fuerza,campo electrico,campo magnetico de lineas de transmision

UNIVERSIDAD CATLICA DE CUENCA COMUNIDAD EDUCATIVA AL SERVICIO DEL PUEBLO

UNIDAD ACADMICA DE INGENIERA DE SISTEMAS Y ELCTRICA

Calculo de fuerza, campo elctrico, y campo magntico de lneas de

transmisin

Unidad Acadmica de Ingeniera de Sistemas, Elctrica y Electrnica, Universidad Catlica de Cuenca

Cuenca, Ecuador

Luis Vinicio Andrade Quizhpi E-mail:[email protected]

Abstract. This work looks for shortly of carrying out approximate calculations of Intensity of electric field that generate

the lineal loads that are in the drivers for the voltage level, as well as the Intensity of magnetic field that depends on the

current that circulates for the transmission lines, all this in a certain point with a practical outlined example, as well as the

forces among drivers for the loads that are present.

Resumen. Este trabajo busca brevemente de realizar clculos aproximados de Intensidad de campo elctrico que generan las cargas lineales que se encuentran en los conductores por el nivel de voltaje, as como la Intensidad de campo magntico

que depende de la corriente que circula por las lneas de transmisin, todo esto en un determinado punto con un prctico

ejercicio propuesto, as como las fuerzas entre conductores por las cargas que estn presentes.

Palabras clave. Intensidad, campo elctrico, campo magntico, fuerza, voltaje, corriente.

1. Objetivo General

a) Realizar los clculos de la intensidad de campo elctrico, magntico en un punto y fuerza entre

conductores en lneas de trasmisin

1.1. Objetivos especficos

a) Calcular la fuerza entre conductores en un nstate de tiempo en las que los signos de las cargas de las

lneas de trasmisin del ejercicio propuesto 3.2 son

QA(+), QB(+) y QC(-0) respectivamente.

b) Calcular la intensidad de campo elctrico en el punto determinado P. (0, 0,0) bajo lneas de

trasmisin de 500 Kv y distancias dadas en el

ejercicio propuesto 3.2.

c) Calcular la Intensidad de Campo Magntico en el punto determinado P. (0, 0,0) bajo lneas de

transmisin en donde circula una corriente de 20A

en el ejercicio propuesto 3.2.

2. Introduccin

El campo elctrico y campo magntico est presente en la

mayor parte de nuestro entorno dado que las lneas de

transmisin, estn ubicadas tanto en zonas rurales como

urbanas, y es por estos lugares donde las lneas de alta

tensin provocan estas fuerzas electromagnticas, que las

mismas pueden ser perjudiciales para la salud por esta razn

es de inters conocer las magnitudes que se encuentran en la

misma.

3. Desarrollo.

3.1. Marco terico.

3.1.1. Carga Elctrica: Todos los cuerpos materiales estn formados por partculas

cargadas, que interaccionan entre s produciendo fuerzas de

cohesin. La carga elctrica es una propiedad fundamental

de la materia debido a una interaccin electromagntica, este

hecho implica la existencia de dos tipos de cargas que por

convenio unas se miden con nmeros positivos y las otras

con nmeros negativos. Se dice que un cuerpo est cargado

positivamente cuando tiene un defecto de electrones y est

cargado negativamente cuando tiene un exceso de

electrones. Por tanto tambin podemos definir la carga

elctrica como el exceso o defecto de electrones que posee

un cuerpo respecto al estado neutro. Todas las partculas

elctricamente cargadas llevan una carga igual en valor

absoluto a una cantidad llamada carga elemental, e. El protn

posee una carga +e y el electrn lleva una carga -e. Esta

carga elemental equivale a 1,6 10-19 Colombios. La

interaccin elctrica entre partculas cargadas puede ser de

atraccin para cargas de signo contrario o de repulsin para

cargas del mismo signo.

3.1.2. Ley de Coulomb

Charles Coulomb estudi la fuerza que ejerce una carga

sobre otra y luego de experimentos y observaciones

concluy que: la fuerza que existe entre dos objetos muy pequeos separados en el vaco en medio del espacio libre

por una distancia relativamente grande en relacin con el

tamao de los objetos, es proporcional a la carga en cada

uno e inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia que las separa como lo representa la siguiente ecuacin:

= 12

2

Figura1 fuerza de atraccin y repulsin entre dos cargas

Donde Q1 y Q2 son las cargas ya sean estas positivas o

negativas, d es la separacin y K es una constante que hace

referencia a la proporcionalidad.

2

=1

4

= permitividad del espacio libre

8.851012 =1

36109/

La ley de Coulomb finalmente queda de la siguiente

manera

=12

42 (1)

3.1.3. Campo elctrico

El concepto de campo elctrico fue introducido en la teora

electromagntica para explicar las fuerzas que existen entre

cargas elctricas. Los campos elctricos resultan de la

intensidad de carga y determinan el movimiento de otras

cargas situadas dentro de su alcance. El campo elctrico

puede entenderse como la regin del espacio donde se ponen

de manifiesto los fenmenos elctricos, si en un punto

cualquiera del espacio en donde est definido un campo

elctrico se coloca una carga de prueba se observar la

aparicin de fuerzas elctricas, de atraccin si las cargas son

distintas, o de repulsin si las cargas son iguales.

Figura 2 Dos cargas de igual signo (a), dos cargas de diferente

signo (b).

Su intensidad se mide en voltios por metro (V/m) o en

kilovoltios por metro (kV/m). La gente puede sentir el

campo elctrico de ms de 20 kV/m como una sensacin de

hormigueo sobre su piel. Estos niveles se pueden encontrar

bajo las lneas de alto voltaje. En este caso el campo nace en

las cargas positivas y muere en las negativas. Los campos

elctricos se pueden apantallar fcilmente.

3.1.4. Lneas de Fuerza:

Los campos vectoriales se representan por lneas vectoriales,

conocidas como lneas de fuerza. En el caso de cargas

positivas las lneas de fuerza salen de la carga, mientras que

en cargas negativas estas entran. Si no existen cargas

positivas o negativas externas, las lneas de campo empiezan

o terminan en el infinito. Dos lneas de fuerza nunca pueden

cortarse. El campo en cada punto tiene direccin y sentido

nico. En un punto no puede haber dos lneas de fuerza ya

que implicara dos direcciones para el campo elctrico.

Figura3 lneas de fuerza de cargas negativas(a), lneas de

fuerza de cargas positivas (b)

El nmero de lneas que entran o salen de una carga puntual

es proporcional al valor de la carga, y en cada punto del

campo el nmero de lneas por unidad de superficie

perpendicular a ellas es proporcional a la intensidad de

campo.

3.1.5. Intensidad de campo elctrico

Partiendo de la ley de Coulomb, se analiza el concepto de

intensidad de campo elctrico, considerando a Q1 como una

carga fija, se utiliza una segunda carga de prueba Qt para que

se desplace lentamente alrededor de Q1, esta interaccin

produce un campo de fuerza sobre la segunda carga que se

describe de la siguiente manera

=1

4211

Al escribir esta fuerza como una fuerza por unidad de carga,

se obtiene:

=

1

4211

Como se observa en la ecuacin anterior, el lado derecho es

funcin de la carga Q1, y del segmento de lnea que est

dirigido desde Q1 hasta la carga de prueba, al vector de

campo, se lo denomina intensidad de campo, se mide en las

unidades de volts por metro (V/m) y queda definida como:

=

3.1.6. Intensidad de campo elctrico en el vaco debido a una carga puntual

A partir de las ecuaciones anteriores la intensidad de campo

elctrico de una carga puntual es:

=

42 (2)

En donde R es la magnitud del vector R, que es el segmento

de recta dirigido desde el punto en donde se encuentra

ubicada la carga puntual Q, hasta el punto en donde se desea

determinar E, y a R es un vector unitario en la direccin de

R.

La intensidad de campo elctrico debido a varias cargas

puntuales, Q1 en r1 y Q2 en r2, etc., puede encontrarse por

superposicin, sumando los campos causados por Q1, Q2,

Q3, etc., cuando actan individualmente, la expresin

resultante es:

() =

4| |2

=

3.1.7. Campo elctrico en una lnea de carga

Para el anlisis de la intensidad de campo elctrico en cada

uno de los puntos de una lnea recta infinita de carga lineal

uniforme L se considera que esta est extendida a lo largo del eje z en un sistema de coordenadas cilndricas, adems

se asume una simetra axial que demuestra que el campo es

independiente de z y vara nicamente con . Figura4.



Figura 4 Campo de una lnea de carga

Se elige un punto p(0,y,0) sobre el eje y en el cual determinar

el campo elctrico. Este es un punto perfectamente general

en vista de la carencia de variaciones de campo con y z se aplica (2) para encontrar el incremente de campo en p debido

al incremento de carga = y se tiene que:

= (r r)

4|r r|3

Donde

r = yay = ap r =

r r = ap Por lo tanto,

= (ap )

4( 2 2)3/2

Ya que solo est presente la componente E se puede implicar

=

4( 2 2)3/2

=

4( 2 2)3/2

=

4

( 2 2)3/2

=

4 ( lim

( 2 2)3/2

0

+ lim

( 2 2)3/2

0

)

=

4 ( lim

|

2( 2 2)1/2

|

+ lim

|

2( 2 2)1/2

|

)

=

4 ( lim

2( 2 2)1/2

+ lim

2( 2 m2)1/2)

Evaluando el lmite

=

4 (

1

2+

1

2)

=

2 / (3)

3.1.8. Campo Magntico

El concepto de campo magntico fue introducido en la teora

electromagntica para explicar las fuerzas existentes entre

corrientes elctricas. Los campos magnticos resultan del

movimiento de las cargas, es decir, de corrientes elctricas,

y determinan el movimiento de las cargas. El campo

magntico es una magnitud vectorial, por lo tanto tiene

mdulo, direccin y sentido. La intensidad del campo

magntico se mide en amperios por metro (A/m), aunque

suele expresarse en funcin de la induccin magntica que

produce, medida en teslas (T). Adems se puede utilizar otra

medida que se denomina gauss. (G 10.000 G = 1 T) La mayora de gente no puede sentir la presencia de campos

magnticos, excepto bajo altas cargas de electricidad. Los

campos magnticos no pueden apantallarse y atraviesan casi

todos los materiales conocidos.

3.1.9. Lneas de campo magntico

Las lneas de campo fueron introducidas por Michael

Faraday para representar el campo magntico en forma de

lneas de fuerza. La direccin del campo viene indicada por la direccin de las lneas de campo, y la magnitud de

campo por su densidad. Las lneas de fuerza se separan a

partir de un polo y convergen en el otro formando un circuito

cerrado y son perpendiculares a la fuerza magntica sobre

una carga mvil, la fuerza magntica es mayor cerca de los

polos donde se renen.

Figura5 Lneas de campo Magntico

El campo magntico B alrededor del espacio de un conductor

rectilneo por donde circula una corriente de intensidad i

puede calcularse aplicando la ley de Biot-Savart que

establece que en cualquier punto P la magnitud de la

intensidad d campo magntico producida por el elemento

diferencial, es proporcional al producto de la corriente, la

magnitud de diferencial de longitud y el seno del ngulo

formado entre el filamento y la lnea que conecta al

filamento con el punto P en donde se busca el campo. La

magnitud de la intensidad de campo magntico es

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

desde el elemento diferencial al punto P^1 y se representa

mediante la siguiente ecuacin:

4

=

4

2

La ecuacin permite calcular la densidad de flujo magntico

a partir de la corriente en un circuito cerrado de forma

cualquiera.

Figura 6 Campo producido por una corriente rectilnea

Aplicando dicha ley para un conductor infinito con una

corriente i, se tiene:

=

4

2

=

4 =

2

0

El sentido del campo magntico se determina segn la regla

de la mano derecha. Aplicando para cualquier tipo de

corriente, se obtiene la ley de Ampere que dice:

=

3.1.10. La ley de Biot-Savart ejemplificada en una lnea de longitud infinita.

La ley de Biot-Savart dice que en cualquier punto P la

magnitud de la intensidad de campo magntico que produce

el elemento diferencial de longitud y el seno del Angulo

formado entre el filamento y la lnea que lo conecta con el

punto P en donde se busca el campo magntico es normal al

plano que contiene el filamento diferencial u la lnea

dibujada desde la filamento hasta el punto P. de las dos

normales posibles se elige aquella que est en la direccin de

avance de un tornillo derecho girando desde dL a travs del

Angulo ms pequeo que forma a la lnea desde el filamento

hasta P. utilizando unidades mks racionalizadas la de

proporcionalidad es 1/4pi

2 =I1 112

43 (4)

Figura 7 filamento recto de longitud infinita portado de una

corriente directa I

Se pude ejemplificar una aplicacin de ley de Biot-Savart

considerando un filamento recto de longitud infinita. Se

aplica primero 2 para despus integrarla, la simetra de este

campo se reconocer en la figura 6 no puede existir

variaciones como z o el punto 2 en el cual se determinara el campo se escoge por lo tanto en el plano z=0, el punto de

campo r es por lo tanto = , la fuente se localizara en r = As:

R12 = r r = ap Por lo tanto,

12 = ap

( 2 2)1/2

Tomando

=

Aplicamos en (4) tenemos

2 =I (ap )

4( 2 2)3/2

Dado que la corriente se dirige hacia los valores crecientes

de z. los limites son - y sobre la integral se tiene

2 = I (ap )

4( 2 2)3/2

El producto cruz de (ap ) es

|

a a a

0 0 0

| = a)

H2 =

4

a

( 2 2)3/2

H2 =a

4

( 2 2)3/2

2 =a

4 ( lim

( 2 2)3/2

0

+ lim

( 2 2)3/2

0

)

2 =a

4 ( lim

|

2( 2 2)1/2

|

+ lim

|

2( 2 2)1/2

|

)

2 =a

4 ( lim

2( 2 2)1/2

+ lim

2( 2 m2)1/2)

Evaluando el lmite

2 =a

4(

1

2+

1

2)

2 =I a

2 / (5)



3.1.11. Capacitancia de una lnea bifilar La capacidad que existe entre dos conductores de una lnea

bifilar se defini como la carga de los conductores por

unidad de diferencia de potencial entre ellos. La ecuacin de

la capacidad por unidad de longitud de la lnea es:

=

(

)

Donde:

q= Es la carga de la lnea (culombios*metro).

v= Diferencia de potencial entre conductores (V).

La tensin Vab entre los dos conductores de la lnea bifilar

de la Figura 7 se halla determinado la diferencia de potencial

entre ellos, calculando, en primer lugar la cada de tensin

debida a la carga q0 del conductor a y, a continuacin la

debida a la carga qb del conductor b. por principio de

Superposicin, la cada de tensin del conductor a al b,

debida a las cargas de ambos conductores, es la suma de las

cadas de tensin producidas por cada una de las cargas

independientes.

Figura 8. Seccin transversal de una lnea de hilos paralelos

Se considera la carga qa del conductor a y supongamos que

el conductor b no tiene carga, siendo nicamente una

superficie equipotencial en el campo creado por la carga de

a. la superficie equipotencial del conductor b y las debidas a

la carga a se representan en la Figura 10. La distorsin de las

superficies equipotenciales en las proximidades del

conductor b, es debida a que este tambin es una superficie

equipotencial.

La carga uniforme de un conductor de seccin circular, eran

cilndricas y concntricas con el conductor. Esto es cierto en

nuestro caso salvo en la zona prxima a b. el potencial del

conductor b es el de la superficie equipotencial que le corta.

Figura 9. Superficies equipotenciales en una parte del campo

elctrico producido por un conductor cargado

Por tanto al determinar Vab puede seguirse un camino que

vaya del conductor a a la superficie equipotencial que corta

a b, pasando por una zona en la que no estn distorsionadas

las superficies equipotenciales. El camino a lo largo de la

superficie equipotencial hasta b no supone cambio alguno de

tensin. Esta lnea de integracin est indicada en la Figura

10 junto con el camino directo. Naturalmente, la diferencia

de potencial es la misma independientemente del camino a

lo largo del cual se hace la integracin de la intensidad de

campo. Siguiendo el camino que atraviesa la zona sin

distorsin, las distancias correspondientes a D2 y D1 de la

son D y ra, respectivamente, al determinar la Vab, debido a

qa. Al determinar la Vab, debido a qb las distancias a

considerar son rb y D, respectivamente. Pasando a la

notacin vectorial (qa y qb son nmeros complejos)

tenemos:

=

2ln

+

2

Y como qa= qb para una lnea bifilar,

=

2(

)

O agrupando los trminos logartmicos:

=

2

2

(6)

3.2. Ejercicio Propuesto

Se tiene una lnea de transmisin a 500kv con un Circuito

Trifsico de 80km de longitud, los tres conductores son de

aluminio con alama de acero de 750 MCM de 37 hilos de

25.32 mm de dimetro a 60 Hz y est configurado con las

siguientes distancias. 20 mts desde el suelo hacia la primera

lnea y 5 mts entre lneas como indica la figura 10, en estas

lneas circula una corriente de 20A, tomando como

referencia el instante de tiempo en donde las cargas de cada

lnea sea QA (+), QB (+), QC (-), calcular

a) La fuerza entre conductores en ese instante de tiempo

b) El campo Elctrico generado por las tres lneas en el punto en el suelo perpendicular bajo las lneas

en el instante de tiempo ya dicho

c) El campo magntico generado por las tres lneas en el punto en el suelo perpendicular bajo las

lneas en ese instante de tiempo

6

20

m5

m5

m

A

QA

B

QB

C

QC

20A

20A

20A

Figura 10. Lneas de transmisin trifsica

3.2.1. Calculo de densidad de Carga lineal

Para calcular la fuerza entre los conductores se es necesario

calcular la carca puntual para esto aplicaremos la Ecuacin

(6)

Datos:

Vab= 500 kv = 500000 v

Como dimetro de MCM 750 es d = 25.32 mm por lo tanto

ra = rb = 12.66 mm = 0.01266 m

Distancia entre conductores= 5 mts.

D = DMG

= 3

= 5 5 103

= 6.29 = 8.851012

1

2= 18109

La ecuacin (6)

=

2

2

Por lo tanto

=

181092

=500000

181096.292

(0.01266 )(0.01266 )

=500000

18109/6.292

(0.01266 m)(0.01266m )

= 2.2366106 / = 2.2366 / (7)

3.2.2. Calculo de fuerzas por unidad de longitud entre conductores en el instante de tiempo propuesto

Como tenemos la carga lineal (7) en coulomb por metro

tambin calcularemos la carga puntual del conductor en un

centmetro de lnea.

Como:

=

/

Y

= 1cm = 0.01m = = (2.2366106/) (0.01m) = 22.366109 = 22.366

Ahora calcularemos las fuerzas entre conductores aplicando

la ecuacin (1) de Ley de Coulomb.

=12

42

Como en este instante de tiempo QA (+), QB (+), QC (-) por

lo tanto:

= 22.366 = 22.366 = 22.366 Tambien:

= 8.851012 1

4= 9109

Fuerza entre conductor A y B

= 9109 (22.366109) (22.366109)

52

= 180.1109 = 180.1 En Atraccin

Fuerza entre conductor A y C

= 9109 (22.366109) (22.366109)

102

= 45.02109 = 45.02 En repulsin

Fuerza entre conductor B y C

= 9109 (22.366109) (22.366109)

52

= 180.1109 = 180.1 En repulsin

3.2.3. Calculo de Intensidad de campo elctrico Bajo las lneas de Transmisin.

Para el clculo de la intensidad de campo elctrico

utilizaremos la ecuacin (3)

=

2 /

Como en este instante de tiempo qA (+), qB (+), qC (-) por

lo tanto:



= 2.2366 = 2.2366 / = 2.2366 / Tambien:

= 8.851012 1

2= 18109

-Intensidad de campo elctrico que genera la lnea A en l

un punto (0,0,0) en el suelo perpendicular a la lnea.

= = 2.2366106 / = 30

A = 18109 2.2366106

30 /

A = 1341.97 / A = 1.34 /

-Intensidad de campo elctrico que genera la lnea B en l

un punto en el suelo perpendicular a la lnea.

= = 2.2366106 / = 25

B = 18109 2.2366106

25 /

B = 1610.36 / B = 1.64 /

Intensidad de campo elctrico que genera la lnea C en l


= = 2.2366106 / = 20

C = 18109 2.2366106

20 /

C = 2012.94 / C = 2.01 /

La Intensidad de campo elctrico total que generan las

lneas A, B, C, en el puto sobre el suelo perpendicular a

dichas lneas es:

Total = + +

Total = 1341.97 / + 1610.36 / + (2012.94 / )

Total = 939.37 / Total = 0.939 / 3.2.4. Calculo de Intensidad de campo Magntico

Para el clculo de la intensidad campo magntico en el punto

perpendicular a las lneas del ejercicio utilizaremos la

ecuacin (5)

2 =I a

2 /

-Intensidad de campo magntico que genera la lnea A en l


I = 20 = 30

=20A

2 (30)

= 106.1 103 /

= 106.1 /

-Intensidad de campo magntico que genera la lnea B en l


I = 20 = 25

=20A

2 (25)

= 127.32 103 /

= 127.32 /

-Intensidad de campo magntico que genera la lnea C en l


I = 20 = 20

=20A

2 (20)

= 159.16 103 /

= 159.16 /

El campo magntico total en dicho punto est dado par la

sumatoria de todos los campos magnticos que genera cada

conductor por lo tanto:

Total = + +

Total = 106.1 103 / + 127.32 103A/m 159.16 103 / )

Total = 74.27 103/ Total = 74.27 /

4. Anlisis de los resultados

De acuerdo con los clculos a 500kv con el conductor 750

MCM que tiene un dimetro de 25.32 mm y 5mts de

separacin se tiene una densidad de carga lineal de =2.2366 / indispensable para el clculo de campo elctrico y las fuerzas entre conductores es as que tenemos:

-Fuerzas entre conductores con una carga puntual en 1 cm de

cada lnea de:

Fuerza entre conductor A y B

= 180.1 En Atraccin Fuerza entre conductor A y C

= 45.02 En repulsin Fuerza entre conductor B y C

= 180.1 En repulsin

-As mismo la intensidad de campo elctrico total que

generan las lneas en un punto en el suelo bajo las lneas a

distancias perpendiculares de 20m, 25m, 30m

respectivamente de cada lnea hacia el suelo es:

A = 1341.97 / B = 1610.36 / C = 2012.94 / Total = 939.37 /

8

-Por ltimo la intensidad de Campo magntico que 20A

generan bajo las lneas de trasmisin a 20m, 25m, 30m

respectivamente a cada lnea hacia el suelo es:

= 106.1 / = 127.32 / = 159.16 / Total = 74.27 /

5. Conclusiones

a). De acuerdo con el clculo las fuerzas que se

encuentran presentes debido a cargas lineal en una longitud

pequea para hacerla puntual, entre las lneas de transmisin

del ejercicio propuesto son magnitudes muy pequeas casi

despreciables que no son de mucha importancia como las

dems magnitudes que se encuentran presentes como el

campo elctrico y magntico.

b). La intensidad de campo Elctrico generado por las

lneas de transmisin del ejercicio propuesto est

directamente relacionado con la diferencia de potencial que

existe entre las fases y las distancia que los separa, tambin

de la seccin del conductor, as mismo por la distancia que

hay entre la lnea y el punto de anlisis, cave recalcar que las

cargas lineales varan en funcin de la frecuencia de la

misma forma, los campos elctricos se anulan entre s.

Dando como resultado la suma algebraica de las mismas.

c). El campo magntico que las mismas lneas generan

en un punto dado bajo las mismas depende directamente de

la corriente que circula por las mismas, tambin la corriente

que circula por las mismas, siendo este campo de mayor

inters en su anlisis por que se ha demostrado

cientficamente que una prolongada explosin a estos

campos con cierto valor determinado puede ser perjudicial

para la salud.

6. Referencias Bibliogrficas.

Cadavid, D. R., Ramirez, D. A., Lopera, F., &

Correa, A. F. (Julio de 2010). Mitigacion

de Campo de lineas de Trasmision

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Dominguez, J. C., & Valencia, D. F. (2008).

Calculo de campo electrico Bajo Lineas

de Transmision. Pereira.

Stevenson, W. D. (1986). Analisis de sitemas

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McGRAW-HILL.

William H. Hayt, J., & Buck, J. A. (2006). Teoria

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GRAW HILL.

fuerza,campo electrico,campo magnetico de lineas de transmision

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