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FÍSICA III Sistemas de Cuerpos Rígidos - Fluidos
J. Osorio • A. García-Cole
Física III (SISTEMAS DE CUERPOS RÍGIDOS Y FLUIDOS)
Dr. Jaime Osorio Rosales Universidad Nacional Autónoma de México
Fís. Arturo García Cole Universidad Nacional Autónoma de México
Universidad Nacional Autónoma de México
México, 2021
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
PLANTEL SUR
FÍSICA III SISTEMAS DE CUERPOS RÍGIDOS Y FLUIDOS
(Basado en el nuevo programa de estudio de Física III)
J. Osorio & A. García-Cole
2021
CONTENIDO
Unidad 1. Sistemas de Cuerpos Rígidos
Introducción: Sistemas de cuerpos rígidos 5
CAPÍTULO I
1. Movimiento Circular
1.1 Movimiento Circular 8
1.2 Aceleración Centrípeta 15
CAPÍTULO II
2. Gravitación Universal y Leyes de Kepler
2.1 Gravitación Universal 39
2.2 Leyes de Kepler 48
2.3 Satélites 54
CAPÍTULO III
3. Centro de Masa
3.1 Centro de Masa 69
3.2 Movimiento del Centro de Masa 76
CAPÍTULO IV
4. Ecuación Vectorial de Movimiento
4.1 Ecuación Vectorial de Movimiento 94
CAPÍTULO V
5. Torca
5.1 Torca 115
CAPÍTULO VI
6. Momento de Inercia
6.1 Momento de Inercia 133
6.2 Teorema de los ejes paralelos 137
6.3 Momento de Inercia de cuerpos sólidos 138
CAPÍTULO VII
7. Momento Angular
7.1 Momento Angular 153
7.2 Naturaleza Vectorial de la Rotación 158
7.3 Trabajo y Energía Cinética Rotacional 161
7.4 Segunda Ley de Newton (forma angular) 165
7.5 Cantidad de Movimiento Angular 166
7.6 Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular 167
7.7 Problemáticas Especificas del Momento Angular 168
7.7.1 El Gato y la Conservación del Momento Angular 171
7.8 Momento Angular Cuantizado 172
7.9 Momento Angular Orbital 174
7.10 Momento Angular Total 175
Unidad 2. Sistemas de Fluidos
Introducción: Sistemas de fluidos 191
CAPÍTULO VIII
8. Fluidos
8.1 Fluidos 193
8.2 Densidad 195
8.3 Presión 198
8.4 Presión del fluido 199
8.5 Medición de la presión de un fluido 201
8.6 Prensa Hidráulica (Principio de Pascal) 206
8.7 Principio de Arquímedes 209
CAPÍTULO IX
9. Dinámica de Fluidos
9.1 Dinámica de fluidos 226
9.2 Tipos de flujo 229
9.3 Ecuación de continuidad 230
9.4 Gasto 231
9.5 Ecuación de Bernoulli 234
APÉNDICE A Unidades SI: Básicas y Suplementarias 251
APÉNDICE B Datos Físicos 251
APÉNDICE C Unidades SI Derivadas 252
APÉNDICE D Unidades SI Compuestas 253
APÉNDICE E Unidades SI Autorizadas 254
APÉNDICE F Múltiplos y Submúltiplos Decimales 254
APÉNDICE G Alfabeto Griego 255
APÉNDICE H Constantes Físicas Fundamentales 256
APÉNDICE I Datos Planetarios 257
APÉNDICE J Unidades Sistema Ingles 258
SOBRE LOS AUTORES
Dr. Jaime Arturo Osorio Rosales
El doctor Jaime Arturo Osorio Rosales es físico por la Facultad de Ciencias de la UNAM,
obtuvo su maestría y doctorado en el Programa de Posgrado en Ciencias de la Tierra de la
UNAM en el área de Física Espacial. Ha sido conferencista invitado en congresos nacionales
e internacionales. Sus líneas de investigación giran en torno a la física espacial, clima terrestre
y relaciones Sol-Tierra. Actualmente es académico en el Colegio de Ciencias y Humanidades
Plantel Sur de la UNAM donde imparte la materia de Física, trabaja en diferentes proyectos de
ciencia con alumnos y es coordinador de la Estación Meteorológica de la misma institución.
Ha publicado dos libros, numerosos artículos de investigación y divulgación.
Imparte frecuentemente conferencias científicas en escuelas de educación media superior,
superior y al público en general.
Fis. Arturo García Cole
El físico Arturo García Cole estudio en la Facultad de Ciencias de la UNAM, es pasante de la
maestría en el Programa de Posgrado en Ciencias de la Tierra de la UNAM en el área de Física
Espacial. Desde hace 31 años es académico en el Colegio de Ciencias y Humanidades Plantel
Sur, donde imparte la materia de Física y donde además ha sido consejero académico y consejero
interno. Es responsable de diferentes proyectos con alumnos y profesores, imparte cursos
y conferencias sobre física, y actualmente es coordinador de la Estación Meteorológica del
plantel y de la Red Mexicana de Radiotelescopios.
1
PRESENTACIÓN
El presente libro está diseñado para cubrir los aprendizajes señalados en el Programa
de Física III del Plan de Estudios del Colegio de Ciencias y Humanidades, correspondiente
al quinto semestre. Queremos que este libro sea de ayuda para los alumnos, para que valoren
lo maravillosa que es esta ciencia. La naturaleza se manifiesta en ciertos fenómenos que siguen
determinadas pautas que revelan una estructura de relación entre sus partes. Estas pautas o leyes,
que el científico intenta descubrir, no son modificables por la voluntad humana pero
su conocimiento puede servir para eliminar, alterar o producir determinados acontecimientos.
En este libro estudiamos la mecánica de un sólido rígido, que es aquella donde se estudia
el movimiento y equilibrio de sólidos materiales ignorando sus deformaciones. Se trata,
por tanto, de un modelo matemático útil para estudiar una parte de la mecánica de sólidos,
ya que todos los sólidos reales son deformables.
En todos los capítulos se tratan temas de la mecánica clásica o newtoniana que pretenden,
a partir de expresiones y razonamientos matemáticos acordes con los postulados físicos de la
teoría, explicar y predecir el comportamiento de los cuerpos sometidos a interacciones con otros
cuerpos. En el estudio de la mecánica clásica se busca conocer no solo el estado del sistema
considerado, sino también el del entorno físico que lo rodea.
La finalidad de todo este material es la de promover en los estudiantes aprendizajes
significativos, que amplíen sus conocimientos, así como de profundizar la comprensión de los
fenómenos físicos que les permita tener explicaciones fundamentadas de eventos que acontecen
en su entorno.
El libro contiene una explicación teórica de los fenómenos físicos en sistemas de cuerpos
rígidos, donde se conceptualizan y se da un modelo matemático de los mismos.
También contiene una serie de problemas resueltos de diferentes niveles de dificultad para que
el profesor los tome como problemas-ejemplo en la clase, también problemas para que los
alumnos los resuelvan en clase y extra clase.
A los profesores que imparten el curso de Física III en el Colegio este libro les puede ser útil en
la planeación y desarrollo en su quehacer frente a sus grupos, como una guía en el desarrollo de
sus temas y ejercicios en clase. Les agradeceríamos todas las observaciones que puedan hacerle
a nuestro trabajo que permita enriquecerlo o mejorarlo en una edición posterior.
Los autores de este libro somos profesores del Colegio de Ciencias y Humanidades Plantel Sur
que hemos dedicado tiempo y esfuerzo en realizar este material. Esperamos sea un apoyo para
los alumnos en su aprendizaje de la física y a los profesores les facilite su labor docente.
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UNIDAD I
SISTEMAS DE CUERPOS RÍGIDOS
3
PROGRAMA DE FÍSICA III
Unidad 1. Sistemas de Cuerpos Rígidos
PRESENTACIÓN
En otros cursos de física se ha visto principalmente el movimiento rectilíneo de una partícula.
Esto bastaría para describir la mayor parte de sus aplicaciones. Sin embargo, por lo general, los
cuerpos en la naturaleza se mueven en trayectorias curvas. Los proyectiles de artillería se
desplazan siguiendo trayectorias parabólicas debido a la influencia del campo gravitacional
terrestre. Los planetas giran alrededor del Sol en trayectorias casi circulares.
En el nivel atómico, los electrones giran alrededor del núcleo de los átomos. En realidad,
es difícil imaginar un fenómeno físico que no suponga el movimiento al menos en dos
dimensiones.
En Física, se entiende por sistema, una entidad material formada por componentes organizados
que interactúan de forma tal, que las propiedades del conjunto no pueden deducirse por completo
de las propiedades de las partes.
En esta unidad se estudian los fundamentos de la mecánica rotacional de cuerpos rígidos,
mediante el empleo de conceptos como centro de masa, fuerza, momento de torsión, energía de
traslación y de rotación, cantidad de movimiento lineal y angular; haciendo énfasis en su
carácter vectorial.
El estudio y análisis de las leyes de la dinámica y de la conservación de la energía, ayudan
a explicar el funcionamiento de dispositivos mecánicos como giróscopos, máquinas
y herramientas en la industria, en la salud, en los deportes, los movimientos planetarios y en
cuerpos celestes.
PROPÓSITOS
Al finalizar la Unidad el alumno:
• Describirá el movimiento de un cuerpo rígido.
• Comprenderá el comportamiento mecánico de los cuerpos rígidos con base en las leyes
de la dinámica y los principios de conservación.
• Resolverá situaciones y problemas referentes al movimiento de cuerpos rígidos mediante
el empleo de las leyes de la mecánica y la aplicación de la herramienta vectorial
necesaria, que le ayuden a comprender el funcionamiento de dispositivos mecánicos de
uso común.
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Los cursos de Física III y IV coadyuvan a que el alumno mejore intelectual y personalmente
a través de la apropiación consciente de conocimientos, habilidades y actitudes que le permitan
resolver sus problemas de estudio y de situaciones cotidianas.
En cada unidad de aprendizaje existe una inducción propedéutica que favorece en el alumno
el conocimiento de la lógica de la disciplina y su interrelación con otras; que mejora y profundiza
a través de los proyectos de investigación escolar en los conocimientos, habilidades, actitudes y
valores cercanos a la carrera de su preferencia mediante el ejercicio y aplicación del aprendizaje
en situaciones reales.
Se pretende también que cuente con la preparación necesaria para cursar sus estudios
profesionales en cualquier área del conocimiento. Por su carácter propedéutico,
estas asignaturas: a) Consideran aprendizajes, habilidades y actitudes propias de la ciencia,
particularmente los relativos a la física en el nivel medio superior. b) Propician aprendizajes
con mayor formalidad que permitan obtener una mejor descripción de los fenómenos físicos.
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INTRODUCCIÓN
Sistemas de Cuerpos Rígidos
En cursos anteriores de física, se ha considerado principalmente el movimiento rectilíneo de una
partícula. Esto bastaría para describir la mayor parte de sus aplicaciones. Sin embargo, por lo
general, los cuerpos en la naturaleza se mueven en trayectorias curvas. Algunos ejemplos de
esto serían los proyectiles de artillería, el lanzamiento de una pelota de beisbol o la trayectoria
de un avión comercial que se desplazan siguiendo trayectorias parabólicas debido a la influencia
del campo gravitacional terrestre,
En realidad, es difícil imaginar un fenómeno físico que no suponga el movimiento al menos
en dos dimensiones. En Física, se entiende por sistema a una entidad material formada por
componentes organizados que interactúan de forma tal, que las propiedades del conjunto no
pueden deducirse por completo de las propiedades de las partes. En esta unidad se estudian los
fundamentos de la mecánica rotacional de cuerpos rígidos, mediante el empleo de conceptos
como centro de masa, fuerza, momento de torsión, energía de traslación y de rotación, cantidad
de movimiento lineal y angular; haciendo énfasis en su carácter vectorial.
El estudio y análisis de las leyes de la dinámica y de la conservación de la energía, ayudan
a explicar el funcionamiento de dispositivos mecánicos como giróscopos, máquinas
y herramientas en la industria, en la salud, en los deportes, los movimientos planetarios y en
otros cuerpos celestes.
Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas
externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian y representa
cualquier cuerpo que no se deforma. Un cuerpo rígido es una idealización que se emplea en la
física para efectos de estudio y es una combinación de un gran número de partículas que tiene
posiciones fijas entre sí. Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido se pueden clasificar en
fuerzas externas y fuerzas internas. Las fuerzas externas representan la acción de otros cuerpos
o sistemas al cuerpo rígido. Mientras que las fuerzas internas mantienen unidas las diferentes
partículas que cumplen ciertas condiciones para reemplazar el cuerpo rígido. Si el cuerpo está
compuesto de varias partes las fuerzas de enlace son definidas por fuerzas internas.
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El movimiento de un cuerpo rígido se analiza considerando que la Tierra se encuentra en reposo
total, es decir no tiene movimiento de rotación ni de traslación. Para desplazamientos de un
cuerpo rígido en un plano el análisis es más simple, ya que es bastante evidente que un cambio
de posición de un cuerpo rígido en un plano, puede ser logrado de modo equivalente mediante
una traslación paralela seguida de una rotación en torno a un punto fijo, o bien la rotación
seguida de la traslación.
En el movimiento plano de cuerpos rígidos, siempre existe un punto o una extensión rígida del
cuerpo que tiene velocidad instantánea nula, y en consecuencia tendrá un movimiento
equivalente a una pura rotación instantánea del cuerpo en torno de ese punto (centro instantáneo
de rotación). En todo instante, estos cuerpos al tener una velocidad instantánea nula o de cero
en un punto, rotan respecto a ese punto; pero ese punto en general se mueve, de manera que el
centro instantáneo de rotación describe un cuerpo. El movimiento de ese punto puede ser
observado desde un sistema de referencia fijo y desde un sistema de referencia fijo al cuerpo.
La mecánica clásica o newtoniana pretende, a partir de expresiones y razonamientos
matemáticos acordes con los postulados físicos de la teoría, explicar y predecir
el comportamiento de los cuerpos sometidos a interacciones con otros cuerpos, excluyendo los
fenómenos de tipo eléctrico o magnético, así como las consideraciones sobre la estructura
atómica o las nociones relacionadas con la teoría cuántica. En el estudio de la mecánica clásica
se busca conocer no solo el estado del sistema considerado, sino también el del entorno físico
que lo rodea.
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Un avión de
la fuerza
aerea realiza
maniobras de
aterrizaje.
¿Por qué un avión se inclina en forma lateral cuando hace un viraje en el aire?
Un avión no tiene un camino por dónde caminar, de modo que la fuerza necesaria para hacerlo
girar en círculo no puede provenir de la fricción con la superficie del camino. En lugar de esto,
la orientación angulada de las alas divide en componentes la fuerza normal que soporta al avión.
Una componente sigue soportando al avión contra la gravedad, mientras que la otra actúa
horizontalmente y hace dar vuelta al avión en círculo, como el avión que se muestra en la figura.
La misma física se aplica al diseñar caminos con peralte para los automóviles u otros vehículos.
En este capítulo estudiaremos el movimiento circular y cómo participa la fuerza en el viraje.
La explicación se basa en los conceptos de fuerza, velocidad y aceleración. Mucho de lo que
aprenderemos en este capítulo sobre el movimiento circular es similar a los conceptos sobre
movimiento lineal, fuerza y energía. Como la mayoría de los objetos no viajan en líneas
perfectamente rectas, los conceptos de movimiento circular se aplicarán en diferentes ocasiones
en capítulos posteriores.
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CAPÍTULO I MOVIMIENTO CIRCULAR
LO QUE APRENDEREMOS
▪ El movimiento de objetos que se mueven en círculo en vez de en línea recta se puede
describir usando coordenadas basadas en radio y ángulo, en vez de coordenadas
cartesianas.
▪ Hay una relación entre movimiento lineal y movimiento circular.
▪ El movimiento circular se puede describir en términos de la coordenada angular, la
frecuencia angular y el periodo.
▪ Un objeto sujeto a movimiento circular puede tener velocidad angular y aceleración
angular.
1.1 MOVIMIENTO CIRCULAR
La primera ley de Newton nos dice que todos los cuerpos que se mueven en línea recta, con
velocidad constante, mantendrán inalterada su velocidad a menos que actúe sobre ellos una
fuerza externa. La velocidad de un cuerpo es una cantidad vectorial definida por su rapidez
y dirección. Igual que se requiere una fuerza resultante para cambiar su rapidez, se tiene que
aplicar una fuerza resultante para cambiar su dirección. Siempre que esa fuerza actúa en una
dirección diferente de la dirección original del movimiento, provoca un cambio en la trayectoria
de la partícula en movimiento.
El movimiento más sencillo en dos dimensiones se produce cuando una fuerza externa
constante actúa siempre formando ángulos rectos con respecto a la trayectoria del cuerpo
o la partícula en movimiento. En este caso la fuerza resultante producirá una aceleración
que altera tan sólo la dirección del movimiento, manteniéndose la rapidez constante.
Este tipo de movimiento sencillo se conoce como movimiento circular.
Fig. 1.1 Un movimiento circular es aquel donde la unión de las sucesivas posiciones de un cuerpo a lo
largo del tiempo genera una curva en la que todos sus puntos se encuentran a la misma distancia de un mismo
punto llamado centro.
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El movimiento circular, también llamado circunferencial, es el que se basa en un eje de
giro y radio constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia. Un cuerpo describe
un movimiento circular cuando gira alrededor de un punto fijo central llamado eje de rotación.
Este movimiento se efectúa en un mismo plano y es el movimiento más simple en dos
dimensiones, se define como aquel que efectúa un cuerpo que recorre arcos de
circunferencia iguales en tiempos iguales. Esto es la magnitud de la velocidad permanece
constante.
En el movimiento circular el origen del sistema de referencia se encuentra en el centro de la
trayectoria circular. Es conveniente resaltar que las trayectorias de éstas son circunferencias
concéntricas de longitud diferente y de radio igual a la distancia entre la partícula considerada
y el eje de rotación.
Podemos describir el movimiento circular como la tasa de cambio de posición con el
tiempo. Entonces, la rapidez y velocidad angular también implican una tasa de cambio de
posición con el tiempo, que se expresa con un cambio angular.
Podemos definir un ángulo como la abertura comprendida entre dos radios, que limitan
un arco de circunferencia. El ángulo 𝜃 comúnmente se mide en sentido contrario a las
manecillas del reloj, a partir del eje 𝑥 positivo.
Fig. 1.2 Un ángulo es una porción indefinida de plano limitada por dos líneas o lados que parten de un
mismo punto y cuya abertura puede medirse en grados.
Algo similar al desplazamiento lineal es el desplazamiento angular, cuya magnitud es,
∆𝜃 = 𝜃 − 𝜃𝑜
Una unidad que se usa comúnmente para expresar el desplazamiento angular es el
grado (º).
Hay 360º en un círculo completo o revolución. Es importante relacionar la descripción angular
del movimiento circular con la descripción orbital o tangencial, es decir, relacionar el
desplazamiento angular con la longitud de arco (𝑠).
La longitud de arco es la distancia recorrida a lo largo de la trayectoria circular, y se dice
que el ángulo 𝜽 subtiende o define la longitud de arco. Una unidad muy conveniente para
relacionar el ángulo con la longitud de arco es el radián (ver figura 1.3).
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Un radián representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya
longitud es igual a la del radio, su símbolo o unidad en el Sistema Internacional de
Unidades es el radian rad. Un ángulo en radianes es el cociente de dos longitudes.
Esto significa que una medida en radianes es un número adimensional y no tiene unidades.
El ángulo (𝜃) en radianes está dado por la razón de la longitud de arco (𝑠) y el radio (𝑟),
es decir,
𝜃 =𝑠
𝑟 (1.1)
Cuando 𝑠 = 𝑟, el ángulo (𝜃) es igual a un radián. Despejando la longitud de arco y el radio de
la ecuación 1.1 tenemos,
𝑠 = 𝑟 𝜃 (1.2)
Despejando el radio (𝑟),
𝑟 =𝑠
𝜃 (1.3)
Para obtener una relación entre radianes y grados, consideramos la distancia total en torno a un
círculo completo (360°). En este caso, 𝑠 = 2𝜋𝑟 (la circunferencia), y hay un total de,
𝜃 =𝑠
𝑟=
2𝜋 𝑟
𝑟= 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑒𝑛 360𝑜
Es decir, una revolución o vuelta completa sería,
2𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 360𝑜 = 1 𝑟𝑒𝑣
Por lo cual, un objeto o partícula que da una revolución completa 1 rev ha girado 360º
o 2𝜋 radianes. Esta relación nos sirve para convertir fácilmente ángulos comunes. Así, al dividir
ambos lados de esta relación entre 2𝜋, tenemos,
1 𝑟𝑎𝑑 =360𝑜
2𝜋=
180𝑜
𝜋= 57.3𝑜
Un grado puede dividirse en unidades más pequeñas, los minutos (1 grado = 60 minutos)
y los segundos (1 minuto = 60 segundos). Tales divisiones no tienen nada que ver con unidades
de tiempo.
Fig. 1.3 Un ángulo (𝜃) subtiende una longitud de arco (𝑠). Cuando 𝑠 = 𝑟, el ángulo que subtiende a la
longitud de arco se define como [1 𝑟𝑎𝑑].
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1.1 Ejercicio en Clase
Define los siguientes conceptos:
Aceleración
Ángulo
Circunferencial
Fuerza
Frecuencia
Longitud de Arco
Movimiento
Periodo
Trayectoria
Radian
Radio
Velocidad
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1.2 Ejercicio en Clase
Una espectadora parada en el centro de una pista circular de atletismo observa a un
corredor que inicia una carrera de práctica 256 m al este de su propia posición. El atleta
corre por el mismo carril hasta la meta, la cual está situada directamente al norte de la
posición de la observadora. ¿Qué distancia correrá?
El desplazamiento angular es el arco de la circunferencia recorrido por la masa puntual
en su trayectoria circular, medido en radianes (ver figura 4).
Fig. 1.4 El desplazamiento angular 𝜃 se indica mediante la parte sombreada del disco.
El desplazamiento angular es el mismo de C-D que de A-B en un cuerpo rígido.
La porción entre la distancia de arco (𝑠) y el radio (𝑟) es una unidad de longitud dividida por
una unidad de longitud (ver figura 1.5), como se mencionó anteriormente, las unidades se
cancelan y el radian es una cantidad adimensional.
Fig. 1.5 Medida del desplazamiento angular y una comparación de unidades.
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En la Tabla 1 se muestran los ángulos en radianes en términos de 𝜋 por conveniencia.
Tabla 1. Valor de grados en radianes.
Grados Radianes
360° 2𝜋 180° 𝜋 90° 𝜋/2 60° 𝜋/3
57.3° 1 45° 𝜋/4 30° 𝜋/6
El movimiento circular uniforme se produce cuando un cuerpo o partícula con velocidad
angular constante describe ángulos iguales en tiempos iguales.
El origen de este movimiento se debe a una fuerza constante, cuya dirección es perpendicular
a la trayectoria de la partícula y produce una aceleración que afectara sólo a la dirección del
movimiento sin modificar la magnitud de la velocidad, es decir, la rapidez que lleva el cuerpo.
Por lo tanto, en un movimiento circular uniforme el vector velocidad mantiene constante su
magnitud, pero no su dirección, toda vez que ésta siempre se conserva tangente a la trayectoria
del cuerpo. El movimiento circular uniforme es un movimiento en el cual la velocidad no
cambia, únicamente hay un cambio en la dirección.
Un ejemplo del movimiento circular uniforme consiste en dar vueltas en una trayectoria circular
a una piedra atada a un cordel. Mientras la piedra gira con velocidad constante, la fuerza hacia
el centro que se origina por la tensión en el cordel cambia constantemente la dirección de la
piedra, haciendo que ésta se mueva en una trayectoria circular. Si el cordel se rompiera, la piedra
saldría disparada en una dirección tangencial, o sea perpendicular al radio de su trayectoria
circular.
Cuando la velocidad angular (𝝎) de un cuerpo no es constante, podemos determinar la
velocidad angular media (𝝎𝒎) conociendo su velocidad angular inicial (𝝎𝒐) y su velocidad
angular final (𝝎𝒇). Donde 𝜔𝑚 tiene unidades de rad/s.
𝜔𝑚 =𝜔𝑓 − 𝜔𝑜
2 (1.4)
La velocidad angular promedio representa el cociente entre la magnitud del desplazamiento
angular de un cuerpo y el tiempo total que tarda en efectuarlo,
𝜔 =∆𝜃
∆𝑡=
𝜃𝑓 − 𝜃𝑜
𝑡𝑓 − 𝑡𝑜= [
𝑟𝑎𝑑
𝑠] (1.5)
La velocidad angular instantánea se obtiene considerando un intervalo de tiempo muy
pequeño, es decir cuando ∆𝒕 se aproxima a cero. Como en el caso lineal, la velocidad angular
es constante, si tomamos 𝜃𝑜 y 𝑡𝑜 como cero,
𝜔 =𝜃
𝑡= [
𝑟𝑎𝑑
𝑠] (1.6)
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Despejando 𝜃,
𝜃 = 𝜔 𝑡 =𝜔𝑓 + 𝜔0
2 𝑡 (1.7)
Esta ecuación también es similar a una ecuación deducida para el movimiento lineal.
1.3 Ejercicio en Clase
Las ruedas de una bicicleta tienen un radio de 𝟑𝟑. 𝟎 𝒄𝒎. La bicicleta viaja con una
velocidad de 𝟔. 𝟓 𝒎/𝒔. ¿Cuál es la velocidad angular del neumático delantero?
La velocidad angular (𝝎) también se puede determinar si sabemos el tiempo que tarda en
dar una vuelta completa, es decir, la velocidad angular en términos del periodo y la frecuencia,
𝜔 =2𝜋
𝑇 (1.8)
El periodo (𝑻) se define como el tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta completa
o en completar un ciclo, sus unidades pueden ser [𝑠] o [𝑠
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜].
La frecuencia (𝒇) es el número de vueltas, revoluciones o ciclos que efectúa un cuerpo en
un segundo, sus unidades son [𝐻𝑧] o [𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
𝑠] .
Si un cuerpo gira a una frecuencia de tres revoluciones por segundo, entonces el periodo de cada
revolución es 1
3𝑠. El periodo equivale al inverso de la frecuencia y la frecuencia al inverso
del periodo,
𝑇 =1
𝑓= [
𝑠
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜] (1.9)
𝑓 =1
𝑇= [
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
𝑠] (1.10)
Así, en general, la frecuencia 𝑓 está relacionada con la velocidad angular mediante,
𝑓 =𝜔
2𝜋 (1.11)
Despejando la velocidad angular obtenemos,
𝜔 = 2𝜋 𝑓 (1.12)
15
Otra unidad que con frecuencia se utiliza para describir velocidad angular son las
revoluciones por minuto rpm; Un ejemplo serían los discos compactos (CD) que giran a una
velocidad de 200-500 rpm (la velocidad varía dependiendo la ubicación de la pista). Esta unidad
no estándar de revoluciones por minuto se puede convertir fácilmente en radianes por segundo,
1 𝑟𝑝𝑚 =2𝜋
60 [𝑟𝑎𝑑
𝑠] = 0.104
𝑟𝑎𝑑
𝑠
Es decir, para convertir de rpm a rad/s hay que multiplicar las rpm por 0.104.
Por ejemplo, un CD gira a 200 rpm que equivalen a 20.94 rad/s, y 500 rpm a 52.35 rad/s.
El rango de velocidad del CD es de 20.94-52.35 rad/s.
El movimiento circular uniformemente acelerado se presenta cuando un objeto o partícula con
trayectoria circular aumenta o disminuye su velocidad angular en forma constante (cambio de
velocidad) en cada unidad de tiempo; por lo que su aceleración angular permanece constante.
Cuando en el movimiento circular la velocidad no permanece constante, decimos que sufre
una aceleración angular. Cuando la velocidad angular varía es conveniente determinar cuál es
su aceleración angular media (𝛼𝑚), la cual se define como,
𝛼𝑚 =𝜔𝑓 − 𝜔𝑜
𝑡𝑓 − 𝑡𝑜=
∆𝜔
∆𝑡= [
𝑟𝑎𝑑
𝑠2] (1.13)
Cuando los intervalos de tiempo en el movimiento acelerado de un cuerpo que sigue una
trayectoria circular son cada vez más pequeños, la aceleración angular media se aproxima a una
aceleración angular instantánea. Cuando el intervalo de tiempo es tan pequeño que tiende a cero,
la aceleración angular del cuerpo será la instantánea.
Podemos observar que la aceleración media depende de un cambio en el vector velocidad.
Debido a que la velocidad es un vector, hay dos formas en las que puede producirse una
aceleración, por un cambio en la magnitud de la velocidad y por un cambio en su dirección.
1.2 ACELERACIÓN CENTRÍPETA
La aceleración es perpendicular a la trayectoria y siempre apunta hacia el centro del
círculo, una aceleración de esta naturaleza es la centrípeta,
𝑎𝑐 =𝑣2
𝑟 (1.14)
La aceleración centrípeta o aceleración normal tiene como unidades [𝒎
𝒔𝟐] y es una magnitud
relacionada con el cambio de dirección de la velocidad de una partícula en movimiento
cuando recorre una trayectoria curvilínea. Dada una trayectoria curvilínea la aceleración
centrípeta va dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria. El término centrípeta
significa que la aceleración siempre se dirige hacia el centro.
16
Como la velocidad tangencial (𝑣𝑇) está relacionada con la velocidad angular (𝜔) por medio de
𝑣𝑇 = 𝑟 𝜔 (1.15)
Podemos escribir la aceleración centrípeta en términos de la velocidad angular,
𝑎𝑐 =𝑟2𝜔2
𝑟= 𝑟𝜔2 (1.16)
Donde 𝑟 es el radio y 𝜔 la velocidad angular. Cuando una partícula se mueve en una trayectoria
curvilínea, aunque se mueva con velocidad constante su velocidad cambia de dirección, ya que
esta es un vector tangente a la trayectoria y en las curvas, dicha tangente no es constante.
1.4 Ejercicio en Clase
Completa las siguientes tablas:
[𝐫𝐩𝐦] [𝐫𝐚𝐝/𝐬] 10
20
30
40
50
100
150
200
300
400
500
800
1000
2000
5000
[𝐫𝐚𝐝/𝐬] [𝐫𝐩𝐦] 0.104
5.7
10.4
28.7
56.3
100.2
178.6
194.1
260.3
416.9
689.1
700.6
819.7
905.6
1000
La aceleración centrípeta, a diferencia de la aceleración centrífuga, está provocada por una
fuerza real requerida para que cualquier observador inercial pueda dar cuenta de cómo se curva
la trayectoria de una partícula que no realiza un movimiento rectilíneo. La aceleración
centrípeta también es llamada aceleración radial y se define como,
𝑎𝑟 = 𝜔2 𝑟 (1.17)
Las unidades de la aceleración radial son [𝑚
𝑠2]. La aceleración centrípeta es la componente del
vector aceleración en la dirección centrípeta. Habitualmente, se describe el movimiento de un
cuerpo o partícula en un círculo con velocidad constante a partir del tiempo requerido
para realizar una vuelta completa, esta magnitud se denomina periodo de rotación (𝑻).
17
1.5 Ejercicio en Clase
Calcula la aceleración centrípeta debida a la rotación de la Tierra.
Durante un periodo de rotación, el cuerpo o partícula se mueve una distancia 2𝜋𝑟, por lo que su
velocidad está relacionada con 𝑟 y con 𝑇 mediante,
𝑣 =2𝜋𝑟
𝑇 (1.18)
Despejando 𝑇,
𝑇 =2𝜋𝑟
𝑣 (1.19)
La aceleración tangencial es el producto de la aceleración angular y el radio del círculo.
Es decir, la aceleración tangencial es un vector que está sobre la tangente del punto de la
circunferencia, y cuyo sentido es igual al de giro, se define como,
𝑎𝑇 = 𝛼 𝑟 (1.20)
Las unidades de la aceleración tangencial son [𝑚/𝑠2]. Podemos concluir que en el
movimiento circular la aceleración centrípeta está dirigida hacia el centro del círculo, tiene
una magnitud (𝑣2/𝑟) o (𝑟𝜔2); y es mayor cuanto más nos alejemos del eje de rotación.
1.6 Ejercicio en Clase
En el parque de diversiones un carrusel a su velocidad de operación constante efectúa
una rotación completa en 𝟒𝟓 𝒔. Dos niños están montados en caballos, uno a 𝟑. 𝟎 𝒎 del
centro del carrusel, y el otro, a 𝟔. 𝟎 𝒎. Calcule a) la velocidad angular y b) la velocidad
tangencial de cada niño.
18
Para que haya una aceleración, debe de haber una fuerza neta. Por lo tanto, para que haya
una aceleración centrípeta (hacia adentro), debe haber una fuerza centrípeta (fuerza neta
hacia adentro) que sería la fuerza dirigida hacia el centro necesaria para mantener el
movimiento circular.
De acuerdo con la segunda ley de Newton del movimiento (𝐹 = 𝑚�̅�), la magnitud de esta fuerza
debe ser igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta,
𝐹𝑐 = 𝑚𝑎𝑐 (1.21)
Sustituyendo la aceleración centrípeta en 𝑎𝑐,
𝐹𝑐 = 𝑚𝑣2
𝑟 (1.22)
Donde 𝑚 es la masa del cuerpo u objeto que se mueve con una velocidad 𝑣, en una trayectoria
circular de radio 𝑟. La fuerza hacia el centro 𝐹𝑐 es directamente proporcional al cuadrado de la
velocidad del objeto en movimiento. Esto significa que, para incrementar la velocidad lineal
al doble de su valor original se requiere una fuerza cuatro veces mayor que la original.
Razonando de igual forma se demuestra que, si se duplica la masa del objeto o se reduce a la
mitad el radio de giro, será necesaria una fuerza centrípeta dos veces mayor que la original.
Para problemas en los que la velocidad rotacional se expresa en términos de la frecuencia,
la fuerza centrípeta se puede determinar expresando la velocidad lineal en términos de la
frecuencia de rotación,
𝐹𝑐 = 𝑚𝑣2
𝑟= 4𝜋2𝑓2𝑚 𝑟 (1.23)
Una fuerza neta que se aplica con un ángulo respecto a la dirección del movimiento de un cuerpo
produce cambios en la magnitud y la dirección de la velocidad.
Sin embargo, cuando una fuerza neta de magnitud constante se aplica continuamente con un
ángulo de 90º respecto a la dirección del movimiento (como la fuerza centrípeta), sólo cambia
la dirección de la velocidad.
Esto ocurre porque no hay componente de fuerza paralelo a la velocidad. Además, dado que la
fuerza centrípeta siempre es perpendicular a la dirección del movimiento, esta fuerza no efectúa
trabajo. Por lo tanto, por el teorema Trabajo-Energía, una fuerza centrípeta no modifica la
energía cinética, ni la velocidad del objeto o cuerpo.
La fuerza centrípeta en la forma de la ecuación (1.23) no es una nueva fuerza individual, sino
más bien la causa de la aceleración centrípeta producida por una fuerza real o por la suma
vectorial de varias fuerzas. La fuerza que produce la aceleración centrípeta para los satélites
es la gravedad.
Otra fuerza que a menudo produce aceleración centrípeta es la fricción. Suponga que un
automóvil viaja por una curva circular horizontal. Para dar vuelta, el vehículo debe tener una
aceleración centrípeta, la cual es producto de la fuerza de fricción entre los neumáticos
y la carretera. Sin embargo, esta fricción tiene un valor límite máximo (ver figura 1.6).
19
Fig. 1.6 El peralte de las curvas también ayuda a los automóviles a dar vueltas sin derraparse.
Si la velocidad del automóvil es lo bastante alta o la curva es muy cerrada, la fricción no
bastará para proporcionar la aceleración centrípeta necesaria y el automóvil derrapará
hacia afuera desde el centro de la curva. Si el automóvil pasa por un área mojada o cubierta
de hielo, podría reducirse la fricción entre los neumáticos y la carretera, y el automóvil
derraparía aún si viaja con menor velocidad. El peralte de las curvas ayuda a los automóviles
a tomar las curvas en la carretera sin derraparse de manera que la parte externa de la
carretera (la que está más alejada del centro de curvatura) es más alta que la parte interna.
Mientras las llantas del automóvil giren sin derrapar, no habrá movimiento relativo entre la parte
inferior de las llantas y el camino, por lo cual la fuerza que actúa es la fricción estática. Si el
automóvil patina, entonces la fuerza más pequeña de fricción cinética es la que actúa mientras
la parte inferior del neumático resbala sobre el pavimento.
El peralte modifica el ángulo y magnitud de la fuerza normal (�⃗⃗� 𝑵) por lo que ésta tiene
una componente horizontal (�⃗⃗� 𝒙) dirigida hacia el centro de curvatura (en la dirección
radial). Entonces, no depende solamente de la fricción para mantener el automóvil en una
trayectoria circular cuando entra a la curvatura; esta componente de la fuerza normal ayuda a
que el automóvil no se salga de la trayectoria curva (ver figura 1.7). Cuando un automóvil toma
una curva con velocidad constante en una carretera sin peralte, la aceleración del automóvil se
dirige hacia el centro de la trayectoria circular. En la figura 1.7 observamos las componentes de
un automóvil tomando una curva con peralte.
Fig. 1.7 Diagrama de fuerzas de un automóvil tomando una curva a velocidad constante.
20
Lectura
LA CENTRÍFUGA: SEPARACIÓN DE COMPONENTES DE LA SANGRE
La centrífuga es una máquina giratoria que sirve para separar partículas de diferente tamaño
y densidad suspendidas en un líquido (o un gas). Por ejemplo, la crema se separa de la leche
por centrifugado, y los componentes de la sangre se separan con centrífugas en los
laboratorios clínicos. Hay un proceso mucho más lento para separar los componentes de la
sangre, los cuales al final quedan asentados en capas en el fondo de un tubo vertical, un
proceso llamado sedimentación, bajo la sola influencia de la gravedad normal. La resistencia
viscosa que el plasma ejerce sobre las partículas es similar (aunque mucho mayor) a la
resistencia del aire que determina la velocidad terminal de los objetos que caen. Los glóbulos
rojos se asientan en la capa inferior del tubo, pues alcanzan una mayor velocidad terminal que
los glóbulos blancos y las plaquetas, así que llegan al fondo antes. Los glóbulos blancos
asentados en la siguiente capa y las plaquetas en la superior. Sin embargo, la sedimentación
gravitacional por lo general es un proceso muy lento. La tasa de sedimentación de eritrocitos
(TSE) tiene utilidad en el diagnóstico; sin embargo, el personal clínico no desea esperar
mucho tiempo para determinar el volumen fraccionario de glóbulos rojos (eritrocitos) en la
sangre o para separarlo del plasma. Los tubos de centrífuga se ponen a girar horizontalmente.
La resistencia del fluido medio sobre las partículas suministra la aceleración centrípeta que
las mantiene moviéndose lentamente en círculos que se amplían conforme se mueven hacia
el fondo del tubo. El fondo mismo debe ejercer una fuerza considerable sobre el contenido en
general, y ser lo bastante resistente como para no romperse. Las centrífugas de laboratorio
normalmente operan a rapideces suficientes como para producir aceleraciones centrípetas
miles de veces mayores que g. Puesto que el principio de la centrífuga se basa en la
aceleración centrípeta, tal vez “centrípuga” sería un nombre más descriptivo.
1. ¿Cuál es el principio físico de la centrífuga?
2. ¿Qué es la sedimentación gravitacional?
3. ¿Cómo influye la gravedad en el proceso de centrifugado?
4. ¿ Sería correcto llamar centrípugas a las centrífugas?
5. ¿En tu vida cotidiana donde más se usa el centrifugado?
21
En la figura 1.8 observamos: a) Un automóvil que toma una curva con velocidad constante en
una carretera con peralte. La aceleración del automóvil es hacia el centro de la trayectoria
circular (izquierda). �⃗⃗� es la fuerza normal total que actúa sobre las cuatro ruedas. El automóvil
circula justo a la velocidad correcta para que la fuerza de fricción sea cero. b) Resolución de la
fuerza normal en sus componentes (x, y). c) Diagrama de cuerpo libre del automóvil con la
fuerza normal representada por sus componentes; la componente radial de la fuerza normal Nx.
Fig. 1.8 Diagrama de fuerzas de un automóvil que toma una curva con velocidad constante en una
carretera con peralte.
Las ecuaciones empleadas para el movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
son las mismas que se utilizan para el rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) con
las siguientes variantes:
1. En lugar de desplazamiento en metros hablaremos de desplazamiento angular en
radianes ( en lugar de d).
2. La velocidad en m/s se dará como velocidad angular en rad/s (𝜔 en lugar de v).
3. La aceleración en 𝑚
𝑠2 se dará como aceleración angular en rad/s2 (α en lugar de �̅�).
Las ecuaciones serán:
a) Para calcular los desplazamientos angulares:
𝜃 = 𝜔𝑜𝑡 +𝛼𝑡2
2 (1.24)
𝜃 =𝜔𝑓
2 − 𝜔𝑜2
2𝛼 (1.25)
𝜃 =𝜔𝑓 − 𝜔𝑜
2𝑡 (1.26)
Si el cuerpo parte del reposo su velocidad angular inicial es cero, y las tres ecuaciones anteriores
se reducen a,
𝜃 =𝛼𝑡2
2 (1.27)
22
𝜃 =𝜔𝑓
2
2 𝛼 (1.28)
𝜃 =𝜔𝑓
2𝑡 (1.29)
b) Para calcular las velocidades angulares finales:
𝜔𝑓 = 𝜔𝑜 + 𝛼𝑡 (1.30)
𝜔𝑓2 = 𝜔𝑜
2 + 2 𝛼 𝜃 (1.31)
Si el cuerpo parte del reposo su velocidad inicial es cero, y las dos ecuaciones anteriores
se reducen a,
𝜔𝑓 = 𝛼𝑡 (1.32)
𝜔𝑓2 = 2 𝛼 𝜃 (1.33)
A pesar de las diferencias evidentes en su trayectoria, hay ciertas similitudes entre
el movimiento rectilíneo y el circular que deben mencionarse: resaltan las similitudes
y equivalencias de conceptos, así como un paralelismo en las magnitudes utilizadas para
describirlos. Existe otro tipo de movimiento cuando un cuerpo gira alrededor de un eje.
Por ejemplo, las ruedas, los ejes motrices y los volantes utilizan los efectos rotacionales para
efectuar su trabajo. En tales casos, a menudo es necesario medir la cantidad de rotación,
la cual, como ya mencionamos, se denomina desplazamiento angular.
Un satélite terrestre no es sino un proyectil que cae alrededor de Tierra. En un experimento
ficticio, suponemos a una persona que está sobre la Tierra y lanza pelotas de béisbol
a velocidades cada vez mayores (ver figura 1.9). Cuanta más velocidad se le imparte a la pelota,
la trayectoria curva es más larga hasta el suelo. Como la superficie de la Tierra es curva,
podemos imaginar que si la velocidad fuera lo suficientemente grande al caer la pelota
simplemente seguiría la superficie curva alrededor de la Tierra.
Es evidente que este ejemplo tendría dos problemas; primero, que la superficie de la Tierra no
es uniforme y que definitivamente habría obstrucciones; segundo, que debido a la gran
aceleración que habría cerca de la superficie terrestre, la velocidad tendría que ser
excepcionalmente grande (≈ 29000 𝑘𝑚/ℎ) y por lo cual la pelota se quemaría quedando
reducida a cenizas debido a la fricción atmosférica. Actualmente hay un gran número de satélites
colocados en órbita alrededor de la Tierra en altitudes donde la resistencia y la velocidad
excesiva no constituyen un problema, algunos se mueven en órbitas que son casi circulares.
23
Fig. 1.9 Una bola de béisbol lanzada horizontalmente con velocidad cada vez más grande tarde o
temprano se convertiría en un satélite al caer alrededor de la Tierra.
Un satélite es cualquier objeto que orbita o gira alrededor de otro objeto. Por ejemplo,
la Luna es un satélite de Tierra, y la Tierra es un satélite del Sol. Si se colocara una estación
espacial en una órbita circular alrededor de la Tierra, ni el vehículo espacial, ni los pasajeros
quedarían ingrávidos, por el contrario, la fuerza gravitacional (peso) es la que proporciona la
fuerza centrípeta necesaria para el movimiento circular.
Consideramos un satélite de masa 𝑚 que se mueve alrededor de la Tierra en una órbita circular
de radio 𝑟 (ver figura 10), la fuerza centrípeta se determina a partir de la ley de gravitación de
Newton,
𝑚𝑣2
𝑟= 𝐺
𝑚𝑚𝑇
𝑟2 (1.34)
Simplificando y resolviendo para la velocidad (𝑣) tenemos,
𝑣 = √𝐺𝑚𝑇
𝑟 (1.35)
Un satélite solo puede tener una velocidad 𝑣 para permanecer en una órbita de radio fijo 𝑟.
Si cambia la velocidad, lo hace también el radio de la órbita. Para un gran número de satélites,
el periodo 𝑇, o sea el tiempo que le lleva al satélite dar una revolución completa en su órbita,
es muy importante.
24
Fig. 1.10 La fuerza centrípeta necesaria para el movimiento circular se origina por la fuerza
gravitacional de atracción. Por lo tanto, un satélite sólo puede tener una velocidad (𝑣) que le permita permanecer
en una órbita de radio fijo.
Por ejemplo, los satélites de comunicaciones actúan como estaciones retransmisoras en el
espacio. La gente los usa para enviar mensajes desde una parte del mundo a otra. Estos mensajes
pueden ser llamadas telefónicas, imágenes de TV o aún conexiones de Internet. Estos satélites
de comunicación deben rodear la Tierra en un periodo igual al que emplea el planeta en dar un
giro, es decir, un día.
Como se observa en la figura 1.11, estos satélites permanecen en un punto accesible en una
latitud constante, lo que permite una comunicación directa entre dos puntos de la Tierra.
Fig. 1.11 Los satélites geocéntricos están ubicados de modo que puedan moverse alrededor de la Tierra
en órbitas ecuatoriales con un periodo igual al de la Tierra (un día).
Son necesarios tres satélites de éstos para permitir la comunicación por línea directa entre todos
los puntos de la Tierra. La relación entre el periodo (𝑇) de un satélite y el radio (𝑟) de su órbita
se obtiene si suponemos una órbita circular y la velocidad del satélite,
𝑣 =2𝜋𝑟
𝑇= √
𝐺𝑚𝑇
𝑟 (1.36)
25
Al resolver para 𝑇 obtenemos,
𝑇2 = (4𝜋2
𝐺𝑚𝑇) 𝑟3 (1.37)
El cuadrado del periodo de una revolución es proporcional al cubo del radio de la órbita.
Cuando la inclinación del plano de la órbita del satélite es ecuatorial (inclinación ≠ 0), el satélite
parece oscilar del norte al sur, por encima del ecuador del planeta. Cuando la órbita del satélite
es elíptica (excentricidad ≠ 0), el satélite parece oscilar de Este a Oeste. Cuando la inclinación
de la órbita del satélite y la excentricidad son diferentes de 0, el satélite se mueve a través del
cielo produciendo una figura en forma de ocho, llamada analema.
La velocidad orbital es la velocidad que debe tener un planeta, satélite (natural o artificial)
o similar para que su órbita sea estable. Por ejemplo, la velocidad orbital de los satélites
geoestacionarios (órbita circular) que circundan la Tierra es de aproximadamente 10900 𝑘𝑚/ℎ.
Si el objeto en órbita circular incrementara su velocidad, pasaría a una órbita elíptica, con una
velocidad que estaría determinada en cada punto por las leyes de Kepler sobre el movimiento
planetario. Si se moviera aún más rápido, podría alcanzar la velocidad de escape y describiría
una órbita parabólica; por encima de dicha velocidad, la trayectoria u órbita sería hiperbólica.
Solo en el caso de la órbita circular, la velocidad orbital no es constante, sino que varía a lo largo
de la órbita, siendo tanto menor cuanto más alejado está el cuerpo que orbita del astro que le
atrae. En el caso del movimiento de los planetas cabe destacar tres valores significativos:
• Velocidad orbital mínima, es la que corresponde al afelio.
• Velocidad orbital máxima, es la que corresponde al perihelio.
• Velocidad orbital media, durante un recorrido completo de la órbita.
Las velocidades orbitales se expresan en [𝑘𝑚/𝑠] o [𝑘𝑚/ℎ], suele emplearse el valor de
velocidad orbital media. Así, el planeta Tierra tiene una velocidad orbital media de 29.78 𝑘𝑚/𝑠.
Los satélites de comunicaciones se encuentran en órbitas geoestacionarias o geosíncronas
(de geo = Tierra + síncrono = que se mueve a la misma velocidad). Eso significa que el satélite
permanece siempre sobre un punto de la Tierra. El área sobre la Tierra que el satélite puede ver,
es llamada "footprint" (huella) del satélite.
Fig. 1.12 Satélite de detección u observación remota.
26
Los satélites de detección remota, estudian la superficie terrestre. Desde una altura de hasta
480 𝑘𝑚, estos satélites utilizan potentes cámaras para explorar el planeta. El satélite entonces
reenvía datos medibles acerca del ambiente global. Los instrumentos de dichos satélites de
detección remota estudian la cubierta vegetal, la composición química y la superficie del agua
terrestre, entre otras muchas características.
Las personas que trabajan en la agricultura, pesca, minería y muchas otras industrias encuentran
muy útil esta información. También podemos usar los satélites de detección remota para estudiar
cambios en la superficie terrestre causados por el hombre. Ejemplos de este tipo incluye todas
las zonas de la Tierra (bosques, desiertos, tundras, lagos, ríos, etc.).
Fig. 1.13 Imágenes tomadas por satélites de detección remota. a) Incendio forestal en Borneo,
b) Bahía de Pomeranian, c)Vista nocturna de Australia, d) Nevada en Reino Unido y e) Inundación en Ayutthaya
Tailandia.
Un satélite meteorológico es un tipo de satélite artificial que se utiliza principalmente para
supervisar el tiempo atmosférico y el clima de la Tierra. Los satélites pueden seguir una
órbita polar, cubriendo la Tierra entera asincrónicamente, o geoestacionaria, permaneciendo
sobre un mismo punto en el ecuador del planeta.
Los satélites meteorológicos pueden captar más fenómenos que tan solo las nubes; pueden
recoger información sobre el medio ambiente como las luces de las ciudades, incendios,
la contaminación, auroras, tormentas de arena y polvo, corrientes del océano, etc.
Las imágenes obtenidas por los satélites meteorológicos han ayudado a observar la nube de
cenizas del Monte Saint Helens y la actividad de otros volcanes como el Monte Etna. El humo
de los incendios del oeste de Estados Unidos como Colorado y Utah también ha sido observado.
Fig. 1.14 Satélite Meteorológico.
a) b) c) d) e)
27
Otros satélites pueden detectar cambios en la vegetación de la Tierra, el estado del mar, el color
del océano y las zonas nevadas. El fenómeno de El Niño y sus efectos también son registrados
diariamente en imágenes de satélite. El agujero de ozono de la Antártida es dibujado a partir de
los datos obtenidos por los satélites meteorológicos. De forma agrupada, los satélites
meteorológicos de China, Estados Unidos, Europa, India, Japón y Rusia proporcionan una
observación casi continua del estado global de la atmósfera.
El Sistema de Posicionamiento Global, más conocido por sus siglas en inglés, GPS (Global
Positioning System), es un sistema que permite determinar en toda la Tierra la posición de un
objeto con una precisión de hasta centímetros, aunque lo habitual son unos pocos metros de
precisión.
El sistema fue desarrollado, instalado y empleado por el Departamento de Defensa de los
Estados Unidos (ver figura 1.15). Para determinar las posiciones en el globo, el sistema GPS
ocupa 24 satélites y utiliza la trilateración (método matemático para determinar las posiciones
relativas de objetos usando la geometría de triángulos de forma análoga a la triangulación).
Fig. 1.15 Sistema de posicionamiento global GPS (Global Positioning System).
El GPS funciona mediante una red de 𝟐𝟒 satélites en órbita sobre el planeta Tierra
a 20200 𝑘𝑚 de altura, con trayectorias sincronizadas para cubrir toda la superficie de la Tierra.
Para determinar la posición, el receptor localiza automáticamente como mínimo tres satélites de
la red, de los que recibe unas señales indicando la identificación y la hora del reloj de cada uno
de ellos.
Con base en estas señales, el aparato sincroniza el reloj del GPS y calcula el tiempo que tardan
en llegar las señales al equipo, y de tal modo mide la distancia al satélite mediante el método de
trilateración inversa, el cual se basa en determinar la distancia de cada satélite al punto de
medición. Conocidas las distancias, se determina fácilmente la propia posición relativa respecto
a los satélites. Conociendo además las coordenadas o posición de cada uno de ellos por la señal
que emiten, se obtiene la posición absoluta o coordenadas reales del punto de medición.
También se consigue una exactitud extrema en el reloj del GPS, similar a la de los relojes
atómicos que lleva a bordo cada uno de los satélites. La antigua Unión Soviética construyó un
sistema similar llamado GLONASS, ahora gestionado por la Federación Rusa.
28
La Unión Europea desarrolló el sistema de navegación Galileo. En diciembre de 2016 la
Comisión Europea, propietaria del sistema, informó que el sistema de navegación Galileo
comenzó sus operaciones y que los satélites ya enviaban información de posicionamiento,
navegación y determinación de la hora a usuarios de todo el mundo. La República Popular China
implementó su propio sistema de navegación, el denominado BeiDou, que cuenta con 14
satélites en la actualidad. Para 2020, ya plenamente operativo deberá contar con 30 satélites.
Los satélites destinados a investigaciones científicas constituyen la familia más numerosa, si se
exceptúa la de los utilizados con fines militares. Esto sucede así por varias razones: en primer
lugar, el espacio que circunda la Tierra es poco conocido; desde muchos puntos de vista interesa
conocer la distribución de las radiaciones que abarcan toda la gama del espectro, desde los rayos
X a las ondas de radio, meteoritos, capas ionizadas, campos magnéticos de origen no sólo
terrestre, sino también solar e interplanetario, etc.
Fig. 1.16 Satélites de investigación científica.
Muchas de estas investigaciones se realizan en apoyo a determinadas aplicaciones prácticas.
Tal es el caso del estudio de los factores que pueden afectar al hombre en el espacio,
cuyo conocimiento es imprescindible para el establecimiento de estaciones orbitales tripuladas.
La denominación de científicas dadas a muchas misiones, es simplemente una cobertura de
programas cuyos objetivos son militares.
Los satélites comerciales funcionan en tres bandas de frecuencias, llamadas C, Ku y Ka.
La gran mayoría de emisiones de televisión por satélite se realizan en la banda Ku. Cada una de
las bandas utilizadas en los satélites se divide en canales. Para cada canal suele haber en el
satélite un repetidor, llamado transponder o transpondedor, que se ocupa de capturar la señal
ascendente y retransmitirla de nuevo hacia la Tierra en la frecuencia que le corresponde.
Tabla 2. Frecuencias utilizadas por satélites.
29
1.7 Ejercicio en Clase
Define los siguientes conceptos:
Detección remota
GPS
Imagen Satelital
Órbita
Órbita
Geosíncrona
Planeta
Satélite
Satélite
Geoestacionario
Satélite
Meteorológico
Velocidad Orbital
BeiDou
30
LO QUE HEMOS APRENDIDO • El movimiento más sencillo en dos dimensiones se
produce cuando una fuerza externa constante actúa
siempre formando ángulos rectos con respecto a la
trayectoria del cuerpo o la partícula en movimiento.
• El movimiento circular, también llamado
circunferencial, es el que se basa en un eje de giro y
radio constante, por lo cual la trayectoria es una
circunferencia.
• Podemos describir el movimiento circular como la tasa
de cambio de posición con el tiempo.
• Podemos definir un ángulo como la abertura
comprendida entre dos radios, que limitan un arco de
circunferencia.
• Una unidad que se usa comúnmente para expresar el
desplazamiento angular es el grado (º).
• La longitud de arco es la distancia recorrida a lo largo
de la trayectoria circular, y se dice que el ángulo
𝜃 subtiende o define la longitud de arco.
• Un radián representa el ángulo central en una
circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual
a la del radio, su símbolo o unidad en el Sistema
Internacional de Unidades es el radian rad.
𝜃 =𝑠
𝑟 (1.1)
• Cuando la velocidad angular (𝜔) de un cuerpo no es
constante, podemos determinar la velocidad angular
media (𝜔𝑚) conociendo su velocidad angular inicial
(𝜔𝑜) y su velocidad angular final (𝜔𝑓).
𝜔𝑚 =𝜔𝑓 − 𝜔𝑜
2 (1.4)
• La velocidad angular promedio representa el cociente
entre la magnitud del desplazamiento angular de un
cuerpo y el tiempo total que tarda en efectuarlo.
𝜔 =∆𝜃
∆𝑡=
𝜃𝑓 − 𝜃𝑜
𝑡𝑓 − 𝑡𝑜= [
𝑟𝑎𝑑
𝑠] (1.5)
• La velocidad angular (𝜔) también se puede determinar
si sabemos el tiempo que tarda en dar una vuelta
completa. 𝜔 =
2𝜋
𝑇 (1.8)
• Para convertir de rpm a rad/s hay que multiplicar las
rpm por 0.104. 1 𝑟𝑝𝑚 =2𝜋
60 [𝑟𝑎𝑑
𝑠] = 0.104
𝑟𝑎𝑑
𝑠
• Cuando en el movimiento circular la velocidad no
permanece constante, decimos que sufre una
aceleración angular.
𝛼𝑚 =𝜔𝑓 − 𝜔𝑜
𝑡𝑓 − 𝑡𝑜=
∆𝜔
∆𝑡= [
𝑟𝑎𝑑
𝑠2] (1.13)
• La aceleración es perpendicular a la trayectoria y
siempre apunta hacia el centro del círculo. 𝑎𝑐 =𝑣2
𝑟 (1.14)
• La aceleración centrípeta también es llamada
aceleración radial. 𝑎𝑟 = 𝜔2 𝑟 (1.17)
• El periodo rotación (𝑇) es el movimiento de un cuerpo
o partícula en un círculo con velocidad constante a
partir del tiempo requerido para realizar una vuelta
completa.
𝑇 =2𝜋𝑟
𝑣 (1.19)
• La aceleración tangencial es el producto de la
aceleración angular y el radio del círculo. 𝑎𝑇 = 𝛼 𝑟 (1.20)
• El peralte de las curvas ayuda a los automóviles a
tomar las curvas en la carretera sin derraparse.
31
Problema 1.1
El rotor de un helicóptero gira a una velocidad angular de 320 rpm. Exprese esta cantidad
en radianes por segundo.
𝑅 = 33.5 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Problema 1.2
La Tierra gira sobre su eje. ¿Cuál es su velocidad angular en rad/s?
𝑅 = 7.3 × 10−5 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Problema 1.3
Una centrifuga gira a 5400 rpm. a) Encuentre el periodo y la frecuencia del movimiento,
b) Si el radio de la centrífuga es de 14 cm, ¿Qué tan rápidamente se mueve un objeto que
está colocado en su borde externo?
a) 𝑅 = 90 𝑟𝑒𝑣/𝑠; 0.011 𝑠
b) 𝑅 = 79 𝑚/𝑠
Problema 1.4
Un niño viaja en su motocicleta con una velocidad de 13 m/s. Si el diámetro de la llanta
trasera es de 65 cm. ¿Cuál es la velocidad angular de la rueda trasera?
𝑅 = 40 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Problema 1.5
Una centrifuga de laboratorio opera con una velocidad rotacional de 12000 rpm.
a) ¿Qué magnitud tiene la aceleración centrípeta de un glóbulo rojo que está a una
distancia radial de 8 cm del eje de rotación de la centrifuga? b) Compara esa aceleración
con g.
a) 𝑅 = 1.24 × 105𝑚/𝑠2
b) 𝑅 = 1.26 × 104 𝑔 (12600 𝑔) Problema 1.6
Un DVD acelera uniformemente desde el reposo hasta una velocidad de 500 rpm en 3.5 s.
Calcule la aceleración angular del DVD a) durante este lapso, b) al término de este lapso,
y c) si el DVD se detiene uniformemente en 4.5 s, ¿Cuál será el valor de su aceleración
angular?
a) 𝑅 = 14.85 𝑟𝑎𝑑/𝑠2
b) 𝑅 = 0
c) 𝑅 = −11.6 𝑟𝑎𝑑/𝑠2
32
Problema 1.7
Un horno de microondas tiene un plato giratorio de 30 cm de diámetro. El plato acelera
uniformemente desde el reposo a razón de 0.87 rad/s2 durante 0.50 s, antes de llegar a
velocidad constante. a) ¿Cuántas revoluciones da el plato antes de alcanzar su velocidad
constante? b) Calcule la velocidad angular final del plato y la velocidad tangencial en su
borde.
a) 𝑅 = 0.015 𝑟𝑒𝑣
b) 𝑅 = 0.43 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ; 𝑅 = 0.065 𝑚/𝑠
Problema 1.8
Una rueda gira con una aceleración angular constante de 3.5 rad/s2. Si la velocidad angular
de la rueda es de 2 rad/s en t=0, a) ¿Cuál es el ángulo que gira la rueda entre t=0 y t=2 s,
b) ¿Cuál es la velocidad angular de la rueda en t=2 s?
a) 𝑅 = 1.75 𝑟𝑒𝑣
b) 𝑅 = 9 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Problema 1.9
Una bola de 4 kg gira en un círculo horizontal mediante una cuerda de 2 m de largo.
¿Cuál es la tensión en la cuerda si el periodo es de 0.5 s?
𝑅 = 1260 𝑁
Problema 1.10
Encuentre el ángulo de peralte requerido para una curva de 160 m de radio, si la curva
tiene que salvarse a una velocidad de 80 km/h sin necesidad de una fuerza de fricción.
𝑅 = 17.5°
Problema 1.11
Un punto sobre en el borde de un disco rotatorio de 8 m de radio se mueve hasta formar
un ángulo de 37º. Calcule la longitud del arco descrito por el punto.
𝑅 = 5.17 𝑚
Problema 1.12
Si la longitud de arco es de 6 ft y el radio de 10 ft, encuentre el desplazamiento angular en
radianes, grados y revoluciones.
𝑅 = 0.6 𝑟𝑎𝑑; 34.40; 0.0956 𝑟𝑒𝑣
Problema 1.13
Calcule la velocidad angular de un disco fonográfico de larga duración (33 1/3 rpm).
𝑅 = 3.48 𝑟𝑎𝑑/𝑠
33
Problema 1.14
Un volante incrementa su velocidad de rotación de 6 a 12 rev/s en 8 s. ¿Cuál es su
aceleración angular?
𝑅 = 4.71 𝑟𝑎𝑑/𝑠2
Problema 1.15
Una rueda tarda 0.75 s para pasar del reposo a una rotación de 210 rpm. a) ¿Cuál es la
aceleración angular de la rueda en ese tiempo, suponemos que la aceleración angular es
constante? b) ¿Cuántas revoluciones completa la rueda en ese intervalo de tiempo?
c) Halle las componentes tangencial y radial de la aceleración en un punto localizado
a 12 cm del eje de rotación, cuando la rueda gira a 180 rpm.
a) 𝑅 = 29.3 𝑟𝑎𝑑/𝑠2
b) 𝑅 = 1.31 𝑟𝑒𝑣
c) 𝑅 = 42.63 𝑚2/𝑠; 3.51 𝑚/𝑠2
Problema 1.16
La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 66 cm y da 40 rpm. a) ¿Cuál es su velocidad
angular? b) ¿Qué distancia lineal se desplazará la rueda?
a) 𝑅 = 4.19 𝑟𝑎𝑑/𝑠
b) 𝑅 = 82.93 𝑚 Problema 1.17
Calcule la aceleración de una partícula que se mueve en un círculo de radio 0.5 m en el
instante en que su velocidad angular es de 3 rad/s y su aceleración angular es de 4 rad/s2.
𝑅 = 4.92 𝑚/𝑠2
Problema 1.18
Un auto de prueba se desplaza a una velocidad constante de 10 m/s alrededor de un camino
circular de 50 m de radio. Encuentre a) la aceleración centrípeta del auto y b) su velocidad
angular.
a) 𝑅 = 2 𝑚/𝑠2
b) 𝑅 = 0.20 𝑟𝑎𝑑/𝑠
34
Problema 1.19
Un disco compacto en una computadora gira desde el reposo hasta una velocidad angular
de 31.4 rad/s en un tiempo de 0.892 s. a) ¿Cuál es la aceleración angular del disco,
suponiendo que está es uniforme?, b) ¿Cuántas rotaciones hace el disco mientras alcanza
su máxima velocidad?, c) Si el radio del disco es de 4.45 cm, encuentre la velocidad lineal
final de un microbio que se mueve sobre el borde del disco, d) ¿Cuál es la magnitud de la
aceleración tangencial del microbio en ese tiempo?
a) 𝑅 = 35.20 𝑟𝑎𝑑/𝑠2
b) 𝑅 = 14 𝑟𝑎𝑑
c) 𝑅 = 1.40 𝑚/𝑠
d) 𝑅 = 1.57 𝑚/𝑠2 Problema 1.20
La órbita casi circular que recorre la Luna alrededor de la Tierra tiene un radio promedio
de 384 000 km y un periodo de 27.3 días. Calcule la aceleración de la Luna hacia la Tierra.
𝑅 = 2.72 × 10−3𝑚/𝑠2
35
CUESTIONARIO I
1. Define: Radian, Periodo y Frecuencia.
2. Explica el concepto de movimiento circular uniforme.
3. Escribe las características de un movimiento uniformemente variado.
4. Explica el concepto y la diferencia de velocidad y aceleración angular.
5. En una gráfica 𝜃 [𝑟𝑎𝑑] vs 𝑡 [𝑠], ¿qué significa la pendiente de la recta? Explica.
6. ¿Explica que es la aceleración tangencial?
7. Las componentes tangenciales y radiales de la aceleración son dos componentes
perpendiculares del vector aceleración, ¿Por qué?
8. Explica por qué la fuerza de gravedad de la Tierra no hace que la Luna se acerque cada
vez más, describiendo una espiral hasta chocar con la superficie terrestre.
9. Calcula la velocidad angular promedio del segundero de un reloj.
10. ¿Cómo se llama a la razón de cambio promedio del desplazamiento angular?
CUESTIONARIO II
1. Un móvil con trayectoria circular recorrió 820°. ¿Cuántos radianes fueron?
2. Un cuerpo 𝐴 recorrió 515 radianes y un cuerpo 𝐵 recorrió 472 radianes. ¿A cuántos
grados equivalen los radianes en cada caso?
3. ¿Cuál es el valor de la velocidad angular de una rueda que gira desplazándose
15 radianes en 0.2 𝑠?
4. Determinar el valor de la velocidad angular y la frecuencia de una piedra atada a un
hilo, que gira con un periodo de 0.5 𝑠.
5. Hallar la velocidad angular y el periodo de una rueda que gira con una frecuencia de 430
revoluciones por minuto.
6. Encontrar la velocidad angular de un disco de 45 𝑟𝑝𝑚, así como su desplazamiento
angular, sí su movimiento duró 3 minutos.
7. Un engrane adquirió una velocidad angular de 2512 𝑟𝑎𝑑/𝑠 en 1.5 𝑠. ¿Cuál fue su
aceleración angular?
36
8. Un mezclador eléctrico incrementó su velocidad angular de 20 𝑟𝑎𝑑/𝑠 a 120 𝑟𝑎𝑑/𝑠
en 0.5 𝑠. a) ¿Cuál es el valor de su aceleración media? y b) ¿Cuál es el valor del
desplazamiento angular en ese tiempo?
9. Determinar la velocidad angular de una rueda a los 0.1 minutos si tenía una velocidad
angular inicial de 6 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y sufre una aceleración angular de 5 𝑟𝑎𝑑/𝑠2.
10. Una rueda gira con una velocidad angular inicial cuyo valor es de 18.8 𝑟𝑎𝑑/𝑠
experimentando una aceleración angular de 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠2que dura 7 segundos. a) ¿Qué valor
de desplazamiento angular tiene a los 7 segundos? y b) ¿Qué valor de velocidad angular
lleva a los 7 segundos?
CUESTIONARIO III
1. Una rueda que gira a 4 𝑟𝑒𝑣/𝑠 aumenta su frecuencia a 20 𝑟𝑒𝑣/𝑠 en 2 segundos.
Determinar el valor de la aceleración angular.
2. Una hélice gira inicialmente con una velocidad angular de 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y recibe una
aceleración constante de 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠2
3. Grafica el desplazamiento angular (𝜃) en función del tiempo (𝑠) e interpreta el
significado físico de la pendiente obtenida. ¿Cuál es el valor de la velocidad angular?
t [𝒔] 𝜽 = [𝒓𝒂𝒅]
0 0
1 9
2 18
3 27
4 36
5 45
4. Grafica la velocidad angular del cuerpo en función del tiempo, e interpreta el significado
físico del área obtenida al unir los puntos.
5. Una rueda tuvo una aceleración angular de 5 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 durante 6 segundos, ¿Qué valor de
velocidad final adquirió?
37
CUESTIONARIO IV
1. Si una hélice con una velocidad inicial de 15 𝑟𝑎𝑑/𝑠 recibe una aceleración angular
de 7 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 durante 0.2 minutos. ¿Cuál es la velocidad final y el desplazamiento
angular que tuvo?
2. Un engrane aumento el valor de su velocidad angular de 12 𝑟𝑎𝑑/𝑠 a 60 𝑟𝑎𝑑/𝑠 en 4 𝑠.
¿Cuál fue el valor de su aceleración angular?
3. Una banda gira con una velocidad angular inicial de 12 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y recibe una aceleración
angular de 6 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 durante 13 segundos. a) ¿Qué valor de velocidad angular lleva al
cabo de 13 segundos? b) ¿Qué valor de desplazamiento angular tuvo?
4. Un disco que gira a 2 𝑟𝑒𝑣/𝑠 aumenta su frecuencia a 50 𝑟𝑒𝑣/𝑠 en 3 𝑠. Determinar cuál
fue el valor de su aceleración angular en 𝑟𝑎𝑑/𝑠2.
5. El planeta Venus completa una rotación sobre su eje cada 5816 ℎ. ¿Cuál es la velocidad
angular de la rotación de Venus en 𝑟𝑎𝑑/𝑠?
6. Una secadora automática de ropa gira a 51.6 𝑟𝑝𝑚. Si el radio de la tina de la secadora
es de 30.5 𝑐𝑚. ¿Qué tan rápido se mueve el borde externo de la tina?
7. a) ¿Qué velocidad angular, en revoluciones por minuto, daría una aceleración centrípeta
de 1 𝑔 a una distancia radial de 8 𝑐𝑚 y b) tomando en cuenta la gravedad, ¿cuál sería
la aceleración resultante?
8. Durante una carrera de trineo, un equipo realiza una vuelta, de radio igual a 7.6 𝑚, a una
velocidad de 96.6 𝑘𝑚/ℎ. ¿Cuál es su aceleración en unidades 𝑔?
9. Un objeto que describe una trayectoria circular recorre 750°. ¿Cuántos radianes
recorrió?
10. Un objeto describe un movimiento circular uniforme de 2.25 radianes en 0.2 𝑠. Si el
radio de circunferencia descrita es de 40 𝑐𝑚, encuentra la velocidad angular, el periodo
y la frecuencia del objeto.
38
Vista de la Tierra desde
el Apolo 11 mientras
orbitaba la Luna.
¿Alguna vez te has preguntado por qué la Luna da vueltas alrededor de la Tierra,
o por qué la Tierra gira en torno al Sol? ¿Qué mantiene en órbita a todos los planetas?
Sir Isaac Newton, durante su retiro en una granja de Woolsthorpe durante los años 1665-1666
elaboró la base de lo que hoy se conoce como la ley de gravitación universal, basándose en las
leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas y los estudios de Galileo. La ley de la
gravitación universal, o simplemente, ley de la gravedad, establece la fuerza con la que se atraen
dos cuerpos por el simple hecho de tener masa. Esta ley fue desarrollada por Newton en el tercer
libro de su obra Principios matemáticos de filosofía natural. Dicha ley establece que los
cuerpos, por el simple hecho de tener masa, experimentan una fuerza de atracción hacia otros
cuerpos con masa, denominada fuerza gravitatoria o fuerza gravitacional. Esta fuerza, explica
entre otras muchas cosas, por qué orbitan los planetas en torno al Sol y por qué tenemos Luna.
39
CAPÍTULO II GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER
LO QUE APRENDEREMOS
▪ La ley de gravitación universal es una ley de la física clásica que describe la
interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa.
▪ La fuerza con que se atraen dos cuerpos de diferente masa únicamente depende del
valor de sus masas y del cuadrado de la distancia que los separa.
▪ Ley de gravitación universal permite calcular la magnitud de la fuerza gravitacional
que una partícula ejerce sobre una segunda partícula que está a una cierta distancia.
▪ La aceleración de la gravedad varía con la altura en el caso de satélites o cuerpos que
orbitan a los planetas.
▪ Las leyes de Kepler del movimiento planetario.
▪ La energía total de un satélite en órbita, depende sólo del semieje mayor de su
órbita, no de su excentricidad.
2.1 GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Hoy en día conocemos cuál es el papel de la gravedad en el movimiento e interacciones de
cuerpos celestes, la expansión o contracción de galaxias y la formación de agujeros negros.
La fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre nosotros y sobre los cuerpos que nos rodean
es un hecho de experiencia cotidiano. Es la gravedad la que nos liga a la Tierra y hace que
la Tierra y otros planetas permanezcan en el sistema solar. Sin embargo, las variaciones
de la gravedad son a menudo demasiado pequeñas como para notarlas en la superficie terrestre,
aunque no deberían ser completamente ignoradas.
Durante la época de Newton, muchos creían que, en el vasto universo, la naturaleza seguía reglas
distintas de las de aquí, sobre la Tierra. La ley de Newton de la gravitación universal y las tres
leyes de la dinámica, mostraron que la naturaleza sigue las mismas reglas en todas partes;
esto produjo un efecto profundo sobre la visión actual que se tiene del universo.
Fig. 2.1 Cada cuerpo ejerce una fuerza en el otro, de igual magnitud y dirección contraria.
40
La ley de gravitación universal es una ley de la física clásica que describe la interacción
gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Ésta fue presentada por Isaac Newton en su
libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687, donde establece por
primera vez una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza
con que se atraen dos objetos con masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen
dos cuerpos de diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y del cuadrado
de la distancia que los separa.
Se observa que dicha fuerza actúa de tal forma como si toda la masa de cada uno de los cuerpos
estuviese concentrada únicamente en su centro, es decir, es como si dichos objetos fuesen
únicamente un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las interacciones
entre cuerpos. La Tierra y los planetas siguen órbitas aproximadamente circulares alrededor del
Sol la fuerza hacia el centro que mantiene el movimiento planetario es tan sólo un ejemplo
de la fuerza universal llamada gravitación, la cual actúa sobre todas las masas del
universo.
De acuerdo con la leyenda, Newton notó que una manzana caía de un árbol. Se dice que fue
golpeado con una inspiración súbita: Si la gravedad actúa en lo alto de los árboles, e incluso en
lo alto de las montañas, entonces tal vez actué en todo el camino hacia la Luna. Con esta idea
de que la gravedad de la Tierra es la que mantiene a la Luna en su órbita, Newton desarrollo su
gran teoría de la gravitación. Pero existía controversia en aquella época, muchos pensadores
eran renuentes a aceptar la idea de una fuerza que actuaba a distancia.
Las fuerzas típicas actúan a través del contacto (una mano empuja un carrito y jala una vagoneta,
un bat golpea una pelota, etc.) pero la gravedad actúa sin contacto. Al respecto Newton dijo que
la Tierra ejerce una fuerza sobre una manzana que cae y sobre la Luna, aun cuando no exista
contacto entre los dos objetos, y estos incluso estén muy separados.
Newton determino la magnitud de la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre la Luna,
en comparación con la fuerza gravitacional sobre los objetos en la superficie terrestre.
La aceleración centrípeta de la Luna es 𝑟 = 3.84 × 108𝑚 (𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎),
2𝜋𝑟 (𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎), 𝑇 = 2.36 × 106𝑠 (𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜)
𝑎𝑐𝐿𝑢𝑛𝑎=
𝑣2
𝑟=
(2𝜋𝑟)2
𝑇2𝑟=
4𝜋2𝑟
𝑇2=
4𝜋2(3.84 × 108𝑚)
(2.36 × 106𝑠)2= 2.72 × 10−3𝑚/𝑠2
Esta aceleración se puede expresar en términos de g,
𝑎 = 2.72 ×10−3𝑚
𝑠2(
𝑔
9.80𝑚𝑠2
) = 2.78 × 10−4𝑔
La aceleración centrípeta de la Luna no es la aceleración de la gravedad para los objetos
en la superficie lunar, es la aceleración debida a la gravedad de la Tierra para cualquier
objeto (como la Luna) que está a 𝟑𝟖𝟒 𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒎 de la Tierra.
41
La aceleración de la Luna hacia la Tierra es,
𝑎 =2.72 × 10−3𝑚/𝑠2
9.80 𝑚/𝑠2=
1
3600𝑔
Esto significa que la aceleración de la Luna hacia la Tierra es casi 1/3600 de la aceleración de
los objetos en la superficie terrestre. La Luna está a 384000 km de nuestro planeta, que es
aproximadamente 60 veces el radio de la Tierra (6380 𝑘𝑚).
La Luna está 60 veces más lejos del centro de la Tierra que los objetos que están en la superficie
de la misma. Pero 60 × 60 = 602 = 3600. Newton concluyo que la fuerza gravitacional
ejercida por la Tierra sobre cualquier objeto disminuye con el cuadrado de la distancia (𝑟) desde
el centro de la Tierra,
𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 ∝1
𝑟2
Newton se dio cuenta que la fuerza de gravedad sobre un objeto no sólo depende de la
distancia, sino también de la masa del objeto; es directamente proporcional a su masa.
De acuerdo con la tercera ley de Newton, cuando la Tierra ejerce su fuerza gravitacional sobre
cualquier objeto (como la Luna), dicho objeto ejerce una fuerza igual y opuesta hacia la Tierra.
En concordancia con esta simetría, Newton llego a la conclusión de que la magnitud de la
fuerza de gravedad debe ser proporcional a ambas masas,
𝐹 ∝𝑚𝑇𝑚𝑜𝑏𝑗
𝑟2 (2.1)
Donde (𝑚𝑇) es la masa de la Tierra, (𝑚𝑜𝑏𝑗) es la masa de otro objeto y (𝑟) la distancia desde
el centro de la Tierra hasta el centro del otro objeto.
Newton fue un paso más allá en su análisis de la gravedad. Al examinar las órbitas de los
planetas, concluyó que la fuerza requerida para mantener a los planetas en sus órbitas alrededor
del Sol parecía disminuir como el cuadrado inverso de su distancia desde el Sol. Esto lo condujo
a creer que también existía una fuerza gravitacional que actuaba entre el Sol y cada uno de los
planetas para mantenerlos en sus órbitas. Fue así como postulo su ley de gravitación universal
o cuarta ley:
Toda partícula atrae a cualquier otra partícula con una fuerza directamente proporcional
al producto de las masas de ambas, e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que las separa.
𝐹 = 𝐺𝑚1 𝑚2
𝑟2 (2.2)
Donde la fuerza (𝐹) esta en [𝑁], (𝑚1) y (𝑚2) son las masas de las dos partículas en [𝑘𝑔],
la distancia (𝑟) entre ellas en [𝑚] y 𝐺 la constante de gravitación universal [𝑁𝑚2
𝑘𝑔2].
𝑮 = 𝟔. 𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑵𝒎𝟐
𝒌𝒈𝟐
42
Despejando (𝑟) y (𝑚1) de 2.2,
𝑟 = √𝐺 𝑚1𝑚2
𝐹 (2.3)
𝑚1 =𝐹 𝑟2
𝐺𝑚2 (2.4)
En un sentido estricto la ecuación de la ley de gravitación universal permite calcular la
magnitud de la fuerza gravitacional que una partícula ejerce sobre una segunda partícula
que está a una cierta distancia. Dado que la fuerza de atracción gravitacional actúa a lo largo
de la línea que une las partículas, se trata de una fuerza central. Es válida para cualquier par de
partículas, no importa que estén en el espacio o en la Tierra.
Lectura
¿CUÁNTO VALE LA CONSTANTE DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL?
Una técnica basada en interferometría de átomos fríos aspira a acotar el verdadero valor de
este parámetro fundamental de la naturaleza. En 1798, el físico británico Henry Cavendish
midió la atracción gravitatoria entre dos masas de laboratorio con ayuda de una balanza de
torsión; un experimento hoy clásico a partir del cual puede extraerse el valor de G, la célebre
constante que aparece en la ley de Newton.
Sin embargo, no puede decirse que los numerosos experimentos que desde entonces han
intentado determinar con mayor precisión el valor de esta constante fundamental de la
naturaleza lo hayan logrado tan bien como cabría esperar. En lugar de obtener resultados cada
vez más próximos a un mismo valor, los distintos intentos han arrojado una nube de datos
muy dispersos en torno a 𝐺 = 6.67 × 10−11 𝑁𝑚2/𝑘𝑔2. Los experimentos efectuados durante
la última década, por ejemplo, muestran una varianza de en torno al 0.05 %: una convergencia
llamativamente pobre para la actual época de precisión que vive la ciencia.
En un artículo publicado recientemente en la revista Nature, el investigador de la Universidad
de Florencia Gabriele Rosi y otros cuatro autores han referido un nuevo valor para la constante
de Newton a partir de una prometedora técnica: interferometría cuántica de átomos fríos. Su
resultado 𝐺 = 6.67191(99) × 10−11 𝑁𝑚2/𝑘𝑔2 presenta un error relativo del 0.015 % y
difiere en unas 1.5 desviaciones estándar del valor recomendado por el Comité de Datos para
la Ciencia y la Tecnología (CODATA).
Hasta ahora, la gran mayoría de los experimentos destinados a medir el valor de 𝐺 se habían
basado en refinamientos de la experiencia original de Cavendish; es decir, en medios
puramente mecánicos. La falta de convergencia en los valores obtenidos a lo largo de los años
obedece, por un lado, a la poca intensidad de la interacción gravitatoria y por otro a la
imposibilidad de apantallar los efectos de la gravedad, lo que hace muy difícil lidiar con los
errores sistemáticos de laboratorio.
43
A fin de disminuir esas deficiencias, Rosi y sus colaboradores emplearon una muestra de
átomos ultra fríos, la cual acomodaron en el campo gravitatorio creado por un conjunto de
cilindros de wolframio cuya masa total ascendía a 516 𝑘𝑔. A partir de la superposición
cuántica entre los estados de los átomos de la muestra, y con ayuda de dos interferómetros
atómicos independientes, los investigadores lograron determinar la atracción gravitatoria
entre un átomo de rubidio y los cilindros de wolframio.
Aunque no se trata del primer experimento de interferometría atómica que pretende medir la
constante de Newton, los autores esperan que, en un futuro no muy lejano, las mejoras en el
montaje experimental ayuden a acotar el verdadero valor de esta constante fundamental de la
naturaleza.
1. ¿Te parece significativo el valor de la constante 𝑮 que se tenía con el más
reciente?
2. ¿Qué es la interferometría cuántica de átomos fríos?
3. ¿Cómo influye la superposición cuántica en la atracción gravitatoria?
4. ¿ El error relativo del 𝟎. 𝟎𝟏𝟓 % difiere en unas 𝟏. 𝟓 desviaciones estándar,
puede ser entonces un valor aceptado?
5. ¿Cuál es la importancia de medir la constante de gravitación 𝑮?
44
EJEMPLO 1
La distancia entre un electrón y un protón en el átomo de hidrógeno es de 𝟓. 𝟑 × 𝟏𝟎−𝟏𝟏 m.
Compara las fuerzas electroestática y gravitatoria que se ejercen mutuamente y escribe las
conclusiones.
Aplicamos la Ley de Gravitación Universal para hallar la fuerza gravitatoria que se ejercen
mutuamente las dos partículas; y posteriormente la Ley de Coulomb para hallar la fuerza
electrostática.
Fuerza gravitatoria,
𝐹𝐺 = 𝐺𝑚𝑒 𝑚𝑝
𝑟2
Sustituyendo,
𝐹𝐺 = (6.67 × 10−11𝑁𝑚2
𝑘𝑔2)
(9.1 × 10−31𝑘𝑔)(1.67 × 10−27𝑘𝑔)
(5.3 × 10−11 𝑚)2= 3.6 × 10−47 𝑁
Fuerza electrostática,
𝐹𝑒 = 𝑘|𝑞𝑒||𝑞𝑝|
𝑟2
Sustituyendo,
𝐹𝑒 = (9 × 109𝑁𝑚2
𝐶2)
(1.6 × 10−19𝐶)(1.6 × 10−19𝐶)
(5.3 × 10−11 𝑚)2= 8.2 × 10−8 𝑁
La fuerza electrostática es 1039 veces mayor que la fuerza gravitatoria. Este resultado pone de
manifiesto que a nivel atómico las fuerzas electrostáticas son mucho más intensas que las
gravitatorias.
Esta ley nos explica que la caída de los cuerpos a la Tierra es un movimiento que denominamos
caída libre, y que el movimiento de los planetas o cuerpos, lo podemos considerar como circular
uniforme. La ley de gravitación universal pone de manifiesto una de las cuatro fuerzas
fundamentales de la naturaleza.
Fig. 2.2 Fuerzas fundamentales de la naturaleza.
45
2.1 Ejercicio en Clase
Calcula la fuerza de atracción gravitacional entre dos personas de 80 kg y 120 kg
respectivamente, separados una distancia de 2.6 m.
Cuando dicha ecuación se aplica a la fuerza gravitacional entre la Tierra y un objeto en su
superficie, (𝑚1) se convierte en la masa de la Tierra (𝑚𝑇), (𝑚2) sería la masa del segundo
objeto y (𝑟) la distancia del objeto desde el centro de la Tierra, que es el radio de la Tierra (𝑟𝑇).
El hecho de que la distancia se mida desde el centro de la Tierra, no implica que la fuerza
de gravedad emane de alguna forma de dicho punto.
Más bien, todas las partes de la Tierra atraen gravitacionalmente, pero el efecto neto es una
fuerza que actúa hacia el centro de la Tierra. Podemos aplicar la segunda ley de Newton teniendo
en cuenta que la aceleración de caída de los cuerpos en la superficie de la Tierra es 𝑔.
𝐹 = 𝑚�̅� = 𝑚𝑔 (2.5)
Como ambas fuerzas son iguales sustituimos la fuerza,
𝑚𝑔 = 𝐺𝑚 𝑚𝑇
𝑟𝑇2 (2.6)
Si ésta es la única fuerza que actúa sobre el objeto o partícula, su aceleración en la superficie de
la Tierra es,
𝑔𝑇 = 𝐺 𝑚𝑇
𝑟𝑇2 (2.7)
La expresión anterior se puede generalizar para cualquier planeta conociendo su masa y su
radio,
𝑔 = 𝐺 𝑚
𝑟2 (2.8)
La aceleración de la gravedad varía con la altura en el caso de satélites o cuerpos que
orbitan a los planetas.
Para conocer la masa de la Tierra la despejamos de la ecuación (2.7),
𝑚𝑇 =𝑔𝑇 𝑟𝑇
2
𝐺=
(9.8𝑚𝑠2) (6.38 × 106 𝑚)2
(6.67 × 10−11𝑁𝑚2
𝑘𝑔2)= 5.98 × 1024 𝑘𝑔
46
Para calcular la gravedad a una cierta altura de la superficie del planeta consideramos que se
encuentra a una distancia (ℎ) sobre la superficie del planeta, y tenemos que 𝑅 = 𝑟 + ℎ.
Reescribimos la ecuación (2.6) considerando dicha distancia,
𝑔 = 𝐺 𝑚
(𝑟 + ℎ)2 (2.9)
El valor de 𝑮 fue medido por Henry Cavendish en 𝟏𝟕𝟗𝟖. Su medida ha sido repetida por
otros experimentos con diversas mejoras y refinamientos. En cualquier caso, medir 𝐺 siempre
resulta difícil a causa de la extraordinaria debilidad de la atracción gravitatoria.
El valor de 𝐺 se conoce solo con una precisión de 1 parte en 10000. Aunque fue una de las
primeras constantes físicas universales determinadas, sigue siendo una de las conocidas con
mayor exactitud.
En la figura 2.3 podemos observar el diagrama esquemático del experimento de Cavendish,
donde dos esferas están unidas mediante una barra horizontal ligera, que a su vez está suspendida
de su centro por una fibra delgada. Cuando una tercera esfera (𝐴) se acerca a una de las esferas
suspendidas, la fuerza gravitacional provoca que la última se mueva, y esto tuerce ligeramente
la fibra.
El fino movimiento es amplificado mediante un delgado haz luminoso que se dirige hacia un
espejo montado sobre la fibra, el haz se refleja sobre una escala. La determinación de la
intensidad de la fuerza que hace girar la fibra una cantidad específica, permitirá conocer la
magnitud de la fuerza gravitacional entre dos objetos.
Fig. 2.3 Diagrama del experimento de Cavendish.
47
2.2 Ejercicio en Clase
Calcula la fuerza de atracción gravitacional que ejerce la Tierra sobre una persona de
𝟖𝟎 𝒌𝒈 que se encuentra sobre la superficie terrestre.
2.3 Ejercicio en Clase
Si la fuerza de atracción entre dos partículas es de 𝟒𝟖𝟎 𝑵, y la distancia entre ellas
aumenta cuatro veces más, ¿Qué fuerza experimenta cada partícula?
2.4 Ejercicio en Clase
Calcula la aceleración de la gravedad en la superficie de Mercurio, Marte, Neptuno,
Luna y Sol.
48
2.2 LEYES DE KEPLER
Los movimientos de los planetas, estrellas y otros cuerpos celestes han sido observados durante
miles de años. En la historia antigua, los sabios consideraban la Tierra como el centro del
Universo (Modelo Geocéntrico). Este modelo, desarrollado extensamente por el astrónomo
griego Claudio Ptolomeo en el siglo II A.C., fue aceptado durante los siguientes 1400 años.
En 1543 el astrónomo polaco Nicolás Copérnico demostró que la Tierra y los otros planetas
giraban en órbitas circulares alrededor del Sol (Modelo Heliocéntrico).
El astrónomo danés Tycho Brahe llevó a cabo mediciones astronómicas precisas en un periodo
de 20 años, y proporcionó los datos para el modelo actualmente aceptado del sistema solar.
Las meticulosas observaciones realizadas por Brahe a los planetas y 777 estrellas, se hicieron
únicamente con un sextante y una brújula; el telescopio todavía no se había inventado.
A principios del siglo XVII, el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571 − 1630) propuso tres
leyes para describir el movimiento de los planetas. Esas leyes antecedieron a las leyes del
movimiento de Newton y su ley de la gravedad. Ellas brindaron una descripción mucho más
simple del movimiento planetario que cualquiera otra que se hubiera propuesto con anterioridad.
Si invertimos el curso de la historia, observamos que una de las leyes de Kepler es consecuencia
directa de las leyes de Newton.
El hecho de que Newton pudiera haber derivado las leyes de Kepler a partir de su propio trabajo
sobre la gravedad fue considerado como una confirmación de la mecánica newtoniana.
Fig. 2.4 Orbitas de los planetas en torno al Sol.
Kepler discípulo de Brahe, retomó los innumerables datos recopilados por su mentor y trabajó
con ellos muchos años intentando desarrollar un modelo matemático que concordara con los
datos observados. Al comienzo de esta investigación le parecía obvio a Kepler que las órbitas
de los planetas pudieran no ser circulares.
Sus estudios demostraron que la órbita de Marte era en realidad una elipse, con el Sol en uno de
sus focos. Esta conclusión posteriormente se generalizó para todos los planetas que giran
alrededor del Sol, y Kepler fue capaz de establecer varios enunciados matemáticos relacionados
con el sistema solar.
49
Hoy en día dichos enunciados se conocen como las leyes de Kepler del movimiento
planetario:
LEY DE LAS ÓRBITAS
Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol situado en uno de sus
focos.
La primera ley de Kepler o de las órbitas, se puede obtener a partir del inverso del cuadrado de
la atracción gravitacional en la ley de gravitación universal. La deducción es un poco
complicada, se puede demostrar que para cualquier objeto ligado a otro por una fuerza que varía
como 1/𝑟2, se moverá en una órbita elíptica y queda el objeto estacionario en uno de sus focos.
El círculo es un caso especial de elipse en el que los dos focos coinciden.
Fig. 2.5 Una elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos, llamados
focos (𝐹), es constante.
La órbita de la Tierra es casi circular; la distancia al Sol en el perihelio (punto más próximo)
es de 1.48 × 1011𝑚, y en el afelio (punto más lejano) de 1.52 × 1011𝑚. El semieje mayor,
que es la semisuma de estas distancias, vale 1.50 × 1011𝑚 para la órbita terrestre. La distancia
media Tierra-Sol se define como una unidad astronómica (UA), se utiliza frecuentemente
en los problemas físicos relacionados con el sistema solar.
1 𝑈𝐴 = 1.50 × 1011𝑚
Fig. 2.6 La forma elíptica de la órbita es el resultado de la fuerza del inverso del cuadrado de la gravedad.
50
En la figura 2.6 se observa un planeta de masa (𝑚) moviéndose en órbita alrededor del Sol,
cuya masa es (𝑀). Suponemos que (𝑀 ≫ 𝑚), por lo que el centro de masa del sistema formado
por el planeta y el Sol está aproximadamente en el centro del Sol.
La excentricidad (𝒆) de una elipse se puede definir como la proporción entre las medidas
de la distancia entre focos respecto al eje mayor de la elipse. Siendo (𝑅𝑝) la distancia en el
perihelio y (𝑅𝑎) en el afelio. En las órbitas planetarias, solo Mercurio tiene una excentricidad
grande. En la Tabla 3 se pueden observar los valores de las excentricidades para los diferentes
planetas. La órbita de la figura 2.6 se describe en términos de su semieje mayor (𝑎) y su
excentricidad (𝑒), está ultima definida de modo que (𝑒𝑎) es la distancia desde el centro de la
elipse al foco (𝐹) o al (𝐹′). Una excentricidad de cero corresponde a un círculo, en el que los
dos focos se fusionan en un solo punto central.
Tabla 3. Excentricidad de las órbitas planetarias.
Las excentricidades de las órbitas planetarias no son tan grandes, por lo que, trazadas en papel
las órbitas parecen circulares. La excentricidad de la elipse se ha exagerado para una mayor
claridad y es de 0.74. La excentricidad de la órbita de la Tierra es de 0.0167.
LEY DE LAS ÁREAS
Una recta que enlaza un planeta con el Sol recorre áreas iguales; en el plano de la
órbita del planeta, en tiempos iguales.
La segunda ley de Kepler o de las áreas, indica que el planeta se moverá con más lentitud
cuando se encuentre más alejado del Sol y con mayor velocidad cuando esté más cerca del
Sol. La segunda ley de Kepler es equivalente a la ley de conservación del momento angular.
Es decir, un planeta se mueve más rápidamente cuando está más próximo al Sol que
cuando está más lejos, de tal modo que el área barrida por el radio vector en un determinado
intervalo de tiempo es la misma a lo largo de toda la órbita.
LEY DE LOS PERIODOS
El cuadrado del periodo de cualquier planeta es proporcional al cubo del semieje
mayor de su órbita.
Planeta Excentricidad
Mercurio 0.2060
Venus 0.0068
Tierra 0.0167
Marte 0.0934
Júpiter 0.0485
Saturno 0.0556
Urano 0.0472
Neptuno 0.0086
51
Lectura
LA ELIPSE Y SU EXCENTRICIDAD
Una elipse es una curva cerrada en un plano bidimensional. Tiene dos puntos focales,
𝑓1 y 𝑓2 separados por una distancia 2𝑐. Para cada punto en la elipse, la suma de las distancias
a los dos puntos focales es una constante:
𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑎
La longitud 𝑎 se llama el semieje mayor de la elipse. La notación normal para el semieje
mayor de una elipse usa la misma letra, 𝑎, que el símbolo convencional de la aceleración.
Usted debe ser cuidadoso para evitar confusiones. El semieje menor 𝑏 está relacionado con 𝑎
y 𝑐 mediante:
𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2
En términos de las coordenadas cartesianas 𝑥 y 𝑦, los puntos sobre la elipse satisfacen
la ecuación:
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1
donde el origen del sistema de coordenadas se encuentra en el centro de la elipse. Si 𝑎 = 𝑏,
resulta un círculo (un caso especial de una elipse). Es útil introducir la excentricidad 𝑒 de la
elipse, definida como:
𝑒 =𝑐
𝑎= √1 −
𝑏2
𝑎2
Una excentricidad de cero, el menor valor posible, caracteriza a un círculo. La excentricidad
de la órbita terrestre en torno del Sol es de sólo 0.017. Si dibujara una elipse con este valor
de 𝑒, no la podrías distinguir de un círculo por inspección visual.
La longitud del semieje menor de la órbita terrestre es aproximadamente 99.98 % de la
longitud de su semieje mayor. En su aproximación más cercana al Sol, llamada perihelio,
la Tierra se encuentra a 147.1 millones de kilómetros del Sol. El afelio, el cual es el punto
más lejano desde el Sol en la órbita terrestre, mide 152.6 millones de kilómetros.
Es importante mencionar que el cambio en las estaciones no es causado principalmente por
la excentricidad de la órbita terrestre. El punto de la aproximación más cercano al Sol
se alcanza a principios de enero de cada año, a la mitad de la estación fría en el hemisferio
norte.
En lugar de esto, las estaciones son causadas por el hecho de que el eje de rotación terrestre
está inclinado en un ángulo de 23.4° en relación con el eje del plano de la elipse orbital.
Esta inclinación expone al hemisferio norte a los rayos solares por periodos más prolongados
y a un ángulo más directo en los meses del verano.
Entre las otras órbitas planetarias, la de Mercurio tiene la mayor excentricidad: 0.205.
La excentricidad orbital de Plutón es incluso mayor, con 0.249 pero a Plutón ya no se le
clasifica como un planeta desde agosto de 2006. La órbita de Venus tiene la menor
excentricidad, 0.0070, seguida de la de Neptuno con una excentricidad de 0.009.
52
1. ¿Cuál es la diferencia geométrica entre un círculo y una elipse?
2. ¿Como relacionas a las leyes de Kepler, la ley de gravitación universal y la ley de
conservación del momento angular?
3. ¿Como podemos expresar la constante de proporcionalidad en términos de la masa
solar y la constante de gravitación universal?
4. Explica a qué se refiere el siguiente enunciado “las leyes de Kepler son válidas para
órbitas elípticas en general, no sólo para órbitas circulares”.
5. Si existiera un agujero supermasivo en el centro de la Vía Láctea. ¿Cuál sería su masa
aproximada?
Fig. 2.7 Cuando el planeta está más cerca del Sol, se mueve más rápido, barriendo, la misma área sobre
un camino más largo en un determinado tiempo.
53
La tercera ley de Kepler o de los periodos se puede deducir a partir de la ley de gravitación
universal de Newton para el caso especial de una órbita circular. La fuerza gravitacional da lugar
a la aceleración radial,
∑ 𝐹𝑟 =𝐺𝑚𝑀𝑠𝑜𝑙
𝑟2=
𝑚𝑣2
𝑟 (2.10)
Se resuelve para 𝑣 y obtenemos,
𝑣 = √𝐺𝑀𝑠𝑜𝑙
𝑟 (2.11)
La distancia recorrida en una revolución es la circunferencia del círculo, la cual es igual a 2𝜋𝑟.
Entonces, la velocidad es la distancia recorrida durante una órbita, dividida entre el periodo,
𝑣 = √𝐺𝑀𝑠𝑜𝑙
𝑟=
2𝜋𝑟
𝑇 (2.12)
Ahora resolvemos para 𝑇,
𝑇 = 2𝜋√𝑟3
𝐺𝑀𝑠𝑜𝑙 (2.13)
Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación anterior obtenemos la tercera ley de Kepler
o de los periodos,
𝑇2 =4𝜋2
𝐺𝑀𝑠𝑜𝑙𝑟3 = 𝐾𝑠𝑟3 (2.14)
Donde 𝐾𝑠 es una constante dada por,
𝐾𝑠 =4𝜋2
𝐺𝑀𝑠𝑜𝑙= 2.97 ×
10−19𝑠2
𝑚3 (2.15)
𝐾𝑠 es independiente de la masa del planeta, por lo cual la tercera ley de Kepler es válida para
cualquier planeta. Si consideramos la órbita de un satélite como la Luna alrededor de la Tierra,
la constante tiene un valor diferente, con la masa del Sol sustituida por la masa terrestre.
En este caso 𝐾𝑇 es igual a 4𝜋2
𝐺𝑀𝑇. La tercera ley de Kepler nos da un método para medir
la masa del Sol o de cualquier objeto celeste alrededor del cual otro objeto se mueve en
órbita. La constante 𝐾𝑠 incluye la masa del Sol. El valor de esta constante se puede hallar al
sustituir los valores del periodo y radio orbital y despejar 𝐾𝑠. La masa del Sol es,
𝑀𝑠𝑜𝑙 =4𝜋2
𝐺𝐾𝑠 (2.16)
Este mismo procedimiento se puede usar para calcular la masa de la Tierra, considerando
el periodo y radio orbital de la Luna, y también la masa de otros planetas del sistema solar que
poseen lunas. En la Tabla 4 podemos observar un conjunto de datos planetarios útiles, donde la
última columna verifica que 𝑇2/𝑟3 es constante.
54
Tabla 4. Datos Planetarios.
2.5 Ejercicio en Clase
Calcular la masa del Sol a partir del hecho de que el periodo de la Tierra es de
𝟑. 𝟏𝟓𝟔 × 𝟏𝟎𝟕 𝒔 y de que la distancia al Sol es de 𝟏. 𝟒𝟗𝟔 × 𝟏𝟎𝟏𝟏 𝒎.
2.3 SATÉLITES
En las órbitas planetarias influyen las interacciones gravitacionales con otros planetas;
las leyes de Kepler ignoran esos pequeños efectos. Aun cuando dichas leyes fueron derivadas a
partir del movimiento de los planetas, se aplican también a los satélites en órbita terrestres.
Muchos satélites, como los usados para telecomunicaciones, están colocados en una órbita
geoestacionaria o geosincrónica, es decir, una órbita circular en el plano ecuatorial de la Tierra
cuyo perfil es igual al periodo de rotación terrestre. Un satélite en órbita geoestacionaria
permanece en un punto determinado sobre el ecuador, a los observadores que están en el suelo
les parece que flota inmóvil sobre ese punto, es decir, un satélite que ha sido colocado
directamente arriba del ecuador describirá un círculo una vez al día en sincronía con la Tierra.
Cuerpo Masa
[𝑘𝑔]
Radio
Medio [𝑚]
Periodo [𝑠]
Distancia
media
desde el Sol [𝑚]
𝑻𝟐/𝒓𝟑
[𝑠2/𝑚3]
Mercurio 3.18 × 1023 2.43 × 106 7.60 × 106 5.79 × 1010 2.97 × 10−19
Venus 4.88 × 1024 6.06 × 106 1.94 × 107 1.08 × 1011 2.99 × 10−19
Tierra 5.98 × 1024 6.37 × 106 3.15 × 107 1.49 × 1011 2.97 × 10−19
Marte 6.42 × 1023 3.37 × 106 5.94 × 107 2.28 × 1011 2.98 × 10−19
Júpiter 1.90 × 1027 7.15 × 107 3.74 × 108 7.78 × 1011 2.97 × 10−19
Saturno 5.68 × 1026 5.85 × 107 9.35 × 108 1.43 × 1012 2.99 × 10−19
Urano 8.68 × 1025 2.33 × 107 2.64 × 109 2.87 × 1012 2.95 × 10−19
Neptuno 1.03 × 1026 2.21 × 107 5.22 × 109 4.50 × 1012 2.99 × 10−19
Plutón ≈ 1 × 1023 ≈ 3 × 106 7.82 × 109 5.91 × 1012 2.96 × 10−19
Luna 7.36 × 1022 1.74 × 106 − − −
Sol 1.99 × 1030 6.96 × 108 − − −
55
Visto desde cualquier punto en el globo terrestre, el satélite permanecerá en un lugar fijo
en el cielo y como consecuencia, en comunicación continua línea-señal con una estación
terrestre o una antena de plato. Debido a sus posiciones fijas respecto a la superficie de la
Tierra, los satélites geoestacionarios se usan como estaciones retransmisoras de señales de
comunicaciones.
Cuando un satélite gira alrededor de la Tierra en su trayectoria elíptica, tanto su velocidad que
fija su energía cinética (𝐾), como su distancia desde el centro de la Tierra, que fija su energía
potencial gravitacional (𝑈), fluctúan con periodos fijos. Sin embargo, la energía mecánica (𝐸)
del satélite permanece constante. La energía potencial del sistema está dada por,
𝑈 = −𝐺𝑀𝑚
𝑟 (2.17)
(Con 𝑈 = 0 para separación infinita). Aquí (𝑟) es el radio de la órbita, con la suposición de que
por ahora es circular, (𝑀) y (𝑚) son las masas de la Tierra y el satélite, respectivamente.
Para encontrar la energía mecánica de un satélite en órbita, es necesario conocer tanto la energía
cinética como potencial del mismo,
𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 (2.18)
Fig. 2.8 Satélites geoestacionarios en órbita terrestre. Los satélites tienen la misma velocidad angular
que la Tierra, por lo cual siempre están directamente sobre un punto.
La energía potencial es la debida al campo gravitatorio terrestre,
𝐸𝑝 = −𝐺𝑀 𝑚
𝑟 (2.19)
Para calcular la energía cinética basta con obtener el valor de la velocidad,
𝑣 = √𝐺 𝑀
𝑟 (2.20)
56
De modo que la energía cinética queda expresada como,
𝐸𝑐 =1
2𝑚𝑣2 =
1
2𝑚 (√
𝐺 𝑀
𝑟 )
2
=1
2𝐺
𝑀 𝑚
𝑟 (2.21)
Sustituyendo las ecuaciones (2.19) y (2.20) en la (2.21) tenemos,
𝐸𝑚 =1
2𝐺
𝑀 𝑚
𝑟− 𝐺
𝑀 𝑚
𝑟=
1
2𝐺
𝑀 𝑚
𝑟 (2.22)
Reduciendo términos en la ecuación (2.22), la energía mecánica de un satélite es,
𝐸𝑚 =1
2𝐺
𝑀 𝑚
𝑟 (2.23)
La energía mecánica de un satélite de masa (𝑚) orbitando en torno a un planeta de masa (𝑀)
en órbita circular de radio, recibe el nombre de energía orbital (𝐸𝑜𝑟𝑏) y toma un valor de,
𝐸𝑜𝑟𝑏 = −1
2 𝐺
𝑀 𝑚
𝑟 (2.24)
Esta es la energía total que posee un satélite orbitando en una órbita de radio 𝑟, siendo su valor
como se observa la mitad de su energía potencial gravitatoria. Esta ecuación nos indica que la
energía total de un satélite en órbita, depende sólo del semieje mayor de su órbita, no de
su excentricidad. Podemos concluir que la energía total de una partícula de masa (𝑚)
moviéndose alrededor de una masa mucho mayor (𝑀) a lo largo de un círculo de radio (𝑟) es
negativa y varía en razón inversa del radio del círculo.
2.6 Ejercicio en Clase
¿Por qué en general los satélites artificiales no tienen formas aerodinámicas?
En general, puede demostrarse que en todo movimiento en el cual la masa (𝑚) describe
una trayectoria que lo mantiene a una distancia finita de (𝑀), la energía total es negativa.
A grandes distancias la energía potencial es prácticamente cero y la energía total es igual a la
energía cinética, que siempre es positiva. Cuando la energía total es negativa, el cuerpo no puede
alejarse grandes distancias del centro de atracción. Cabe la posibilidad de un movimiento
planetario en el cual la energía total es cero o es positiva, pero en esos casos la trayectoria de
(𝑚) no es una curva cerrada sino abierta: es decir, la masa (𝑚) no se mueve de modo que pase
repetidamente por el mismo lugar varias veces.
57
Dado que los satélites son lanzados desde la superficie terrestre, ya parten con una energía
potencial, dada por la distancia desde el punto de lanzamiento hasta la superficie terrestre.
También tienen cierta energía cinética asociada a la traslación y rotación terrestre pero su valor
es mucho menor que la energía potencial gravitatoria correspondiente. Considerando lo anterior,
es posible encontrar una expresión analítica para la energía necesaria para que alcance la órbita
deseada. Esta energía se suministrará en forma de energía cinética, ya que la energía mecánica
se conserva según el principio de conservación de la energía. Denominaremos 𝐸𝑚𝑙 a la energía
mecánica en el momento del lanzamiento que es igual a la energía orbital que ya se había
definido anteriormente como la energía total que posee un satélite orbitando en una órbita,
𝐸𝑚𝑙 = 𝐸𝑜𝑟𝑏 (2.25)
Las energías cinética y potencial en el momento del lanzamiento son iguales a la energía orbital,
𝐸𝑐𝑙 + 𝐸𝑝𝑙 = 𝐸𝑜𝑟𝑏 (2.26)
Los valores de la energía potencial en el momento del lanzamiento (𝐸𝑝𝑙) y la energía orbital
(𝐸𝑜𝑟𝑏) son conocidos. Siendo 𝑅𝑇 y 𝑀𝑇 el radio y la masa de la Tierra respectivamente.
Sustituyendo sus valores en la ecuación anterior se obtiene,
𝐸𝑐𝑙 − 𝐺𝑀𝑇 𝑚
𝑅𝑇=
1
2𝐺
𝑀𝑇 𝑚
𝑟 (2.27)
Despejando 𝐸𝑐𝑙 ,
𝐸𝑐𝑙 = −1
2𝐺
𝑀𝑇 𝑚
𝑟+ 𝐺
𝑀𝑇 𝑚
𝑅𝑇= 𝐺 𝑀𝑇 𝑚 (
1
𝑅𝑇−
1
2𝑟) (2.28)
𝐸𝑐𝑙 = 𝐺 𝑀𝑇 𝑚 (1
𝑅𝑇−
1
2𝑟) (2.29)
Dado que esta energía es cinética, resulta inmediato calcular la velocidad con la que debe
lanzarse el satélite para ponerlo en órbita,
𝐸𝑐𝑙 =1
2 𝑚𝑣𝑙
2 (2.30)
𝐺 𝑀𝑇 𝑚 (1
𝑅𝑇−
1
2𝑟) =
1
2 𝑚𝑣𝑙
2 (2.31)
𝑣𝑙2 = 𝐺
2 𝑀𝑇 𝑚
𝑚 (
1
𝑅𝑇−
1
2𝑟) (2.32)
𝑣𝑙 = √2 𝐺 𝑀𝑇 (1
𝑅𝑇−
1
2𝑟) (2.33)
La 𝑟 en este caso se refiere al radio de la órbita, respecto al centro de la Tierra, por lo que si se
referencia por una altura ℎ sobre la superficie terrestre, se cumplirá 𝑟 = 𝑅𝑇 + ℎ.
58
EJEMPLO 2
Se desea colocar un satélite de comunicaciones de 200 kg de masa en una órbita situada a
24 km de altura. a) ¿Qué energía deberá suministrarse al mismo para que quede en esa
órbita? b) Calcula la velocidad de lanzamiento necesaria.
a) Tal y como se ha visto, la energía mecánica se conserva en todo momento, y la energía
que deberá suministrarse en el momento del lanzamiento será la antes calculada; el radio de
la órbita será igual al radio de la tierra más la altura de la órbita respecto a la superficie.
𝐺 = 6.67 × 10−11 𝑁 𝑚2/𝑘𝑔2
𝐸𝑐𝑙 = 𝐺 𝑀𝑇 𝑚 (1
𝑅𝑇−
1
2𝑟) = 𝐺 𝑀𝑇 𝑚 (
1
𝑅𝑇−
1
2(𝑅𝑇 + ℎ))
𝐸𝑐𝑙 = 𝐺 𝑀𝑇 𝑚 (1
𝑅𝑇−
1
2(𝑅𝑇 + ℎ))
𝐸𝑐𝑙 = 𝐺(5.98 × 1024 𝑘𝑔)(200 𝑘𝑔) (1
6.38×106 𝑚−
1
2(6.38×106 𝑚+24×103 𝑚))
𝐸𝑐𝑙 = 6.27 × 109 𝐽
b) La velocidad viene dada por,
𝑣𝑙 = √2 𝐺 𝑀𝑇 (1
𝑅𝑇−
1
2𝑟) = √2 𝐺 𝑀𝑇 (
1
𝑅𝑇−
1
2(𝑅𝑇 + ℎ))
Sustituyendo,
𝑣𝑙 = √2 𝐺(5.98 × 1024 𝑘𝑔) (1
6.38 × 106 𝑚−
1
2(6.38 × 106 𝑚 + 24 × 103 𝑚))
𝑣𝑙 = 7921.15 𝑚/𝑠2
EJEMPLO 3
Sabiendo que la Luna tiene una masa de 𝟕. 𝟏𝟖 × 𝟏𝟎𝟐𝟐 𝒌𝒈 y que su radio es
aproximadamente la cuarta parte del radio terrestre (𝑹𝑻 = 𝟔𝟑𝟕𝟎 𝒌𝒎). Calcula la
velocidad de lanzamiento necesaria para colocar el satélite del ejercicio resuelto anterior
en órbita en torno a la Luna. 𝑮 = 𝟔. 𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑵 𝒎𝟐/𝒌𝒈𝟐
Según el enunciado, el radio de la Luna será 𝑅𝐿 =𝑅𝑇
4=
6370
4= 1592.5 𝑘𝑚. La velocidad
necesaria para colocar el satélite en órbita selenita será en este caso,
𝑣𝑙 = √2 𝐺 𝑀𝐿 (1
𝑅𝐿−
1
2𝑟) = √2 𝐺 𝑀𝐿 (
1
𝑅𝐿−
1
2(𝑅𝐿 + ℎ))
59
Sustituyendo,
𝑣𝑙 = √2 𝐺(7.35 × 1022 𝑘𝑔) (1
1.73 × 106 𝑚−
1
2(1.73 × 106 𝑚 + 24 × 103 𝑚))
𝑣𝑙 = 1694.85 𝑚/𝑠
2.7 Ejercicio en Clase
Calcular la masa de la Luna considerando que el periodo de la Tierra es de
𝟑. 𝟏𝟓𝟔 × 𝟏𝟎𝟕 𝒔 y que la distancia Tierra-Luna es de 3.844× 𝟏𝟎𝟖 𝒎.
2.8 Ejercicio en Clase
El asteroide Palas tiene un periodo orbital de 𝟒. 𝟔𝟐 𝒂ñ𝒐𝒔 y una excentricidad orbital de
𝟎. 𝟐𝟑𝟑. Calcula el semieje mayor de su órbita.
60
LO QUE HEMOS APRENDIDO • La ley de gravitación universal es una ley de la física
clásica que describe la interacción gravitatoria entre
distintos cuerpos con masa.
• Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos
cuerpos de diferente masa únicamente depende del valor
de sus masas y del cuadrado de la distancia que los
separa.
• El movimiento planetario es tan sólo un ejemplo de la
fuerza universal llamada gravitación, la cual actúa sobre
todas las masas del universo.
• Newton se dio cuenta que la fuerza de gravedad sobre
un objeto no sólo depende de la distancia, sino también
de la masa del objeto; es directamente proporcional a su
masa.
• La magnitud de la fuerza de gravedad debe ser
proporcional a ambas masas. 𝐹 ∝
𝑚𝑇𝑚𝑜𝑏𝑗
𝑟2 (2.1)
• Toda partícula atrae a cualquier otra partícula con una
fuerza directamente proporcional al producto de las
masas de ambas, e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que las separa.
𝐹 = 𝐺𝑚1 𝑚2
𝑟2 (2.2)
• Ley de gravitación universal permite calcular la
magnitud de la fuerza gravitacional que una partícula
ejerce sobre una segunda partícula que está a una cierta
distancia.
• La ley de gravitación universal pone de manifiesto una
de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza.
• La aceleración de la gravedad varía con la altura en el
caso de satélites o cuerpos que orbitan a los planetas. 𝑔 = 𝐺
𝑚
𝑟2 (2.8)
• (1ra. Ley de Kepler) LEY DE LAS ÓRBITAS: Todos
los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol
situado en uno de sus focos.
• (2da. Ley de Kepler) LEY DE LAS ÁREAS: Una recta
que enlaza un planeta con el Sol recorre áreas iguales;
en el plano de la órbita del planeta, en tiempos iguales.
• (3ra. Ley de Kepler) LEY DE LOS PERIODOS: El
cuadrado del periodo de cualquier planeta es
proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita.
• En las órbitas planetarias influyen las interacciones
gravitacionales con otros planetas.
• La energía mecánica de un satélite de masa (𝑚)
orbitando en torno a un planeta de masa (𝑀) en órbita
circular de radio, recibe el nombre de energía orbital .
61
Problema 2.1
Dos pelotas, una de 4 kg y otra de 2 kg, están colocadas de tal modo que sus centros quedan
separados por una distancia de 40 cm. ¿Cuál es la fuerza con la que se atraen mutuamente?
𝑅 = 3.34 × 10−9 𝑁
Problema 2.2
Calcula la fuerza gravitacional con la que se atraen dos personas, si una de ellas tiene una
masa de 60 kg y la otra de 70 kg, la distancia que hay entre ellas es de 1.5 m.
𝑅 = 12450.66 × 10−11 𝑁
Problema 2.3
Calcula la fuerza con la que se atraen dos cuerpos cuyos pesos son de 98 N y 300 N al haber
entre ellos una distancia de 50 cm.
𝑅 = 8166.7 × 10−11 𝑁
Problema 2.4
¿A qué distancia se encuentran dos masas cuyos valores son 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟐 kg y 𝟗 × 𝟏𝟎−𝟑 kg,
si la fuerza con la que se atraen es de 𝟗 × 𝟏𝟎−𝟗 N.?
𝑅 = 1.63 × 10−3 𝑚
Problema 2.5
¿Qué distancia debe haber entre un cuerpo de 600 g de masa y otro de 400 g para que se
atraigan con una fuerza de 𝟐 × 𝟏𝟎−𝟓 dinas?
𝑅 = 0.2829 𝑚
Problema 2.6
Calcula la masa de una silla si la fuerza gravitacional con que se atrae con una mesa
de 20 kg es de 𝟒𝟎 × 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑵 y la distancia a la que se encuentran uno del otro es de 4 m.
𝑅 = 4.79 𝑘𝑔
Problema 2.7
Determina la fuerza gravitacional que ejercerá la Tierra sobre un cuerpo cuya masa es de
1 kg al estar colocado en un punto donde el radio terrestre es de 𝟔. 𝟑𝟑𝟔 × 𝟏𝟎𝟔 𝒎. La masa
de la Tierra es de 𝟓. 𝟗 × 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝒌𝒈.
𝑅 = 9.8 𝑁
Problema 2.8
En la superficie de la Tierra, la aceleración de la gravedad es de 𝟗. 𝟖 𝒎/𝒔𝟐. Si el radio de
la Tierra es de 𝟔. 𝟑𝟖 × 𝟏𝟎𝟔 𝒎, calcule la masa de la Tierra.
𝑅 = 5.98 × 1024 𝑘𝑔
62
Problema 2.9
¿A qué distancia por arriba de la superficie de la Tierra se reducirá el peso de una persona
hasta la mitad del valor que tiene estando en la superficie?
𝑅 = 2.64 × 106 𝑚
Problema 2.10
Una persona con una masa de 100 kg viaja en una estación espacial que se mueve en una
órbita circular 900 km por arriba de la superficie terrestre. a) ¿Cuál es la velocidad de la
estación espacial? b) ¿Cuál es el peso del pasajero?
a) 𝑅 = 7401.97 𝑚/𝑠
b) 𝑅 = 752.6 𝑁 Problema 2.11
¿Cuál debe ser la altitud de todos los satélites sincrónicos que están colocados en órbita
alrededor de la Tierra?
𝑅 = 35.4 × 106 𝑚
Problema 2.12
¿Cuál es la aceleración en caída libre de un objeto a la altura de la órbita del
transbordador espacial, unos 400 km por encima de la superficie terrestre?
𝑅 = 8.70 𝑚/𝑠2
Problema 2.13
La Estación Espacial Internacional se mueve en una órbita prácticamente circular
alrededor de la Tierra, a 385 km por encima de su superficie. En un lugar determinado,
calcular cuánto tiempo hay que esperar entre dos avistamientos consecutivos de la
estación.
𝑅 = 5535.28 𝑠
Problema 2.14
Aplicando la ley de gravitación universal encuentre un valor aproximado de la masa de la
Tierra.
𝑅 = 5.96 × 1024 𝑘𝑔
Problema 2.15
¿A qué distancia sobre la superficie de la Tierra se reducirá el peso de una persona hasta
la mitad del valor que tiene estando en la superficie?
𝑅 = 2.26 × 106 𝑚
Problema 2.16
Calcula la magnitud de la fuerza gravitacional mutua entre la Tierra y la Luna.
Supondremos que ambas son esferas homogéneas.
𝑅 = 2.04 × 1020 𝑁
63
Problema 2.17
Júpiter es el planeta más grande del Sistema Solar y tiene dos lunas, Io y Europa.
Io se encuentra a una distancia promedio de 𝟒. 𝟐𝟐 × 𝟏𝟎𝟓 𝒌𝒎 de Júpiter y tiene un periodo
orbital de 1.77 días, calcula la masa de Júpiter.
𝑅 = 1.90 × 1027 𝑘𝑔
Problema 2.18
Kepler notó que el periodo de Marte era de aproximadamente 687 días (terrestres),
que es (687/365 d)=1.88 años. Determina la distancia de Marte desde el Sol, considerando
la Tierra como referencia.
𝑅 = 2.28 × 1011𝑚
Problema 2.19
Determine la masa del Sol a partir de la distancia de la Tierra al Sol.
𝑅 = 2.0 × 1030 𝑘𝑔
Problema 2.20
¿Cuál será el valor de la gravedad en el Sol si su radio es 110 veces el de la Tierra, y su
masa 330 000 veces la de ésta?
𝑅 = 268.16 𝑚/𝑠2
64
CUESTIONARIO I
1. ¿Qué fuerza es mayor: ¿la que ejerce el Sol sobre la Tierra, o la de la Tierra sobre el Sol?
Realice los cálculos necesarios.
2. ¿Cómo varía la distancia entre un punto de la superficie terrestre y el centro a medida
que se mueve del ecuador a los polos? ¿Cómo debe variar entonces la atracción
gravitacional de la Tierra?
3. ¿Cómo varía el radio de rotación de un punto al moverse del ecuador hacia los polos?
¿Cómo varía entonces la fuerza centrípeta sobre un cuerpo en la superficie terrestre?
¿Qué efecto tiene esta variación sobre el peso efectivo de un cuerpo?
4. Teniendo en cuenta las preguntas anteriores, ¿Cómo varia la aceleración de caída de un
cuerpo al desplazarnos del ecuador hacia los polos? ¿Dónde tiene su valor mínimo
y máximo?
5. ¿Cuál es la fuerza de gravitación que actúa sobre una cápsula espacial de 2456 𝑘𝑔 que
gira alrededor de la Tierra a una distancia de dos radios terrestres del centro de la Tierra?
La masa de la Tierra es 𝑚𝑇 = 5.98 × 1024 𝑘𝑔.
6. Calcule la fuerza total que ejercen la Tierra y el Sol (𝑚sol = 1.99 × 1030 𝑘𝑔) sobre la
Luna (𝑚𝐿𝑢𝑛𝑎 = 7.35 × 1022 𝑘𝑔) debido a la gravitación universal, suponiendo que
están en ángulos rectos entre sí. 𝐹𝑇 = √𝐹𝑇𝐿2 + 𝐹𝑆𝐿
2. Consideramos la distancia
Tierra-Luna en 3.84 × 108 𝑚, y Luna-Sol en 1.50 × 1011 𝑚.
7. ¿Cuál es el valor efectivo de g en la cima del monte Everest 8848 𝑚 por encima de la
superficie de la Tierra? Es decir, ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad de los
objetos que se dejan en caída libre a esa altura?
8. Calcule la fuerza gravitacional entre una mujer de 78 𝑘𝑔 y un hombre de 120 𝑘𝑔
que están de pie a 5 𝑚 de distancia.
9. Calcule la fuerza de gravedad de una nave espacial que se encuentra a 16700 𝑘𝑚
sobre la superficie de la Tierra. Su masa es de 4500 𝑘𝑔.
10. Calcula la aceleración de la gravedad en la Luna. El radio lunar es de aproximadamente
1.74 × 106 𝑚, y su masa es de 7.35 × 1022 𝑘𝑔.
65
CUESTIONARIO II
1. Un planeta hipotético tiene un radio igual a 2.5 veces el de la Tierra, pero tiene la misma
masa. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en su superficie?
2. Calcule el valor efectivo de 𝑔, la aceleración de la gravedad a a) 3200 𝑚, y b) 3200 𝑘𝑚
sobre la superficie de la Tierra.
3. Un final exótico para las estrellas masivas es el de una estrella de neutrones, que podría
tener una masa de hasta 5 veces la masa de nuestro Sol contenida en una esfera de
aproximadamente 10 𝑘𝑚 de radio. Estima la gravedad superficial de dicha estrella de
neutrones.
4. A veces la gente pregunta qué es lo que mantiene a un satélite en su órbita alrededor de
la Tierra. ¿Cómo contestaría usted a esa pregunta? Explique en detalle.
5. ¿Cuál es la fuerza de gravedad que actúa sobre una cápsula espacial de 2000 𝑘𝑔 que
gira alrededor de la Tierra a una distancia de dos radios terrestres del centro de la Tierra?
La masa de la Tierra es 𝑚𝑇 = 5.98 × 1024 𝑘𝑔.
6. Calcule la fuerza neta que ejercen la Tierra y el Sol (𝑚s = 1.99 × 1030 𝑘𝑔) sobre la
Luna (𝑚𝐿 = 7.35 × 1022 𝑘𝑔) debido a la gravitación universal, suponiendo que están
en ángulos rectos entre sí.
7. ¿Cuál es el valor efectivo de g en la cima del monte Everest 8848 𝑚 (29028 𝑓𝑡) por
encima de la superficie de la Tierra? Es decir, ¿Cuál es la aceleración debida a la
gravedad de los objetos que se dejan en caída libre a esa altura?
8. Calcule la fuerza gravitacional entre una mujer de 60 𝑘𝑔 y un hombre de 80 𝑘𝑔 que
están de pie a 5 𝑚 de distancia.
9. Calcule la fuerza de gravedad de una nave espacial que se encuentra a 12800 𝑘𝑚
(2 radios terrestres) sobre la superficie de la Tierra. Su masa es de 1400 𝑘𝑔.
10. Calcula la aceleración de la gravedad en la Luna. El radio lunar es aproximadamente
1.74 × 106 𝑚, y su masa es de 7.35 × 1022 𝑘𝑔
11. Escribe tres ejemplos que se puedan explicar con las Leyes de Kepler.
66
12. Completa las siguientes tablas:
Objeto Masa Terrestre (kg) Radio Terrestre (m) Gravedad
(𝒎/𝒔𝟐)
Masa
(kg) Peso (N)
TIERRA
𝟓. 𝟗𝟖 × 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝟔. 𝟑𝟕 × 𝟏𝟎𝟔 𝟗. 𝟖 𝟕𝟎 𝟔𝟖𝟔
SOL
𝟑𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎 = 1.99 × 1030 𝟏𝟏𝟎 =
𝟕𝟎
MERCURIO
𝟎. 𝟎𝟓𝟓 = 3.28 × 1023 𝟎. 𝟑𝟖 =
𝟕𝟎
VENUS
𝟎. 𝟖𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟓 =
𝟕𝟎
MARTE
𝟎. 𝟏𝟏 = 𝟎. 𝟓𝟑 =
𝟕𝟎
JÚPITER
𝟑𝟏𝟖 = 𝟏𝟏. 𝟎 =
𝟕𝟎
SATURNO
𝟗𝟓. 𝟐 = 𝟗. 𝟐 =
𝟕𝟎
URANO
𝟏𝟒. 𝟓 = 𝟑. 𝟕 =
𝟕𝟎
NEPTUNO
𝟏𝟕. 𝟑 = 𝟑. 𝟒𝟕 =
𝟕𝟎
Masa [𝑲𝒈]
Gravedad [𝒎/𝒔𝟐]
Peso [𝑵]
10 3.73 20 8.83 30 9.80 40 3.73 50 25.90 60 11.10 70 10.50 80 10.60 90 2.35 100 2.80 150 8.90 200 22.90 250 9.10 500 7.80
67
CUESTIONARIO III
1. La masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 del radio de la
Tierra. Calcula el peso de una persona en la superficie de la Luna que tiene una masa de
97 𝑘𝑔.
2. Calcula la fuerza gravitacional de dos cuerpos, si una de ellas tiene una masa de 90
y 120 𝑘𝑔 respectivamente. Se encuentran separadas una distancia de a) 1 𝑘𝑚, b) 500 𝑚,
c) 100 𝑚, d) 10 𝑚, e) 1 𝑚 y f) 10 𝑐𝑚.
3. A que distancia se encuentran dos cuerpos con masas de 4 × 10−2 𝑘𝑔 y 19 × 10−3 𝑘𝑔,
si la fuerza con que se atraen es de 20 × 10−4 𝑁.
4. ¿Qué distancia debe de haber entre un cuerpo de 1200 𝑘𝑔 y otro de 2 𝑇 para que
se atraigan con una fuerza de 34 × 10−3 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑠?
5. Calcula la masa de un objeto si la fuerza gravitacional con que se atrae con otro cuerpo
de 200 𝑘𝑔 es de 450 × 10−3 𝑁 a una distancia de 618.72 𝑦𝑑.
6. Una barra metálica cuyo peso es de 850 𝑁 se acerca a otra de 1780 𝑁 hasta que la
distancia entre sus centros de gravedad sea de 90 𝑐𝑚. Calcula con que fuerza se atraen.
7. ¿A qué distancia se encuentran dos elefantes cuyas masas son 1.2 × 103 𝑘𝑔
y 1.5 × 103 𝑘𝑔, se atraen con una fuerza gravitacional de 7.8 × 10−9 𝑁?
8. Determine la masa de un cuerpo, si la fuerza gravitacional con que se atrae con otro
cuerpo de 324 𝑘𝑔, es de 89 × 10−10 𝑁 a 1 metro de distancia.
9. Calcula la masa de la Tierra considerando que su radio es de 6400 𝑘𝑚.
10. ¿A qué distancia por arriba de la superficie de la Tierra se reducirá el peso de una persona
hasta la mitad del valor que tiene estando en la superficie terrestre?
68
El centro de masas de un sistema de
partículas se mueve como si fuera una
partícula de masa igual a la masa total
del sistema bajo la acción de la
resultante de las fuerzas exteriores
aplicadas al sistema. El centro de masa
del clavadista describe una trayectoria
parabólica.
¿Te has puesto a pensar como analizarías el movimiento de un clavadista?
El centro de masa de un clavadista sigue una trayectoria parabólica aun cuando el clavadista
gire. Esta es la misma trayectoria parabólica que seguiría una partícula proyectada cuando sobre
ella actúa solo la fuerza de gravedad. Otros puntos en el cuerpo del clavadista en rotación, como
los pies o la cabeza, siguen trayectorias más complicadas para analizar. El movimiento del
clavadista es puramente de traslación, pero es traslación más rotación. Las observaciones
indican que, si un objeto gira o varias partes de un sistema de objetos se mueven una en relación
con las otras, existe entonces un punto que se mueve en la misma trayectoria en la que se movería
una partícula si estuviese sujeta a la misma fuerza neta. A ese punto se le llama centro de masa.
El movimiento general de un objeto extendido (o sistema de objetos) se considera como la suma
del movimiento de traslación del centro de masa más los movimientos de rotación, vibratorios
y de otros tipos, en torno al centro de masa del sistema.
69
CAPÍTULO III CENTRO DE MASA
LO QUE APRENDEREMOS
▪ El centro de masa es el punto en el que podemos imaginar que está concentrada toda
la masa de un objeto.
▪ La posición del centro de masa combinado de dos o más objetos se encuentra tomando
la suma de sus vectores de posición, multiplicados por sus masas individuales.
▪ El movimiento de traslación del centro de masa de un objeto extenso se puede
describir por la mecánica newtoniana.
▪ El momento o ímpetu del centro de masa es la suma de los vectores de momento
o ímpetu lineales de las partes de un sistema.
▪ Para sistemas de dos partículas, trabajar en términos de momento o ímpetu del centro
de masa y momento o ímpetu relativo en vez de los vectores de momento o ímpetu
individuales da una percepción más profunda de la física de colisiones y fenómenos
de retroceso.
▪ Es posible calcular la posición del centro de masa de un objeto extenso integrando
su densidad de masa para su volumen total, multiplicado por el vector de posición,
y luego dividir entre la masa total.
▪ Si un objeto tiene un plano de simetría, el centro de masa está en ese plano. Si el objeto
tiene más de un plano de simetría, el centro de masa está en la línea o en el punto de
intersección de los planos.
3.1 CENTRO DE MASA
El movimiento de un cuerpo puede representarse por el movimiento de un punto, el análisis
del movimiento de uno o más cuerpos, se simplifica si se determina el centro de masa. La ventaja
que tiene a los efectos prácticos es que podemos ignorar la estructura interna del cuerpo
y considerarlo reducido a su centro de masa con todas las fuerzas externas aplicadas a dicho
punto. Así, al lanzar una piedra al aire consideramos su peso aplicado en el centro de masa,
que es el que describe su trayectoria parabólica. O al hablar de la trayectoria de la Tierra
alrededor del Sol, nos referimos a la trayectoria descrita por su centro de masa de la Tierra.
La cantidad de movimiento de un sistema aislado se conserva a pesar de que algunas partes del
sistema pueden interactuar con otras partes de mismo; las interacciones internas transfieren la
cantidad de movimiento entre las partes del sistema, pero no cambian la cantidad del
movimiento total del sistema. Podemos definir un punto llamado centro de masa (CM) que sirve
como un lugar promedio del sistema, es decir, el centro de masa de un sistema discreto
o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera
aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema (ver figura 3.1).
De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el
centro de masa es un sistema equivalente al original. El centro de masa de un sistema aislado
debe moverse con velocidad constante, independientemente de que tan complicados sean los
movimientos de las partes del sistema.
70
Fig. 3.1 Fotografía estroboscópica de un clavadista.
Por lo tanto, podemos estudiar la masa del sistema como si estuviera concentrada en su totalidad
en el centro de masa como si fuera una partícula puntual. El centro de masa de un objeto no
se ubica necesariamente dentro del objeto: para algunos objetos se localiza fuera del
mismo; un ejemplo de esto podría ser un toroide o una herradura.
Para el caso de los sistemas que no están aislados toda la masa del sistema está concentrada en
una sola partícula puntual ubicada en el centro de masa. El movimiento de esa partícula puntual
ficticia está determinado por la segunda ley de Newton, donde la fuerza neta es la suma de todas
las fuerzas externas que actúan sobre cualquier parte del sistema.
En el caso de un sistema complejo formado de muchas partes que interactúan entre sí,
el movimiento del centro de masa es considerablemente más sencillo que el movimiento de una
partícula cualquiera del sistema.
Una manera sencilla de obtener el centro de masa en figuras simétricas y homogéneas, consiste
en observar los ejes y los planos de simetría. El centro de masa debe encontrarse en algún
punto de dicha figura. En el caso del semicírculo, el eje de coordenadas 𝒚 es un eje de
simetría que divide al semicírculo en dos cuartos de círculo simétricos. Por lo tanto, el centro
de masa se encuentra en el eje 𝑦, su coordenada 𝑥 por lo tanto será nula 𝑥𝐶𝑀 = 0.
En los casos en los que haya más de un elemento de simetría, el centro de masa debe pertenecer
a cada uno de dichos elementos de simetría, y estará por lo tanto en la intersección de dichos
elementos de simetría. En esto casos podríamos conocer la posición del centro de masa sin
necesidad de realizar ningún cálculo.
En la figura 3.2 se muestran los elementos de simetría de diversas figuras y la posición del
centro de masa de cada una de ellas.
71
Fig. 3.2 Figuras simétricas homogéneas con sus centros de masa marcados (CM).
Para un sistema compuesto de dos partículas, el centro de masa queda en algún punto sobre una
línea entre las dos partículas. Para el caso de dos partículas iguales de masas 𝑚1 y 𝑚2 que se
localizan en las posiciones x1 y x2, respectivamente, tenemos que la ubicación del centro de masa
viene dada como,
𝑥𝐶𝑀 =𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2
𝑚1 + 𝑚2 (3.1)
Si las masas de las partículas son iguales, el centro de masa del sistema se encuentra en el
punto medio entre estas dos. Para el caso en que las masas sean diferentes el centro de
masa estará más cerca de la partícula de mayor masa.
El centro de masa es un promedio ponderado de las posiciones de las dos partículas.
La posición de una partícula con más masa cuenta más, ya que es portadora de un mayor peso
estadístico, que la posición de una partícula con una menor masa. Podemos reescribir la ecuación
3.1 como un promedio ponderado,
𝑥𝐶𝑀 =𝑚1
𝑀𝑥1 +
𝑚2
𝑀𝑥2 (3.2)
Aquí 𝑀 = 𝑚1 + 𝑚2 representa la masa total del sistema. El peso estadístico que se usa para la
ubicación de cada partícula es la masa de esa partícula como una fracción de la masa total del
sistema.
Supongamos que las masas 𝑚1 y 𝑚2 son iguales, entonces esperamos que el centro de masa se
ubique a la mitad de la distancia entre las dos partículas. Si 𝑚1 = 2𝑚2 entonces el centro de
masa está más cerca de la partícula de masa 𝑚1, entonces el centro de masa del sistema está dos
veces más alejado de 𝑚2 que de 𝑚1.
En la figura 3.3 observamos a) dos partículas de igual masa ubicadas en las posiciones 𝑥1 y 𝑥2
respecto al origen. El centro de masa se encuentra en el punto medio entre las dos.
b) Dos partículas de masa diferente. El centro de masa está más cerca de la partícula de mayor
masa.
72
Fig. 3.3 a) Centro de masa de dos partículas de igual masa. b) Centro de masa de dos partículas de
diferente masa.
Para un sistema de 𝑁 partículas localizadas en ubicaciones arbitrarias en el espacio
tridimensional, la definición del centro de masa del sistema es una generalización de la ecuación
anterior. Para encontrar el centro de masa en un sistema coordenado definimos la posición
del centro de masa para las coordenadas 𝑿 e 𝒀,
𝑋𝐶𝑀 = 𝑚𝐴𝑥𝐴 + 𝑚𝐵𝑥𝐵
𝑚𝐴 + 𝑚𝐵=
𝑚𝐴𝑥𝐴 + 𝑚𝐵𝑥𝐵
𝑀 (3.3)
𝑌𝐶𝑀 = 𝑚𝐴𝑦𝐴 + 𝑚𝐵𝑦𝐵
𝑚𝐴 + 𝑚𝐵=
𝑚𝐴𝑦𝐴 + 𝑚𝐵𝑦𝐵
𝑀 (3.4)
La definición del centro de masa en forma vectorial es,
�̅�𝐶𝑀 =∑ 𝑚𝑖�̅�𝑖
𝑀 (3.5)
La posición de una partícula en coordenadas 𝑥𝑖, 𝑦𝑖 y 𝑧𝑖 está dada por un vector de posición (𝑟𝑖),
𝑟𝑖 = 𝑥𝑖 𝑖̂ + 𝑦𝑖 𝑗̂ + 𝑧𝑖 �̂� (3.6)
Aquí, el índice identifica la partícula 𝑖̂, 𝑗̂ y �̂� son vectores unitarios que apuntan respectivamente,
en la dirección positiva de los ejes 𝑥, 𝑦 y 𝑧. El centro de masa en forma vectorial está dado por
un vector de posición (𝑟𝐶𝑀),
𝑟𝐶𝑀 = 𝑥𝐶𝑀 𝑖̂ + 𝑦𝐶𝑀 𝑗̂ + 𝑧𝐶𝑀 �̂� (3.7)
Para una definición en forma de componentes,
𝑥𝐶𝑀 =∑ 𝑚𝑖𝑥𝑖
𝑀 (3.8)
𝑦𝐶𝑀 =∑ 𝑚𝑖𝑦𝑖
𝑀 (3.9)
𝑧𝐶𝑀 =∑ 𝑚𝑖𝑧𝑖
𝑀 (3.10)
73
Donde 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑁 y 𝑀 = ∑ 𝑚𝑖. La notación ∑ 𝑚𝑖𝑥𝑖 se define como,
∑ 𝑚𝑖𝑥𝑖 = 𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑚𝑁𝑥𝑁 (3.11)
Para partículas que se encuentran en un espacio bidimensional, sólo se utilizan dos de estas
ecuaciones (plano x-y) y hallamos las componentes x e y del centro de masa. Para obtener el
centro de masa de un sistema a partir de las áreas de figuras geométricas se sustituyen los
cocientes de las áreas por las relaciones entre las masas:
𝑥𝐶𝑀 =𝐴1
𝐴𝑇𝑥𝐶𝑀1
+𝐴2
𝐴𝑇𝑥𝐶𝑀2
(3.12)
𝑦𝐶𝑀 =𝐴1
𝐴𝑇𝑦𝐶𝑀1
+𝐴2
𝐴𝑇𝑦𝐶𝑀2
(3.13)
El cálculo del centro de masa es más sencillo si se coloca el origen en el centro geométrico
de la figura en el plano (𝒙, 𝒚). Si el sistema contiene una o más figuras, coloque el origen de
coordenadas sobre la localización de una de las figuras (ver figura 3.4).
Fig. 3.4 Ejemplo de dos figuras en un plano (𝑥, 𝑦) para calcular el centro de masa por áreas.
3.1 Ejercicio en Clase
La estación espacial internacional está compuesta por tres módulos que forman un
triángulo equilátero, conectado mediante estructuras de longitud 𝑳 y masa despreciable.
Dos de los módulos tienen masa 𝒎 y el otro 𝟐𝒎. Calcula el centro de masa de la estación.
74
3.2 Ejercicio en Clase
Sean las masas 𝒎𝟏 = 𝟏 𝒌𝒈, 𝒎𝟐 = 𝟑 𝒌𝒈 y 𝒎𝟑 = 𝟐 𝒌𝒈, situadas en las coordenadas
𝑶 (𝟎, 𝟎, 𝟎), 𝑨 (𝟎, 𝟒, 𝟎) y 𝑩 (0, 0, 3). Determina la posición del centro de masa del sistema.
3.3 Ejercicio en Clase
Una barra homogénea de masa 𝒎 = 𝟐 𝒌𝒈 y longitud 𝑳, lleva en cada uno de sus
extremos una masa de valor 𝒎𝟏 = 𝟒 𝒌𝒈 y 𝒎𝟐 = 𝟐 𝒌𝒈 respectivamene. Determina el
centro de masa del sistema.
3.4 Ejercicio en Clase
La partícula A se encuentra en el origen y tiene una masa de 𝟑𝟎 𝒈. La particula 𝑩 tiene
una masa de 𝟏𝟎 𝒈. ¿Dónde debe ubicarse la partícula 𝑩 si las coordenadas del centro de
masa son (𝒙, 𝒚) = (𝟐. 𝟎, 𝟓. 𝟎 𝒄𝒎)?
75
Lectura
EL CENTRO DE MASA Y LA ESTABILIDAD
La posición del centro de masa es muy importante en la estabilidad. Si trazamos una vertical
hacia abajo desde el centro de gravedad de un objeto de cualquier forma, y cae dentro de la
base de ese objeto, quiere decir que está en equilibrio estable, es decir, permanecerá
en equilibrio. Si cae fuera de la base, es inestable. Como ejemplo podemos mencionar
la famosa Torre inclinada de Pisa, en la cual una línea que va del centro de masa de la torre,
cae dentro de su base, y es la causa de que la Torre haya permanecido de pie durante siglos.
Si la Torre se inclinara lo suficiente para que el centro de masa quedara más allá de la base,
un momento de torsión desequilibrado haría que se viniera abajo. Para reducir la probabilidad
de un cuerpo u objeto pierda el equilibrio y su estabilidad, es preferible diseñar los objetos
con una base amplia y un centro de masa bajo. Cuanto más amplia sea la base, se deberá
elevar más el centro de masa, antes de que el objeto se voltee o decaiga. Otro ejemplo de
estabilidad, es cuando estás de pie o estás acostado, tu centro de masa estará dentro de tu
cuerpo. Si eres bastante flexible, podrás doblarte y tocarte los dedos de los pies sin doblar las
rodillas. Comúnmente, cuando te flexionas y te tocas los dedos de los pies alargas las
extremidades inferiores, de tal modo que tu centro de masa está sobre una base de soporte,
que son los pies. Pero si tratas de hacer lo mismo recargado en una pared, no te podrás
equilibrar, porque tu centro de masa se saldrá de los pies. Lo interesante acerca del centro de
masa de un objeto o de un sistema, es que, es el punto en donde actúa cualquier fuerza
uniforme sobre el objeto. Esto es útil porque facilita resolver problemas de mecánica en donde
tenemos que describir el movimiento de objetos con formas raras y de sistemas complicados.
Para los propósitos de los cálculos, podemos tratar un objeto de forma rara como si toda su
masa estuviera concentrada en un objeto pequeñito ubicado en el centro de masa.
A veces llamamos a este objeto imaginario una masa puntual. Si empujamos un objeto rígido
en su centro de masa, entonces el objeto siempre se moverá como si fuera una masa puntual.
No va a rotar alrededor de ningún eje, sin importar la forma que tenga. Si el objeto es sometido
a la acción de una fuerza fuera de equilibrio en algún otro punto, entonces empezará a rotar
alrededor del centro de masa.
1. ¿En términos del centro de masa porque no se viene abajo la famosa Torre
inclinada de Pisa?
2. ¿Por qué el centro de masa de una mujer promedio está más bajo que el de un
hombre promedio de la misma estatura?
76
3. ¿Está el centro de masa siempre en el mismo punto de tu cuerpo?
4. ¿Cómo se define el concepto de masa puntual?
5. ¿Cuál es la relación entre el centro de masa y la estabilidad de los objetos?
3.2 MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
Para entender el movimiento de un cuerpo existen muchos elementos a considerar, al observar
un cuerpo resulta fácil distinguir si está en movimiento. Un cuerpo está en movimiento cuando
cambia de posición, el movimiento es relativo dependiendo del punto de referencia, se debe de
considerar siempre un punto de referencia.
El movimiento de un objeto o de un sistema de partículas se puede describir en función
del movimiento del centro de masa, que puede considerarse como el movimiento global del
sistema más el movimiento de las partículas individuales en el sistema relativo al centro de
masa.
En la figura 3.5 observamos a un atleta saltando. Mientras el atleta está en el aire su centro de
masa sigue una trayectoria parabólica, la misma que seguiría una partícula puntual.
Las extremidades del cuerpo del atleta rotan en torno a este punto cuando el atleta se mantiene
en el aire.
Fig. 3.5 El movimiento del centro de masa (CM) representa el movimiento de todo el cuerpo.
77
Una vez obtenida la posición del centro de masa del sistema podemos calcular la velocidad de
dicho centro en relación con las velocidades de las diversas partes del sistema.
Durante un intervalo de tiempo (∆𝑡), el desplazamiento del sistema es,
∆�̅�𝑖 = �̅�𝑖∆𝑡 (3.14)
El desplazamiento del centro de masa del sistema es,
∆�̅�𝐶𝑀 = �̅�𝐶𝑀∆𝑡 (3.15)
A partir de la definición del centro de masa, los desplazamientos deben estar relacionados como,
∆�̅�𝐶𝑀 =∑ 𝑚𝑖∆�̅�𝑖
𝑀 (3.16)
o bien,
𝑀∆�̅�𝐶𝑀 = 𝑚1∆�̅�1 + 𝑚2∆�̅�2 + ⋯ + 𝑚𝑛∆�̅�𝑛 (3.17)
Podemos reemplazar cada desplazamiento por una velocidad y el intervalo de tiempo ∆𝑡,
𝑀�̅�𝐶𝑀∆𝑡 = 𝑚1�̅�1∆𝑡 + 𝑚2�̅�2∆𝑡 + ⋯ + 𝑚𝑛�̅�𝑛∆𝑡 (3.18)
El intervalo de tiempo ∆𝑡 es el mismo en todos los términos. Se dividen ambos lados entre ∆𝑡,
𝑀 �̅�𝐶𝑀 = 𝑚1�̅�1 + 𝑚2�̅�2 + ⋯ + 𝑚𝑛�̅�𝑛 (3.19)
La cantidad de movimiento es una magnitud física fundamental de tipo vectorial que describe
el movimiento de un cuerpo. En mecánica clásica la cantidad de movimiento se define como
el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado.
La cantidad total de movimiento de un sistema se define como la suma de las cantidades de
movimiento individuales de las partículas que lo forman,
�̅� = ∑ �̅�𝑖 = �̅�1 + �̅�2 + … + �̅�𝑛 (3.20)
Con lo anterior queda demostrado que la cantidad de movimiento total de un sistema es igual
a la masa total del sistema multiplicado por la velocidad del centro de masa,
�̅� = 𝑀 �̅�𝐶𝑀 (3.21)
En el movimiento bidimensional, generalmente es más fácil trabajar con las componentes de las
cantidades de movimiento en las direcciones 𝑥 e 𝑦,
𝑝𝑥 = 𝑀𝑣𝐶𝑀𝑋 (3.22)
𝑝𝑦 = 𝑀𝑣𝐶𝑀𝑦 (3.23)
Donde 𝑝𝑥 y 𝑝𝑦 son las componentes (𝑥, 𝑦) de la cantidad de movimiento total del sistema.
El movimiento del centro de masa para un sistema de partículas está relacionado con la
fuerza neta que actúa sobre el sistema como un todo. Podemos demostrar esto examinando
el movimiento de un sistema de 𝑛 partículas de masa total (𝑀).
78
Para determinar la aceleración del centro de masa (�̅�𝐶𝑀), se calcula primero su velocidad,
𝑀 �̅�𝐶𝑀 = ∑ 𝑚𝑖�̅�𝑖 (3.24)
𝑀 �̅�𝐶𝑀
∆𝑡= 𝑚1
�̅�1
∆𝑡+ 𝑚2
𝑑�̅�2
∆𝑡+ ⋯ = ∑ 𝑚𝑖
�̅�𝑖
∆𝑡 (3.25)
Se obtiene la velocidad respecto de la posición,
𝑀 �̅�𝐶𝑀 = 𝑚1�̅�1 + 𝑚2�̅�2 + ⋯ = ∑ 𝑚𝑖�̅�𝑖 (3.26)
Una nueva diferenciación nos da las aceleraciones,
𝑀 �̅�𝐶𝑀 = 𝑚1�̅�1 + 𝑚2�̅�2 + ⋯ = ∑ 𝑚𝑖�̅�𝑖 (3.27)
Donde (�̅�𝑖) es la aceleración de la partícula 𝑖-ésima y (�̅�𝐶𝑀) es la aceleración del centro de masa
del sistema. Sin embargo, de acuerdo con la segunda ley de Newton (𝑚𝑖�̅�𝑖) es igual a la suma
de las fuerzas que actúan sobre la partícula 𝑖, por lo que,
∑ 𝑚𝑖�̅�𝑖 = ∑ �̅�𝑖 (3.28)
Donde el término de la derecha es la suma de todas las fuerzas que actúan en cada partícula del
sistema. Algunas de estas fuerzas son internas (ejercidas sobre la partícula del sistema por otra
partícula del mismo sistema) y otras son externas (ejercidas sobre una partícula del sistema por
una partícula que no está en el sistema). Entonces,
𝑀 �̅�𝐶𝑀 = ∑ �̅�𝑖𝑖𝑛𝑡+ �̅�𝑖𝑒𝑥𝑡 (3.29)
De acuerdo con la tercera ley de Newton, las fuerzas se presentan emparejadas acción- reacción.
Así, para cada fuerza interna que actúa sobre una partícula existe una fuerza igual pero opuesta
que actúa sobre otra partícula. Cuando se suman todas las fuerzas internas, cada pareja acción-
reacción suma cero, de forma que �̅�𝑖𝑖𝑛𝑡= 0, con lo cual la ecuación anterior se convierte en,
�̅�𝑛𝑒𝑡𝑎𝑒𝑥𝑡= ∑ �̅�𝑖𝑒𝑥𝑡
= 𝑀 �̅�𝐶𝑀 (3.30)
Esta ecuación nos dice que la masa total (𝑀) multiplicada por la aceleración del centro de masa
(�̅�𝐶𝑀) es igual a la fuerza externa resultante que actúa sobre el sistema. Podemos concluir que
el centro de masa de un sistema se mueve como una partícula de masa (𝑴 = ∑ 𝒎𝒊)
sometida a la influencia de la fuerza externa resultante que actúa sobre el sistema.
Esta conclusión es importante porque nos demuestra cómo describir el movimiento del centro
de masa de cualquier sistema de partículas. El centro de masa se comporta exactamente igual
que una sola partícula puntual sometida únicamente a las fuerzas externas.
Los movimientos individuales de los elementos del sistema generalmente son mucho más
complejos y no vienen descritos por estas ecuaciones.
79
El atleta brincando es un ejemplo, la única fuerza que actúa es la gravedad, el centro de masa
del atleta se mueve en una trayectoria parabólica, como si se tratara de una partícula puntual.
Un caso especial del movimiento del centro de masa es cuando sobre el sistema no actúa
ninguna fuerza externa neta.
Por lo tanto �̅�𝐶𝑀 = 0, es decir, que el centro de masa está en reposo o se mueve con velocidad
constante. Las fuerzas internas y el movimiento pueden ser complejos, pero el comportamiento
del centro de masa es simple. Además, si la fuerza externa neta no es cero, pero una componente
de ella en una dirección dada, por ejemplo, la dirección 𝑥, es cero, entonces �̅�𝐶𝑀𝑥= 0 y �̅�𝐶𝑀𝑥
permanece constante.
Un ejemplo de esto es un proyectil sin resistencia del aire. La fuerza externa neta sobre el
proyectil es la fuerza gravitatoria, esta fuerza actúa hacia abajo, por lo que la componente de la
fuerza en la dirección horizontal es cero. Por lo cual, la componente horizontal de la velocidad
del centro de masa es constante.
El centro de masa para el cuerpo humano se puede calcular si se tiene un grupo de objetos
extendidos y se conoce el centro de masa de cada uno.
En la tabla 5 se indica el centro de masa y los puntos de bisagra (articulaciones) para los
diferentes componentes de una persona representativa. Desde luego existen amplias variaciones
entre las personas, así que estos datos solo representan un promedio muy aproximado.
Los números representan un porcentaje de la altura total, que se considera como 100 unidades;
de igual modo, la masa total es de 100 unidades. Por ejemplo, si una persona mide 1.70 m de
alto, la articulación de su hombro estaría a (1.70 𝑚)(81.2/100) = 1.38 𝑚 sobre el suelo.
Tabla 5. Centro de masa de las partes de un cuerpo humano típico.
Distancia sobre
el suelo de los
puntos bisagra
(%)
Puntos bisagra (•)
(Articulaciones)
Centro de masa (×)
(% de altura sobre el
suelo)
Masa
porcentual
91.2 Base del cráneo Cabeza 93.5 6.9
81.2 Articulación del hombro Tronco y cuello 71.1 46.1
Brazos 71.1 6.6
Antebrazos 55.3 4.2
52.1 Articulación de la cadera Manos 43.1 1.7
Muslos 42.5 21.5
28.5 Articulación de la rodilla Pantorrillas 18.2 9.6
4 Articulación del tobillo Pies 1.8 3.4
CM del cuerpo 58 100
Conocer el centro de masa del cuerpo cuando está en varias posiciones es de gran utilidad al
estudiar la mecánica del cuerpo. Por ejemplo, si suponemos a un atleta en un salto de altura su
centro de masa puede pasar por debajo de la barra que su cuerpo pasa por arriba, lo que significa
que, para una velocidad de despegue particular, podría librar una barra más alta (ver figura 3.6).
De hecho, esto es lo que los atletas de esta especialidad intentan hacer.
Codo 6.62
Muñeca 46.2
80
Fig. 3.6 El centro de masa de un atleta pasa realmente por debajo de la barra mientras su cuerpo pasa
por arriba de dicha barra.
Conocer la posición del centro de masa respecto a la talla puede resultar útil a la hora de orientar
sobre la predisposición de un deportista para realizar un tipo de deporte u otro, aunque éste no
es un dato excluyente. Por otro lado, algunos deportes pueden modelar el cuerpo produciendo
adaptaciones que desplacen el centro de masa hacia la parte superior o inferior del cuerpo.
En deportes en los que interesa aumentar la estabilidad, como el judo o la gimnasia,
será favorable tener el centro de masa por debajo de los valores medios, mientras que,
en deportes como el salto alto o salto largo, interesa ponerlo por encima.
El centro de gravedad es el punto a través del cual la fuerza de gravedad actúa sobre un
objeto o un sistema. En la mayoría de los problemas de mecánica, se supone que el campo
gravitacional es uniforme. Entonces, el centro de gravedad está exactamente en la misma
posición que el centro de masa. Los términos del centro de gravedad y del centro de masa a
menudo tienden a usarse de manera intercambiable, ya que suelen estar en la misma ubicación.
Una aplicación útil del centro de masa es la determinación del ángulo máximo al que se puede
inclinar un objeto antes de voltearse. La figura 3.7 muestra una sección transversal de un camión.
El camión fue cargado de manera incorrecta con muchos artículos pesados colocados en el lado
izquierdo. El centro de masa se muestra como un punto rojo. Una línea roja, que representa la
fuerza de la gravedad, se extiende hacia abajo desde el centro de masa. La gravedad actúa sobre
todo el peso del camión a través de esta línea.
Si el camión se inclina un ángulo 𝜃𝑡 , entonces todo el peso del camión estará soportado por la
orilla más a la izquierda de la llanta izquierda. Si el ángulo se incrementa un poco más,
entonces el punto de soporte se moverá fuera de cualquier punto de contacto con el camino
y está garantizado que el camión se volteará. El ángulo 𝜃𝑡 es el límite de volteo.
81
Fig. 3.7 Límite de volteo de un camión mal cargado.
El centro de gravedad está relacionado con el equilibrio. Hay una ley de la Estática que dice que
un cuerpo permanecerá en equilibrio siempre que la vertical que pasa por su centro de gravedad
caiga dentro del polígono de apoyo o base de sustentación del mismo (la base o polígono
de sustentación es la figura geométrica que se forma en el plano perpendicular a la vertical
que pasa por el centro de gravedad, al unir los puntos de contacto del cuerpo con el mismo).
Por ejemplo, la torre inclinada de Pisa está en equilibrio estable, porque ha sido construida
con materiales muy pesados la primera cuarta parte, y luego más, y más livianos yendo hacia
arriba. De esta manera se ha bajado considerablemente el centro de gravedad de la torre y la
vertical que parte de dicho centro cae todavía muy dentro de la base de sustentación delimitada
por los cimientos.
En conclusión, el centro de gravedad es el centro de simetría de masa, donde se intersectan
los planos. En dicho punto, se aplica la resultante de las fuerzas gravitatorias que ejercen
su efecto en un cuerpo.
3.5 Ejercicio en Clase
Las masas 𝑴𝑨 = 𝟑𝟓 𝒌𝒈 y 𝑴𝑩 = 𝟐𝟓 𝒌𝒈 tienen velocidades de 𝑽𝑨 = 𝟏𝟐 𝒎/𝒔
y 𝑽𝑩 = 𝟐𝟎 𝒎/𝒔. Determina la velocidad del centro de masa del sistema.
82
LO QUE HEMOS APRENDIDO • El centro de masa es un punto en el que podemos
imaginar que se concentra toda la masa de un objeto.
• El centro de masa de un sistema discreto o continuo es
el punto geométrico que dinámicamente se comporta
como si en él estuviera aplicada la resultante de las
fuerzas externas al sistema
• El centro de masa de un objeto no se ubica
necesariamente dentro del objeto, para algunos objetos
se localiza fuera del mismo.
• La ubicación del centro de masa para una combinación
de varios objetos o masas se puede encontrar tomando
el promedio de las posiciones de los centros de masa de
los objetos individuales.
𝑥𝐶𝑀 =𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2
𝑚1 + 𝑚2
(3.1)
• El centro de masa en un sistema coordenado se define
como la posición del centro de masa para las
coordenadas X e Y.
𝑋𝐶𝑀 = 𝑚𝐴𝑥𝐴 + 𝑚𝐵𝑥𝐵
𝑀 (3.3)
𝑌𝐶𝑀 = 𝑚𝐴𝑦𝐴 + 𝑚𝐵𝑦𝐵
𝑀 (3.4)
• El cálculo del centro de masa es más sencillo si se coloca
el origen en el centro geométrico de la figura en el plano (𝑥, 𝑦).
• El movimiento del centro de masa para un sistema de
partículas está relacionado con la fuerza neta que actúa
sobre el sistema como un todo.
• Podemos concluir que el centro de masa de un sistema
se mueve como una partícula de masa (𝑀 = ∑ 𝑚𝑖)
sometida a la influencia de la fuerza externa resultante
que actúa sobre el sistema.
�̅�𝑛𝑒𝑡𝑎𝑒𝑥𝑡∑ = 𝑀 �̅�𝐶𝑀 (3.30)
• Un caso especial del movimiento del centro de masa es
cuando sobre el sistema no actúa ninguna fuerza externa
neta.
• El centro de masa para el cuerpo humano se puede
calcular si se tiene un grupo de objetos extendidos y se
conoce el centro de masa de cada uno.
• El centro de gravedad es el punto a través del cual la
fuerza de gravedad actúa sobre un objeto o un sistema.
El centro de gravedad está exactamente en la misma
posición que el centro de masa.
• El centro de gravedad es el centro de simetría de masa,
donde se intersectan los planos. En dicho punto, se
aplica la resultante de las fuerzas gravitatorias que
ejercen su efecto en un cuerpo.
83
Problema 3.1
Tres masas, 2, 3 y 6 kg, están en las posiciones (3, 0), (6, 0) y (-4, 0) respectivamente,
en metros respecto al origen. ¿Dónde está localizado el centro de masa del sistema?
𝑅 = (0, 0 𝑚)
Problema 3.2
Tres partículas de igual masa (𝒎) descansan a lo largo del eje 𝒙 en los puntos 𝒙𝟏 = 𝟏. 𝟎 𝒎,
𝒙𝟐 = 𝟓. 𝟎 𝒎, 𝒙𝟑 = 𝟔. 𝟎 𝒎. Determine la posición del centro de masa del sistema.
𝑅 = (4, 0 𝑚)
Problema 3.3
Se tienen 3 partículas con las siguientes características, 𝒎𝑨 = 𝟒 kg en (1, 2,), 𝒎𝑩 = 𝟐 kg
en (3, 5), y 𝒎𝑪 = 𝟓 kg en (6, 4), las coordenadas están dadas en metros. Calcule la posición
del centro de masa del sistema.
𝑅 = (3.6, 3.4 𝑚)
Problema 3.4
Determina el centro de masa de la lámina de madera.
𝑅 = (0.43, 0.23 𝑚)
Problema 3.5
Una molécula de agua está formada por un átomo de
oxígeno y dos átomos de hidrógeno. El átomo de
oxígeno tiene una masa de 16 unidades de masa
atómica (u) y cada átomo de hidrógeno tiene una
masa 1u. Cada uno de los átomos de hidrógeno están
separados una distancia media de 96 pm (96×10-12 m)
del átomo de oxígeno y separados entre sí por un
ángulo de 104.5º. Determinar el centro de masa de la
molécula.
𝑅 = (6.53, 0.00 𝑝𝑚)
84
Problema 3.6
La partícula A se encuentra en el origen y tiene una masa de 30 g. La partícula B tiene una
masa de 10 g. ¿Dónde debe ubicarse la partícula B si las coordenadas del centro de masa
son (𝒙, 𝒚) = (𝟐, 𝟓 𝒄𝒎)?
𝑅 = (8, 20 𝑐𝑚)
Problema 3.7
La partícula A tiene una masa de 5 g y la partícula B tiene una masa de 1 g. La partícula
A se ubica en el origen y la partícula B está en el punto (𝒙, 𝒚) = (𝟐𝟓 𝒄𝒎, 𝟎). ¿Cuál es la
ubicación del centro de masa?
𝑅 = (4.2, 0 𝑐𝑚)
Problema 3.8
Tres cuerpos tienen la misma masa. Si uno de los cuerpos se mueve 12 cm en la misma
dirección positiva de 𝒙, ¿Cuánto se mueve el centro de masa del sistema?
𝑅 = 0.04 𝑚
Problema 3.9
Se necesita hallar el centro de masa de una
escultura, para que la cuelguen correctamente en
una galería. Toda la escultura está en un plano y
consta de varios objetos de formas uniformes, con
las masas y tamaños que se observan en la figura del
problema. Los centros de masa son: Rectángulo (𝟏 𝒎, −𝟎. 𝟐𝟓 𝒎), Círculo (𝟎 𝒎, −𝟐. 𝟓 𝒎) Cuadrado
(𝟏. 𝟒 𝒎, −𝟏. 𝟗 𝒎), Octágono (𝟐 𝒎, −𝟑 𝒎)
¿Dónde se encuentra el centro de masa del sistema?
𝑅 = (0.900, −2.15 𝑚)
Problema 3.10
Una mancuerna tiene una barra conectada de masa insignificante. Determina la ubicación
del centro de masa a) si 𝒎𝟏 y 𝒎𝟐 tienen una masa de 5 kg cada una y b) si 𝒎𝟏 es de 5 kg
y 𝒎𝟐 es de 10 kg.
a) 𝑅 = (0.55, 0.10 𝑚)
b) 𝑅 = (0.66, 0.10 𝑚)
85
Problema 3.11
Determine la posición del centro de masa de una pierna humana, a) cuando está estirada
y b) cuando está flexionada a 𝟗𝟎°. Observe la figura del problema y considere que la
persona mide 1.70 de alto.
a) 𝑅 = 0.54 𝑚
b) 𝑅 = 0.39 𝑚
Problema 3.12
Un cohete se dispara en el aire. En el momento en que el cohete alcanza su punto más alto,
a una distancia horizontal 𝒅 desde su punto de partida. Una explosión preestablecida
lo separa en dos partes de igual masa. La parte I se detiene a mitad del aire por la explosión
y cae verticalmente en la Tierra. ¿Dónde aterriza la parte II? Suponemos 𝒈 = 𝒄𝒏𝒕𝒆.
𝑅 = 𝐴 una distancia 3𝑑 del punto de partida.
Problema 3.13
Un hombre de 75 kg está parado en el extremo lejano de una lancha de 50 kg, a 100 m de
la orilla. Si camina al otro extremo de la lancha, cuya longitud es de 6 m. a) ¿El centro de
masa se mueve a la derecha, izquierda o permanece estacionario? b) Después de caminar
al otro extremo de la lancha, ¿A qué distancia estará de la orilla? Despreciamos la fricción
y suponemos que el centro de masa de la lancha está en su punto medio.
86
a) 𝑅 = 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜.
b) 𝑅 = 97.6 𝑚
Problema 3.14
Tres partículas de masas 𝒎𝟏 = 𝟏. 𝟐 𝒌𝒈, 𝒎𝟐 = 𝟐. 𝟓 𝒌𝒈 y 𝒎𝟑 = 𝟑. 𝟒 𝒌𝒈 forman un triángulo
equilátero de longitud 𝒂 = 𝟏𝟒𝟎 𝒄𝒎 por lado. ¿Dónde está el centro de masa de este sistema
de tres partículas?
𝑅 = (83, 58 𝑐𝑚)
Problema 3.15
Tres partículas están inicialmente en reposo. Cada una experimenta una fuerza externa
debida a cuerpos fuera del sistema de las tres partículas. Las direcciones están indicadas
y las magnitudes son 𝑭𝟏 = 𝟔 𝑵, 𝑭𝟐 = 𝟏𝟐 𝑵, 𝑭𝟑 = 𝟏𝟒 𝑵. ¿Cuál es la aceleración del centro
de masa del sistema y en qué dirección se mueve?
𝑅 = 1.158 𝑚/𝑠2; 27.2°𝑒𝑛 𝑥 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎
87
Problema 3.16
La figura del problema muestra una placa metálica uniforme P de radio 2R de la cual se
ha cortado (removido) un disco de radio R en una línea de producción en serie. Utilizando
el sistema de coordenadas 𝒙𝒚, localice el centro de masa 𝒄𝒅𝒎𝒑 de la placa.
𝑅 = 𝑅1
3
Problema 3.17
A causa de la interacción gravitacional entre dos estrellas de un sistema binario, cada una
se mueve en una órbita circular alrededor del centro de masa del sistema. Una estrella
tiene una masa de 𝟏𝟓 × 𝟏𝟎𝟑𝟎 𝒌𝒈 y su centro se ubica en 𝒙 = 𝟏 𝒖𝒂, 𝒚 = 𝟓 𝒖𝒂. La otra tiene
una masa de 𝟑 × 𝟏𝟎𝟑𝟎 𝒌𝒈 y su centro está en 𝒙 = 𝟒 𝒖𝒂, 𝒚 = 𝟐 𝒖𝒂. Encuentre el centro de
masa del sistema compuesto por las dos estrellas.
𝑅 = (1.5, 4.5 𝑢𝑎)
Problema 3.18
Seis partículas de igual masa 𝒎 descansan a lo largo del eje 𝒙 en los puntos 𝒙𝟏 = 𝟑. 𝟖 𝒎,
𝒙𝟐 = 𝟓. 𝟔 𝒎, 𝒙𝟑 = 𝟔. 𝟏 𝒎, 𝒙𝟒 = 𝟕. 𝟑 𝒎, 𝒙𝟓 = 𝟖. 𝟓 𝒎, 𝒙𝟔 = 𝟗. 𝟕 𝒎. Determine la posición
del centro de masa del sistema.
𝑅 = (6.83 𝑚)
88
Problema 3.19
Encuentra el centro de masa de un arreglo de tres masas iguales y homogéneas separadas
1 m y unidas por varillas de masa despreciable.
𝑅 = (0.50, 0.28 𝑚)
Problema 3.20
Encuentra el centro de masa de un arreglo de tres masas iguales y homogéneas separadas
1 m y unidas por varillas de masa despreciable.
𝑅 = (0.66, 0.33 𝑚)
89
CUESTIONARIO I
1. Define con tus propias palabras el concepto de Centro de masa.
2. ¿Cuál es la diferencia entre centro de masa y centro de gravedad?
3. ¿Para qué nos sirve calcular el centro de masa de un objeto?
4. Cómo se calcula el centro de masa de a) figuras regulares, y b) figuras irregulares.
5. Explica el siguiente párrafo: “El movimiento general de un cuerpo finito o sistema de
cuerpos, se puede definir como la suma del movimiento de traslación del centro de masa
y los movimientos rotatorios, vibratorios y de otros tipos con respecto al centro de
masa.”
6. ¿Cómo se calcula el centro de masa de un objeto en movimiento?
7. Al calcular el centro de masa de un sistema, ¿por qué se da en coordenadas el resultado
del centro de masa?
8. ¿Se puede calcular el centro de masa en coordenadas polares?
9. Si tomamos el ejemplo de un clavadista que se avienta de un trampolín y va girando,
¿Explica la trayectoria de su centro de masa? ¿Es de traslación o de rotación?
Realiza un dibujo de la trayectoria del centro de masa del sistema.
10. Explica dos ejemplos donde tenga significado calcular el centro de masa.
90
CUESTIONARIO II
1. Se colocan 3 masas de 1 kg en un arreglo triangular cuyos vértices son (1, 2 𝑚), (4, 7 𝑚)
y (8, 3 𝑚). Calcule la posición del centro de masa.
2. Cuatro partículas tienen las siguientes características, 𝑚1 = 3 𝑘𝑔 en (2, 6 𝑐𝑚),
𝑚2 = 2 𝑘𝑔 en (4, 8 𝑐𝑚), 𝑚3 = 5 𝑘𝑔 en (10, 12 𝑐𝑚) y 𝑚4 = 4 𝑘𝑔 en (6, 4 𝑐𝑚).
Calcula la posición del centro de masa del sistema.
3. La partícula A se encuentra en el origen y tiene una masa de 30 𝑔. La partícula B tiene
una masa de 10 𝑔. ¿Dónde debe ubicarse la partícula B si las coordenadas del centro de
masa son (𝑥, 𝑦) = (2, 5 𝑐𝑚)?
4. La partícula A tiene una masa de 10 𝑔 y la partícula B de 2 𝑔. La partícula A se ubica
en el origen y la B está en el punto (𝑥, 𝑦) = (45, 0 𝑐𝑚). ¿Cuál es la ubicación del centro
de masa?
5. La masa y posición de tres partículas son, partícula 1: 4 𝑘𝑔 en (4, 0 𝑚), partícula 2: 6 𝑘𝑔
en (2, 4 𝑚) y partícula 3: 3 𝑘𝑔 en (−1, −2 𝑚). ¿Cuál es la ubicación del centro de masa
del sistema?
6. a) ¿A qué distancia se encuentra el centro de masa del sistema formado por la Tierra
y la Luna desde el centro de la Tierra?, b) Expresa la respuesta como una fracción
del radio 𝑅𝑇 de la Tierra. Considera la distancia Tierra-Luna medida desde sus centros.
7. Tres varillas delgadas, cada una de longitud L, están dispuestas en forma de U invertida.
Las dos varillas de los brazos de la U tienen una masa M cada una; la tercera varilla tiene
masa 3M. ¿Dónde está el centro de masa del conjunto?
8. Localiza el centro de masa de un sistema formado por tres objetos esféricos con masas
de 3, 2 y 4 𝑘𝑔 cuyos centros están situados en (−6 𝑚, 0), (1 𝑚, 0) y (3 𝑚, 0)
respectivamente.
9. Cuatro masas de 2, 3, 6 y 8 𝑘𝑔, están en las posiciones (3, 0), (6, 0), (−4, 0) y (1, 0),
respectivamente, en metros respecto al origen. ¿Dónde está localizado el centro de masa
del sistema?
10. Dos esferas de 4 y 7.5 𝑘𝑔 están separadas una distancia de 1.5 𝑚. ¿Dónde está el centro
de masa del sistema de las dos esferas?
91
CUESTIONARIO III
1. Un trozo de lámina uniforme mide 25 × 25 𝑐𝑚. Si se recorta un círculo de 5 𝑐𝑚 de radio
del centro de esta lámina, ¿Dónde estará el centro de masa de la lámina?
2. Tres partículas de masas 𝑚1 = 4.7 𝑘𝑔, 𝑚2 = 9.6 𝑘𝑔 y 𝑚3 = 12.1 𝑘𝑔, forman un
triángulo equilátero de longitud 𝑎 = 182.5 𝑐𝑚 por lado. a) Grafica el sistema de tres
partículas y b) calcula el centro de masa del sistema.
3. Determina el centro de masa del sistema de partículas que se representa en el siguiente
diagrama
4. Tres personas de masa m aproximadamente equivalente sobre una balsa de banana ligera
están sentadas a lo largo del eje 𝑥 en las posiciones 𝑋𝐴 = 1 𝑚, 𝑋𝐵 = 5 𝑚 y 𝑋𝐶 = 6 𝑚,
medidas desde el extremo izquierdo, como se muestra en la figura. Encuentre la posición
del centro de masa. Nota: Ignora la masa de la balsa.
5. Tres partículas cada una con masa de 2.50 𝑘𝑔 están localizadas en las esquinas de un
triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 2 y 1.5 𝑚. Localiza el centro de masa.
92
6. Determina el centro de masa de la escuadra delgada y uniforme de la figura.
7. Un hacha está conformada por una cuchilla simétrica de 8 𝑘𝑔, unida al extremo de un
palo homogéneo de 2.5 𝑘𝑔. ¿A qué distancia del mango del hacha se encuentra su centro
de masa?
8. Una lata de masa 𝑀 y altura 𝐻 tiene forma cilíndrica y está llena de agua. La masa inicial
de agua es 𝑀, la misma de la lata. Se perfora un agujero en la base de la lata por el que
se va el agua. a) Si la altura del agua en la lata es 𝑥, ¿Cuál es el centro de masa del
sistema lata + agua? b) ¿Cuál es la mínima altura del centro de masa mientras se escapa
el agua?
9. Determina el centro de masa de una pieza de madera contrachapada. Podemos considerar
que la pieza está formada por dos piezas, un cuadro de 3 𝑚 de lado y de masa 𝑚1 y un
rectángulo de 1 × 2 𝑚 con una masa −𝑚2. Considere que el eje de coordenadas está
situado en el extremo inferior izquierdo de la pieza.
10. Un automóvil de 1500 𝑘𝑔 se mueve hacia el oeste con una velocidad de 20 𝑚/𝑠 y un
camión de 3000 𝑘𝑔 se mueve hacia el este con una velocidad de 16 𝑚/𝑠. Calcular la
velocidad del centro de masa del sistema.
93
El momento lineal o cantidad de
movimiento es una magnitud que
se utiliza para estudiar los
cuerpos, relacionando su masa
y su velocidad. Por cantidad de
movimiento se indica la inercia
en movimiento.
¿Por qué es más difícil detener un barco petrolero que un automóvil cuando están en
movimiento?
Los barcos petroleros que transportan petróleo alrededor del mundo son los barcos más grandes
jamás construidos. Pueden llegar a tener una masa (incluyendo la carga) de 650 000 toneladas,
y cargar hasta 2 millones de barriles (84 millones de galones = 318 millones de litros)
de petróleo. Sin embargo, su gran tamaño da lugar a problemas prácticos. Los barcos petroleros
son demasiado grandes para entrar a la mayoría de los puertos marítimos, y tienen que atracar
en plataformas mar adentro, cerca de la costa, para descargar su petróleo. Además, pilotear un
buque de este tamaño es extremadamente difícil. Por ejemplo, cuando el capitán da la orden de
poner en reversa las máquinas y hacer alto, el barco puede continuar avanzando más de tres
millas La cantidad física que hace que un objeto grande en movimiento sea difícil de detener es
el momento lineal o momento, que es el tema de este capítulo. El momento lineal es una
propiedad fundamental asociada con el movimiento de un objeto, similar a la energía cinética.
94
CAPÍTULO IV ECUACIÓN VECTORIAL DE MOVIMIENTO
LO QUE APRENDEREMOS
▪ El momento o cantidad de movimiento es una magnitud vectorial y se relaciona con
el movimiento de un cuerpo.
▪ El momento de un objeto es el producto de su velocidad y su masa.
▪ El momento es una cantidad vectorial y apunta en la misma dirección que el vector
velocidad.
▪ El impulso es la fuerza que actúa sobre un objeto y es igual a la cantidad de
movimiento del objeto.
▪ La segunda ley de Newton se puede expresar de un modo más general: La fuerza neta
sobre un objeto es igual al cambio de momento con respecto al intervalo de tiempo.
4.1 ECUACIÓN VECTORIAL DE MOVIMIENTO
La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es una magnitud física
fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría
mecánica. En mecánica clásica la cantidad de movimiento se define como el producto de la
masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado.
Históricamente, el concepto de cantidad de movimiento se remonta a Galileo Galilei. En su obra
Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias, usa el término italiano
impeto, mientras que Isaac Newton en Principia Mathematica usa el término latino motus
(movimiento) y vis motrix (fuerza motriz). Momento y momentum son palabras directamente
tomadas del latín mōmentum, término derivado del verbo mŏvēre 'mover'.
La definición concreta de cantidad de movimiento difiere de una formulación mecánica a otra;
en mecánica newtoniana se define para una partícula como el producto de su masa por la
velocidad, en mecánica lagrangiana o hamiltoniana admite formas más complicadas en sistemas
de coordenadas no cartesianas, en la teoría de la relatividad la definición es más compleja aun
cuando se usen sistemas inerciales, y en mecánica cuántica su definición requiere el uso de
operadores auto adjuntos definidos sobre un espacio vectorial de dimensión infinita.
La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad
de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas
exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada
y permanece constante en el tiempo. La energía y el trabajo son cantidades escalares que no
implican dirección. La ley de la conservación de la energía sólo describe la relación entre los
estados final e inicial; no dice nada acerca de cómo se distribuyen las energías. Por ejemplo,
cuando dos objetos chocan, podemos decir que la energía total antes del impacto debe ser igual
a la energía total después del impacto.
95
Pero necesitamos un nuevo concepto si queremos determinar cómo se divide la energía total
entre los objetos o incluso su dirección después del impacto, los conceptos de impulso
o momento añadirán una descripción vectorial a dicho estudio.
Cuando una pelota de golf se golpea en el suelo, una gran fuerza promedio 𝐹 actúa sobre la
pelota durante un tiempo muy corto ∆𝑡 (el símbolo ∆ denota una diferencia en la variable),
causando que se acelere desde el reposo hasta la velocidad final 𝑣𝑓. Es un extremo difícil medir
ya sea la fuerza o su duración, pero su producto 𝐹 ∆𝑡 puede determinarse a partir del cambio en
la velocidad de la pelota de golf (ver figura 4.1).
Fig. 4.1 Cuando el palo de golf golpea la pelota, una fuerza 𝐹 que actúa durante un cierto tiempo,
provoca un cambio en la cantidad de movimiento de la pelota.
De la segunda ley de Newton tenemos,
𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚𝑣𝑓 − 𝑣𝑜
∆𝑡 (4.1)
Multiplicando por ∆𝑡 se obtiene,
𝐹 ∆𝑡 = 𝑚(𝑣𝑓 − 𝑣𝑜) = ∆𝑃 (4.2)
De este modo, el impulso (𝐹 ∆𝑡) es igual al cambio en el momento 𝑚(𝑣𝑓 − 𝑣𝑜). El impulso
𝐹 ∆𝑡 es una cantidad vectorial de la misma magnitud al producto de la fuerza y al intervalo de
tiempo en el que actúa. Su dirección es la misma que la de la fuerza constante sobre el objeto,
𝐹 ∆𝑡 = ∆𝑃 = 𝐼 (𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜) (4.3)
El impulso I de la fuerza que actúa sobre un objeto es igual al cambio en la cantidad de
movimiento del objeto (ver figura 4.2). Esto es cierto incluso si la fuerza no es constante.
Fig. 4.2 En mecánica newtoniana la cantidad de movimiento lineal se define como el producto de la
masa por la velocidad.
96
4.1 Ejercicio en Clase
Una pelota de 𝟎. 𝟒𝟒 𝒌𝒈 lleva una velocidad cuya magnitud es de 𝟔 𝒎/𝒔 y es golpeada
por un jugador, por lo que sale en la misma dirección, pero en sentido contrario con una
velocidad cuya magnitud es de 𝟕 𝒎/𝒔. La duración del golpe fue de 𝟎. 𝟎𝟏𝟖 𝒔. Calcula la
fuerza ejercida sobre la pelota.
La palabra impulso implica que la fuerza de impulso actúa brevemente, la definición misma no
limita el intervalo de tiempo durante la cual la fuerza actúa. Fundamentalmente, un choque es
una interacción entre objetos donde hay un intercambio de cantidad de movimiento y de energía.
Un determinado impulso producirá un cambio específico en la cantidad de movimiento,
independientemente de la masa o la rapidez del cuerpo que recibe el impulso.
Un objeto originalmente en reposo se moverá en la dirección de la fuerza neta aplicada,
adquiriendo una cantidad de movimiento ∆𝑃 = 𝐹 ∆𝑡, y esto es lo que sucede cuando se arroja
un dardo, se descarga una jeringa o se golpea una pelota de golf. Siempre que el palo esté en
contacto con la pelota aplicándole fuerza, habrá una ganancia simultánea de cantidad de
movimiento en la dirección de la fuerza (Tabla 5).
Una vez que la pelota se despega del palo, vuela siguiendo la primera ley de Newton; no hay
fuerza, no hay cambio. Cuanto más largo sea el cañón de un arma, o cuanto más largo sea el
movimiento de lanzamiento de un pitcher, el tiempo (∆𝑡) durante el cual actúa la fuerza
propulsora será mayor, y el cambio de cantidad de movimiento (∆𝑃) del proyectil será mayor.
Tabla 5. Parámetros normales de pelotas golpeadas que parten del reposo.
Pelota Masa
[𝒌𝒈] Rapidez
[𝒎/𝒔] Tiempo de impacto
[𝒎𝒔∗] Béisbol 0.149 39 1.25
Fútbol Americano (patada) 0.415 28 8
Golf (drive) 0.047 69 1
Frontón a mano (servicio) 0.061 23 12.5
Fútbol Soccer (patada) 0.425 26 8
Tenis (servicio) 0.058 51 4 *
1 𝑚𝑠 = 1 × 10−3 𝑠
97
4.2 Ejercicio en Clase
Un balón en reposo, cuya masa es de 𝟎. 𝟒𝟓 𝒌𝒈 es pateado por un jugador, imprimiéndole
una velocidad cuya magnitud es de 𝟏𝟑 𝒎/𝒔. Si el tiempo que lo pateó fue de 𝟎. 𝟎𝟐 𝒔,
¿Cuál fue la magnitud de la fuerza ejercida sobre el balón?
Para que una pelota de béisbol con una velocidad de 90 𝑚𝑖/ℎ (40 𝑚/𝑠) salga
a 110 𝑚𝑖/ℎ (49 𝑚/𝑠), un bat deberá aplicar una fuerza aproximada de 36 𝑘𝑁 (3630 𝑘𝑔) en el
impacto, que sólo dura ≈1.25 ms, la pelota es aplastada hasta la mitad de su diámetro. La fuerza
aplicada a un cuerpo en movimiento puede aumentar o disminuir su cantidad de
movimiento, dependiendo de si 𝑭 actúa en sentido paralelo o anti paralelo a la velocidad
inicial.
Por el teorema de Trabajo-Energía y el de Impulso-Cantidad de movimiento, la cantidad de
movimiento y la energía cinética están relacionadas directamente. Expresando la energía
cinética en términos de la cantidad de movimiento podemos observar que están íntimamente
relacionadas, pero son cantidades diferentes,
𝐸𝑐 =1
2𝑚𝑣2 =
(𝑚𝑣)2
2𝑚=
𝑃2
2𝑚 (4.4)
De una manera formal, la cantidad de movimiento 𝑃 de una partícula es una cantidad vectorial
igual en magnitud al producto de su masa 𝑚 y de su velocidad 𝑣, su dirección coincide con la
de su velocidad. La cantidad de movimiento lineal de una partícula de masa 𝒎 que se
mueve con una velocidad 𝒗 se define como el producto de la masa y la velocidad.
�⃗⃗� = 𝒎�⃗� (4.5)
Cuanto mayores son la masa 𝑚 y la rapidez 𝑣 de una partícula o un objeto, mayor será la
magnitud de su momento lineal. El adjetivo de lineal diferencia a éste de otro tipo de momentos
que se analizan en la física como el angular. La palabra momento se suele utilizar en el lenguaje
cotidiano en un sentido mucho más amplio, pero a grandes rasgos todavía coincide con su
significado en la visión del mundo de la física; es decir, algo con mucho momento es difícil de
detener.
98
Fig. 4.3 Cambio de la cantidad de movimiento al atrapar o lanzar una pelota de béisbol.
En la figura 4.3 observamos cómo cambia la cantidad de movimiento en tres situaciones
diferentes: a) El cambio de cantidad de movimiento al atrapar la pelota es constante mvo.
Si la pelota se detiene rápidamente (∆t pequeño) la fuerza de impulso es grande. Si se aumenta
el tiempo de contacto (∆t grande) moviendo las manos junto con la pelota, la fuerza de impulso
se reducirá. b) Haciendo retroceder el guante cuando la pelota llega, el receptor aumenta ∆t
y reduce F para determinada ∆P. c) El lanzador ejerce una fuerza sobre la pelota durante una
distancia y tiempo tan largos como le es posible. Cuanto mayor es F ∆t, mayor es ∆P, y mayor
será la rapidez de salida de la pelota.
4.3 Ejercicio en Clase
En una prueba automovilística, el choque de un automóvil con un muro dura 𝟎. 𝟏𝟓 𝒔.
Si la fuerza promedio ejercida sobre el automóvil es de 𝟐 × 𝟏𝟎𝟓 𝑵, ¿Cuál es el valor del
impulso recibido por el automóvil?
En muchas situaciones sólo interesa conocer la cantidad de movimiento, la dirección no importa.
En otros casos, la dirección de la cantidad de movimiento tiene una función importante.
El vector cantidad de movimiento apunta en la misma dirección que el de velocidad.
Si la velocidad cambia de dirección, la dirección de la cantidad de movimiento también cambia.
La unidad del SI del impulso es [𝑁 ∙ 𝑠], la de la cantidad de movimiento [𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠] por lo cual,
[𝑁 ∙ 𝑠] =𝑘𝑔 ∙ 𝑚
𝑠2𝑠 = [𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠]
99
Para un movimiento en dos dimensiones las componentes de la cantidad de movimiento son,
𝑃𝑥 = 𝑚𝑣𝑥 (4.6)
𝑃𝑦 = 𝑚𝑣𝑦 (4.7)
Donde 𝑃𝑥 representa la cantidad de movimiento de un objeto en la dirección 𝑥 y 𝑃𝑦 su cantidad
de en la dirección 𝑦. Para cambiar la cantidad de movimiento de un objeto se le debe aplicar una
fuerza. En términos de la segunda ley de Newton la rapidez de cambio de la cantidad de
movimiento de un objeto es igual a la fuerza neta que actúa sobre él.
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 =∆𝑃
∆𝑡 (4.8)
Donde ∆𝑡 es el intervalo de tiempo durante el cual la cantidad de movimiento cambia en ∆𝑃
y 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 es la fuerza neta que actúa sobre el objeto.
Entonces 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑚𝑎 para un objeto de masa constante, se considera una sola fuerza 𝐹
constante que actúa sobre una partícula y produce una aceleración constante,
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 =∆�⃗�
∆𝑡=
𝑚𝑣𝑓 − 𝑚𝑣𝑜
∆𝑡=
𝑚(𝑣𝑓 − 𝑣𝑜)
∆𝑡 (4.9)
Si la aceleración media de un objeto es,
𝑎 =∆𝑣
∆𝑡 (4.10)
Con lo cual la 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 se reduce a,
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑚∆𝑣
∆𝑡 (4.11)
Si la fuerza neta es cero, la cantidad de movimiento no cambia. En otras palabras,
el ímpetu y la velocidad de una partícula se conservan cuando 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 0. La importancia de esta
ley, es que se aplica a cualquier sistema aislado y si la suma de las fuerzas aplicadas es cero, se
conserva la cantidad de movimiento por lo que;
�⃗� 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 = �⃗� 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜
Para el caso de dos masas,
𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2 = 𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2 (4.12)
Siendo 𝑣 la velocidad inicial y 𝑢 la velocidad final. Para un caso de 𝑛 masas,
𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2 + ⋯+ 𝑚𝑛𝑣𝑛 = 𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2 + ⋯+ 𝑚𝑛𝑢𝑛 (4.13)
Por ejemplo, consideremos dos pelotas de billar que chocan de frente; la fuerza externa neta es
cero; es decir, que las únicas fuerzas significativas son aquellas que cada pelota ejerce sobre la
otra en el momento del choque. Aunque la cantidad de movimiento de cada una de las pelotas
cambia, como resultado del choque, se observa que la suma de las cantidades de movimiento
son iguales antes y después del choque.
100
Lectura
LA SEGURIDAD EN EL AUTOMÓVIL
En los choques de los automóviles, el daño que puede experimentar un conductor depende de
la velocidad y del tiempo de contacto entre su cabeza y el volante. Si trae puesto el cinturón
de seguridad se parará en unas décimas de segundo, pero si no lo trae se parará en un tiempo
más corto experimentando así una fuerza mayor durante el impacto, lo que agravará las
lesiones. No cabe duda, que la seguridad de los pasajeros en el choque de un automóvil
mejorará si se aumenta el tiempo durante el cual cambia la cantidad de movimiento
(𝐹𝑡 = 𝑚𝑣 − 𝑚𝑣0). Al ser mayor el tiempo, la fuerza del impacto será menor. Las bolsas de
aire que aparecen en algunos automóviles durante un choque reducen de manera considerable
la fuerza del impacto que puede experimentar el conductor. En un choque con un automóvil
la fuerza a la que se ve sometido el tejido humano en el impacto es el producto de la masa
y la velocidad. La energía cinética que se debe absorber es igual a la mitad de la masa
multiplicada por el cuadrado de la velocidad, lo que demuestra que el efecto de la velocidad
se ve extremadamente intensificado a medida que esta aumenta. El daño corporal dependerá
también de la forma y la rigidez de la superficie o el objeto sobre el que se produzca
el impacto, pero por lo general la velocidad es el factor que juega el papel más importante
en los choques de automóviles. En una colisión, es físicamente imposible para cualquier
ocupante del automóvil implicado sostener de modo seguro un cuerpo u objeto que no se
encuentre asegurado por algún medio. Un niño sin cinturón, en una colisión a 50 𝑘𝑚/ℎ el peso del niño aumentará 20 veces, un bebé de 5 𝑘𝑔 pasará a pesar 100 𝑘𝑔 en una fracción
de segundo.
1. ¿Cómo incide la energía cinética en las colisiones de automóviles?
2. ¿Cuál es la relación física entre la cantidad de momento lineal y las muertes en
colisiones de automóviles?
3. ¿Por qué la velocidad es un factor de riesgo critico en las colisiones?
4. ¿ Por qué es importante ponerse el cinturón de seguridad?
5. ¿Cuál es la relación entre energía mecánica, fuerza, masa e inercia?
101
Si 𝑚1𝑣1 es la cantidad de movimiento de la bola 1 y 𝑚2𝑣2 es la de la bola 2, medidas ambas
antes del choque, entonces la cantidad total de movimiento de las dos bolas antes del choque
será 𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2.
Después del choque, cada una de las bolas tendrá velocidad y cantidad de movimiento distintas,
es decir 𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2. Independientemente de las velocidades y las masas que intervienen,
se encuentra que la cantidad de movimiento total antes del choque es igual que aquella después
de él, sea el choque de frente o no, y siempre y cuando no actúe una fuerza externa.
Debido a que el movimiento se da en una dimensión, no necesitamos utilizar la notación
vectorial; sin embargo, en cualquier cálculo tendríamos que escoger una dirección como
positiva. Aplicando 𝐹 ∆𝑡 = ∆�⃗� a la bola 1, haciendo que 𝑣1 sea la velocidad antes del choque,
y 𝑢1 después del choque,
𝐹 ∆𝑡 = 𝑚1𝑢1 − 𝑚1𝑣1 (4.14)
𝐹 es la fuerza que la bola 2 ejerce sobre la bola 1, y ∆𝑡 es el tiempo que las bolas permanecen
en contacto durante el choque. Cuando se aplica la ecuación a la bola 2, de acuerdo a la tercera
ley de Newton, la fuerza que ejerce la bola 1 sobre la bola 2 es −𝐹. Entonces, tenemos que,
−𝐹 ∆𝑡 = 𝑚2𝑢2 − 𝑚2𝑣2 (4.15)
Combinando las dos ecuaciones, obtenemos,
𝑚1𝑢1 − 𝑚1𝑣1 = −(𝑚2𝑢2 − 𝑚2𝑣2) (4.16)
La ecuación anterior nos indica que toda la cantidad de movimiento que pierde una pelota,
la gana la otra. Así, la cantidad total de movimiento permanece constante. Si reordenamos esta
ecuación, obtenemos,
𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2 = 𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2 (4.17)
La deducción anterior se puede ampliar para 𝑛 números de cuerpos que interaccionen.
Para nuestro sistema de dos cuerpos,
𝑃 = 𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2 (4.18)
Si la fuerza neta es cero como en el otro sistema, tenemos,
𝐹 + (−𝐹) = 0 (4.19)
∆�⃗� = 0 (4.20)
De este modo la cantidad de movimiento total no cambia. Por tanto, el enunciado general de la
ley de conservación de la cantidad de movimiento es: La cantidad total de movimiento de un
sistema de cuerpos aislados permanece constante. Si la fuerza neta que actúa sobre una
partícula es cero,
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 =∆�⃗�
∆𝑡= 0 (4.21)
102
Entonces,
∆�⃗� = 0 = �⃗� − �⃗� 𝑜 (4.22)
Donde �⃗� 𝑜 es la cantidad de movimiento inicial y �⃗� es la cantidad de movimiento en algún
instante posterior. Dado que estos valores son iguales, se conserva la cantidad de movimiento,
�⃗� = �⃗� 𝑜 o 𝑚𝑣 = 𝑚𝑣𝑜 (4.23)
Esta observación es congruente con la primera ley de Newton. Un objeto permanece en reposo
(�⃗� = 0), o en movimiento con velocidad uniforme (�⃗� ≠ 0), a menos que actúe sobre él una
fuerza externa neta. La conservación de la cantidad de movimiento se puede extender a un
sistema de partículas, podemos escribir la segunda ley de Newton en términos de la fuerza neta
que actúa sobre el sistema y de las cantidades de movimiento de las partículas,
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = ∑𝐹𝑖 (4.24)
�⃗� = ∑�⃗� 𝑖 = ∑𝑚𝑣𝑖 (4.25)
Puesto que 𝐹 = ∆𝑃/∆𝑡, y ninguna fuerza externa neta actúa sobre el sistema (∆𝐹 = 0) entonces
�⃗� = �⃗� 𝑜 , es decir, se conserva la cantidad de movimiento total. Esta condición generalizada
es la ley de conservación de la cantidad de movimiento (�⃗� = �⃗� 𝑜). Así, la cantidad de
movimiento de un sistema (�⃗⃗� = ∑ �⃗⃗� 𝒊) se conserva si la fuerza externa neta que actúa sobre
el sistema es cero.
4.4 Ejercicio en Clase
Una máquina lanzadora de pelotas de béisbol se utiliza en un entrenamiento. Si la
máquina tiene una masa de 𝟔𝟎 𝒌𝒈 y puede disparar pelotas de 𝟎. 𝟏𝟓 𝒌𝒈 con una
velocidad de 𝟒𝟎 𝒎/𝒔. ¿Cuál es la velocidad de retroceso de la máquina si se encuentra
inicialmente en reposo sobre una superficie sin fricción?
Dentro de un sistema actúan fuerzas internas (como cuando sus partículas chocan). Éstas son
pares de fuerzas según la tercera ley de Newton, estas fuerzas internas son iguales y opuestas,
y se anulan entre sí vectorialmente. Por ello, la fuerza interna neta de un sistema cerrado siempre
es cero. No obstante, algo que es importante entender es que las cantidades de movimiento de
partículas u objetos individuales dentro de un sistema podrían cambiar.
103
Sin embargo, en ausencia de una fuerza externa, la suma de todas las cantidades de movimiento
no cambia. Si los objetos están inicialmente en reposo y luego se ponen en movimiento como
resultado de las fuerzas internas, la cantidad de movimiento total del sistema seguirá siendo
cero.
La conservación de la cantidad de movimiento es de gran utilidad para analizar situaciones en
movimiento y choques. En muchos casos la conservación de la cantidad de movimiento no
necesita conocer las fuerzas que intervienen.
4.5 Ejercicio en Clase
Resuelve los problemas y registra los resultados numéricos en el crucigrama, si las
soluciones son correctas las operaciones indicadas se deberán cumplir. A cada casilla le
corresponde un dígito.
1
+ 2
= 3
+ +
4 +
5 =
6
= =
7 -
8 =
9
1. Un gato de 10 𝑘𝑔 corre a una velocidad de 2 𝑚/𝑠, ¿Calcula la cantidad de
movimiento?
2. Una caja de 5 𝑘𝑔 se mueve a una velocidad de 4 𝑚/𝑠, ¿Calcula la cantidad de
movimiento?
3. La cantidad de movimiento de un ladrillo de 4 𝑘𝑔 es de 160 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠, ¿con qué
rapidez se mueve?
4. Un taco ejerce una fuerza promedio de 75 𝑁 en una bola de billar durante 0.40 𝑠,
¿Cuál es el valor del impulso?
5. Una pelota de béisbol recibió un impulso de 1.5 𝑁 de un bat al ser golpeada durante
0.1 𝑠, ¿Cuál es el valor de la fuerza promedio sobre la pelota?
6. Un bat de béisbol ejerce una fuerza promedio de 90 𝑁 sobre una pelota durante 0.5 𝑠,
¿Cuál es el valor del impulso que recibió la pelota?
7. ¿Cuál es el valor del impulso que recibe una caja de 5 𝑘𝑔 que incrementa su velocidad
de 1 𝑚/𝑠 a 11 𝑚/𝑠?
8. ¿Cuál es el valor de la fuerza que actúa durante 1 𝑠, si el cambio de cantidad de
movimiento que provoca es de 15 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠?
9. Una esfera metálica de 2 𝑘𝑔 se desplaza sobre una superficie sin fricción con una
velocidad de 1.75 𝑚/𝑠. Calcula la fuerza necesaria si se desea detener en 0.1 𝑠.
104
4.6 Ejercicio en Clase
Estima el impulso y la fuerza promedio de un golpe de karate que rompe una tabla de
algunos centímetros de grosor. Suponga que la mano se mueve aproximadamente a
𝟏𝟎 𝒎/𝒔 cuando golpea la tabla.
4.7 Ejercicio en Clase
Estima Un cañón de 2600 kg montado sobre ruedas dispara una bala de 𝟖𝟒. 𝟓 𝒌𝒈 en
dirección horizontal con una velocidad de 𝟕𝟖. 𝟔 𝒎/𝒔. Suponiendo que el cañón se pueda
mover libremente, ¿Cuál será su velocidad de retroceso?
4.8 Ejercicio en Clase
Una niña de 𝟑𝟔. 𝟒 𝒌𝒈 y un niño en patines están parados frente a frente. Se empujan
entre ellos y el niño se mueve a la izquierda con una velocidad de 𝟒. 𝟕 𝒎/𝒔, mientras que
la niña se mueve a la derecha a 𝟑 𝒎/𝒔. ¿Cuál es el valor de la masa del niño?
105
LO QUE HEMOS APRENDIDO • La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu
o momentum es una magnitud física fundamental de tipo
vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en
cualquier teoría mecánica.
• La cantidad de movimiento obedece a una ley de
conservación, por lo cual la cantidad de movimiento total
de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por
fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son
disipadoras) no puede ser cambiada y permanece
constante en el tiempo.
• El impulso (I) de la fuerza que actúa sobre un objeto es
igual al cambio en la cantidad de movimiento del objeto
𝐹 ∆𝑡 = ∆𝑃 = 𝐼 (𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜) (4.3)
• Un determinado impulso producirá un cambio específico
en la cantidad de movimiento, independientemente de la
masa o la rapidez del cuerpo que recibe el impulso.
• Por el teorema de Trabajo-Energía y el de Impulso-
Cantidad de movimiento, la cantidad de movimiento y la
energía cinética están relacionadas directamente.
𝐸𝑐 =1
2𝑚𝑣2 =
(𝑚𝑣)2
2𝑚=
𝑃2
2𝑚 (4.4)
• La cantidad de movimiento lineal de una partícula de
masa 𝑚 que se mueve con una velocidad 𝑣 se define como
el producto de la masa y la velocidad.
�⃗� = 𝑚v⃗ (4.5)
• El vector cantidad de movimiento apunta en la misma
dirección que el de velocidad.
• En términos de la segunda ley de Newton la rapidez de
cambio de la cantidad de movimiento de un objeto es igual
a la fuerza neta que actúa sobre él.
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 =∆�⃗�
∆𝑡=
𝑚(𝑣𝑓 − 𝑣𝑜)
∆𝑡 (4.9)
• La cantidad total de movimiento de un sistema de cuerpos
aislados permanece constante. Si la fuerza neta que actúa
sobre una partícula es cero.
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 =∆�⃗�
∆𝑡= 0 (4.21)
• La cantidad de movimiento de un sistema (�⃗� = ∑ �⃗� 𝑖)
se conserva si la fuerza externa neta que actúa sobre el
sistema es cero.
�⃗� = ∑�⃗� 𝑖 = ∑𝑚𝑣𝑖 (4.25)
106
Problema 4.1
Un atleta junto con su bicicleta tiene una masa de 70 kg, mientras que otra persona junto
con su motocicleta posee 250 kg de masa; de acuerdo a que ambos presentan la misma
cantidad de movimiento o ímpetu o momento lineal, y conociendo que el atleta con bicicleta
viaja a 12 m/s. ¿Qué valor de velocidad lleva la persona con moto?
𝑅 = 3.36 𝑚/𝑠
Problema 4.2
Un niño de 40 kg parado sobre un lago helado arroja una piedra de 0.500 kg hacia el este
con rapidez de 5 m/s. Despreciando la fricción entre el niño y el hielo, encuentre la
velocidad de retroceso del niño.
𝑅 = −0.0625 𝑚/𝑠
Problema 4.3
¿Qué fuerza se necesita para detener en 20 segundos a un automóvil de 1000 kg que viaja
a una velocidad de 30 m/s?
𝑅 = −1.5 × 103 𝑁
Problema 4.4
Calcule la velocidad de retroceso de un rifle de 5 kg cuando dispara una bala de 0.050 kg
a una velocidad de 120 m/s.
𝑅 = −1.2 𝑚/𝑠 Problema 4.5
Una manguera deja salir un chorro de agua de 𝟏. 𝟓 𝒌𝒈, con una velocidad de 𝟐𝟎 𝒎/𝒔, en
𝟏 𝒔 el agua choca contra una pared que la detiene, es decir, no tomamos en cuenta el agua
que regresa después de chocar ¿Cuál es la fuerza que ejerce el agua sobre la pared?
𝑅 = −30 𝑁
Problema 4.6
Un carro de ferrocarril de 10 000 kg que viaja a una velocidad de 24 m/s choca contra otro
idéntico que se encuentra en reposo. Como resultado del choque, los carros se enganchan.
¿Cuál será la velocidad común después?
𝑅 = 12 𝑚/𝑠
Problema 4.7
Un mazo de 3 kg se mueve a una velocidad de 14 m/s en el momento de golpear un perno
de acero. Se detiene a los 0.02 s. Determine la fuerza media sobre el perno.
𝑅 = 2100 𝑁
107
Problema 4.8
Un cañón de 1400 kg montado sobre ruedas dispara una bala de 60 kg en dirección
horizontal con una velocidad de 50 m/s. Suponiendo que el cañón se pueda mover
libremente, ¿Cuál será su velocidad de retroceso?
𝑅 = − 2.14 𝑚/𝑠
Problema 4.9
Un cohete enciende su motor, que ejerce una fuerza media de 1000 N durante 40 s en una
dirección fija. ¿Cuál es la magnitud del cambio de cantidad de movimiento del cohete?
𝑅 = 40 × 103 𝑁 ∙ 𝑠
Problema 4.10
Fernando Valenzuela impuso una marca al lanzar una pelota de béisbol de 0.14 kg
a 166.68 km/h de velocidad. ¿Cuál es la magnitud de la cantidad de movimiento de la
pelota al dejar su mano?
𝑅 = 6.48 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠
Problema 4.11
Una pelota de béisbol de 0.149 kg, que se mueve hacia el sur a 28 m/s, se acerca al bateador.
La pelota es golpeada y aplastada momentáneamente; rebota y sale despedida a 46 m/s
hacia el norte. a) Determine las magnitudes de sus cantidades de movimiento inicial y final,
así como, b) el cambio de la cantidad de movimiento.
a) 𝑅 = −4.17 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠; 6.85 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠
b) 𝑅 = 11 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠
Problema 4.12
Un acoplamiento entre la nave Gemini y el vehículo espacial Agena, ejerció un empuje
constante de 𝟖𝟗𝟎 𝑵 en una dirección fija durante 𝟕 𝒔. El conjunto Gemini-Agena aumentó
su rapidez a 0.93 m/s. La masa del Gemini es de 𝟑𝟒 × 𝟏𝟎𝟐 𝒌𝒈, calcule la masa del Agena.
𝑅 = 3298.9 𝑘𝑔
Problema 4.13
Un futbolista de 100 kg corre con una velocidad de 4 m/s directamente hacia el fondo del
campo. Un proyectil de artillería de 1 kg sale del cañón con una velocidad inicial de
500 m/s. ¿Quién tiene mayor cantidad de movimiento, el futbolista o el proyectil?
𝑅 = �⃗� 𝑝 > �⃗� 𝑓
Problema 4.14
Un golfista golpea una pelota de 0.046 kg desde un tee elevado, impartiéndole una rapidez
horizontal inicial de 40 m/s en un tiempo de contacto de 1 ms. ¿Qué fuerza promedio ejerce
el palo sobre la pelota durante ese tiempo?
𝑅 = 1840 𝑁
108
Problema 4.15
Una persona es bajada desde un helicóptero al centro de un lago congelado liso
y horizontal, cuya superficie tiene fricción despreciable, con la misión de llegar a la orilla
del lago. Es imposible caminar (¿Por qué?). Al meditar acerca del aprieto en que se
encuentra, decide usar la conservación de la cantidad de movimiento y aventar sus
guantes, que son pesados e idénticos, y así conseguir la cantidad de movimiento necesaria
para llegar a la orilla. ¿Qué deberá hacer esta persona: aventar ambos guantes a la vez,
o aventarlos con la misma rapidez primero uno y luego el otro?
𝑅 = 𝐿𝑎𝑛𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 > 𝐿𝑎𝑛𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
Problema 4.16
Calcule la velocidad de retroceso de una ametralladora de 7.3 kg cuando dispara una bala
de 0.020 kg a una velocidad de 620 m/s.
𝑅 = −1.69 𝑚/𝑠
Problema 4.17
En un parque, una persona lanza pan en el estanque de los patos. Dos patos de 4 kg
y un ganso de 7.6 kg nadan rápidamente hacia el pan desde direcciones opuestas.
Si los patos nadan a 𝟏. 𝟏 𝒎/𝒔 y el ganso nada con una rapidez de 𝟏. 𝟑 𝒎/𝒔, encuentra la
magnitud y la dirección de la cantidad de movimiento total de las tres aves.
𝑅 = 1 𝑘𝑔 𝑚/𝑠 (hacia la derecha)
Problema 4.18
Una fuerza actúa sobre una bicicleta durante 12 segundos y cambia su cantidad de
movimiento de 𝟏𝟓 𝒌𝒈 𝒎/𝒔 en la dirección 𝒙 positiva a 𝟑𝟖 𝒌𝒈 𝒎/𝒔 en la dirección
𝒙 positiva. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza?
𝑅 = 1.91 𝑁 (𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑥 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎)
Problema 4.19
Tres amigos empujan un automóvil hasta una estación de servicio. Supón que el automóvil
rueda sin fricción sobre un camino liso y a nivel. Si el automóvil en un inicio está en reposo
y el empuje combinado es de 305 N, a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento del automóvil
después de 12 s? b) Si la masa del automóvil y conductor es 1360 kg, ¿Cuál es la velocidad
del automóvil después de 12 s de empuje?
a) 𝑅 = 3660 𝑘𝑔 𝑚/𝑠 (𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑥 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎)
b) 𝑅 = 2.69 𝑚/𝑠 (𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑥 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) Problema 4.20
Dos canoas flotan inmóviles en un lago. Después de una breve visita, alguien de la canoa 1
empuja a la canoa 2 con una fuerza de 46 N en 1.20 s y mueve las canoas en direcciones
opuestas. ¿Cuál es la cantidad de movimiento de cada canoa después del empuje?
𝑅 = −55.2 𝑘𝑔 𝑚/𝑠(𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑥 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) y 55.2 𝑘𝑔 𝑚/𝑠 (𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑥 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎)
109
CUESTIONARIO I
1. En tus propias palabras, enuncie cada una de las tres leyes del movimiento de Newton
como un enunciado sobre la cantidad de movimiento.
2. Dos objetos con diferentes masas tienen la misma energía cinética. ¿Cuál tiene la
cantidad de movimiento de mayor magnitud?
3. La cantidad de movimiento de un sistema sólo se puede cambiar por medio de una fuerza
externa. ¿Cuál es la fuerza externa que cambia la cantidad de movimiento de una
bicicleta (con su conductor) cuando su rapidez aumenta, disminuye o cuando cambia de
dirección?
4. Si tomas un rifle y recortas una parte del cañón, la velocidad a la cual sale la bala desde
el cañón será menor, ¿Por qué?
5. Un astronauta golpea una pelota de golf en la superficie de la Luna. ¿Se conserva la
cantidad de movimiento de la pelota mientras está en vuelo?
6. Dos personas se lanzan mutuamente un huevo crudo sin romperlo y se van alejando cada
vez más. Comente una estrategia, en términos de impulso y de cantidad de movimiento,
para atrapar el huevo sin romperlo.
7. Los calamares son los nadadores más rápidos de todos los invertebrados. Una cavidad
dentro del calamar se llena de agua. El manto, un potente músculo, exprime la cavidad
y arroja el agua a través de una estrecha abertura con gran rapidez. Usando la
conservación de la cantidad de movimiento, explique cómo es que el calamar se impulsa
hacia adelante con este mecanismo.
8. ¿En qué se parece el mecanismo de nado del calamar al motor de un cohete?
9. Un astronauta realiza una caminata en el espacio profundo cuando la soga que lo conecta
a su nave se rompe. ¿Cómo puede regresar a la nave? Desafortunadamente no trae un
cohete propulsor atado a la espalda, pero tiene en la mano una gran llave de tuercas.
10. ¿Qué sería más eficaz: un martillo que choca elásticamente con un clavo, u otro que
choque con el clavo en forma perfectamente inelástica? Suponga que la masa del
martillo es mayor que la del clavo.
110
CUESTIONARIO II
1. Una persona de 110 𝑘𝑔 parado sobre un lago helado arroja una piedra de 2.3 𝑘𝑔 hacia
el este con una rapidez de 12 𝑚/𝑠. Despreciando la fricción entre la persona y el hielo,
encuentre la velocidad de retroceso de la persona.
2. Calcula la velocidad de retroceso de un rifle de 6.3 𝑘𝑔 cuando dispara una bala
de 0.063 𝑘𝑔 a una velocidad de 220 𝑚/𝑠.
3. Una manguera deja salir un chorro de agua de 1.5 𝑘𝑔/𝑠, con una rapidez de 20 𝑚/𝑠,
el agua choca contra una pared que la detiene (es decir, no se toma en cuenta el agua que
regresa después de chocar), ¿Cuál es la fuerza que ejerce el agua sobre la pared?
4. Un carro de ferrocarril de 10000 𝑘𝑔 viaja a una rapidez de 24 𝑚/𝑠 choca contra otro
idéntico que se encuentra en reposo. Como resultado del choque, los carros se
enganchan, ¿Cuál será la rapidez común después del choque?
5. ¿Qué fuerza se necesita para detener en 12 𝑠 a un automóvil de 1350 𝑘𝑔 que viaja a una
velocidad de 98 𝑚/𝑠?
6. ¿Qué velocidad tiene un vehículo de 3400 𝑘𝑔 si su momento es de 98000 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠?
7. ¿Cuál es su momento de una pelota de 3.7 𝑘𝑔 que se desplaza a una velocidad
de 70 𝑚/𝑠?
8. Una persona de 80 𝑘𝑔 y un joven de 40 𝑘𝑔 están de pie y juntos en una pista de hielo,
sin fricción. Si después de que se empujen uno al otro, el hombre se aleja con una
velocidad de 0.25 𝑚/𝑠. ¿Con que velocidad se aleja el joven?
9. Una bala de 0.02 𝑘𝑔 viaja de manera horizontal y uniforme a 250 𝑚/𝑠 se impacta
y empotra en un bloque de madera de 0.40 𝑘𝑔 que se encontraba en reposo,
en una superficie sin fricción. ¿Cuál es la velocidad final del sistema?
10. Un automóvil en reposo de 1500 𝑘𝑔, recibe una aceleración de 4 𝑚/𝑠2 en un lapso
de tiempo de 5 𝑠. ¿Cuál es el valor de su momento lineal después de ese tiempo?
11. Durante la reparación del telescopio espacial un astronauta de 60 𝑘𝑔 reemplaza dos
paneles, al empujar un panel deteriorado de 80 𝑘𝑔 hacia atrás en el espacio, experimenta
un impulso en sentido opuesto, el astronauta está inicialmente en reposo respecto a su
vehículo espacial y después empuja el panel a una velocidad de 0.3 𝑚/𝑠. ¿Cuál es su
velocidad posterior respecto al telescopio?
111
CUESTIONARIO III
1. Una bala de 6 gramos que viaja a una velocidad de 300 𝑚/𝑠, atraviesa un bloque
de madera y sale de él a 100 𝑚/𝑠. ¿Cuál es su cambio de momento?
2. Si la bala del problema 1 atraviesa el bloque de madera en 1.2 × 10−3 𝑠. ¿Cuál fue la
fuerza que ejerció la madera sobre la bala?
3. ¿Por qué los autobuses y camiones pesados tienen volantes de dirección grandes?
Argumenta tu respuesta.
4. Un protón cuya masa es de 1.01 𝑢𝑚𝑎, que se desplaza con una rapidez de
3.60 × 104 𝑚/𝑠, sufre una colisión de frente con un núcleo de helio (He) que
inicialmente se hallaba en reposo (𝑚𝐻𝑒 = 4 𝑢𝑚𝑎). ¿Cuáles son las velocidades del
protón y del núcleo de helio después del choque? Nota: 1 𝑢𝑚𝑎 = 1.6606 × 10−27 𝑘𝑔.
5. Una partícula de masa m, que se mueve con rapidez v, choca de frente con otra partícula
de igual masa que está en reposo (𝑣2 = 0). ¿Cuáles son las velocidades de las dos
partículas después del choque, suponiendo que éste es elástico?
6. Un jugador de béisbol coloca una máquina de lanzar de 75.5 𝑘𝑔, y la coloca en el
montículo del lanzar. El suelo está cubierto por una delgada capa de hielo, de modo que
hay una fricción insignificante entre el suelo y la máquina. La máquina dispara
horizontalmente una pelota de 0.15 𝑘𝑔 con una rapidez de 87 𝑚/𝑠. ¿Cuál es la velocidad
de retroceso de la máquina?
7. Un niño arroja un paquete de 5.40 𝑘𝑔 en dirección horizontal desde un bote, con una
rapidez de 10.40 𝑚/𝑠. Calcule la velocidad resultante del bote, suponiendo que se
encontraba inicialmente en reposo, la masa del niño es de 45 𝑘𝑔 y la del bote
es de 85 𝑘𝑔.
8. Un cohete de 3700 𝑘𝑔 de masa total viaja por el espacio exterior con una velocidad
de 110 𝑚/𝑠 hacia el sol. Desea desviar su curso 35° y lo puede hacer encendiendo sus
cohetes durante un tiempo breve, en dirección perpendicular a su curso original.
Los gases de los cohetes salen expulsados a una velocidad de 1900 𝑚/𝑠. ¿Cuánta masa
de gases deberá expulsar?
9. Que fuerza se necesita para detener en 40 segundos una locomotora de 50000 𝑘𝑔
que viaja a una velocidad de 300 𝑚/𝑠.
10. Un sistema de partículas tiene una energía cinética de 10000 𝐽, pero una cantidad
de movimiento total de cero, ¿Esto es posible?
112
CUESTIONARIO IV
1. ¿De qué manera cambia la cantidad de movimiento si la masa de un objeto se duplica?
2. ¿Qué relación guarda la dirección de la cantidad de movimiento con la dirección de la
velocidad?
3. La rapidez de un objeto se duplica. ¿Cuál es la diferencia entre el cambio en la magnitud
de la cantidad de movimiento del objeto y el cambio en su energía cinética?
4. Se sabe que un sistema que consiste en dos partículas tiene una cantidad de movimiento
total cero. ¿Entonces, la energía cinética del sistema también es cero? Explica.
5. De las siguientes cantidades cual (una o más) tiene la misma dirección que el impulso:
a) cantidad de movimiento, b) cambio en la cantidad de movimiento, c) velocidad,
d) fuerza o e) energía cinética.
6. ¿El impulso determina la cantidad de movimiento de un objeto o el cambio en la cantidad
de movimiento de un objeto?
7. Se suministran impulsos a los sistemas A, B, C y D, como se describe a continuación.
Clasifica los sistemas en orden de impulso creciente. Indica empates donde sea
adecuado.
Sistema A Sistema B Sistema C Sistema D
Magnitud de la fuerza 𝐹 2𝐹 5𝐹 10𝐹
Duración ∆𝑡 ∆𝑡/3 ∆𝑡/10 ∆𝑡/100
8. Un automóvil abandonado rueda lentamente por un estacionamiento vacío. Considera
los dos casos siguientes: 1) el automóvil golpea un poste de luz y llega al reposo,
2) El automóvil golpea una pila de bolsas plásticas para basura y llega al reposo.
a) ¿El impulso en el caso 1 es mayor que, menor que, o igual al impulso en el caso 2?
b) ¿La fuerza promedio en el caso 1 es mayor que, menor que, o igual a la fuerza
promedio en el caso 2?
9. ¿Cómo se relaciona la cantidad de movimiento con la fuerza externa total?
10. ¿De qué manera las fuerzas internas y externas afectan la cantidad de movimiento de un
sistema?
113
CUESTIONARIO V
1. Si la fuerza externa total que actúa sobre un sistema es cero, ¿qué puedes decir acerca
de su cantidad de movimiento total?
2. Fuerzas internas pueden cambiar la cantidad de movimiento de cada uno de los objetos
dentro de un sistema. ¿De qué manera afectan la cantidad de movimiento total del
sistema?
3. Dos patinadores de hielo en reposo en el centro de una pista de hielo se empujan
mutuamente en direcciones opuestas. Identifica el sistema en el que se conserva
la cantidad de movimiento y menciona las fuerzas internas y externas que actúan sobre
el sistema.
4. Si sueltas tus llaves, su cantidad de movimiento aumenta mientras caen. ¿La cantidad de
movimiento de las llaves se conserva o la cantidad de movimiento del universo aumenta
a medida que las llaves caen? Explica.
5. Una persona está de pie bajo un paraguas mientras llueve. Pocos minutos después
las gotas de lluvia se convierten en granizo, aunque el número de gotas que golpean
el paraguas por unidad de tiempo y su rapidez permanecen constantes. ¿La fuerza
necesaria para sostener el paraguas en línea recta en el granizo es mayor que, menor que,
o igual a la fuerza necesaria para mantenerlo bajo la lluvia?
6. ¿Es posible que una pelota de béisbol tenga más cantidad de movimiento que un camión?
7. ¿Cuál es la diferencia entre velocidad y cantidad de movimiento?
8. ¿Es posible que una fuerza pequeña suministre un impulso más grande que una fuerza
grande? Si es así, explica cómo.
9. Las bolsas de aire automotrices que se despliegan durante una colisión se diseñaron para
proteger a los ocupantes del vehículo. Con el concepto de impulso, explica de qué
manera las bolsas de aire protegen a los pasajeros de un automóvil.
10. Se suministra un impulso de 12.2 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠 a un objeto cuya cantidad de movimiento
inicial es de 4.5 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠. El impulso tiene la misma dirección que la cantidad de
movimiento inicial. ¿Cuál es la cantidad de movimiento final del objeto?
114
Una persona puede ejercer un
mayor momento de fuerza o torca,
al usar una llave con un brazo de
palanca largo.
¿Cómo se estudian las fuerzas en los movimientos circulares?
Sujeta con la mano el extremo de una regla de un metro, horizontalmente. Coloca algo pesado
cerca de la mano y agita la regla; podrás sentir la torsión de la regla. Ahora coloca el peso más
alejado de la mano y la torsión será mayor. Pero el peso es igual. La fuerza que actúa sobre
la mano es la misma. Lo que es distinto es el momento de fuerza. Un momento de fuerza es la
contraparte rotacional de la fuerza. La fuerza tiende a cambiar el movimiento de las cosas;
el momento de fuerza tiende a torcer o cambiar el estado de rotación de las cosas. Para comenzar
a girar un objeto en reposo se le aplica un momento de fuerza como al birlo de una llanta.
El momento de fuerza es distinto de la fuerza, así como la inercia rotacional es distinta de la
inercia normal. Tanto el momento de fuerza como la inercia rotacional implican una distancia
al eje de rotación. En el caso del momento de fuerza, esa distancia, que se puede considerar que
tiende a proporcionar el equilibrio se llama brazo de palanca. Es la distancia más corta entre la
fuerza aplicada y el eje de rotación.
115
CAPÍTULO V MOMENTO DE FUERZA
LO QUE APRENDEREMOS
▪ El momento de fuerza o Torca es la medida de la fuerza que se le aplica a un objeto
y provoca aceleración angular
▪ El momento de fuerza puede ser estático o dinámico.
▪ La razón de cambio del movimiento que produce el momento de fuerza no sólo
depende de la magnitud de la fuerza, sino también de la distancia perpendicular entre
su línea de acción y el eje de rotación.
▪ El momento de fuerza es un vector perpendicular al plano determinado por el brazo
de palanca y la fuerza.
▪ El momento de fuerza es un vector y su dirección siempre es perpendicular al plano
que forman los vectores de fuerza y de brazo de palanca.
▪ En la cinemática rotacional, el momento de fuerza toma el lugar de la fuerza en la
cinemática lineal.
5.1 MOMENTO DE FUERZA (TORCA)
Otro concepto muy importante en el movimiento, es el momento de una fuerza o torca. La torca
es una medida de la fuerza que puede hacer que un objeto gire alrededor de un eje.
Así como en la cinemática lineal la fuerza es lo que hace que un objeto acelere, la torca es lo
que provoca que un objeto adquiera aceleración angular. Dicho concepto se entiende como la
tendencia a girar que recibe un cuerpo por la aplicación de una fuerza que provoca
aceleración angular (ver figura 5.1).
Fig. 5.1 Momento de una fuerza o Torca.
La torca puede ser estática o dinámica. Una torca estática es la que no produce una
aceleración angular. Alguien que empuja una puerta cerrada está aplicando una torca estática
a la puerta, ya que esta no gira sobre las bisagras a pesar de la fuerza aplicada. Alguien que
pedalea una bicicleta a velocidad constante también está aplicando una torca estática ya que no
está acelerando. El eje de transmisión de un coche de carreras que acelera de la línea de salida
lleva una torca dinámica porque debe producir una aceleración angular en las llantas, ya que el
automóvil acelera a lo largo de la pista.
116
Al igual que en el movimiento traslacional (el movimiento de traslación es la variación de la
posición del cuerpo en el espacio con el tiempo y nos indica si el cuerpo se mueve, es decir, si
varía su posición a medida que varía el tiempo), se requiere una fuerza para producir un cambio
en el momento rotacional.
La razón de cambio del movimiento depende no sólo de la magnitud de la fuerza, sino también
de la distancia perpendicular entre su línea de acción y el eje de rotación. Dicha línea de acción
de una fuerza es una línea imaginaria que pasa por la flecha del vector de fuerza, es decir,
la línea a lo largo de la cual actúa la fuerza.
Se ha definido la fuerza como un tirón o empujón que tiende a causar un movimiento.
El momento de fuerza se define como la tendencia a producir un cambio en el movimiento
rotacional. El movimiento rotacional se ve afectado tanto por la magnitud de la fuerza como
por el radio en el cual actúa la fuerza, llamado brazo de palanca o de momento (𝑟).
La tendencia de una fuerza a hacer girar un objeto alrededor del mismo eje se mide por
una cantidad denominada torca (𝝉). La magnitud de la torca debida a la fuerza es,
𝜏 = 𝐹 𝑟⊥ (5.1)
En esta ecuación (𝑟⊥) es la longitud el brazo de palanca o brazo de momento de la fuerza (𝐹).
El brazo de palanca es la distancia perpendicular desde el eje de rotación hasta una línea
trazada a lo largo de la dirección de la fuerza. El valor de (𝝉) depende del eje de rotación.
La torca es un vector perpendicular al plano determinado por el brazo de palanca y la fuerza.
Para los problemas bidimensionales que se emplean en la mayoría de los casos, la torca entra
o sale del plano del papel.
Las unidades de la torca son [𝑵 ∙ 𝒎]. Cabe aclarar que el momento de fuerza o torca es un
concepto independiente del trabajo y su unidad no es el Joule. Medir una torca estática en un
sistema que no rota es generalmente bastante fácil, y se hace al medir una fuerza.
Dada la longitud del brazo de palanca, la torca se puede encontrar directamente.
5.1 Ejercicio en Clase
Para cambiar un neumático se aplica una fuerza de 𝟕𝟖 𝑵 a una distancia de 𝟐𝟑 𝒄𝒎 del
eje de rotación. La fuerza es perpendicular al mango de la llave. Calcula el valor del
momento de fuerza que aplica la llave.
117
La dirección del momento de fuerza depende de si éste tiende a producir la rotación en el sentido
de avance de las manecillas del reloj, o sentido horario, o en dirección contraria a ellas, o sentido
anti horario.
Si la fuerza o momento de fuerza tiende a producir una rotación con respecto a un eje
coordenado contraria a la de las manecillas, el momento de fuerza se considerará positivo;
y para una rotación en el sentido de las manecillas del reloj será negativo. En la figura 5.2
observamos,
𝜏 = 𝑟⊥ 𝐹 = 𝑟𝐹 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (5.2)
Donde 𝑟 es la longitud del brazo de palanca y 𝜃 es el ángulo entre el vector fuerza y el brazo de
palanca. Para el caso a) La distancia perpendicular 𝑟⊥ entre el eje de rotación y la línea de acción
de la fuerza que sería el brazo de palanca se denomina 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃. El momento de fuerza (o par de
torsión) que produce movimiento rotacional es 𝜏 = 𝑟⊥ 𝐹. b) La misma fuerza en la dirección
opuesta con un menor brazo de palanca produce un momento de fuerza menor en la dirección
opuesta. En este caso observamos que 𝑟⊥ 𝐹 = 𝐹 𝑟⊥ ó (𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 𝐹 = 𝑟 (𝐹 𝑠𝑒𝑛 𝜃). c) Cuando
actúa una fuerza a través del eje de rotación, 𝑟⊥ = 0 y 𝜏 = 0.
Fig. 5.2 Momento de fuerza y brazo de palanca. a) Momento de fuerza anti horario, b) Momento de
fuerza horario y c) Momento de fuerza cero.
5.2 Ejercicio en Clase
Se aplica una fuerza de 𝟖𝟗𝟖 𝑵 a una distancia de 𝟎. 𝟒𝟓 𝒎 del eje de rotación. La fuerza
es perpendicular. Calcula el valor del momento de fuerza que se aplica.
118
No siempre se produce una aceleración rotacional cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo
rígido estacionario. Por las definiciones anteriores, vemos que, cuando la fuerza actúa a través
del eje de rotación tal que 𝜃 = 0, entonces 𝜏 = 0. También, cuando 𝜃 = 90°, el momento de
fuerza es máximo y la fuerza actúa perpendicularmente a 𝑟. Por lo tanto, la aceleración angular
depende de dónde se aplique una fuerza perpendicular y de la longitud del brazo de palanca.
Podemos ver el momento de fuerza en movimiento rotacional como similar a la fuerza
en movimiento rotacional. Una fuerza neta, no equilibrada, modifica un movimiento
traslacional, y un momento de fuerza neto, no equilibrado, modifica un movimiento rotacional.
5.3 Ejercicio en Clase
¿Por qué una fuerza pequeña ejerce una torca mayor que una fuerza más grande?
El momento de fuerza es un vector. Su dirección siempre es perpendicular al plano que
forman los vectores de fuerza y de brazo de palanca, y está dada por una regla de la mano
derecha como la que se emplea con la velocidad angular. Si los dedos de la mano derecha se
enroscan alrededor del eje de rotación en la dirección de la aceleración rotacional (angular) que
producirá el momento de fuerza, el pulgar extendido apuntará en la dirección del momento de
fuerza.
Fig. 5.3 Regla de la mano derecha aplicada a la torca.
La dirección del vector de la torca incorpora dos piezas de información que describen la torca.
1) El plano en el que el objeto rota (o podría rotar). Esto no es arbitrario. 2) La dirección de
rotación (en sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario). En principio, esto puede
definirse de manera distinta dependiendo de la ubicación del observador. Una manera de
describir un plano en tres dimensiones es con un vector perpendicular al plano como se muestra
en la figura 5.4. El vector de la torca es el vector normal al plano de rotación.
119
Fig. 5.4 Vector perpendicular al plano de rotación.
En la cinemática rotacional, la torca toma el lugar de la fuerza en la cinemática lineal.
Hay un equivalente directo a la segunda ley de Newton (𝐹 = 𝑚�⃗�), 𝜶 es la aceleración angular
e 𝑰 es la inercia rotacional, una propiedad de un sistema que rota y que depende de la
distribución de masa del sistema.
𝜏 = 𝐼 𝛼 (5.3)
Mientras más grande sea 𝐼, más difícil será que un objeto adquiera aceleración angular.
Podemos definir la inercia rotacional de un cuerpo como,
𝐼 = 𝑚 𝑟2 (5.4)
Donde 𝑚 es la masa y 𝑟 el radio del objeto. El concepto de equilibrio rotacional es el equivalente
de la primera ley de Newton para un sistema en rotación. Un objeto que no está girando continúa
sin rotar a menos que una torca externa actúe sobre él. Del mismo modo, un objeto que gira a
velocidad angular constante continúa rotando a menos que una torca actúe sobre él.
Este concepto es generalmente útil en problemas que involucran múltiples torcas que actúan en
un objeto giratorio. En este caso, lo que es importante es la torca neta. Si esta es cero entonces
el sistema estará en equilibrio rotacional y no podrá tener aceleración angular.
5.4 Ejercicio en Clase
Calcula el momento de fuerza producido por una fuerza de 𝟑𝟎𝟎 𝑵 aplicado a un ángulo
de 𝟔𝟎° a 𝟐 metros del eje de rotación.
120
5.5 Ejercicio en Clase
Calcula el momento de fuerza que produce una fuerza perpendicular de 50 N en el
extremo de una llave inglesa de 0.2 m de largo.
Otra relación importante es entre torca y energía. Como lo mencionamos anteriormente tienen
las mismas dimensiones, es decir, que se pueden escribir en las mismas unidades fundamentales,
pero no son una medida de la misma cosa. Se diferencian en que la torca es una cantidad
vectorial definida únicamente para un sistema en rotación. Sin embargo, se puede calcular la
potencia a partir de la torca si se conoce la velocidad de giro. Los caballos de fuerza de un
motor no suelen medirse directamente, se calculan a partir de las medidas de la torca y la
velocidad de rotación,
𝑃 =𝐹 𝑑
𝑡=
𝐹 2𝜋𝑟
𝑡= 2𝜋𝑡𝜔 = 𝑡𝜔 (5.5)
Los caballos de fuerza y la torca máxima producida por el motor de un vehículo, son una
especificación importante y comúnmente citada. Hablando de forma práctica, la torca máxima
es relevante para describir qué tan rápido acelera un vehículo y su capacidad para tirar de una
carga. Los caballos de fuerza y la torca son de uso limitado al hacer cálculos que implican
el movimiento general de un vehículo, debido a que en la práctica ambos varían en función de
la velocidad de rotación. La relación general puede no ser lineal y cambia dependiendo el tipo
de motor.
A menudo es necesario aumentar y disminuir la torca producida por un motor para que se adapte
a diferentes aplicaciones. La longitud de una palanca puede aumentar o disminuir la fuerza sobre
un objeto dependiendo de la distancia a la cual se empuje la palanca. Del mismo modo, se puede
aumentar o disminuir la torca producida por un motor mediante el uso de engranajes.
El aumento de la torca viene con una disminución proporcional en la velocidad de rotación.
El embone de dos dientes de engranaje puede considerarse equivalente a la interacción de un
par de palancas (ver figuras 5.5).
Como ejemplo podríamos suponer que aplicamos una fuerza a una puerta de vidrio pesada que
se abre en ambas direcciones. El punto donde apliquemos la fuerza influirá mucho en la facilidad
con que la puerta se abre o gira (sobre las bisagras de su eje). La fuerza produce un momento
de fuerza pequeño y poca o ninguna aceleración rotacional.
121
Fig. 5.5 Comparación entre engranes y palancas.
Considerando el ejemplo podemos deducir una expresión donde relacionemos el momento
de fuerza o torca (momento dinámico) y el momento cinético. El momento cinético (𝑙) de una
partícula respecto al origen se define como,
𝑙̅= 𝑟 �⃗⃗� (5.6)
Como se mencionó anteriormente, para una partícula �⃗� =∆(𝑚𝑣)
∆𝑡=
∆�⃗⃗�
∆𝑡. Tomamos el producto
vectorial de 𝑟 con ambos miembros de esta ecuación obteniendo,
𝑟 �⃗� = 𝑟∆�⃗⃗�
∆𝑡 (5.7)
Pero (𝑟 �⃗�) es el momento de fuerza o torca, respecto al origen. Por lo tanto, podemos escribir,
𝜏 = 𝑟∆�⃗⃗�
∆𝑡 (5.8)
Usando la ecuación del momento cinético, tenemos,
𝜏 =∆𝑙
∆𝑡 (5.9)
La ecuación del momento cinético nos indica que la velocidad de cambio del momento
cinético de una partícula es igual a la torca que actúa sobre ella.
5.6 Ejercicio en Clase
Una persona de 𝟔𝟐 𝒌𝒈 montada en una bicicleta recarga todo su peso sobre cada pedal
cuando asciende una colina. Los pedales giran en un círculo con 𝟏𝟕 𝒄𝒎 de radio.
a) ¿Cuál es la torca máxima que la persona ejerce? b) ¿Cómo podría ejercer más torca?
122
LO QUE HEMOS APRENDIDO • El momento de fuerza o Torca es una medida de la fuerza
que puede hacer que un objeto gire alrededor de un eje.
𝜏 = 𝐹 𝑟⊥ (5.1)
• El momento de fuerza o Torca se entiende como la
tendencia a girar que recibe un cuerpo por la aplicación
de una fuerza que provoca aceleración angular.
• El momento de fuerza puede ser estático
o dinámico. Un momento de fuerza estático es el que no
produce una aceleración angular.
• El momento de fuerza se define como la tendencia a
producir un cambio en el movimiento rotacional.
• La tendencia de una fuerza a hacer girar un objeto
alrededor del mismo eje se mide por una cantidad
denominada torca (𝜏).
𝜏 = 𝑟⊥ 𝐹 = 𝑟𝐹 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (5.2)
• El brazo de palanca es la distancia perpendicular desde el
eje de rotación hasta una línea trazada a lo largo de la
dirección de la fuerza. El valor de (𝜏) depende del eje de
rotación.
• El momento de fuerza se considera positivo si tiende a
producir una rotación, con respecto a un eje coordenado,
contraria a la de las manecillas del reloj. Y se considera
negativa cuando la rotación es en el sentido de las
manecillas del reloj.
• El vector del momento de fuerza es el vector normal al
plano de rotación.
• En la cinemática rotacional, el momento de fuerza toma
el lugar de la fuerza en la cinemática lineal. El equivalente
directo a la segunda ley de Newton donde 𝛼 es la
aceleración angular e 𝐼 es la inercia rotacional. Mientras
más grande sea 𝐼, más difícil será que un objeto adquiera
aceleración angular.
𝜏 = 𝐼 𝛼 (5.3)
• La inercia rotacional es una propiedad de cualquier objeto
que puede girar. Es un valor escalar que nos indica qué
tan difícil es cambiar la velocidad de rotación del objeto
alrededor de un eje de rotación determinado.
𝐼 = 𝑚 𝑟2 (5.4)
• Los caballos de fuerza de un motor no suelen medirse
directamente, sino que se calculan a partir de medidas de
la torca y la velocidad de rotación.
𝑃 = 𝑡𝜔 (5.5)
• La ecuación del momento cinético nos indica que la
velocidad de cambio del momento cinético de una
partícula es igual a la torca que actúa sobre ella.
𝜏 =∆𝑙
∆𝑡 (5.9)
123
Problema 5.1
Un mecánico ejerce una fuerza de 20 lb en el extremo de una llave inglesa de 10 in, como
se observa en la figura del problema. Si este tirón forma un ángulo de 𝟔𝟎° con el mango
de la llave. ¿Cuál es el momento de torsión producido en la tuerca?
𝑅 = 173 𝑙𝑏 𝑖𝑛
Problema 5.2
La figura del problema es una vista de una caja de empaque empujada por dos fuerzas de
igual magnitud que actúan en direcciones opuestas. Determine la torca neta ejercida sobre
la caja si su ancho es de 1 m. Suponga que existe un eje de rotación que pasa por el centro
de la caja.
𝑅 = −500 𝑁 ∙ 𝑚
Problema 5.3
Encuentre la torca producida por la fuerza de 300 N aplicada a un ángulo de 𝟔𝟎° a la
puerta de la figura del problema.
𝑅 = 519.6 𝑁 ∙ 𝑚
124
Problema 5.4
Cuando el conductor de un automóvil pisa el acelerador, la nariz del auto se mueve hacia
adelante. Cuando frena, la nariz se mueve hacia abajo. ¿Por qué ocurren estos efectos?
Problema 5.5
Dos ruedas delgadas en forma de disco, de radios 𝒓𝑨 = 𝟑𝟎 𝒄𝒎 y 𝒓𝑩 = 𝟓𝟎 𝒄𝒎, están unidas
una a la otra sobre un eje que pasa a través del centro de cada una, como se observa en la
figura del problema. Calcula la torca neta sobre esta rueda compuesta que se debe a las
dos fuerzas mostradas, cada una con magnitud de 50 N.
𝑅 = −6.65 𝑁 ∙ 𝑚
Problema 5.6
El bíceps ejerce una fuerza vertical sobre el antebrazo, cuando está flexionado como se
observa en la figura del problema. Para cada caso, calcule la torca en torno al eje de
rotación a través de la articulación del codo, suponiendo que el músculo está unido a 𝟓 𝒄𝒎
del codo, como se observa.
a) 𝑅 = 35 𝑁 ∙ 𝑚
b) 𝑅 = 30.31 𝑁 ∙ 𝑚
125
Problema 5.7
Determina el momento de fuerza total causado por tres fuerzas en una barra que tiene su
eje de giro en la parte central.
𝑅 = 10 𝑁 ∙ 𝑚; 0 𝑁 ∙ 𝑚; −10 𝑁 ∙ 𝑚
Problema 5.8
Un alpinista se agacha como se observa en la figura. Para la mayoría de nosotros el centro
de gravedad del cuerpo está en la región del pecho o cerca de éste. Al inclinarse, esto
origina un momento de fuerza que tiende a producir rotación entorno a un eje en la base
de la espina dorsal, y podría ocasionar una caída. ¿Por qué no nos caemos cuando nos
inclinamos de esta forma? Consideramos solo el torso superior.
Problema 5.9
Para detener la rueda de una bicicleta que gira, suponga
que usted oprime radialmente hacia adentro desde dos
lados opuestos de la misma con dos fuerzas iguales de 10 N,
como se observa en la figura del problema. El radio de la
rueda es de 32 cm y el coeficiente de fricción cinética entre
la llanta y sus manos es de 0.75. La rueda gira en el sentido
de las manecillas del reloj. ¿Cuál es el momento de torsión
neto sobre la rueda?
𝑅 = 4.8 𝑁 ∙ 𝑚
126
Problema 5.10
El mecanismo automático de cierre de un mosquitero está unido a una puerta, a 47 cm de
las bisagras, y tira de la puerta con una fuerza de 25 N, forma con ella un ángulo de 𝟏𝟓°.
Halle la magnitud del momento de torsión que se ejerce sobre la puerta por esta fuerza en
torno del eje de rotación a través de las bisagras, use a) la componente perpendicular de
la fuerza y b) el brazo de palanca, y c) ¿Cuál es el signo de este momento de torsión visto
desde arriba?
a) 𝑅 = 3 𝑁 ∙ 𝑚
b) 𝑅 = 3.04 𝑁 ∙ 𝑚
c) 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜
Problema 5.11
Un mecánico hace girar una llave de tuercas aplicando una fuerza de 25 N a una distancia
de 16 cm del eje de rotación. La fuerza es perpendicular al mango de la llave. ¿Cuál es la
magnitud del momento de torsión que aplica a la llave?
𝑅 = 4 𝑁 ∙ 𝑚
Problema 5.12
El cordón para poner en marcha el motor de una cortadora de césped está enrollado
en un tambor de 6 cm de radio. Cuando se tira del cordón con una fuerza de 75 N para
poner en marcha el motor. ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión que el cordón
aplica sobre el tambor?
𝑅 = 4.5 𝑁 ∙ 𝑚
Problema 5.13
Una fuerza de 46.4 N se aplica al borde exterior de una puerta de 1.26 m de ancho de
manera que ejerce su acción a) en dirección perpendicular a la puerta, b) formando un
ángulo de 𝟒𝟑° respecto a la superficie de la puerta, c) de manera que la línea de acción de
la fuerza pasa por el eje de la bisagra de la puerta. Halle el momento de torsión para estos
tres casos.
a) 𝑅 = 58.46 𝑁 ∙ 𝑚
b) 𝑅 = 39.87 𝑁 ∙ 𝑚
c) 𝑅 = 0
127
Problema 5.14
Una puerta tipo trampa, de 𝟏. 𝟔𝟓 𝒎 de largo y de ancho, se mantiene abierta formando un
ángulo de 𝟔𝟓° con el piso. Una cuerda está atada al borde de la puerta levantándola y
también a una pared que está detrás, en una posición en la cual tira perpendicularmente
de la puerta. Si la masa de la puerta es de 𝟏𝟔. 𝟖 𝒌𝒈, ¿Cuál es el momento de torsión que la
cuerda ejerce sobre la puerta?
𝑅 = 57.4 𝑁 ∙ 𝑚
Problema 5.15
Considere el par de fuerzas descrito en la parte a) de la figura. El eje de rotación es
perpendicular a la página y pasa por el punto 𝑷. a) Demuestra que el momento de torsión
neto debido a este par es igual a 𝑭𝒅, 𝒅 es la distancia entre las líneas de acción de las dos
fuerzas. b) Repita la operación con el par de la parte b) de la figura. Demuestre que el
momento de torsión continua siendo 𝑭𝒅 si 𝒅 es la distancia perpendicular entre las líneas
de acción de las fuerzas.
Problema 5.16
Una puerta uniforme pesa 50 N y mide 1 m de ancho y 2.6 m de alto. ¿Cuál es la magnitud
del momento de torsión debido al propio peso de la puerta sobre un eje horizontal que es
perpendicular a la puerta y que pasa por una esquina?
𝑅 = 25 𝑁 ∙ 𝑚
Problema 5.17
Un niño de 40 kg de masa está sentado sobre un sube y baja a una distancia de 2 m del eje
de apoyo. ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión sobre el eje debido al peso del
niño?
𝑅 = 784 𝑁 ∙ 𝑚
128
Problema 5.18
Una masa de 124 g está colocada sobre un platillo de una balanza, en un punto que se
encuentra a 25 cm del soporte de la balanza. ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión
que la masa ejerce sobre el soporte?
𝑅 = 0.30 𝑁 ∙ 𝑚
Problema 5.19
La manecilla horaria de cada una de las caras del famoso reloj Big Ben mide 2.7 m de
longitud y tiene una masa de 60 kg. Suponga que la manecilla horaria es una varilla
uniforme sujeta por uno de los extremos. a) ¿Cuál es el momento de torsión sobre el
mecanismo del reloj debido al peso de una de las cuatro manecillas horarias cuando el
reloj marca el mediodía? El eje de rotación es perpendicular a una cara del reloj y pasa
por el centro del mismo. b) ¿Cuál es el momento de torsión debido al peso de una manecilla
horaria sobre el mismo eje cuando el reloj marca las 9:00 a.m.?
a) 𝑅 = 0 b) 𝑅 = 793.8 𝑁 ∙ 𝑚
Problema 5.20
Una pieza angular de hierro gira sobre un gozne o bisagra, como se observa en la figura
(a) del problema. Determina el momento de torsión resultante en A debido a las fuerzas
de 𝟔𝟎 𝑵 y 𝟖𝟎 𝑵.
𝑅 = 1.98 𝑁 ∙ 𝑚
129
CUESTIONARIO I
1. Define el concepto de momento de una fuerza y menciona 3 ejemplos cotidianos.
2. ¿Es lo mismo momento de fuerza que momento de torsión? Explica.
3. ¿Cómo se calcula la torca neta aplicada?
4. Dibuja un diagrama de cuerpo libre donde se aplica un momento de fuerza.
5. ¿Cuáles son las unidades de torca en el SI y en el sistema inglés?
6. ¿Por qué es útil trabajar con las componentes de una fuerza para obtener el momento de
fuerza resultante? Explica.
7. ¿A qué se le llama brazo de palanca o brazo de momento?
8. ¿El movimiento rotacional es afectado cuando se aplica una fuerza por un brazo de
palanca? Explica y menciona dos ejemplos.
9. ¿De qué depende que sea positivo o negativo el momento de fuerza?
10. ¿Cómo se le llama a la distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de acción de
la fuerza? Dibuja un diagrama.
11. ¿Por qué el momento de fuerza es un concepto independiente del de trabajo?
12. Explica por que no siempre se produce aceleración rotacional cuando una fuerza actúa
sobre un cuerpo rígido estacionario.
13. ¿Por qué es más difícil abrir una puerta empujando desde un punto cercano a las
bisagras?
14. Explica la relación entre el momento de fuerza y el equilibrio.
15. ¿Por qué la aceleración angular depende del punto donde se aplique una fuerza
perpendicular?
130
CUESTIONARIO II
1. Explica que es una torca estática y una dinámica. Menciona dos ejemplos de cada una.
2. Explica la dirección de la torca usando la regla de la mano derecha.
3. Explica el papel que desempeña el concepto Torca en la cinemática rotacional.
4. ¿Cuál es la relación entre aceleración angular, inercia rotacional y torca?
5. Explica el concepto de equilibrio rotacional.
6. ¿Cómo se relaciona la torca con la potencia y la energía?
7. ¿Cómo se relacionan los caballos de fuerza y la torca máxima producida en un motor?
8. ¿Cómo se puede aumentar o disminuir la torca producida en una maquina o motor?
9. Explica que es la energía cinética rotacional, y su relación con la torca.
10. ¿Cuál es la relación entre la torca y la aceleración angular en un cuerpo rígido?
11. ¿En qué condiciones es posible tener un momento de fuerza neto?
12. ¿Cuál es el producto de la fuerza y el brazo de momento?
13. ¿Si el momento de fuerza es cero que sucede con el movimiento rotacional?
14. Mencione dos ejemplos que ilustren el siguiente enunciado: “Podemos ver el momento
de fuerza en movimiento rotacional como similar a la fuerza en movimiento
traslacional”.
15. ¿Por qué el momento de fuerza es un vector? Explica en detalle.
131
CUESTIONARIO III
1. Se coloca una tuerca con una llave española. Si el brazo de palanca 𝑟 es de 30 𝑐𝑚,
y la torca de apriete es de 30 𝑁 ∙ 𝑚, ¿Cuál debe ser el valor de la fuerza 𝐹 aplicada?
2. Una caña de pescar de 2 𝑚 de largo, está inclinada respecto a la horizontal formando un
ángulo de 20°. ¿Cuál es el momento de torsión ejercido por un pez alrededor de un eje
perpendicular a la página y que pasa por la mano del pescador?
3. Se ejerce una fuerza de 10 𝑁 en el extremo de una llave inglesa de 25 𝑐𝑚.
Si este movimiento forma un ángulo de 55° con el mango de la llave. ¿Cuál es el
momento de torsión producido en la tuerca?
4. Encuentre la torca producida por una fuerza de 723 𝑁 debido a un brazo de palanca de
3.28 𝑚, aplicada a un ángulo de 36°.
5. Una puerta tiene un peso de 895 𝑁 y mide 2.3 𝑚 de ancho y 3.9 𝑚 de alto. ¿Cuál es el
momento de fuerza debido al peso de la puerta sobre un eje horizontal que es
perpendicular a la puerta y que pasa por una esquina?
6. Una persona de 62 𝑘𝑔 de masa está sentado sobre un columpio sube y baja a una
distancia de 4.2 𝑚 del eje. ¿Cuál es el momento de fuerza sobre el eje?
7. ¿Cuál es el momento de fuerza que se ejerce sobre el soporte de una balanza de un objeto
de 5 𝑘𝑔 colocado sobre un platillo de dicha balanza, en un punto que se encuentra
a 13 𝑐𝑚 del soporte?
8. Un péndulo simple está formado por un pequeño objeto de 3 𝑘𝑔 de masa que pende del
extremo de una cuerda delgada de 2 𝑚 de largo conectada a un punto pivote. Calcula la
torca (debido a la fuerza de la gravedad) alrededor de este punto pivote cuando la cuerda
forme un ángulo de 5° con respecto a la vertical.
9. Calcula la torca alrededor del eje 𝐴 en la figura del
problema debida a cada una de las fuerzas que se
muestran.
10. Observa la figura y determina el torque aplicado a dicha palanca.
132
La Turbina de un avión.
El momento de inercia
refleja la distribución de
masa de un cuerpo o de un
sistema de partículas en
rotación, respecto a un eje
de giro. El momento de
inercia solo depende de la
geometría del cuerpo y de
la posición del eje de giro;
pero no depende de las
fuerzas que intervienen en
el movimiento.
¿Existe una relación entre los aviones y el momento de inercia?
El cálculo y análisis del movimiento de un avión a partir de una condición inicial de vuelo,
se realiza utilizando las ecuaciones generales de movimiento de un cuerpo en el espacio;
ellas se derivan de las leyes de la mecánica. El momento de inercia de un avión se puede calcular
considerando tres partes distintas; el de la estructura, el del aire dentro de la estructura y el de
la masa aparente adicional de aire externo influenciada por el movimiento del avión, el cual
se manifiesta como una reducción en el tiempo de oscilación. Se ha observado en la práctica,
que los ejes principales del elipsoide coinciden con los ejes cuerpo de un avión. Sin embargo,
para cada avión, es bueno determinar la posición y el desplazamiento de los ejes principales del
elipsoide con respecto a los ejes cuerpo, para poder calcular los momentos de inercia en torno a
los ejes principales del avión. El momento de inercia describe cómo se distribuyen las masas de
las partes del avión en rotación con respecto a un eje de giro. El momento de inercia depende
exclusivamente de la geometría del avión y de la situación del eje sobre el que gira, no está
influenciado por las fuerzas que generan el movimiento. En un avión en movimiento el momento
de inercia realiza una función similar a la de la masa inercial.
133
CAPÍTULO VI MOMENTO DE INERCIA
LO QUE APRENDEREMOS
▪ La inercia es la propiedad que tiene la materia de resistirse a cualquier cambio en su
movimiento.
▪ El momento de inercia es similar a la inercia, con la diferencia que es aplicable a la
rotación más que al movimiento lineal.
▪ El momento de inercia de un cuerpo depende de su forma y de la posición del eje de
rotación.
▪ Cuanto mayor sea el momento de inercia, mayor será la energía cinética de un cuerpo
rígido que gira.
▪ El Teorema de Ejes Paralelos relaciona los momentos de inercia de un cuerpo rígido
alrededor de dos ejes paralelos.
▪ El momento de inercia de cuerpos sólidos y simétricos se calcula considerando su
inercia de rotación en torno a cualquier eje.
6.1 MOMENTO DE INERCIA
La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento,
ya sea en dirección o velocidad. Esta propiedad se describe claramente en la Primera Ley del
Movimiento de Newton lo cual nos dice: todo cuerpo permanece en estado de reposo
o de movimiento constante hasta que una fuerza externa no equilibrada lo haga cambiar de
posición. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar
moviéndose en línea recta a la misma velocidad.
Un momento es la resultante de una fuerza por una distancia, este efecto hace girar
elementos en torno a un eje o punto. El momento es constante, se puede tomar en cualquier
punto del plano y siempre dará el mismo resultado, siendo la distancia la perpendicular,
entre el punto y la dirección de la fuerza. El momento de inercia es similar a la inercia,
con la diferencia que es aplicable a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia puede
interpretarse como una nueva definición de masa.
El momento de inercia es masa rotacional y depende de la distribución de masa en un
objeto. Cuanta mayor es la distancia entre la masa y el centro de rotación mayor es el momento
de inercia. Se relaciona con las tensiones y deformaciones máximas producidas por los esfuerzos
de flexión en un elemento estructural, por lo cual este valor determina la resistencia máxima de
un elemento estructural bajo flexión junto con las propiedades de dicho material. Así como un
objeto en reposo tiende a permanecer en reposo y un objeto en movimiento tiende a permanecer
en movimiento en línea recta, un objeto que gira en torno a un eje tiende a permanecer girando
en torno al mismo eje a menos que alguna influencia externa interfiera en él.
134
La propiedad de un objeto a resistir los cambios en su estado de movimiento rotacional se
llama momento de inercia o inercia rotacional (𝐈). La inercia rotacional de un cuerpo depende
del eje en torno al cual esté girando, así como de la manera en que esté distribuida su masa.
En otras palabras, el momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de
un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro; desempeña un papel análogo
al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo uniforme, y es el valor escalar del
momento angular longitudinal de un sólido rígido.
El momento de inercia de un cuerpo depende de su forma (distribución de masa) y de la posición
del eje de rotación. Aún para un mismo cuerpo, el momento de inercia puede ser distinto,
si se considera ejes de rotación ubicados en distintas partes del cuerpo. Un mismo objeto puede
tener distintos momentos de inercia, dependiendo de dónde se considere el eje de rotación.
Mientras la masa este más alejada del eje de rotación, mayor es el momento de inercia.
Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un eje desarrolla inercia a la rotación,
es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro.
6.1 Ejercicio en Clase
Comenta la diferencia entre momento de inercia e inercia.
El momento de inercia es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuanto mayor
sea la distancia entre la concentración de masa de un objeto y el eje, mayor será la inercia
rotacional. Mientras mayor sea la inercia rotacional de un objeto, mayor es la dificultad
para cambiar su estado de rotación. Para una partícula que se mueve en un círculo de radio
𝑅 tiene una velocidad lineal dada por,
𝑣 = 𝜔 𝑅 (6.1)
Si la partícula tiene una masa 𝑚, tendrá una energía cinética que se obtiene por,
𝐸𝑐 =1
2𝑚𝑣2 =
1
2𝑚𝜔2𝑅2 (6.2)
Un cuerpo rígido se puede considerar que está formado por muchas partículas de diferentes
masas localizadas a diversas distancias del eje de rotación. La energía cinética total de un cuerpo
será entonces la suma de las energías cinéticas de cada partícula que forma el cuerpo,
135
𝐸𝑐 = ∑1
2𝑚𝜔2𝑟2 (6.3)
Como la constante 1
2 y la velocidad angular 𝜔 son las mismas para todas las partículas se puede
reescribir la ecuación 6.3 como,
𝐸𝑐 =1
2(∑𝑚𝑟2)𝜔2 (6.4)
La cantidad entre paréntesis tiene el mismo valor para un cuerpo dado independientemente de
su estado de movimiento. Se define esta cantidad como el momento de inercia (𝐼),
𝐼 = 𝑚1𝑟12 + 𝑚2𝑟2
2 + 𝑚3𝑟32+⋯ (6.5)
o bien,
𝐼 = ∑𝑚 𝑟2 (6.6)
La unidad del Sistema Internacional para el momento de inercia (𝑰) es [𝒌𝒈 ∙ 𝒎𝟐].
Podemos expresar la energía cinética rotacional de un cuerpo rígido en términos de su momento
de inercia y de su velocidad angular,
𝐸𝑐 =1
2 𝐼 𝜔2 =
𝐼 𝜔2
2 (6.7)
La energía cinética de la ecuación 6.7 no es una nueva forma de energía; es simplemente
la suma de las energías cinéticas de las partículas que constituyen el cuerpo rígido en rotación,
es la energía cinética rotacional. La rapidez angular 𝜔 debe medirse en radianes por segundo,
y no en revoluciones, ni grados por segundo, con la finalidad de obtener la 𝐸𝑐 en Joules.
La ecuación ofrece una interpretación física sencilla del momento de inercia: Cuanto mayor
sea el momento de inercia, mayor será la energía cinética de un cuerpo rígido que gira con
una rapidez angular 𝛚. Como se mencionó anteriormente, la energía cinética de un cuerpo es
igual al trabajo efectuado para acelerar ese cuerpo desde el reposo. De esta manera, cuanto
mayor sea el momento de inercia de un cuerpo, más difícil será ponerlo a girar si está en
reposo, y más difícil será detener su rotación si ya está girando. Por esta razón, 𝐼 también se
denomina inercia rotacional.
6.2 Ejercicio en Clase
¿Por qué un cuerpo rodante tiene energía cinética traslacional y rotacional? Explica.
136
6.3 Ejercicio en Clase
Una rueda metálica de 𝟖. 𝟒 𝒌𝒈 de masa y un radio de giro de 𝟖𝟕. 𝟓 𝒄𝒎.
Gira a 𝟑𝟏. 𝟒𝟏 𝒓𝒂𝒅/𝒔. Encuentra el momento de inercia y su energía cinética rotacional.
6.4 Ejercicio en Clase
Una hélice de un helicóptero tiene una masa de 98 𝒌𝒈, y un radio de giro de 𝟏𝟎𝟑 𝒄𝒎.
Encuentra el momento de inercia de la hélice.
6.5 Ejercicio en Clase
Una pelota de 𝟐. 𝟒 𝒌𝒈 de masa gira en el extremo de una cuerda de 𝟐. 𝟔 𝒎 de largo en
un plano horizontal alrededor de un eje vertical. Determine el momento de inercia con
respecto a ese eje.
137
6.2 TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS (Huygens-Steiner)
Un cuerpo no tiene un solo momento de inercia. De hecho, tiene un número infinito, porque el
número de ejes sobre los que podría girar es infinito. No obstante, hay una relación simple entre
el momento de inercia 𝐼𝑐𝑚 de un cuerpo de masa 𝑀 alrededor de un eje que pasa por el centro
de masa y el momento de inercia 𝐼𝑝 alrededor de cualquier otro eje paralelo al original, pero
desplazado una distancia 𝑑. Esta relación, llamada Teorema de los Ejes Paralelos nos dice que,
𝐼𝑝 = 𝐼𝑐𝑚 + 𝑀𝑑2 (6.8)
El Teorema de Ejes Paralelos relaciona los momentos de inercia de un cuerpo rígido de
masa 𝑴 alrededor de dos ejes paralelos: un eje que pasa por el centro de masa (momento
de inercia 𝑰𝒄𝒎) y un eje paralelo que está a una distancia 𝒅 del primero (momento de
inercia 𝑰𝒑).
Para demostrarlo, consideramos dos ejes paralelos al eje 𝑧; uno pasa por el centro de masa: y el
otro por un punto 𝑃 como se observa en la figura 6.1
Fig. 6.1 El elemento de masa 𝑚𝑖 tiene coordenadas (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) con respecto a un eje de rotación que pasa
por el centro de masa (𝑐𝑚), y coordenadas (𝑥𝑖 − 𝑎, 𝑦𝑖 − 𝑏) con respecto al eje paralelo que pasa por el punto 𝑃.
Primero tomamos una rebanada muy delgada del cuerpo, paralela al plano 𝑥𝑦 y perpendicular
al eje 𝑧. Tomamos el origen del sistema de coordenadas en el centro de masa del cuerpo; así, las
coordenadas del centro de masa son 𝑥𝑐𝑚 = 𝑦𝑐𝑚 = 𝑧𝑐𝑚 = 0. El eje que pasa por el centro de
masa atraviesa esta rebanada delgada en el punto 𝑂, y el eje paralelo la atraviesa en el punto 𝑃,
cuyas coordenadas 𝑥 y 𝑦 son (𝑎, 𝑏). La distancia entre este eje y el que pasa por el centro de
masa es 𝑑, donde 𝑑2 = 𝑎2 + 𝑏2.
Podemos escribir una expresión para el momento de inercia 𝐼𝑝 alrededor del eje que pasa por 𝑃.
Sea 𝑚𝑖 un elemento de masa de nuestra rebanada, con coordenadas (𝑥𝑖, 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖). El momento de
inercia 𝐼𝑐𝑚 de la rebanada alrededor del eje que pasa por el centro de masa (en 𝑂) es,
𝐼𝑐𝑚 = ∑𝑚𝑖(𝑥𝑖2 + 𝑦𝑖
2)
𝑖
(6.9)
138
En estas expresiones no intervienen las coordenadas 𝑧𝑖, medidas perpendicularmente a las
rebanadas, así que podemos extender las sumatorias para incluir todas las partículas de todas las
rebanadas. Así, 𝐼𝑝 será el momento de inercia de todo el cuerpo para un eje que pasa por 𝑃.
Expandiendo los cuadrados y reagrupando tenemos,
𝐼𝑝 = ∑𝑚𝑖(𝑥𝑖2 + 𝑦𝑖
2) − 2𝑎 ∑𝑚𝑖𝑥𝑖 − 2𝑏 ∑𝑚𝑖𝑦𝑖 + (𝑎2 + 𝑏2)∑𝑚𝑖
𝑖𝑖
(6.10)
𝑖𝑖
La primer sumatoria es 𝐼𝑐𝑚. Por la definición de centro de masa, la segunda y tercera sumatorias
son proporcionales a 𝑥𝑐𝑚 y 𝑦𝑐𝑚, que son cero porque tomamos el origen en el centro de masa.
El último término es 𝑑2 multiplicada por la masa total, es decir 𝑀𝑑2. Queda demostrado la
ecuación 6.8. Esta ecuación nos muestra que un cuerpo rígido tiene menor momento de
inercia alrededor de un eje que pasa por el centro de masa, que alrededor de cualquier
otro eje paralelo. Por ello, es más fácil poner a girar un cuerpo si el eje de rotación pasa por el
centro de masa. Esto sugiere que, de algún modo, es más natural que un cuerpo en rotación gire
sobre un eje que pasa por su centro de masa.
6.6 Ejercicio en Clase
Explica con tus propias palabras el Teorema de Huygens-Steiner.
6.3 MOMENTO DE INERCIA DE CUERPOS SÓLIDOS
Si consideramos a un cuerpo hecho por un número de partículas discretas, podemos calcular su
inercia de rotación en torno a cualquier eje a partir de la ecuación del momento de inercia, en la
cual la suma se toma sobre todas las partículas. Sin embargo, si lo vemos como una distribución
continua de materia, podemos imaginarlo dividido en un gran número de pequeños elementos
de masa. Cada elemento de masa está ubicado a una determinada distancia perpendicular al eje
de rotación.
Para calcular el momento de inercia de cuerpos sólidos y simétricos, consideraremos que
sus ejes de rotación pasan a través de un plano de simetría del cuerpo que contiene al
centro de masa, que no están compuestos por masas separadas, sino que son en realidad
distribuciones continuas de materia.
139
6.7 Ejercicio en Clase
¿Cuál es el momento de inercia de una esfera uniforme de 𝟓𝟖. 𝟔 𝒌𝒈 de masa y radio de
𝟒𝟒. 𝟖 𝒄𝒎, alrededor de un eje que pasa por su centro?
6.8 Ejercicio en Clase
Dos esferas parecen idénticas y tienen la misma masa. Sin embargo, una está hueca y la
otra es sólida. Describa un experimento para determinar cuál es cuál.
6.9 Ejercicio en Clase
¿Cómo podrías determinar experimentalmente el momento de inercia de un cuerpo de
forma irregular alrededor de un eje dado?
Los cálculos del momento de inercia para este tipo de cuerpos son complejos y más difíciles de
calcular, debido a que requieren conocimientos de cálculo diferencial e integral para realizarlos.
140
En este libro no realizaremos esos cálculos, únicamente utilizaremos las tablas para momentos
de inercia de diferentes figuras geométricas. En la tabla 6 se muestran algunos casos sencillos,
junto con las ecuaciones para realizar el cálculo de sus momentos de inercia.
Tabla 6 Momentos de inercia de objetos con densidad uniforme.
141
LO QUE HEMOS APRENDIDO • La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en
reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la
misma velocidad.
• Un momento es la resultante de una fuerza por una
distancia, este efecto hace girar elementos en torno a un
eje o punto.
• El momento de inercia es masa rotacional y depende de
la distribución de masa en un objeto. No existe momento
de inercia menor o igual a cero.
• La propiedad de un objeto a resistir los cambios en su
estado de movimiento rotacional se llama momento de
inercia o inercia rotacional (I).
• El momento de inercia refleja la distribución de masa
de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación,
respecto a un eje de giro.
𝐼 = ∑𝑚 𝑟2 (6.6)
• La energía cinética total de un cuerpo será entonces la
suma de las energías cinéticas de cada partícula que
forma el cuerpo.
𝐸𝑐 = ∑1
2𝑚𝜔2𝑟2 (6.3)
• La energía cinética rotacional es la suma de las energías
cinéticas de las partículas que constituyen el cuerpo
rígido en rotación.
𝐸𝑐 =𝐼 𝜔2
2 (6.7)
• El Teorema de Ejes Paralelos relaciona los momentos
de inercia de un cuerpo rígido de masa 𝑀 alrededor de
dos ejes paralelos: un eje que pasa por el centro de masa
(momento de inercia 𝐼𝑐𝑚) y un eje paralelo que está a
una distancia 𝑑 del primero (momento de inercia 𝐼𝑝).
𝐼𝑝 = 𝐼𝑐𝑚 + 𝑀𝑑2 (6.8)
• Para calcular el momento de inercia de cuerpos sólidos
y simétricos, consideraremos que sus ejes de rotación
pasan a través de un plano de simetría del cuerpo que
contiene al centro de masa, que no están compuestos por
masas separadas, sino que son en realidad distribuciones
continuas de materia.
142
Problema 6.1
Una rueda de 𝟔. 𝟎 𝒌𝒈 de masa y con un radio de giro de 𝟒𝟎 𝒄𝒎. Está rodando 𝟑𝟎𝟎 𝒓𝒑𝒎.
Encuentra a) el momento de inercia y b) su energía cinética rotacional.
a) 𝑅 = 0.96 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2
b) 𝑅 = 473.5 𝐽 Problema 6.2
Una pequeña esfera de 𝟐. 𝟎 𝒌𝒈 de masa gira en el extremo de una cuerda de 𝟏. 𝟐 𝒎 de
largo en un plano horizontal alrededor de un eje vertical. Determine su momento de
inercia con respecto a ese eje.
𝑅 = 2.88 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2
Problema 6.3
¿Cuál es el momento de inercia de una esfera sólida homogénea de 𝟏𝟎 𝒌𝒈 de masa y radio
de 𝟐𝟎 𝒄𝒎, alrededor de un eje que pasa por su centro?
𝑅 = 0.16 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2
Problema 6.4
Un aro cilíndrico delgado con un diámetro de 𝟏. 𝟎 𝒎 y una masa de 𝟒𝟎𝟎 𝒈 rueda hacia
debajo de la calle. ¿Cuál es el momento de inercia del aro en torno a su eje central de
rotación?
𝑅 = 0.10 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 Problema 6.5
Una hélice de avión tiene una masa de 𝟕𝟎 𝒌𝒈, y un radio de giro de 𝟕𝟓 𝒄𝒎. a) Encuentra
el momento de inercia de la hélice, b) Calcula la torca no equilibrada que se necesita para
darle una aceleración angular de 𝟒. 𝟎 𝒓𝒆𝒗/𝒔𝟐.
a) 𝑅 = 39.37 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2
b) 𝑅 = 0.99 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Problema 6.6
Determina el momento de inercia para el sistema que se observa en la figura. El peso de
las barras que unen las masas es despreciable y el sistema gira con una velocidad angular
de 𝟔 𝒓𝒂𝒅/𝒔. ¿Cuál es la energía cinética rotacional? Considera que las masas son
puntuales.
𝑅 = 3.96 𝐽
143
Problema 6.7
Dos pequeños pesos de 𝟓. 𝟎 𝒌𝒈 y 𝟕. 𝟎𝟎 𝒌𝒈 de masa, se colocan separados 𝟒. 𝟎 𝒎 sobre una
barra ligera (cuya masa es despreciable). Calcula el momento de inercia del sistema
a) cuando gira en torno a un eje a la mitad entre los pesos, y b) cuando gira en torno a un
eje a 𝟎. 𝟓𝟎 𝒎 a la izquierda de la masa de 5. 𝟎 𝒌𝒈.
a) 𝑅 = 48 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2
b) 𝑅 = 144.5 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2
Problema 6.8
Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 𝟓 masas
de 𝟏 𝒌𝒈 cada una, situadas a (𝟎. 𝟎, 𝟎. 𝟐𝟓, 𝟎. 𝟓𝟎, 𝟎. 𝟕𝟓 y 𝟏. 𝟎 ) m. de uno de los extremos
como muestra la figura. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje
perpendicular a la varilla que pasa a través de: a) un extremo, b) de la segunda masa
y c) del centro de masa.
a) 𝑅 = 1.875 𝑘𝑔 𝑚2
b) 𝑅 = 0.937 𝑘𝑔 𝑚2
c) 𝑅 = 0.625 𝑘𝑔 𝑚2
Problema 6.9
Una pieza de un acoplamiento mecánico (ver figura) tiene una masa de 𝟑. 𝟔 𝒌𝒈. Medimos
su momento de inercia alrededor de un eje que pasa a 𝟎. 𝟏𝟓 𝒎 de su centro de masa
y obtenemos 𝑰𝒑 = 𝟎. 𝟏𝟑𝟐 𝒌𝒈 ∙ 𝒎𝟐. Calcule el momento de inercia 𝑰𝒄𝒎 alrededor de un eje
paralelo que pasa por el centro de masa.
𝑅 = 0.051 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2
144
Problema 6.10
Calcula el momento de inercia en torno al eje indicado para cada una de las
configuraciones unidimensionales de la mancuerna de la figura. Considera insignificante
la masa de la barra conectora. Para el caso: a1) 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 = 𝟑𝟎 𝒌𝒈 y 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟓𝟎 𝒎,
a2) 𝒎𝟏 = 𝟒𝟎 𝒌𝒈, 𝒎𝟐 = 𝟏𝟎 𝒌𝒈 y 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟓𝟎 𝒎 y a3) 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 = 𝟑𝟎 𝒌𝒈 y 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 =
𝟏. 𝟓 𝒎. b1) 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 = 𝟑𝟎 𝒌𝒈 y 𝒙𝟏 = 𝟎, 𝒙𝟐 = 𝟑. 𝟎 𝒎 y b2) 𝒎𝟏 = 𝟒𝟎 𝒌𝒈,𝒎𝟐 = 𝟏𝟎 𝒌𝒈 y
𝒙𝟏 = 𝟎, 𝒙𝟐 = 𝟑. 𝟎 𝒎.
a) 𝑅 = 15.0 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2, b) 𝑅 = 12.5 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2, c) 𝑅 = 135.0 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2,
d) 𝑅 = 270.0 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2, e) 𝑅 = 90.0 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2
Problema 6.11
Una esfera uniforme de 𝟓𝟎𝟎 𝒈 y 𝟕. 𝟎 𝒄𝒎 de radio gira a 𝟑𝟎 𝒓𝒆𝒗/𝒔 sobre un eje que pasa
por su centro. Encuentra a) energía cinética rotacional, b) cantidad de movimiento
angular y c) radio de giro.
a) 𝑅 = 0.017 𝑘𝐽
b) 𝑅 = 0.18 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2/𝑠
c) 𝑅 = 0.044 𝑚 Problema 6.12
Calcula la inercia rotacional o momento de inercia de una varilla de masa 𝑴 y longitud 𝑳
que gira sobre su eje perpendicular a través de su punto medio como se observa en la
figura. En el inciso a) la varilla gira sobre un eje vertical que pasa por su centro.
b) la misma varilla, vista como dos varillas, cada una de la mitad de longitud de aquélla,
giran sobre un eje que pasa por uno de los extremos.
a) 𝑅 =1
3𝑀𝐿2
b) 𝑅 =1
12𝑀𝐿2
145
Problema 6.13
A una cuerda enredada alrededor de una polea de masa 𝑴 = 𝟒. 𝟎 𝒌𝒈 y radio
𝑹 = 𝟑𝟑. 𝟎 𝒄𝒎, se le aplica una fuerza de 𝟏𝟓. 𝟎 𝑵 (representada por �⃗⃗� 𝑻). La polea acelera
uniformemente desde el reposo hasta una rapidez angular de 𝟑𝟎 𝒓𝒂𝒅/𝒔 en 𝟑. 𝟎 𝒔. Si existe
una torca de fricción 𝝉𝒇𝒓 = 𝟏. 𝟏𝟎 𝒎 ∙ 𝑵 en el eje, determine el momento de inercia de la
polea. La polea gira en torno a su centro.
𝑅 = 0.385 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2
Problema 6.14
Calcula el momento de inercia de una varilla con masa 𝒎 y longitud 𝑳, respecto a un eje
perpendicular a una distancia 𝑳/𝟒 de un extremo.
𝑅 =7𝑚𝐿2
48
Problema 6.15
Calcula el momento de inercia de un disco homogéneo de masa 𝒎 y longitud 𝑳, respecto
aun eje perpendicular a distancia 𝑳/𝟒 de un extremo.
𝑅 = (3
2)𝑚𝑅2
146
Problema 6.16
El momento de inercia de un cuerpo de masa 𝟐 𝒌𝒈 respecto a un eje que pasa a 𝟎. 𝟓 𝒎 del
centro de masa, vale 𝟎. 𝟒 𝒌𝒈 ∙ 𝒎𝟐. Calcula el momento de inercia respecto a un eje paralelo
situado a 𝟎. 𝟑 𝒎 más lejos del centro de masa.
𝑅 = 1.18 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2
Problema 6.17
Estima el momento de inercia de una varilla uniforme delgada de longitud 𝑳 y masa 𝑴
respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por uno de sus extremos. Realiza la
estimación suponiendo que la varilla está constituida por tres masas puntuales, cada una
de ellas con un tercio del total de su masa.
𝑅 =35
108𝑀𝐿2
Problema 6.18
Un objeto consiste en cuatro partículas de masa 𝒎 unidas mediante varillas ligeras sin
masa que forman un rectángulo de lados 𝟐𝒂 y 𝟐𝒃. El sistema gira alrededor de un eje
situado en el plano de la figura, pasando por el centro. a) Determina la energía cinética de
este objeto. b) Comprobar el resultado calculando la energía cinética de cada partícula y
sumándola hasta obtener la energía cinética total.
a) 𝑅 = 4𝑚𝑎2
b) 𝑅 = 2𝑚𝑎2𝜔2
147
Problema 6.19
Calcula el momento de inercia de la Tierra, si la masa de ella es 𝟔 × 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝒌𝒈 y tiene un
radio ecuatorial de 𝟔𝟑𝟕𝟎 𝒌𝒎.
𝑅 = 9.73 × 1037 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2
Problema 6.20
En la parte superior de un plano inclinado hay dos esferas idénticas de 𝟐 𝒌𝒈 de masa y un
radio de 𝟏𝟎 𝒄𝒎, pero la primera es maciza y la segunda tiene la corteza delgada.
a) Determine la inercia rotacional de cada esfera. b) ¿Cuál de las dos va acelerar más
rápido?
a) Esfera Maciza: 8 × 10−3 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2; Esfera Hueca: 0.013 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2
b) Esfera Solida
CUESTIONARIO I
1. Define el concepto de Inercia.
2. ¿Por qué y cómo se relaciona el momento de inercia con el momento de fuerza?
3. Explica el Teorema de Steiner.
4. ¿Cómo es el momento de inercia de una distribución continua de masa?
5. Calcula el momento de inercia de un disco de masa 𝑀 y radio 𝑅.
6. Calcula el momento de inercia de un cilindro sólido de masa 𝑀, radio 𝑅 y longitud 𝐿.
7. Calcula el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa 𝑀 y de lados
𝑎 y 𝑏.
8. Calcula el momento de inercia de una esfera sólida de masa 𝑀 y radio 𝑅.
9. Explica ¿Por qué para un animal de patas cortas, su inercia rotacional es menor que para
otro de patas largas?
10. ¿Un objeto rígido puede tener más de un momento de inercia? Explica.
148
CUESTIONARIO II
1. ¿Qué sucede con el momento de inercia de una bailarina cuando está girando y extiende
los brazos?
2. Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario ¿Cómo se define el momento
de inercia?
3. ¿Que indica el momento de inercia de un cuerpo?
4. ¿Como se expresa la energía cinética de un cuerpo en rotación?
5. ¿A qué se le llama momento?
6. Explica por qué el momento de inercia es similar a la inercia
7. Busca una tabla de los momentos de inercia para objetos con densidad uniforme
8. Define que es el momento polar de inercia.
9. Define que es el radio de giro.
10. Explica la diferencia entre masa inercial y masa rotacional.
149
CUESTIONARIO III
1. Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas
de 1 𝑘𝑔 cada una, situadas a (0.0, 0.25, 0.50, 0.75 y 1 𝑚) de uno de los extremos.
Calcula el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla
que pasa a través de a) un extremo, b) de la segunda masa y c) del centro de masa.
2. Determina el momento de inercia para el sistema que se ilustra.
El peso de las barras que unen las masas es despreciable y el
sistema gira con una velocidad angular de 9.4 𝑟𝑎𝑑/𝑠.
Considera las masas puntuales.
3. Una varilla delgada de 0.5 𝑚 de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan
4 masas de 0.5 𝑘𝑔 cada una, situadas (0.0, 0.15, 0.20 y 0.4 𝑚) de uno de los extremos.
Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla
que pasa a través de a) un extremo, b) de la segunda masa y c) del centro de masa.
4. ¿La aplicación de una torca sobre todo cuerpo rígido, incrementara siempre su velocidad
angular? ¿Por qué?
5. Explica si un objeto rígido puede tener más de un momento de inercia.
6. ¿Por qué para un animal de patas cortas su inercia rotacional es menor que para otro de
patas largas?
7. Se sabe que el momento de inercia respecto al extremo de una varilla es de
0.25 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2. Calcular el momento de inercia respecto a un eje paralelo al mismo que
pasa por el centro de masa, la longitud de la varilla es de 𝐿 = 1.2 𝑚.
8. Un disco de esmeril de 0.6 𝑚 de radio y 90 𝑘𝑔 de masa, gira a 460 𝑟𝑝𝑚. ¿Qué fuerza
de rozamiento aplicada tangencialmente a su borde logrará detenerlo en 20 𝑠?
9. Hallar el momento de inercia de una muela de esmeril en forma de disco uniforme,
si tiene una masa de 2.4 𝑘𝑔 y un diámetro de 28 𝑐𝑚.
10. Determine el momento de inercia de una esfera de 10.8 𝑘𝑔 y 0.648 𝑚 de radio cuando
el eje de rotación pasa por su centro.
150
CUESTIONARIO IV
1. Se enrolla una cuerda alrededor del borde de un disco uniforme de 1.5 𝑘𝑔, inicialmente
en reposo. Puede girar alrededor de un eje fijo que pasa por su centro, y en ausencia de
fricción se aplica en el extremo de la cuerda una fuerza de 12 𝑁. Conociendo que el
radio del disco es de 20 𝑐𝑚. a) ¿Qué momento de inercia tiene?, b) ¿Cuál es el valor de
la torca ejercida?, c) ¿Cuál es el valor de su aceleración angular? y d) ¿Qué velocidad
angular tendrá después de 4 𝑠?
2. Dos pequeños pesos de 5.0 𝑘𝑔 y 7.0 𝑘𝑔 de masa, se colocan separados 4.0 𝑚 sobre una
barra ligera (cuya masa es despreciable). ¿Cuál es el valor del momento de inercia del
sistema cuando gira en torno a un eje a la mitad entre los pesos?
3. Determine el momento de inercia de una esfera de 10.8 𝑘𝑔 y 0.648 𝑚 de radio cuando
el eje de rotación pasa por su centro.
4. Calcule el momento de inercia de una rueda de bicicleta de 66.7 𝑐𝑚 de diámetro.
La rueda y la llanta tienen una masa combinada de 1.25 𝑘𝑔. La masa del cubo se puede
ignorar. ¿Por qué?
5. Una pequeña bola de 650 𝑔 en el extremo de una delgada barra ligera, gira en un círculo
horizontal de 1.2 𝑚 de radio. Calcule el momento de inercia de la bola en torno al centro
del círculo.
6. Determina el momento de inercia para el sistema que se
muestra en la figura. El peso de las barras que unen las
masas es despreciable y el sistema gira con una velocidad
angular de 13.8 𝑟𝑎𝑑/𝑠.
151
7. Una varilla delgada de 1 𝑚 de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas
de 5 𝑘𝑔 cada una, situadas a (0.0, 0.25, 0.50, 0.75 y 1.0) 𝑚 de uno de los extremos.
Calcula el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla
que pasa a través de la segunda masa.
8. Determine el momento de inercia de una esfera de 10.8 𝑘𝑔 y 0.648 𝑚 de radio cuando
el eje de rotación pasa por su centro.
9. Calcula el momento de inercia de una rueda de bicicleta de 66.7 𝑐𝑚 de diámetro.
La rueda y la llanta tienen una masa combinada de 1.25 𝑘𝑔. La masa del cubo se puede
ignorar. ¿Por qué?
10. Calcule el momento de inercia del conjunto de puntos objetos mostrados en la figura en
torno a) al eje vertical y b) al eje horizontal. Suponga que 𝑚 = 1.8 𝑘𝑔, 𝑀 = 3.1 𝑘𝑔
y que los objetos están unidos por rígidas piezas de alambres muy ligeros. El conjunto
de los objetos es rectangular y se divide en dos a la mitad por el eje horizontal.
c) ¿En torno a cuál eje sería más difícil acelerar este sistema?
152
Motor de chorro moderno.
El momento angular es
una magnitud física que es
el equivalente rotacional
del momento lineal y nos
representa la cantidad de
movimiento de rotación
de un objeto.
¿Las turbinas de un avión están relacionadas con el momento angular?
Los grandes ventiladores en la parte frontal de los motores de chorro modernos succionan aire
y lo introducen a una cámara de compresión, donde se mezcla con combustible y se pone en
ignición. La explosión impulsa a los gases a la parte posterior del motor, produciendo el empuje
que mueve hacia adelante el avión. Estos ventiladores giran entre 7000 − 9000 𝑟𝑝𝑚 y se deben
inspeccionar frecuentemente: No debe romperse una hoja del ventilador a una altitud de
30000 𝑓𝑡 ya que ocasionaría un terrible accidente. Casi todos los motores tienen partes
giratorias que transfieren energía al dispositivo de salida, que a menudo también es giratorio.
De hecho, la mayoría de los objetos en el universo giran, desde las moléculas hasta las estrellas
y galaxias. Las leyes que gobiernan la rotación son tan importantes como cualquier otra parte
de la mecánica. Una ley muy importante en estos movimientos es la conservación del momento
angular la cual estudia el movimiento de los cuerpos que giran alrededor de un eje de simetría a
altas velocidades angulares.
153
CAPÍTULO VII MOMENTO ANGULAR
LO QUE APRENDEREMOS
▪ El momento angular se define como el producto vectorial del vector de posición y el
vector de momento lineal.
▪ Entre el momento angular, el momento de torsión, el momento de inercia, la velocidad
angular y la aceleración angular existen relaciones análogas a las relaciones entre
cantidades lineales.
▪ El trabajo rotacional neto efectuado sobre un objeto es igual al cambio de energía
cinética rotacional.
▪ La ley de conservación de momento angular es otra ley de conservación fundamental.
▪ La segunda ley de Newton en su forma angular no tiene significado a menos que las
torcas 𝜏̅ y el momento angular �̅� estén definidos con respecto al mismo origen.
▪ La cantidad de movimiento angular se define como el producto de la inercia rotacional
y la velocidad rotacional.
▪ El spin proporciona una medida del momento angular de toda partícula.
▪ El momento angular orbital y el momento angular del spin están acoplados,
el momento angular total esta expresado de la forma general del momento angular
cuantizado.
7.1 MOMENTO ANGULAR
Todos tenemos nociones intuitivas de Física. Por ejemplo, estamos familiarizados con el
concepto de masa inerte (el cociente entre la fuerza aplicada a un cuerpo y la aceleración que
experimenta). No se acelera igual una bola de billar de plástico ligero, que una de resina densa
o marfil con mucha más masa, aunque el golpe del taco de billar aplique la misma fuerza.
Hay otras nociones de inercia que también resultan familiares. Sabemos que una vez puesta en
marcha la bola de billar, continuará en movimiento en línea recta sin aumentar ni disminuir su
velocidad, a no ser, que de nuevo actúen fuerzas sobre ella (un golpe con las bandas de la mesa,
el rozamiento con la superficie, o la colisión con otra bola de billar).
Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas externas, continuará en su estado de movimiento rectilíneo
uniforme, sin que cambie la magnitud y la dirección de la velocidad. En este tipo de casos,
se puede decir que se conserva el momento lineal. Hay otro tipo de inercia con el que estamos
familiarizados, y que está asociada a los objetos que rotan o giran. Cuando una pirinola
o trompo, gira sobre sí misma sin desplazarse globalmente, seguirá girando indefinidamente,
sin cambiar su eje de rotación, salvo que actúen sobre ella fuerzas externas, como el rozamiento.
Esta inercia que tienen los objetos que giran está asociada a la conservación del momento
angular. El momento angular es proporcional a la masa que gira, al radio de giro al
cuadrado (distancia al eje de giro de la masa que está girando), y a la velocidad angular
(número de vueltas por segundo).
154
La evidencia experimental nos demuestra que el momento angular ni se crea ni se destruye.
Así, un patinador obtiene un incremento de momento angular cuando consigue ponerse a girar
al clavar las cuchillas contra el hielo de la pista (esto proporciona la fuerza externa) en forma
vertical y darse impulso manteniendo un punto clavado en la pista, que proporciona el eje del
giro (ver figura 7.1).
Si estira los brazos, al poner más masa lejos del eje de giro, la conservación del momento angular
hace que gire más despacio y, por el contrario, si pega los brazos y las piernas contra el eje de
giro (contra su cuerpo), consigue que su velocidad de giro aumente, como consecuencia de que
el momento angular se ha de conservar.
Fig. 7.1 El patinador aumenta su velocidad angular al encoger sus brazos disminuyendo su momento de inercia.
El momento angular es una magnitud de gran importancia en todas las teorías físicas de la
mecánica, desde la mecánica clásica a la mecánica cuántica, pasando por la mecánica relativista.
Su importancia en todas ellas se debe a que está relacionada con las simetrías rotacionales de
los sistemas físicos. Bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas es una
magnitud vectorial que se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona,
lo cual da lugar a la ley de Conservación del Momento Angular; lo cual nos ayuda a caracterizar
el estado de rotación de los cuerpos. Para un cuerpo rígido que rota respecto a un eje, es la
resistencia que ofrece el cuerpo a la variación de la velocidad angular. En el Sistema
Internacional de Unidades el momento angular se mide en [𝒌𝒈 ∙ 𝒎𝟐/𝒔 = 𝑱 ∙ 𝒔].
7.1 Ejercicio en Clase
Una patinadora gira con sus brazos estirados hacia fuera. ¿Qué tiene una velocidad de
rotación mayor, sus hombros o la punta de sus dedos? ¿Por qué?
155
El momento angular también es llamado momento cinético, pero por influencia del inglés
angular momentum es más frecuentes llamarlo momento angular, cantidad de movimiento
angular o ímpetu angular. Para el caso específico de una partícula puntual, es la caracterización
del estado de rotación de un punto o de un cuerpo que se pueda tratar como tal. Esto sucede
cuando las dimensiones del cuerpo son despreciables frente a las de la trayectoria de su
movimiento. Para un punto material se define a partir de un vector de posición y una partícula
puntual en movimiento, esto es, con una cierta velocidad instantánea.
Su significado físico tiene que ver con la rotación: El momento angular caracteriza el estado
de rotación de un punto material, del mismo modo que el momento lineal caracteriza el estado
de traslación lineal. No es una magnitud propia del cuerpo, sino que depende del punto de
referencia que se escoja. El concepto de momento lineal �̅� y el principio de conservación de
momento lineal son herramientas muy poderosas, ya que nos permite predecir el resultado;
por citar un ejemplo, de una colisión de dos autos sin conocer los detalles de la colisión.
Un concepto similar al de �̅� sería el concepto angular �̅� . En la figura 7.2 se observa una partícula
de masa 𝑚 que se mueve con una velocidad �̅� en una posición �̅�, relativa al origen O.
El momento lineal es �̅� = 𝑚�̅�. El momento angular �̅� de la partícula respecto al origen O se
define como el producto vectorial de �̅� y �̅�,
�̅� = �̅� × �̅� (7.1)
�̅� es el vector de posición de la partícula con respecto a O. Cuando la partícula se mueve con
respecto a O en la dirección de su momento lineal, el vector de posición �̅� gira alrededor de O.
Fig. 7.2 Se observa una partícula que se mueve en una posición relativa al origen.
Para tener momento angular alrededor de O, la partícula no tiene en sí misma que girar alrededor
de O. Si �̅� y �̅� son perpendiculares al eje 𝑧 como se observa en la figura 7.2, entonces �̅�
es paralelo al eje 𝑧 y viene dado por,
�̅� = �̅� × �̅� = 𝑚𝑣𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜙 (7.2)
Donde 𝜙 es el ángulo entre �̅� y �̅�, cuando estos dos vectores coinciden en sus extremos.
Lo mismo que el momento de una fuerza, el momento angular se define respecto a un punto del
espacio; en este caso el momento angular se define respecto al origen.
156
La figura 7.3, muestra una partícula de masa 𝑚 ligada a un disco circular de masa despreciable
que está en el plano 𝑥𝑦 con su centro en el origen. El disco gira alrededor del eje 𝑧 con velocidad
angular 𝜔. La velocidad 𝑣 de la partícula y el módulo de su velocidad angular 𝜔 vienen
relacionados por la expresión 𝑣 = 𝑟𝜔. El momento angular de la partícula respecto al centro del
disco es,
�̅� = �̅� × �̅� = �̅� × 𝑚�̅� = 𝑟𝑚𝑣 𝑠𝑒𝑛 90° = 𝑟𝑚𝑣 (7.3)
�̅� = 𝑚𝑟2𝜔 = 𝑚𝑟2�̅� (7.4)
Fig. 7.3 Se observa una partícula ligada a un disco circular de masa despreciable con centro en el origen.
En este ejemplo, el vector de momento angular tiene la misma dirección y sentido que la
velocidad angular. Como 𝑚𝑟2 es el momento de inercia de una sola partícula respecto al eje 𝑧,
tenemos,
�̅� = 𝑚𝑟2�̅� = 𝐼 �̅� (7.5)
Este resultado no es válido para el momento angular alrededor de un punto cualquiera del eje 𝑧.
7.2 Ejercicio en Clase
Calcule el momento angular del segundero de un reloj alrededor de un eje que pasa por
el centro de la carátula, si tal manecilla tiene una longitud de 𝟏𝟓 𝒄𝒎 y una masa de
𝟔. 𝟎 𝒈. Trate la manecilla como una varilla delgada que gira con velocidad angular
constante alrededor de un extremo.
157
La figura 7.4 muestra el vector de momento angular �̅�′ para la misma partícula ligada en el
mismo disco, pero referido a un punto del eje 𝑧 que no coincide con el centro del círculo.
En este caso, el momento angular no es paralelo a la velocidad angular �̅�, la cual está dirigida
a lo largo del eje 𝑧,
Fig. 7.4 Se observa el vector momento angular ligada en el mismo disco, referido a un punto del eje que no
coincide con el centro del círculo.
En la figura 7.5 se ha añadido una segunda partícula de igual masa que se mueve en el mismo
disco. Los vectores momento angular �̅�1′ y �̅�2
′ están representados respecto al mismo punto O’.
El momento angular total se expresa como,
�̅�′ = �̅�1′ + �̅�2
′ (7.6)
El momento angular total del sistema formado por las dos partículas es de nuevo paralelo a la
velocidad angular �̅�. En este caso, el eje de rotación (eje 𝑧) pasa a través del centro de masa del
sistema de las dos partículas y la distribución de masa es simétrica respecto a este eje, que se
denomina eje de simetría.
Fig. 7.5 Dos partículas de igual masa que se mueven en un disco.
158
Para cualquier sistema de partículas que gira alrededor de un eje de simetría, el momento angular
total (que es la suma de los momentos angulares de las partículas individuales) es paralelo a la
velocidad angular y viene expresado como,
�̅� = 𝐼 �̅� (7.7)
Donde 𝐼 es una escalar.
7.3 Ejercicio en Clase
Calcula la cantidad de movimiento angular de una bola de boliche (esfera solida
uniforme) con una masa de 𝟕. 𝟎 𝒌𝒈 y radio de 𝟏𝟐 𝒄𝒎, que gira a 𝟏𝟎 𝒓𝒆𝒗/𝒔.
7.4 Ejercicio en Clase
Calcula el momento angular respecto al origen de un coche de masa 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈 que se
mueve en un círculo de 𝟐𝟎 𝒎 de radio a una velocidad de 𝟏𝟓 𝒎/𝒔.
7.2 NATURALEZA VECTORIAL DE LA ROTACIÓN
El sentido de rotación de un cuerpo respecto a un eje fijo nos indica el sentido de la velocidad
angular, de un modo que indica el sentido de la velocidad en el movimiento lineal en una
dimensión. Pero cuando la dirección del eje de rotación no está fija en el espacio, los signos más
o menos no son suficientes para describir el sentido de la velocidad angular. Esta insuficiencia
se supera tratando la velocidad angular como un vector 𝜔 dirigido a lo largo del eje de rotación.
El movimiento angular tiene una dirección asociada y es un proceso vectorial.
159
Sin embargo, un punto en un disco gira continuamente cambiando de dirección, y presenta un
inconveniente para tomarlo como referencia. El único punto fijo en un disco es el eje de rotación,
por lo que resulta lógico que se elija este, como eje de la dirección de la velocidad angular.
Como quedan dos alternativas sobre la dirección, se acostumbra a utilizar la regla de la mano
derecha para especificar la dirección de las cantidades angulares. Formalizando lo anterior,
en un disco rotatorio podemos determinar el sentido de 𝜔 por una convención conocida como
la regla de la mano derecha. Se puede obtener la dirección de 𝜔 enrollando los dedos de la mano
derecha en la dirección de rotación (ver figura 7.6); el dedo pulgar apunta entonces
en la dirección del eje de rotación en la dirección de 𝜔.
La regla de la mano derecha dice que cuando se curvan los dedos de la mano derecha
alrededor del eje de rotación de modo que los dedos apunten en la dirección de rotación.
El pulgar extendido señalará la dirección del vector de la velocidad angular.
Fig. 7.6 Regla de la mano derecha.
Podemos definir el momento de una fuerza 𝜏̅ respecto a un punto como una magnitud vectorial,
como sucede con 𝜔, la dirección de 𝜏̅ se especifica mediante la regla de la mano derecha.
La figura 7.7 muestra una fuerza �̅� que actúa sobre una partícula en cierta posición �̅� relativa al
origen O.
Fig. 7.7 Si �̅� y �̅� son perpendiculares al eje 𝑧, entonces 𝜏̅ es paralelo al eje 𝑧.
160
El momento 𝜏̅ ejercido por esta fuerza respecto al origen O se define como un vector
perpendicular al plano formado por �̅� y �̅�, de modulo 𝐹𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜙, donde 𝜙 es el ángulo formado
por las direcciones de �̅� y �̅�. Si �̅� y �̅� están en el plano (x, y), como se observa en la figura 7.7,
el vector momento tiene la dirección del eje z.
Si �̅� está aplicada en el borde de un disco de radio �̅�, como se observa en la figura 7.8.
El momento tiene la magnitud 𝐹𝑟, y está dirigido a lo largo del eje de rotación como se indica.
El momento de una fuerza se expresa matemáticamente como el producto vectorial de �̅� y �̅�,
𝜏̅ = �̅� × �̅� (7.8)
Fig. 7.8 Si la fuerza esta aplicada en el borde de un disco, el momento está dirigido a lo largo del eje.
7.5 Ejercicio en Clase
Una clavadista salta del trampolín con los brazos hacia arriba y las piernas hacia abajo,
lo que le confiere un momento de inercia alrededor de su eje de rotación de 𝟏𝟖 𝒌𝒈 ∙ 𝒎𝟐.
Luego, ella forma una pequeña bola, reduciendo su momento de inercia a 𝟑. 𝟔 𝒌𝒈 ∙ 𝒎𝟐
y gira dos revoluciones completas en 𝟏. 𝟎 𝒔. Si no se hubiera encogido, ¿cuántas
revoluciones habría girado en los 𝟏. 𝟓 𝒔 que tarda en caer desde el trampolín al agua?
161
7.6 Ejercicio en Clase
Una mujer de 𝟓𝟎 𝒌𝒈 de masa está parada en el borde de un disco grande de 𝟏𝟏𝟎 𝒌𝒈 de masa y radio de 𝟒. 𝟎 𝒎, que gira a 𝟎. 𝟓𝟎 𝒓𝒆𝒗/𝒔 alrededor de un eje que pasa por su
centro. Calcula el momento angular total del sistema mujer-disco. Suponga que la mujer
puede tratarse como punto.
7.3 TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL
En esta sección se presentan los análogos rotacionales de diversas ecuaciones del movimiento
rectilíneo asociadas con el trabajo y la energía cinética, para momentos de fuerza constantes.
Para el trabajo rotacional podemos pasar directamente del trabajo efectuado por una fuerza,
al trabajo efectuado por un momento de fuerza, ya que los dos están relacionados como se
observa en la ecuación (7.8). En el movimiento rotacional, el trabajo rotacional 𝑊 = 𝐹𝑠
efectuado por una sola fuerza 𝐹 que actúa tangencialmente a lo largo de una longitud de arco
(𝑠) es,
𝑊 = 𝐹𝑠 = 𝐹(𝑟⊥𝜃) = 𝜏𝜃 (7.9)
donde 𝜃 está en radianes. Así, para un solo momento de fuerza que actúa durante un ángulo de
rotación 𝜃 tenemos,
𝑊 = 𝜏𝜃 (7.10)
La potencia rotacional instantánea se deduce de la ecuación (7.2),
𝑃 =𝑊
𝑡= 𝜏 (
𝜃
𝑡) = 𝜏𝜔 (7.11)
Podemos deducir la relación entre el trabajo rotacional neto efectuado sobre un cuerpo rígido
(actúa más de una fuerza) y el cambio de energía cinética rotacional del cuerpo, partiendo de la
ecuación para trabajo rotacional,
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝜏𝜃 = 𝐼𝛼𝜃 (7.12)
Como suponemos que los momentos de fuerza se deben exclusivamente a fuerzas constantes,
𝛼 es constante. Sin embargo, sabemos por la cinemática rotacional que, para una aceleración
angular constante,
𝜔2 = 𝜔02 + 2𝛼𝜃 (7.13)
162
por lo cual,
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝐼 (𝜔2 − 𝜔0
2
2) =
1
2𝐼𝜔2 −
1
2𝐼𝜔0
2 (7.14)
Como 𝑊 = ∆𝐾 (trabajo-energía), sabemos que 𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = ∆𝐾, por lo tanto,
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 =1
2𝐼𝜔2 −
1
2𝐼𝜔0
2 = 𝐾 − 𝐾0 = ∆𝐾 (7.15)
Entonces la expresión para la energía cinética rotacional 𝐾 es,
𝐾 =1
2𝐼𝜔2 (7.16)
Así, el trabajo rotacional neto efectuado sobre un objeto es igual al cambio de energía
cinética rotacional del objeto (con cero energía cinética rectilínea). Por lo tanto, si queremos
alterar la energía cinética rotacional de un objeto, tendremos que aplicar un momento de fuerza
neto. Como se observa en la ecuación (7.16) la energía cinética rotacional de un cuerpo tiene
un valor igual al trabajo realizado por un momento de rotación resultante que acelera
al cuerpo en su movimiento giratorio hasta que adquiere su velocidad final.
7.7 Ejercicio en Clase
Un volante de 𝟓𝟓 𝒌𝒈 de masa y radio de 𝟒𝟎 𝒄𝒎. Gira con una frecuencia de 𝟐𝟓 𝒓𝒆𝒗/𝒔 en torno de un eje perpendicular al plano formado por el volante y que pasa por su
centro. Calcule a) La inercia rotacional, b) La velocidad angular, c) El momento angular
y d) La energía cinética rotacional del volante.
Es posible deducir directamente la expresión para la energía cinética de un cuerpo rígido en
rotación (en torno a un eje fijo). La sumatoria de las energías cinéticas instantáneas de las
partículas individuales del cuerpo relativas al eje fijo nos da,
𝐾 =1
2∑ 𝑚𝑖𝑣𝑖
2 =1
2(∑ 𝑚𝑖𝑟𝑖
2) 𝜔2 =1
2𝐼𝜔2 (7.17)
Donde para cada partícula del cuerpo,
𝑣𝑖 = 𝑟𝑖𝜔 (7.18)
163
Así, la ecuación (7.18) no representa una nueva forma de energía; más bien es sólo otra
expresión para la energía cinética rotacional de cuerpos rígidos.
Cuando un objeto tiene movimiento tanto traslacional como rotacional, su energía cinética total
podría dividirse en partes que reflejen los dos tipos de movimiento.
Por ejemplo, para un cilindro que rueda sin resbalar en una superficie horizontal, el movimiento
es puramente rotacional relativo al eje instantáneo de rotación (el punto o línea de contacto),
que está instantáneamente en reposo. La energía cinética total del cilindro rodante es,
𝐾 =1
2𝐼𝑖𝜔
2 (7.19)
Donde 𝐼𝑖 es el momento de inercia en torno al eje instantáneo. Este momento de inercia alrededor
del punto de contacto (nuestro eje) está dado por el teorema de ejes paralelos,
𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑀𝑑2 (7.20)
Donde 𝐼 es el momento de inercia en torno a un eje paralelo a uno que pasa por el centro de
masa y está a una distancia (𝑑) de él, 𝐼𝐶𝑀 es el momento de inercia en torno a un eje que pasa
por el centro de masa y (𝑀) es la masa total de un cuerpo.
Para el caso del cilindro reescribimos la ecuación (7.20), donde (𝑅) es el radio del cilindro,
𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑀𝑅2 (7.21)
Entonces,
𝐾 =1
2𝐼𝑖𝜔
2 =1
2(𝐼𝐶𝑀 + 𝑀𝑅2)𝜔2 =
1
2𝐼𝐶𝑀𝜔2 +
1
2𝑀𝑅2𝜔2 (7.22)
Sin embargo, como no hay deslizamiento,
𝑣𝐶𝑀 = 𝑅𝜔 (7.23)
y
𝐾 =1
2𝐼𝐶𝑀𝜔2 +
1
2𝑀𝑣𝐶𝑀
2 (7.24)
𝐾𝑇 = 𝑅𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 + 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
Aunque aquí se utilizó un cilindro como ejemplo, es un resultado general válido para cualquier
objeto que rueda sin resbalar.
La energía cinética total (𝑲𝑻) de un objeto es la suma de la energía cinética traslacional del
centro de masa del objeto y la energía cinética rotacional del objeto relativa a un eje
horizontal que pasa por su centro de masa.
164
Lectura
FRENOS ANTIBLOQUEO: ¿RESBALAR O RODAR HASTA PARAR?
Durante una emergencia al conducir un vehículo, el instinto nos haría pisar a fondo el pedal
del freno para intentar detener el vehículo rápidamente, es decir, en la distancia más corta.
Sin embargo, con las ruedas bloqueadas, el coche derrapa, deslizándose hasta que se detiene,
y muchas veces fuera de control. En tal caso, la fuerza de fricción deslizante actúa sobre las
ruedas. Para evitar el derrape, nos enseñan a bombear los frenos para detenernos rodando,
no resbalando, sobre todo en un camino mojado o con hielo. Muchos automóviles modernos
cuentan con un sistema computarizado de frenos que evita el bloqueo (ABS, antilock braking
system) haciendo eso automáticamente. Cuando los frenos se aplican firmemente y el
automóvil comienza a deslizarse, sensores en las ruedas detectan el deslizamiento y una
computadora asume el control del sistema de frenado. Suelta momentáneamente los frenos
y luego varía la presión del fluido de los frenos con una acción de bombeo, de manera que las
ruedas sigan rodando sin derrapar. Si no hay deslizamiento, actúan tanto la fricción rodante
como la fricción estática. Sin embargo, en muchos casos la fuerza de fricción rodante es
pequeña, y sólo hay que tomar en cuenta la fricción estática. El ABS trata de mantener la
fricción estática cerca de su valor máximo, 𝑓𝑠 ≈ 𝑓𝑠𝑚𝑎𝑥, lo cual no es fácil hacer con el pedal.
Aunque la fuerza externa de la fricción estática no efectúa trabajo al disipar energía para
detener un vehículo (esto se hace internamente por fricción con las zapatas), esto determina
si las ruedas se deslizan o ruedan. Así, el automóvil se detiene rodando en el 75 % de la
distancia requerida para parar resbalando; por ejemplo, 15 𝑚 en vez de 20 𝑚. Aunque esto
podría variar dependiendo de las condiciones, podría ser una diferencia importante, incluso
vital.
1. ¿Cuál es la relación entre la conservación del momento angular y los frenos de
un automóvil?
2. ¿Resbalar en vez de rodar afecta mucho la distancia de frenado de un automóvil?
3. ¿Cuál es la diferencia entre fricción estática y fricción rodante?
4. ¿En qué consiste el sistema de frenos ABS?
5. ¿ Como influye la fricción en el momento angular de las llantas del automóvil?
165
7.8 Ejercicio en Clase
¿Cuál es el valor de la energía cinética rotacional de un objeto que tiene un momento de
inercia de 𝟏. 𝟑𝟐 𝒌𝒈 ∙ 𝒎𝟐 y tiene una velocidad angular de 𝟔 𝒓𝒂𝒅/𝒔?
7.4 SEGUNDA LEY DE NEWTON (FORMA ANGULAR)
La segunda ley de Newton escrita de la forma,
�̅�𝑛𝑒𝑡𝑎 =𝑑�̅�
𝑑𝑡 (7.25)
Esta ecuación expresa la relación cercana entre fuerza y momento lineal para una sola partícula;
se ha mencionado anteriormente el paralelismo entre cantidades lineales y angulares para
establecer que hay una relación entre torca y momento angular. Esta relación se puede expresar
como,
𝜏�̅�𝑒𝑡𝑎 =𝑑𝑙 ̅
𝑑𝑡 (7.26)
La ecuación (7.26) es, de hecho, una forma angular de la segunda ley de Newton para una sola
partícula. La suma (vectorial) de todas las torcas que actúan sobre una partícula es igual a
la rapidez de cambio del momento angular de esa partícula. La ecuación no tiene significado
a menos que las torcas 𝜏̅ y el momento angular �̅� estén definidos con respecto al mismo origen.
Para demostrar la ecuación (7.26), retomamos la definición del momento angular de una
partícula,
�̅� = 𝑚(�̅� × �̅�) (7.27)
Derivando (al derivar un producto vectorial, se debe tener la certeza de no cambiar el orden de
las dos cantidades que forman ese producto) cada lado con respecto al tiempo tenemos,
𝑑𝑙 ̅
𝑑𝑡= 𝑚 (�̅� ×
𝑑�̅�
𝑑𝑡+
𝑑�̅�
𝑑𝑡× �̅�) (7.28)
Pero, 𝑑�̅�/𝑑𝑡 es la aceleración �̅� de la partícula, y 𝑑�̅�/𝑑𝑡 es su velocidad �̅�. Por lo cual podemos
reescribir la ecuación anterior,
166
𝑑𝑙 ̅
𝑑𝑡= 𝑚(�̅� × �̅� + �̅� × �̅�) (7.29)
El producto vectorial de cualquier vector consigo mismo es cero porque el ángulo entre los dos
vectores es necesariamente cero, por lo cual �̅� × �̅� = 0. Esto resulta en,
𝑑𝑙 ̅
𝑑𝑡= 𝑚(�̅� × �̅�) = �̅� × 𝑚�̅� (7.30)
Ahora utilizamos la segunda ley de Newton �̅�𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑚�̅�, para sustituir en 𝑚�̅� el vector suma
de las fuerzas que actúan sobre la partícula,
𝑑𝑙 ̅
𝑑𝑡= �̅� × �̅�𝑛𝑒𝑡𝑎 = ∑( �̅� × �̅�) (7.31)
Aquí el símbolo Σ indica que debemos de sumar los productos vectoriales �̅� × �̅� para todas las
fuerzas. Sin embargo, de la ecuación (7.8), sabemos que cada uno de esos productos vectoriales
es la torca asociada con una de las fuerzas. Por lo tanto, la ecuación (7.31) nos indica que,
𝜏�̅�𝑒𝑡𝑎 =𝑑𝑙 ̅
𝑑𝑡 (7.32)
Siendo esta la relación que se quería demostrar.
7.9 Ejercicio en Clase
Calcule la magnitud del momento angular de la Tierra en órbita alrededor del Sol.
¿Es razonable considerar a la Tierra como partícula? Explica.
7.5 CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
Otra cantidad importante en el movimiento rotacional es la cantidad de movimiento angular.
Como se sabe, una fuerza altera la cantidad de movimiento lineal de un objeto. De forma
análoga, los cambios en la cantidad de movimiento angular están asociados al momento de
fuerza. Este momento es el producto de un brazo de palanca y una fuerza. Asimismo, la cantidad
de movimiento angular �̅� es el producto de un brazo de palanca y una cantidad de movimiento
lineal.
167
Para una partícula de masa 𝑚, la magnitud de la cantidad de movimiento lineal como
mencionamos anteriormente es �̅� = 𝑚�̅�, donde 𝑣 = 𝑟�̅�. La magnitud de la cantidad de
movimiento angular de una partícula es,
�̅� = �̅�⊥�̅� = 𝑚 �̅�⊥2�̅� = 𝑚 �̅�⊥
2�̅� (7.33)
En un movimiento circular �̅�⊥ = 𝑟, porque �̅� es perpendicular a �̅�. En un sistema de partículas
que constituyen un cuerpo rígido, todas las partículas describen círculos, y la magnitud total de
la cantidad total de la cantidad de movimiento angular es,
�̅� = (∑ 𝑚𝑖𝑟𝑖2) �̅� = 𝐼�̅� (7.34)
�̅� tiene la dirección del vector de velocidad angular �̅�. Esa dirección está dada por la regla de la
mano derecha. En el movimiento rectilíneo, el cambio de la cantidad de movimiento lineal total
de un sistema está relacionado con la fuerza externa por �̅�𝑛𝑒𝑡𝑎 = ∆�̅�/∆𝑡. La cantidad de
movimiento angular está relacionado de manera análoga con el momento de fuerza neto (en
magnitud),
𝜏�̅�𝑒𝑡𝑜 = 𝐼𝛼 =𝐼∆�̅�
∆𝑡=
∆(𝐼�̅�)
∆𝑡=
∆�̅�
∆𝑡 (7.35)
es decir,
𝜏�̅�𝑒𝑡𝑜 =∆�̅�
∆𝑡 (7.36)
Así, el momento de fuerza neto es igual a la tasa de cambio de la cantidad de movimiento angular
con el tiempo. En otras palabras, un momento de fuerza neto produce un cambio en la
cantidad de movimiento angular.
7.6 CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
La ecuación (7.36) se dedujo utilizando 𝜏𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝐼𝛼, que es válido para un sistema rígido de
partículas o un cuerpo rígido con momento de inercia constante. No obstante, es una ecuación
general que también es válida para un sistema no rígido de partículas. En un sistema así, podría
haber incluso un cambio en la distribución de masa y un cambio en el momento de inercia.
Por lo cual, podría haber aceleración angular incluso en ausencia de un momento de fuerza neto.
Si el momento de fuerza neto sobre un sistema es cero, entonces por la ecuación (7.36),
𝜏�̅�𝑒𝑡𝑜 =∆�̅�
∆𝑡= 0 (7.37)
y
∆�̅� = �̅� − �̅�0 = 𝐼�̅� − 𝐼0 − �̅�0 = 0 (7.38)
o bien,
𝐼𝜔 = 𝐼0�̅�0 (7.39)
168
Por lo cual, la condición para la conservación de la cantidad de movimiento angular es que,
en ausencia de un momento de fuerza externo, no equilibrado, se conserva (se mantiene
constante) la cantidad de movimiento angular total de un sistema. Al igual que con la
cantidad de movimiento lineal total, se cancelan los momentos de fuerza internos que surgen de
fuerzas internas. En un cuerpo rígido con momento de inercia constante (es decir, 𝐼 = 𝐼0),
la rapidez angular se mantiene constante (𝜔 − 𝜔0) en ausencia de un momento de fuerza neto.
En algunos sistemas podría cambiar el momento de inercia, lo cual ocasiona un cambio de la
rapidez angular.
7.7 PROBLEMATICAS ESPECÍFICAS DEL MOMENTO ANGULAR
Las cosas que giran, ya sea una colonia espacial, un cilindro que rueda por un plano inclinado o
un acróbata que hace un salto mortal, siguen girando hasta que algo las detiene. Un objeto en
rotación tiene una inercia de rotación. Todos los objetos en movimiento tienen inercia de
movimiento o cantidad de movimiento (𝒎𝒗). Este tipo de cantidad de movimiento es cantidad
de movimiento lineal.
De igual modo, la inercia de rotación de los objetos que giran se llama cantidad
de movimiento angular. Un planeta que orbita el Sol, una roca que gira sujeta al extremo de
una cuerda y los pequeños electrones que giran en torno a los núcleos atómicos tienen todos
cantidad de movimiento angular. La cantidad de movimiento angular se define como el producto
de la inercia rotacional y la velocidad rotacional,
𝐂𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞 𝐦𝐨𝐯𝐢𝐦𝐢𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐚𝐧𝐠𝐮𝐥𝐚𝐫 = (𝐢𝐧𝐞𝐫𝐜𝐢𝐚 𝐫𝐨𝐭𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥)(𝐯𝐞𝐥𝐨𝐜𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐫𝐨𝐭𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥)
Es la contraparte de la cantidad de movimiento lineal,
𝐂𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞 𝐦𝐨𝐯𝐢𝐦𝐢𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐥 = (𝐦𝐚𝐬𝐚)(𝐯𝐞𝐥𝐨𝐜𝐢𝐝𝐚𝐝)
Al igual que la cantidad de movimiento lineal, la cantidad de movimiento angular es una
cantidad vectorial y tiene dirección, así como magnitud. En esta sección no se abordará la
naturaleza vectorial de la cantidad de movimiento angular (ni del momento de torsión,
que también es un vector), excepto para reconocer la extraordinaria acción del giroscopio.
La rueda de un bicicleta girando sobre un eje, muestra lo que ocurre cuando un momento de
torsión causado por la gravedad de la Tierra actúa para cambiar la dirección de su cantidad de
movimiento angular (que es a lo largo del eje de la rueda). El tirón de la gravedad que
normalmente actúa para tumbar la rueda y cambiar su eje de rotación, hace que preceda en torno
a un eje vertical.
La cantidad de movimiento angular mantiene el eje de la rueda casi horizontal cuando un
momento de torsión proporcionado por la gravedad de la Tierra actúa sobre ella. En lugar de
hacer que la rueda caiga, el momento de torsión hace que el eje de la rueda gire lentamente
alrededor del círculo de estudiantes. A esto se le llama precesión.
169
7.10 Ejercicio en Clase
Con lo aprendido anteriormente reescribe con tus propias palabras la primera
y segunda ley de Newton en su forma angular.
Para el caso de un objeto que sea pequeño comparado con la distancia radial respecto de su eje
de rotación, como una lata que gira sujeta de una larga cuerda o un planeta que orbita en un
círculo alrededor del Sol, la cantidad de movimiento angular puede expresarse como
la magnitud de su cantidad de movimiento lineal, (𝑚𝑣). Multiplicada por la distancia radial (𝑟),
𝐂𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞 𝐦𝐨𝐯𝐢𝐦𝐢𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐚𝐧𝐠𝐮𝐥𝐚𝐫 = 𝒎𝒗𝒓
Así como una fuerza externa neta es indispensable para cambiar la cantidad de movimiento
lineal de un objeto, se necesita un momento de torsión externo neto para cambiar la cantidad de
movimiento angular de un objeto. Es posible plantear una versión rotacional de la primera
ley de Newton (Ley de Inercia): Un objeto o sistema de objetos conservará su cantidad de
movimiento angular a menos que actúe sobre él un momento de torsión externo neto.
El sistema solar tiene una cantidad de movimiento angular que incluye al Sol, los planetas que
giran y orbitan, y otros cuerpos celestes más pequeños. Los sistemas planetarios son sistemas
de fuerzas centrales. La Tierra experimenta fuerzas atractivas definidas por la Ley de
Gravitación Universal y dirigidas hacia el centro del Sol (ver figura 7.9). La fuerza de atracción
Sol-Tierra es una fuerza central y por tanto paralela al vector de posición. El momento de esta
fuerza es nulo y el momento angular de la Tierra respecto al Sol permanece constante. .
Fig. 7.9 Fuerza de atracción que ejerce el Sol sobre la Tierra.
170
La cantidad de movimiento angular del sistema solar en la actualidad será su cantidad de
movimiento angular durante muchos periodos más. Solo un momento de torsión externo
proveniente del sistema solar puede cambiarlo; en ausencia de este momento de torsión
la cantidad de movimiento angular del sistema solar se conserva
La ley de conservación de la cantidad de movimiento angular afirma: Si sobre un sistema en
rotación no actúa ningún momento de torsión externo neto, la cantidad de movimiento
angular de dicho sistema permanece constante. Esto significa que, sin un momento de torsión
externo, el producto de la inercia rotacional y la velocidad rotacional en un momento será el
mismo que en cualquier otro momento.
Un ejemplo interesante que ilustra la conservación de la cantidad de movimiento angular
se muestra en la figura 7.10. En la figura a) donde un hombre está de pie sobre una tornamesa
de baja fricción con unas pesas extendidas. Su inercia rotacional 𝐼 con la ayuda de las pesas
extendidas, es relativamente grande en esta posición. A medida que gira lentamente su cantidad
de movimiento angular es el producto de su inercia y velocidad rotacional 𝜔.
En la figura b) cuando lleva las pesas hacia abajo y hacia adentro la inercia rotacional de su
cuerpo y las pesas se reduce en forma considerable; como resultado aumenta su rapidez
rotacional. Este ejemplo lo aprecia mejor la persona que gira ya que siente cambios en la rapidez
al llevar las pesas hacia adentro.
Fig. 7.10 Conservación de la cantidad de movimiento angular.
Este procedimiento lo usan mucho los patinadores artísticos que comienzan a girar con los
brazos y acaso una pierna extendida, para luego retraer los brazos y la pierna para obtener una
mayor rapidez rotacional (ver figura 7.11). Siempre que un cuerpo en rotación se contrae,
su rapidez rotacional aumenta.
La rapidez angular de los patinadores aumenta cuando acercan sus manos y piernas al tronco de
su cuerpo. Esto es 𝜔𝑓 > 𝜔𝑖. El aumento resultante de la rapidez angular se explica como sigue:
Debido a que la cantidad de movimiento angular debe conservarse, el producto 𝐼𝜔 es constante,
y un decremento del momento de inercia de los patinadores debe ser compensado por un
correspondiente aumento de su rapidez angular.
171
Fig. 7.11 Conservación de la cantidad de movimiento angular de una patinadora.
7.7.1 EL GATO Y LA CONSERVACION DEL MOMENTO ANGULAR
Diferentes estudios fisiológicos realizados sobre la locomoción de los animales han encontrado
ciertos fenómenos que el ojo no puede seguir y son por lo tanto difíciles de explicar. De este
tipo es el acto por el cual un gato, que se deja caer de un lugar elevado, se voltea de manera de
caer sobre sus patas, con el fin de amortizar el golpe en el momento de aterrizar. Se ha verificado
que el mismo fenómeno se observa para otras especies de animales como en el conejo y perro,
por ejemplo.
Este efecto tiene algo de paradójico desde el punto de vista de la mecánica, ya que estos
animales, libres al caer en el espacio, no tienen punto de apoyo exterior para efectuar la vuelta.
Algunas personas han creído que el animal, al momento en que se suelta, se apoya sobre las
manos de la persona que lo sostenía; otras han supuesto que, por medio de movimientos bruscos,
el animal encuentra su apoyo en la resistencia del aire.
En 1894 el académico Marey explicó ante la Academia de Ciencias de París de que trata la caída
del gato. En aquella época, éste se consideraba un problema abierto, Marey lo resolvió
experimentalmente tomando una serie de fotografías en cámara lenta para observar al gato en
su caída. El problema ha sido resucitado por su conexión con el movimiento de un astronauta al
ejecutar sus piruetas en el espacio exterior. Las fotografías estroboscópicas modernas han
demostrado que el gato no adquiere una rotación por medio de patadas. El momento angular
inicial del gato es cero.
Debido a que la fuerza de gravedad actúa como el centro de masa del gato, no produce torsión,
y el momento angular sigue siendo cero. Por lo cual, si un gato se mantiene boca arriba y se
suelta a una corta distancia del suelo, es capaz de ejecutar un giro y aterrizar erguido, incluso si
no tiene cantidad de movimiento angular inicial. Para realizar giros y vueltas con cantidad de
movimiento angular cero se gira una parte del cuerpo contra otra.
172
Mientras cae, el gato dobla su columna vertebral y la balancea para girar en la dirección opuesta.
Durante esta maniobra la cantidad de movimiento angular total permanece en cero. El gato al
caer primero recoge sus patas delanteras y estira las patas traseras. Tuerce entonces su espalda
y las patas traseras giran a menor velocidad que las delanteras, debido a su mayor momento de
inercia.
Después encoge las patas traseras, estira las delanteras, y gira éstas en el mismo sentido en que
movió las patas traseras en su primer movimiento. Ahora es la región trasera la que adquiere
mayor velocidad angular, por razón de su menor momento de inercia. Cuando termina, el gato
no está girando. Esta maniobra gira el cuerpo a través de un ángulo, pero no crea rotación
continua. El efecto neto es que el gato se ha volteado. Si este conjunto de movimientos los repite
varias veces, puede lograr caer siempre sobre sus patas. El principio mecánico en que el gato
basa su pirueta es la conservación del momento angular. Su flexibilidad le permite
aprovecharlo al máximo, de tal forma que, siempre cae sobre sus patas.
7.11 Ejercicio en Clase
Los gatos suelen caer parados, incluso si se les coloca boca arriba y luego se les deja caer.
Mientras el gato cae, no hay momento de fuerza externo y su centro de masa cae como
una partícula. ¿Cómo pueden los gatos darse vuelta mientras caen?
7.8 MOMENTO ANGULAR CUANTIZADO
El spin es una propiedad física de las partículas elementales por el cual tienen un momento
angular de valor fijo. El concepto de spin se amplió a todas las partículas subatómicas,
incluidos los protones, neutrones y antipartículas. El spin proporciona una medida del
momento angular de toda partícula. En contraste con la mecánica clásica, donde el momento
angular se asocia a la rotación de un objeto, el spin es un fenómeno exclusivamente cuántico,
que no se puede relacionar de forma directa con una rotación en el espacio.
La intuición de que el spin corresponde al momento angular debido a la rotación de la partícula
en torno a su propio eje, solo debe tenerse como una imagen mental útil como se deduce de la
teoría cuántica relativista. El spin no tiene una representación en términos de coordenadas
espaciales de modo que no se puede referir ningún tipo de movimiento.
173
Cualquier observador al hacer una medida del momento angular, detectará inevitablemente que
la partícula posee un momento angular total, difiriendo observadores diferentes solo sobre la
dirección de dicho momento y no sobre su valor; este último hecho no tiene análogo en mecánica
clásica. Existe una relación directa entre el spin de una partícula y la estadística que obedece en
un sistema colectivo de muchas de ellas. Por la definición de momento angular de una partícula
puntual (�̅� = �̅� × �̅�), podría parecer que no existe tal cantidad más pequeña de momento
angular, porque la distancia al eje de rotación o el momento angular se pueden reducir por un
factor entre 0 y 1, y el correspondiente momento angular se reducirá por el mismo factor.
Sin embargo, para átomos y partículas subatómicas la noción de un momento angular
continuamente variable no se aplica. Se observa un cuanto de momento angular y este cuanto
de momento angular se llama constante de Planck (ℎ),
𝒉 = 𝟔. 𝟔𝟐𝟔 × 𝟏𝟎−𝟑𝟒 𝑱 𝒔
La constante de Planck (ℎ) es una constante física que desempeña un papel central en la teoría
de la mecánica cuántica y recibe su nombre de su descubridor, el físico y matemático alemán
Max Planck, uno de los padres de dicha teoría. Es la constante que frecuentemente se define
como el cuanto elemental de acción.
Planck la denominaría precisamente cuanto de acción (en alemán, Wirkungsquantum),
debido a que la cantidad denominada acción de un proceso físico (el producto de la energía
implicada y el tiempo empleado) solo podía tomar valores discretos, es decir, múltiplos enteros
de ℎ. Fue inicialmente propuesta como la constante de proporcionalidad entre la energía de un
fotón y la frecuencia (𝑓) de su onda electromagnética asociada.
Si bien la constante de Planck está asociada a sistemas microscópicos, la manera más precisa de
obtenerla deriva de fenómenos macroscópicos como el efecto Hall cuántico y el efecto
Josephson. Frecuentemente, la constante de Planck aparece en ecuaciones dividida entre el
factor 2𝜋, y los físicos le han dado a este cociente el símbolo ℏ (h barra). Su valor es,
ℏ = 𝒉/𝟐𝝅 = 𝟏. 𝟎𝟓𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑𝟒 𝑱 𝒔
Observamos que todas las partículas elementales tienen un momento angular intrínseco,
llamado spin, es un múltiplo entero (0, 1ℏ, 2ℏ, … ), o un medio múltiplo entero (1
2ℏ,
3
2ℏ, … )
del cuanto de Planck del momento angular.
De manera asombrosa, los valores de spin enteros o medio enteros de las partículas cambian
radicalmente las maneras en que interactúan entre sí. Las partículas con spines de valor entero
incluyen los fotones (que son partículas elementales de luz). Las partículas con valores medio
enteros de spin incluyen los electrones, protones y neutrones. En el proceso de resolución de la
ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno, se encuentra que el momento angular
orbital está cuantizado de acuerdo con la relación,
𝐿2 = 𝑙(𝑙 + 1)ℏ2 (7.40)
174
Donde 𝑙 es el número cuántico del momento angular. Es una característica del momento angular
en la mecánica cuántica, que la magnitud del momento angular en términos del número cuántico
orbital sea de la forma,
𝐿 = √𝑙(𝑙 + 1) ℏ (7.41)
y que el componente 𝑧 del momento angular en términos del número cuántico magnético,
tome la forma,
𝐿𝒵 = 𝑚𝑙ℏ (7.42)
Esta ecuación general se aplica al momento angular orbital, al momento angular del spin,
y al momento angular total de un sistema atómico. La relación entre la magnitud del momento
angular y su proyección a lo largo de cualquier dirección en el espacio, es visualizada a menudo
en términos de un modelo vectorial.
7.12 Ejercicio en Clase
Explica la relación entre el momento angular y el spin.
7.9 MOMENTO ANGULAR ORBITAL
El momento angular orbital de los electrones en los átomos, asociados con un determinado
estado cuántico, están cuantizados en la forma,
𝐿 = √𝑙(𝑙 + 1) ℏ 𝑙 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1 (7.43)
Este es el resultado de aplicar la teoría cuántica a la órbita del electrón. La solución de la
ecuación de Schrödinger produce el número cuántico del momento angular. Incluso en el caso
del momento angular clásico de una partícula en órbita,
−𝐿 = 𝑚𝑣𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (7.44)
El momento angular se conserva. La teoría de Bohr propuso la cuantización del momento
angular en la forma,
𝐿 = 𝑚𝑣𝑟 =𝑛ℎ
2𝜋 (7.45)
175
La posterior aplicación de la ecuación de Schrödinger confirmó esa fórmula para el momento
angular orbital. La notación espectroscópica utilizada para la caracterización de los niveles de
energía de los electrones atómicos se basa en el número cuántico orbital.
7.10 MOMENTO ANGULAR TOTAL
Cuando el momento angular orbital y el momento angular del spin están acoplados, el momento
angular total esta expresado, de la forma general del momento angular cuantizado,
𝐽 = √𝑗(𝑗 + 1) ℏ (7.46)
Donde el número cuántico del momento angular total (𝑗) es,
𝑗 = 𝑙 ± 𝑠 = 𝑙 ±1
2 (7.47)
Esto da una componente 𝑧 del momento angular 𝑣
𝐽𝒵 = 𝑚𝑗ℏ, 𝑚𝑗 = −𝑗, −𝑗 + 1, −𝑗 + 2, … . 𝑗 − 1, 𝑗 ( 7.48)
Este tipo de acoplamiento da un número par de niveles de momento angular, que es coherente
con los conjuntos de los niveles energéticos de un átomo o molécula, que se manifiestan en
líneas espectrales muy próximas (multipletes) observados en los efectos Zeeman anómalos,
como el del sodio.
Siempre que las interacciones externas no sean extremadamente fuertes, el momento angular
total de un electrón puede considerarse que se conserva, y se dice que 𝑗 es un buen número
cuántico. Este número cuántico se utiliza para caracterizar el desdoblamiento de los niveles de
energía atómica, como el desdoblamiento spin-órbita que conduce al doblete del sodio.
7.13 Ejercicio en Clase
Explica la relación entre la cuantización del momento angular y la teoría de Bohr.
176
LO QUE HEMOS APRENDIDO • El momento angular caracteriza el estado de rotación de
un punto material, del mismo modo que el momento
lineal caracteriza el estado de traslación lineal.
• El momento angular L̅ de la partícula respecto al origen
O se define como el producto vectorial de r̅ y p̅.
L̅ = r̅ × p̅ (7.1)
• Para cualquier sistema de partículas que gira alrededor
de un eje de simetría, el momento angular total (que es
la suma de los momentos angulares de las partículas
individuales) es paralelo a la velocidad angular.
L̅ = I ω̅ (7.7)
• La potencia rotacional instantánea se define como el
producto del momento de fuerza y la velocidad angular. P =
W
t= τ (
θ
t) = τω (7.11)
• El trabajo rotacional neto efectuado sobre un objeto es
igual al cambio de energía cinética rotacional del objeto
(con cero energía cinética rectilínea)
Wneto =1
2Iω2 −
1
2Iω0
2 = ∆K (7.15)
• La energía cinética rotacional de un cuerpo tiene un
valor igual al trabajo realizado por un momento de
rotación resultante que acelera al cuerpo en su
movimiento giratorio hasta que adquiere su velocidad
final.
K =1
2Iω2 (7.16)
• La energía cinética total (KT) de un objeto es la suma
de la energía cinética traslacional del centro de masa del
objeto y la energía cinética rotacional del objeto relativa
a un eje horizontal que pasa por su centro de masa.
K =1
2ICMω2 +
1
2MvCM
2 (7.24)
• La forma angular de la segunda ley de Newton para una
sola partícula se define como la suma (vectorial) de
todas las torcas que actúan sobre una partícula es igual
a la rapidez de cambio del momento angular de esa
partícula.
τ̅neta =dl̅
dt (7.26)
• La condición para la conservación de la cantidad de
movimiento angular es que, en ausencia de un momento
de fuerza externo, no equilibrado, se conserva la
cantidad de movimiento angular total de un sistema.
• Primera ley de Newton (rotacional): Un objeto
o sistema de objetos conservará su cantidad de
movimiento angular a menos que actúe sobre él un
momento de torsión externo neto.
• El principio mecánico en que el gato basa su pirueta es
la conservación del momento angular.
• El spin es una propiedad física de las partículas
elementales por el cual tienen un momento angular de
valor fijo
• El spin proporciona una medida del momento angular
de toda partícula.
177
Problema 7.1
Determine la cantidad de movimiento angular de una partícula de masa 𝒎 que se mueve
con rapidez 𝒗 en un círculo de radio 𝒓 en sentido antihorario.
𝑅 = 𝐼𝜔
Problema 7.2
Determina el momento angular respecto al origen de un coche con una masa de 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈
que se mueve en un círculo de 𝟐𝟎 𝒎 de radio con una velocidad de 𝟏𝟓 𝒎/𝒔. El círculo se
encuentra en el plano 𝒙𝒚 centrado en el origen.
𝑅 = 3.6 × 105 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2/𝑠
Problema 7.3
Una pequeña masa 𝒎 amarrada al extremo de una cuerda gira en círculo sobre una mesa
horizontal que no ejerce fricción. El otro extremo de la cuerda pasa a través de un agujero
en el centro de la mesa. Inicialmente, la masa gira con una rapidez 𝒗𝟏 = 𝟐. 𝟒 𝒎/𝒔 en un
círculo de radio 𝒓𝟏 = 𝟎. 𝟖𝟎 𝒎. Entonces la cuerda se jala lentamente a través del agujero,
de manera que el radio se reduce a 𝒓𝟐 = 𝟎. 𝟒𝟖 𝒎. ¿Cuál es ahora la rapidez 𝒗𝟐 de la masa?
𝑅 = 4 𝑚/𝑠
Problema 7.4
Suponga que una persona de 𝟔𝟎 𝒌𝒈 está de pie en el borde de una plataforma circular de
𝟔. 𝟎 𝒎 de diámetro, que está montada sobre chumaceras sin fricción y tiene un momento
de inercia de 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝒌𝒈 ∙ 𝒎𝟐. La plataforma se encuentra inicialmente en reposo; sin
embargo, cuando la persona comienza a correr con una rapidez de 𝟒. 𝟐 𝒎/𝒔 (con respecto
a la Tierra) por el borde, la plataforma comienza a girar en sentido contrario. Calcule la
velocidad angular de la plataforma.
𝑅 = 0.42 𝑟𝑎𝑑/𝑠
178
Problema 7.5
Un profesor de física está de pie en una plataforma estacionaria y sin fricción mientras
sostiene en sus manos una rueda de bicicleta que gira. ¿Qué sucedería si el profesor de
repente voltea la rueda de bicicleta de forma que ésta gire en sentido contrario?
Problema 7.6
Una hélice de turbina del motor a reacción de un avión tiene un momento de inercia de
𝟐. 𝟓 𝒌𝒈 ∙ 𝒎𝟐 alrededor de su eje de rotación. Al arrancar la turbina, su velocidad angular
en función del tiempo es 𝝎𝒛 = (𝟒𝟎 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝟑)𝒕𝟐. a) Calcule el momento angular de la hélice
en función del tiempo y su valor en 𝒕 = 𝟑 𝒔. b) Determine la torca neta que actúa sobre la
hélice en función del tiempo, y su valor en 𝒕 = 𝟑 𝒔.
a) 𝑅 = 900 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2/𝑠
b) 𝑅 = 600 𝑁 ∙ 𝑚
Problema 7.7
Determina el momento angular respecto al origen de un coche de masa 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈 que se
mueve en un círculo de 𝟐𝟎 𝒎 de radio con velocidad de 𝟏𝟓 𝒎/𝒔. El circulo se halla en el
plano 𝒙𝒚, centrado en el origen. Mirando desde un punto situado en la parte positiva del
eje 𝒛, el coche se mueve en sentido antihorario.
𝑅 = 3.6 × 105 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2/𝑠
Problema 7.8
Un niño de 𝟐𝟓 𝒌𝒈 de masa, corre por un jardín a una velocidad de 𝟐. 𝟓 𝒎/𝒔, de forma que
su trayectoria es tangente al borde de un tiovivo de 𝟓𝟎𝟎 𝒌𝒈 ∙ 𝒎𝟐 de momento de inercia,
que está parado. El niño salta sobre el tiovivo y lo pone en movimiento. Determina la
velocidad angular final del niño y del tiovivo cuando se mueven juntos.
𝑅 = 0.208 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Problema 7.9
Una partícula de masa 𝒎 se mueve con velocidad 𝒗𝟎 en una circunferencia de radio 𝒓𝟎
sobre la superficie de una mesa sin rozamiento. La partícula está atada a una cuerda que
pasa a través de un agujero de la mesa. Tirando de la cuerda lentamente hacia abajo,
la partícula se mueve en una circunferencia de menor radio 𝒓𝒇. a) Determina la velocidad
final en función de 𝒓𝟎, 𝒗𝟎 𝒚 𝒓𝒇. b) Determina la tensión de la cuerda cuando la partícula
se mueve en una circunferencia de radio 𝒓 en función de 𝒎, 𝒓 y el momento angular 𝑳.
a) 𝑅 =𝑟0
𝑟𝑓𝑣0
b) 𝑅 =𝐿0
2
𝑚𝑟3
179
Problema 7.10
¿Cuál es la magnitud del momento angular de una pelota de golf que tiene una masa de
𝒎 = 𝟒. 𝟓𝟗 × 𝟏𝟎−𝟐 𝒌𝒈 y un radio 𝑹 = 𝟐. 𝟏𝟑 × 𝟏𝟎−𝟐 𝒎, que gira a 𝟒𝟐𝟓𝟎 𝒓𝒑𝒎 después de
un buen golpe con un driver?
𝑅 = 3.70 𝑘𝑔 𝑚2 𝑠−1
Problema 7.11
Sabemos que el momento de inercia de una esfera sólida respecto a su eje de rotación viene
determinado por 𝑰𝒆𝒔𝒇 = 𝟐/𝟓 𝒎 𝒓𝟐, suponemos que la Tierra es una esfera homogénea de
masa 𝟓. 𝟗𝟕𝟐 × 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝒌𝒈 y su radio de 𝟔𝟑𝟕𝟏 𝒌𝒎. Determina a) su momento angular de
rotación, b) su momento angular orbital alrededor del Sol sabiendo que la distancia media
entre el Sol y la Tierra es de 𝟏. 𝟒𝟗𝟔 × 𝟏𝟎𝟏𝟏 𝒎.
a) 𝑅 = 7.046 × 1033𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 ∙ 𝑠−1
b) 𝑅 = 2.66 × 1040 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 ∙ 𝑠−1
Problema 7.12
Un disco LP de vinilo con 𝟑𝟎 𝒄𝒎 de diámetro, gira en sentido horario a 𝟑𝟑 𝒓𝒑𝒎.
Una mosca se posa en el extremo del disco, y da vueltas al mismo ritmo. Calcula el
momento angular de la mosca respecto al centro del disco suponiendo que su masa es de
𝟎. 𝟎𝟓 𝒈.
𝑅 = 3.89 × 10−6 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 ∙ 𝑠−1
Problema 7.13
Un camión de bomberos de 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈 toma una curva de 𝟏𝟎𝟎 𝒎 de radio con una velocidad
lineal constante de 𝟕𝟐 𝒌𝒎/𝒉. Calcula el momento angular de la camioneta respecto al
centro de la curva.
𝑅 = 1 × 107 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 ∙ 𝑠−1
Problema 7.14
La Tierra viaja en torno al Sol siguiendo una órbita que se completa en un año.
Suponiendo que se trata de una órbita circular de radio 𝟏. 𝟓 × 𝟏𝟎𝟏𝟏 𝒎. Calcula el
momento angular orbital de la Tierra respecto al Sol.
𝑅 = 2.68 × 1040 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 ∙ 𝑠−1
180
Problema 7.15
Una esfera de 𝟓𝟎𝟎 𝒈 de masa está atada a una cuerda de masa despreciable de 𝟏 𝒎 de
longitud y gira con una velocidad de 𝟒 𝒎/𝒔 en un plano horizontal en torno a un punto 𝑶.
En un determinado momento, la cuerda comienza a enrollarse alrededor de dicho punto,
disminuyendo con ello su longitud y por tanto el radio de giro. a) Calcula el momento
angular inicial respecto al punto 𝑶. b) Determina el valor de la velocidad lineal cuando se
haya enrollado el 𝟖𝟎 % de la cuerda.
a) 𝑅 = 2 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 ∙ 𝑠−1
b) 𝑅 = 20 𝑚/𝑠
Problema 7.16
El cometa Halley completa su órbita en torno al Sol cada 𝟕𝟔 𝒂ñ𝒐𝒔. En su regreso de 𝟏𝟖𝟒𝟑
pasó a tan solo 𝟖. 𝟎 × 𝟏𝟎𝟓 𝒌𝒎 del centro del Sol. La velocidad a la que debió pasar por esa
zona estaba en torno a los 𝟓𝟓𝟎 𝒌𝒎/𝒔. Determine la velocidad con la que se desplaza el
cometa en su perihelio cuando se encuentra a 𝟖𝟓. 𝟓 𝒎𝒊𝒍𝒍𝒐𝒏𝒆𝒔 de km del Sol.
𝑅 = 4.97 × 104 𝑚/𝑠
Problema 7.17
Una bailarina hace girar dos esferas simultáneamente. Ambas esferas giran a una misma
velocidad angular constante de 𝟐 𝒓𝒂𝒅/𝒔. Determina el momento angular del sistema.
𝑅 = 0.316 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 ∙ 𝑠−1
Problema 7.18
Una patinadora artística gira a razón de 𝟏. 𝟖𝟎 𝒓𝒆𝒗/𝒔 con los brazos extendidos. Entonces
coloca los brazos sobre su pecho, reduciendo su inercia rotacional 𝟔𝟕 % de su valor
original. ¿Cuál es su nueva razón de rotación?
𝑅 = 2.68 𝑟𝑒𝑣/𝑠
181
Problema 7.19
Un ratón de 𝟎. 𝟏𝟎 𝒌𝒈 se encuentra en el punto 𝑩 sobre el borde de una rueda de 𝟐. 𝟎 𝒌𝒈
de una carreta que rueda a 𝟏. 𝟎 𝒓𝒆𝒗/𝒔. Entonces, el ratón se arrastra hacia el punto 𝑨 en
el centro. Suponga que la masa de la rueda está concentrada en el borde. ¿Cuál es la
frecuencia de rotación cuando el ratón llega al punto 𝑨?
𝑅 = 1.05 𝑟𝑒𝑣/𝑠
Problema 7.20
La masa de un volante es de 𝟓. 𝟔 × 𝟏𝟎𝟒 𝒌𝒈. Este volante en particular tiene su masa
concentrada en el borde de la rueda. Si el radio de la rueda es de 𝟐. 𝟔 𝒎 y gira a 𝟑𝟓𝟎 𝒓𝒑𝒎,
¿Cuál es la magnitud de su cantidad de movimiento angular?
𝑅 = 1.4 × 107 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 ∙ 𝑠−1
182
CUESTIONARIO I
1. ¿Qué es la dinámica rotacional?
2. Define el concepto de momento angular.
3. ¿Cuáles son las unidades en el Sistema Internacional del momento angular?
4. Escribe el concepto de momento de una fuerza.
5. ¿Cuándo varía el momento angular?
6. Define el concepto de inercia.
7. Define el concepto de inercia rotacional e inercia traslacional, y compáralas.
8. Menciona dos ejemplos de momento angular y explícalos.
9. Escribe la regla de la mano derecha para un disco en rotación. Explica.
10. ¿Como se define el momento angular total?
11. Define el trabajo y la energía cinética rotacional. Explica cómo se relacionan.
12. Explica el Teorema de los ejes paralelos.
13. Explica la ley de la conservación de la cantidad de momento angular.
14. Explica a qué se refiere el concepto de inercia rotacional.
15. Explica con tus propias palabras la segunda ley de Newton en forma angular.
183
CUESTIONARIO II
1. ¿Como se relacionan el momento de inercia, el momento angular y la torca?
2. ¿Cuál es la condición para la conservación de la cantidad de movimiento angular?
3. Menciona dos ejemplos que ilustren el principio de conservación del momento angular.
4. ¿Qué sucede con un gato que se deja caer de una cierta altura y se gira de una cierta
manera en la que cae sobre sus patas siempre?
5. Explica la relación entre el momento lineal y el angular.
6. Define el concepto de potencia rotacional instantánea.
7. Explica la diferencia entre un movimiento traslacional y uno rotacional.
8. ¿A qué se refiere la simetría rotacional de un sistema?
9. ¿Como se relaciona el momento lineal con el momento angular?
10. Considerando la ley de conservación de la cantidad de movimiento angular, ¿Por qué un
helicóptero debe tener más de un rotor (o hélice)?
11. Imagina que estas de pie en el extremo de una gran plataforma giratoria que gira
libremente. Explica que ocurre si caminas hacia el centro.
12. ¿En qué dirección está el vector velocidad angular de la Tierra mientras ésta gira
diariamente en torno a su eje?
13. Una persona está sentada en una silla giratoria y sostiene una masa de 2 𝑘𝑔 en cada
mano estirada, si súbitamente suelta las masas. ¿su velocidad angular aumenta,
disminuye o permanece igual?
14. Dos esferas parecen idénticas y tienen la misma masa. Sin embargo, una está hueca y la
otra es sólida. Describa un experimento para determinar cuál es cuál.
15. Un alumno de física sostiene una rueda de bicicleta giratoria mientras está de pie sobre
una plataforma giratoria estacionaria sin fricción. ¿Qué ocurrirá si el alumno
súbitamente da vuelta a la rueda de bicicleta de modo que ahora gire en la dirección
opuesta?
184
CUESTIONARIO III
1. Una patinadora gira con sus brazos estirados hacia fuera. ¿Qué tiene una rapidez de
rotación mayor, sus hombros o la punta de sus dedos? ¿Por qué?
2. ¿Quién tiene una rapidez de rotación mayor, una persona que vive en el Ecuador o una
que vive en la New York?
3. Juan y Pedro viajan en un carrusel. Juan viaja cerca del centro, mientras que Pedro está
cerca de la parte exterior. Compara sus aceleraciones de rotación.
4. Usted mira hacia abajo en un carrusel y observa que gira en sentido de las manecillas
del reloj. ¿Cuál es la dirección de la velocidad de rotación del carrusel? Si el carrusel
frena, ¿Cuál es la dirección de su aceleración de rotación?
5. ¿Cuál es la dirección de la velocidad de rotación de la Tierra?
6. La rapidez de rotación de la Tierra se frena porque el Sol y la Luna producen mareas.
¿Cuál es la dirección de la aceleración de rotación de la Tierra?
7. ¿Cómo llamamos a la resistencia de un objeto a un cambio en su velocidad de rotación?
8. ¿Explica que se necesita para modificar la velocidad de rotación de un objeto?
9. Un volante de inercia con una inercia de rotación grande se suele instalar en el eje de
dirección de los motores de los automóviles. ¿Para qué sirve el volante de inercia?
10. ¿La inercia de rotación de un objeto aumenta o disminuye con un incremento de su
masa? ¿Aumenta o disminuye conforme la masa se acerca al eje de rotación?
11. La Tierra gira sobre su propio eje una vez cada 23 horas y 56 minutos. ¿Por qué esta
frecuencia ha cambiado muy poco desde la época de Isaac Newton?
12. Escribe un ejemplo cotidiano que ejemplifique con claridad el significado de la segunda
ley de Newton para la rotación.
13. ¿Por qué un helicóptero pequeño tiene un rotor en su cola? ¿Por qué un helicóptero con
dos grupos de rotores no necesita un rotor en su cola?
14. ¿Por qué las patinadoras giran más rápido cuando encogen sus brazos?
15. Un astronauta que flota en el transbordador espacial tiene un movimiento de rotación
inicial, pero no tiene un movimiento de traslación inicial en relación con el
transbordador. ¿Por qué el astronauta sigue girando?
185
16. Al mirar por el cañón de un rifle, se observan surcos largos en espiral. Cuando la bala
viaja por el cañón, estos surcos hacen que la bala gire. ¿Para qué sirve que la bala gire?
17. Un gato que cae sin un momento angular inicial consigue aterrizar sobre sus patas.
¿El gato necesita adquirir un momento angular para conseguir esto? Explica en detalle.
18. El eje de rotación de la Tierra está inclinado 23.5° en relación con el eje de revolución
de la Tierra respecto al Sol. El Polo Norte está inclinado hacia el Sol el 22 de junio.
¿Cuál polo está inclinado hacia el Sol el 22 de diciembre? Explica en detalle.
19. Si observas las estrellas toda la noche, todas parecen moverse excepto una. ¿Cuál estrella
parece inmóvil y por qué?
20. Escribe 5 ejemplos donde el momento angular los explique.
CUESTIONARIO IV
1. Escribe el concepto de Spin.
2. Define el momento angular cuantizado.
3. Define el momento angular orbital.
4. Explica de qué manera la teoría de Bohr propuso la cuantización del momento angular.
5. ¿Qué es un numero cuántico del momento angular?
6. ¿Para que se utilizan los números cuánticos?
7. Explica como la ecuación de Schrödinger produce el número cuántico del momento
angular.
8. Escribe las letras con las cuales se designa el momento angular orbital de los electrones
individuales.
9. ¿Cuál es la relación entre la ecuación de Dirac y el spin del electrón?
10. Explica la ecuación de Dirac y su relación con la antimateria.
186
SUGERENCIAS DE PROYECTOS DE INVESTIGACIÓN
• Biomecánica, aparatos para rehabilitación.
• Diseño de rines y llantas para el mejoramiento de la estabilidad de los automóviles.
• La física en los juguetes mexicanos.
• La torca y sus aplicaciones en maquinaria, herramientas, automotores o en estaciones
espaciales.
• Como se coloca un satélite en órbita.
• Teorías de gravitación y agujeros negros.
• Aplicación del momento angular en la astronomía.
• Colisiones en el billar.
• La física en el ballet.
• La física en el patinaje artístico.
• La física en los clavadistas.
• La física en los gimnastas.
• Simetrías y leyes de conservación en física.
SITIOS DE INTERÉS
<http://www.aapt.org/>
<http://portalacademico.cch.unam.mx/>
<https://www.edumedia-sciences.com/es/>
<http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/>
<https://phet.colorado.edu/>
<http://www.falstad.com/>
<https://sites.google.com/site/fisicacontics/home/introduccion>
<http://fisica.uson.mx/manuales/magyopt.html>
<http://www.dgbiblio.unam.mx>
<http://alumnoscch.wordpress.com/>
187
REFERENCIAS
BÁSICA
• Gutiérrez, C. (2009). Física general, capítulos 7 y 10. México: Mc Graw Hill.
• Halliday, D., Resnick, R. y Walker, J. (2011). Fundamentos de física, Volumen 1,
capítulo 15 páginas 365–391, octava edición. México: Grupo Editorial Patria.
• Jones, E y Childers, R. (2001). Física contemporánea, capítulo 9, tercera Edición.
México: Mc Graw Hill.
• Serway, R. y Faughn, J. (2001). Física, capítulos 7 y 8, quinta edición. México: Pearson
Educación.
• Serway, R. Vuille, C. y Faughn, J. (2010). Fundamentos de física, capítulos 7 y 8, octava
edición. Cengage Learning.
• Tippens, Paul E. (2011). Física, conceptos y aplicaciones, capítulos 10 y 11, séptima
edición. México: Mc Graw Hill.
• Wilson, J., Buffa, A. y Lou, B. (2007). Física, capítulo 7 y 8, sexta edición. México:
Pearson Educación.
COMPLEMENTARIA
• Alonso, M. y Rojo, O. (1981). Física mecánica y termodinámica. México: Fondo
Educativo Interamericano.
• Cromer, Alan. (1981). Física para las ciencias de la vida, segunda edición, México:
Editorial Reverte.
• Giancoli, Douglas. (2009). Física 1: Principio con aplicaciones, sexta edición, México:
Pearson Educación.
• Hecht, E. (2000). Física 1: álgebra y trigonometría, segunda edición, México:
International Thomson Editores.
• Resnick, R. Halliday, D. y Krane, K. (2012). Física, vol. 1, cuarta Edición, México:
Editorial John Wiley & Son.
• Riveros, R. Héctor, et al. (2000). Experimentos impactantes 1, mecánica y fluidos.
México: Editorial Trillas.
188
UNIDAD II
SISTEMAS DE FLUIDOS
189
PROGRAMA DE FÍSICA III
Unidad 2. Sistemas de fluidos
PRESENTACIÓN
En esta Unidad 2 se estudia el comportamiento de los fluidos en reposo y movimiento,
considerados como sistemas que interactúan con sus alrededores, para lo que se requiere de los
conceptos: presión, densidad, peso específico, presión atmosférica y de los principios básicos
de Pascal y Arquímedes, así como la ecuación de continuidad y de Bernoulli.
En la primera parte de esta unidad se estudian las propiedades de los fluidos en reposo y las
leyes que los rigen; en la segunda se abordarán las propiedades dinámicas de los fluidos
enfatizando la conservación de la energía.
Las actividades a realizar serán tanto teóricas como experimentales; con relación a los ejercicios
que se presenten a los alumnos se hará énfasis en la aplicación de los principios y las leyes de
los fluidos en situaciones reales. Se sugiere que el alumno plantee el desarrollo de proyectos
de investigación escolar enfocados a aplicaciones tecnológicas.
Los líquidos y los gases se conocen como fluidos porque fluyen libremente y tienden a llenar
los recipientes que los contienen. En esta unidad se aprenderá que los fluidos ejercen fuerzas
sobre las paredes de los recipientes donde están contenidos. Estas fuerzas actúan sobre áreas
definidas y originan una condición de presión.
En la prensa hidráulica se utiliza la presión del fluido para elevar cargas pesadas. La estructura
de los depósitos de agua, las presas y los grandes tanques de aceite se diseñan, en gran parte,
tomando en cuenta la presión. En el diseño de barcos, submarinos y globos meteorológicos
se debe tomar en cuenta la presión y la densidad del fluido circundante.
Se estudiarán también los aspectos fundamentales del flujo de fluidos y el principio de Bernoulli
que gobiernan dicho movimiento. En la primera parte se estudian algunas propiedades de los
fluidos en reposo y las leyes que los rigen; en la segunda, se abordan algunas propiedades
dinámicas de los fluidos considerando la conservación de la masa y de la energía. En la tercera
parte se indican los límites de validez del modelo de fluidos ideales.
Las actividades a realizar serán tanto teóricas como experimentales. El estudio y análisis de los
conceptos relativos a esta unidad permiten explicar el funcionamiento de dispositivos
hidráulicos y neumáticos tales como: prensa hidráulica, baumanómetro y tubo de Venturi;
así como el comportamiento de diferentes tipos de fluidos y de sustentación aerodinámica.
190
PROPÓSITOS
Al finalizar la Unidad 2 el alumno:
• Describirá algunos aspectos del comportamiento de un fluido en condiciones estáticas
o dinámicas.
• Comprenderá los límites de validez de los modelos matemáticos considerados.
• Analizará situaciones donde se manifiesten: procesos de transferencia de masa,
de energía y principios de conservación, preferentemente en situaciones experimentales.
• Resolverá problemas prototipo donde se presenten procesos de transferencia de masa
y energía con base en los principios de conservación.
• Planteará y resolverá situaciones donde se manifiesten: procesos de transmisión de masa,
de energía y principios de conservación, con el empleo de modelos matemáticos que
expresen relaciones entre las variables que intervienen en sus actividades experimentales
e identificará los límites de validez de los mismos para describir el comportamiento de
un fluido en reposo o en movimiento.
191
INTRODUCCIÓN
Sistemas de fluidos
En la naturaleza la sustancia se presenta en general en tres estados de agregación,
sólidos, líquidos y gases, en particular una sustancia sólida puede que tenga a su vez diferentes
estructuras o fases, hay también sustancias con propiedades intermedias entre sólidos y líquidos
como pueden ser los geles, o entre gases y líquidos, como las espumas.
Una de las características principales de líquidos y gases, es la de poder fluir y la de deformarse
continuamente para adquirir la forma del recipiente que la contenga. A la materia que se
comporta así la llamamos fluido. En esta sección estudiaremos las características y propiedades
de los fluidos, así como los principios que los rigen.
La característica fundamental que define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos
cortantes, lo que provoca que carezcan de forma definida. También estudia las interacciones
entre el fluido y el contorno que lo limita.
Podemos notar que los gases pueden comprimirse, mientras que los líquidos carecen de esta
característica, la compresibilidad de los líquidos a altas presiones no es exactamente cero, pero
es cercana a cero, aunque toman la forma del recipiente que los contiene. La compresibilidad de
un fluido depende del tipo de problema, en algunas aplicaciones aerodinámicas, aun cuando el
fluido es aire, puede asumirse que el cambio de volumen del aire es cero.
Para clasificar a los materiales que se encuentran en la naturaleza se pueden utilizar diversos
criterios. Desde el punto de vista de la ciencia, uno de los más interesantes lo constituye aquel
que considera el comportamiento de los elementos frente a situaciones especiales. De acuerdo
a ello se definen los estados básicos de sólido, plástico, fluidos y plasma. De aquí la de definición
que nos interesa es la de fluidos, la cual se clasifica en líquidos y gases.
La clasificación de fluidos depende fundamentalmente del estado y no del material en sí.
De esta forma lo que define al fluido es su comportamiento y no su composición. Entre las
propiedades que diferencian el estado de la materia es la que establece la relación con la forma
en que reacciona el material cuando se le aplica una fuerza. Los fluidos reaccionan de una
manera característica a las fuerzas. Si se compara lo que ocurre a un sólido y a un fluido cuando
son sometidos a un esfuerzo de corte o tangencial, se tienen reacciones características que se
pueden verificar experimentalmente y que permiten diferenciarlos.
Con base al comportamiento que desarrollan los fluidos se define a un fluido como una sustancia
que se deforma continuamente, o sea se escurre, cuando está sometido a un esfuerzo de corte
o tangencial. De esta definición se desprende que un fluido en reposo no soporta ningún esfuerzo
de corte.
192
Los globos aerostáticos usan aire
caliente, que es menos denso que el aire
que lo rodea, para generar una fuerza de
flotación y poder elevarse. De acuerdo
con el principio de Arquímedes,
la fuerza de flotación es igual al peso del
aire desplazado por el globo.
¿Por qué los globos aerostáticos se elevan?
Los globos aerostáticos vuelan porque están llenos de aire caliente. Debido a que el aire caliente
se eleva más rápido que el aire frío, el globo comienza a elevarse. Este fenómeno se conoce
como flotabilidad, y es la que permite que los globos aerostáticos permanezcan en el aire.
Los globos aerostáticos usan un quemador para calentar el aire dentro del globo. El quemador
generalmente es alimentado por propano líquido. El quemador mezcla el combustible con aire
y enciende la mezcla, creando una llamarada directamente debajo de la abertura del globo.
Una vez que el aire dentro del globo comienza a calentarse, el globo se eleva. El piloto controla
la altitud del globo, calentando el aire para elevar el globo o permitiendo que el aire se enfríe
para hacer que el globo descienda. La explicación física nos la da el Principio de Arquímedes,
que dice que un cuerpo sumergido en un fluido cualquiera experimenta una fuerza vertical hacia
arriba, llamada empuje, equivalente al peso del fluido que ha desalojado. Si aplicamos este
principio a los globos comprenderemos que el aire es un fluido y que el globo recibirá un empuje
hacia arriba igual al peso del aire que desplaza.
193
CAPÍTULO VIII FLUIDOS
LO QUE APRENDEREMOS
▪ Los fluidos pueden ser líquidos y gases.
▪ Los líquidos son incompresibles debido a que su volumen no disminuye.
▪ Un sistema se define como la parte del universo y se definen en tres tipos: Sistema
Cerrado, Abierto y Aislado.
▪ La gravedad específica de una sustancia se define como la relación de su densidad con
respecto a la del agua.
▪ La presión es una cantidad escalar (sólo tiene magnitud) aunque la fuerza que la
produce sea un vector.
▪ El principio de Pascal afirma que la presión aplicada a un fluido confinado se transmite
a todas las partes del fluido.
▪ El principio de Arquímedes afirma que la fuerza de flotación sobre un objeto inmerso
en un fluido es igual al peso del fluido desplazado por el objeto.
8.1 FLUIDOS
Los líquidos y gases se conocen como fluidos por que fluyen libremente y tienden a llenar
los recipientes que los contienen. En este capítulo aprenderemos que los fluidos ejercen fuerzas
sobre las paredes de los recipientes donde están contenidos. Esas fuerzas actúan sobre áreas
definidas y originan una condición de presión. En la prensa hidráulica se utiliza la presión del
fluido para elevar cargas pesadas. La estructura de los depósitos de agua, las presas y los grandes
tanques de aceite se diseñan, en gran parte, tomando en cuenta la presión. En el diseño de barcos,
submarinos y globos meteorológicos se debe tomar en cuenta la presión y la densidad del fluido
circundante
Se denomina fluido a un tipo de medio continúo formado por alguna sustancia entre cuyas
moléculas solo hay una fuerza de atracción débil. La propiedad que los define es que los
fluidos pueden cambiar de forma sin que aparezcan en su seno fuerzas restitutivas tendentes a
recuperar la forma original; lo cual constituye la principal diferencia con un sólido deformable,
donde sí hay fuerzas restitutivas. Un fluido es un conjunto de partículas que se mantienen
unidas entre sí por fuerzas cohesivas débiles y las paredes de un recipiente; el término
engloba a los líquidos y gases. En el cambio de forma de un fluido la posición que toman sus
moléculas varía, ante una fuerza aplicada sobre ellos, pues justamente fluyen. Los líquidos
toman la forma del recipiente que los aloja, manteniendo su propio volumen, mientras que
los gases carecen tanto de volumen como de forma propias. Las moléculas no cohesionadas
se deslizan en los líquidos y se mueven con libertad en los gases. Los fluidos están conformados
por los líquidos y los gases, siendo los segundos mucho menos viscosos (casi fluidos ideales).
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, y carece de rigidez y elasticidad,
en consecuencia, cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma
y adoptando así la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos
o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
194
Fig. 8.1 Todos los fluidos son compresibles en cierto grado. Los líquidos son fluidos.
En los líquidos, las fuerzas intermoleculares permiten que las partículas se muevan libremente,
aunque mantienen enlaces latentes que hacen que las sustancias en este estado presenten
volumen constante o fijo. Cuando se vierte un líquido a un recipiente, el líquido ocupará el
volumen parcial o igual al volumen del recipiente sin importar la forma de este último.
Los líquidos son incompresibles debido a que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas
muy grandes. Otra de sus propiedades es que ejercen presión sobre los cuerpos sumergidos en
ellos o sobre las paredes del recipiente que los contiene. Al analizar los fluidos haremos
referencia a sistemas de fluidos en particular. Un sistema se define como la parte del universo
objeto de estudio. Es cualquier objeto (o conjunto de objetos) que se somete a consideración.
Todo lo demás en el universo constituye su ambiente o entorno. Existen varias categorías de
sistemas.
• Sistema Cerrado: Es aquel que intercambia energía, pero no materia con los alrededores
(su masa permanece constante).
• Sistema Abierto: Es aquel que intercambia energía y materia con los alrededores.
• Sistema Aislado: Es aquel que no intercambia ni materia no energía con los alrededores.
Fig. 8.2 Tipos de sistemas.
195
8.1 Ejercicio en Clase
¿Por qué los gases se pueden comprimir y los líquidos no?
8.2 Ejercicio en Clase
¿A qué se refiere el concepto de fuerza restitutiva en los fluidos?
8.2 DENSIDAD
Antes de estudiar la estática y la dinámica de fluidos, es importante entender la relación entre el
peso de un cuerpo y su volumen. Por ejemplo, nos referimos al plomo o al hierro como
materiales pesados, mientras que a la madera y al corcho los consideramos ligeros. Lo que en
realidad queremos expresar es que un bloque de madera es más ligero que un bloque de plomo
si ambos son de tamaño similar. Los términos ligero y pesado son de carácter comparativo; un
bloque de plomo y un bloque de madera pueden pesar lo mismo si su tamaño relativo difiere en
forma considerable.
La cantidad que relaciona el peso de un cuerpo con su volumen se conoce como peso específico.
El peso específico (𝑫) de un cuerpo se define como la relación de su peso (𝑾) entre su
volumen (𝑽). Las unidades son el Newton por metro cúbico [𝑵/𝒎𝟑]
𝐷 =𝑊
𝑉 (8.1)
Por lo tanto, si un objeto de 9 𝑘𝑔 de peso ocupa un volumen de 0.113 𝑚3, tiene un peso
específico de 79.6 𝑁/𝑚3.
196
El peso de un cuerpo no es constante, sino que varía de acuerdo al lugar. Una relación más útil
para la densidad aprovecha el hecho de que la masa es constante independientemente de la
gravedad. La densidad o masa específica (𝝆) de un cuerpo se define como la relación de su
masa (𝒎) con respecto a su volumen (𝑽).
𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 =𝑀𝑎𝑠𝑎
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 (8.2)
𝜌 =𝑚
𝑉 (8.3)
Las unidades de la densidad en el SI son [𝑘𝑔/𝑚3]; Cuanto más densa sea una sustancia,
más masa tendrá en cierto volumen. Para darte una idea de las densidades de las sustancias
comunes, comienza con el agua. Visualiza un recipiente de 1 metro por lado. En consecuencia,
el volumen del recipiente es 1 metro cúbico (1 𝑚3). Se necesitan 1000 kilogramos de agua para
llenar el recipiente y, por tanto, la densidad del agua es,
𝜌𝐴𝑔𝑢𝑎 =1000 𝑘𝑔
1 𝑚3= 1000 𝑘𝑔/𝑚3
Haciendo una comparación entre densidades, la densidad del aire del salón de clases es de
aproximadamente 1.29 𝑘𝑔/𝑚3. La densidad del helio en un globo lleno de dicho gas es menor,
cercana a 0.179 𝑘𝑔/𝑚3. En la tabla 7 se presentan más ejemplos de densidades de varios
sólidos, líquidos y gases. Como lo mencionamos anteriormente sólidos y líquidos son
virtualmente incomprensibles, de modo que sus densidades son prácticamente constantes.
Los gases, por otra parte, se expanden (se vuelven menos densos) con el calentamiento o con la
reducción de la presión, y se comprimen (se vuelven más densos) con el enfriamiento o un
aumento de presión. Por lo tanto, los valores de las densidades de los gases de la tabla 7 se dan
a temperatura y presión estándar (0 ℃, 1 𝑎𝑡𝑚).
La ecuación de densidad también sirve para resolver la masa de un volumen dado, o el volumen
de una masa dada, si se conoce la densidad de la sustancia. Por ejemplo, la masa de 3.79 litros
(3.79 × 10−3 𝑚3) o 1 galón de agua es,
𝑚 = (𝜌𝐴𝑔𝑢𝑎)(𝑉) (8.4)
𝑚 = (1000 𝑘𝑔/𝑚3)(3.79 × 10−3 𝑚3) = 3.79 𝑘𝑔
Como norma general, un galón de agua pesa alrededor de 36 𝑁. De igual forma, el volumen de
10 𝑘𝑔 de agua es,
𝑉 =𝑚
𝜌𝐴𝑔𝑢𝑎=
10 𝑘𝑔
1000 𝑘𝑔/𝑚3= 0.010 𝑚3
La relación entre peso específico y densidad se determina a partir de que 𝑊 = 𝑚𝑔,
𝐷 =𝑚𝑔
𝑉= 𝜌𝑔 (8.5)
197
8.3 Ejercicio en Clase
¿Cuál es la densidad de una sustancia que tiene una masa de 𝟖𝟒 𝒈 y un volumen de
𝟖 𝒄𝒎𝟑? Utilice la tabla 7 para identificar esta sustancia.
Otro método para indicar las densidades de las sustancias es por medio de su gravedad
específica, la cual compara su densidad con la del agua. Por ejemplo, una sustancia que es la
mitad de densa que el agua tendrá una gravedad específica de 0.5. La gravedad específica de
una sustancia se define como la relación de su densidad con respecto a la densidad del agua
a 𝟒 ℃ (𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒎𝟑). Un mejor nombre para esta cantidad es densidad relativa, pero el
término gravedad específica se usa más ampliamente.
Tabla 7. Densidades de sustancias comunes.
Sustancia Densidad [𝒌𝒈/𝒎𝟑]
SÓLIDOS
Oro 19300
Mercurio 13600
Plomo 11300
Plata 10500
Hierro 7860
Aluminio 2700
Ébano (madera) 1220
Hielo 917
Cerezo (madera) 800
Balsa (madera) 120
FLUIDOS
Etilenglicol (anticongelante) 1114
Sangre (37 ℃) 1060
Agua de mar 1025
Agua dulce 1000
Aceite de oliva 920
Alcohol etílico 806
Gasolina 700
Oxígeno 1.43
Aire 1.29
Helio 0.179
198
8.4 Ejercicio en Clase
Calcula la masa y la magnitud del peso en Newtons de 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 𝑳 de gasolina.
8.5 Ejercicio en Clase
Una masa de 𝟎. 𝟓 𝒌𝒈 de alcohol etílico ocupa un volumen de 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟑𝟑 𝒎𝟑. ¿Cuál es el
valor de su densidad y de su peso específico?
8.3 PRESIÓN
La eficiencia de una cierta fuerza a menudo depende del área sobre la que actúa. Por ejemplo,
una mujer que usa tacones puntiagudos daña más los pisos que si usara tacones anchos.
Aun cuando la dama ejerce la misma fuerza hacia abajo en ambos casos, con los tacones agudos
su peso se reparte sobre un área mucho menor.
Podemos aplicar una fuerza a un sólido en un punto de contacto, pero esto no funciona con los
fluidos, pues éstos no resisten un corte. Con los fluidos, es preciso aplicar una fuerza sobre un
área, tal aplicación de fuerza se expresa en términos de presión. A la fuerza normal por unidad
de área se le llama presión, es decir, es la fuerza que ejerce un sólido, líquido o gas sobre
una superficie. Simbólicamente, la presión (𝑃) está dada por,
𝑃 =𝐹
𝐴 (8.6)
Donde (𝐴) es el área donde se aplica la fuerza (𝐹). En esta ecuación se entiende que la fuerza
actúa de forma normal (perpendicular) a la superficie.
199
Reescribiendo la ecuación anterior tenemos,
𝑃 =𝐹⊥
𝐴=
𝐹 cos 𝜃
𝐴 (8.7)
La presión es una cantidad escalar (sólo tiene magnitud) aunque la fuerza que la produce sea un
vector. La unidad de presión en el SI es el [𝑁/𝑚2] a la cual se le llama 𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 [𝑃𝑎].
El 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑝𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 [𝑘𝑃𝑎] es la unidad de medida más apropiada para la presión de fluidos.
Esta unidad se llama así en honor al científico y filósofo francés Blaise Pascal (1623-1662).
1 𝑃𝑎 = 1 𝑁/𝑚2
1 𝑘𝑃𝑎 = 1000 𝑁/𝑚2
La expresión matemática de la presión indica que cuanto mayor sea la fuerza aplicada, mayor
será la presión para una misma área; así pues, cuando la fuerza aumenta al doble, también la
presión se incrementa en la misma proporción, es decir, al doble; si la fuerza aumenta al triple,
la presión se incrementa al triple, siempre y cuando el área sobre la que actúa la fuerza no varíe.
Cuando se aplica una misma fuerza, pero el área aumenta, la presión disminuye de manera
inversamente proporcional al incremento de dicha área. Por tanto, si el área aumenta al
doble, la presión decrece a la mitad; si el área aumenta al doble, la presión decrece a la mitad;
si el área sube al triple, la presión baja a la tercera parte de su valor. Pero si el área en que actúa
una fuerza disminuye a la mitad, la presión aumenta al doble, y si el área se reduce a la tercera
parte de su valor, la presión se incrementa al triple. En conclusión, la fuerza es directamente
proporcional a la presión, y está es inversamente proporcional al área.
8.6 Ejercicio en Clase
Calcula la magnitud de la fuerza que debe aplicarse sobre un área de 𝟎. 𝟑 𝒎𝟐 para que
exista una presión de 𝟒𝟐𝟎 𝑵/𝒎𝟐.
8.4 PRESIÓN DEL FLUIDO
Es importante la diferencia entre cómo actúa la fuerza sobre un fluido y cómo lo hace sobre un
sólido. Ya que un sólido es un cuerpo rígido, puede soportar que se le aplique una fuerza sin
que cambie apreciablemente su forma. Por otra parte, un líquido puede soportar una fuerza
únicamente en una superficie o frontera cerrada.
200
Si el fluido no está restringido en su movimiento, empezará a fluir bajo el efecto del esfuerzo
constante, en lugar de deformarse elásticamente. La fuerza que ejerce un fluido sobre las
paredes del recipiente que lo contiene siempre actúa en forma perpendicular a esas
paredes (ver figura 8.3).
Ésta es una característica propia de los fluidos que hace que el concepto de presión sea muy útil.
Si se perforan agujeros a los lados y al fondo de un barril con agua, se demuestra que la fuerza
ejercida por el agua es en cualquier parte perpendicular a la superficie del barril. La presión es
una cantidad escalar; no tiene una dirección.
Fig. 8.3 Las fuerzas ejercidas por un fluido sobre las paredes de los recipientes que lo contiene son
perpendiculares en todos los puntos.
Al reflexionar un momento, se deduce que el líquido también ejerce una presión hacia arriba.
Cualquier persona que haya tratado de mantener una balsa por debajo de la superficie del agua
se convence de inmediato de la existencia de una presión hacia arriba. En realidad, nos damos
cuenta de que los fluidos ejercen presión en todas direcciones (ver figura 8.4).
Fig. 8.4 Los fluidos ejercen presión en todas direcciones.
201
Un fluido en reposo dentro de un recipiente se encuentra, en forma característica, en equilibrio
estático bajo las fuerzas perpendiculares de compresión que ejercen las paredes. Sin embargo,
es importante darse cuenta de que un líquido, en virtud de su fuerza interna de cohesión también
puede sostener una fuerza de tensión. Aunque por lo general los líquidos empujan hacia afuera,
también pueden tirar hacia dentro. La presión ejercida por un fluido se tomará como positiva
cuando el fluido se encuentra en compresión, que es el caso más frecuente.
Puesto que el peso del fluido que está por arriba de un punto en cuestión es proporcional a su
densidad, la presión a cualquier profundidad es también proporcional a la densidad del fluido.
Esto puede visualizarse considerando una columna rectangular de agua cuyas dimensiones van
desde la superficie hasta la profundidad (ℎ). El peso de la columna completa actúa sobre el área
(𝐴) en el fondo de la columna.
Fig. 8.5 Relación entre presión, densidad y profundidad.
Partiendo de la ecuación del peso especifico (𝐷 = 𝑊/𝑉), podemos escribir el peso de la
columna como,
𝑊 = 𝐷 𝑉 = 𝐷 𝐴 ℎ (8.8)
Donde (𝐷) es la densidad de peso del fluido. La presión (peso por unidad de área) a la
profundidad (ℎ) está dada por,
𝑃 =𝑊
𝐴= 𝐷 ℎ (8.9)
O bien, en términos de densidad,
𝑃 = 𝐷 ℎ = 𝜌 𝑔 ℎ (8.10)
La presión del fluido en cualquier punto es directamente proporcional a la densidad del
fluido y a la profundidad bajo la superficie del fluido.
8.5 MEDICIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO
La presión que se estudió anteriormente se debe únicamente al propio fluido y puede calcularse
a partir de la presión en términos de la densidad. Desafortunadamente, este caso no es el más
frecuente. Cualquier líquido en un recipiente abierto, por ejemplo, está sujeto a la presión
atmosférica además de la presión debida a su propio peso.
202
Ya que el líquido es relativamente incompresible, la presión externa de la atmósfera se trasmite
por igual a través del volumen del líquido. El primero en enunciar este hecho fue el matemático
francés Blas Pascal (1623-1662), y se conoce como Ley de Pascal.
Ley de Pascal:
Una presión externa aplicada a un fluido confinado se transmite uniformemente a través
del volumen del líquido.
La mayoría de los dispositivos que permiten medir la presión directamente miden en realidad la
diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica. El resultado obtenido se conoce
como la presión manométrica.
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑀𝑎𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 + 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝐴𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎
Se llama Presión Manométrica a la diferencia entre la presión absoluta o real y la presión
atmosférica. Se aplica tan solo en aquellos casos en los que la presión es superior a la presión
atmosférica, pues cuando esta cantidad es negativa se llama presión de vacío.
La Presión Atmosférica es la fuerza por unidad de superficie que ejerce el aire que forma
la atmósfera sobre la superficie terrestre. La presión atmosférica al nivel del mar es de
1013.25 ℎ𝑃𝑎 (ver figura 8.6).
Fig. 8.6 Variación de la presión atmosférica por diferencia de altura.
Debido a que la presión atmosférica participa en gran número de cálculos, con frecuencia se usa
la unidad de presión 𝟏 𝒂𝒕𝒎𝒐𝒔𝒇é𝒓𝒂 (𝒂𝒕𝒎), definida como la presión media que la atmósfera
ejerce al nivel del mar, es decir 𝟏𝟎𝟏𝟑. 𝟐𝟓 𝒉𝑷𝒂.
Fig. 8.7 Manómetro de tubo abierto. La presión se mide por la altura h de la columna de mercurio.
203
Un aparato muy común para medir la presión manométrica es el manómetro de tubo
abierto (ver figura 8.7). El manómetro consiste en un tubo en forma de U que contiene un
líquido, que generalmente es mercurio. Cuando ambos extremos del tubo están abiertos,
el mercurio busca su propio nivel ya que se ejerce 1 𝑎𝑡𝑚 de presión en cada uno de los extremos
abiertos. Cuando uno de los extremos se conecta a una cámara presurizada, el mercurio se eleva
en el tubo abierto hasta que las presiones se igualan. La diferencia entre los dos niveles de
mercurio es una medida de la presión manométrica: la diferencia entre la presión absoluta en la
cámara y la presión atmosférica en el extremo abierto. El manómetro se usa con tanta
frecuencia en situaciones de laboratorio que la presión atmosférica y otras presiones se
expresan a menudo en centímetros de mercurio.
Fig. 8.8 Barómetro de Mercurio.
Por lo general, la presión atmosférica se mide en el laboratorio con un barómetro de mercurio
(ver figura 8.8). El barómetro de mercurio es un tubo de vidrio cerrado en un extremo que
se llena de mercurio y mide la presión atmosférica. El extremo abierto se tapa y el tubo se
invierte en una cubeta de mercurio. Si no se tapa el extremo abierto, el mercurio fluye hacia
afuera del tubo hasta que la presión ejercida por la columna de mercurio equilibra exactamente
la presión atmosférica que actúa sobre el mercurio de la cubeta.
8.7 Ejercicio en Clase
Para medir la presión manométrica del interior de un cilindro con gas se utilizó un
manómetro de tubo abierto. Al medir la diferencia entre los dos niveles de mercurio se
encontró un valor de 𝟏𝟓 𝒄𝒎 𝒅𝒆 𝑯𝒈. Determinar la presión absoluta que hay dentro del
cilindro en: a) 𝒎𝒎 𝒅𝒆 𝑯𝒈, b) 𝒄𝒎 𝒅𝒆 𝑯𝒈 y c) 𝑵/𝒎𝟐.
204
El tipo más sencillo de barómetro lo propuso por primera vez el físico italiano Evangelista
Torricelli (1608-1647) en 1643. Para ello, llenó de mercurio un tubo de vidrio de casi un metro
de longitud cerrado por un extremo, tapó con su dedo el extremo abierto, invirtió el tubo y lo
introdujo en la superficie de mercurio contenido en una cuba. Al retirar su dedo observó que el
líquido descendía del tubo hasta alcanzar un equilibrio a una altura de 76 𝑐𝑚 sobre la superficie
libre de mercurio. La fuerza que equilibra e impide, el descenso de la columna de mercurio en
el tubo, es la que ejerce la presión atmosférica sobre la superficie libre del mercurio, y es la
misma que recibe el tubo vidrio por su extremo abierto.
Al conocer el experimento de Torricelli al nivel del mar, Pascal supuso que si la presión
atmosférica tenía su origen en el peso del aire que envolvía a la Tierra, la presión barométrica
sería menor a mayor altura. Al experimentar a una altura mayor se comprobó que la columna de
mercurio descendía a menos de 76 𝑐𝑚 en el tubo de vidrio; este experimento comprobó la
hipótesis de Pascal.
Puesto que la presión en el tubo sobre la columna de mercurio es cero, la altura de la columna
por arriba del nivel del mercurio en la cubeta indica la presión atmosférica. Al nivel del mar,
una presión atmosférica de 101.3 𝑘𝑃𝑎 hará que el nivel del mercurio en el tubo se estabilice a
una altura de 76 𝑐𝑚. En resumen, podemos escribir las siguientes medidas equivalentes de la
presión atmosférica,
1 𝑎𝑡𝑚 = 101.3 𝑘𝑃𝑎 = 76 𝑚𝑚 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜
El funcionamiento de un barómetro se basa en la relación directa entre la diferencia de
altura y la presión atmosférica que empuja hacia abajo sobre el fluido en el tazón.
Para ver la relación, observamos que la presión en el vacío en la parte superior del tubo es cero.
En consecuencia, la presión en el tubo a una profundidad (ℎ) por abajo del vacío es,
0 + 𝜌 𝑔 ℎ = 𝜌 𝑔 ℎ (8.11)
Ahora, el nivel del fluido en el tazón se sabe que la presión es 1 atmósfera, o presión atmosférica.
En consecuencia, se infiere que,
𝑃𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 = 𝜌 𝑔 ℎ (8.12)
Por tanto, una medición de la diferencia de altura (ℎ) proporciona de inmediato la presión
atmosférica. El mercurio es un fluido que se utiliza con frecuencia en un barómetro; la densidad
del mercurio es 𝜌 = 1.3595 × 104 𝑘𝑔/𝑚3. La altura de una columna de mercurio a presión
atmosférica normal es,
ℎ =𝑃𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎
𝜌 𝑔=
(1.013 × 105 𝑃𝑎)
(1.3595 × 104 𝑘𝑔/𝑚3)(9.81 𝑚/𝑠2)= 760 𝑚𝑚 (8.13)
Las unidades en el resultado anterior, milímetros de mercurio (𝑚𝑚𝐻𝑔), se utiliza para definir
la presión atmosférica normal,
1 𝑎𝑡𝑚ó𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 𝑃𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 = 760 𝑚𝑚𝐻𝑔 (8.14)
En la tabla 8 observamos diversas unidades en las que puede expresarse la presión atmosférica.
205
Tabla 8. Presión Atmosférica.
1 𝑎𝑡𝑚ó𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑃𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎
760 𝑚𝑚𝐻𝑔
14.7 𝑙𝑏/𝑖𝑛2
101 𝑘𝑃𝑎
101 𝑘𝑁/𝑚2
~ 1 𝑏𝑎𝑟 100 𝑘𝑃𝑎
En consecuencia, la presión atmosférica se debe al peso del aire sobre la cabeza que empuja
hacia abajo. A mayor elevación hay menos aire por arriba de uno, y la presión del aire es menor.
Si se cambia la elevación en forma rápida, como en un automóvil o un avión, el resultado es un
cambio rápido en la presión del aire. Con frecuencia esto ocasiona que se tapen los oídos
conforme se ajustan al cambio. La Presión Absoluta es la presión de un fluido medido con
referencia al vacío perfecto o cero absoluto (presión nula que se obtendría en el caso ideal
de la ausencia total de moléculas). La presión absoluta es cero únicamente cuando no existe
choque entre las moléculas lo que indica que la proporción de moléculas en estado gaseoso o la
velocidad molecular es muy pequeña. Este término se creó debido a que la presión atmosférica
varia con la altitud y muchas veces los diseños se hacen en otros países a diferentes altitudes
sobre el nivel del mar por lo que un término absoluto unifica criterios. Toma como medida el
cero absoluto y como su nombre lo indica por debajo de ella no existe ninguna presión negativa,
o sea que todas las presiones son positivas o arriba de cero. Estas mediciones se realizan
habitualmente solo para cálculos teóricos.
Fig. 8.9 El concepto de presión absoluta se aplica al valor de presión referido al cero absoluto o vacío.
8.8 Ejercicio en Clase
Se bombea agua con una presión de 𝟐𝟓 × 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝒎𝟐. ¿Cuál será la altura máxima a la
que puede subir el agua por la tubería si se desprecian las pérdidas de presión?
206
8.6 PRENSA HIDRÁULICA (PRINCIPIO DE PASCAL)
La aplicación más frecuente del Principio de Pascal es la prensa hidráulica (ver figura 8.10).
De acuerdo con Pascal, una presión aplicada al líquido en la columna izquierda se transmitirá
íntegramente al líquido de la columna de la derecha.
Fig. 8.10 Distribución hidráulica que se puede utilizar para aumentar una fuerza (𝐹𝑖). Sin embargo,
el trabajo realizado no se aumenta y es el mismo para las fuerzas de entrada y de salida.
Por lo tanto, si una fuerza de entrada 𝐹𝑖 actúa sobre un émbolo de área 𝐴𝑖, causará una fuerza
de salida 𝐹𝑜 que actúa sobre un émbolo de área 𝐴𝑜de modo que,
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
∆𝑝 =𝐹𝑖
𝐴𝑖=
𝐹𝑜
𝐴𝑜 (8.15)
La ventaja mecánica ideal de tal dispositivo es igual a la relación de la fuerza de salida con
respecto a la fuerza de entrada. Simbólicamente escribimos,
𝑀𝐼 =𝐹𝑜
𝐹𝑖=
𝐴𝑜
𝐴𝑖 (8.16)
Una pequeña fuerza de entrada puede ser multiplicada para producir una fuerza de salida mucho
mayor utilizando simplemente un émbolo de salida con un área mucho mayor que la del émbolo
de entrada. La fuerza de salida está dada por,
𝐹𝑜 = 𝐹𝑖
𝐴𝑜
𝐴𝑖 (8.17)
Esta ecuación muestra la fuerza de salida (𝐹𝑜) sobre la carga debe ser mayor que la fuerza de
entrada (𝐹𝑖), si 𝐴𝑜 > 𝐴𝑖 como se observa en la figura 6.9.
Si movemos el émbolo de entrada hacia abajo una distancia (𝑆𝑜), tal que el mismo volumen (𝑉)
del líquido incompresible se desplaza en ambos émbolos. Por tanto,
𝑉 = 𝐴𝑖 𝑆𝑖 = 𝐴𝑜 𝑆𝑜 (8.18)
207
Se puede reescribir,
𝑆𝑜 = 𝑆𝑖
𝐴𝑖
𝐴𝑜 (8.19)
Esto demuestra que, si 𝐴𝑜 > 𝐴𝑖, el émbolo de salida se mueve una distancia más corta de lo que
se mueve el émbolo de entrada. De las ecuaciones anteriores podemos escribir el trabajo de
salida como,
𝑊 = 𝐹𝑜 𝑆𝑜 = (𝐹𝑖
𝐴𝑜
𝐴𝑖) (𝑆𝑖
𝐴𝑖
𝐴𝑜) = 𝐹𝑖 𝑆𝑖 (8.20)
Lo cual demuestra que el trabajo (𝑊) realizado sobre el émbolo de entrada por la fuerza
aplicada es igual al trabajo (𝑊) realizado por el émbolo de salida al levantar la carga puesta
sobre él.
Con una palanca hidráulica, una fuerza dada que se aplique sobre una distancia dada
puede transformarse en una fuerza más grande aplicada sobre una distancia más corta.
Como el producto de fuerza y distancia continúa sin cambio, se realiza el mismo trabajo.
Sin embargo, a menudo hay ventajas muy grandes por tener capacidad para ejercer la fuerza
más grande. La mayoría de nosotros, por ejemplo, no podemos levantar un automóvil
directamente pero sí con un gato hidráulico, aunque tengamos que bombear la palanca más de
lo que se levanta el automóvil (ver figura 8.11). En este aparato, el desplazamiento (𝑆𝑖)
se obtiene no en un solo movimiento sino en una serie de pequeños movimientos.
Fig. 8.11 Diagrama de fuerzas de una prensa hidráulica.
El principio de la prensa hidráulica se aprovecha en múltiples dispositivos mecánicos y de
ingeniería. Entre los ejemplos más comunes son la dirección hidráulica de vehículos,
el gato hidráulico, los amortiguadores y el sistema de frenos de los automóviles.
En la figura 8.11 se observa el funcionamiento físico de un gato hidráulico. Aquí se observan
dos cilindros, uno con área transversal 𝐴𝑖 y el otro con áreas transversales 𝐴𝑜 > 𝐴𝑖.
Los cilindros, cada uno de los cuales está ajustado con un pistón, están conectados con un tubo
y llenos de un fluido. Al inicio, los pistones están al mismo nivel y expuestos a la atmósfera.
208
Suponemos que se empuja hacia abajo sobre el pistón 1 con la fuerza (𝐹𝑖). Esto aumenta la
presión en dicho cilindro por la cantidad,
∆𝑃 =𝐹𝑖
𝐴𝑖 (8.21)
De acuerdo con el Principio de Pascal, la presión en el cilindro 2 aumenta por la misma cantidad.
Por tanto, la creciente fuerza ascendente sobre el pistón 2 debida al aumento de presión del
fluido es,
𝐹𝑜 = (∆𝑝)𝐴𝑜 (8.22)
Al sustituir el aumento de presión a partir de ∆𝑃 = 𝐹𝑖/𝐴𝑖, se obtiene,
𝐹𝑜 = (∆𝑃)𝐴𝑜 =𝐹𝑖
𝐴𝑖𝐴𝑜 = 𝐹𝑖 (
𝐴𝑜
𝐴𝑖) (8.23)
Siendo más específicos, suponemos que 𝐴𝑜 es 100 veces mayor que 𝐴𝑖. Si se empuja hacia
abajo el pistón 1 con una fuerza 𝐹𝑖, el empuje hacia arriba sobre el pistón 2 será con una fuerza
𝐹𝑜 = 100𝐹𝑖. Podemos concluir que la fuerza (𝐹𝑖) se amplifico 100 veces.
8.9 Ejercicio en Clase
Se bombea agua con una presión de 𝟓𝟎 × 𝟏𝟎𝟖 𝑵/𝒎𝟐. ¿Cuál será la altura máxima a la
que puede subir el agua por la tubería despreciando las pérdidas de presión?
8.10 Ejercicio en Clase
Calcular el diámetro que debe tener el émbolo mayor de una prensa hidráulica para
obtener una fuerza de 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝑵, cuando el émbolo menor tiene un diámetro de 𝟏𝟎 𝒄𝒎 y
se aplica una fuerza de 𝟏𝟎𝟎 𝑵.
209
8.7 PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Se ha observado que los objetos o cuerpos cuando se encuentran sumergidos en agua parecen
perder peso. En realidad, el objeto puede incluso flotar en la superficie debido a la presión hacia
arriba ejercida por el agua. Un antiguo matemático griego, Arquímedes (287 − 212 𝐴. 𝐶. ),
fue el primero que estudió el empuje vertical hacia arriba ejercido por los fluidos. El principio
de Arquímedes se enuncia como sigue,
Un objeto que se encuentra parcial o totalmente sumergido en un fluido experimenta una
fuerza ascendente (empuje) igual en magnitud al peso del volumen del fluido desalojado.
El principio de Arquímedes se puede demostrar estudiando las fuerzas que ejerce el fluido sobre
un cuerpo que se encuentra suspendido en él. Consideramos un disco de área (𝐴) y de altura
(𝐻) que está totalmente sumergido en un fluido, como se observa en la figura 6.11. Recordemos
que la presión a cualquier profundidad (ℎ) en un fluido está dada por,
𝑃 = 𝜌𝑔ℎ (8.24)
Donde 𝜌 es la densidad de masa del fluido y 𝑔 es la aceleración de la gravedad. Por supuesto,
si se desea representar la presión absoluta dentro del fluido, se tiene que sumar también la
presión externa ejercida por la atmósfera. La presión total hacia abajo 𝑃1 ejercida sobre la parte
superior del disco (ver figura 6.11) es,
(Hacia abajo) 𝑃1 = 𝑃𝑎 + 𝜌𝑔ℎ1 (8.25)
Donde 𝑃𝑎 es la presión atmosférica y ℎ1 es la profundidad en la parte superior del disco.
En forma similar, la presión hacia arriba 𝑃2 en la parte inferior del disco es,
(Hacia arriba) 𝑃2 = 𝑃𝑎 + 𝜌𝑔ℎ2 (8.26)
Donde ℎ2 es la profundidad medida en la parte inferior del disco. Puesto que ℎ2 es mayor que
ℎ1, la presión registrada en la parte inferior del disco es mayor que la presión en su parte
superior, lo cual da por resultado una fuerza neta hacia arriba. Si representamos la fuerza hacia
abajo como 𝐹1 y la fuerza hacia arriba como 𝐹2, podemos escribir,
𝐹1 = 𝑃1 𝐴 (8.27)
𝐹2 = 𝑃2 𝐴 (8.28)
La fuerza neta hacia arriba ejercida por el fluido sobre el disco se llama empuje y está dada por,
𝐹𝐵 = 𝐹2 − 𝐹1 = 𝐴(𝑃2 − 𝑃1) (8.29)
𝐹𝐵 = 𝐴(𝑃𝑎 + 𝜌𝑔ℎ2 − 𝑃𝑎 − 𝜌𝑔ℎ1) = 𝐴𝜌𝑔(ℎ2 − ℎ1) (8.30)
𝐹𝐵 = 𝐴𝜌𝑔𝐻 (8.31)
210
Donde 𝐻 = ℎ2 − ℎ1 es la altura del disco. Finalmente, si recordamos que el volumen del disco
es 𝑉 = 𝐴 𝐻, obtenemos,
𝐹𝐵 = 𝑉𝜌𝑔 = 𝑚𝑔 (8.32)
𝐸𝑚𝑝𝑢𝑗𝑒 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑙𝑜𝑗𝑎𝑑𝑜
Lo cual define el principio de Arquímedes.
Al aplicar este resultado debemos recordar que la ecuación anterior nos permite calcular
únicamente el empuje ocasionado por la diferencia de presiones. No representa en realidad la
fuerza resultante. Un cuerpo se sumergirá si el peso del fluido desalojado (el empuje) es menor
que el peso de dicho cuerpo. Si el peso del fluido desalojado es exactamente igual al peso del
cuerpo sumergido, éste ni se hunde ni se va para arriba.
Fig. 8.12 El empuje que se ejerce sobre el disco es igual al peso del fluido que se desaloja.
En este caso, el cuerpo estará equilibrado. Si el peso del fluido desalojado excede al peso del
cuerpo sumergido, el cuerpo se elevará hasta la superficie y flotará. Cuando el cuerpo flota
y alcanza el equilibrio en la superficie, desplazará su propio peso del líquido.
Sorprendentemente, la fuerza de flotación no depende de la profundidad general del objeto
sumergido. En otras palabras, mientras que el cuerpo se encuentre totalmente sumergido,
llevarlo cada vez a mayor profundidad, no cambiará la fuerza de flotación.
8.11 Ejercicio en Clase
Una estatua antigua de 𝟕𝟎 𝒌𝒈 se encuentra en el fondo del mar. Su volumen es de
𝟑. 𝟎 × 𝟏𝟎𝟒 𝒄𝒎𝟑. ¿Qué fuerza se necesita para levantarla?
211
Esto puede parecer extraño, ya que la presión aumenta conforme desciendes a mayor
profundidad. Pero la idea principal es que tanto la presión sobre la parte superior del
cuerpo como la presión sobre la parte inferior se incrementarán en la misma cantidad,
cancelándose y dejando igual la fuerza de flotación. Algo puede sonar que está mal en todo
esto. Algunos objetos definitivamente se hunden, pero se acaba de probar que hay una fuerza
dirigida hacia arriba sobre cada objeto sumergido.
Bajo estos cuestionamientos podemos hacernos la pregunta ¿Cómo puede hundirse un objeto si
hay una fuerza dirigida hacia arriba sobre él? Definitivamente hay una fuerza de flotación
dirigida hacia arriba en cada objeto sumergido, aún en aquellos que se hunden. En los objetos
que se hunden, el peso es mayor que la fuerza de flotación. Si su peso fuera menor que la fuerza
de flotación que actúa sobre ellos, flotarían. Si la densidad de un objeto completamente
sumergido (sin importar su forma) es mayor que la densidad del fluido en el que se encuentra,
el objeto se hundirá. Podemos concluir con tres condiciones:
• Un objeto flota en un fluido, si su densidad promedio es MENOR que la densidad del
fluido (𝜌0 < 𝜌𝑓).
• Un objeto se hunde en un fluido, si su densidad promedio es MAYOR que la densidad
del fluido (𝜌0 > 𝜌𝑓).
• Un objeto está en equilibrio a cualquier profundidad sumergida en un fluido, si su
densidad promedio es IGUAL a la densidad del fluido (𝜌0 = 𝜌𝑓).
Estas tres condiciones también son válidas para un fluido en un fluido, si los dos son inmiscibles
(no se mezclan). Por ejemplo, pensaríamos que la crema es más pesada que la leche descremada,
pero no es así, la crema flota en la leche, así que es menos densa. En general, supondremos que
los objetos y fluidos tienen densidad uniforme y constante. En todo caso, en aplicaciones
prácticas lo que suele importar en cuanto a flotar o hundirse es la densidad promedio del objeto
o cuerpo.
Por ejemplo, un trasatlántico es en promedio menos denso que el agua, aunque esté hecho de
acero. Casi todo su volumen está lleno de aire, así que la densidad promedio del trasatlántico es
menor que la del agua (ver figura 8.13).
Fig. 8.13 Fuerza de flotabilidad en un trasatlántico.
212
El cuerpo humano tiene espacios llenos de aire, por lo que casi todos flotamos en el agua.
La profundidad superficial a la que una persona flota depende de su densidad (ver figura 8.14).
Fig. 8.14 Flotabilidad del cuerpo humano.
En algunos casos, se varía adrede la densidad total de un objeto. Por ejemplo, un submarino se
sumerge inundando los tanques con agua de mar para aumentar su densidad promedio.
Cuando el submarino debe emerger, con bombas expulsa el agua de los tanques, para que su
densidad media sea menor que la del agua de mar circundante (ver figura 8.15).
Fig. 8.15 Funcionamiento de la flotabilidad de un submarino.
Retomando el ejemplo del submarino, para conocer cómo funciona un submarino se necesita
una comprensión básica del principio de Arquímedes. Este principio establece que la magnitud
de la fuerza de flotación siempre es igual al peso del fluido desplazado por el objeto.
La fuerza de empuje es la fuerza ejercida por el agua sobre cualquier objeto sumergido,
como un submarino. Lo que esto significa es que para que el submarino pueda flotar, la fuerza
de flotación tiene que ser igual al peso del submarino.
213
En otras palabras, la densidad del submarino tiene que ser igual a la densidad del agua a su
alrededor para que flote. Se tiene que ser capaz de controlar la densidad del submarino para
que pueda emerger y sumergirse a voluntad. Con un conocimiento básico de la fuerza de
flotación, el submarino controla su densidad. Esto se hace con tanques en el exterior del
submarino llamado tanques de lastre.
Cuando el submarino está en la superficie, los tanques de lastre se llenan de aire, por lo que la
densidad global es menor que la del agua circundante. En una situación de inmersión,
los tanques de lastre se inundan con agua y el aire se ventila al exterior haciendo que la densidad
total sea mayor a la del agua y causando que el submarino tienda a hundirse. Los tanques
de lastre están abiertos para que el agua salga todo el tiempo, pero cuando los orificios
de ventilación están cerrados no pueden entrar agua porque el aire no puede salir.
Cuando un submarino necesita ir a la superficie, necesita disminuir su densidad de modo
que la fuerza de flotación que empuja hacia arriba sea mayor que el peso que tira hacia
abajo. Esto se da con el cierre de las rejillas de ventilación y bombeo de aire comprimido en los
tanques de lastre con el fin de forzar el agua a salir.
Fig. 8.16 Flotabilidad de barcos y submarinos.
214
8.12 Ejercicio en Clase
Considera dos cubetas idénticas llenas de agua hasta el borde. Una cubeta contiene sólo
agua, mientras que la otra contiene además una pieza de madera flotando en ella.
¿Cuál tiene el mayor peso? Explica.
8.13 Ejercicio en Clase
Cuando una corona cuya masa es de 𝟏𝟒. 𝟕 𝒌𝒈 está sumergida en agua, una balanza
exacta indica sólo 𝟏𝟑. 𝟒 𝒌𝒈. ¿Determina si está hecha de oro la corona?
8.14 Ejercicio en Clase
Un geólogo encuentra que una roca lunar cuya masa es de 𝟗. 𝟐𝟖 𝒌𝒈 tiene una masa
aparente de 𝟔. 𝟏𝟖 𝒌𝒈 cuando está sumergida en agua. ¿Cuál es la densidad de la roca?
215
8.15 Ejercicio en Clase
Resuelve los problemas y registra los resultados numéricos en el crucigrama, si las
soluciones son correctas las operaciones indicadas se deberán cumplir. A cada casilla le
corresponde un dígito.
1
+ 2
= 3
+ x +
4 x
5 =
6
= = =
7 x
8 =
9
1. Una prensa hidráulica tiene un cilindro de entrada de 2.5 𝑐𝑚2 de área y uno de salida
de 25 𝑐𝑚2. Si se supone un 100 % de eficiencia, encuentra la fuerza que el pistón de
entrada ejerce cuando sobre el de salida de 25 𝑐𝑚2 actúa una fuerza de 100 𝑁.
2. Una prensa hidráulica tiene un cilindro de entrada de 4 𝑐𝑚2 de área y uno de salida
de 40 𝑐𝑚2. Si la prensa tiene una eficiencia de 100 %, calcula la fuerza que el pistón
de entrada ejerce cuando sobre el de salida actúa una fuerza de 100 𝑁. 3. Las secciones transversales de los émbolos de una prensa hidráulica son
𝐴1 = 100 𝑐𝑚2 y 𝐴2 = 10 𝑐𝑚2. Si se aplica al émbolo pequeño una fuerza
𝐹2 = 2.0 𝑁, ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el otro?
4. Las secciones transversales de los émbolos de una prensa hidráulica son
𝐴1 = 1000 𝑐𝑚2 y 𝐴2 = 500 𝑐𝑚2. Si se aplica al émbolo grande una fuerza
𝐹1 = 80 𝑁, ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el otro émbolo?
5. Las fuerzas que actúan sobre los émbolos de una prensa hidráulica son 𝐹1 = 120 𝑁
y 𝐹2 = 20 𝑁. Si el émbolo sobre el que actúa 𝐹2 tiene un área de 1 𝑐𝑚2, ¿Cuál es el
área de la sección transversal del otro émbolo?
6. Las secciones transversales de los émbolos de una prensa hidráulica son:
𝐴1 = 100 𝑐𝑚2 y 𝐴2 = 1 𝑐𝑚2. Si se le aplica al émbolo pequeño una fuerza de 2.4 𝑁,
¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante sobre el otro émbolo?
7. ¿Las secciones rectas de los émbolos de una prensa hidráulica son 𝐴1 = 1000 𝑐𝑚2
y 𝐴2 = 20 𝑐𝑚2. Si se aplica al émbolo menor una fuerza de 1 𝑁 , ¿Cuál es la fuerza
resultante sobre el otro?
8. Las secciones transversales de los émbolos de una prensa hidráulica tienen las
siguientes áreas: 𝐴1 = 120 𝑐𝑚2 y 𝐴2 = 20 𝑐𝑚2. ¿Cuántas veces es mayor la fuerza
aplicada sobre el émbolo grande con respecto a la aplicada al pequeño?
9. En un sistema de frenado, una prensa hidráulica, las secciones transversales son
𝐴1 = 18.75 𝑐𝑚2 y 𝐴2 = 0.25 𝑐𝑚2. Si se le aplica al émbolo pequeño una fuerza
𝐹2 = 4 𝑁, ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el émbolo grande?
216
LO QUE HEMOS APRENDIDO • Se denomina fluido a un tipo de medio continúo formado
por alguna sustancia entre cuyas moléculas solo hay una
fuerza de atracción débil.
• Los líquidos y gases se conocen como fluidos por que
fluyen libremente y tienden a llenar los recipientes que los
contienen.
• Los líquidos son incompresibles debido a que su volumen
no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes.
• Un sistema se define como la parte del universo objeto de
estudio. Es cualquier objeto (o conjunto de objetos) que
se somete a consideración. Todo lo demás en el universo
constituye su ambiente o entorno.
• El peso específico (𝐷) de un cuerpo se define como la
relación de su peso (𝑊) entre su volumen (𝑉). 𝐷 =
𝑊
𝑉 (8.1)
• La densidad o masa específica (𝜌) de un cuerpo se define
como la relación de su masa (𝑚) con respecto a su
volumen (𝑉).
𝜌 =𝑚
𝑉 (8.3)
• La relación entre peso específico y densidad se determina
a partir de que 𝑊 = 𝑚𝑔. 𝐷 =
𝑚𝑔
𝑉= 𝜌𝑔 (8.5)
• La gravedad específica de una sustancia se define como
la relación de su densidad con respecto a la densidad del
agua a 4 ℃ (1000 𝑘𝑔/𝑚3).
• A la fuerza normal por unidad de área se le llama presión,
es decir, es la fuerza que ejerce un sólido, líquido o gas
sobre una superficie. 𝑃 =
𝐹
𝐴 (8.6)
• La fuerza que ejerce un fluido sobre las paredes del
recipiente que lo contiene siempre actúa en forma
perpendicular a esas paredes.
• La presión ejercida por un fluido se tomará como positiva
cuando el fluido se encuentra en compresión, que es el
caso más frecuente.
• Ley de Pascal: Una presión externa aplicada a un fluido
confinado se transmite uniformemente a través del
volumen del líquido.
• Se llama Presión Manométrica a la diferencia entre la
presión absoluta o real y la presión atmosférica.
• La Presión Atmosférica es la fuerza por unidad de
superficie que ejerce el aire que forma la atmósfera sobre
la superficie terrestre.
• La Presión Absoluta es la presión de un fluido medido con
referencia al vacío perfecto o cero absoluto (presión nula
que se obtendría en el caso ideal de la ausencia total de
moléculas).
• Con una palanca hidráulica, una fuerza dada que se
aplique sobre una distancia dada puede transformarse en
una fuerza más grande aplicada sobre una distancia más
corta.
• Un objeto que se encuentra parcial o totalmente
sumergido en un fluido experimenta una fuerza
ascendente (empuje) igual en magnitud al peso del
volumen del fluido desalojado.
𝐹𝐵 = 𝑉𝜌𝑔 = 𝑚𝑔 (8.32)
• La fuerza de flotación no depende de la profundidad
general del objeto sumergido.
217
Problema 8.1
El manómetro de mercurio se usa para medir la presión de un gas dentro de un tanque.
Si la diferencia entre los dos niveles de mercurio es de 𝟑𝟔 𝒄𝒎, ¿Cuál es la presión absoluta
dentro del tanque?
𝑅 = 149 𝑘𝑃𝑎
Problema 8.2
Una prensa hidráulica tiene un émbolo de entrada de 𝟓 𝒄𝒎 de diámetro y un émbolo de
salida de 𝟔𝟎 𝒄𝒎 de diámetro. ¿Qué fuerza de entrada se requiere para proporcionar una
fuerza total de salida capaz de levantar un automóvil de 𝟗𝟓𝟎 𝒌𝒈?
𝑅 = 64.7 𝑁
Problema 8.3
Un corcho tiene un volumen de 𝟒 𝒄𝒎𝟑 y una densidad de 𝟐𝟎𝟕 𝒌𝒈/𝒎𝟑. a) ¿Qué volumen
del corcho se encuentra bajo la superficie cuando el corcho flota en agua? b) ¿Qué fuerza
hacia abajo es necesaria para sumergir el corcho por completo?
a) 𝑅 = 0.828 𝑐𝑚3
b) 𝑅 = 31.1 × 10−3𝑁
Problema 8.4
Un globo meteorológico requiere operar a una altitud donde la densidad del aire es
𝟎. 𝟗 𝒌𝒈/𝒎𝟑. A esta altitud, el globo tiene un volumen de 𝟐𝟎 𝒎𝟑y está lleno de helio
(𝒑𝑯𝒆 = 𝟎. 𝟏𝟕𝟖 𝒌𝒈/𝒎𝟑). Si la bolsa del globo pesa 𝟏𝟏𝟖 𝐍, ¿Qué carga es capaz de soportar
a este nivel?
𝑅 = 53.1 𝑁
Problema 8.5
El agua fluye a través de una manguera de hule de 𝟐 𝒄𝒎 de diámetro a una velocidad de
𝟒 𝒎/𝒔. a) ¿Qué diámetro debe tener el corcho si el agua sale a 𝟐𝟎 𝒎/𝒔? b) ¿Cuál es el
gasto en metros cúbicos por minuto?
a) 𝑅 = 0.894 𝑐𝑚
b) 𝑅 = 0.0754 𝑚3 𝑚𝑖𝑛⁄
Problema 8.6
La presión del agua en una casa es de 𝟏𝟔𝟎 𝒍𝒃/𝒊𝒏𝟐 ¿A qué altura debe estar el nivel del
agua del recipiente de almacenamiento por encima de la toma de agua de la casa?
𝑅 = 369 𝑓𝑡 = 112.4 𝑚
218
Problema 8.7
Suponga que dos recipientes se llenan con gasolina hasta que el nivel del fluido es de
𝟐𝟎 𝒄𝒎 por arriba de la base de cada recipiente. Las áreas de las bases de los recipientes
A y B son de 𝟐𝟎 𝒄𝒎𝟐 y de 𝟏𝟎 𝒄𝒎𝟐, respectivamente. Compare la presión y la fuerza total
sobre la base de cada recipiente.
𝑅 = 1330 𝑃𝑎; 2.67 Ν; 1.33 Ν Problema 8.8
Un tanque cilíndrico de gasolina tiene 𝟑 𝒎 de longitud y 𝟏. 𝟐 𝒎 de diámetro. ¿Cuántos
kilogramos de gasolina es capaz de almacenar el tanque?
𝑅 = 2306 𝑘𝑔
Problema 8.9
Un zapato de golf tiene 𝟏𝟎 tacos, cada uno con un área de 𝟔. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟔 𝒎𝟐 en contacto con
el piso. Suponga que, al caminar, hay un instante en que los 𝟏𝟎 tacos soportan el peso
completo de una persona de 𝟖𝟎 𝒌𝒈. ¿Cuál es la presión ejercida por los tacos sobre el
suelo?
𝑅 = 12.1 𝑀𝑃𝑎
Problema 8.10
Una prensa hidráulica tiene un émbolo de entrada de 𝟓 𝒄𝒎 de diámetro y un émbolo
de salida de 𝟔𝟎 𝒄𝒎 de diámetro ¿Qué fuerza de entrada se requiere para proporcionar
una fuerza total de salida capaz de levantar un automóvil de 𝟗𝟓𝟎 𝒌𝒈?
𝑅 = 64.7 𝑁
Problema 8.11
Por un tubo Venturi fluye agua a una velocidad de 𝒗𝟏 = 𝟒 𝒎/𝒔 . Si h = 8 cm ¿Cuál será
la velocidad de salida 𝒗𝟐cuando fluye hacia el tubo más grande?
𝑅 = 3.80 𝑚/𝑠
Problema 8.12
Una hendidura en un tanque de agua tiene un área de sección transversal de 𝟏 𝒄𝒎𝟐.
¿Con qué rapidez sale el agua del tanque si el nivel del agua en éste, es de 𝟒 𝒎 sobre la
abertura?
𝑅 = 8.85 × 10−4 𝑚3 𝑠⁄
Problema 8.13
Una joven que pesa 𝟓𝟑𝟒 𝑵 (𝟏𝟐𝟎 𝒍𝒃) camina hacia su habitación calzada con zapatos tenis.
Después se calza unas zapatillas con tacón de aguja. El área de la sección del tacón de su
zapato tenis es de 𝟔𝟎 𝒄𝒎𝟐, y el área del tacón de sus zapatillas es 𝟏 𝒄𝒎𝟐. Para cada par de
zapatos, encuentre la presión promedio originada por el área de contacto entre el tacón y
el piso cuando todo el peso de la joven se apoya en un tacón.
𝑅 = 89 𝑘𝑃𝑎; 5.34 𝑀𝑃𝑎
219
Problema 8.14
En un elevador hidráulico el radio del pistón más pequeño es de 𝟐 𝒄𝒎 y el radio del pistón
más grande de 𝟐𝟎 𝒄𝒎 ¿Cuánto peso puede soportar el pistón más grande cuando se aplica
una fuerza de 𝟐𝟓𝟎 𝑵 al pistón más pequeño?
𝑅 = 25 𝑘𝑁
Problema 8.15
Una pequeña estatua con la forma de halcón tiene un peso de 𝟐𝟒. 𝟏 𝑵. Su propietario
afirma que está hecha de oro macizo. Cuando la estatua se sumerge por completo en un
recipiente totalmente lleno de agua, el peso del agua que se derrama y se recoge en un
balde, es de 𝟏. 𝟐𝟓 𝑵. Halle la densidad y la gravedad específica del metal. ¿Es consistente
la densidad con la afirmación de que el halcón es de oro macizo?
𝑅 = 1.928 × 104 𝑘𝑔 𝑚3⁄ ; 19.28; 𝑒s de oro
Problema 8.16
¿Qué porcentaje del volumen de un iceberg flotante se encuentra arriba de la superficie
del agua? La gravedad específica del hielo es 𝟎. 𝟗𝟏𝟕 y la gravedad específica del agua de
mar que lo rodea es 𝟏. 𝟎𝟐𝟓.
𝑅 = 89.5 %
Problema 8.17
Una buceadora nada hasta una profundidad de 𝟑. 𝟐 𝒎 en un lago de agua dulce. ¿Cuál es
el aumento en la fuerza de empuje sobre su tímpano, comparada con la que tenía en la
superficie del lago? El área del tímpano es 𝟎. 𝟔𝟎 𝒄𝒎𝟐.
𝑅 = 1.882 𝑁
Problema 8.18
Un cardiólogo informa a una paciente que el radio de la arteria descendiente anterior
izquierda de su corazón se ha estrechado un 𝟏𝟎 %. ¿Qué aumento en el porcentaje de la
caída de presión sanguínea, a través de la arteria, se requiere para conservar el flujo
sanguíneo normal a través de esta arteria?
𝑅 = 52 %
Problema 8.19
Un barril lleno de agua de lluvia tiene una válvula cerca del fondo, a una profundidad de
𝟎. 𝟖𝟎 𝒎 por debajo de la superficie del agua. a) Cuando la válvula está dirigida
horizontalmente y se abre, ¿qué tan rápido sale el agua? b) Si la abertura apunta hacia
arriba. ¿Qué tan alto llega el chorro de la fuente resultante?
a) 𝑅 = 3.90 𝑚/𝑠
b) la fuente no alcanza la altura que tenía el nivel original del agua
220
Problema 8.20
Un medidor de Venturi mide la rapidez de un fluido dentro de un tubo. Se hace un
estrechamiento (con un área transversal 𝑨𝟐) en un tubo de área transversal normal 𝑨𝟏.
De ese tubo salen dos tubos verticales, abiertos hacia la atmósfera, que se elevan desde dos
puntos, uno de los cuales está en el estrechamiento. Los tubos verticales funcionan como
manómetros, hacen posible que se determine la presión. A partir de esta información se
puede determinar la rapidez del flujo del tubo. Suponga que el tubo en cuestión transporta
agua, 𝑨𝟏 = 𝟐 𝑨𝟐 , y que las alturas del fluido en los tubos verticales son 𝒉𝟏 = 𝟏. 𝟐𝟎 𝒎
y 𝒉𝟐 = 𝟎. 𝟖𝟎 𝒎. a) Halle la razón de la rapidez de flujo en ambos, 𝒗𝟐 𝒗𝟏.⁄ b) Calcule las
presiones manométricas 𝑷𝟏 𝒚 𝑷𝟐. c) Halle la rapidez del flujo 𝒗𝟏 en el tubo.
a) 𝑅 = 2
b) 𝑅 = 11.76 𝑘𝑃𝑎; 7.84 𝑘𝑃𝑎
c) 𝑅 = 1.617 𝑚/𝑠
221
CUESTIONARIO I
1. Define el concepto de Fluido.
2. ¿Cuál es la diferencia entre sólido, líquido y gaseoso?
3. ¿A qué se le llama fluido ideal?
4. Escribe tres propiedades de los fluidos.
5. ¿Qué son las fuerzas de cohesión?
6. ¿Los fluidos son compresibles? ¿Por qué?
7. ¿Qué sucede en los líquidos con las fuerzas intermoleculares?
8. Explica el concepto de Fuerzas Intermoleculares.
9. Define el concepto de Sistema.
10. ¿Cuál es la diferencia entre sistema cerrado, abierto y aislado?
11. Define el concepto de Densidad.
12. ¿Cuál es la relación entre densidad, masa y volumen?
13. Define el concepto de Gravedad Específica.
14. Define el concepto de Masa Específica.
15. Escribe la diferencia entre densidad y viscosidad.
222
CUESTIONARIO II
1. Define el concepto de Presión
2. ¿Cuál es la relación entre fuerza, área y presión?
3. ¿En qué dirección es la fuerza ejercida por un fluido sobre las paredes de un
recipiente?
4. ¿En qué momento la presión de un fluido se toma como positiva?
5. ¿Como es la relación entre presión, densidad y volumen?
6. Define la Ley de Pascal.
7. ¿Cuál es la diferencia entre presión absoluta, manométrica y atmosférica?
8. ¿Como es la relación entre Altitud y Presión Atmosférica?
9. Explica el funcionamiento de un manómetro de tubo abierto.
10. ¿Cómo funciona el barómetro de mercurio?
11. ¿Por qué se usa el mercurio en el barómetro?
12. ¿1 𝑎𝑡𝑚 a cuantos milímetros de mercurio equivale? ¿Como se calcula el valor?
13. ¿Cuál es la relación entre la presión absoluta y el cero absoluto?
14. Define el Principio de Pascal.
15. ¿Como se relaciona la Prensa Hidráulica y el Principio de Pascal?
223
CUESTIONARIO III
1. Explica el funcionamiento de la prensa hidráulica.
2. Define el Principio de Arquímedes.
3. Escribe un experimento sencillo que pueda demostrar el principio de Arquímedes.
4. Explica la Fuerza de Flotación.
5. ¿Cuál es la relación entre densidad y flotación?
6. Dibuja un diagrama de fuerzas de un objeto parcial y totalmente sumergido.
7. ¿Por qué el cuerpo humano flota?
8. Explica por qué flotan los barcos.
9. ¿Explica por qué los submarinos se hunden en el agua y los barcos no?
10. Define matemáticamente la fuerza neta ejercida hacia arriba por un fluido sobre un
objeto.
224
CUESTIONARIO IV
1. Se desea elevar un cuerpo de 1500 𝑘𝑔 utilizando una elevadora hidráulica de plato
grande circular de 90 𝑐𝑚 de radio y plato pequeño circular de 10 𝑐𝑚 de radio.
Calcula cuánta fuerza hay que hacer en el émbolo pequeño para elevar el cuerpo.
2. Sobre el plato menor de una prensa se coloca una masa de 16 𝑘𝑔. Calcula qué masa se
podría levantar colocada en el plato mayor, cuyo radio es el doble del radio del plato
menor.
3. ¿Qué proporción deberían guardar los platos de una prensa hidráulica para que,
aplicando 40 𝑁 de fuerza en el plato menor, podamos levantar un objeto de 80 𝑘𝑔 en el
plato mayor?
4. ¿Qué partes del interior de una prensa hidráulica se ven sometidas a una mayor presión
mientras aplicamos la fuerza en los émbolos?
5. Una mujer de 70 𝑘𝑔 que tiene un área total de impresión de sus pies de 400 𝑐𝑚2.
Quiere caminar sobre la nieve, pero ésta no soporta presiones mayores de 0.5 𝑘𝑃𝑎.
Determine el tamaño mínimo de los zapatos para nieve que ella necesita (área de
impresión por zapato) para que pueda caminar sobre la nieve.
6. Un manómetro de vacío conectado a una cámara da una lectura de 24 𝑘𝑃𝑎, en un lugar
donde la presión atmosférica es de 92 𝑘𝑃𝑎. Determine la presión absoluta en la cámara.
7. Se usa un manómetro para medir la presión del aire en un tanque. El fluido tiene una
gravedad específica de 1.25 y la diferencia de alturas entre los dos ramos del manómetro
es de 28 𝑖𝑛. La presión atmosférica local es de 12.7 𝑝𝑠𝑖. Determine la presión absoluta
en el tanque si el ramo del manómetro sujeto al tanque tiene el nivel del fluido a) más
alto y b) más bajo que otro ramo.
8. Determine la presión atmosférica en un lugar donde la lectura barométrica es de
750 𝑚𝑚𝐻𝑔. La densidad del mercurio es 13600 𝑘𝑔/𝑚3. La presión manométrica en
un líquido a una profundidad de 3 𝑚 es de 28 𝑘𝑃𝑎. Calcula la presión manométrica en
el mismo líquido a una profundidad de 12 𝑚.
9. La presión absoluta en agua a una profundidad de 5 𝑚 es de 145 𝑘𝑃𝑎.
Determine a) la presión atmosférica local y b) la presión absoluta, en la misma localidad,
a una profundidad de 5 𝑚 en un líquido cuya gravedad específica es de 0.85.
10. Calcula la fuerza obtenida en el émbolo mayor de una prensa hidráulica si en el menor
se hacen 15 𝑁 y los émbolos circulares tienen cuádruple radio uno del otro.
225
El agua de un rio en
movimiento. La dinámica
de fluidos estudia los
fluidos en movimiento y es
una de las ramas más
complejas de la mecánica.
Cada gota de fluido cumple
con las leyes del
movimiento de Newton.
¿Cómo se estudian los fluidos en movimiento?
Estamos acostumbrados a ver el agua en movimiento en ríos, canales y tuberías.
Asimismo, reconocemos que otros líquidos, como el petróleo, se llevan de un lugar a otro
a través de oleoductos. De la misma manera, el gas que utilizas en casa como combustible para
calentar los alimentos corre del tanque de gas a la estufa por medio de una tubería de cobre.
También hemos observado que las ramas de los árboles se mueven cuando hay mucho viento
o incluso presenciando fenómenos de tal magnitud como los huracanes. En general, no es fácil
analizar el movimiento de los fluidos; por ejemplo, una parte de agua considerada como
partícula es prácticamente imposible describirla desde el punto de vista matemático cuando se
mueve en un río donde hay rápidos. Por tanto, el estudio de los fluidos requiere algunas
simplificaciones. Muchas características de los fluidos reales pueden entenderse considerando
el comportamiento de un fluido ideal. Un fluido es un conjunto de partículas que se mantienen
unidas entre sí por fuerzas cohesivas débiles y las paredes de un recipiente; el término engloba
a los líquidos y los gases. En el cambio de forma de un fluido la posición que toman sus
moléculas varía, ante una fuerza aplicada sobre ellos, pues justamente fluyen. Los líquidos
toman la forma del recipiente que los aloja, manteniendo su propio volumen, mientras que los
gases carecen tanto de volumen como de forma propias.
226
CAPÍTULO IX DINÁMICA DE FLUIDOS
LO QUE APRENDEREMOS
▪ Los fluidos tienen una propiedad que les permite cambiar de forma.
▪ Existen diferentes tipos de flujo: Laminar y Turbulento.
▪ En el flujo laminar, cada partícula del fluido sigue una trayectoria suave, llamada línea
de corriente, y dichas trayectorias no se cruzan entre sí.
▪ La ecuación de continuidad nos dice que el volumen de un fluido que pasa por
cualquier punto de una tubería por unidad de tiempo debe ser el mismo en todos las
partes de la tubería.
▪ El Gasto se define como el volumen de fluido que pasa a través de una sección
transversal por unidad de tiempo.
▪ El principio de Bernoulli afirma que cuanto más rápido fluya un fluido, tanto menor
es la presión que ejerce sobre su frontera.
▪ La ecuación de Bernoulli es una expresión de la ley de conservación de la energía,
ya que se deduce a partir del principio trabajo-energía. La ecuación encuentra
aplicaciones en casi todos los aspectos del flujo de fluidos.
9.1 DINÁMICA DE FLUIDOS
Se denomina fluido a un tipo de medio continúo formado por alguna sustancia entre cuyas
moléculas solo hay una fuerza de atracción débil. Los fluidos tienen una propiedad que les
permite cambiar de forma sin que aparezcan en su seno fuerzas restitutivas con una tendencia a
recuperar la forma original, lo cual constituye la principal diferencia con un sólido deformable,
donde sí hay fuerzas restitutivas.
En otras palabras, un fluido es un conjunto de partículas que se mantienen unidas entre sí
por fuerzas cohesivas débiles y las paredes de un recipiente; el término engloba a los líquidos
y gases. En el cambio de forma de un fluido la posición que toman sus moléculas varía,
ante una fuerza aplicada sobre ellos, pues justamente fluyen. Los líquidos toman la forma del
recipiente que los aloja, manteniendo su propio volumen, mientras que los gases carecen tanto
de volumen como de forma propias. Las moléculas no cohesionadas se deslizan en los
líquidos y se mueven con libertad en los gases. Los fluidos están conformados por los líquidos
y los gases (ver figura 9.1), siendo los segundos mucho menos viscosos, casi fluidos ideales.
El movimiento de fluidos reales es muy complicado y no se comprende del todo. En cambio,
estudiaremos el movimiento de un fluido ideal, que es más fácil de manejar en términos
matemáticos y además produce resultados útiles. En este enfoque de dinámica de fluidos
simplificado se acostumbra considerar cuatro características de un fluido ideal. En un fluido así,
el flujo es constante, irrotacional, no viscoso e incompresible.
227
Fig. 9.1 Estados de agregación de la materia.
Considerando estas características haremos cuatro suposiciones acerca de un fluido ideal, todas
las cuales se refieren a flujo:
1. Flujo Uniforme. En un flujo uniforme (o laminar), la velocidad del fluido en
movimiento en cualquier punto no cambia con el tiempo, ni en magnitud ni en dirección
(ver figura 9.2). Por ejemplo, el flujo moderado de agua cerca del centro de un río
tranquilo es uniforme, pero no el que hay en una cadena de ríos rápidos.
2. Flujo Incompresible. Suponemos, como ya lo hemos hecho para fluidos en reposo,
que nuestro fluido ideal es incompresible, es decir, su densidad tiene un valor constante,
uniforme.
3. Flujo No Viscoso. La viscosidad de un fluido es una medida de la resistencia con la
cual circulará. Por ejemplo, la miel gruesa es más resistiva al movimiento que el agua,
por eso se indica que es más viscosa que el agua. La viscosidad es análoga a la fricción
entre sólidos; ambos son mecanismos por los cuales la energía cinética de objetos en
movimiento se puede transformar en energía térmica. En ausencia de fricción, un bloque
podría deslizarse con velocidad constante sobre una superficie horizontal. En la misma
forma, un objeto que se mueva por un fluido no viscoso no experimentaría fuerza de
resistencia viscosa, es decir, no habría fuerza resistiva debida a la viscosidad y el objeto
podría moverse a velocidad constante por el fluido.
4. Flujo Irrotacional. Aunque no es necesario ocuparnos más de él, también suponemos
que el flujo es irrotacional. Para probar esta propiedad, supongamos que un diminuto
grano de polvo se mueve como un fluido. Si bien este cuerpo de prueba puede moverse
en una trayectoria circular, en flujo irrotacional el cuerpo de prueba no girará
alrededor de un eje que pase por su propio centro de masa. En una analogía parecida,
el movimiento de una rueda de la fortuna es rotacional; el de sus pasajeros es irrotacional.
228
9.1 Ejercicio en Clase
Proporcione tres ejemplos de cada tipo de flujo y en cada caso mencione por que es ese
tipo de flujo.
Podemos hacer que el flujo de un fluido sea visible si agregamos un indicador, que podría ser
un tinte inyectado en varios puntos en una corriente de líquidos o partículas de humo agregadas
a un flujo de gas (ver figura 9.2).
Fig. 9.2 En cierto punto, la columna de humo ascendente y el gas calentado cambian de un
estado uniforme a uno turbulento.
Cada pequeña parte de un indicador sigue una línea de flujo, que es una trayectoria que un
diminuto elemento del fluido seguiría cuando el fluido circula. La velocidad de una partícula
siempre es tangente a la trayectoria seguida por la partícula.
En este caso, la partícula es el elemento fluido, y su velocidad �⃗⃗� siempre es tangente a la
línea de flujo. Por esta razón, dos líneas de flujo nunca pueden cruzarse; si lo hicieran,
un elemento que llegue a su punto de intersección tendría dos velocidades diferentes al mismo
tiempo, lo cual es imposible (ver figura 9.3).
229
Fig. 9.3 El humo deja ver líneas de flujo en circulación junto a un auto en un túnel de viento.
9.2 Ejercicio en Clase
Explica en detalle porque dos líneas de flujo nunca pueden cruzarse.
9.2 TIPOS DE FLUJO
El tema de la dinámica de fluidos es complejo, especialmente si el fluido es agua.
Muchos aspectos del movimiento de fluidos continúan bajo estudio, no obstante, con ciertas
suposiciones es posible comprender mucho acerca de este tema.
Fig. 9.4 Un elemento de fluido 𝑷 indica una línea de flujo cuando ésta se mueve. El vector de velocidad
del elemento es tangente a la línea de flujo en todos los puntos.
230
Se distinguen dos tipos principales de flujo de fluidos. Si el flujo es suave, como el de las capas
vecinas del fluido que se deslizan suavemente una sobre otra, se dice que el flujo
es aerodinámico o laminar (la palabra laminar significa capas). En el flujo laminar, cada
partícula del fluido sigue una trayectoria suave, llamada línea de corriente, y dichas trayectorias
no se cruzan entre sí. Más allá de cierta rapidez, el flujo se vuelve turbulento. El flujo
turbulento está caracterizado por círculos erráticos, pequeños, en forma de torbellinos
llamados remolinos. Los remolinos absorben una gran cantidad de energía, y aunque cierta
cantidad de fricción interna llamada viscosidad está presente incluso durante el flujo
aerodinámico, es mucho mayor cuando el flujo es turbulento.
9.3 Ejercicio en Clase
Explica la diferencia entre Flujo Turbulento y Flujo Laminar.
9.3 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Consideremos un flujo laminar estable de un fluido a través de un tubo o tubería (ver figura 9.5).
Primero se determina cómo cambia la rapidez del fluido cuando cambia el tamaño del tubo.
La tasa de flujo de masa se define como la masa ∆𝑚 de fluido que pasa un punto dado por
unidad de tiempo ∆𝑡,
𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎 =∆𝑚
∆𝑡 (9.1)
En la figura 9.5, el volumen de fluido que pasa el punto 1 (esto es, a través del área 𝐴1) en un
tiempo ∆𝑡 es 𝐴1∆𝑙1, donde ∆𝑙1 es la distancia que recorre el fluido en el tiempo ∆𝑡. Si no hubiese
viscosidad, la velocidad seria la misma a través de un área transversal del tubo.
Fig. 9.5 Flujo de fluido a través de una tubería con diámetro variable.
231
Los fluidos reales tienen viscosidad, y esta fricción interna provoca que diferentes capas
del fluido fluyan a diferente rapidez. En este caso 𝑣1 y 𝑣2 representan los valores de la rapidez
promedio en cada sección transversal. Dado que la velocidad del fluido que pasa por el punto 1
es 𝑣1 = ∆𝑙1/∆𝑡, la tasa de flujo de masa ∆𝑚1/∆𝑡 a través del área 𝐴1es,
∆𝑚1
∆𝑡=
𝜌1∆𝑉1
∆𝑡=
𝜌1𝐴1∆𝑙1∆𝑡
= 𝜌1𝐴1𝑣1 (9.2)
Donde ∆𝑉1 = 𝐴1∆𝑙1 es el volumen de la masa ∆𝑚1, y 𝜌1es la densidad del fluido. De manera
similar, en el punto 2 (a través del área 𝐴2), la tasa de flujo es 𝜌2𝐴2𝑣2. Como no hay fluido que
fluya en los lados o por fuera de ellos, las tasas de flujo a través de 𝐴1 y 𝐴2 deben ser iguales.
Por lo tanto, ya que,
∆𝑚1
∆𝑡=
∆𝑚2
∆𝑡 (9.3)
Entonces,
𝜌1𝐴1𝑣1 = 𝜌2𝐴2𝑣2 (9.4)
El volumen de fluido que pasa por cualquier punto de la tubería por unidad de tiempo
debe ser el mismo en todas las partes de la tubería, o de otra suerte, el fluido estaría de
alguna manera creándose o destruyéndose. A esto se le conoce como la Ecuación de
Continuidad (en su forma general). Si el fluido es incompresible (𝜌 no cambia con la presión),
que es una excelente aproximación para los líquidos en la mayoría de las circunstancias
(a veces también para los gases), entonces 𝜌1 = 𝜌2, y la ecuación de continuidad
(𝑐𝑜𝑛 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) se convierte en,
𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2 (9.5)
El producto 𝐴𝑣 representa el caudal volumétrico del flujo (volumen del fluido que pasa un punto
dado por segundo), dado que ∆𝑉/∆𝑡 = 𝐴 ∆𝑙/∆𝑡 = 𝐴𝑣, que en unidades del SI es [𝑚3/𝑠].
La ecuación de continuidad a densidad constante dice que, donde el área transversal es
grande, la velocidad es mínima, y donde el área es pequeña, la velocidad es mayor.
Si observamos un río podremos darnos cuenta de que esto es razonable. Un río fluye lentamente
a través de una pradera donde es ancho, pero acelera a rapidez torrencial cuando pasa a través
de una garganta estrecha. En conclusión, la ecuación de continuidad nos muestra que si se
reduce el área transversal por la cual fluye un fluido, la rapidez del fluido aumenta.
9.4 GASTO
La figura 9.3 muestra líneas de corriente de flujo de aire que pasan por un obstáculo
estacionario. Se observa que las líneas de corriente se rompen cuando pasan por el obstáculo,
generando corriente turbulenta y remolinos. Estos pequeños remolinos representan el flujo
turbulento y absorben gran parte de la energía del fluido, incrementando el arrastre por fricción
a través del fluido.
232
Vamos a considerar, además, que los fluidos son incompresibles y que no presentan una fricción
interna apreciable. En estas condiciones, se pueden hacer algunas predicciones acerca de la
razón de flujo del fluido a lo largo de una tubería o de otro recipiente. El flujo del fluido o gasto
(𝑹), se define como el volumen de fluido que pasa a través de cierta sección transversal en
una unidad de tiempo.
Fig. 9.6 Calculo de la velocidad de un fluido que circula por un tubo.
Cuando un líquido fluye a través de una tubería es muy común hablar de su gasto, que por
definición es: la relación existente entre el volumen de líquido que fluye por un conducto y el
tiempo que tarda en fluir.
𝑅 =𝑉
𝑡= [𝑚3/𝑠] (9.6)
Para expresar esta razón en forma cuantitativa, consideramos el caso de un líquido que fluye a
lo largo de una tubería (ver figura 9.6), con una velocidad media 𝑣. En un espacio de tiempo 𝑡,
cada partícula en la corriente se mueve a través de una distancia 𝑣𝑡. El volumen 𝑉 que fluye a
través de la sección transversal 𝐴 está dado por,
𝑉 = 𝐴𝑣𝑡 (9.7)
Por lo tanto, el gasto (volumen por unidad de tiempo) se puede calcular a partir de,
𝑅 =𝐴𝑣𝑡
𝑡= 𝐴𝑣 = [𝑚2 ∙ 𝑚/𝑠] = [𝑚3/𝑠] (9.8)
𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜 = (𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑)(𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙) (9.9)
Las unidades de 𝑅 expresan la relación de una unidad de volumen entre una unidad de tiempo.
Ejemplos frecuentes de esto son: pies cúbicos por segundo, metros cúbicos por segundo,
litros por segundo y galones por minuto. Si el fluido es incompresible y no tomamos en cuenta
los efectos de la fricción interna, el gasto 𝑅 permanecerá constante. Esto significa que una
variación en la sección transversal en la tubería (ver figura 9.7), da por resultado un cambio en
la rapidez del líquido, de tal modo que el producto 𝑣𝐴 permanece constante. Simbólicamente
escribimos,
𝑅 = 𝑣1𝐴2 = 𝑣1𝐴2 (9.10)
233
Un líquido fluye con más rapidez a través de una sección estrecha de tubería y más
lentamente a través de secciones más amplias. Este principio es la causa de que el agua fluya
más rápido en las partes de un arroyo donde las orillas del mismo están más cercanas entre sí.
Fig. 9.7 En el flujo laminar, el producto de la velocidad del fluido por el área de la sección transversal
del tubo es constante en cualquier punto.
9.4 Ejercicio en Clase
Calcula el gasto de agua por una tubería al circular 𝟏. 𝟓 𝒎𝟑 en 𝟏/𝟒 de minuto.
9.5 Ejercicio en Clase
Calcular el gasto de agua por una tubería de 𝟓. 𝟎𝟖 𝒄𝒎 de diámetro, cuando la velocidad
del líquido es de 𝟒 𝒎/𝒔.
234
9.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI
¿Alguna vez te has preguntado por qué puede volar un avión, o cómo un bote de vela puede
moverse contra el viento? Éstos son ejemplos de un principio descubierto por Daniel Bernoulli
(1700 − 1782) que tiene que ver con los fluidos en movimiento.
En esencia, el Principio de Bernoulli afirma que donde la velocidad de un fluido es alta, la
presión es baja, y donde la velocidad es baja, la presión es alta.
Por ejemplo, si se miden las presiones en los puntos 1 y 2 en la figura 9.7, se encontrará que la
presión es más baja en el punto 2, donde la velocidad es mayor, de lo que es en el punto 1, donde
la velocidad es menor. A primera vista, esto parece extraño, se esperaría que la mayor rapidez
en el punto 2 implicara una presión más alta. Pero esto no es así. Si la presión en el punto
2 fuese mayor que en 1, esta presión más alta frenaría el fluido, mientras que de hecho éste
aumenta su rapidez al ir desde el punto 1 hacia el punto 2.
En consecuencia, la presión en el punto 2 debe ser menor que en el punto 1, para ser consistente
con el hecho de que el fluido acelera, para ayudar a clarificar cualquier concepto equivocado,
un fluido más rápido ejercería una fuerza mayor sobre un obstáculo colocado en su ruta.
Pero esto no es lo que se da a entender con presión de un fluido; además, no se consideran
obstáculos que interrumpan el flujo. Se está examinando un flujo aerodinámico suave.
La presión del fluido se ejerce sobre las paredes de una tubería o superficie de cualquier material
por el que pase el fluido.
Bernoulli desarrolló una ecuación que expresa este principio cuantitativamente. Para deducir la
ecuación de Bernoulli, supongamos que el flujo es estacionario y laminar, que el fluido es
incompresible y que la viscosidad es lo suficientemente pequeña como para ser ignorada.
Para generalizar, se supone que el fluido fluye en un tubo de sección transversal no uniforme
que varía en altura sobre cierto nivel de referencia (ver figura 9.7). Se considerará el volumen
de fluido que se observa y se calculará el trabajo realizado para moverlo desde la posición que
se indica en la figura 9.8-a en la que se representa en la figura 9. 8-b. En este proceso, el fluido
en el punto 1 fluye una distancia ∆𝑙1 y fuerza al fluido en el punto 2 a moverse una distancia
∆𝑙2.
Fig. 9.8 Flujo de un fluido para deducir la ecuación de Bernoulli.
b)
a)
235
El fluido a la izquierda del punto 1 ejerce una presión 𝑃1 sobre la sección del fluido y efectúa
una cantidad de trabajo,
𝑊1 = 𝐹1∆𝑙1 = 𝑃1𝐴1∆𝑙1 (9.11)
En el punto 2, el trabajo realizado sobre la sección transversal del fluido es,
𝑊2 = −𝑃2𝐴2∆𝑙2 (9.12)
El signo negativo está presente por que la fuerza ejercida sobre el fluido es opuesta al
movimiento (el fluido que se muestra en color realiza trabajo sobre el fluido a la derecha del
punto 2). También la fuerza de gravedad realiza trabajo sobre el fluido. El efecto neto del
proceso que se muestra en la figura 9.8 consiste en mover una masa 𝑚 de volumen 𝐴1∆𝑙1 desde
el punto 1 hasta el punto 2, de modo que el trabajo realizado por la gravedad es,
𝑊3 = −𝑚𝑔(𝑦2 − 𝑦1) (9.13)
Donde 𝑦1 y 𝑦2 son las alturas del centro del tubo sobre cierto nivel de referencia (arbitrario).
En el caso que se muestra en la figura 9.8, este término es negativo ya que el movimiento es
hacia arriba contra la fuerza de gravedad. Por lo tanto, el trabajo neto 𝑊 efectuado sobre el
fluido es,
𝑊 = 𝑊1 + 𝑊2 + 𝑊3 (9.14)
𝑊 = 𝑃1𝐴1∆𝑙1 − 𝑃2𝐴2∆𝑙2 − 𝑚𝑔𝑦2 + 𝑚𝑔𝑦1 (9.15)
De acuerdo con el principio trabajo-energía, el trabajo neto realizado sobre un sistema es
igual al cambio de su energía cinética. Entonces tenemos,
1
2𝑚𝑣2
2 −1
2𝑚𝑣1
2 = 𝑃1𝐴1∆𝑙1 − 𝑃2𝐴2∆𝑙2 − 𝑚𝑔𝑦2 + 𝑚𝑔𝑦1 (9.16)
La masa 𝑚 tiene volumen 𝐴1∆𝑙1 = 𝐴2∆𝑙2. En consecuencia, se puede sustituir
𝑚 = 𝜌𝐴1∆𝑙1 = 𝜌𝐴2∆𝑙2, y luego dividir entre 𝐴1∆𝑙1 = 𝐴2∆𝑙2, para obtener,
1
2𝜌𝑣2
2 −1
2𝜌𝑣1
2 = 𝑃1 − 𝑃2 − 𝜌𝑔𝑦2 + 𝜌𝑔𝑦1 (9.17)
Que se reordena para obtener,
𝑃1 +1
2𝜌𝑣1
2 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑃2 +1
2𝜌𝑣2
2 + 𝜌𝑔𝑦2 (9.18)
Esta es la ecuación de Bernoulli. Ya que los puntos 1 y 2 pueden ser dos puntos cualesquiera
a lo largo de un tubo de flujo, la ecuación de Bernoulli se puede escribir como,
𝑃 +1
2𝜌𝑣2 + 𝜌𝑔𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (9.19)
236
En todo punto en el fluido, donde 𝑦 es la altura del centro del tubo sobre un nivel de referencia
fijo. La ecuación de Bernoulli es una expresión de la ley de conservación de la energía,
ya que se deduce a partir del principio trabajo-energía. La ecuación encuentra aplicaciones
en casi todos los aspectos del flujo de fluidos. La presión 𝑃 debe reconocerse como la presión
absoluta y no la presión manométrica. (𝜌) es la densidad y no el peso específico del fluido.
Observamos que las unidades de cada término de la ecuación de Bernoulli son unidades de
presión.
El comportamiento cualitativo que normalmente evocamos con el término efecto de
Bernoulli, es el descenso de la presión del líquido en las regiones donde la velocidad del
flujo es mayor. Este descenso de presión por un estrechamiento de una vía de flujo puede
parecer contradictorio, pero no tanto cuando se considera la presión como una densidad de
energía. En el flujo de alta velocidad a través de un estrechamiento, se debe incrementar la
energía cinética, a expensas de la energía de presión.
Si bien la ecuación de Bernoulli se afirma en términos de ideas universalmente válidas,
como son la conservación de la energía y las ideas de presión, energía cinética y energía
potencial, su aplicación se limita a los casos de flujo constante. Para el flujo a través de un tubo,
tal flujo puede ser visualizado como un flujo laminar, que todavía es una idealización, pero si el
flujo es una buena aproximación laminar, entonces puede ser modelada y calculada la energía
cinética del flujo en cualquier punto del fluido.
El término energía cinética por unidad de volumen en la ecuación, es el que requiere estrictas
restricciones para que se pueda aplicar en la ecuación de Bernoulli, que básicamente es la
suposición de que toda la energía cinética del fluido está contribuyendo directamente al proceso
de avance del flujo del fluido. Esto debería hacer evidente que la existencia de turbulencias
o cualquier movimiento caótico del fluido implicaría que algo de la energía cinética no está
contribuyendo al avance del fluido a través del tubo.
9.6 Ejercicio en Clase
Por una tubería de 𝟑. 𝟖𝟏 𝒄𝒎 de diámetro circula agua a una velocidad de 𝟑 𝒎 /𝒔.
En una parte de la tubería hay un estrechamiento y el diámetro es de 𝟐. 𝟓𝟒 𝒄𝒎,
¿Qué velocidad llevará el agua en este punto?
237
9.7 Ejercicio en Clase
Un tubo de Venturi tiene un diámetro de 𝟎. 𝟏𝟓 𝒎 y una presión de 𝟒. 𝟐 × 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝒎𝟐
en su parte más ancha. En el estrechamiento, el diámetro es de 𝟎. 𝟎𝟕 𝒎 y la presión
es de 𝟑 × 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝒎𝟐. ¿Cuál es la velocidad del agua que fluye a través de la tubería?
9.8 Ejercicio en Clase
En la parte más ancha de un tubo de Venturi hay un diámetro de 𝟏𝟎. 𝟏𝟔 𝒄𝒎 y una
presión de 𝟑 × 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝒎𝟐. En el estrechamiento del tubo, el diámetro mide 𝟓. 𝟎𝟖 𝒄𝒎
y tiene una presión de 𝟏. 𝟗 × 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝒎𝟐. a) ¿Cuál es la velocidad del agua que fluye
a través de la tubería?, b) ¿Cuál es el gasto?, c) ¿Cuál es el flujo?
9.9 Ejercicio en Clase
¿Qué tan grande debe ser un conducto de calefacción, si el aire que se mueve a través de
él a 𝟔 𝒎/𝒔 puede reponer el aire cada 𝟑𝟎 minutos, en una habitación de 𝟔𝟎𝟎 𝒎𝟑 de
volumen? Suponga que la densidad del aire permanece constante.
238
9.10 Ejercicio en Clase
Resuelve los problemas y registra los resultados numéricos en el crucigrama, si las
soluciones son correctas las operaciones indicadas se deberán cumplir. A cada casilla le
corresponde un dígito.
1
+ 2
= 3
+ + +
4 +
5 =
6
= = +
7 +
8 =
9
1. Por un tubo de sección variable fluye agua. En la sección transversal de 1 𝑐𝑚2 el agua
viaja a 40 𝑐𝑚/𝑠. ¿Con qué velocidad viaja el agua en la sección transversal donde el
área es de 2 𝑐𝑚2? Expresa la velocidad en m/s.
2. Por una tubería de 8 𝑐𝑚2 de sección transversal el agua viaja a 10 𝑚/𝑠. ¿Con qué
velocidad en 𝑚/𝑠 se mueve el agua en el estrechamiento donde el área de la sección
transversal es de 4 𝑐𝑚2?
3. Por un tubo horizontal con un estrechamiento circular una bebida de sabor toronja
viaja a 20 𝑐𝑚/𝑠 en la sección de 2 𝑐𝑚2 de área, ¿Con qué velocidad se mueve en la
sección transversal de 1 𝑐𝑚2 de área? Expresa el resultado en 𝑐𝑚/𝑠.
4. En una tubería cuya sección transversal es 1 𝑐𝑚2 circula aceite a una velocidad de
60 𝑚𝑚/𝑠, si la sección transversal del tubo se incrementa a 2 𝑐𝑚2, ¿Con qué
velocidad en 𝑚𝑚/𝑠 viajará el aceite en dicha sección? Desprecia la viscosidad del
aceite.
5. En una tubería cuya sección transversal es de 30 𝑐𝑚2 fluye agua a 2 𝑚/𝑠. En la
sección menor el agua fluye a 6 𝑚/𝑠, ¿cuál es el área en 𝑐𝑚2 de dicha sección?
6. En una tubería en la que existe un estrechamiento en la sección circular menor el radio
es de 20 𝑐𝑚. Al circular el agua por dicha sección lo hace a 16 𝑚/𝑠. Si en la sección
transversal mayor el agua circula a 4 𝑚/𝑠, calcula el radio en esta sección transversal.
Expresa el resultado en 𝑐𝑚.
7. Un fluido, al pasar por la sección transversal de 2 𝑐𝑚2 de un conducto se mueve a una
velocidad de 25 𝑐𝑚/𝑠, ¿Con qué velocidad se moverá el fluido al pasar por un
estrechamiento cuya área de sección transversal es de 1 𝑐𝑚2?
8. En una tubería con un estrechamiento en la sección circular menor el radio es de
20 𝑐𝑚. Al circular el fluido por dicha sección lo hace 9 𝑚/𝑠. Si en la sección
transversal mayor el fluido circula a 4 𝑚/𝑠, determina el radio de esta sección
transversal. Expresa el resultado en 𝑐𝑚.
9. Un fluido al pasar por la sección transversal de 20 𝑚𝑚2 se mueve a una velocidad de
8 𝑐𝑚/𝑠, ¿cuál es el área de la sección transversal mayor si el fluido al pasar por ésta
lo hace a 2 𝑐𝑚/𝑠? Expresa el resultado en 𝑚𝑚2.
239
LO QUE HEMOS APRENDIDO • Se denomina fluido a un tipo de medio continúo
formado por alguna sustancia entre cuyas moléculas
solo hay una fuerza de atracción débil.
• Las moléculas no cohesionadas se deslizan en los
líquidos y se mueven con libertad en los gases.
• En los fluidos la partícula es el elemento fluido, y su
velocidad v⃗ siempre es tangente a la línea de flujo.
• Un elemento de fluido indica una línea de flujo cuando
ésta se mueve. El vector de velocidad del elemento es
tangente a la línea de flujo en todos los puntos.
• Si el flujo es suave, como el de las capas vecinas del
fluido que se deslizan suavemente una sobre otra, se
dice que el flujo es aerodinámico o laminar (la palabra
laminar significa capas).
• El flujo turbulento está caracterizado por círculos
erráticos, pequeños, en forma de torbellinos llamados
remolinos.
• La ecuación de continuidad nos dice que el volumen de
fluido que pasa por cualquier punto de la tubería por
unidad de tiempo debe ser el mismo en todas las partes
de la tubería, o de otra suerte, el fluido estaría de alguna
manera creándose o destruyéndose.
• La ecuación de continuidad nos muestra que si se reduce
el área transversal por la cual fluye un fluido, la rapidez
del fluido aumenta.
𝜌1𝐴1𝑣1 = 𝜌2𝐴2𝑣2 (9.4)
• El flujo del fluido o gasto (R), se define como el
volumen de fluido que pasa a través de cierta sección
transversal en una unidad de tiempo. 𝑅 =
𝑉
𝑡= [𝑚3/𝑠] (9.6)
• Un líquido fluye con más rapidez a través de una sección
estrecha de tubería y más lentamente a través de
secciones más amplias
• De acuerdo con el principio trabajo-energía, el trabajo
neto realizado sobre un sistema es igual al cambio de su
energía cinética.
• El Principio de Bernoulli afirma que donde la velocidad
de un fluido es alta, la presión es baja, y donde la
velocidad es baja, la presión es alta. 𝑃 +
1
2𝜌𝑣2 + 𝜌𝑔𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (9.19)
• El efecto de Bernoulli, se refiere a el descenso de la
presión del líquido en las regiones donde la velocidad
del flujo es mayor.
240
Problema 9.1
El corazón bombea sangre hacia la aorta, la cual tiene un radio interior de 𝟏 𝒄𝒎. La aorta
alimenta 𝟑𝟐 de las principales arterias. Si la sangre fluye en la aorta con una rapidez de
𝟐𝟖 𝒄𝒎/𝒔, ¿Con qué rapidez promedio fluye en las arterias? Suponemos la sangre como
un fluido ideal, cada arteria tiene un radio interior de 𝟎. 𝟐𝟏 𝒄𝒎.
𝑅 = 0.38 𝑚/𝑠
Problema 9.2
La superficie del agua en un tanque de almacenamiento está 𝟑𝟎 𝒎 arriba de un grifo de
agua en la cocina de una casa. Calcule la diferencia en presión de agua entre el grifo y la
superficie del agua en el tanque.
𝑅 = 2.9 × 105 𝑁/𝑚²
Problema 9.3
Los dos pies de una persona de 𝟔𝟎 𝒌𝒈 cubren un área de 𝟓𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐. a) Determine la presión
que los dos pies ejercen sobre el suelo. b) Si la persona esta sobre un pie, ¿Cuál será la
presión bajo ese pie?
a) 𝑅 = 12 × 103 N/m²
b) 𝑅 = 24 × 103 N/m²
Problema 9.4
¿Cuál será la masa de una bola de demolición de hierro sólido de 𝟏𝟖 𝒄𝒎 de radio?
𝑅 = 190 𝑘𝑔
Problema 9.5
Durante la inhalación, la presión manométrica en los alvéolos es aproximadamente
de − 𝟒𝟎𝟎 𝑷𝒂 para permitir que el aire fluya a través de los tubos bronquiales. Suponga
que el recubrimiento mucoso de un alvéolo, cuyo radio inicial es 𝟎. 𝟎𝟓𝟎 𝒎𝒎, tuviera la
misma tensión superficial que el agua (𝟎. 𝟎𝟕𝟎 𝑵/𝒎) ¿Qué presión pulmonar fuera de los
alvéolos se requeriría para empezar a inflar el alvéolo?
𝑅 = −3.2 𝑘𝑃𝑎
Problema 9.6
El agua circula por toda una casa en un sistema de calefacción de agua de agua caliente.
Si el agua se bombea con una rapidez de 𝟎. 𝟓𝟎 𝒎/𝒔 a través de una tubería de 𝟒 𝒄𝒎 de
diámetro en el sótano, bajo una presión de 𝟑 𝒂𝒕𝒎, ¿Cuál será la rapidez de flujo y la
presión de una tubería de 𝟐. 𝟔 𝒄𝒎 de diámetro en el segundo piso, 𝟓 𝒎 arriba? Se supone
que la tubería no se divide en ramificaciones.
𝑅 = 1.2 𝑚/𝑠; 2.5 𝑎𝑡𝑚
241
Problema 9.7
¿Qué área debe tener un conducto de calefacción, si el aire que se mueve a través de él
a 𝟑 𝒎/𝒔 puede reponer el aire cada 𝟏𝟓 minutos, en una habitación de 𝟑𝟎𝟎 𝒎𝟑 de volumen?
Suponga que la densidad del aire permanece constante.
𝑅 = 0.11 𝑚2
Problema 9.8
La sangre regresa al corazón a través de las venas. El radio de la aorta es de
aproximadamente 𝟏. 𝟐 𝒄𝒎, y la sangre que pasa a través de ella tiene una rapidez cercana
a 𝟒𝟎 𝒄𝒎/𝒔. Un capilar típico tiene un radio aproximadamente de 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟒 𝒄𝒎, y la sangre
fluye a través de él con una rapidez aproximada de 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒 𝒎/𝒔. Estime el número de
capilares que hay en el cuerpo.
𝑅 ≈ 7 × 109
Problema 9.9
¿Qué volumen 𝐕 de helio se necesita si un globo debe elevar una carga de 𝟏𝟖𝟎 𝒌𝒈 (incluido
el peso del globo vacío)?
𝑅 = 160 𝑚3
Problema 9.10
Un hidrómetro es un instrumento simple utilizado para medir la gravedad específica de
un líquido al observar cuán profundamente se hunde en el líquido. Un hidrómetro
particular consiste en un tubo de vidrio, pesado en el fondo, que mide 𝟐𝟓 𝒄𝒎 de largo,
𝟐 𝒄𝒎𝟐 de área transversal y tiene una masa de 𝟒𝟓 𝒈 ¿A qué distancia de la parte inferior
se debe colocar la marca de 𝟏. 𝟎𝟎𝟎?
𝑅 = 22.5 𝑐𝑚
Problema 9.11
Cuando una corona de 𝟏𝟒. 𝟕 𝒌𝒈 de masa se sumerge en agua, una balanza precisa sólo
indica 𝟏𝟑. 𝟒 𝒌𝒈. ¿La corona es de oro?
𝑅 = 𝑁𝑜
Problema 9.12
Una antigua estatua de 𝟕𝟎 𝒌𝒈 yace en el fondo del mar. Su volumen es de 𝟑 × 𝟏𝟎𝟒𝒄𝒎³.
¿Cuál es la fuerza necesaria para elevarla?
𝑅 = 390 𝑁
242
Problema 9.13
Un popote de longitud 𝑳 se introduce en un vaso largo con agua. Alguien coloca su dedo
sobre el extremo superior del popote, con lo que atrapa algo de aire sobre el agua, pero
evita que cualquier aire adicional salga o entre, luego eleva el popote del agua. El popote
retiene la mayor cantidad del agua. ¿El aire en el espacio entre el dedo de la persona y el
límite superior del agua tiene una presión 𝑷 mayor, igual o menor que la presión
atmosférica 𝑷𝑨 afuera del popote?
Problema 9.14
Un flujo de agua va de la sección 𝟏 a la sección 𝟐. La sección 𝟏 tiene 𝟐𝟓 mm de diámetro,
la presión manométrica es de 𝟑𝟒𝟓 𝒌𝑷𝒂, y la velocidad de flujo es de 𝟑 𝒎/𝒔. La sección 𝟐,
mide 𝟓𝟎 𝒎𝒎 de diámetro, y se encuentra 𝟐 𝒎 por arriba de la sección 𝟏. Si suponemos
que no hay pérdida de energía en el sistema. Calcule la presión 𝑷𝟐.
𝑅 = 329.6 𝑘𝑃𝑎
Problema 9.15
¿Cuál es la velocidad con la que sale un líquido por un orificio que se encuentra a una
profundidad de 𝟏. 𝟒 𝒎?
𝑅 = 5.24 𝑚/𝑠
Problema 9.16
¿Cuál es la presión del aire en la cumbre del Monte Everest?
𝑅 = 35 𝑘𝑃𝑎
Problema 9.17
Al apretar la manija de un atomizador el aire fluye de manera horizontal a través de la
abertura que se extiende hacia abajo dentro del líquido hasta casi llegar al fondo de
la botella. Si el aire se está moviendo a 𝟓𝟎 𝒎/𝒔, ¿Cuál es la diferencia de presión entre la
parte superior del tubo y la atmósfera? Suponemos que la densidad del aire es
𝝆 = 𝟏. 𝟐𝟎 𝒌𝒈/𝒎𝟑.
𝑅 = −1.5 𝑘𝑃𝑎
243
Ejemplo 9.18
Una botella cilíndrica con un área de sección transversal 𝑨𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟎𝒎𝟐. Contiene un
líquido que se drenó a través de un agujero de 𝟕. 𝟒𝟎 𝒎𝒎 de radio, o de área
𝑨𝟐 = 𝟏. 𝟕𝟐 × 𝟏𝟎−𝟒 𝒎𝟐. Los cuadros en la figura representan tiempos a intervalos de 𝟏𝟓 𝒔.
La altura inicial de la columna de fluido sobre el agujero era de 𝒉𝟎 = 𝟎. 𝟑𝟎𝟎 𝒎. ¿Cuánto
tiempo se tardó en vaciar la botella?
𝑅 = 144 𝑠
Ejemplo 9.19
Si se debe empujar 𝟐. 𝟎 𝒄𝒎𝟑 de agua fuera de una jeringa de 𝟏. 𝟎 𝒄𝒎 de diámetro a través
de una aguja de calibre 𝟏𝟓 y 𝟑. 𝟓 𝒄𝒎 de longitud (diámetro interior de la aguja
=𝟏. 𝟑𝟕 𝒎𝒎) en 𝟎. 𝟒 𝒔. a) ¿Qué fuerza debe aplicarse al émbolo de la jeringa? b) ¿Cuál es
la velocidad de salida del agua por la aguja de la jeringa?
a) 𝑅 = 0.15 𝑁 b) 𝑅 = 3.39 𝑚/𝑠
Ejemplo 9.20
Una campana de buceo con una presión de aire interior igual a la presión atmosférica
se sumerge en un lago a una profundidad de 𝟏𝟖𝟓 𝒎. La campana de buceo tiene una
ventana de observación plana, transparente y circular con un diámetro de 𝟐𝟎. 𝟎 𝒄𝒎. ¿Cuál
es la magnitud de la fuerza sobre la ventana de observación debido a la diferencia de
presiones?
𝑅 = 5.70 × 104 𝑁
244
CUESTIONARIO I
1. ¿Que estudia la dinámica de fluidos?
2. Define físicamente que es un fluido.
3. ¿Qué son las fuerzas de cohesión?
4. ¿Qué son los fluidos reales y los fluidos ideales?
5. Explica cada uno de los estados de agregación de la materia.
6. Define: Flujo Uniforme, Incompresible, No viscoso e Irrotacional. Escribe dos ejemplos
de cada uno.
7. ¿Qué son las líneas de flujo?
8. ¿Por qué las líneas de flujo nunca se cruzan?
9. ¿Qué es un túnel de viento y para que se usa?
10. ¿A qué se le llama elemento de fluido?
11. Define el concepto de flujo aerodinámico o laminar.
12. Define el concepto de flujo turbulento.
13. Explica con tus propias palabras la ecuación de continuidad.
14. Define el concepto de gasto en los fluidos.
15. Explica el Principio de Bernoulli.
16. Explica la Ecuación de Bernoulli.
17. ¿Cuál es la relación entre la ecuación de Bernoulli y la ley de la conservación de la
energía?
18. ¿A qué se le llama efecto de Bernoulli?
19. En términos de energía explica por qué la existencia de turbulencias en el fluido no
contribuyen al avance del mismo a través de un tubo.
20. ¿Sería correcto afirmar que la ecuación de Bernoulli es únicamente válida para los casos
de flujo constante? Explica.
245
CUESTIONARIO II
1. Una alberca de 10 × 5 𝑚 y 2 𝑚 de profundidad, está llena de agua hasta 10 𝑐𝑚 del
borde. Durante una fuerte tormenta, el agua alcanzó el borde en una hora. a) ¿Cuántos
L/m2 cayeron en esa hora? En el fondo de la piscina se encuentra la llave de paso del
desagüe, de radio 10 𝑐𝑚 y conectada a la cañería general donde la presión es de
0.11 𝑀𝑃𝑎. b) Calcula la velocidad a la que sale el agua de la alberca cuando se abre
totalmente la llave de paso. c) ¿Cuánto tiempo hay que dejar la llave abierta si se quiere
vaciar la alberca para dejarla como estaba inicialmente?
2. Por una tubería de 3.9 𝑐𝑚 de diámetro circula agua a una velocidad cuya magnitud
es de 4.5 𝑚/𝑠. En la parte final de la tubería hay un estrechamiento y el diámetro es de
2.25 𝑐𝑚. ¿Qué velocidad llevará el agua en este punto?
3. Por una manguera de bomberos de 0.25 𝑚 de diámetro, sale a presión agua que fluye
a 10.5 𝑚/𝑠, si la manguera se achica en su boquilla de salida a 0.1 𝑚 de diámetro
¿con qué velocidad saldrá el chorro?
4. Se observa una tubería descargando agua con un gasto de 1.5 litros por segundo, en un
tanque 𝐴, con un diámetro de 120 𝑐𝑚, el cual a su vez descarga a través de una llave de
paso con un diámetro de ½ pulgada a otro tanque 𝐵, de 60 𝑐𝑚 de diámetro y 90 𝑐𝑚 de
altura (ℎ3). El tanque 𝐴 se encuentra sobre un pedestal a una altura ℎ2 = 1.5 𝑚 sobre el
nivel del suelo. El tanque 𝐵 se encuentra sobre el suelo. Calcular: a) La altura a la cual
el nivel del agua en el tanque 𝐴 se estabiliza, b) La velocidad a la cual llega el agua al
tanque 𝐵 y c) El tiempo en que tarda en llenarse el tanque 𝐵.
5. Se construye una lancha rectangular formada por seis placas de Aluminio de ¼ pulgada
de espesor, 4 𝑚 de largo × 1.80 𝑚 de ancho y 0.70 𝑐𝑚 de altura; tiene como armadura
unas costillas de refuerzo, compuesta por barras de aluminio, con dimensiones de ½
pulgada de espesor por 2 pulgadas de peralte, y en total suman 40 𝑚 de longitud. Si se
deposita una masa de 3 toneladas dentro de la lancha, calcular la profundidad ∆ℎ que se
mete la lancha en el agua.
246
6. Por un tubo de Venturi, que tiene un diámetro de 1 pulgada por la parte ancha y ¾
pulgada en la parte estrecha, circula agua. El Venturi tiene conectados dos tubos
manométricos que marcan una diferencia de alturas del agua ∆𝐻 = 30 𝑐𝑚.
Calcula cuántos metros cúbicos de agua por segundo circulan por el tubo.
7. El embolo más pequeño y el más grande de una prensa hidráulica tienen diámetros de 6
y 32 𝑖𝑛, respectivamente. a) ¿qué fuerza de entrada se requiere para proporcionar una
fuerza total de salida de 10000 𝑙𝑏 al embolo grande? b) ¿Qué desplazamiento debe tener
el embolo pequeño para elevar al grande 5 𝑖𝑛? Dar resultados en MKS.
8. El agua fluye a través de una manguera de 7 𝑐𝑚 de diámetro a una velocidad de 9 𝑚/𝑠.
a) ¿Qué diámetro debe tener el chorro si el agua sale a 20 𝑚/𝑠? b) ¿Cuál es el gasto en
𝑚3/𝑚𝑖𝑛?
9. Encuentre la altura a la que subiría el agua de un tubo capilar con un radio de
10 × 10−3 𝑚. Suponga que el ángulo de contacto entre el agua y el material del tubo es
suficientemente pequeño para considerarse como cero.
10. Se compra una corona de oro, la cual se cuelga de una báscula y se encuentra que su
peso es de 30 𝑁, luego, la corona cuando está sumergida en agua la báscula marca
8.90 𝑁 ¿Está hecha de oro puro? Realiza los cálculos necesarios para determinarlo.
247
CUESTIONARIO III
1. Un bote hecho de madera tiene una densidad de 920 𝑘𝑔/𝑚3, su área es de 10 𝑚2 y su
volumen de 1 𝑚3 cuando la balsa se lleva a agua dulce, ¿Cuánto se hunde la balsa en el
agua?
2. En las presas hidráulicas, el aire de un compresor ejerce fuerza sobre un pequeño embolo
de sección transversal circular que tiene un radio de 5 𝑐𝑚. Esta presión es transmitida
por un líquido incompresible a un segundo embolo de radio 15 𝑐𝑚. a) ¿Qué fuerza debe
ejercer al aire comprimido para levantar un auto que pesa 13300 𝑁? b) ¿Que presión de
aire produce esta fuerza? c) Demuestra que la transferencia de energía de entrada es de
igual magnitud a la transferencia de energía de salida.
3. Un jardinero usa una manguera de 2.5 𝑐𝑚 de diámetro para llenar una cubeta de 30 litros
(1 𝑙𝑡 = 1000 𝑐𝑚3). Se tarda 1 minuto en llenar la cubeta. A la manguera se conecta una
boquilla con una abertura de 0.5 𝑐𝑚2 de área de sección transversal: la boquilla
se sostiene de modo que el agua se proyecte horizontalmente desde un punto situado
a 1 𝑚 arriba del suelo ¿Hasta qué distancia horizontal se puede proyectar el agua?
4. Un paciente recibe una transfusión de sangre por medio de una aguja de 0.2 𝑚𝑚 de radio
y 2 𝑐𝑚 de longitud. La densidad de la sangre es de 1050 𝑘𝑔/𝑚3. La botella que
suministra la sangre está a 0.5 𝑚 sobre el brazo del paciente. ¿Cuál es el gasto que pasa
por la aguja?
5. El manómetro de mercurio se usa para medir la presión de un gas dentro de un tanque.
Si la diferencia entre los dos niveles de mercurio es de 36 𝑐𝑚, ¿Cuál es la presión
absoluta dentro del tanque?
6. El émbolo más pequeño y el más grande de una prensa hidráulica tienen diámetros
de 2 y 24 𝑖𝑛, respectivamente. a) ¿Qué fuerza de entrada se requiere para proporcionar
una fuerza total de salida de 2000 𝑙𝑏 al émbolo grande? b) ¿Qué desplazamiento debe
tener el émbolo pequeño para elevar el grande 1 𝑖𝑛? Dar resultados en unidades 𝑀𝐾𝑆.
7. Un corcho tiene un volumen de 4 𝑐𝑚3 y una densidad de 207 𝑘𝑔/𝑚3 a) ¿Qué volumen
del corcho se encuentra bajo la superficie cuando el corcho flota en agua? b) ¿Qué fuerza
hacia abajo es necesaria para sumergir el corcho por completo?
8. Un globo meteorológico tiene que operar a una altitud donde la densidad del aire es de
0.9 𝑘𝑔/𝑚3. A esa altitud, el globo tiene un volumen de 20 𝑚3 y está lleno de hidrógeno
(𝜌𝐻 = 0.09 𝑘𝑔/𝑚3). Si la bolsa del globo pesa 118 𝑁 ¿Qué carga es capaz de soportar
a este nivel?
248
9. El agua fluye a través de una manguera de hule de 2 𝑐𝑚 de diámetro a una velocidad de
4 𝑚/𝑠. a) ¿Qué diámetro debe tener el chorro si el agua sale a 20 𝑚/𝑠? b) ¿Cuál es el
gasto en 𝑚3/𝑚𝑖𝑛?
10. Un frasco de 257 𝑚𝑙 está lleno de agua a 9° C. Cuando el frasco se calienta a 80° C,
se derraman 6 𝑔 de agua. ¿Cuál es la densidad del agua a 80° C? (suponemos que la
dilatación del frasco es despreciable).
CUESTIONARIO IV
1. Una presa rectangular de 30 𝑚 de anchura soporta una masa de agua que alcanza una
altura de 50 𝑚. Determina la fuerza sobre la presa debida tanto al agua como a la presión
atmosférica.
2. La base de la pata de un insecto tiene una forma aproximadamente esférica, con radio
de 2 × 10−3 𝑚. La masa de 2 𝑔 del insecto se sostiene por igual en las seis patas.
Calcule el ángulo 𝜃 para un insecto sobre la superficie del agua, suponga que la
temperatura del agua es de 15° C.
3. a) ¿Cuál es la presión total sobre la espalda de un buzo profesional en un lago a una
profundidad de 8 𝑚? b) ¿Cuál es la fuerza sobre la espalda del buzo, debida únicamente
al agua, tomando la superficie de la espalda como un rectángulo de 60 × 50 𝑐𝑚?
4. ¿Cuál es el volumen de una barra de oro si tiene una masa de 400 𝑘𝑔 y su densidad
es de 19.3 × 103 𝑘𝑔/𝑚3?
5. Raquel trabaja en un laboratorio calculando la densidad de ciertos objetos. José le llevó
a Raquel un objeto cuyo peso es 330 𝑔 y su capacidad es de 900 𝑐𝑚3. ¿Cuál es la
densidad del objeto que José le dio a Raquel?
249
SUGERENCIAS DE PROYECTOS DE INVESTIGACIÓN
• Presión arterial y flujo sanguíneo.
• Plasmas cotidianos.
• Huracanes y tornados.
• Gasto cardiaco.
• Prensa hidráulica.
• Globos aerostáticos.
• Submarinos.
• Súper fluidos y helio líquido.
• Perfiles de alas y sustentación.
• Maquinaria hidroneumática.
• Fluidos no newtonianos.
• Tensión superficial.
SITIOS DE INTERÉS
<http://www.aapt.org/>
<http://portalacademico.cch.unam.mx/>
<https://www.edumedia-sciences.com/es/>
<http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/>
<https://phet.colorado.edu/>
<http://www.falstad.com/>
<https://sites.google.com/site/fisicacontics/home/introduccion>
<http://fisica.uson.mx/manuales/magyopt.html>
<http://www.dgbiblio.unam.mx>
<http://alumnoscch.wordpress.com/>
250
REFERENCIAS
BÁSICA
• Gutiérrez, C. (2009). Física general, capítulos 7 y 10. México: Mc Graw Hill.
• Halliday, D., Resnick, R. y Walker, J. (2011). Fundamentos de física, Volumen 1,
capítulo 15 páginas 365-391, octava edición. México: Grupo Editorial Patria.
• Jones, E y Childers, R. (2001). Física contemporánea, capítulo 9, tercera Edición.
México: Mc Graw Hill.
• Serway, R. y Faughn, J. (2001). Física, capítulos 7 y 8, quinta edición. México: Pearson
Educación.
• Serway, R. Vuille, C. y Faughn, J. (2010). Fundamentos de física, capítulos 7 y 8, octava
edición. Cengage Learning.
• Tippens, Paul E. (2011). Física, conceptos y aplicaciones, capítulos 10 y 11, séptima
edición. México: Mc Graw Hill.
• Wilson, J., Buffa, A. y Lou, B. (2007). Física, capítulo 7 y 8, sexta edición. México:
Pearson Educación.
COMPLEMENTARIA
• Alonso, M. y Rojo, O. (1981). Física mecánica y termodinámica. México: Fondo
Educativo Interamericano.
• Cromer, Alan. (1981). Física para las ciencias de la vida, segunda edición, México:
Editorial Reverte.
• Giancoli, Douglas. (2009). Física 1: Principio con aplicaciones, sexta edición, México:
Pearson Educación.
• Hecht, E. (2000). Física 1: álgebra y trigonometría, segunda edición, México:
International Thomson Editores.
• Resnick, R. Halliday, D. y Krane, K. (2012). Física, vol. 1, cuarta Edición, México:
Editorial John Wiley & Son.
• Riveros, R. Héctor, et al. (2000). Experimentos impactantes 1, mecánica y fluidos.
México: Editorial Trillas.
251
APÉNDICE A
Unidades SI Básicas y Suplementarias
Magnitud Unidad
Nombre Símbolo
Unidades Básicas
Longitud metro m
Masa kilogramo Kg
Tiempo segundo S
Intensidad de corriente eléctrica ampere A
Temperatura termodinámica kelvin K
Cantidad de sustancia mol Mol
Intensidad luminosa candela Cd
Unidades Suplementarias
Ángulo plano radian rad
Ángulo sólido estereorradián sr
APÉNDICE B
Datos Físicos
Magnitud Símbolo Valor
Aceleración gravitatoria normal 𝑔 9.8 𝑚/𝑠2
Velocidad del sonido en el aire 𝑐 340 𝑚/𝑠
Peso molecular en el aire 𝑀 28.99
Densidad del aire (𝟐𝟎 ℃) 휌𝑎𝑖𝑟𝑒 1.29 𝑘𝑔/𝑚3
Densidad del agua (𝟒 ℃) 휌𝑎𝑔𝑢𝑎 1000 𝑘𝑔/𝑚3
Presión y temperatura 𝑃, 𝑇 1.013 × 10−5𝑃𝑎,
273.15 𝐾
Calor fusión del agua 𝐿𝑓 79.7 𝑐𝑎𝑙/𝑔
Calor vaporización del agua 𝐿𝑣 540 𝑐𝑎𝑙/𝑔
Equivalente mecánico de la caloría 𝐽 1 𝑐𝑎𝑙 = 4.184 𝐽
Equivalente energético de la masa
(𝑬 = 𝒎𝒄𝟐)
1 𝑢 = 931.494 𝑀𝑒𝑉
1 𝑘𝑔 = 8.98 × 1016 𝐽1 𝑘𝑔 = 5.609 × 1035 𝑒𝑉
Masa del Sol 𝑀𝑠 1.991 × 1030 𝑘𝑔Masa de la Tierra 𝑀𝑇 5.979 × 1024 𝑘𝑔Radio de la Tierra 𝑅𝑇 6.371 × 106 𝑚Radio de la órbita de la Tierra 1.50 × 1011 𝑚Periodo de revolución de la Tierra 3.155 × 107 𝑠Periodo de rotación de la Tierra 8.616 × 104 𝑠 (día sideral)
Masa de la Luna 𝑀𝐿 7.354 × 1022 𝑘𝑔Radio de la Luna 𝑅𝐿 1.738 × 106 𝑚Radio de la órbita de la Luna 3.84 × 108 𝑚Periodo de revolución y de rotación
de la Luna 2.30 × 106 𝑠
252
APÉNDICE C
Unidades SI Derivadas
Magnitud Nombre Símbolo Definición
Frecuencia ℎ𝑒𝑟𝑡𝑧 𝐻𝑧 𝑠−1
Fuerza 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 𝑁 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠2
Presión, tensión 𝑝𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 𝑃𝑎 𝑁 ∙ 𝑚2
Energía, trabajo,
cantidad de calor 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 𝐽 𝑁 ∙ 𝑚
Potencia, flujo
radiante 𝑤𝑎𝑡𝑡 𝑊 𝐽 ∙ 𝑠−1
Cantidad de
electricidad, carga
eléctrica
𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝐶 𝐴 ∙ 𝑠
Tensión eléctrica,
potencial eléctrico,
fuerza electromotriz
𝑣𝑜𝑙𝑡 𝑉 𝐽 ∙ 𝐶−1
𝑊 ∙ 𝐴−1
Resistencia eléctrica 𝑜ℎ𝑚 Ω 𝑉 ∙ 𝐴−1
Conductancia
eléctrica 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑆 𝐴 ∙ 𝑉−1
Capacidad eléctrica 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑 𝐹 𝐶 ∙ 𝑉−1
Flujo magnético, flujo
de inducción
magnética
𝑤𝑒𝑏𝑒𝑟 𝑊𝑏 𝑉 ∙ 𝑠
Inducción magnética,
densidad de flujo
magnético
𝑡𝑒𝑠𝑙𝑎 𝑇 𝑊𝑏 ∙ 𝑚−2
Inductancia ℎ𝑒𝑛𝑟𝑦 𝐻 𝑊𝑏 ∙ 𝐴−1
Flujo luminoso 𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑚 𝑐𝑑 ∙ 𝑠𝑟
Iluminancia 𝑙𝑢𝑥 𝑙𝑥 𝑙𝑚 ∙ 𝑚−2
Actividad radiactiva 𝑏𝑒𝑐𝑞𝑢𝑒𝑟𝑒𝑙 𝐵𝑞 𝑠−1
Dosis absorbida 𝑔𝑟𝑎𝑦 𝐺𝑦 𝐽 ∙ 𝑘𝑔−1
Dosis equivalente 𝑠𝑖𝑒𝑣𝑒𝑟𝑡 𝑆𝑣 𝐽 ∙ 𝑘𝑔−1
Actividad catalítica 𝑘𝑎𝑡𝑎𝑙 𝑘𝑎𝑡 𝑠−1 ∙ 𝑚𝑜𝑙
253
APÉNDICE D
Unidades SI Compuestas
Magnitud Nombre Símbolo
Momento de una fuerza 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 𝑚 ∙ 𝑁
Tensión superficial 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑁/𝑚
Viscosidad dinámica 𝑝𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑃𝑎 ∙ 𝑠
Energía volúmica, densidad de
energía 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑜 𝐽/𝑚3
Energía másica, energía específica 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑘𝑔 𝐽/𝑘𝑔
Energía molar 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑜𝑙 𝐽/𝑚𝑜𝑙 Entropía, capacidad térmica 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑘𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛 𝐽/𝐾
Entropía específica, capacidad
térmica específica 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑘𝑔 𝑘𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛 𝐽/(𝑘𝑔 ∙ 𝐾)
Entropía molar, calor molar 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑜𝑙 𝑘𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛 𝐽/(𝑚𝑜𝑙 ∙ 𝐾)
Conductividad térmica 𝑤𝑎𝑡𝑡 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑘𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛 𝑊/(𝑚 ∙ 𝐾)
Intensidad del campo eléctrico 𝑣𝑜𝑙𝑡 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑉/𝑚
Desplazamiento eléctrico,
densidad superficial de carga 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐶/𝑚2
Densidad de carga 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑜 𝐶/𝑚3
Permitividad 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝐹/𝑚
Permeabilidad ℎ𝑒𝑛𝑟𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝐻/𝑚
Intensidad radiante 𝑤𝑎𝑡𝑡 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑒𝑜𝑟𝑟𝑎𝑑𝑖á𝑛 𝑊/𝑠𝑟
254
APÉNDICE E
Unidades SI Autorizadas
Magnitud Unidad
Nombre Símbolo Relación
Volumen litro 𝑙, 𝐿 1 𝐿 = 1 𝑑𝑚3
Masa tonelada 𝑡 1 𝑡 = 103 𝑘𝑔Presión, Tensión bar 𝑏𝑎𝑟 1 𝑏𝑎𝑟 = 105 𝑃𝑎
Magnitud Unidad
Nombre Símbolo Relación
Ángulo plano
Vuelta 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 1 vuelta = 2휋 𝑟𝑎𝑑
Grado centesimal 𝑔𝑜𝑛 1 𝑔𝑜𝑛 = 휋/200 𝑟𝑎𝑑
Grado o 1° = 휋/180 𝑟𝑎𝑑Minuto de ángulo ´ 1´ = 휋/10800 𝑟𝑎𝑑
Segundo de ángulo " 1" = 휋/648000 𝑟𝑎𝑑
Tiempo
Minuto 𝑚𝑖𝑛 1 𝑚𝑖𝑛 = 60 𝑠
Hora ℎ 1 ℎ = 3600 𝑠
Día 𝑑 1 𝑑 = 86400 𝑠
APÉNDICE F
Múltiplos y Submúltiplos Decimales
Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo
𝟏𝟎𝟐𝟒 𝑦𝑜𝑡𝑡𝑎 Y 10−1 𝑑𝑒𝑐𝑖 d
𝟏𝟎𝟐𝟏 𝑧𝑒𝑡𝑡𝑎 Z 10−2 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖 c
𝟏𝟎𝟏𝟖 𝑒𝑥𝑎 E 10−3 𝑚𝑖𝑙𝑖 m
𝟏𝟎𝟏𝟓 𝑝𝑒𝑡𝑎 P 10−6 𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜 μ
𝟏𝟎𝟏𝟐 𝑡𝑒𝑟𝑎 T 10−9 𝑛𝑎𝑛𝑜 n
𝟏𝟎𝟗 𝑔𝑖𝑔𝑎 G 10−12 𝑝𝑖𝑐𝑜 p
𝟏𝟎𝟔 𝑚𝑒𝑔𝑎 M 10−15 𝑓𝑒𝑚𝑡𝑜 f
𝟏𝟎𝟑 𝑘𝑖𝑙𝑜 k 10−18 𝑎𝑡𝑡𝑜 a
𝟏𝟎𝟐 ℎ𝑒𝑐𝑡𝑜 ℎ 10−21 𝑧𝑒𝑝𝑡𝑜 z
𝟏𝟎𝟏 𝑑𝑒𝑐𝑎 𝑑 10−24 𝑦𝑜𝑐𝑡𝑜 y
255
APÉNDICE G
Alfabeto Griego
Símbolo griego Nombre griego Nombre español Equivalencia
𝚨 𝛼 𝑎𝑙𝑓𝑎 𝑎
𝚩 𝛽 𝑏𝑒𝑡𝑎 𝑏
𝚪 𝛾 𝑔𝑎𝑚𝑚𝑎 𝑔
𝚫 𝛿 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑑
𝚬 휀, 𝜖 é𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛 𝑒 breve
𝚭 휁 𝑧𝑒𝑡𝑎 𝑧
𝚮 휂 𝑒𝑡𝑎 𝑒 larga
𝚯 휃 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎 𝑡ℎ (𝑡)
𝚰 휄 𝑖𝑜𝑡𝑎 𝑖
𝚱 휅 𝑘𝑎𝑝𝑝𝑎 𝑘 (𝑐)
𝚲 휆 𝑙𝑎𝑚𝑏𝑑𝑎 𝑙
𝚳 휇 𝑚𝑦 𝑚
𝚴 휈 𝑛𝑦 𝑛
𝚵 휉 𝑥𝑖 𝑥
𝚶 휊 ó𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜𝑛 𝑜 breve
𝚷 휋 𝑝𝑖 𝑝
𝚸 휌, 𝜚 𝑟ℎ𝑜 𝑟
𝚺 𝜎, 𝜍 𝑠𝑖𝑔𝑚𝑎 𝑠
𝚻 𝜏 𝑡𝑎𝑢 𝑡
𝚼 𝜐 í𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛 𝑦
𝚽 𝜑, 𝜙 𝑝ℎ𝑖 (𝑓𝑖) 𝑝ℎ (𝑓)
𝚾 𝜒 𝑗𝑖 𝑐ℎ (𝑐, 𝑞𝑢)
𝚿 𝜓 𝑝𝑠𝑖 𝑝𝑠
𝛀 𝜔 𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎 𝑜 larga
256
APÉNDICE H
Constantes Físicas Fundamentales
Magnitud Símbolo Valor
Carga eléctrica fundamental 𝑒 1.602 × 10−19 𝐶Constante de Boltzmann 𝑘𝐵 1.380 × 10−23 𝐽/𝐾Constante dieléctrica 𝑘 8.98 × 109 𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶2
Constante de estructura fina 𝛼 7.29 × 10−3 Constante de Faraday 𝐹 9.648 × 104 𝐶/𝑚𝑜𝑙Constante de gravitación 𝐺 6.672 × 10−11 𝑁 ∙ 𝑚2/𝑘𝑔2
Constante de los gases 𝑅 8.314472 𝐽/𝑚𝑜𝑙 ∙ 𝐾
Constante de Planck ℎ 6.626 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠Constante de Rydberg 𝑅𝑀 1.097 × 107 𝑚−1
Constante de Stefan-Boltzmann 𝜎 5.670 × 10−8 𝑊/𝑚2 ∙ 𝐾4
Constante de Wien 휆𝑚𝑎𝑥 𝑇 2.88 × 10−3 𝑚 ∙ 𝐾
Longitud de onda Compton
…del electrón
…del protón
휆𝑐𝑒
휆𝑐𝑝
2.426 × 10−12 𝑚1.321 × 10−15 𝑚
Magnetón de Bohr 휇𝐵 9.274 × 10−24 𝐽/𝑇Magnetón nuclear 휇𝑛 5.050 × 10−27 𝐽/𝑇Masa del electrón 𝑚𝑒 9.109 × 10−31 𝑘𝑔Masa del neutrón 𝑚𝑛 1.674 × 10−27 𝑘𝑔
Masa del protón 𝑚𝑝 1.672 × 10−27 𝑘𝑔
Número de Avogadro 𝑁𝐴 6.022 × 10−23 𝑚𝑜𝑙−1
Numero de Loschmidt 𝐿 2.686 × 1025 𝑚−3
Permeabilidad del vacío 휇0 4휋 × 10−3 𝐻/𝑚Punto triple del agua 𝜖0 8.854 × 10−12 𝐹/𝑚Radio del electrón 𝑟0 2.818 × 10−15 𝑚Radio de Bohr 𝑎0 5.292 × 10−11 𝑚Razón elm para el electrón 𝑒𝑙𝑚𝑒 1.758 × 1011 𝐶/𝑘𝑔Razón cuántica para la carga ℎ/𝑒 4.135 × 10−15 𝐽 ∙ 𝑠/𝐶Velocidad de la luz en el vacío 𝑐 2.997 × 108 𝑚/𝑠Volumen molar del gas ideal 𝑣0 22.413 𝑙/𝑚𝑜𝑙
257
APÉNDICE I
Datos Planetarios
Nombre Radio
ecuatorial[𝒌𝒎]
Masa (relativa
a la
Tierra*)
Densidad
Media [𝒌𝒈/𝒎𝟑]
Gravedad
superficial (relativa a la de la Tierra)
Eje orbital
semimayor
Rapidez
de
escape [𝒌𝒎/𝒔]
Periodo
orbital [𝒂ñ𝒐𝒔]
Excentricidad
orbital × 106 𝑘𝑚 (UA)
Mercurio 2440 0.0553 5430 0.38 57.9 0.387 4.2 0.240 0.206
Venus 6052 0.816 5240 0.91 108.2 0.723 10.4 0.615 0.007
Tierra 6370 1 5510 1 149.6 1 11.2 1.000 0.017
Marte 3394 0.108 3930 0.38 227.9 1.523 5.0 1.881 0.093
Júpiter 71492 318 1360 2.53 778.4 5.203 60 11.86 0.048
Saturno 60268 95.1 690 1.07 1427.0 9.539 36 29.42 0.054
Urano 25559 14.5 1270 0.91 2871.0 19.19 21 83.75 0.047
Neptuno 24776 17.1 1640 1.14 4497.1 30.06 24 163.7 0.009
Plutón** 1137 0.0021 2060 0.07 5906 39.84 1.2 248.0 0.249 *Masa de la Tierra= 𝟓. 𝟗𝟕 × 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝒌𝒈 ** Plutón es un planeta enano.
Datos del Sistema Solar
Radio ecuatorial de la Tierra 6.37 × 103 𝑘𝑚Masa de la Tierra 5.97 × 1024 𝑘𝑔Radio de la Luna 1740 𝑘𝑚
Masa de la Luna 7.35 × 1022 𝑘𝑔 ≈ 1/81 𝑚𝑇
Distancia promedio Luna-Tierra 3.84 × 105 𝑘𝑔Radio del Sol 6.95 × 105 𝑘𝑚Masa del Sol 2.00 × 1030 𝑘𝑔Distancia promedio Sol-Tierra 1.50 × 108 𝑘𝑚
Planeta Densidad [𝒈/𝒄𝒎𝟑]
Inclinación
del eje
Periodo de
rotación
Inclinación
de la órbita
Número de
satélites
Mercurio 5.44 < 30° 58.6 d 7° 0
Venus 5.24 177° 243 d 3.3° 0
Tierra 5.52 23.5° 23.9 d 0° 1
Marte 3.95 25.2° 24.6 d 1.8° 2
Júpiter 1.33 3.1° 9.9 d 1.3° 12
Saturno 0.69 26.4° 10.2 d 2.5° 10
Urano 1.26 98° 10.8 d 0.8° 5
Neptuno 1.67 29° 15.8 d 1.8° 2
Plutón** 1-1.5 120° 6.4 d 17.2° 5 ** Plutón es un planeta enano.
258
APÉNDICE J
Unidades Sistema Ingles
Magnitud Nombre Símbolo Equivalencia
Longitud
pulgada (𝑖𝑛𝑐ℎ) 𝑖𝑛 0.0254 𝑚
pie (𝑓𝑜𝑜𝑡) 𝑓𝑡 0.3048 𝑚
yarda 𝑦𝑑 0.914 𝑚
milla 𝑚𝑖 1609.34 𝑚
milla náutica 𝑛𝑚 1852 𝑚
Velocidad nudo (𝑘𝑛𝑜𝑡) 𝑛𝑢𝑑𝑜
1 𝑛𝑚/ℎ
1.852 𝑘𝑚/ℎ
Volumen galón (𝑖𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠) 𝑔𝑎𝑙ó𝑛 4.536 𝑙 galón (𝑈𝑆𝐴) 𝑔𝑎𝑙ó𝑛 3.785 𝑙
Masa
libra 𝑙𝑏 0.453 𝑘𝑔
slug 𝑠𝑙𝑢𝑔 14.593 𝑘𝑔
ton (𝑏𝑟𝑖𝑡á𝑛𝑖𝑐𝑎) 𝑡𝑜𝑛 1016 𝑘𝑔
ton (𝑈𝑆𝐴) 𝑡𝑜𝑛 907.2 𝑘𝑔
Fuerza
pound (𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎) 𝑙𝑏 𝑤𝑡 4.448 𝑁
poundal 0.138 𝑁
0.014 𝑁
Energía, Trabajo
foot pound 𝑓𝑡 ∙ 𝑙𝑏 1.355 𝐽
foot poundal 0.042 𝐽
british termal unit 𝐵𝑡𝑢 1 𝐵𝑡𝑢 = 252 𝑐𝑎𝑙 1 𝐵𝑡𝑢 = 1055 𝐽
Potencia foot pound per second (𝑝𝑖𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)
𝑓𝑡 ∙ 𝑙𝑏/𝑠 1.355 W
horse power (𝑐𝑎𝑏𝑎𝑙𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎) 𝐻𝑃 745.700 𝑊
Presión
pound wt per sq. inch (𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎)
𝑙𝑏/𝑖𝑛2, 𝑝𝑠𝑖 6894.756 𝑃𝑎
pound wt per sq. foot (𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑖𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜)
𝑙𝑏/𝑓𝑡2 47.880 𝑃𝑎
Universidad Nacional Autónoma de México
México, 2021
Universidad Nacional Autónoma de México 2021
La naturaleza se manifiesta en ciertos fenómenos que siguen determinadas pautas que revelan una
estructura de relación entre sus partes. Estas pautas o leyes, que el científico intenta descubrir,
no son modificables por la voluntad humana pero su conocimiento puede servir para eliminar,
alterar o producir determinados acontecimientos.
En este libro estudiamos la mecánica de un sólido rígido, que es aquella donde se estudia
el movimiento y equilibrio de sólidos materiales ignorando sus deformaciones. Se trata, por tanto,
de un modelo matemático útil para estudiar una parte de la mecánica de sólidos, ya que todos los
sólidos reales son deformables.
En todos los capítulos se tratan temas de la mecánica clásica o newtoniana que pretenden, a partir
de expresiones y razonamientos matemáticos acordes con los postulados físicos de la teoría,
explicar y predecir el comportamiento de los cuerpos sometidos a interacciones con otros cuerpos.
En el estudio de la mecánica clásica se busca conocer no solo el estado del sistema considerado,
sino también el del entorno físico que lo rodea.
La finalidad de todo este material es la de promover en los estudiantes aprendizajes significativos,
que amplíen sus conocimientos, así como de profundizar la comprensión de los fenómenos físicos
que les permita tener explicaciones fundamentadas de eventos que acontecen en su entorno.
El libro contiene una explicación teórica de los fenómenos físicos en sistemas de cuerpos rígidos,
donde se conceptualizan y se da un modelo matemático de los mismos. También contiene una
serie de problemas resueltos de diferentes niveles de dificultad para que el profesor los tome como
problemas-ejemplo en la clase, también problemas para que los alumnos los resuelvan en clase
y extra clase.
A los profesores que imparten el curso en el Colegio este libro les puede ser útil en la planeación
y desarrollo en su quehacer frente a sus grupos, como una guía en el desarrollo de sus temas y
ejercicios en clase.
Los autores somos profesores del Colegio de Ciencias y Humanidades que hemos dedicado tiempo
y esfuerzo en realizar este material. Esperamos sea un apoyo para los alumnos en su aprendizaje
de la física y a los profesores les facilite su labor docente.