TEMA 4.1. FUERZAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.

Subtema 4.1.1. Fuerzas en el plano.

Plano cartesiano y signos de las X y Y en los 4 cuadrantes.

X Abcisas

Y Ordenadas

I cuadrante(X , Y)(+, +)

II cuadrante(X, Y)(-, +)

III cuadrante(X, Y)(-, -)

IV cuadrante(X, Y)(+, -)

Puntos cardinales en relación con el plano

cartesiano.

N

S

E O

Plano cartesiano y ángulos.

0° (360°)

90°

180°

270°

Ejemplos de vectores situados en el plano

cartesiano.

1.- Graficar un vector de 50 newtons situado a 50° al Noreste.

N

S

EO

50 N

Θ=50°

2.- Graficar un vector de 80 lbf situado a 70° al Noroeste.

N

S

EOΘ=70°

3. Graficar un vector velocidad de 90 km/h a 30° al suroeste.

N

S

EO

90 km/h

Θ= 30°

4.- Graficar un vector desplazamiento de 100 km a 60° al sureste.

N

S

EO

100 km

Θ = 60°

VECTORES Y SUS CARACTERISTICAS.

Las magnitudes que intervienen en la mayoría de los campos de las ciencias exactas (particularmente física) pueden clasificarse en 2 clases: los que sólo tienen valor numérico y las que tienen valor numérico, dirección y sentido. De su estudio se facilitan varias nociones para la comprensión abstracta y estudio dimensional de los números.

Cantidades Escalares.- Son aquellas que quedan determinadas por un número real y, por lo tanto, no tienen dirección. Como ejemplos podemos citar: el tiempo, la masa, la densidad, la longitud, el área, el volumen, la temperatura, el trabajo, la energía, el capital.

Las cantidades escalares se indican por letras de tipo ordinario, como en álgebra elemental. Las operaciones con magnitudes escalares siguen las mismas reglas que en álgebra elemental.

Cantidades Vectoriales.- Son aquellas que para quedar determinadas precisan un número que exprese su valor absoluto (llamado módulo), una dirección y un sentido, por esto se las llama cantidades dirigidas. Como ejemplos tenemos el desplazamiento, la velocidad, la fuerza, la aceleración.

Gráficamente, una cantidad vectorial se representa por una flecha trazada a escala. La longitud de la flecha representa el módulo, la dirección de la flecha representa la dirección del vector, etc. Un vector tiene siempre un punto O llamado origen del vector y un punto P llamado punto terminal.

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

Origen O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre

el que actúa el vector. Módulo Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el

origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del

vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.

VECTORES COPLANARES Se encuentran en el mismo plano,

es decir, en dos ejes

VECTORES NO COPLANARES. Si están en diferentes planos, o

sea en tres ejes. VECTORES CONCURRENTES Son aquellos vector capaz de

sustituir a un sistema de vectores

Vector resultante.- Es aquel que es capaz de efectuar el mismo trabajo que un conjunto de vectores concurrentes.

Vector equilibrante.- Es aquel que es opuesto a un vector resultante.

METODO ANALITICO PARA LA SUMA DE VECTORES.

El método analítico para la suma de vectores, consiste en utilizar las ecuaciones de las componentes rectangulares de los vectores (Fx y FY).

Cuyas ecuaciones son: Fx = F cos θFy = F sen θ. Después de obtener la sumatoria de las

fuerzas en X y en Y se aplica el Teorema de Pitágoras, cuya Fórmula es:

____________ R = √(ΣFx)2 + (ΣFy)2.

Finalmente, para obtener el ángulo del vector resultante se hace uso de la función trigonométrica tangente, cuya fórmula es:

Θ = tan-1ΣFy ΣFx

Problemas para hallar el vector resultante por el

método analítico.

1.- Tres sogas están atadas a una estaca, y sobre ella actúan tres fuerzas: A = 20 libras al Este, B = 30 libras a 30° al Noroeste; y C = 40 libras a 52° al Suroeste. Determine la fuerza resultante de forma analítica.

Solución: primeramente se trazan los vectores en las coordenadas cartesianas:

A = 20 lb E

B = 30 lb 30° NO

θ = 30°

C = 40 lb, 52° SO

θ = 52°.

Primeramente se construye el cuadro de fuerzas. F ángulo Comp. X Componentes Y 20 lb 0° 20 lb 0 30 lb 30° -30 lb cos 30° 30 lb sen 30° 40 lb 52° -40 lb cos 52° -40 lb sen 52° _____________________ ____________________ ΣFx = 20 lb-30 lb cos 30°-40 lb cos 52° ΣFy= 30

lbsen30°-40 lb sen 52°

ΣFx = 20 lb- 30 lb (0.8660)-40 lb (0.6156) ΣFy= 30 lb (0.5)-40 lb

(0.7880). ΣFx = 20 lb- 25.98 lb- 24.62 lb ΣFy= 15 lb-

31.52 lb ΣFx = 20 lb- 50.6 lb ΣFy= -16.52 lb ΣFx = - 30.6 lb ΣFy= -16.52 lb

Una vez obtenidos la sumatoria de fuerzas X y Y, se aplica la ecuación del teorema de Pitágoras para obtener la resultante. Por los signos de las componentes X y Y (ambos negativos), la resultante se graficará en el tercer cuadrante.

___________ R = √ (Fx)2 +(Fy)2. ______________________ R = √ (- 30.6 lb)2 + (- 16.56 lb)2. __________ R = √ 1210.59 lb R = 34.8 lb

Para obtener el ángulo de la resultante, se aplica la función trigonométrica tangente:

θ = tan-1 Fy Fx θ = tan-1 │-16.52 lb │ = 0.5398. - 30.6 lb tan-1 0.5398 = 28.36°. R = 34.8 lb, 28.36°. Al Suroeste.

El ángulo es debajo del eje x en el tercer cuadrante. La dirección o ángulo del vector resultante también se puede expresar como 208.36° al sumar los 180° correspondientes a los dos primeros cuadrantes al valor de 28.36°, por lo cual la respuesta también se puede expresar como:

R = 34.8 lb, 208.36° medidos desde el primer cuadrante.

2.- Encontrar el vector resultante y el ángulo del siguiente sistema de vectores por el Teorema de Pitágoras, medidos desde el Este: F1 = 2.5 N al Norte, F2 = 3 N a 25° al Noreste, F3 = 4 N al Este, y F4 = 2 N a 40° al Suroeste.

N

S

EO

F1 = 2.5 NF2 = 3 N

25°

F3 = 4 N

F4 = 2 N

40°

Cuadro de fuerzas con sus componentes rectangulares. F θ comp. X comp Y 2.5 N 0° 0 2.5 N 3 N 25° 3 N cos 25° 3 N sen 25° 4 N 0° 4 N 0 2 N 0° -2 N cos 40° -2 N sen 40° ΣFx =3 N cos 25° ΣFy = 2.5 N + 3 N + 4 N - 2 N cos 40°. sen 25°- 2 N sen 40° ΣFx = 3 N x 0.9063 + 4 N – 2 N x 0.7660. ΣFx = 2.7189 + 4 N – 1.532 N ΣFx = 6.7189 N – 1.532 N = 5.1869 N. ΣFy = 2.5 N + 3 N x 0.4226 – 2 N x 0.6427 = ΣFy = 2.5 N + 1.2678 – 1.2854 ΣFy = 3.7678 – 1.2854 = 2.4824 N.

______________ R = √ (5.1869)2 + (2.4824)2. ___________ R = √ 26.90 + 6.16 _________ R = √ 33.06 R = 5.75 Newtons.

Θ = 2.4824 = 0.4785 5.1869 Θ = tan-1 0.4785 = 25.6°.

3.- Encontrar el vector resultante y el ángulo del siguiente sistema de vectores por el Teorema de Pitágoras. V1 = 35 m/seg, al Este, V2 = 30 m/seg a 30° al Suroeste y V3 = 45 m/seg a 60° al Noroeste.

N

S

EO

V1 = 35 m/seg

V2 = 30 m/seg

V3 = 45 m/seg

60°

30°

Cuadro de fuerzas y componentes rectangulares. F θ Comp. X Comp. Y 35 m/s 0° 35 m/s 0 30 m/s 30° - 30 m/s cos 30° -30 m/s sen 30° 45 m/s 60° - 45 m/s cos 60° 45 m/s sen 60° ΣFx = 35 m/s – 30 m/s cos 30° ΣFy = - 30 m/s sen 30° -45 m/s cos 60°. + 45 m/s sen 60°

ΣFx = 35 m/s – 30 m/s x 0.8660-45 m/s x 0.5= 35 m/s- 25.98 m/s - 22.5 m/s

ΣFx = 35 m/s- 48.48 = - 13.48 m/s. ΣFy = -30 m/s x sen 30 ° + 45 m/s x sen 60° ΣFy = - 30 m/s x 0.5 + 45 m/s x 0.8660. ΣFy = - 15 m/s + 38.97 m/s = 23.97 m/s.

R = √(-13.48 m/s)2 + (23.97 m/s)2. ________________________ R = √181.71 m2/s2+ 574.56 m2/s2

________________

R = √ 756.27 R = 27.5 m/s.

Cálculo del ángulo de la resultante.

Θ = 23.97 = 1.7781 13.48 Θ = tan-1 1.7781 = 60.6°