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Física Estadística

Largo-Solana

Gas de electronesen un metal Física Estadística

Tercer curso del Grado en Física

J. Largo & J.R. Solanalargoju at unican.es solanajr at unican.es

Departamento de Física AplicadaUniversidad de Cantabria


Largo-Solana

Gas de electronesen un metal

Emisión termoiónica

Efecto Schottky

Efecto fotoeléctrico

Indice I

Gas de electrones en un metalEmisión termoiónicaEfecto SchottkyEfecto fotoeléctrico


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Efecto Schottky


Gas de electrones en un metal

En el caso de un sólido metálico,

además de las vibraciones cristalinas, es preciso teneren cuenta la contribución del gas de electrones libres.La conductividad térmica y eléctrica son consecuenciade la existencia de dicho gas.

El hecho de que dichas magnitudes sean elevadas en los metales es debido a que los electrones libres,se mueven a gran velocidad por el interior del metal y existe una relación lineal entre dichas propiedadesde transporte y la velocidad media de los electrones.


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Efecto Schottky



La ley de Wiedemann-Franz

establece que en el caso de metales a temperaturas nodemasiado bajas el cociente entre la conductividadtérmica y la eléctrica es directamente proporcional a latemperatura, siendo el valor de la constante deproporcionalidad independiente del metal (la constantede Lorentz).

K

σ= LT

confirmada mediante la Física Estadística aplicada al gasde electrones, lo que evidencia la existencia del mismo.


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Efecto Schottky



Consideraciones

• A pesar que la densidad de e− en un metal eselevada, veremos que podemos considerar que nointeraccionan (ni con e− ni con cationes).

• Los electrones se mantienen en el metal debido a labarrera de potencial que los separa del exterior.

• Es un gas ideal de Fermi-Dirac, como la densidad deelectrones es elevada, TF � T → el gas estáfuertemente degenerado.


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Efecto Schottky


Gas Ideal Fermi fuertemente degenerado

El número de electrones

N =4

3πgV

(2m

h2

)32

µ320

• m masa del electrón

• µ0 = εF y g = 2

• TF = εF/k ∼ 105K.A T ambiente el gas será fuertemente degenerado.


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Efecto Schottky



Experimentalmente CV |T→0 = AT +BT 3

CelectronesV =π2

2Nk

T

TF

en las proximidades del cero absoluto, la contribución delas vibraciones cristalinas a la capacidad calorífica es

CDebyeV =12π4

5Nk

(T

ΘD

)3

donde TF = εF/k ≈ 105 y ΘD = hνm/k


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Efecto Schottky



Experimentalmente CV |T→0 = AT +BT 3

• Correcto solo cualitativamente, debido a que laaproximación de gas ideal cuántico impide unapredicción ajustada del coeficiente A.

• Para T � TF su comportamiento es más Idealcuanto mayor es su densidad!!!.

Para que el gas se comporte como un gas ideal cuánti-co es necesario que la energía potencial de interacciónsea despreciable frente a la energía cinética de los elec-trones.


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Efecto Schottky



¿Realmente podemos considerarlo ideal?

Comparamos la Epotencial de interacción con la εFEnergia potencial de interacción e-ión, siendo ne númerode e− libres por átomo.

Ep ≈ Knee

2

d

La distancia media entre e-iones d ≈(neVN

)1/3Gas ideal si Ep � εF

Kn23e e

2

(N

V

)13

�h2

2m

(3

8π

)23(N

V

)23


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Efecto Schottky



¿Realmente podemos considerarlo ideal?

Cuanto mayor es la densidad de electrones mejor secumple.

N

V�(

8πme2K

3h2

)3

n2e

Para la interacción e− − e− se cumple mejor ( ya quene = 1).


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Efecto Schottky


Resumen

El gas de e− de un sólido metálico:

• Es un gas ideal cuántico de Fermi-Dirac fuertementedegenerado.

• Tanto más ideal cuanto mayor sea la densidad dee−.

• La Física Estadística explica la ley empírica querelaciona las conductividades eléctrica y térmica, asícomo el comportamiento de CV a bajas T

• Los e− no escapan del metal debido a la barrera depotencial.


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Efecto Schottky


Emisión Termoiónica

¿qué ocurre si los e− escapan del metal?

A pesar de la barrera de potencial que tiende a mantenerlos electrones en el interior del metal, a cualquiertemperatura existen electrones que tienen energíasuficiente como para vencer la barrera de potencial yescapar (la probabilidad aumenta con la temperatura).Cuando los electrones escapan dejan en el metal unexceso de carga positiva que dificulta el escape denuevos electrones y tiende a hacer que los escapadosregresen. Se establece un estado estacionario.


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Efecto Schottky



Si los electrones que escapan se recogen mediante un electrodo con potencial positivo (ánodo) conrespecto al emisor (cátodo) y se cierra el circuito de manera que los electrones capturados por el ánodoregresen por el circuito hacia el cátodo, la emisión de electrones se mantiene indefinidamente y por elcircuito circula una corriente ip .

T3

T2

T1

i p

V

Figura: Curvas características de la emisión termoiónica adistintas temperaturas.


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Efecto Schottky



Intensidad o corriente de saturación Js

La intensidad aumenta al aumentar la diferencia depotencial aplicada (no porque salgan más electronessino porque se recogen más) hasta alcanzar un valorsaturante Js, que aumenta al aumentar la temperatura.

Vamos a obtener una expresión para Js


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Efecto Schottky



Consideremos una superficie del metal perpendicular al eje x. Un electrón que se mueva hacia dichasuperficie con momento −→p en una dirección que forme un ángulo θ con la dirección del eje x, tendráuna componente en dicha dirección px = pcosθ. La distancia que recorrerá en un tiempo dt serávdt = pdt/m y la distancia que recorrerá en la dirección del eje x será:

dx = vx dt =px

mdt =

p cos θ

mdt =

(2ε

m

)1/2cos θ dt

x

px

pdA vdt

vxdt

dA

Todos los electrones que se muevan en una dirección que forme un ángulo θ con el eje x y se encuentrendentro del volumen del cilindro indicado en la figura alcanzarán el elemento de superficie dA de la pareden el tiempo dt.


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Efecto Schottky



El número de e− con energía (ε, ε+dε) y que se muevencon dirección (θ, θ + dθ)

d2N(ε, θ) = n(ε)d2D(ε, θ)

• n(ε) node ocupación de un estado cuántico de energía ε.

n(ε) =1

e(ε−µ)/kT + 1

• d2D(ε, θ) node estados cuánticos de energía (ε, ε+ dε) y correspondientes a unadirección de movimiento que forme un ángulo (θ, θ + dθ).

gdVqdVp

h3= g

1

h3V p

2senθdθdϕdp

con ε = p2

2m

d2D (ε, θ) = π g V

(2m

h2

)3/2ε1/2

dε sen θdθ


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Efecto Schottky



d2N(ε, θ) = 2πV

(2m

h2

)3/2 ε1/2dε

e(ε−µ)/kT + 1senθdθ

El número de partículas que inciden en el elemento desuperficie dA en el tiempo dt con dirección (θ, θ + dθ)es:

d4Ni(ε, θ) = d2N(ε, θ)dxdA

V=

=

(2m

h2

)3/2 2πε1/2dε

e(ε−µ)/kT + 1senθdθ

(2ε

m

)1/2

cosθdtdA

donde hemos tenido en cuenta que

dx = vx dt =px

mdt =

p cos θ

mdt =

(2ε

m

)1/2cos θ dt


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Efecto Schottky



Resumen del procedimiento

1. Queremos “contar” los e− que van a llegar a unasuperficie del sólido.

2. El número de e− con energía ε y con dirección θ esdN(ε, θ)

• d2D(ε, θ) número de estados cuánticos de energíaε y que forma un ángulo θ.

• n(ε) número de ocupación de un estado cuántico deenergía ε.

3. El número de e− que llegan en un tiempo dt alelemento de superficie dA es dxdA

V

4. Solo los que tengan energía suficiente van a salir.


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Efecto Schottky



El flujo incidente (θ, θ + dθ) es

d2Φi(ε, θ) =d4Ni(ε, θ)

dAdt=

=8πm

h3

εdε

e(ε−µ)/kT + 1senθcosθdθ

Los e− que escapen deben tener una componente delmomento en esa dirección que supere la barrera

p2x2m

=p2cos2θ

2m= εcos2θ > W

Introduce una restricción sobre el ángulo de incidencia.


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Efecto Schottky



El flujo de electrones que escapan:

Φe =8πm

h3

∫ ∞W

εdε

e(ε−µ)/kT + 1

∫ arc cos(W/ε)1/2

0sen θ cos θdθ =

=4πm

h3

∫ ∞W

εdε

e(ε−µ)/kT + 1

(1−

W

ε

)La densidad de corriente de saturación

Js = Φee =4πm

h3

∫ ∞W

ε−Wdε

e(ε−µ)/kT + 1

Experimentalmente e(W−µ)/kT � 1, y en todo el rangode integración será e(ε−µ)/kT � 1.


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Efecto Schottky



Js ≈4πme

h3

∫ ∞W

(ε−W ) e−(ε−µ)/kTdε

cuya integración conduce a:

Js =4πmek2

h3T 2e−φ/kT

ecuación de Dushmanφ = W − µ es la función de trabajo del metal.


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Efecto Schottky



La emisión termoiónica hace disminuir la energíainterna del metal

Cuestión: ¿Cuál es la energía de los electrones queescapan?


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Efecto Schottky



La emisión termoiónica hace disminuir la energíainterna del metal

Si N electrones escapan hacia el exterior del metal, laenergía requerida para ello será:

∆U = N

[φ+ 〈ε〉 −

∫ T

0cV dT

]donde 〈ε〉 es la energía cinética media de un electrón enel exterior del metal.


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Efecto Schottky



El número de electrones de retorno con componente x dela velocidad comprendida entre vx y vx+dvx que chocancontra el elemento de superficie dA en el tiempo dt es:

d3N (vx) =N

Vρ (vx) υxdυxdAdt =

=N

V

(m

2πkT

)1/2

υxe−mυ2

x/2kTdυxdAdt


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Efecto Schottky



La contribución a la energía cinética media será

〈εx〉 =1

2m⟨v2x⟩

=1

2m

∫∞0 υ3

xe−mυ2

x/2kT dυx∫∞0 υxe−mυ

2x/2kT dυx

= kT

mientras que la contribución de cada uno de los otros dosgrados de libertad es (1/2)kT

∆U = N

[φ+ 2 kT −

∫ T

0cV dT

]


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Efecto Schottky


Efecto Schottky

Efecto Schottky

Si el campo eléctrico aplicado es moderadamente fuertepuede influir en el escape de los electrones y por tantoen la corriente de saturación.


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Efecto Schottky


Efecto Schottky

E

q’ q

x x

Para determinar la densidad de corriente de saturación consideramos, un e− que escapa una distancia

x de la superficie del metal deja un hueco de carga e+ en el interior del metal a distancia x. La fuerza

atractiva entre el e− y el hueco:

F = −1

4πε0

e2

(2x)2


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Efecto Schottky


Efecto Schottky

El potencial del e− a distancia x debida a la interaccióncon el hueco

ϕ = −∫ x

∞

F

−edx =

1

4πε0

e

4x

La energía potencial del e− en el exterior del metal debidaal campo creado por el hueco

E′p = ϕq′ = −1

4πε0

e2

4x

La energía potencial del e− debida al campo externo apli-cado

Ep = q′Ex = −eEx


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Efecto Schottky


Efecto Schottky

Los e− en el interior del metal se encuentran en un po-zo de potencial de energía −W .La diferencia de energíapotencial entre un e− en el exterior del metal y otro en elinterior.

∆Ep(x) = W − eEx−1

4πε0

e2

4x, x > 0

hace que la barrera de potencial varíe con la distancia.La máxima altura se obtiene para

xmax = [e/(16πε0E)]1/2

∆Ep(max) = W −e3/2E1/2

(4πε0)1/2

El campo eléctrico reduce la altura efectiva de la barrerade potencial.


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Efecto Schottky


Efecto Schottky

La función de trabajo φ del metal se reducirá en la mismacuantía. Por tanto, la densidad de corriente termoiónicaen presencia del campo será:

Js (E) = Js (0) e1

(4πε0)1/2e3/2 E1/2/kT

Esta expresión es aplicable hasta intensidades de campode 108 volt/m.Para intensidades de campo superiores se produce la denominada emisión fría, debido a que la barrera de

potencial es despreciable frente al efecto del campo aplicado, por lo que la emisión se produce de forma

intensa incluso a bajas temperaturas, al ser el propio campo el que provoca el escape de los electrones.


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Efecto Schottky



El efecto fotoeléctrico

consiste en la emisión de electrones de un metal al seriluminado por una radiación de determinada frecuencia ν.

La energía de los fotones ayuda a los electrones a esca-par del metal

p2x2m

+ hν > W

lo que equivale a reducir la barrera de potencial.

Js =4πme

h3

∫ ∞W−hν

(ε−W + hν) dε

e(ε−µ)/kT + 1


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Efecto Schottky



Definimos la frecuencia umbral ν0, de modo que hν0 =

W − µ = φ.

Js =4πme

h3

∫ ∞W−hν

(ε−W + hν) dε

e(ε−µ)/kT + 1

En el extremo inferior de integración tendríamos en el de-nominador eh(ν0−ν)/kT .


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Efecto Schottky



Si ν � ν0, será eh(ν0−ν)/kT � 1 y por tanto, en todo elintervalo de integración se cumplirá e(ε−µ)/kT � 1

Js ≈4πmek2

h3T 2e−(φ−hν)/kT

Si ν � ν0, será eh(ν0−ν)/kT � 1

Js ≈2πme

h(ν − νo)2

expresión que no depende de la temperatura.


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Efecto Schottky



Finalmente, haciendo el cambio de variable x = (ε−W+

hν)/kT

Js =4πme

h3k2T 2

∫ ∞0

xdx

eh(ν0−ν)/kT ex + 1

y en el caso de que sea ν = ν0, la densidad de corrientede saturación es:

Js =4πme

h3k2T 2

∫ ∞0

xdx

ex + 1

Js =π3mek2

3h3T 2

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