MIN-242 (C1) MECANICA DE ROCAS

PROFESOR : SOLEDAD MAASS V.

Temario

1. Fuerza Esfuerzos 2. Deformacin y Modelos genricos de esfuerzo-deformacin (Elstico,

plstico, visco-elasto-plstico). 3. Propiedades de la roca intacta (fsicas, resistencia, deformabilidad, dinmicas). 4. Propiedades de las discontinuidades (Fsicas, resistencia, deformabilidad,

dinmicas). 5. Representacin grfica de estructuras y discontinuidades. 6. Propiedades del macizo rocoso (criterios de falla: Hook & Brown, Mohr -

Coulomb y otros; resistencia direccional y deformabilidad). 7. Caracterizacin y clasificacin de rocas. 8. Estado tensional in situ de macizo rocoso. 9. Principios y tcnicas de medicin de esfuerzos. 10. Modelamiento numrico de esfuerzos. 11. Aplicaciones en minera a cielo abierto (diseo de taludes). 12. Aplicaciones en tneles y cavernas (diseo de galibos ).

Objetivos del curso

Medicin de propiedades de rocas, aplicando mtodos experimentales en laboratorio de mecnicas de rocas.

Clasificacin de rocas y macizos rocosos, siguiendo procedimientos geotcnicos estandarizados.

Evaluacin de condiciones de estabilidad de excavaciones en roca, en superficie o subterrneas, mediante procedimientos analticos o modelos numricos.

Modelamiento de condiciones de esfuerzos en el entorno de excavaciones en roca, utilizando software especializado.

Ref.: E-mining Technology S.A.

1.- Fuerza y Esfuerzos

Conceptos

FUERZA: Magnitud vectorial que mide la intensidad del intercambio de momento lineal entre dos partculas o sistemas de partculas(N)

ESFUERZO: Fuerza que se ejerce por unidad de superficie ( Pa)

El desarrollo de pliegues, fallas y estructuras menores de diferentes tipos son causados por fuerzas y campos de esfuerzos que resultan de los movimientos dentro del manto y la corteza.

Fuerza

Cualquier accin que altera o tiende a alterar el estado de reposo de un cuerpo o su movimiento. Cuando una fuerza acta en un cuerpo, sta puede ser especificada completamente si uno conoce su direccin de accin en el espacio y su magnitud. La fuerza es, por consiguiente, un vector. Sabemos que F = ma.

Si se considera la aceleracin de gravedad ( g =9, 81 m/s2), la fuerza ejercida por una masa de 1 kg es de 9, 81 Newton. Algunas unidades de fuerza son: Newton = 1 Kg m/s2 Dyna = 1 gr m/s2

Fuerza

Las fuerzas que actan sobre un punto , al ser vectores , pueden combinarse .

De manera anloga, una fuerza puede ser descompuesta en dos o ms componentes.

Esto ltimo puede ser realizado de infinitas formas, pero en la mayora de los anlisis es necesario (o conveniente) resolver las fuerzas en dos direcciones perpendiculares entre s.

Ejemplo Fuerza

Por ejemplo:

La figura muestra un cuerpo rectangular, de masa M, descansando sobre un plano inclinado grados respecto a la horizontal.

F

F Fn

Ft

F= m*g cos=Fn/F sen=Ft/F Fn= cos F estabiliza Ft= sen F desestabiliza

Si el ngulo aumenta gradualmente, Ft tambin aumenta y Fn disminuye.

Cuando el ngulo alcanza un valor crtico, la resistencia al movimiento es sobrepasada y el cuerpo comienza a deslizarse.

Este ngulo crtico es caracterstico de los materiales.

Experimentalmente se ha demostrado que la fuerza friccional que tiende a impedir el movimiento es proporcional a la fuerza normal, que acta en la superficie. Esta razn constante es denominada coeficiente de friccin interna :

F

Fn

Ft

=

=

sen

=tan

Esfuerzo

Se define como la fuerza por unidad de rea

=

Las unidades de esfuerzo son:

1(

2)=1 Pa

1 (Pa) =0.1 (

2)

1 (bar) =0.1 (MPa)

1 (MPa) =10 (

2)

Kilonewton(KN)=1000N= 103N Meganewton(MN)=1000000N= 106N Giganewton(GN)=1000000000N= 109N

Ejemplo de Esfuerzo

M=10.000 Kg

25 cm

=10000 9,81(

2 )

25 25(2)

= 1569600 (

2

2) = 1569600 (

2) =1,6 (MPa).

En el ejemplo se asumi que la direccin de accin de la fuerza era perpendicular a la superficie del cubo y por lo tanto, no haba componente de fuerza actuando tangencialmente a las superficies del cubo.

El esfuerzo que acta perpendicular a una superficie se define como esfuerzo principal, cuando el esfuerzo de cizalle total actuando en esa superficie es cero.

Si hay slo un esfuerzo principal actuando en un cuerpo y ste es compresivo, se denomina compresin uniaxial.

Si hay dos o ms esfuerzos actuando en un cuerpo, la condicin se denomina compresin biaxial o triaxial, respectivamente.

Las direcciones en las que actan los esfuerzos principales son siempre ortogonales entre s.

Tensor de Esfuerzos Esfuerzos en un plano

Un esfuerzo cualquiera aplicado a un plano, puede ser descompuesto en un esfuerzo normal (esfuerzo perpendicular al plano), y dos esfuerzos de cizalle (paralelos al plano en las dos direcciones ortogonales del sistema de ejes elegido).

Para resolver el problema, se simplifica mediante anlisis de esfuerzos sobre un punto.(El esfuerzo a travs de un volumen puede variar).

X y

z

Esfuerzo aplicado Esfuerzo normal (// a Z)

Esfuerzo de corte(// a y)

Esfuerzo de corte(// a x)

Esfuerzo en un punto

Se representa un punto, como un cubo infinitamente pequeo con seis caras (tres pares de planos).

Se consideran tres caras porque las otras tres caras paralelas son idnticas.

En el diagrama se muestra el esfuerzo en cada cara, descompuestos en tres vectores de esfuerzos .

Resultan 9 esfuerzos , los cuales se pueden expresar en una matriz denominada Tensor de esfuerzos.

Si el cubo est en el equilibrio (no rota), entonces;

Hay solamente seis componentes independientes del tensor de esfuerzos (tensor simtrico).

Si el cubo se orienta de manera tal que el esfuerzo principal que acta en la cara es normal a uno de los planos, los esfuerzos de cizalle se hacen 0.

Es conveniente representar los esfuerzos en un sistema de tres coordenadas: una coordenada vertical y las otras dos en un plano horizontal. La coordenada se utiliza como subndice para los esfuerzos; , y .

Los esfuerzos , y no son necesariamente esfuerzos

principales.

Los esfuerzos de corte o cizalle tambin pueden ser representados en el mismo sistema de coordenadas.

El primer subndice indica la direccin del esfuerzo normal asociado y el segundo la direccin de accin del esfuerzo de cizalle.

Los esfuerzos normales de traccin son considerados positivos y los de compresin negativos. Los esfuerzos de cizalle que actan en sentido de los punteros del reloj son negativos (rotacin horaria) y los que actan en sentido anti horario son considerados positivos.

Al analizar procesos mecnicos relacionados al desarrollo de estructuras geolgicas, se asume que el elemento rota tan lentamente que puede ser considerado irrotacional.

Consideremos un plano inclinado con respecto a la direccin de la fuerza aplicada o esfuerzo principal.

La fuerza puede descomponerse en una componente actuando normal y otra paralela al plano interno. Estas se relacionan a un esfuerzo normal () y otro de cizalle ().

Si se conoce la magnitud y orientacin de los esfuerzos principales, se pueden determinar los valores de esfuerzo normal y de cizalle actuando en un plano que forma un ngulo con el eje de esfuerzo principal.

F

F

n

Consideremos un cubo sometido a compresin uniaxial. Una fuerza F acta normal a las superficies superior e inferior del prisma, que tienen un rea A (cada una).

Si consideramos la superficie interna, orientada de manera que forma un ngulo con el eje de esfuerzo principal, se puede ver que la fuerza F tiene una componente Fn normal a la superficie interna .

Stress principal = =F/A

Fn =F sen

sen=

cos=

t

De manera anloga , la fuerza F tiene una componente de cizalle Ft paralela a la superficie , tal que

Ft= F cos

Usando estas relaciones se puede determinar el esfuerzo normal actuando en el plano interno.

=

A =

=

2=

2

El esfuerzo de cizalle en el plano

interno sera:

Fn =F sen

Ft =F cos

sen=

cos=

= 2 A=

=sen cos

Son las ecuaciones de stress uniaxial y dan el stress normal y de cizalle en cualquier plano inclinado a un ngulo () con respecto al stress principal.

Compresin Biaxial Consideremos ahora la condicin de compresin biaxial. El esfuerzo normal que acta sobre la superficie interna () tiene dos componentes, una debido a y la otra a = + En el caso uniaxial: =

2 De manera anloga:

=

=

= 2

En el caso biaxial: = + =

2+ 2

Si los esfuerzos principales son compresivos y > , entonces las componentes de cizalle tienen distinto sentido (en el plano). El stress de cizalle total ser: - = Aplicando la ecuacin del caso uniaxial queda: = ( - )sencos sen2=2sencos

sencos=1

2sen 2

=( )

2 sen2

= + =

2+ 2

=(12

2 ) +(

1+2

2 )

= 2

2

2+

2

+2

2

= +

2

2

2( )

= +

2 -

2

2

Finalmente,

= +

2 -

2

2

=( )

2 sen2

Estas ecuaciones son particularmente importantes, porque permitieron una solucin grfica para problemas de stress mediante una tcnica desarrollada por Otto Mohr.

sen2=2sencos

sencos=1

2sen 2

sen2 +cos2 =1

sen2 =1

2 -

1

2cos 2

cos2 =1

2+

1

2cos 2

Grfico de Mohr El centro del crculo queda definido como

El radio del crculo queda definido como

Ecuaciones Principales

= +

2 -

2 2 + sen2

=( )

2 sen2 + cos 2

= +

2

R(radio)=

22 + ( )2

Tan 2p = 2xy

x-y

Tan 2s = y-x

2xy

Como no existe esfuerzos de cizalle en los planos perpendiculares al stress principal (definicin de stress principal), entonces los stress principales se ubican en el eje horizontal: = 0.

El crculo de Mohr representa entonces el estado de stress de cualquier plano dentro de un cuerpo sometido a dos esfuerzos principales. Denominaremos 1 al esfuerzo principal mximo y 3 al esfuerzo principal mnimo.

Conociendo las magnitudes de los esfuerzos principales, se puede determinar en cualquier plano dentro del cuerpo.

De este modo, si conocemos 1 y 3 de un sistema, podemos construir el crculo de Mohr que representa el estado de stress (n), de cualquier plano.

El crculo es til tambin para determinar los valores de 1 y 3 ,

conociendo n y que actan en dos superficies de orientacin

conocida.

Si z y x son causados por un mismo estado de esfuerzos (1 y 3), ambos puntos pertenecen al crculo. Si adems z y x actan en superficies de orientacin conocida, que forman un ngulo de 90 entre ellas, los puntos sern diametralmente opuestos (en el crculo se representan los ngulos dobles). Por lo tanto, si se unen se encuentra el centro C y el radio del crculo; en la interseccin de ste con el eje se obtiene 1 y 3 . Se puede obtener tambin el ngulo entre 1 con x y/o con z.

Signos

Por convencin , el ngulo es positivo hacia la derecha de 1 y negativo hacia la izquierda de 1.

+

Para frmulas

+ Para coordenadas de mohr

Ejemplo clculo de esfuerzos

Determinar 1, 3 y el ngulo que forma EF con 1 (orientacin).

=220MPa

= 110 MPa

=110 MPa

= 120 MPa

Crculo de Mohr Representacin de esfuerzos tridimensionales

1 2 3 El crculo mayor representa los esfuerzos en planos perpendiculares al plano 13. El crculo menor representa los esfuerzos determinados por el sistema 1 , 2 y 3 en el plano perpendicular a 23. Del grfico podemos concluir que el estado de esfuerzos mayores ocurre en planos perpendiculares a 1 y 3 y por eso usamos anlisis 2-D, considerando los esfuerzos mximos y mnimos del

sistema.

Ejemplo

Considerando la situacin de la figura , determine:

a) Los esfuerzos , direcciones principales y posibles planos de falla

b) El estado de esfuerzos a un ngulo de =40 en direccin anti horario.

=80MPa

= 20 MPa

= 100 MPa 0