

1.2. A FUNCAO DE GREEN DO OPERADOR DE STURM-LIOUVILLE 13 onde f (x) uma funo arbitrria, cont e ca a nua por partes em a x b, dada e porb

y(x)

=a x

dG(x, )f (),b

(1.79) dG1 (x, )f ().x

=a

dG2 (x, )f () +

(1.80)

Derivando (1.80) em relao a x, usando a regra integral de Leibnitz ca d dxb(x) b(x)

F (x, y)dy =a(x) a(x)

F (x, y) db(x) da(x) dy + F (x, b(x)) F (x, a(x)) x dx dx (1.81)b x

teremosx

y (x)

=a x

dG2 f () + G2 (x, x)f (x) + dG2 f () +b x

dG1 f () G1 (x, x)f (x) (1.82)

=a

dG1 f (),

onde usamos a relao, proveniente de (1.75)-(1.76), ca G1 (x, x) = Derivando novamentex

y1 (x)y2 (x) = G2 (x, x). p(x)W (x)

(1.83)

y (x)

=a x

dG2 f () + G2 (x, x)f (x) + dG2 f () +b x

b x

dG1 f () G1 (x, x)f (x) (1.84)

=a

f (x) dG1 f () , p(x)

onde usamos que G2 (x, x) G1 (x, x) = W (x) 1 y2 (x)y1 (x) y1 (x)y2 (x) + = = . p(x)W (x) p(x)W (x) p(x)W (x) p(x) (1.85) Substituindo (1.82) e (1.84) no operador de Sturm-Liouville L[y(x)] dy(x) d p(x) s(x)y = p(x)y (x) + p (x)y (x) s(x)y = dx dxx

=a b

dG2 p(x)f () + dG1 p (x)f () x a

b x x a

dG1 p(x)f () f (x) +b

x a

dG2 p (x)f () +

+x

dG2 s(x)f ()

dG1 s(x)f ()x

=

f (x) +b

d G2 p(x) + G2 p (x) G2 s(x) +=0

+x

d G1 p(x) + G1 p (x) G1 s(x) = f (x),=0

14


em vista de que, para x = , L[G(x, )] = 0, como quer amos demonstrar. Alm disso, podemos vericar que a soluo (1.80) satisfaz as condies de e ca co contorno. Por exemplo, substituindo em (1.45) temos, em x = a,b b

c1 y(a) + c2 y (a) = c1a

dG(a, )f () + c2a b

dG (a, )f () (1.86)

=a

d [c1 G(a, ) + c2 G (a, )] f () = 0,=0

onde usamos (1.64). Um procedimento anlogo verica a condio de contorno a ca em x = b.

1.2.4

Um exemplo do mtodo geral e

` A guisa de exemplo para o mtodo geral de obteno da funo de Green para e ca ca o operador de Sturm-Liouville, considere a equao no-homognea [[5], Vol. I, ca a e pg. 372] n2 y = f (x), (0 x 1) (1.87) (xy ) x a onde n real, sob as condies de contorno y(0) < e y(1) = 0. E fcil e co ver que essa equao tem a forma de Sturm-Liouville (1.44), onde p(x) = x, ca s(x) = n2 /x, e = 0. Vamos procurar uma soluo para a equao homognea correspondente ca ca e (xy ) n2 y = 0, x (1.88)

sob a forma y(x) = x . Substituindo em (1.88), teremos que = n, ou seja, y(x) = axn + bxn . (1.89)

Inicialmente vamos procurar uma soluo no-trivial da equao homognea ca a ca e que satisfaa a condio de contorno em x = 0. Como y1 (0) < , segue-se que c ca b = 0, e y1 (x) = axn , (0 x ). (1.90) Analogamente, uma soluo que satisfaa a outra condio de contorno em x = 1 ca c ca e y2 (x) = c(xn xn ), ( x 1) (1.91) O Wronskiano dessas duas solues co e W (y1 , y2 ) = y1 y2 y 1 y 2 = 2anc . x (1.92)

A funo de Green obtida diretamente pelas frmulas (1.75) e (1.76) como ca e o n n x 1 (x) , se 0 x , 2n G(x, ) = (1.93) n n 1 (x) , se x 1. 2n x

1.3. EXPANSAO DA FUNCAO DE GREEN EM AUTOFUNCOES

15

Como um exemplo, considere o termo de fonte f (x) = x. Ento a soluo a ca da equao inomognea ser ca e a1

y(x)

=0

dG(x, ),x 1 n d (x) + 2n x 0 xn x2 , (n = 2). 4 n2 n 1

= =

dx

x

n

(x)

n

1.31.3.1

Expanso da Funo de Green em Autoa ca funes coPropriedades do operador de Sturm-Liouville

E conveniente tratar as solues da equao de Sturm-Liouville, y(x), como co ca vetores num espao vetorial linear de dimenso innita [7, 3, 8]; uma vez que a c a combinao linear de duas solues ca co c1 y1 (x) + c2 y2 (x), tambm uma soluo da equao (1.44). Este espao vetorial munido de um e e ca ca c e produto interno denido porb

< y1 , y2 >a

y1 (x)y2 (x)dx.

(1.94)

A norma de uma funo y(x) ser denida como ca a ||y(x)|| = < y, y >.

(1.95)

Uma soluo qualquer pode ser normalizada se for dividida pela sua norma. O ca vetor nulo tem norma igual a zero. Sob esse ponto de vista, duas solues sero co a ditas ortogonais se o produto interno entre elas for nulo: < y1 , y2 >= 0 para ||y1,2 || = 0. O operador de Sturm-Liouville, L, representa uma transformao linear no ca espao das solues, de forma que, sendo c1 e c2 dois reais quaisquer, ento c co a L[c1 y1 (x) + c2 y2 (x)] = c1 L[y1 (x)] + c2 L[y2 (x)]. (1.96)

Dadas as condies de contorno (1.45)-(1.46), a equao de Sturm-Liouville co ca s apresenta solues aceitveis para determinados valores de = n , denoo co a minados autovalores do operador (1.54). A cada autovalor corresponde um e somente uma soluo correspondente, dita autofuno n (x), e que satisfaz ` ca ca a equao ca L[n (x)] = n r(x)n (x). (1.97) Desse fato decorrem duas importantes concluses [vide Apndice B.1]: (i) o e os autovalores {n }n=1 so reais; (ii) as autofunes {n (x)}n=1 correspona co dentes a autovalores distintos so ortogonais em relao ` funo peso r(x): a ca a ca < n , r(x)j >= 0 se i = j. Se supusermos, adicionamente, que as autofunes co

16


so normalizadas (norma igual a um) ento temos a chamada condio de ortoa a ca normalidade (em relao ` funo peso r(x)): ca a cab

i (x)j (x)r(x)dx = ij .a

(1.98)

O conjunto de autofunes do operador de Sturm-Liouville completo, ou co e seja, uma funo arbitrria y(x) no intervalo a x b pode ser expressa como ca a uma combinao linear das autofunes do operador de Sturm-Liouville: ca co y(x) = n=1

cn n (x),

(1.99)

conhecida como srie de Fourier generalizada, e onde os coecientes da expanso e a so dados por ab

cn =a

n (x)y(x)r(x)dx,

(1.100)

supondo que as autofunes sejam normalizadas. co

1.3.2

Desenvolvimento em Srie da Funo de Green e ca

Vamos considerar, agora a equao de Sturm-Liouville no-homognea ca a e L[y(x)] + r(x)y(x) = f (x) (1.101)

onde um parmetro arbitrrio (no precisa ser um dos autovalores n , alis e a a a a nem deve s-lo!). As condies de contorno so as mesmas da equao hoe co a ca mognea. Ento a funo de Green correspondente satisfaz a equao e a ca ca L[G(x, )] + r(x)G(x, ) = (x ), (1.102)

com as condies de contorno (1.64)-(1.65). co A partir da discusso da sub-seo precedente, podemos expandir a funo de a ca ca Green em uma srie envolvendo as autofunes do operador de Sturm-Liouville: e co G(x, ) = Substituindo em (1.101) temos n=1 n=1

n ()n (x).

(1.103)

n [L(n ) + r(x)n ] =

n=1

n ( n )r(x)n = (x ),

(1.104)

onde usamos a linearidade do operador e (1.97). Multiplicando por m (x) e integrando no intervalo a x bb n b

n ( n )

n (x)m (x)r(x)dxa

= =

a

(x )m (x)dx

n

n ( n )nm

m ( m ) = m (),

1.3. EXPANSAO DA FUNCAO DE GREEN EM AUTOFUNCOES donde os coecientes da expanso so a a n () = n () , n

17

(1.105)

e o desenvolvimento em srie da funo de Green ser e ca a G(x, ) = n (x)n () , n n=1

(1.106)

dita frmula bilinear para a funo de Green. Em consequncia, a soluo da o ca e ca equao no-homognea (1.101) ca a e eb

y(x)

= =a

G(x, )f ()d, n (x) n n=1b

n ()f ()d.a

(1.107)

Observe que, caso = n (caracterizando uma ressonncia), ento a funo de a a ca Green diverge e, tecnicamente falando, no existe. a Como um exemplo representativo, vamos estudar a seguinte equao noca a homognea e y + ky = f (x), (0 x 1), (1.108) com as condies de contorno y(0) = y(1) = 0. Inicialmente devemos determinar co os autovalores e autofunes da equao homognea: y + ky = 0. Sabemos que co ca e a soluo, nesse caso, ca e (1.109) y(x) = A cos( kx) + B sin( kx). A restrio de que y(0) = 0 implica em que A = 0, ao passo que y(1) = 0 leva ca aos autovalores kn = n2 2 , onde n = 1, 2, 3, , correspondentes `s autofunes a co ca ca n (x) = B sin( kn x) = B sin(nx). Impondo a condio de normalizao temos1 1

que fornece B = 2. Tomando o sinal positivo, sem perda de generalidade, as autofunes normalizadas do operador L[y] = y + ky sero co a n (x) = 2 sin (nx) , (1.111) Para construir a funo de Green a partir da frmula bilinear ns observamos ca o o primeiramente que o operador L tem a forma de Sturm-Liouville se p(x) = r(x) = 1, com k, de forma que (1.106) e G(x, ) = 2 sin(nx) sin(n) n2 2 k n=1

0

dx2 (x) = B 2 n

dx sin2 (nx) = 1

(1.110)

0

(1.112)

Essa expresso poderia, naturalmente, ser obtida de forma mais direta, lema brando que, sendo senos e cossenos autofunes ortogonais de L, o desenvolvico mento em srie acima nada mais do que a srie de Fourier de senos da funo e e e ca

18


de Green. A srie s envolve senos por tratar-se de funo e o ca mpar, uma vez que as condies de contorno exigem que a funo se anule na origem. co ca Com a frmula bilinear poss o e vel resolver de modo sistemtico a equao a ca no-homognea (1.108) para qualquer funo integrvel f (x) por meio da intea e ca a gral1

y(x)

=0

G(x, )f ()d 2 sin(nx) n2 2 k n=1 1

(1.113) sin(n)f ()d. (1.114)

=

0

Como um exemplo, seja f (x) = x(1 x)/2, para a qual y(x) = sin(nx) n2 2 k n=1 1 0

sin(n)(1 )d,

(1.115)

onde as integrais so elementares, fornecendo a soluo em srie de Fourier do a ca e tipo n (1) sin nx y(x) = 6 (1.116) n3 3 n2 2 k n=1

1.4

Deexo de uma corda esticada af (x) 2u = , 2 x T

A equao diferencial no-homognea ca a e (0 x L). (1.117)

descreve a deexo esttica u(x) dos pontos de uma corda de comprimento L a a esticada com uma tenso T , e sujeita a uma distribuio de foras verticais dada a ca c pela funo f (x). Como as extremidades da corda so xas no sofrem deexo, ca a a a o que leva a condies de contorno do tipo Dirichlet homogneas: co e u(0) = u(L) = 0. (1.118)

A funo de Green para o problema de contorno denido pelas equaes ca co (1.117) e (1.118) satisfaz a equao ca 2 G(x, ) = (x ) x2 com as mesmas condies de contorno do problema original co G(0, ) = G(L, ) = 0 (1.120) (1.119)

Vamos determinar a funo de Green usando o mtodo geral vlido para ca e a a equao de Sturm-Liouville. Comeamos analisando a equao homognea ca c ca e uxx = 0, que corresponde ao operador de Sturm-Liouville quando p(x) = 1 e s(x) = 0. Vamos procurar solues linearmente independentes dessa equao co ca que satisfaam as condies de contorno separadamente, ou seja, dos dois lados c co de x = . Para 0 x < , temos u1 (x) = ax + b, que dever satisfazer a

1.5. PART ICULA SOB UMA FORCA DEPENDENTE DO TEMPO

19

u(0) = 0, donde b = 0 e u1 (x) = ax. No outro intervalo, < x L, a soluo ca u2 (x) = cx + d tem que satisfazer u(L) = 0, o que poss se d = cL, tal e vel que u2 (x) = c(x L). O Wronskiano dessas solues, no ponto x = , co e W () = u1 ()u2 () u2 ()u1 () = ac ac( L) = acL de tal modo que a funo de Green dada por (1.75)-(1.76) ca e G(x, ) = u1 (x)u2 () = p()W () =x(L) , L (Lx) , L

(1.121)

u2 (x)u1 () p()W ()

se 0 x ,

se < x 1.

(1.122)

Conhecida a funo de Green, a soluo da equao no-homognea (1.117) ca ca ca a e dada por e u(x) = = = 1 T 1 TL

G(x, )f ()d,0 x 0

(x L) f ()d + Lx

L x

x( L) f ()d, , LL

1 (x L) TL

f ()d + x0 x

( L)f ()d, , (1.123)

1.5

Part cula sob uma fora dependente do tempo c

Uma interessante ilustrao do mtodo da funo de Green para equaes difeca e ca co renciais ordinrias a dinmica de uma part a e a cula em um meio viscoso sob a ao ca de uma fora externa dependente do tempo. Seja m a massa da part c cula, e R o coeciente de dissipao correspondente ` fora de atrito viscoso. A equao ca a c ca de movimento da part cula e m dv + Rv = f (t), dt (1.124)

onde f (t) uma fora externa aplicada no sentido do movimento, que nula e c e para t < 0 , onde 0 o instante onde a fora comea a ser aplicada sobre a e c c part cula. Supomos, tambm, a condio inicial v(0 ) = 0 que faz o papel de e ca condio de contorno do problema, j que a varivel independente agora o ca a a e tempo. A funo de Green, G(t, ), a soluo da equao (1.124) quando a fonte ca e ca ca extensa substituida por um impulso unitrio aplicado em t = : e a mG(t, ) + RG(t, ) = (t ), (1.125)

satisfazendo a mesma condio inicial G(0 , ) = 0. Dessa forma, a soluo da ca ca equao no-homognea (1.124) ser ca a e a v(t) =

G(t, )f ( )d.

(1.126)

20


Podemos resolver (1.125) aplicando transformadas de Laplace a ambos os seus membros 3 : mL{G} + RL{G} m[sGL (s, ) G(0 , )] + RGL (s, )=0

= =

L{(t )}, es ,

GL (s, )

=

es ms + R

(1.127)

onde usamos propriedades conhecidas. A funo de Green no tempo ser, portanto, a transformada inversa de ca a Laplace. Usando a propriedade do deslocamento teremos G(t, ) = L1 {GL (s, )} = f (t )H(t ), onde f (t) = L1 1 ms + R = 1 (R/m)t e , m (1.129) (1.128)

aps consulta a uma tabela de transformadas de Laplace, e introduzimos a o funo degrau unitrio de Heaviside ca a H(t ) = de modo que G(t, ) = 1 (R/m)(t ) H(t ). e m (1.131) 0, 1, se t < , , se t , (1.130)

Substituindo (1.131) em (1.126) teremos a velocidade em funo do tempo ca v(t) = = t t

e(R/m)(t ) H(t )f ( )d m e(R/m)(t ) H(t ) f ( )d + m=1, t t

e(R/m)(t ) H(t ) f ( )d m=0, t 0 uma constante. Substituindo (1.133) em (1.132), uma integrao ca simples, ainda que tediosa, fornece v(t) = f0 e(t0 ) e(R/m)(t0 ) R m (1.134)

que tende exponencialmente a zero quando o tempo tende ao innito, como espera-se do movimento em um meio resistivo quando a fora anula-se com o c passar do tempo.

1.6

Problemas

1. Usando o mtodo do Wronskiano, obtenha a funao de Green para a equaao e c c de Sturm-Liouville L[y(x)] = f (x), com a x b, nos seguintes casos: (a) L[y] = y , (b) L[y] = y + k2 y, (c) L[y] = y k2 y, (d) L[y] = y + k2 y, (e) L[y] = y k2 y, (f) L[y] = y , (g) L[y] = y + k2 y, (h) L[y] = y k2 y, (i) L[y] = y , (j) L[y] = y , (k) L[y] = y y, (l) L[y] = [(1 x2 )y ] , (m) L[y] = [(1 x2 )y ] (n) L[y] = (xy ) , y(0) < , y(1) = 0. m2 y , 1 x2 y(1) < ; y(1) < ; y() < ; y(0) = y(1), y (0) = y (1); y(1) = 0, y(1) = 0; y(0) = 0, y (1) = 0; y(0) = 0, y (1) = 0; y(0) = 0, y (1) = 0; y(1) = y(1), y (1) = y (1); y(1) = y(1), y (1) = y (1); y(0) = 0, y(1) = 0; y(0) = 0, y(1) = 0; y(0) = 0, y(1) = 0;

22(a) x=0

CAP ITULO 1. FUNCOES DE GREEN PARA EDOS x=L x 0 L fibra neutra u = u(x) y u u x (b) f(x)

Figura 1.1: (a) Esquema de uma viga elstica no-deformada. (b) Viga deetida a a sob um carregamento vertical uniforme.2. Ache a funao de Green para c y + 3y + 2y = f (x), (0 x 1),

com y(0) = y (0) = 0. Obtenha a soluao do problema de contorno para o caso c f (x) = 4x. 3. Considere o problema da deexo da corda, com uma distribuiao de foras a c c f (x) = f0 x(x L). Obtenha a deexo em todos os pontos da corda. a 4. A equaao que descreve a exo u(x) de uma viga elstica homognea de comc a a e primento L ao longo do eixo x [Fig. 1.1] e EIuxxxx = f (x), (0 x L)

onde E o mdulo de Young e I o momento de inrcia da seao reta da viga em e o e c relaao ao eixo horizontal, e f (x) ` fora de carregamento da viga por unidade c ea c de comprimento. H vrios tipos de condioes de contorno para esse problema, a a c correspondendo a diferentes formas de apoio da viga em suas extremidades. Algumas delas so: a Viga simplesmente apoiada [Fig. 1.2(a)]: u(0) uxx (0) = = u(L) = 0, uxx (L) = 0, (no h deexo nas extremidades) a a a (momento etor nulo)

Viga engastada [Fig. 1.2(b)]: u(0) ux (0) = = u(L) = 0, ux (L) = 0, (no h deexo nas extremidades) a a a (a tangente horizontal nula) e

Viga engastada e livre [Fig. 1.2(c)]: u(0) uxx (L) uxxx (L) = = = ux (L) = 0, 0, 0, (a extremidade x = 0 engastada) e (o momento etor nulo em x = 1) e (fora de cizalhamento nula em x = 1) c

(a) Obtenha a funao de Green para o problema da exo da viga elstica no caso c a a da viga simplesmente apoiada. Imponha a continuidade das derivadas primeira e segunda, e considere o salto da derivada terceira. (b) Resolva a equaao no-homognea no caso de um carregamento uniforme c a e sobre a viga, f (x) = f0 , e mostre que u(x) = f0 (x4 2x3 + x) 24EI

1.6. PROBLEMAS(a) x

23

x=0

x=L (b)

x

x=0

x=L (c) x

x=0

x=L

Figura 1.2: Algumas condies de contorno: (a) viga simplesmente apoiada; (b) co viga duplamente engastada; (c) viga engastada e livre.tal que a echa, ou a deexo mxima da viga, dada por 5f0 /96EI. a a e (c) Repita os tens anteriores para os casos de uma viga engastada em ambas extremidades e para uma extremidade engastada e outra livre. 5. A equaao de movimento de uma part c cula de massa m em um meio com coeciente de dissipaao viscosa R, sob a aao de uma fora externa f (t). Ache v(t) c c c quando a fora externa dada por c e f (t) = 0, f0 cos(t), se t < 0 , se t > 0 ,

6. A equaao de movimento de um oscilador harmnico amortecido e forado [[3], c o c e pg. 505] f (t) 2 x + 2x + 0 x = m2 onde m, , 0 , e f (t) representam, respectivamente, a massa, coeciente de dissipaao viscosa, frequncia natural, e fora externa. c e c

(a) Mostre que a funao de Green do problema c e G(t, ) = onde =2 0 2

1 (t ) e sin[(t )]H(t ).

(b) Usando o resultado do tem anterior, ache v(t) quando a fora externa c e dada por

24


f (t) =

0, f0 e(t0 ) , 0, f0 cos(t),

se t < 0 , se t 0 , se t < 0 , se t > 0 .

f (t) =

Cap tulo 2

Funes de Green para co EDPs - INeste cap tulo vamos comear o estudo das funes de Green para as equaes c co co diferenciais parciais (EDPs) da F sica Matemtica, comeando pelo paradigma a c das equaes do tipo parablico, que a equao do calor, tambm conhecida por co o e ca e equao da difuso. Por simplicidade, vamos nos limitar ao caso unidimensional. ca a

2.12.1.1

Funo de Green para a equao do calor ca caEquao do calor ca

onde o coeciente de condutividade trmica da barra. Por conservao e e ca de energia, e supondo que a barra seja homognea, a equao que descreve a e ca conduo de calor ca e 2 u(x, t) u(x, t) , (2.2) = a2 t x2 onde denimos a difusividade trmica e (2.3) a2 = c

Vamos considerar a conduo de calor ao longo de uma barra unidimensional, ca cujas extremidades esto localizadas em x = 0 e x = L, respectivamente, sendo a que as laterais da barra esto isoladas termicamente. Denotando por u(x, t) a a temperatura em cada ponto da barra no tempo t, a Lei de Fourier diz que o uxo de calor q(x, t) = ux (x, t), (2.1)

sendo c o calor espec co e a densidade do meio. Se houver fontes de calor no interior da barra (substncias radioativas, por exemplo), descritas pelo uxo a de calor endgeno p(x, t), a equao de conduo do calor no-homognea ser o ca ca a e a escrita u(x, t) 2 u(x, t) (2.4) + p(x, t). = a2 t x2 A equao (2.4) pode descrever vrios outros problemas de interesse f ca a sico, como a difuso de uma substncia (como um poluente) num uido estacionrio a a a 25

26

CAP ITULO 2. FUNCOES DE GREEN PARA EDPS - I

(l quido ou gs). Nesse caso, u(x, t) ser a concentrao da substncia, e q(x, t) a a ca a ser o uxo difusivo. A relao constitutiva de interesse dita lei de Fick: o a ca e uxo difusivo proporcional ao gradiente negativo da concentrao, sendo a2 e ca denominado coeciente de difuso. a A equao do calor (2.4) envolve a posio e o tempo. Portanto, para termos ca ca um problema bem-posto necessrio especicar: e a Condies iniciais: o perl de temperaturas ao longo da barra para t = 0: co u(x, 0) = f (x), para 0 x L; Condies de contorno nas extremidades da barra, em x = 0 e x = L: co 1. Dirichlet: as extremidades da barra esto em contacto diatrmico a e com reservatrios de calor, cujas temperaturas so especicadas como o a funes do tempo (ou simplesmente so xas): u(0, t) = u(L, t) = co a (t); 2. Neumann: o uxo de calor q = ux especicado nas extremidae des da barra como uma funo do tempo. Se estas esto isoladas ca a termicamente, ento q = 0, ou seja, ux (0, t) = 0 e/ou ux (L, t) = 0; a 3. Mistas: um exemplo interessante ocorre quando as extremidades da barra esto sujeitas ` lei do resfriamento de Newton. Por exemplo, a a seja u0 a temperatura do ambiente onde a extremidade x = 0 est a colocada. Ento, pela lei de Newton q(0, t) = h[u(0, t) u0 ], onde a h > 0 o coeciente de resfriamento. Pela lei de Fourier, a condio e ca mista (do tipo Robin) nessa extremidade ser a hu(0, t) + ux (0, t) = hu0 .

2.1.2

Funo de Green para as condies iniciais ca co

At agora, usamos o mtodo da funo de Green para resolver equaes difee e ca co renciais ordinrias e no-homogneas. No entanto, a versatilidade do mtodo a a e e permite-nos empreg-lo tambm em outras situaes [14]. Por exemplo, mesmo a e co na equao do calor homognea podemos usar funes de Green para resolver ca e co o problema de valor inicial correspondente. A idia, aqui, considerar uma e e funo de Green como sendo a soluo da equao de calor, onde a condio ca ca ca ca inicial uma funo delta aplicada num ponto genrico da barra. Conhecida e ca e essa funo de Green especial, podemos construir a soluo para uma condio ca ca ca inicial arbitrria f (x) superpondo as solues do tipo funo de Green para a co ca todos os pontos. Vamos aplicar o mtodo da transformada de Fourier para obter a funo de e ca Green para as condies iniciais na equao do calor unidimensional homognea co ca e 2 u(x, t) u(x, t) = a2 , t x2 (2.5)

para uma barra innitamente longa e isolada nas laterais, com a seguinte condio ca de contorno u(|x| , t) = 0, (2.6) e com uma distribuio inicial de temperaturas u(x, t = 0) = f (x), com x R. ca

2.1. FUNCAO DE GREEN PARA A EQUACAO DO CALOR

27

A soluo de (2.4) depende linearmente da condio inicial f (x), ou seja, se ca ca u1 (x, t) e u2 (x, t) so duas solues de (2.4) correspondentes `s condies iniciais a co a co f1 (x) e f2 (x), respectivamente, ento c1 u1 + c2 u2 ser a soluo correspondente a a ca a ` combinao linear das condies iniciais c1 f1 + c2 f2 . Logo, podemos superca co por linearmente solues correspondentes a condies iniciais do tipo impulso co co unitrio, representadas por funes delta de Dirac, da mesma forma que zemos a co com os termos de fonte nas equaes no-homogneas. co a e Chamaremos G(x, , t) a funo de Green para as condies iniciais para ca co (2.4), G(x, , t) 2 G(x, , t) a2 = 0, (2.7) t x2 com as mesmas condies de contorno do problema original co G(|x| , , t) = 0, (2.8)

mas satisfazendo uma condio inicial do tipo funo delta aplicada em x = ca ca G(x, , t = 0) = (x ). (2.9)

Conhecida a funo de Green, a soluo de (2.5) para uma condio inicial ca ca ca arbitrria u(x, t = 0) = f (x) ser obtida pela superposio linear das solues a a ca co correspondentes `s condies iniciais do tipo funes delta: a co co u(x, t) =

G(x, , t)f ()d.

(2.10)

Para obter a funo de Green para as condies iniciais da equao do calor, ca co ca vamos resolver a equao (2.28) usando tranformadas de Fourier ca 1 GF (k, , t) = F{G(x, , t)} = 2 dando

G(x, , t)eikx dx.

(2.11)

GF = a2 k 2 GF , t cuja soluo geral (no espao-k) ca c e GF (k, , t) = GF (k, , t = 0)ea2 2

(2.12)

k t

.

(2.13)

Aplicando a transformada de Fourier ` condio inicial (2.9) obtemos a ca 1 GF (k, , t = 0) = eik , 2 que a condio inicial que aparece em (2.13): e ca2 2 1 GF (k, , t) = ea k t+ik . 2

(2.14)

(2.15)

Para retornar ao espao-x original, tomamos a transformada de Fourier inc versa: G(x, , t) = F 1 {GF (k, , t)} = 1 2

dkea

2 2

k tik(x)

,

(2.16)

28


que pode ser efetuada completando-se o quadrado no expoente: a2 k 2 t ik(x ) = Fazendo a substituio de varivel ca a v temos que G(x, , t) = 1 1 (x ) exp 2 a2 t 4a2 t2

a2 tk +

i(x ) 2 a2 t

2

(x ) . 4a2 t

2

i(x ) , a2 tk + 2 a2 t

dvev ,

2

(2.17)

=

de modo que a funo de Green para as condies iniciais, tambm chamada ca co e soluao fundamental para a equao do calor, c ca e G(x, , t) = 1 4a2 t exp (x ) 4a2 t2

.

(2.18)

A soluo da equao do calor homognea para uma distribuio inicial ca ca e ca arbitrria de temperatura f (x) ser, conforme (2.10): a a u(x, t) = 1 4a2 t

exp

(x ) 4a2 t

2

f ()d,

(2.19)

que satisfaz a condio de contorno (2.6). Alm disso, no limite t a ca e temperatura nula para todo x. e Distribuio espacial de temperatura numa barra innita ca Como um exemplo simples onde a integral em (2.19) analiticamente solvel, e u vamos tomar a condio inicial: ca u(x, t = 0) = f (x) = u0 , 0, se |x| 1, se |x| > 1, (2.20)

tal que a temperatura em todos os pontos da barra innita, num instante de tempo t > 0 arbitrrio, dada por (2.19): a e u(x, t) = u0 4a2 t1 1

exp

(x ) 4a2 t

2

u0 d =

w(1) w(1)

ew dw

2

(2.21)

onde aplicamos a transformao de varivel w(x) = ( x)/2 a2 t. ca a A integral em (2.21) pode ser escrita em termos da funo erro [Eq. (A.7)]. ca Usando (A.11) temos que a temperatura, como funo de x e t, ca e u(x, t) = u0 erf 2 1+x 2 a2 t + erf 1x 2 a2 t . (2.22)

2.1. FUNCAO DE GREEN PARA A EQUACAO DO CALOR

29

1

0,8

u/u0

0,6

t=0,0 t=0,1 t=0,2 t=0,5 t=1,0 t=2,0 t=5,0 t=20 t=50 t=100

0,4

0,2

0 -4

-2

0 x

2

4

Figura 2.1: Distribuio de temperaturas numa barra innita com a2 = 1 para ca vrios instantes de tempo. A condio inicial dada por (2.20). a ca e Devido `s propriedades da funo erro, os pers de temperatura so gaussianos a ca a para t > 0, com um mximo para x = 0, e tornando-se cada vez mais achatados a com o passar do tempo [Fig. 2.1]. E instrutivo conferirmos se as condies co iniciais e de contorno so, realmente, satisfeitas pela soluo (2.22): a ca |x|

lim u(x, t) =

t0

lim u(x, t) =

o que naturalmente decorre do equil brio trmico da barra. e Podemos, ainda, determinar o uxo de calor associado ` soluo (2.22) a ca usando a Lei de Fourier (2.1): q(x, t) = = u0 erf 2 x 1+x 2 a2 t + erf2

onde usamos algumas propriedades da funo erro (vide apndice). Alm disso, ca e e no limite t u0 erf(0) + erf(0) = 0, lim u(x, t) = t 2=0 =0

u0 erf() + erf() = u0 , 2=1 =1

u0 erf() + erf() = 0, 2=1 =1

se

1 x 1,

1x 2 a2 t (1 + x) 4a2 t2

u0 4a2 t

exp

(1 x) 4a2 t

exp

, (2.23)

303


2

1

t = 0,01 t = 0,05 t = 0,1 t = 0,2 t = 1,0 t = 2,0 t = 10

q0-1

-2

-3 -4

-2

x

0

2

4

Figura 2.2: Distribuio do uxo de calor numa barra innita com a2 = 1, ca = 1, e u0 = 1 para vrios instantes de tempo. A condio inicial dada por a ca e (2.20). onde usamos (A.9). O grco do uxo de calor em funo da posio na barra, a ca ca para alguns instantes de tempo, mostradona Fig. 2.2. Vemos que o uxo, tal e qual a temperatura na barra, tambm se anula no innito. De fato, aplicando e o limite correspondente em (2.23) temos|x|

lim q(x, t) =

u0 4a2 t

(0 0) = 0

O comportamento para tempos muito pequenos bastante interessante, pois e o uxo est concentrado inicialmente prximo `s extremidades da barra, sendo a o a positivo ` esquerda e negativo ` direita. No limite quando t tende a zero teremos a a lim q(x, t) = u0 lim e(1x) /4a t0 4a2 t2 2

t

t0

lim

e(1+x) /4a t0 4a2 t

2

2

t

(2.24)

Usando a representao gaussiana da funo delta (vide Cap ca ca tulo sobre Teoria das Distribuies) co 2 2 n (x) = lim en x (2.25) n e fazendo n = 1/ 4a2 t, tal que n quando t 0, podemos escrever os limites em (2.24) comot0

lim q(x, t) = u0 [(1 x) (1 + x)] ,

(2.26)

mostrando que o uxo consiste em duas funes delta centradas em x = 1. co Fisicamente esse resultado pode ser interpretado da seguinte forma: inicialmente

2.2. FUNCAO DE GREEN PARA UMA FONTE EXTENSA DE CALOR 31 o gradiente da temperatura diferente de zero apenas nas extremidades da e barra, onde, alis, innitamente grande. Em todos os outros pontos o uxo de a e calor zero pois a temperatura inicialmente uniforme tanto dentro (u = u0 ) e e como fora da barra (u = 0). O uxo positivo na extremidade x = 1 pois o vetor e uxo de calor aponta no sentido positivo do eixo x, enquanto na extremidade x = 1 o vetor uxo aponta no sentido negativo do eixo x. Com o passar do tempo, o uxo de calor suavizado de modo que a temperatura tanto dentro e como fora da barra passa a ser no-uniforme. Na situao de equil a ca brio o uxo anula-se identicamente ao longo de toda a barra.

2.2

Funo de Green para uma fonte extensa de ca calor

Vamos considerar, agora, o comportamento da temperatura numa barra innita onde haja uma fonte extensa de calor que tambm dependa explicitamente do e tempo, dada por (2.4): 2u u a2 2 = p(x, t) , t x (2.27)

onde temos a condio de contorno (2.8) e supomos, por simplicidade, a condio ca ca inicial u(x, t = 0) = 0 para todo x. Em problemas de contorno onde o termo no-homogneo dependa tanto de a e uma coordenada espacial como do tempo, ns denimos uma funo de Green o ca G(x, ; t, ) em termos de uma fonte puntual do tipo funo delta tanto na ca posio x = como no tempo t = (isto , uma fonte puntual e que age ca e somente num instante de tempo) 2G G a2 2 = (x )(t ), t x empregando condies inicial e de contorno homogneas co e G(x = , ; t, ) G(x, ; t = 0, ) = = 0, 0. (2.29) (2.30) (2.28)

Resolvida a equao para a funo de Green, a temperatura em qualquer ca ca ponto da barra quando houver uma fonte extensa p(x, t) a soluo da equao e ca ca no-homognea a e u(x, t) =0 +

d

dG(x, ; t, )p(, ).

(2.31)

Assim como no caso anterior, vamos usar a transformada de Fourier da funo de Green ca 1 GF (k, ; t, ) = F{G(x, ; t, )} = 2+

dxG(x, ; t, )eikx ,

(2.32)

para resolver a parte espacial da equao (2.28), dando ca GF (k, ; t, ) 1 + a2 k 2 GF (k, ; t, ) = eik (t ). t 2 (2.33)

32


Para resolver a parte temporal dessa nova equao aplicamos transformadas ca de Laplace GF L (k, ; s, ) = L{GF (k, ; t, )} = 0

dtest GF (k, ; t, ),

(2.34)

com a respectiva propriedade de derivao. Devido ` condio inicial (2.30) ca a ca temos que GF (k, ; t = 0, ) = 0, donde (2.33) fornece 1 s GF L (k, ; s, ) + a2 k 2 GF L (k, ; s, ) = eiks , 2 e a transformada de Laplace-Fourier da funo de Green ser ca a 1 1 GF L (k, ; s, ) = eiks . 2 s + a2 k 2 (2.36) (2.35)

Temos que fazer, agora, o caminho de volta. Comeamos pela transformada c inversa de Laplace 1 GF (k, ; t, ) = L1 {GF L (k, ; s, )} = L1 2 eiks s + a2 k 2 . (2.37)

Usando uma tabela de transformadas de Laplace temos que2 2 1 = L{ea k t }. 2 k2 s+a

(2.38)

Por outro lado, pela propriedade de deslocamento da transformada de Laplace L1 {e s L{f (t)}} = f (t )H(t ), (2.39) onde H(t ) a funo degrau unitrio de Heaviside: e ca a H(t ) = 0, 1, se t < , se t .2 2

(2.40)k t

Logo, combinando (2.38) com (2.39), e identicando f (t) com ea em 2 2 1 GF (k, ; t, ) = eika k (t ) H(t ). 2

, resulta (2.41)

O segundo passo aplicar a transformada inversa de Fourier a (2.41): e G(x, ; t, ) = F 1 {GF (k, ; t, )} = H(t ) 2+

dkeik(x)a

2 2

k (t )

,

(2.42) que j foi resolvida (completando o quadrado) na seo anterior, a unica difea ca rena sendo a substituio de t por t no resultado: c ca G(x, ; t, ) = 4a2 (t ) H(t ) exp (x ) . 4a2 (t )2

(2.43)

2.3. METODO DAS IMAGENS: CONDUCAO DO CALOR NUMA BARRA SEMI-INFINITA33 Comparando essa expresso com a funo de Green para as condies iniciais a ca co (2.18), concluimos que o problema da fonte extensa semelhante ao da condio e ca inicial no tempo retardado t . Substituindo a funo de Green (2.43) na soluo da equao de calor noca ca ca a homognea (2.31), teremos e u(x, t) =0 +

d

d

H(t )p(, ) 4a2 (t )

exp

(x ) . 4a2 (t )

2

(2.44)

Como a funo degrau H(t ) s diferente de zero quando t , ento a ca oe a integral em vai apenas de 0 at t: et +

u(x, t) =0

d

d

p(, ) 4a2 (t )

exp

(x ) . 4a2 (t )

2

(2.45)

2.3

Mtodo das imagens: conduo do calor numa e ca barra semi-innita

O mtodo das imagens mais conhecido pelas suas aplicaoes na eletrosttica, e e c a mas pode ser tambm empregado em problemas de contorno para a equao do e ca calor, como a conduo por uma barra semi-innita: 0 x < . Podemos ter ca dois tipos de condies de contorno, nesse caso: co Dirichlet: a extremidade x = 0 da barra colocada em contacto diatrmico e e com um reservatrio de calor ` temperatura zero: u(x = 0, t) = 0; o a Neumann: a extremidade x = 0 termicamente isolada, anulando o uxo e de calor nesse ponto: ux (x = 0, t) = 0. Em ambos os casos, no innito a temperatura ser nula: u(x = , t) = a 0. Adotaremos, ainda, como condio inicial uma distribuio arbitrria de ca ca a a temperatura u(x, t = 0) = f (x), com 0 < x < . E fcil mostrar, usando (2.19), que, se f (x) for uma funo par ( ca mpar) de x, ento a soluo u(x, t) a ca correspondente tambm dever ser uma funo par ( e a ca mpar) de x. Podemos usar esse fato para obter as solues para a barra semi-innita a partir da soluo co ca (2.19) que usa a funo de Green para as condies iniciais. ca co No problema de Dirichlet, impomos que u(x = 0, t) = 0 para todos os tempos. Isso signica que a distribuio inicial de temperatura, que tambm ca e deve satisfazer essa condio de contorno, deve ser tal que f (0) = 0; ou seja, ca f (x) uma funo e ca mpar de x: f (x) = f (x). Se estendermos o dom nio de x para todo o eixo real (isto , voltando ao problema da barra innita), deveremos e usar uma condio inicial adequadamente denida, a saber [3] ca f (x) = f (x), f (x), se x > 0, se x < 0. (2.46)

34


Substituindo essa condio inicial modicada em (2.19) teremos uma soluo ca ca para a barra innita do tipo u(x, t) = = = = 1 4a2 t 1 4a2 t 1 4a2 t 1 4a2 t 0

exp e

(x ) 4a2 t

2

f ()d

(x)2 1 e 4a2 t f ()d f ()d + 4a2 t 0 0 2 (x+ ) (x)2 1 e 4a2 t f ( )d + e 4a2 t f ()d 2t 4a 0(x)2 4a2 t

e

(x)2 4a2 t

0

e

(x+)2 4a2 t

f ()d

(2.47)

onde zemos inicialmente a mudana de varivel = , e depois trocamos c a por , por tratarem-se ambas de variveis de integrao (mudas). Como essa a ca soluo, por construo, satisfaz a condio u(0, t) = 0, podemos us-la para ca ca ca a descrever a barra semi-innita com a condio de contorno de Dirichlet: ca u(x, t) =0

G(x, , t)f ()d,

(2.48)

onde a funo de Green correspondente aquela que aparece em (2.47): ca e G(x, , t) = 1 4a2 t e(x)2 4a2 t

e

(x+)2 4a2 t

.

(2.49)

Para entender como funciona o mtodo das imagens nesse clculo, vamos e a tomar o limite t 0 para a funo de Green acima: ca G(x, , t = 0) = =t0

onde usamos a representao gaussiana da funo delta (2.25), com n2 = 1/4a2 t ca ca (tal que t 0 implica em n ). A funo de Green das condies iniciais ca co para a barra semi-innita tem duas contribuies: uma fonte real em x = , co e uma fonte imagem (invertida, devido ao sinal negativo) em x = , fora da barra. Logo, ns construimos a soluo a partir de uma fonte imagem puntual o ca escolhida de forma que a condio de contorno homognea em x = 0 fosse ca e vericada, exatamente como zemos nos problemas eletrostticos. a O problema de Neumann para a barra semi-innita tem aspectos parecidos. Desejamos encontrar uma fonte imagem tal que a condio de contorno ux (x = ca 0) seja satisfeita. Como ux (0) = 0, a derivada de u em relao a x deve ser uma ca funo ca mpar, donde u(x) ser uma funo necessariamente: u(x) = u(x). a ca Nesse caso denimos uma condio inicial modicada para a barra innita: ca f (x) = f (x), f (x), se x > 0, se x < 0. (2.51)

4a2 t (x ) (x + ),

lim

1

e

(x)2 4a2 t

e

(x+)2 4a2 t

(2.50)

Repetindo a anlise feita no caso de Dirichlet, a funo de Green no caso de a ca Neumann ser a G(x, , t) = 1 4a2 t e(x)2 4a2 t

+ e

(x+)2 4a2 t

.

(2.52)

2.4. FONTE EXTENSA NA BARRA SEMI-INFINITA tal que, no limite t 0, G(x, , t = 0) = (x ) + (x + ),

35

(2.53)

representando uma fonte puntual real em x = e uma fonte imagem, mas no-invertida, em x = . a

2.3.1

Perl inicial constante para a temperatura da barra semi-innita

No problema de Dirichlet para a barra semi-innita vamos supor que a condio ca inicial seja um perl constante u(x, t = 0) = u0 , (0 x < ) (2.54)

a temperatura na barra ser, de (2.48), dada por a u(x, t) =0

G(x, , t)f ()d, 0

=

u 0 4a2 t

d e

(x)2 4a2 t

e

(x+)2 4a2 t

.

(2.55)

Fazendo as mudanas de varivel c a x , y 4a2 t e usando (A.11) obtemos u(x, t) = u0 erf x 4a2 t . (2.56) x+ z , 4a2 t

cujo comportamento, para vrios valores do tempo t, est ilustrado na gura 2.3. a a Observamos que o perl, inicialmente quase constante (exceto muito prximo o a ` fronteira), vai tornando-se nivelado com o passar do tempo, at que, para e t , toda a barra semi-innita ca com temperatura nula. O uxo de calor correspondente ` soluo (2.56) a ca e u0 x2 /4a2 t e . q(x, t) = ux = 4a2 t (2.57)

2.4

Fonte extensa na barra semi-innita

Vamos considerar agora o problema combinado de uma barra semi-innita, com um dado perl inicial de temperatura f (x), com 0 x < , e uma fonte de calor p(x, t): ut a2 uxx = p(x, t) (2.58) com a condio inicial u(x, 0) = f (x) e de contorno do tipo Dirichlet noca a homognea u(x, 0) = u0 . A linearidade da equao do calor nos permite somar e ca solues, e por isso poss escrever a soluo deste problema como co e vel ca u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) (2.59)

361


0,8

0,6

t=0,1 t=0,2 t=0,5 t=1,0 t=2,0 t=5,0 t=10

u/u00,4 0,2 0 0

1

x

2

3

4

Figura 2.3: Distribuio de temperaturas numa barra semi-innita com a2 = 1 ca para vrios instantes de tempo. a onde v(x, t) a soluo da equao do calor homognea na barra semi-innita e ca ca e com um perl inicial constante de temperatura, que foi o assunto da seo ca anterior: vt a2 vxx = 0, (0 x < ) (2.60)

com v(0, t) = 0 e v(x, 0) = u0 . De (2.56), a soluo desta parte ser ca a v(x, t) = u0 erf x 4a2 t . (2.61)

A segunda parte da soluo, w(x, t), satisfaz o problema no-homogneo na ca a e barra semi-innita com condies de contorno de Dirichlet homogneas: co e wt a2 wxx = p(x, t), (0 x < ) (2.62)

com w(0, t) = 0 e w(x, 0) = 0 e p(x, t) o termo de fonte. Vimos anteriormente, e no caso da barra innita, que a funo de Green para uma fonte extensa facilca e mente obtida a partir da funo de Green para as condies iniciais, bastando ca co para isso atrasar o relgio, ou seja, trocar t por t [vide (2.43)]. Essa o prescrio pode ser aplicada aqui tambm: a funo de Green do problema de ca e ca contorno (2.62) obtida da funo de Green para as condies iniciais (2.49) e ca co trocando t por t : G(x, ; t, ) = 1 4a2 (t ) e 4a2 (t )(x)2

+e

4a2 (t )

(x+)2

.

(2.63)

2.4. FONTE EXTENSA NA BARRA SEMI-INFINITA de modo que a soluo ser ca a w(x, t) =0 0

37

d0

dG(x, ; t, )p(, ) 0

=

d 4a2 (t )

dp(, ) e

4a2 (t )

(x)2

e

4a2 (t )

(x+)2

(2.64) .

No caso particular de uma fonte constante no tempo (acionada em t = 0) e no uniforme no espao (p(x, t) = p0 H(t)) teremos c w(x, t) = p00

d 4a2 (t ) x + 4a2 t d0

d e

4a2 (t )

(x)2

e

4a2 (t )

(x+)2

.

(2.65)

e a soluo do problema original (2.58) ser, portanto, dada por ca a u(x, t) = = u0 erf p00

0

4a2 (t )

d e

4a2 (t )

(x)2

e

4a2 (t )

(x+)2

.(2.66)

2.4.1

Um modelo simples para o resfriamento da Terra

Uma interessante aplicao do formalismo desenvolvido nessa seo a anlise ca ca e a de um modelo bastante simplicado para o resfriamento da Terra, a partir de sua perda de calor e consequente solidicao supercial. Desprezando-se a sua ca curvatura podemos analisar o problema essencialmente em uma dimenso, onde a a varivel x pode indicar a profundidade medida a partir da superf da Terra a cie em x = 0. Problema homogneo e Inicialmente vamos supor que no haja fontes de calor, de forma que, sendo a u(x, t) a temperatura da Terra, seu processo de resfriamento satisfaa a equao c ca de calor homognea (2.60): e ut a2 uxx = 0, (0 x < ) (2.67)

Consideramos que, na sua criao (em t = 0) a Terra era uma esfera de magma, ca consistindo de rochas l quidas a uma temperatura constante de u0 = 12000 C, dando a condio inicial u(x, t = 0) = u0 . Alm disso, supomos que a tempeca e ratura da crosta Terrestre seja u = 00 C em mdia (as utuaes so da ordem e co a de 400 C para mais ou para menos). Temos, pois, uma condio de contorno ca de Dirichlet homognea u(x = 0, t) = 0. A soluo desse problema dada por e ca e (2.61). Considerando o magma como sendo uma mistura de rochas fundidas, principalmente granitos e basaltos [18], podemos estimar uma condutividade trmica e mdia de = 1, 67W/m.0 C, assim como uma densidade mdia de = 2, 8 e e 103 J/m3 .0 C, e um calor espec co mdio de c = 1, 0103 J/kg.0 C, o que fornece e uma estimativa da difusividade trmica, segundo (2.3) e a2 = 1, 67W/m.0 C = 6, 0 107 m2 /s. 2, 8 103 J/m3 .0 C 1, 0 103 J/kg.0 C (2.68)

38


Do ponto de vista experimental, uma quantidade de interesse o gradiente e (ou grau) geotrmico, que o aumento da temperatura em relao ao aumento e e ca da profundidade, medido na superf cie Terrestre = ux (x = 0, t). Medidas geof sicas indicam que a temperatura cresce em mdia 3O C a cada 100m de e profundidade, para profundidades at cerca de 2km, o que fornece um valor e para o gradiente geotrmico e = u 30 C = = 3 1020 C/m. x 100m2 2 u0 u = ex /4a t , 2t x a

(2.69)

De (2.61), o gradiente geotrmico dado por e e (2.70)

onde usamos (A.9), tal que u0 = ux (x = 0, t) = a2 t (2.71)

Substituindo o valor atual (2.69) do gradiente geotrmico em (2.71) obtemos e uma estimativa para a idade da Terra t= u2 0 = 8, 5 1014 s = 27 106 anos a2 2 (2.72)

que est bem abaixo do valor geolgico aceito atualmente, que de 4, 5 109 a o e anos. Esse clculo foi feito em 1862 por Lord Kelvin, que estimou a idade da a Terra entre 20 e 400 milhes de anos, provocando um acalorado debate nos o meios cient cos, pois Charles Darwin tinha recentemente publicado sua teoria da evoluo das espcies. A teoria de Darwin baseada na seleo natural, ca e e ca que a combinao de variaes aleatrias hereditrias (na verdade, mutaes e ca co o a co genticas) e a sobrevivncia das espcies mais aptas. Ambos os processos ime e e plicam tempos muito altos, da ordem de 3, 8 109 anos. Assim, o resultado de Kelvin poderia ser usado como um argumento contra a teoria da evoluo. ca Problema no-homogneo a e Um dado com o qual Kelvin no contava em 1862 era a existncia de radioa e atividade. Pierre Curie, em 1903, j havia mostrado que emisses radioativas a o poderiam aumentar a temperatura de um corpo. Vrios f a sicos, entre os quais Rutherford e George Darwin (lho de Charles Darwin!) viram nesse fato uma maneira de explicar o resultado de Kelvin: ele no teria levado em conta a a existncia de emisses radioativas no magma, e que poderiam justicar por que e o a Terra esfriou mais lentamente do que o previsto por Kelvin. De fato, h vrios a a ncleos radioativos cuja desintegrao atua como fonte de calor nesse caso. Os u ca principais so 235 U , 238 U , 232 T h e 40 K. A densidade volumtrica dessas fontes a e de calor pode ser estimada como [18] A = 5, 4 106 J/m3 .s de modo que o termo de fonte na equao de calor (suposto constante no tempo) ca ser a A = 1, 94 10120 C/s (2.73) p0 = c

2.5. FUNCAO DE GREEN PARA CONDICOES DE CONTORNO NAO-HOMOGENEAS39 Inicialmente podemos considerar as fontes de calor como uniformemente distribuidas pela extenso do magma Terrestre, de modo que p(x, t) = p0 para a 0 x < . Desta forma teremos um problema no-homogneo descrito por a e (2.58), cuja soluo foi determinada anteriormente [vide (2.66)]. Para efeitos de ca comparao devemos calcular o gradiente geotrmico, que ser ca e a u0 2A t , (2.74) = ux (x = 0, t) = + a2 t ca onde o segundo termo representa a contribuio das fontes de calor. Substica tuindo os valores numricos adotados para o magma Terrestre chegamos a uma e segunda estimativa para a idade da Terra de t 2, 1 1010 anos que, embora conrme que a Terra deve ter resfriado mais lentamente do que o previsto por Kelvin, ainda no compat com o valor geologicamente aceito para a idade a e vel da Terra. E poss renar esse modelo, supondo que as fontes trmicas no estejam vel e a uniformemente distribuidas em todo o magma, mas somente em uma camada de espessura H da ordem de alguns quilmetros [vide o Problema 6]. No entanto, o e preciso reconhecer que uma falha grave do presente modelo, no reconhecida por a Kelvin em seu tempo, a suposio de que a Terra tenha esfriado unicamente e ca por conduo trmica. Na verdade, como o magma tem um comportamento ca e semelhante a um uido muito viscoso, h correntes de conveco no interior da a ca Terra que transportam magma mais frio para o interior e magma mais quente para o exterior. Esse clculo foi feito pela primeira vez por Perry j em 1895, e a a indicou um valor da ordem de 2 a 3 bilhes de anos para a idade da Terra. o

2.5

Funo de Green para condies de contorno ca co no-homogneas a e

A exibilidade do mtodo da funo de Green permite que ele seja usado tambm e ca e para resolver problemas envolvendo condies de contorno no-homogneas. Um co a e exemplo t pico uma barra semi-innita onde a extremidade em x = 0 est e a ligada a um reservatrio de calor cuja temperatura uma funo conhecida do o e ca tempo v(t). Temos, ento, o seguinte problema de valor inicial em (, +): a ut = a2 uxx , (0 x < , 0 < t < ) (2.75)

com condies iniciais homogneas u(x, 0) = 0, e contorno de Dirichlet noco e a homogneas e u(0, t) = v(t), u(x , t) = 0. (2.76) Vamos denotar por G(x; t, ) a funo de Green que corresponde ` inuncia ca a e momentnea das mudanas da condio de contorno sobre a soluo u(x, t). Em a c ca ca outras palavras, G descreve o modo pelo qual as variaes de temperatura na co extremidade da barra, dadas pela funo v(t), inuenciam a temperatura em ca todos os outros pontos da barra no instante t. No entanto, devemos ter sempre em mente a restrio de causalidade: se a condio de contorno tem um dado ca ca valor num tempo , ela s poder inuenciar a temperatura num dado ponto da o a barra num instante posterior t > (supondo que a velocidade de propagao das ca mudanas seja nita). Superpondo todos as mudanas na condio de contorno c c ca

40


v( ) efetuadas em instantes 0 < < t, obtemos a temperatura em termos da funo de Green h como cat

u(x, t) =0

G(x; t, )v( )d.

(2.77)

Como achar a funo de Green para condies de contorno? Para tal, ireca co mos aplicar uma srie de transformaes (Fourier e/ou Laplace) sobre o proe co blema original (2.75) para chegar a uma equao diferencial ordinria noca a a homognea, onde o termo de fonte a prpria condio de contorno v(t), e e e o ca resolv-la. Isto feito, devemos aplicar as transformaes inversas e compara o e co resultado com (2.77). Inicialmente aplicamos transformadas em seno de Fourier uS (p, t) = FS {u(x, t)}, dada por (A.1), em ambos os membros da equao do ca calor homognea (2.75) e FS {ut (x, t)} uS (p, t) t uS + a 2 p2 u S t = = = a2 FS {uxx (x, t)}, a2 2 pu(0, t) p2 uS (p, t) = a2 2 2 pa v(t), 2 pv(t) p2 uS (p, t) , (2.78)

onde usamos (A.6) e (2.76). Observe que (2.78) uma equao diferencial ordinria e no-homognea e ca a a e para a temperatura transformada uS , onde o termo de fonte justamente a e condio de contorno no-homognea do problema original. Pela condio inicial ca a e ca u(x, 0) = 0 temos, imediatamente, que uS (p, 0) = 0. Portanto, podemos resolver a equao (2.78) pelo mtodo da funo de Green, introduzindo a transformada ca e ca de Fourier em seno da funo de Green, denotada por GS (p; t, ), que soluo ca e ca de (2.78) com o termo de fonte substituido por uma funo delta aplicada em ca t = (novamente prescindimos do sinal negativo): GS + a2 p2 GS = (t ), t (2.79)

e que, naturalmente, satisfaz a mesma condio inicial que a equao noca ca a homognea correspondente: GS (p; t = 0, ) = 0 se t < . e Se t > , ento a funo delta identicamente nula e podemos resolver (2.79) a ca e imediatamente 2 2 GS (p; t, ) = Aea p t , (t > ). (2.80) Para encontrar a constante de integrao A ns integramos (2.79) no entorno ca o de t = : +

dt

GS + a 2 p2 t

+

+

dtGS = +

dt(t ) dtGS = 1

GS ( + ) GS ( ) + a2 p2

No limite 0 a integral remanescente nula (usando o teorema do valor e mdio do clculo integral), e temos que e a GS ( + ) GS ( ) = 1 (2.81)

2.5. FUNCAO DE GREEN PARA CONDICOES DE CONTORNO NAO-HOMOGENEAS41 Usando (2.81) em (2.80) concluimos que A = ea k para t > . Como G(t) = 0 se t < , reunimos os dois resultados em uma s expresso o a GS (p; t, ) = ea2 2 2 2

p (t )

H(t ).

(2.82)

com o uso da funo degrau unitrio. ca a Conhecida a funo de Green correspondente a (2.78), a soluo da equao ca ca ca no-homognea ser a e a uS (p, t) =0

d GS (p; t, ) 0 t

2 2 pa v( ) 2 2

= =

2 2 pa 2 2 pa

d ea

p (t )

v( )H(t ), (2.83)

d ea0

2 2

p (t )

v( ).

Aplicando a transformada em seno inversa (A.3) neste resultado u(x, t) = = = =1 FS {uS (p, t)},

2

dpuS (p, t) sin px,t

0 0 t

2 2 a 2a2

pdp sin px0 0

d ea

2 2

p (t )

v( ) (2.84)

d v( )0

pdp sin pxea=I(x)

2 2

p (t )

A integral acima pode ser feita constatando-se que I(x) = J (x), onde J(x) =0

dp cos pxea

2 2

p (t )

=

1 2

dpea

2 2

p (t )

eipx + eipx , (2.85)

0

sendo que cada uma das duas integrais resultantes pode ser feita completando-se o quadrado: a2 p2 (t ) ipx = p com o resultado I(x) = de modo que (2.84) leva at

a2 (t ) 2x

ix 22

2

a2 (t )/4a2 (t )

4a2 (t

x2 , ) (2.86)

ex3/2

[4a2 (t )] x

,

u(x, t) =0

4a2 (t )

3

ex

2

/4a2 (t )

v( )d.

(2.87)

Comparando com (2.77) concluimos que a funo de Green das condies de ca co contorno e 2 2 x ex /4a (t ) . G(x; t, ) = (2.88) 3 4a2 (t )

42


2.5.1

Exemplos

A t tulo de exemplos do mtodo apresentado aqui, vamos considerar inicialmente e a seguinte condio de contorno no-homognea ca a e u(t) = v0 H(t t0 ), (2.89)

representando sicamente um reservatrio de calor ` temperatura v0 , acionado o a no instante de tempo t = t0 . Substituindo em (2.77), e usando (2.88) temost

u(x, t)

=0

G(x; t, )v( )dt

(2.90) ex2

=

v0t0

xd 4a2 (t )3

/4a2 (t )

,

uma vez que, sendo < t0 , ento H( t0 ) = 0; donde consideramos apenas o a caso > t0 na integrao. Fazendo a subsituio de varivel ca ca a y= chegamos a u(x, t) = = = 2v0 x y( =t0 )

x 4a2 (t )2

ey dy x 4a2 (t x 4a2 (t ) ) H(t t0 ), (2.91)

v0 x 1 erf v0 x erfc

onde usamos (A.11), (A.10), e introduzimos a funo degrau pois t > t0 , por ca hiptese. o Um exemplo mais elaborado consiste na seguinte condio de contorno (pulso ca quadrado) 0, se t < , v(t) = v0 , se < t < + , (2.92) 0, se t > + . que tambm pode ser escrita usando-se a funo degrau e ca v(t) = f0 [H(t ) H(t )] . Comparando essa expresso com (2.89), concluimos que a soluo a coma ca e binao das solues da forma (2.91), correspondentes aos casos em que t0 ca co e substituido por e + : u(x, t) = v0 x erfc erfc x 4a2 (t x 4a2 (t ) ) H(t ) H(t ) .

2.6. RESUMO DAS SOLUCOES ELEMENTARES DA EQUACAO DO CALOR UNIDIMENSIONAL43

2.6

Resumo das solues elementares da equao co ca do calor unidimensional1. Problema de valor inicial na barra innita ut = a2 uxx , condio inicial ca u(x, 0) = f (x), (x)2 1 e 4a2 t f ()d. u(x, t) = 4a2 t ( < x < , 0 < t < ) (2.93)

Equao do calor homognea ca e

2. Problema de valor inicial na barra semi-innita, com condies de co contorno de Dirichlet homogneas e ut = a2 uxx , (0 x < , 0 < t < ) condio inicial ca u(x, 0) = f (x), condio de contorno ca u(x, t) = 4a2 t 1 0

u(0, t) = 0, e(x)2 4a2 t

e

(x+)2 4a2 t

f ()d.

(2.94)

3. Problema de valor inicial na barra semi-innita, com condies de co contorno de Neumann homogneas e ut = a2 uxx , condio inicial ca u(x, 0) = f (x), condio de contorno ca ux (0, t) = 0, 1 u(x, t) = 4a2 t 0

(0 x < , 0 < t < )

e

(x)2 4a2 t

+ e

(x+)2 4a2 t

f ()d.

(2.95)

4. Problema de valor inicial na barra semi-innita, com condies inicico ais homogneas e condies de contorno de Dirichlet no-homogneas e co a e ut = a2 uxx , condio inicial ca u(x, 0) = 0, condio de contorno ca u(0, t) = v(t),t

(0 x < , 0 < t < )

u(x, t) =0

x 4a2 (t )3

e

4a2x (t )

2

v( )d.

(2.96)

Equao do calor no-homognea ca a e 1. Problema de valor inicial na barra innita, com condies iniciais co homogneas e ut = a2 uxx + p(x, t), condio inicial cat

u(x, 0) = 0, d

( < x < , 0 < t < ) p(, ) 4a2 (t ) e 4a2 (t )(x)2

u(x, t) =0

d

.

(2.97)

44

CAP ITULO 2. FUNCOES DE GREEN PARA EDPS - I 2. Problema de valor inicial na barra semi-innita, com condies inicico ais homogneas e condies de contorno de Dirichlet homogneas e co e ut = a2 uxx + p(x, t), (0 x < , 0 < t < ) condio inicial ca u(x, 0) = 0, condio de contorno ca u(0, t) = 0,t

u(x, t) =0

d0

d

p(, ) 4a2 (t )

e

4a2 (t )

(x)2

e

4a2 (t )

(x+)2

.

(2.98)

3. Problema de valor inicial na barra semi-innita, com condies inicico ais homogneas e condies de contorno de Neumann homogneas e co e ut = a2 uxx + p(x, t), (0 x < , 0 < t < ) condio inicial ca u(x, 0) = 0, condio de contorno ca ux (0, t) = 0,t

u(x, t) =0

d0

d

p(, ) 4a2 (t )

e

4a2 (t )

(x)2

+e

4a2 (t )

(x+)2

.

(2.99)

2.7

Problemas

1. Resolva o problema da conduao do calor por uma barra innita, dada uma c condiao inicial (vide seao 4.1.2) usando o teorema integral de Fourier. Vide c c [8] para detalhes. 2. Considere uma barra innita com uma fonte de calor que atue somente dentro de um intervalo de largura 2 centrado na origem, e apenas aps um instante o de tempo t0 : p(x, t) = P (x)H(t t0 ), onde P (x) = p0 , 0, se x +, . se |x| > ,

(a) Mostre que a temperatura na barra dada por e u(x, t) = p0 2t

d erft0

x+ 2a t

erf

x 2a t

,

(b) Verique que a soluao acima satisfaz as condioes iniciais e de contorno c c (c) Supondo que o argumento das funoes erro seja pequeno, obtenha a expresso c a aproximada 2p0 t t0 . u(x, t) a (d) Mostre que o uxo de calor dado por e q(x, t) = p0 2a2 (x ) (erfz20 1) + ez10 z102

ez20 z20

2

+(x + )

(erfz10 1) +

2.7. PROBLEMASonde zi0

45

x , 4a2 (t t0 )

i = 1, 2.

(2.100)

3. Considere o problema de uma barra innita com uma fonte de calor que atue somente dentro de um intervalo de largura 2 centrado na origem, e tal que o uxo gerado internamente na barra caia exponencialmente com o tempo com uma taxa > 0 (como uma amostra radioativa decaindo de acordo com sua meia-vida): p(x, t) = P (x)et , onde P (x) = p0 , 0, se x +, . se |x| > ,

(a) Mostre que, se |x| no muito grande, podemos usar a expanso em srie a e a e (A.12), cujo termo de ordem mais baixa fornece para a temperatura p0 u(x, t) a (b) Usando a integral eaz dz = z er( az) a (2.101)t

d0

e . 2a t

onde er(z) = ierf(iz) a funao erro imaginria, mostre que e c a p0 u(x, t) et er( a t).

(c) Use a soluao (??) para obter o uxo de calor na barra: c q(x, t) = p0 2a2 (x ) +(x + ) onde z1,2 Sugesto: use a integral a2

(erfz2 1) + ez2 z22

2

(erfz1 1) + ez1 z1

x . 4a2 (t t0 )2

ex ex dx = erf x . 2 x x 4. No problema da conduao do calor por uma barra semi-innita, suponha uma c condiao de contorno no-homognea u(0, t) = v(t), tal que v(t) seja uma funao c a e c suave o suciente para que possa ser aproximada, dentro do intervalo [t0 , t], por uma sequncia de N pulsos quadrados de largura (t t0 )/N . Para cada pulso e quadrado a temperatura da barra dada por (2.92). Fazendo N tender a innito, e mostre que a superposiao dos innitos pulsos quadrados resulta em ct

u(x, t) =0

uH (x, t ) v( )d.

Comparando essa expresso com (2.77), mostre que a funao de Green para as a c condioes iniciais dada por [vide [3] para detalhes]. c e G(x; t, ) = uH (x, t ) .

46

CAP ITULO 2. FUNCOES DE GREEN PARA EDPS - I 5. E poss resolver diversos problemas de contorno para a equaao do calor univel c dimensional combinando soluoes elementares.Por exemplo, seja o problema de c valor inicial na barra innita com fonte de calor e condioes iniciais especicadas: c ut = a2 uxx + p(x, t), condio inicial ca ( < x < , 0 < t < )

u(x, 0) = f (x).

Escreva a temperatura como u(x, t) = w(x, t) + z(x, t), onde a funao w satisfaz c um problema homogneo de valor inicial na barra innita e wt = a2 wxx , condio inicial ca ( < x < , 0 < t < ) w(x, 0) = f (x)

e a funao z satisfaz um problema no-homogneo de valor inicial na barra c a e innita, com condioes iniciais homogneas c e zt = a2 zxx + p(x, t), condio inicial ca Mostre que w(x, t) = t

z(x, 0) = 0,

( < x < , 0 < t < )

1 4a2 t

e

(x)2 4a2 t

f ()d,2

z(x, t) =0

d

d

(x) p(, ) e 4a2 (t ) . 4a2 (t )

6. Considere o problema da conduao de calor num meio semi-innito com uma c fonte de calor [18]: wt a2 wxx = p(x, t),A , c

(0 x < )

com w(0, t) = 0 e w(x, 0) = 0 e o termo de fonte p(x, t) = 0, se 0 x H, , se x > H. (2.102)

dentro de um modelo para o resfriamento da Terra onde as fontes radioativas esto connadas a uma camada de espessura H. a (a) Mostre que o gradiente geotrmico predito para esse modelo e e wx (x = 0, t) = H A 2 t+ a ca (1 erf0 ) e0 02

(b) Usando o valor geologicamente aceito para a idade da Terra, estime o valor de H. 7. Ao invs de usar a funao de Green para as condioes de contorno no exeme c c plo (2.89), podemos adotar uma outra estratgia, que baseia-se no fato de uma e condiao inicial poder ser encarada como uma condiao de contorno para a c c varivel tempo. Quando resolvemos o problema da barra semi-innita com a condiao de contorno homognea u(0, t) = 0 mas uma condiao inicial u(x, t0 ) = c e c f0 , obtivemos [vide 2.61] uH (x, t) = f0 erf x 4a2 (t t0 ) , (t > t0 )

2.7. PROBLEMAS

47

onde introduzimos o ndice H para enfatizar que usamos uma condiao de conc torno homognea. Da mesma forma com que lidamos com condies de cone co torno no-homogneas, se impusermos a condiao inicial u(x, t0 ) = 0, a soluao a e c c do nosso problema ser obtida fazendo-se u(x, t) = f0 uH (x, t). Mostre que a obtemos o mesmo resultado que em (2.91), com f0 = v0 x. Verique que essa soluao tem as propriedades desejadas: u(0, t) = f0 , para t > t0 ; u(x, t0 ) = 0, e c u 0 para x .

48


Cap tulo 3

Funes de Green para co EDPs - IINeste cap tulo daremos continuidade a nosso tratamento de funes de Green co para equaes diferenciais parciais, enfocando a equao protot co ca pica do tipo el ptico, que a equao de Laplace-Poisson, muito usada em eletrosttica, e ca a mecnica dos uidos e outras reas da f a a sica terica. Depois vamos abordar a o equao de Helmholtz, que mais geral, e que tem aplicaes diversas tanto em ca e co acstica como na teoria quntica do espalhamento. u a

3.1

A equao de Laplace-Poisson ca

Na eletrosttica, o campo eltrico no depende do tempo, e no h campo a e a a a magntico. Portanto, a lei de Faraday fornece E = 0; e o campo eltrico e e pode ser escrito como o gradiente de um potencial eletrosttico : a E(r) = (r). (3.1)

Alm disso, se houver uma densidade volumtrica de carga eltrica (r), pela e e e lei de Gauss temos (r) , (3.2) E= 0 onde 0 = 8.8542 1012 C 2 .N 1 .m2 a permissividade dieltrica do vcuo e e a (estamos utilizando unidades do sistema MKSA). Substituindo (3.1) em (3.2) temos a equao de Poisson ca 2 (r) = Se = 0 temos a equao de Laplace ca 2 (r) = 0, (3.4) (r) . 0 (3.3)

que a verso homognea da equao de Poisson. Em geral, um problema e a e ca em eletrosttica tambm especica condies de contorno em uma ou mais sua e co perf cies S: (i) Dirichlet: o potencial dado em S; (ii) Neumann: a derivada e 49

50

CAP ITULO 3. FUNCOES DE GREEN PARA EDPS - II (a) q1

z

(b)

q2 q3

r2 r3 r4 ri

r1 P d r r rN S3

V

q

4

q

i

y q PN

x z (c) V d r3

r

S r r y

0 r x

P

Figura 3.1: (a) Potencial de um sistema de cargas puntiformes; (b) potencial de uma distribuio de cargas na origem; (c) potencial de uma distribuio de ca ca cargas num ponto arbitrrio. a

normal do potencial, ou a componente normal do campo eltrico, especicada e e em S. Inicialmente, porm, vamos supor que no haja superf e a cies de contorno, por simplicidade.

3.2

Funo de Green para a equao de Laplaceca ca Poisson: sem superf cies de contorno

A funo de Green para a equao de Poisson (3.3), denotada G(r, r ), a ca ca e soluo da equao no-homognea para uma distribuio de carga tipo funo ca ca a e ca ca delta (r r ) 2 G(r, r ) = (r r ), (3.5) o que equivale sicamente a uma carga puntiforme de mdulo igual a 0 localio zada em r . No curso de F sica Bsica aprendemos que o potencial num ponto P , devido a a um sistema de cargas puntiformes q1 , q2 , qN situadas a distncias r1 , r2 , a rN do ponto P , respectivamente, dado pela Lei de Coulomb como [Fig. e

3.2. FUNCAO DE GREEN PARA A EQUACAO DE LAPLACE-POISSON: SEM SUPERF ICIES DE CONTORN 3.1(a)]. (P ) = 1 40N i=1

qi , ri

(3.6)

que pode ser generalizada para uma distribuio cont ca nua de cargas, caso em que fazemos as seguintes substituies: qi dq = (r)d3 r, ri |r|, e a somatria co o e trocada por uma integral sobre todo o volume V (r = 0) = 1 40 (r)d3 r , r (3.7)

V

onde supomos que o ponto P esteja na origem do sistema [Fig. 3.1(b)]. Em geral, porm, o potencial calculado num ponto r do espao dado por [Fig. e c e 3.1(c)]. 1 (r)d3 r (r) = . (3.8) 40 V |r r | Mostramos, no cap tulo sobre Teoria das Distribuies, que co 2 onde (r r ) = (x x )(y y )(z z ) (3.10) a funo delta tridimensional. Se no h superf e ca a a cies de contorno, substituindo (3.9) em (3.5) obtemos imediatamente a funo de Green para a equao de ca ca Laplace-Poisson 1 1 G(r, r ) = . (3.11) 4 |r r | A rigor, essa expresso vlida a menos de uma constante de integrao. a e a ca Porm, sicamente essa constante irrelevante, pois sabemos que o potencial e e eletrosttico sempre denido a menos de uma constante. a e Conhecida a funo de Green, se no houver superf ca a cies de contorno, o potencial na presena de uma distribuio extensa de carga (r) ser dado por c ca a (r) = 1 0 d3 r G(r, r )(r )V

1 |r r |

= 4(r r ),

(3.9)

(3.12)

3.2.1

Expanso da funo de Green em harmnicos esfricos a ca o e

A expresso (3.11) para a funo de Green mais util, na resoluo de problemas a ca e ca de eletromagnetismo, quando expressa em coordenadas esfricas: P : (r, , ) e e P : (r , , ) para o ponto de observao e a posio da carga real, respectivaca ca mente, sendo o ngulo entre r e r [Fig. 3.2]. a Usando a lei dos cossenos |r r | = r2 2rr cos + r onde o ngulo entre os vetores r e r dado por a e cos = cos cos + sin sin cos( ). (3.14)2 1/2

,

(3.13)

52

CAP ITULO 3. FUNCOES DE GREEN PARA EDPS - II z P r r r 0 y r q

x

Figura 3.2: Coordenadas esfricas correspondentes `s posies do ponto de obe a co servao e da carga puntiforme. ca

tal que a funo de Green, em coordenadas esfricas, dada por ca e e G(r, r ) = 1 1 1 1 = 4 (r2 2rr cos + r 2 )1/2 4 r 1 1 2 r cos +r r 2 r2 1/2

. (3.15)

Podemos escrever a funo de Green de um modo diferente, usando a funo ca ca geratriz dos polinmios de Legendre P (z): o 1 (1 2zt +1/2 t2 )

=

=0

P (z)t ,

onde |t| < 1 e |z| < 1. Ento podemos fazer z = cos e t = r /r se r > r em a (3.15). Caso r < r , porm, devemos fazer t = r/r e colocar r em evidncia em e e (3.15). De qualquer maneira, podemos escrever uma unica expresso denindo a r< = min{r, r }, r> = max{r, r } (3.16)

tal que, em qualquer caso, que t = r< /r> . Ento (3.15) ca a G(r, r ) = 1 4 =0 r< P (cos ) +1 r>

(3.17)

Usando o teorema de adio dos harmnicos esfricos ca o e 4 2 + 1

P (cos ) =

Y m ( , )Ym (, ), m=

(3.18)

3.2. FUNCAO DE GREEN PARA A EQUACAO DE LAPLACE-POISSON: SEM SUPERF ICIES DE CONTORNz

Q

R

y

x

Figura 3.3: Anel carregado

onde os harmnicos esfricos so denidos como 1 : o e a Ym (, ) = 2 + 1 ( m)! m P (cos )eim , 4 ( + m)! (3.19)

onde = 0, 1, 2, e, para cada valor de , m = , + 1, , 0, , + 1, , e Pm (z) um polinmio de Legendre associado. e o Se tivermos problemas com simetria azimutal, ou seja, no h dependncia a a e das quantidades f sicas nos ngulos azimutais ou , ento temos m = 0 em a a (3.19), e os polinmios de Legendre associados reduzem-se aos polinmios de o o Legendre comuns. Dessa forma o harmnico esfrico torna-se o e Y0 () = 2 + 1 P (cos ). 4 (3.20)

e, substituindo-se em (3.18), temos que P (cos ) = P (cos )P (cos ). tal que a funo de Green, nesse caso particular, seja ca 1 G(r, r ) = 4 =0 r< P (cos )P (cos ). +1 r>

(3.21)

(3.22)

A soluo da equao no-homognea (3.12) ser, portanto ca ca a e a (r) = 1 40 =0

P (cos )V

d3 r (r )

r< P (cos ) +1 r>

(3.23)

1 Usaremos

a conveno de sinal adotada por Jackson [11]. ca

54

CAP ITULO 3. FUNCOES DE GREEN PARA EDPS - II

3.2.2

Exemplo: potencial de um anel carregado

Vamos considerar, como um exemplo do mtodo da funo de Green, o potencial e ca eletrosttico criado por um anel de raio R com uma carga total Q distribuida a uniformemente em sua extenso [Fig. 3.3]. A densidade de cargas correspona dente a essa distribuio singular, ou seja, pode ser expressa por meio de ca e funes delta co Q (r R)(cos ), (3.24) (r ) = 2R2 o que pode ser facilmente provado integrando-se a densidade de carga sobre todo o espao, tal que V (r )d3 r = Q. c Calcularemos o potencial nos pontos onde r > r , tal que r< = r e r> = r (ca como exerc o clculo para r < r ). Substituindo (3.24) em (3.23) temos cio a (r) = = 1 40 =0 =0

P (cos )V

d3 r (r ) 1 r+1

r P (cos ) r+12 0

Q 1 40 2R2+1

P (cos )

d =2 0

d(cos )(cos )P (cos )1 =P (0)

dr r (r R)r=R+2

2

=

Q 40

=0

P (0)P (cos )

R r+1

(3.25)

onde usamos a propriedade de ltragem da funo delta para resolver as inteca grais. Usando, agora, que se = 2n + 1 for mpar, com n = 0, 1, 2, . . ., , se = 2n , com n = 0, 1, 2, . . .. (3.26) onde o duplo fatorial denido como n!! = n(n 2)(n 4)...5.3.1, a somatria e o em (3.25) deve ser feita apenas sobre os valores pares de , ou ento sobre os a valores inteiros de n: P (0) =(1)n (2n1)!! , 2n n!

0,

(1) (2n 1)!! R Q (r) = 40 R n=0 2n n! r

n

2n+1

P2n (cos ),

(3.27)

e que uma srie rapidamente convergente. Os seus trs primeiros termos so e e e a (r, ) = 3 R4 1 1 R2 Q (3 cos2 1) + (35 cos4 30 cos2 + 3) + , 40 r 4 r3 64 r5

e que identicamos como os termos de monopolo, quadrupolo, etc.

3.3. FUNCAO DE GREEN PARA A EQUACAO DE LAPLACE-POISSON: COM SUPERF ICIES DE CONTORN

3.3

Funo de Green para a equao de Laplaceca ca Poisson: com superf cies de contorno

Em geral os problemas de eletrosttica envolvendo solues (r) da equao a co ca de Laplace-Poisson envolvem uma ou mais superf cies de contorno S, nas quais devem estar satisfeitas condies de contorno apropriadas: co Dirichlet: especicamos em todos os pontos de S; Neumann: especicamos a derivada normal de (igual ` componente a normal do campo eltrico) em todos os pontos de S; e En = = n n

e onde n um versor perpendicular a S em cada ponto. Se S for uma superf fechada, n aponta para fora de S. cie Pode-se mostrar (Problema 1) que, existindo uma soluo compat com qualca vel quer uma das condies de contorno, ela ser unica. Alm disso, no pode co a e a haver condies de contorno mistas, ou seja, no podemos especicar Dirichlet co a em parte da superf S e Neumann no restante dela. Finalmente, se jogarcie mos a superf S para o innito, deveremos recuperar os resultados da seo cie ca anterior, que supem o espao livre de superf o c cies de contorno. Seja o campo vetorial A(r) denido no volume V envolvido por uma superf fechada S. Pelo teorema do divergente (Gauss) temos cie d3 r A = dSA n = A dS (3.28)

V

S

S

e onde dS = dS n o elemento de rea vetorial perpendicular a S em cada ponto. a Se u(r) e v(r) forem campos escalares arbitrrios, escrevendo A = uv teremos a d3 r (uv) =S

V

dSuv n dSu v , n (3.29)

V

d3 r(u2 v + u v)

=S

tambm conhecida como primeira identidade de Green. e Trocando u por v e vice versa em (3.29), obtemos d3 r(v2 u + v u) = dSvS

V

u n

(3.30)

que, subtraida membro-a-membro de (3.29), resulta no teorema de Green no espao: c v u d3 r(u2 v v2 u) = dS u (3.31) v n n V S Com essas ferramentas em mos, podemos determinar a funao de Green da a c equao de Laplace-Poisson ca 2 (r) = (r) , 0 (3.32)

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CAP ITULO 3. FUNCOES DE GREEN PARA EDPS - II

para a qual a funo de Green satisfaz ca 2 G(r, r ) = (r r ), com as mesmas condies de contorno do problema original, ou seja co Dirichlet: especicamos G(r, r ) em todos os pontos de S; Neumann: especicamos G/n em todos os pontos de S Daqui para frente as integraes sero efetuadas no espao das

função de green

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