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FÍSICA de

2º de BACHILLERATO

ENUNCIADOS Y SOLUCIONES

DE LOS EJERCICIOS QUE HAN SIDO PROPUESTOS EN LOS EXÁMENES DE

LAS PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS EN LA COMUNIDAD DE MADRID

(1996 − 2010)

DOMINGO A. GARCÍA FERNÁNDEZ DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y QUÍMICA

I.E.S. EMILIO CASTELAR MADRID

Inscrito en el Registro de la Propiedad Intelectual de la Comunidad de Madrid. Referencia: 16/2009/204

FÍSICA de

2º de BACHILLERATO

MECÁNICA E

INTERACCIÓN GRAVITATORIA




(1996 − 2010)




FÍSICA de 2º de BACHILLERATO D.A.G.F.

EJERCICIOS PROPUESTOS EN LOS EXÁMENES DE

LAS PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS

EN LA COMUNIDAD DE MADRID

(1996 − 2010)

MECÁNICA E INTERACCIÓN GRAVITATORIA

Cuestiones

1 − Una partícula de masa m está describiendo una trayectoria circular de radio R con velocidad

lineal constante v.

a) ¿Cuál es la expresión de la fuerza que actúa sobre la partícula en este movimiento?.

¿Cuál es la expresión del momento angular de la partícula respecto al centro de

la trayectoria?.

b) ¿Qué consecuencias sacas de aplicar el teorema del momento angular en este

movimiento?. ¿Por qué?.

Septiembre 1996

Solución.− a) rr

vmF

2

2

cp ; Fcp = mr

v 2

; vmxrL ; L = rmv

b) Trayectoria circular plana; movimiento siempre en el mismo sentido y barrido

por el radio de sectores circulares iguales en tiempos iguales.

2 − a) ¿Qué condición debe cumplir un campo de fuerzas para ser conservativo?.

b) Ponga un ejemplo de campo de fuerzas conservativo y demuestre que se cumple

la citada condición.

Septiembre 1999

Solución.− a) Que sea central ; b) El campo gravitatorio (es central).

3 − Cuando una partícula se mueve en un campo de fuerzas conservativo sometida a la acción de

la fuerza del campo, existe una relación entre las energías potencial y cinética. Explica qué

relación es ésta y efectúa su demostración.

Junio 1996

Solución.− ΔEc = −ΔEp ; ΔEc + ΔEp = ΔEtot = 0.

Página 2

Ejercicios de acceso a la Universidad − Cuestiones de Mecánica e Interacción Gravitatoria

4 − Define los conceptos de: intensidad de campo, potencial, línea de fuerza y superficie

equipotencial en un campo de fuerzas gravitatorio. ¿Bajo qué ángulo cortan las líneas de

fuerza a las superficies equipotenciales?. ¿Por qué?.

Septiembre 1996

Solución.− Intensidad de campo gravitatorio: Fuerza gravitatoria por kilogramo.

Potencial gravitatorio: Energía potencial gravitatoria por kilogramo.

Línea de fuerza: La tangente en cada uno de sus puntos al vector

intensidad de campo.

Superficie equipotencial: La integran todos los puntos en los que

el potencial vale igual.

Las líneas de fuerza y las superficies equipotenciales son perpendiculares entre sí.

5 − a) Enuncie la Primera y la Segunda Ley de Kepler sobre el movimiento planetario.

b) Compruebe que la Segunda Ley de Kepler es un caso particular del Teorema de

conservación del momento angular.

Junio 2000

Solución.− Primera Ley de Kepler: Los planetas describen órbitas elípticas y planas

alrededor del Sol, encontrándose éste en uno de

los focos de dicha elipse.

Segunda Ley de Kepler: El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas

iguales en intervalos de tiempo iguales.

(Es consecuencia de la constancia del módulo del

momento angular del planeta respecto al Sol).

6 − a) Enuncie la Tercera Ley de Kepler y demuéstrela para el caso de órbitas circulares.

b) Aplique dicha Ley para calcular la masa del Sol suponiendo que la órbita de la Tierra

alrededor del Sol es circular con un radio medio de 1,49 x 108 km.

Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11

N∙m2∙kg

−2.

Modelo 2009

Solución.− Tercera Ley de Kepler: Los cuadrados de los períodos de traslación de

los distintos planetas alrededor del Sol son

directamente proporcionales a los cubos de los semiejes

mayores de las órbitas elípticas descritas por

los respectivos planetas.

mSol = 1,97 x 1030

kg.

Página 3


7 − a) Enuncie la Segunda Ley de Kepler. Explique en qué posiciones de la órbita elíptica

la velocidad del planeta es máxima y dónde es mínima.

b) Enuncie la Tercera Ley de Kepler. Deduzca la expresión de la constante de esta Ley

en el caso de órbitas circulares.

Junio 2010 (Fase General)

Solución.− Segunda Ley de Kepler: El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas


La velocidad del planeta es máxima en el perihelio (posición más próxima

al Sol) y mínima en el afelio (posición más alejada del Sol).

Tercera Ley de Kepler: Los cuadrados de los períodos de traslación de





T2 = k∙r

3 k =

3

2

r

T =

Sol

2

Gm

π4 .

8 − a) Enuncie las tres Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.

b) Si el radio de la órbita de la Tierra es 1,50 x 1011

m y el de la de Urano

2,87 x 1012

m, calcule el período orbital de Urano.

Modelo 2006

Solución.− Primera Ley de Kepler: Los planetas describen órbitas elípticas y planas

alrededor del Sol, encontrándose éste en uno de

los focos de dicha elipse.

Segunda Ley de Kepler: El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas


Tercera Ley de Kepler: Los cuadrados de los períodos de traslación de





TU = 2,64 x 109 s.

Página 4


9 − La luz solar tarda 8,31 minutos en llegar a la Tierra y 6,01 minutos en llegar a Venus.

Suponiendo que las órbitas descritas por ambos planetas son circulares, determine:

a) el período orbital de Venus en torno al Sol, sabiendo que el de la Tierra es de

365,25 días;

b) la velocidad con que se desplaza Venus en su órbita.

Dato: Velocidad de la luz en el vacío: c = 3 x 108 m∙s

−1 .

Septiembre 2004

Solución.− T = 1,94 x 107 s ; v = 3,50 x 10

4 m∙s

−1 .

10 − a) ¿Cuál es el período de un satélite artificial que gira alrededor de la Tierra en

una órbita circular cuyo radio es un cuarto del radio de la órbita lunar?.

b) ¿Cuál es la relación entre la velocidad del satélite y la velocidad de la Luna en

sus respectivas órbitas?.

Dato: Período de la órbita lunar: TL = 27,32 días.

Modelo 2010

Solución.− Tsat = 3,42 días = 2,95 x 105 s ;

L

sat

v

v = 2

11 − Dos masas iguales: m = 20 kg, ocupan posiciones fijas

separadas una distancia de 2 m, según indica la figura.

Una tercera masa, m’ = 0,2 kg, se suelta desde el reposo

en un punto A equidistante de las dos masas anteriores

y a una distancia de 1 m de la línea que las une

(AB = 1 m). Si no actúan más que las acciones

gravitatorias entre estas masas, determine:

a) la fuerza ejercida (módulo, dirección y sentido)

sobre la masa m’ en la posición A;

b) las aceleraciones de la masa m’ en las posiciones

A y B.


N∙m2∙kg

−2 .

Septiembre 2005

Solución.− j10x89,1F(A) 10 (N) ; j10x43,9a(A) 10 (ms−2

) ; a(B) = 0.

Página 5

m m B

m’ A


12 − Cuatro masas puntuales idénticas de 6 kg cada una están situadas en los vértices de

un cuadrado de lado igual a 2 m. Calcule:

a) el campo gravitatorio que crean las cuatro masas en el centro de cada lado

del cuadrado;

b) el potencial gravitatorio creado por las cuatro masas en el centro del cuadrado,

tomando el infinito como origen de potenciales.


N∙m2∙kg

−2.

Modelo 2008

Solución.− a) Campo gravitatorio en el centro de cada lado del cuadrado:

vector perpendicular a dicho lado, apuntando al centro del cuadrado y con

módulo igual a: 1,43 x 10−10

N∙kg−1

.

b) Vtotal (centro del cuadrado) = −1,13 x 10−9

J∙kg−1

.

13 − a) ¿Cómo se define la gravedad en un punto de la superficie terrestre?. ¿Dónde será

mayor la gravedad: en los Polos o en un punto del Ecuador?.

b) ¿Cómo varía la gravedad con la altura?. ¿Qué relación existe entre la gravedad a

una altura h y la gravedad en la superficie terrestre?.

Razona las respuestas.

Septiembre 1997

Solución.− a) g = 2

T

T

R

mG ; gEcuador < gPolo

b) g(h) = 2

T

T

Rh

mG

;

g(h)

g(sup) =

2

T

T

R

Rh

.

14 − Llamando g0 y V0 a la intensidad del campo gravitatorio y al potencial gravitatorio en

la superficie terrestre respectivamente, determine en función del radio de la Tierra:

a) la altura sobre la superficie terrestre a la cual la intensidad del campo gravitatorio

es g0/2;

b) la altura sobre la superficie terrestre a la cual el potencial gravitatorio es V0/2.

Junio 2006

Solución.− a) h

2

gg

0 = 0,41 RT ; b) h

2

VV

0 = RT .

15 − a) ¿A qué altitud tendrá una persona la mitad del peso que tiene sobre la superficie

terrestre?. Exprese el resultado en función del radio terrestre.

b) Si la fuerza de la gravedad actúa sobre todos los cuerpos en proporción a sus masas,

¿por qué no cae un cuerpo pesado con mayor aceleración que un cuerpo ligero?.

Modelo 2002

Solución.− a) RT 2 (desde el centro de la Tierra) -RT 12 (desde la superficie)-

b) La aceleración de la gravedad no depende de la masa del objeto.

Página 6


16 − a) ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta esférico cuyo

radio es la mitad del de la Tierra y posee la misma densidad media?.

b) ¿Cuál sería el período de la órbita circular de un satélite situado a una altura

de 400 km respecto a la superficie del planeta?.

Datos: Radio de la Tierra: RT = 6.371 km

Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g = 9,8 m∙s−2

.

Septiembre 2007

Solución.− g = 4,9 m∙s−2

; T = 6.049,63 s.

17 − a) ¿Cuál es la velocidad de escape de un objeto situado en la superficie de la Tierra?.

b) ¿Cómo influye la dirección con que se lanza un objeto desde la superficie de

la Tierra en su velocidad de escape?.

Septiembre 1998

Solución.− vesc = T

T

R

2Gm = 11.190,74 m∙s

−1

La dirección de lanzamiento no influye en el valor de la velocidad de escape.

18 − Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) El valor de la velocidad de escape de un objeto lanzado desde la superficie de

la Tierra depende de la masa del objeto.

b) En el movimiento elíptico de un planeta en torno al Sol la velocidad del planeta en

el perihelio (posición más próxima al Sol) es mayor que la velocidad en el afelio

(posición más alejada del Sol).

Septiembre 2009

Solución.− a) Falsa ; b) Verdadera.

19 − Un planeta esférico tiene un radio de 3.000 km y la aceleración de la gravedad en

su superficie es 6 m/s2.

a) ¿Cuál es su densidad media?.

b) ¿Cuál es la velocidad de escape para un objeto situado en la superficie de

este planeta?.


N∙m2∙kg

−2.

Junio 2002

Solución.− ρm = 7.158,39 kg∙m−3

; vesc = 6.000 m∙s−1

.

Página 7


20 − Sabiendo que la aceleración de la gravedad en un movimiento de caída libre en la superficie

de la Luna es un sexto de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra y que

el radio de la Luna es aproximadamente 0,27 RT (siendo RT el radio terrestre), calcule:

a) la relación entre las densidades medias ρ Luna / ρ Tierra ;

b) la relación entre las velocidades de escape de un objeto desde sus respectivas

superficies (ve) Luna / (ve) Tierra .

Junio 2007

Solución.− (Tierra)ρ

(Luna)ρ

m

m = 0,62 ;

(Tierra)v

(Luna)v

esc

esc = 0,21 .

21 − Suponiendo un planeta esférico que tiene un radio la mitad del radio terrestre e igual

densidad que la Tierra, calcule:

a) la aceleración de la gravedad en la superficie de dicho planeta;

b) la velocidad de escape de un objeto desde la superficie del planeta, si la velocidad de

escape desde la superficie terrestre es 11,2 km/s.

Dato: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g = 9,81 m∙s−2

.

Junio 2003

Solución.− g = 4,91 m∙s−2

; vesc = 5,6 x 103 m∙s

−1 .

22 − Un planeta esférico tiene una masa igual a 27 veces la masa de la Tierra, y la velocidad de

escape para objetos situados cerca de su superficie es tres veces la velocidad de escape

terrestre. Determine:

a) la relación entre los radios del planeta y de la Tierra;

b) la relación entre las intensidades de la gravedad en los puntos de la superficie del

planeta y de la Tierra.

Modelo 2003

Solución.− T

P

R

R =

T

P

G

G = 3 .

23 − a) Compara las fuerzas de atracción gravitatoria que ejercen la Luna y la Tierra sobre

un cuerpo de masa m que se halla situado en la superficie de la Tierra. ¿A qué

conclusión llegas?.

b) Si el peso de un cuerpo en la superficie de la Tierra es de 100 kp, ¿cuál sería el peso

de ese mismo cuerpo en la superficie de la Luna?.

Datos: La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna.

La distancia entre los centros de la Tierra y de la Luna es de 60 radios terrestres.

El radio de la Luna es 0,27 veces el radio de la Tierra.

Junio 1997

Solución.− a) T

L

F

F = 2,87 x 10

−4 (FL es despreciable frente a FT -el peso-) ; b) PL = 165,96 N.

Página 8


24 − a) ¿Con qué frecuencia angular debe girar un satélite de comunicaciones, situado en

una órbita ecuatorial, para que se encuentre siempre sobre el mismo punto de

la Tierra?.

b) ¿A qué altura sobre la superficie terrestre se encontrará el satélite citado en

el apartado anterior?.

Datos: Gravedad en la superficie de la Tierra: g = 9,8 m∙s−2

Radio medio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m .

Septiembre 2000

Solución.− ω = 7,27 x 10−5

rad∙s−1

; h = 3,58 x 107 m.

25 − Un satélite artificial de 500 kg que describe una órbita circular alrededor de la Tierra

se mueve con una velocidad de 6,5 km/s. Calcule:

a) la energía mecánica del satélite;

b) la altura sobre la superficie de la Tierra a la que se encuentra.

Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11

N∙m2∙kg

−2

Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024

kg

Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m.

Junio 2009

Solución.− Etot = −1,06 x 1010

J ; h = 3,07 x 106 m.

26 − El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio (posición

más próxima) el cometa está a 8,75 x 107 km del Sol y en el afelio (posición más alejada)

está a 5,26 x 109 km del Sol.

a) ¿En cuál de los dos puntos tiene el cometa mayor velocidad?. ¿Y mayor

aceleración?.

b) ¿En qué punto tiene mayor energía potencial?. ¿Y mayor energía mecánica?.

Junio 1999

Solución.− v(p) > v(a) ; a(p) > a(a) ; Ep(p) < Ep(a) ; Etot(p) = Etot(a) .

27 − Plutón describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Indique para cada una de las siguientes

magnitudes si su valor es mayor, menor o igual en el afelio (punto más alejado del Sol)

comparado con el perihelio (punto más próximo al Sol):

a) momento angular respecto a la posición del Sol;

b) momento lineal;

c) energía potencial;

d) energía mecánica.

Junio 2004

Solución.− L(a) = L(p) ; p(a) < p(p) ; Ep(a) > Ep(p) ; Etot(a) = Etot(p) .

Página 9


28 − La velocidad de un asteroide es de 20 km/s en el perihelio y de 14 km/s en el afelio.

Determine en estas posiciones cuál es la relación entre:

a) las distancias al Sol en torno al cual orbita;

b) las energías potenciales del asteroide.

Modelo 2004

Solución.− r(p)

r(a) =

(a)E

(p)E

p

p =

7

10 .

29 − a) Deduzca la expresión de la energía cinética de un satélite en órbita circular alrededor

de un planeta en función del radio de la órbita y de las masas del satélite y

del planeta.

b) Demuestre que la energía mecánica del satélite es la mitad de su energía potencial.

Junio 2005 y Junio 2010 (Fase Específica)

Solución.− Ec = 2r

mmG

sp .

30 − Determine la relación que existe entre la energía mecánica de un satélite que describe

una órbita circular en torno a un planeta y su energía potencial.

Modelo 2001

Solución.− Ep = 2 Etotal .

31 − En el movimiento circular de un satélite en torno a la Tierra, determine:

a) la expresión de la energía cinética en función de las masas del satélite y de la Tierra y

del radio de la órbita;

b) la relación que existe entre su energía mecánica y su energía potencial.

Junio 2001

Solución.− Ec = 2r

mmG

sT ; Ep = 2 Etotal .

32 − Calcule el módulo del momento angular de un objeto de 1.000 kg respecto al centro de

la Tierra en los siguientes casos:

a) Se lanza desde el polo Norte perpendicularmente a la superficie de la Tierra con

una velocidad de 10 km/s.

b) Realiza una órbita circular alrededor de la Tierra en el plano ecuatorial a

una distancia de 600 km de su superficie.


N∙m2∙kg

−2


kg


Septiembre 2008

Solución.− a) L = 0 ; b) L = 5,27 x 1013

kg∙m2∙s

−1.

Página 10


33 − Una sonda de masa 5.000 kg se encuentra en órbita circular a una altura sobre la superficie

terrestre de 1,5 RT. Determine:

a) el momento angular de la sonda en esa órbita respecto al centro de la Tierra;

b) la energía que hay que comunicar a la sonda para que escape del campo gravitatorio

terrestre desde esa órbita.


N∙m2∙kg

−2

Masa de la Tierra: MT = 5,98 x 1024

kg


Junio 2008

Solución.− a) Momento angular: vector perpendicular al plano de la órbita descrita cuyo

módulo vale: L = 3,98 x 1014

kg∙m2∙s

−1.

b) E (mínima) = 6,26 x 1010

J.

34 − Un objeto de 5 kg de masa posee una energía potencial gravitatoria: Ep = −2 x 108 J cuando

se encuentra a cierta distancia de la Tierra.

a) Si el objeto a esa distancia estuviera describiendo una órbita circular, ¿cuál sería

su velocidad?.

b) Si la velocidad del objeto a esa distancia fuese de 9 km/s, ¿cuál sería su energía

mecánica?. ¿Podría el objeto estar describiendo una órbita elíptica en este caso?.

Modelo 2007

Solución.− a) v = 6.324,56 m∙s−1

; b) Etot = 2,50 x 106 J (la trayectoria sería abierta, no elíptica).

35 − Un proyectil de masa 10 kg se dispara verticalmente desde la superficie de la Tierra con

una velocidad de 3.200 m/s.

a) ¿Cuál es la máxima energía potencial que adquiere?.

b) ¿En qué posición se alcanza?.

Datos: Gravedad en la superficie de la Tierra: g = 9,8 m∙s−2


Septiembre 2001

Solución.− Ep máx = −5,73 x 108 J ; rf = 6,94 x 10

6 m (desde el centro de la Tierra).

36 − a) Desde la superficie de la Tierra se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con

una velocidad v. Si se desprecia el rozamiento, calcule el valor de v necesario para

que el objeto alcance una altura igual al radio de la Tierra.

b) Si se lanza el objeto desde la superficie de la Tierra con una velocidad doble a

la calculada en el apartado anterior, ¿escapará o no del campo gravitatorio terrestre?.

Datos: Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024

kg

Radio de la Tierra: RT = 6.370 km

Constante de Gravitación: G = 6,67 x 10−11

N∙m2∙kg

−2 .

Septiembre 2006

Solución.− a) v = 7.913,05 m∙s−1

; b) Sí escaparía del campo gravitatorio terrestre.

Página 11

Ejercicios de acceso a la Universidad − Cuestiones y Problemas de Mecánica e Interacción Gravitatoria

37 − Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) Un objeto de masa m1 necesita una velocidad de escape de la Tierra el doble que

la que necesita otro objeto de masa m2 = m1/2.

b) Se precisa realizar más trabajo para colocar en una misma órbita un satélite de masa

m1 que otro satélite de masa m2 = m1/2, lanzados desde la superficie de la Tierra.

Modelo 2005

Solución.− a) Falso ; b) Verdadero.

Problemas

38 − Se considera el movimiento elíptico de la Tierra en torno al Sol. Cuando la Tierra está en

el afelio (la posición más alejada del Sol) su distancia al Sol es de 1,52 x 1011

m y

su velocidad orbital es de 2,92 x 104 m/s. Hallar:

a) el momento angular de la Tierra respecto al Sol;

b) la velocidad orbital en el perihelio (la posición más cercana al Sol), siendo en este

punto su distancia al Sol de 1,47 x 1011

m.

Dato complementario: masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024

kg .

Junio 1997

Solución.− L = 2,65 x 1040

kg∙m2∙s

−1 ; v(p) = 3,02 x 10

4 m∙s

−1 .

39 − Mercurio describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al Sol es de

6,99 x 1010

m y su velocidad orbital es de 3,88 x 104 m/s, siendo su distancia al Sol en

el perihelio de 4,60 x 1010

m.

a) Calcule la velocidad orbital de Mercurio en el perihelio.

b) Calcule las energías cinética, potencial y mecánica de Mercurio en el perihelio.

c) Calcule el módulo de su momento lineal y de su momento angular en el perihelio.

d) De las magnitudes calculadas en los apartados anteriores, decir cuáles son iguales en

el afelio.

Datos: Masa de Mercurio: mM = 3,18 x 1023

kg

Masa del Sol: mS = 1,99 x 1030

kg

Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11

N∙m2∙kg

−2 .

Junio 2003

Solución.− v(p) = 5,90 x 104 m∙s

−1 ; Ec(p) = 5,53 x 10

32 J ; Ep(p) = −9,18 x 10

32 J

Etot(p) = −3,65 x 1032

J -igual que en el afelio-

p(p) = 1,87 x 1028

kg∙m∙s−1

L(p) = 8,62 x 1038

kg∙m2∙s

−1 -igual que en el afelio- .

Página 12

Ejercicios de acceso a la Universidad − Problemas de Mecánica e Interacción Gravitatoria

40 − Suponiendo que los planetas Venus y la Tierra describen órbitas circulares alrededor

del Sol, calcule:

a) el período de revolución de Venus;

b) las velocidades orbitales de Venus y de la Tierra.

Datos: Distancia de la Tierra al Sol = 1,49 x 1011

m

Distancia de Venus al Sol = 1,08 x 1011

m

Período de revolución de la Tierra = 365 días.

Junio 2009

Solución.− TV = 1,95 x 107 s ; vV = 3,49 x 10

4 m∙s

−1 ; vT = 2,97 x 10

4 m∙s

−1 .

41 − Io, un satélite de Júpiter, tiene una masa de 8,9 x 1022

kg, un período orbital de 1,77 días y

un radio medio orbital de 4,22 x 108 m. Considerando que la órbita es circular con

este radio, determine:

a) la masa de Júpiter;

b) la intensidad del campo gravitatorio, debida a Júpiter, en los puntos de la órbita de Io;

c) la energía cinética de Io en su órbita;

d) el módulo del momento angular de Io respecto al centro de su órbita.


N∙m2∙kg

−2 .


Solución.− mJ = 1,90 x 1027

kg ; G = 0,71 N∙kg−1

(dirigida hacia el centro de Júpiter)

Ec = 1,34 x 1031

J ; L = 6,51 x 1035

kg∙m2∙s

−1 .

42 − Fobos es un satélite de Marte que gira en una órbita circular de 9.380 km de radio, respecto

al centro del planeta, con un período de revolución de 7,65 horas. Otro satélite de Marte,

Deimos, gira en una órbita de 23.460 km de radio. Determine:

a) la masa de Marte;

b) el período de revolución del satélite Deimos;

c) la energía mecánica del satélite Deimos, y

d) el módulo del momento angular de Deimos respecto al centro de Marte.


N∙m2∙kg

−2 Masa de Fobos = 1,1 x 10

16 kg

Masa de Deimos = 2,4 x 1015

kg .

Junio 2007

Solución.− mM = 6,44 x 1023

kg

TD = 1,09 x 105 s ; Etot D = −2,20 x 10

21 J ; LD = 7,62 x 10

25 kg∙m

2∙s

−1 .

Página 13


43 − Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor.

El planeta 1 se mueve en una órbita circular de radio 1011

m y período 2 años. El planeta 2

se mueve en una órbita elíptica, siendo su distancia en la posición más próxima a la estrella

1011

m y en la más alejada 1,8 x 1011

m.

a) ¿Cuál es la masa de la estrella?.

b) Halle el período de la órbita del planeta 2.

c) Utilizando los principios de conservación del momento angular y de la energía

mecánica, hallar la velocidad del planeta 2 cuando se encuentra en la posición más

cercana a la estrella.


N∙m2∙kg

−2 .

Modelo 2002

Solución.− mestrella = 1,49 x 1029

kg ; T2 = 1,04 x 108 s ; vmáx 2 = 11.295,76 m∙s

−1 .

44 − Un satélite artificial de 200 kg gira en una órbita circular a una altura h sobre la superficie de

la Tierra. Sabiendo que a esa altura el valor de la aceleración de la gravedad es la mitad

del valor que tiene en la superficie terrestre, averiguar:

a) la velocidad del satélite, y

b) su energía mecánica.

Datos: Gravedad en la superficie terrestre: g = 9,8 m∙s−2


Septiembre 2000

Solución.− v = 6.643,93 m∙s−1

; Etot = −4,41 x 109 J.

45 − Un satélite de 2.000 kg de masa describe una órbita ecuatorial alrededor de la Tierra,

de 8.000 km de radio. Determinar:

a) su momento angular respecto al centro de la órbita;

b) sus energías cinética, potencial y total.


N∙m2∙kg

−2


kg .

Junio 1996

Solución.− L = 1,13 x 1014

kg∙m2∙s

−1

Ec = 4,98 x 1010

J ; Ep = −9,97 x 1010

J ; Etot = −4,98 x 1010

J.

Página 14


46 − Un satélite artificial de la Tierra de 100 kg de masa describe una órbita circular a una altura

de 655 km. Calcule:

a) el período de la órbita;

b) la energía mecánica del satélite;

c) el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra;

d) el cociente entre los valores de la intensidad del campo gravitatorio terrestre en

el satélite y en la superficie de la Tierra.


kg .

Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m


N∙m2∙kg

−2 .

Junio 2005

Solución.− T = 5.857,82 s ; Etot = −2,84 x 109 J ; L = 5,29 x 10

12 kg∙m

2∙s

−1 ;

G(sup)

G(h) = 0,82.

47 − Desde la superficie terrestre se lanza un satélite de 400 kg de masa hasta situarlo en

una órbita circular a una distancia del centro de la Tierra igual a las 7/6 partes del radio

terrestre. Calcule:

a) la intensidad del campo gravitatorio terrestre en los puntos de la órbita del satélite;

b) la velocidad y el período que tendrá el satélite en la órbita;

c) la energía mecánica del satélite en la órbita;

d) la variación de la energía potencial que ha experimentado el satélite al elevarlo desde

la superficie de la Tierra hasta situarlo en su órbita.


N∙m2∙kg

−2


kg

Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m .

Septiembre 2005

Solución.− G = 7,22 N∙kg−1

(dirigido hacia el centro de la Tierra)

v = 7,33 x 103 m∙s

−1 ; T = 6,37 x 10

3 s ; Etot = −1,07 x 10

10 J ; ΔEp = 3,58 x 10

9 J.

48 − Un satélite de 1.000 kg de masa describe una órbita circular de 12 x 103 km de radio

alrededor de la Tierra. Calcule:

a) El módulo del momento lineal y el módulo del momento angular del satélite respecto

al centro de la Tierra. ¿Cambian las direcciones de estos vectores al cambiar

la posición del satélite en su órbita?.

b) El período y la energía mecánica del satélite en la órbita.


kg


N∙m2∙kg

−2 .

Junio 2010 (Fase Específica)

Solución.− p = 5,77 x 106 kg∙m∙s

−1 − Cambia su dirección (tangente a la órbita).

L = 6,92 x 1013

kg∙m2∙s

−1 − Dirección constante.

T = 1,31 x 104 s ; Etot = −1,66 x 10

10 J.

Página 15


49 − Un satélite artificial de 100 kg de masa se encuentra girando alrededor de la Tierra en

una órbita circular de 7.100 km de radio. Determine:

a) el período de revolución del satélite;

b) el momento lineal y el momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra;

c) la variación de energía potencial que ha experimentado el satélite al elevarlo desde

la superficie de la Tierra hasta esa posición;

d) las energías cinética y total del satélite.


kg .

Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m


N∙m2∙kg

−2 .

Septiembre 2003

Solución.− T = 5,95 x 103 s ; p = 7,50 x 10

5 kg∙m∙s

−1 ; L = 5,32 x 10

12 kg∙m

2∙s

−1

ΔEp = 6,44 x 108 J ; Ec = 2,81 x 10

9 J ; Etot = −2,81 x 10

9 J.

50 − Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. En esta órbita

la energía mecánica del satélite es −4,5 x 109 J y su velocidad es 7.610 m∙s

−1. Calcule:

a) el módulo del momento lineal del satélite y el módulo del momento angular

del satélite respecto al centro de la Tierra;

b) el período de la órbita y la altura a la que se encuentra el satélite.


N∙m2∙kg

−2


kg


Junio 2006

Solución.− p = 1,18 x 106 kg∙m∙s

−1 ; L = 8,15 x 10

12 kg∙m

2∙s

−1

T = 5,69 x 103 s ; h = 5,17 x 10

5 m.

51 − La velocidad angular con la que un satélite describe una órbita circular en torno al planeta

Venus es ω1 = 1,45 x 10−4

rad/s y su momento angular respecto al centro de la órbita es

L1 = 2,2 x 1012

kg∙m2∙s

−1.

a) Determine el radio r1 de la órbita del satélite y su masa.

b) ¿Qué energía será preciso invertir para cambiar a otra órbita circular con velocidad

angular ω2 = 10−4

rad/s?.


N∙m2∙kg

−2

Masa de Venus: mV = 4,87 x 1024

kg .

Junio 2002

Solución.− r1 = 2,49 x 107 m ; m = 24,46 kg ; ΔE = 3,40 x 10

7 J.

Página 16


52 − Desde un punto de la superficie terrestre se lanza verticalmente hacia arriba un objeto

de 100 kg que llega hasta una altura de 300 km. Determine:

a) la velocidad del lanzamiento;

b) la energía potencial del objeto a esa altura.

Si estando situado a la altura de 300 km queremos convertir el objeto en satélite

de forma que se ponga en órbita circular alrededor de la Tierra,

c) ¿qué energía adicional habrá que comunicarle?;

d) ¿cuál será la velocidad y el período del satélite en esa órbita?.

Datos: Constante de Gravitación: G = 6,67 x 10−11

N∙m2∙kg

−2


kg

Radio de la Tierra: RT = 6.370 km.

Modelo 2010

Solución.− a) v = 2,37 x 103 m∙s

−1 ; b) Ep = −5,98 x 10

9 J

c) ΔE = 2,99 x 109 J ; d) v = 7,73 x 10

3 m∙s

−1 ; T = 5,42 x 10

3 s.

53 − Se coloca un satélite meteorológico de 1.000 kg en órbita circular, a 300 km sobre

la superficie terrestre. Determine:

a) la velocidad lineal, la aceleración radial y el período en la órbita;

b) el trabajo que se requiere para poner en órbita el satélite.


Radio medio terrestre: RT = 6.370 km .

Junio 1999

Solución.− v = 7.721,28 m∙s−1

; an = 8,94 m∙s−2

; T = 5.427,70 s ; W = 3,26 x 1010

J.

54 − Un satélite artificial de 100 kg se mueve en una órbita circular alrededor de la Tierra con

una velocidad de 7,5 km/s. Calcule:

a) El radio de la órbita.

b) La energía potencial del satélite.

c) La energía mecánica del satélite.

d) La energía que habría que suministrar al satélite para que describa una órbita circular

con radio doble que el de la órbita anterior.


N∙m2∙kg

−2


kg


Septiembre 2008

Solución.− r = 7,09 x 106 m ; Ep = −5,63 x 10

9 J ; Etot = −2,81 x 10

9 J ; ΔE = 1,41 x 10

9 J.

Página 17


55 − Un satélite de masa 20 kg se coloca en órbita circular sobre el ecuador terrestre de modo que

su radio se ajusta para que dé una vuelta a la Tierra cada 24 horas. Así se consigue que

siempre se encuentre sobre el mismo punto respecto a la Tierra (satélite geoestacionario).

a) ¿Cuál debe ser el radio de su órbita?.

b) ¿Cuánta energía es necesaria para situarlo en dicha órbita?.


N∙m2∙kg

−2

Masa de la Tierra: MT = 5,96 x 1024

kg

Radio de la Tierra: RT = 6.371 km.

Septiembre 2007

Solución.− r = 4,22 x 107 m ; E = 1,15

x 10

9 J.

56 − Se pretende colocar un satélite artificial de forma que gire en una órbita circular en el plano

del ecuador terrestre y en el sentido de rotación de la Tierra. Si se quiere que el satélite pase

periódicamente sobre un punto del ecuador cada dos días, calcule:

a) la altura sobre la superficie terrestre a la que hay que colocar el satélite;

b) la relación entre la energía que hay que comunicar a dicho satélite desde el momento

de su lanzamiento en la superficie terrestre para colocarlo en esa órbita y la energía

mínima de escape.


N∙m2∙kg

−2

Radio de la Tierra: RT = 6.370 km


kg .

Septiembre 2002

Solución.− h = 6,07 x 107 m ; Ec sup = 0,95 Eesc (95 %).

57 − Un planeta esférico tiene 3.200 km de radio y la aceleración de la gravedad en su superficie

es 6,2 m∙s−2

. Calcule:

a) la densidad media del planeta y la velocidad de escape desde su superficie;

b) la energía que hay que comunicar a un objeto de 50 kg de masa para lanzarlo desde

la superficie del planeta y ponerlo en órbita circular alrededor del mismo, de forma

que su período sea de 2 horas.


N∙m2∙kg

−2 .

Septiembre 2004

Solución.− ρm = 6.934,69 kg∙m−3

; vesc = 6.299,2 m∙s−1

; ΔE = 6,29 x 108 J.

Página 18


58 − El período de revolución del planeta Júpiter en su órbita alrededor del Sol es aproximada-

mente doce veces mayor que el de la Tierra en su correspondiente órbita. Considerando

circulares las órbitas de los dos planetas, determine:

a) la razón entre los radios de las respectivas órbitas;

b) la razón entre las aceleraciones de los dos planetas en sus respectivas órbitas.

Modelo 2001

Solución.− r(Tierra)

r(Júpiter) = 5,24 ;

a(Tierra)

a(Júpiter) = 0,04 .

59 − Las distancias de la Tierra y de Marte al Sol son, respectivamente, 149,6 x 106 km y

228,0 x 106 km. Suponiendo que las órbitas son circulares y que el período de revolución de

la Tierra en torno al Sol es de 365 días:

a) ¿Cuál será el período de revolución de Marte?.

b) Si la masa de la Tierra es 9,6 veces la de Marte y sus radios respectivos son 6.370 km

y 3.390 km, ¿cuál será el peso en Marte de una persona de 70 kg?.

Dato: Gravedad en la superficie terrestre: g = 9,8 m∙s−2 .

Modelo 1999

Solución.− a) TM = 5,93 x 107 s ; b) PM = 252,56 N.

60 − La sonda espacial Mars Odissey describe una órbita circular en torno a Marte a una altura

sobre su superficie de 400 km. Sabiendo que un satélite de Marte describe órbitas circulares

de 9.390 km de radio y tarda en cada una de ellas 7,7 h, calcule:

a) el tiempo que tarda la sonda espacial en dar una vuelta completa;

b) la masa de Marte y la aceleración de la gravedad en su superficie.


N∙m2∙kg

−2

Radio de Marte: RM = 3.390 km .

Modelo 2004

Solución.− T = 7,11 x 103 s ; mM = 6,38 x 10

23 kg ; gM = 3,70 m∙s

−2 .

61 − Júpiter tiene aproximadamente una masa 320 veces mayor que la de la Tierra y un volumen

1.320 veces superior al de la Tierra. Determine:

a) a qué altura h sobre la superficie de Júpiter debería encontrarse un satélite, en órbita

circular en torno a este planeta, para que tuviera un período de 9 horas 50 minutos;

b) la velocidad del satélite en dicha órbita.


Radio medio de la Tierra: RT = 6, 37 x 106 m .

Modelo 2003

Solución.− h = 8,94 x 107 m ; v = 2,83 x 10

4 m∙s

−1 .

Página 19


62 − La nave espacial Discovery, lanzada en octubre de 1998, describía en torno a la Tierra

una órbita circular con una velocidad de 7,62 km∙s−1

.

a) ¿A qué altitud se encontraba?.

b) ¿Cuál era su período?. ¿Cuántos amaneceres contemplaban cada 24 horas

los astronautas que viajaban en el interior de la nave?.


N∙m2∙kg

−2


kg

Radio medio de la Tierra: RT = 6.370 km .

Septiembre 1999

Solución.− h = 4,99 x 105 m

T = 5.663,94 s -los astronautas contemplaban 15(,25) amaneceres cada 24 horas-.

63 − Dos satélites artificiales de la Tierra S1 y S2 describen en un sistema de referencia

geocéntrico dos órbitas circulares, contenidas en un mismo plano, de radios r1 = 8.000 km y

r2 = 9.034 km, respectivamente. En un instante inicial dado, los satélites están alineados con

el centro de la Tierra y situados del mismo lado.

a) ¿Qué relación existe entre las velocidades orbitales de ambos satélites?.

b) ¿Qué relación existe entre los períodos orbitales de los satélites?. ¿Qué posición

ocupará el satélite S2 cuando el satélite S1 haya completado seis vueltas, desde

el instante inicial?.

Junio 2001

Solución.− 2sat

1sat

v

v = 1,06 ;

2sat

1sat

T

T = 0,83 .

Al cabo del tiempo indicado los dos satélites vuelven a estar como en

la situación inicial -alineados con el centro de la Tierra y situados del mismo lado-.

64 − El vehículo espacial Apolo VIII estuvo en órbita circular alrededor de la Luna, 113 km

por encima de su superficie. Calcular:

a) el período del movimiento;

b) las velocidades lineal y angular del vehículo;

c) la velocidad de escape a la atracción lunar desde esa posición.

Datos: Constante de Gravitación Universal : G = 6,67 x 10−11

N∙m2∙kg

−2

Masa de la Luna: mL = 7,36 x 1022

kg

Radio medio lunar: RL = 1.740 km .

Septiembre 1996

Solución.− T = 7.153,06 s ; v = 1.627,66 m∙s−1

; ω = 8,78 x 10−4

rad∙s−1

; vesc = 1.627,66 m∙s−1

Página 20


65 − La nave espacial Lunar Prospector permanece en órbita circular alrededor de la Luna a

una altura de 100 km sobre su superficie. Determine:

a) la velocidad lineal de la nave y el período del movimiento;

b) la velocidad de escape a la atracción lunar desde esa órbita.


N∙m2∙kg

−2

Masa de la Luna: mL = 7,36 x 1022

kg

Radio medio lunar: RL = 1.740 km .

Junio 1998

Solución.− v = 1.633,40 m∙s−1

; T = 7.077,91 s ; vesc = 1.633,40 m∙s−1

.

66 − Se pone en órbita un satélite artificial de 600 kg a una altura de 1.200 km sobre la superficie

de la Tierra. Si el lanzamiento se ha realizado desde el nivel del mar, calcule:

a) cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del satélite;

b) qué energía adicional hay que suministrar al satélite para que escape a la acción del

campo gravitatorio terrestre desde esa órbita.


N∙m2∙kg

−2


kg


Junio 2000

Solución.− ΔEp = 5,96 x 109 J ; ΔE = 1,58 x 10

10 J.

67 − Un satélite artificial de 200 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra.

La velocidad de escape a la atracción terrestre desde esa órbita es la mitad que la velocidad

de escape desde la superficie terrestre.

a) Calcule la fuerza de atracción entre la Tierra y el satélite.

b) Calcule el potencial gravitatorio en la órbita del satélite.

c) Calcule la energía mecánica del satélite en la órbita.

d) ¿Se trata de un satélite geoestacionario?. Justifique la respuesta.


N∙m2∙kg

−2


kg


Modelo 2008

Solución.− F = 491,49 N ; V = −3,13 x 107 J∙kg

−1 ; Etot = −3,13 x 10

9 J

No es un satélite geoestacionario.

Página 21


68 − Si se considera que la Tierra tiene forma esférica, con un radio aproximado de 6.400 km,

determine:

a) la relación existente entre las intensidades del campo gravitatorio sobre la superficie

terrestre y a una altura de 144 km por encima de la misma;

b) la variación de energía cinética de un cuerpo de 100 kg de masa al caer libremente

desde la altura de 144 km hasta 72 km por encima de la superficie terrestre.


N∙m2∙kg

−2


kg .

Septiembre 1998

Solución.− G(h)

G(sup) = 1,0455 ; ΔEc = 6,78 x 10

7 J.

69 − Se lanza una nave de masa m = 5 x 103 kg desde la superficie de un planeta de radio

R1 = 6 x 103 km y masa m1 = 4 x 10

24 kg, con una velocidad inicial v0 = 2 x 10

4 m/s,

en dirección hacia otro planeta del mismo radio R2 = R1 y masa m2 = 2 m1, siguiendo

la línea recta que une los centros de ambos planetas. Si la distancia entre dichos centros es

D = 4,83 x 1010

m, determine:

a) la posición del punto P en el que la fuerza neta sobre la nave es cero;

b) la energía cinética con la que llegará la nave a la superficie del segundo planeta.


N∙m2∙kg

−2 . Modelo 2006

Solución.− Punto P: a 2 x 1010

m del centro del planeta 1 ; Ec fin = 1,22 x 1012

J.

Página 22

FÍSICA de

2º de BACHILLERATO

VIBRACIONES Y ONDAS




(1996 − 2010)








(1996 − 2010)

VIBRACIONES Y ONDAS

Cuestiones

1 − La aceleración del movimiento de una partícula viene expresada por la relación: a = −ky,

siendo y el desplazamiento respecto a la posición de equilibrio y k una constante.

¿De qué movimiento se trata?. ¿Qué representa k?. ¿Cuál es la ecuación del citado

movimiento?.

Junio 1997

Solución.− Es un movimiento armónico simple. k = ω2 (ω: pulsación o frecuencia angular).

Ecuación del movimiento: y = y(t) = A sen(ωt + φ0).

2 − Una partícula de masa 3 g oscila con movimiento armónico simple de elongación en función

del tiempo: x = 0,5 cos(0,4t + 0,1), en unidades SI. Determine:

a) la amplitud, la frecuencia, la fase inicial y la posición de la partícula en t = 20 s;

b) las energías cinéticas máxima y mínima de la partícula que oscila, indicando en qué

posiciones se alcanzan.

Modelo 2003

Solución.− A = 0,5 m ; ν = 0,06 s−1

; φ0 = 0,1 rad ; x(t = 20 s) = −0,12 m

Ec máx = 6 x 10−5

J (en el centro) ; Ec mín = 0 (en los extremos).

3 − Una partícula que realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud tarda 2 s en

efectuar una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad era nula y la elongación

positiva, determine:

a) la expresión matemática que representa la elongación en función del tiempo;

b) la velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 0,25 s.

Septiembre 2008 y Septiembre 2009

Solución.− x = x(t) = 0,10 sen

2

πtπ (SI)

v(t = 0,25 s) = −0,22 m∙s−1

; a(t = 0,25 s) = −0,70 m∙s−2

.

Página 2

Ejercicios de acceso a la Universidad − Cuestiones de Vibraciones y Ondas

4 − Una partícula efectúa un movimiento armónico simple cuyo período es igual a 1 s.

Sabiendo que en el instante t = 0 su elongación es 0,70 cm y su velocidad 4,39 cm/s, calcule:

a) la amplitud y la fase inicial;

b) la máxima aceleración de la partícula.

Septiembre 2001

Solución.− A = 9,90 x 10−3

m ; φ0 ≈4

π rad ; amáx = 0,30 m∙s

−2 .

5 − Una partícula realiza un movimiento armónico simple con una amplitud de 8 cm y

un período de 4 s. Sabiendo que en el instante inicial la partícula se encuentra en la posición

de elongación máxima:

a) Determine la posición de la partícula en función del tiempo.

b) ¿Cuáles son los valores de la velocidad y de la aceleración 5 s después de que

la partícula pase por un extremo de la trayectoria?.

Septiembre 1998


2

πt

2

π (m) ; v(t = 5 s) = −0,13 m∙s

−1 ; a(t = 5 s) = 0.

6 − Una partícula que describe un movimiento armónico simple recorre una distancia de 16 cm

en cada ciclo de su movimiento y su aceleración máxima es de 48 m/s2. Calcule:

a) la frecuencia y el período del movimiento;

b) la velocidad máxima de la partícula.

Septiembre 2006

Solución.− ν = 5,51 s−1

; T = 0,18 s ; vmáx = 1,39 m∙s−1

.

7 − Una partícula que realiza un movimiento armónico simple recorre una distancia total de

20 cm en cada vibración completa y su máxima aceleración es de 50 cm/s2.

a) ¿Cuáles son los valores de su amplitud, período y velocidad máxima?.

b) ¿En qué posiciones de la trayectoria consigue los valores máximos de la velocidad y

de la aceleración?.

Modelo 1999

Solución.− A = 0,05 m ; T = 1,99 s ; vmáx = 0,16 m∙s−1

Velocidad máxima (en valor absoluto): en el centro de la oscilación.

Aceleración máxima (en valor absoluto): en los extremos.

Página 3


8 − a) Al colgar una masa en el extremo de un muelle en posición vertical, éste se desplaza

5 cm; ¿de qué magnitudes del sistema depende la relación entre dicho

desplazamiento y la aceleración de la gravedad?.

b) Calcule el período de oscilación del sistema muelle-masa anterior si se deja oscilar

en posición horizontal (sin rozamiento).

Dato: Aceleración de la gravedad: g = 9,81 m∙s−2

.

Junio 2004

Solución.− g

x =

k

m (k: constante elástica del muelle) ; T = 0,45 s.

9 − Se tienen dos muelles de constantes elásticas k1 y k2, en

cuyos extremos se disponen dos masas m1 y m2

respectivamente, y tal que m1 < m2. Al oscilar, las fuerzas

que actúan sobre cada una de estas masas en función de

la elongación aparecen representadas en la figura.

a) ¿Cuál es el muelle de mayor constante elástica?.

b) ¿Cuál de estas masas tendrá mayor período

de oscilación?.

Septiembre 2005

Solución.− a) El muelle 1 ; b) La masa 2.

10 − Un muelle cuya constante de elasticidad es k está unido a una masa puntual de valor m.

Separando la masa de la posición de equilibrio el sistema comienza a oscilar. Determine:

a) el valor del período de las oscilaciones T y su frecuencia angular ω;

b) las expresiones de las energías cinética, potencial y total en función de la amplitud

y de la elongación del movimiento del sistema oscilante.

Junio 2001

Solución.− T = 2πk

m ; ω =

m

k ; Ec =

2

1k 22 xA ; Ep =

2

1kx

2 ; Etotal =

2

1kA

2 .

Página 4

F

x

2

1

1

2


11 − Un cuerpo de masa m está suspendido de un muelle de constante elástica k. Se tira

verticalmente del cuerpo desplazando éste una distancia X respecto de su posición de

equilibrio, y se le deja oscilar libremente. Si en las mismas condiciones del caso anterior

el desplazamiento hubiese sido 2X, deduzca la relación que existe, en ambos casos, entre:

a) las velocidades máximas del cuerpo;

b) las energías mecánicas del sistema oscilante.

Junio 2008

Solución.− 2X)(Av

)X2A(v

1máx

2máx

; 4

X)(AE

)X2A(E

1tot

2tot

.

12 − Un sistema elástico, constituido por un cuerpo de masa 200 g unido a un muelle, realiza

un movimiento armónico simple con un período de 0,25 s. Si la energía total del sistema

es 8 J:

a) ¿cuál es la constante elástica del muelle?;

b) ¿cuál es la amplitud del movimiento?.

Modelo 2010

Solución.− k = 126,33 N∙m−1

; A = 0,36 m.

13 − Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico

simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y

una frecuencia de 3,3 Hz. Determine:

a) el período del movimiento y la constante elástica del muelle;

b) la velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto.

Junio 2007

Solución.− T = 0,30 s ; k = 1.074,80 N∙m−1

; vmáx = 1,04 m∙s−1

; amáx = 21,50 m∙s−2

.

14 − Una masa m oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y

una amplitud de 5 cm. Cuando se añade otra masa, de 300 g, la frecuencia de oscilación es

de 0,5 Hz. Determine:

a) el valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte;

b) el valor de la amplitud de oscilación en el segundo caso si la energía mecánica

del sistema es la misma en ambos casos.

Septiembre 1999

Solución.− a) m = 0,1 kg ; k = 3,95 N∙m−1

; b) A2 = A1 = 0,05 m.

Página 5


15 − Una partícula realiza un movimiento armónico simple. Si la frecuencia de oscilación

se reduce a la mitad manteniendo constante la amplitud de oscilación, explique qué

ocurre con:

a) el período;

b) la velocidad máxima;

c) la aceleración máxima;

d) la energía mecánica de la partícula.


Solución.− ν2 = 2

ν1 ; T2 = 2 T1 ; vmáx,2 = 2

v 1,m áx

amáx,2 = 4

a 1,m áx ; Etot,2 =

4

E 1,tot .

16 − Si se duplica la energía mecánica de un oscilador armónico, explique qué efecto tiene:

a) en la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones;

b) en la velocidad y el período de oscilación.

Junio 1998

Solución.− Etot 2 = 2 Etot 1 ; A2 = 2 A1 ; ν2 = ν1 ; v2 = 2 v1 ; T2 = T1 .

17 − Se tiene una onda armónica transversal que se propaga en una cuerda tensa. Si se reduce a

la mitad su frecuencia, razone qué ocurre con:

a) el período;

b) la velocidad de propagación;

c) la longitud de onda, y

d) la amplitud.

Septiembre 2002

Solución.− ν2 = 2

ν1 ; T2 = 2 T1 ; v2 = v1 ; λ2 = 2 λ1 ; A2 = A1 .

18 − a) Si el oído humano puede percibir sonidos de frecuencias comprendidas en

el intervalo de 20 Hz a 20.000 Hz aproximadamente, ¿cuáles son las longitudes de

onda en el aire que corresponden a estas frecuencias?.

b) Si el oído humano es capaz de distinguir aproximadamente dos sonidos que

se emiten con un intervalo de 0,1 s, ¿cuál es la distancia mínima a la que debe estar

de una pared una persona para que perciba el eco?.

Dato: Velocidad del sonido en el aire: v = 340 m∙s−1

.

Junio 1997

Solución.− λ(20 Hz) = 17 m ; λ(20.000 Hz) = 0,017 m ; smín = 17 m.

Página 6


19 − El período de una onda transversal que se propaga en una cuerda tensa es de 2 x 10−3

s.

Sabiendo, además, que dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase vale π/2 rad están

separados una distancia de 10 cm, calcule:

a) la longitud de onda, y

b) la velocidad de propagación.

Junio 2003

Solución.− λ = 0,40 m ; v = 200 m∙s−1

.

20 − Uno de los extremos de una cuerda tensa, de 6 m de longitud, oscila transversalmente con

un movimiento armónico simple de frecuencia: 60 Hz. Las ondas generadas alcanzan el otro

extremo de la cuerda en 0,5 s. Determine:

a) la longitud de onda y el número de onda de las ondas en la cuerda;

b) la diferencia de fase de oscilación existente entre dos puntos de la cuerda

separados 10 cm.

Septiembre 2000

Solución.− λ = 0,20 m ; k = 10π rad∙m−1

; Δφ = π rad.

21 − Una onda armónica que se propaga por un medio unidimensional tiene una frecuencia

de 500 Hz y una velocidad de propagación de 350 m/s.

a) ¿Qué distancia mínima hay, en un cierto instante, entre dos puntos del medio que

oscilan con una diferencia de fase de 60º?.

b) ¿Cuál es la diferencia de fase de oscilación, en un cierto punto, para un intervalo de

tiempo de 10−3

s?.

Junio 1999

Solución.− Separación = 0,12 m ; Δφ = π rad.

Página 7


22 − a) Escriba la expresión matemática de una onda armónica transversal unidimensional:

y = y(x,t), que se propaga en el sentido positivo del eje X.

b) Defina los conceptos de las siguientes magnitudes: amplitud, período, longitud de

onda y fase inicial.


Solución.− y = y(x,t) = A sen (ωt − kx + φ0)

Amplitud: Es el valor máximo del desplazamiento transversal.

Período: Es la duración de un ciclo de onda -el tiempo al cabo del cual

la onda se repite-.

Longitud de onda: Es la distancia que recorre la onda en un período -la distancia

al cabo de la cual la onda se repite-.

Fase inicial: Ángulo de fase (ωt − kx + φ0) para x = 0 en t = 0.

23 − Escriba la expresión matemática de una onda armónica unidimensional como una función

de x (distancia) y t (tiempo) y que contenga las magnitudes indicadas en cada uno de

los siguientes apartados:

a) frecuencia angular ω y velocidad de propagación v;

b) período T y longitud de onda λ;

c) frecuencia angular ω y número de onda k.

d) Explique por qué es una función doblemente periódica.

Junio 2002

Solución.− a) ψ(x,t) = A sen

0φx

v

ωtω ; b) ψ(x,t) = A sen

0φλ

x

T

tπ2

c) ψ(x,t) = A sen (ωt kx + φ0)

d) La onda es periódica en el tiempo (período: T)

y periódica en el espacio (“período”: λ -longitud de onda-).

24 − Una partícula oscila con movimiento armónico simple según el eje Y en torno al origen de

coordenadas, originando una onda transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X

con una velocidad de 20 m∙s−1

, una amplitud de 0,02 m y una frecuencia de 10 Hz.

Determine:

a) el período y la longitud de onda;

b) la expresión matemática de la onda, si en t = 0 la partícula situada en el origen de

coordenadas está en la posición de máxima elongación positiva.

Septiembre 2004

Solución.− T = 0,10 s ; λ = 2 m ; ψ(x,t) = 0,02 sen

2

πxπtπ20 .

Página 8


25 − La expresión matemática de una onda armónica es: y(x,t) = 3 sen(200πt − 5x + π), estando

todas las magnitudes en unidades SI. Determine:

a) la frecuencia y la longitud de onda;

b) la amplitud y la velocidad de propagación de la onda.

Septiembre 2003

Solución.− ν = 100 s−1

; λ = 1,26 m ; A = 3 m ; v = 40π m∙s−1

.

26 − Una onda armónica unidimensional está dada, en el Sistema Internacional de unidades, por

la expresión:

y(x,t) = 4 sen(50t − 4x) .

Determine:

a) la amplitud;

b) el período;

c) la longitud de onda, y

d) la velocidad de propagación.

Modelo 2004

Solución.− A = 4 m ; T = 0,13 s ; λ = 1,57 m ; v = 12,5 m∙s−1

.

27 − La expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga por una cuerda

tensa coincidente con el eje X es: y = 0,2 sen(100πt − 200πx), en unidades SI. Determine:

a) los valores del período, la amplitud, la longitud de onda y la velocidad de

propagación de la onda;

b) la expresión matemática de la onda en términos de la función coseno.

Modelo 2001

Solución.− T = 0,02 s ; A = 0,2 m ; λ = 0,01 m ; v = 0,50 m∙s−1

y = y(x,t) = 0,2 cos

2

πxπ200tπ100

28 − Una onda transversal que se propaga en una cuerda, coincidente con el eje X, tiene por

expresión matemática: y(x,t) = 2 sen(7t − 4x), en unidades SI. Determine:

a) la velocidad de propagación de la onda y la velocidad máxima de vibración de

cualquier punto de la cuerda;

b) el tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a la longitud de onda.

Junio 2000

Solución.− v = 1,75 m∙s−1

; vvibración máxima = 14 m∙s−1

; T = 0,90 s.

Página 9


29 − La expresión matemática que representa una onda armónica en unidades SI es:

y(x,t) = 0,04 sen

x

4

πtπ2 . Determine:

a) la frecuencia de la onda y su velocidad de propagación;

b) la distancia mínima entre dos puntos que vibran con una diferencia de fase de 120º.

Modelo 2008

Solución.− ν = 1 s−1

; v = 8 m∙s−1

; dmín = 2,67 m.

30 − Una onda sinusoidal transversal en una cuerda tiene un período de 0,2 s y se propaga en

el sentido negativo del eje X a una velocidad de 30 m/s. En el instante t = 0, la partícula de

la cuerda en x = 0 tiene un desplazamiento positivo de 0,02 m y una velocidad de oscilación

negativa de 2 m/s.

a) ¿Cuál es la amplitud de la onda?.

b) ¿Cuál es la fase inicial?.

c) ¿Cuál es la máxima velocidad de oscilación de los puntos de la cuerda?.

d) Escriba la función de onda correspondiente.

Septiembre 2007

Solución.− A = 6,67 x 10−2

m ; φ0 = 2,84 rad ; vmáx = 2,10 m∙s−1

ψ(x,t) = 6,67 x 10−2

sen(31,42t + 1,05x + 2,84) (en unidades SI) .

31 − Una onda sonora que se propaga en el aire tiene una frecuencia de 260 Hz.

a) Describa la naturaleza de la onda sonora e indique cuál es la dirección en la que tiene

lugar la perturbación, respecto a la dirección de propagación.

b) Calcule el período de esta onda y su longitud de onda.

Dato: Velocidad del sonido en el aire: v = 340 m∙s−1

.

Junio 2006

Solución.− El sonido es una onda de presión longitudinal, en la que la dirección en la que vibran

las partículas del medio coincide con la dirección de propagación de la onda.

T = 3,85 x 10−3

s ; λ = 1,31 m.

32 − ¿Qué cualidades distinguen entre sí los diferentes sonidos?. ¿Cómo dependen dichas

cualidades de las magnitudes que caracterizan la onda sonora?.

Razona la respuesta.

Septiembre 1996

Solución.− Intensidad; depende de la frecuencia, amplitud y distancia.

Tono; depende de la frecuencia fundamental.

Timbre; depende de la combinación de armónicos.

Página 10


33 − a) ¿Qué es la intensidad y el tono de un sonido?.

b) ¿De qué parámetros de la onda dependen?.

Junio 1998

Solución.− Intensidad: Energía transportada por unidad de tiempo y de superficie

perpendicular al sentido de propagación.

Depende de la frecuencia, amplitud y distancia.

Tono: Está dado por la frecuencia fundamental.

34 − Una bolita de 0,1 g de masa cae desde una altura de 1 m, con velocidad inicial nula.

Al llegar al suelo el 0,05 por ciento de su energía cinética se convierte en un sonido de

duración 0,1 s.

a) Halle la potencia sonora generada.

b) Admitiendo que la onda sonora generada puede aproximarse a una onda esférica,

estime la distancia máxima a la que puede oírse la caída de la bolita si el ruido

de fondo solo permite oír intensidades mayores de 10−8

W/m2.

Dato: Aceleración de la gravedad: g = 9,8 m∙s−2

.

Septiembre 2002

Solución.− P = 4,9 x 10−6

W ; rmáx = 6,24 m.

35 − Una fuente sonora puntual emite con una potencia de 80 W. Calcule:

a) la intensidad sonora en los puntos distantes 10 m de la fuente.

b) ¿A qué distancia de la fuente el nivel de intensidad sonora es de 130 dB?.

Dato: Intensidad umbral de audición: I0 = 10−12

W∙m−2

.

Modelo 2007

Solución.− I(r = 10 m) = 0,06 W∙m−2

; r(S = 130 dB) = 0,80 m.

36 − Una fuente sonora puntual emite con una potencia de 10−6

W.

a) Determine el nivel de intensidad expresado en decibelios a 1 m de la fuente sonora.

b) ¿A qué distancia de la fuente sonora el nivel de intensidad se ha reducido a la mitad

del valor anterior?.

Dato: La intensidad umbral de audición es: I0 = 10−12

W∙m−2

.

Modelo 2002

Solución.− S(r = 1 m) = 49 dB ; r(S = 24,5 dB) = 16,80 m.

Página 11


37 − La potencia de la bocina de un automóvil, que se supone foco emisor puntual, es de 0,1 W.

a) Determine la intensidad de la onda sonora y el nivel de intensidad sonora a

una distancia de 8 m del automóvil.

b) ¿A qué distancias desde el automóvil el nivel de intensidad sonora es menor

de 60 dB?.


W∙m−2

.

Modelo 2009

Solución.− I(r = 8 m) = 1,24 x 10−4

W∙m−2

; S(r = 8 m) = 80,95 dB

S < 60 dB para r > 89,21 m.

38 − Razone si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes:

a) La intensidad de una onda sonora emitida por una fuente puntual es directamente

proporcional a la distancia a la fuente.

b) Un incremento de 30 decibelios corresponde a un aumento de la intensidad

del sonido en un factor 1.000.

Modelo 2006

Solución.− a) Falso ; b) Verdadero.

39 − Una fuente puntual emite un sonido que se percibe con nivel de intensidad sonora de 50 dB

a una distancia de 10 m.

a) Determine la potencia sonora de la fuente.

b) ¿A qué distancia dejaría de ser audible el sonido?.


W∙m−2

.

Junio 2009

Solución.− a) P = 4π x 10−5

W ; b) rmín(S = 0) = 3.162,28 m.

40 − El nivel de intensidad sonora de la sirena de un barco es de 60 dB a 10 m de distancia.

Suponiendo que la sirena es un foco emisor puntual, calcule:

a) el nivel de intensidad sonora a 1 km de distancia;

b) la distancia a la que la sirena deja de ser audible.


W∙m−2

.

Junio 2005

Solución.− S(r = 1 km) = 20 dB ; rmín(S = 0) = 104 m.

Página 12


41 − El sonido producido por la sirena de un barco alcanza un nivel de intensidad sonora

de 80 dB a 10 m de distancia. Considerando la sirena como un foco sonoro puntual,

determine:

a) la intensidad de la onda sonora a esa distancia y la potencia de la sirena.

b) El nivel de intensidad sonora a 500 m de distancia.


W∙m−2

.


Solución.− I(r = 10 m) = 10−4

W∙m−2

; P = 4π x 10−2

W

S(r = 500 m) = 46,02 dB.

42 − Dos sonidos tienen niveles de intensidad sonora de 50 dB y 70 dB respectivamente.

Calcule cuál será la relación entre sus intensidades.

Junio 1999

Solución.− I(70 dB) = 100 I(50 dB).

43 − Si la velocidad del sonido en el aire es 340 m/s, ¿cuáles son los valores de la frecuencia

fundamental y de los otros armónicos en el caso de las ondas estacionarias en un tubo

de 1 m de longitud cerrado por ambos extremos?. ¿Cuáles son los valores de las longitudes

de onda correspondientes a dichas frecuencias?.

Justifica las respuestas.

Septiembre 1997

Solución.− Sonido fundamental: ν1 = 170 s−1

; λ1 = 2 m

Armónicos: νn = n ν1 ; λn = n

2 m (n = 2,3,4 ...)

44 − Enuncia el Principio de Huygens y utiliza dicho principio para construir el frente de onda

refractado en el fenómeno de la refracción de ondas planas. Deduce, asimismo, la Ley

fundamental de la refracción en este caso.

Junio 1996

Solución.− Principio de Huygens: La onda avanza porque cada punto del frente de onda

actúa como reemisor de ondas secundarias de igual

longitud de onda que la primitiva en el sentido de

avance de la onda, siendo el nuevo -siguiente- frente de

onda tangente -“envolvente”- a esas ondas esféricas

secundarias reemitidas.

Página 13


45 − Un rayo de luz monocromática que se propaga en el aire penetra en el agua de un estanque.

a) ¿Qué fenómeno luminoso se origina al pasar la luz del aire al agua?.

Enuncie las Leyes que se verifican en este fenómeno.

b) Explique si la velocidad, la frecuencia y la longitud de onda cambian al pasar la luz

de un medio a otro.

Modelo 2003

Solución.− Se verifica la refracción de la luz.

Primera Ley: El rayo incidente, el rayo refractado y la normal son coplanarios.

Segunda Ley: n1 senα = n2 sen β’ (Snell)

Al pasar del aire al agua disminuyen la velocidad de propagación y

la longitud de onda, pero la frecuencia permanece invariable.

46 − Explica por qué cuando se observa desde el aire un remo sumergido parcialmente en el agua

parece estar doblado. Ayúdate de construcciones geométricas en la explicación.

Junio 1996

Solución.− Se debe a la refracción de la luz al pasar del agua al aire.

47 − a) Indique las diferencias que a su juicio existen entre los fenómenos de refracción y de

dispersión de la luz. ¿Puede un rayo de luz monocromática sufrir ambos fenómenos?.

b) ¿Por qué no se observa dispersión cuando la luz blanca atraviesa una lámina de

vidrio de caras plano-paralelas?.

Junio 1998

Solución.− Refracción: Desviación de los rayos luminosos al cambiar la luz de medio

de propagación.

Dispersión: Separación de las diferentes ondas monocromáticas -“colores”- que

componen la luz inicial.

Un rayo de luz monocromática puede refractarse, pero no dispersarse.

Al atravesar la luz blanca una lámina de caras plano-paralelas no se observa

apreciablemente dispersión dado que los rayos salientes van paralelos -y juntos-

respecto a los incidentes.

Página 14


48 − Una fuente luminosa emite luz monocromática de longitud de onda en el vacío:

λ0 = 6 x 10−7

m (luz roja), que se propaga en el agua, de índice de refracción: n = 1,34.

Determine:

a) la velocidad de propagación de la luz en el agua;

b) la frecuencia y la longitud de onda de la luz en el agua.


−1.

Septiembre 1999

Solución.− v = 2,24 x 108 m∙s

−1 ; ν = 5 x 10

14 s

−1 ; λ = 4,48 x 10

−7 m.

49 − Un haz luminoso está constituido por dos rayos de luz superpuestos: uno azul, de longitud

de onda 450 nm, y otro rojo, de longitud de onda 650 nm. Si este haz incide desde el aire

sobre la superficie plana de un vidrio con un ángulo de incidencia de 30º, calcule:

a) el ángulo que forman entre sí los rayos azul y rojo reflejados;

b) el ángulo que forman entre sí los rayos azul y rojo refractados.

Datos: Índice de refracción del vidrio para el rayo azul: nAZUL = 1,55

Índice de refracción del vidrio para el rayo rojo: nROJO = 1,40.

Junio 2003

Solución.− a) 0º ; b) 2º 6’ 21’’ .

50 − ¿Qué analogías y diferencias esenciales se pueden establecer entre los rayos X y

los rayos γ?. Explica brevemente el origen de ambas radiaciones.

Septiembre 1997

Solución.− Rayos X: Radiaciones electromagnéticas cuya longitud de onda está

comprendida en el intervalo: 6 x 10−12

m ≤ λ ≤ 10−9

m (en el vacío).

Se originan en transiciones electrónicas internas en los átomos,

y en frenados bruscos de haces de electrones acelerados por grandes

diferencias de potencial.

Rayos γ: Las radiaciones electromagnéticas de mayor energía, con longitud de

onda en el intervalo: 10−14

m ≤ λ ≤ 10−10

m (en el vacío).

Se originan en ciertas desintegraciones de núcleos radiactivos.

Página 15

Ejercicios de acceso a la Universidad − Problemas de Vibraciones y Ondas

Problemas

51 − Un bloque de 50 g, conectado a un muelle de constante elástica 35 N/m, oscila en

una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 4 cm. Cuando el bloque

se encuentra a 1 cm de su posición de equilibrio, calcule:

a) la fuerza ejercida sobre el bloque;

b) la aceleración del bloque;

c) la energía potencial elástica del sistema, y

d) la velocidad del bloque.

Junio 2003

Solución.− F = 0,35 N ; a = 7 m∙s−2

-ambas, con sentido contrario al movimiento-

Ep = 1,75 x 10−3

J ; v = 1,02 m∙s−1

.

52 − Un oscilador armónico constituido por un muelle de masa despreciable y una masa en

el extremo de valor: 40 g tiene un período de oscilación de 2 s.

a) ¿Cuál debe ser la masa de un segundo oscilador, constituido por un muelle idéntico

al primero, para que la frecuencia de oscilación se duplique?.

b) Si la amplitud de las oscilaciones en ambos osciladores es 10 cm, ¿cuánto vale,

en cada caso, la máxima energía potencial del oscilador y la máxima velocidad

alcanzada por su masa?.

Septiembre 2000

Solución.− m2 = 0,01 kg

Ep máx 1 = Ep máx 2 = 1,97 x 10−3

J ; vmáx 1 = 0,10π m∙s−1

; vmáx 2 = 0,20π m∙s−1

.

53 − Un sistema masa-muelle está formado por un bloque de 0,75 kg de masa, que se apoya sobre

una superficie horizontal sin rozamiento, unido a un muelle de constante recuperadora k.

Si el bloque se separa 20 cm de la posición de equilibrio, y se le deja libre desde el reposo,

éste empieza a oscilar de tal modo que se producen 10 oscilaciones en 60 s. Determine:

a) La constante recuperadora k del muelle.

b) La expresión matemática que representa el movimiento del bloque en función

del tiempo.

c) La velocidad y la posición del bloque a los 30 s de empezar a oscilar.

d) Los valores máximos de la energía potencial y de la energía cinética alcanzados en

este sistema oscilante.


Solución.− k = 0,82 N∙m−1

; x = x(t) = 0,20 sen

2

πt

3

π (m)

x(t = 30 s) = 0,20 m ; v(t = 30 s) = 0 ; Ec,máx = Ep,máx = 0,016 J.

Página 16


54 − a) Determine la constante elástica k de un muelle, sabiendo que si se le aplica

una fuerza de 0,75 N éste se alarga 2,5 cm con respecto a su posición de equilibrio.

Uniendo al muelle anterior un cuerpo de masa 1,5 kg se constituye un sistema

elástico que se deja oscilar libremente sobre una superficie horizontal sin rozamiento.

Sabiendo que en t = 0 el cuerpo se encuentra en la posición de máximo desplazamiento:

x = 30 cm, respecto a su posición de equilibrio, determine:

b) la expresión matemática del desplazamiento del cuerpo en función del tiempo;

c) la velocidad y la aceleración máximas del cuerpo;

c) las energías cinética y potencial cuando el cuerpo se encuentra a 15 cm de la posición

de equilibrio.

Modelo 2006

Solución.− k = 30 N∙m−1

; x = x(t) = 0,30 sen

2

π4,47t (m)

vmáx = 1,34 m∙s−1

; amáx = 6 m∙s−2

Ec(x = 15 cm) = 1,01 J ; Ep(x = 15 cm) = 0,34 J.

55 − Una pequeña esfera homogénea de masa 1,2 kg, que cuelga de un resorte vertical, de masa

despreciable y constante recuperadora k = 300 N/m, oscila libremente con una velocidad

máxima de 30 cm/s. Determinar:

a) el período del movimiento;

b) el desplazamiento máximo de la esfera respecto de la posición de equilibrio;

c) las energías cinética, potencial y total de la esfera cuando se encuentra en la posición

de desplazamiento máximo.

Septiembre 1996

Solución.− T = 0,40 s ; xmáx = 1,90 x 10−2

m ; Ec = 0 ; Ep = Etot = 5,40 x 10−2

J.

56 − Un punto material está animado de un movimiento armónico simple a lo largo del eje X,

alrededor de su posición de equilibrio en x = 0. En el instante t = 0 el punto material

está situado en x = 0 y se desplaza en el sentido negativo del eje X con una velocidad

de 40 cm∙s−1

. La frecuencia del movimiento es de 5 Hz.

a) Determine la posición en función del tiempo.

b) Calcule al posición y la velocidad en el instante t = 5 s.

Junio 1998

Solución.− x = x(t) = −1,27 x 10−2

sen(10πt) (m) ; x(t = 5 s) = 0 ; v(t = 5 s) = −0,40 m∙s−1

.

Página 17


57 − Un cuerpo de 200 g unido a un resorte horizontal oscila, sin rozamiento, sobre una mesa,

a lo largo del eje de las X, con una frecuencia angular ω = 8,0 rad/s. En el instante t = 0

el alargamiento del resorte es de 4 cm respecto de la posición de equilibrio y el cuerpo lleva

en ese instante una velocidad de −20 cm/s. Determine:

a) la amplitud y la fase inicial del movimiento armónico simple realizado por el cuerpo;

b) la constante elástica del resorte y la energía mecánica del sistema.

Modelo 2002

Solución.− A = 4,72 x 10−2

m ; φ0 = 2,13 rad ; k = 12,80 N∙m−1

; Etot = 1,43 x 10−2

J.

58 − Una masa de 2 kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora es:

k = 10 N/m. El muelle se comprime 5 cm desde la posición de equilibrio (x = 0) y se deja

en libertad. Determine:

a) la expresión de la posición de la masa en función del tiempo: x = x(t);

b) los módulos de la velocidad y de la aceleración de la masa en un punto situado

a 2 cm de la posición de equilibrio;

c) la fuerza recuperadora cuando al masa se encuentra en los extremos de la trayectoria;

d) la energía mecánica del sistema oscilante.

Nota: Considere que los desplazamientos respecto a la posición de equilibrio son positivos

cuando el muelle está estirado.

Junio 2002


2

π32,24t (m)

v(x = 0,02 m) = 0,10 m∙s−1

; a(x = 0,02 m) = 0,10 m∙s−2

F(x = A) = 0,5 N ; Etot = 0,012 J.

59 − Una partícula de 0,1 kg de masa se mueve en el eje X describiendo un movimiento

armónico simple. La partícula tiene velocidad cero en los puntos de coordenadas x = −10 cm

y x = 10 cm y en el instante t = 0 se encuentra en el punto de x = 10 cm. Si el período de

las oscilaciones es de 1,5 s, determine:

a) la fuerza que actúa sobre la partícula en el instante inicial;

b) la energía mecánica de la partícula;

c) la velocidad máxima de la partícula;

d) la expresión matemática de la posición de la partícula en función del tiempo.

Junio 2009

Solución.− F (t = 0) = −0,18 i (N) ; Etot = 8,77 x 10−3

J

vmáx = 0,42 m∙s−1

; x = x(t) = 0,10 sen

2

πt19,4 (m).

Página 18


60 − Una partícula de 5 g de masa se mueve con movimiento armónico simple de 6 cm de

amplitud a lo largo del eje X. En el instante inicial (t = 0) su elongación es de 3 cm y

el sentido del desplazamiento hacia el extremo positivo. Un segundo más tarde

su elongación es de 6 cm por primera vez. Determine:

a) la fase inicial y la frecuencia del movimiento;

b) la función matemática que representa la elongación en función del tiempo: x = x(t);

c) los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de la partícula, así como

las posiciones donde los alcanza;

d) la fuerza que actúa sobre la partícula en t = 1 s y su energía mecánica.

Modelo 2004

Solución.− φ0 = 6

π rad ; ν = 0,17 s

−1 ; x = x(t) = 0,06 sen

6

πt

3

π (SI)

vmáx = 0,06 m∙s−1

(en el centro de la oscilación); |amáx| = 0,07 m∙s−2

(en los extremos)

F(t = 1 s) = −3,30 x 10−4

N (dirigida hacia −X) ; Etot = 9,87 x 10−6

J.

61 − Una partícula de masa 100 g realiza un movimiento armónico simple de amplitud 3 m

y cuya aceleración viene dada por la expresión: a = −9π2x en unidades SI. Sabiendo que

se ha empezado a contar el tiempo cuando la aceleración adquiere su valor absoluto máximo

en los desplazamientos positivos, determine:

a) el período y la constante recuperadora del sistema;

b) la expresión matemática del desplazamiento en función del tiempo: x = x(t);

c) los valores absolutos de la velocidad y de la aceleración cuando el desplazamiento es

la mitad del máximo;

d) las energías cinética y potencial en el punto donde tiene velocidad máxima.

Modelo 2005

Solución.− T = 0,67 s ; k = 8,88 N∙m−1

; x = x(t) = 3 sen

2

πtπ3 (m)

2

Axv = 24,49 m∙s

−1 ;

2

Axa = 133,24 m∙s

−2

Ec(vmáx: x = 0) = 39,97 J ; Ep(vmáx: x = 0) = 0.

Página 19


62 − Una masa puntual de valor 150 g unida a un muelle horizontal de constante elástica

k = 65 N∙m−1

constituye un oscilador armónico simple. Si la amplitud del movimiento es

de 5 cm, determine:

a) la expresión de la velocidad de oscilación de la masa en función de la elongación;

b) la energía potencial elástica del sistema cuando la velocidad de oscilación es nula;

c) la energía cinética del sistema cuando la velocidad de oscilación es máxima;

d) la energía cinética y la energía potencial elástica del sistema cuando el módulo de

la aceleración de la masa es igual a 13 m∙s−2

.

Junio 2006

Solución.− v = ω 22 xA ; Ep(v = 0) = Ec(vmáx) = 8,13 x 10−2

J

Ec(|a| = 13 m∙s−2

) = 5,20 x 10−2

J ; Ep(|a| = 13 m∙s−2

) = 2,93 x 10−2

J.

63 − En la figura se muestra la representación gráfica de la energía potencial (Ep) de un oscilador

armónico simple constituido por una masa puntual de valor 200 g unida a un muelle

horizontal, en función de su elongación (x).

a) Calcule la constante elástica del muelle.

b) Calcule la aceleración máxima del oscilador.

c) Determine numéricamente la energía cinética

cuando la masa está en la posición: x = +2,3 cm.

d) ¿Dónde se encuentra la masa puntual cuando

el módulo de su velocidad es igual a la cuarta

parte de su velocidad máxima?.

Modelo 2009

Solución.− k = 80 N∙m−1

; amáx = 20 m∙s−2

Ec(x = +2,3 cm) = 7,88 x 10−2

J ; x

4

vv

m áx = ±4,84 x 10

−2 m .

64 − Una onda armónica transversal se propaga por una cuerda tensa de gran longitud, y por ello

una partícula de la misma realiza un movimiento armónico simple en la dirección

perpendicular a la cuerda. El período de dicho movimiento es de 3 s y la distancia que

recorre la partícula entre posiciones extremas es de 20 cm.

a) ¿Cuáles son los valores de la velocidad máxima y de la aceleración máxima de

oscilación de la partícula?.

b) Si la distancia mínima que separa dos partículas de la cuerda que oscilan en fase es

de 60 cm, ¿cuál es la velocidad de propagación de la onda?; ¿cuál es el número

de onda?.

Junio 2005

Solución.− a) vmáx = 0,21 m∙s−1

; amáx = 0,44 m∙s−2

; b) v = 0,20 m∙s−1

; k = 10,47 rad∙m−1

.

Página 20


65 − Dada la expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga en

una cuerda tensa de gran longitud:

y = 0,03 sen (2πt − πx) ,

donde x e y están expresados en metros y t en segundos.

a) ¿Cuál es la velocidad de propagación de la onda?.

b) ¿Cuál es la expresión de la velocidad de oscilación de las partículas de la cuerda?;

¿cuál es la velocidad máxima de oscilación?.

c) Para t = 0, ¿cuál es el valor del desplazamiento de los puntos de la cuerda cuando

x = 0,5 m y x = 1 m?.

d) Para x = 1 m, ¿cuál es el desplazamiento cuando t = 0,5 s?.

Septiembre 2005

Solución.− a) v = 2 m∙s−1

; b) v = v(t) = 0,19 cos(2πt − πx) (m∙s−1

) ; vmáx = 0,19 m∙s−1

c y d) y(x = 0,5 m , t = 0) = ─0,03 m ; y(x = 1 m , t = 0) = y(x = 1 m , t = 0,5 s) = 0.

66 − La expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga por una cuerda

tensa orientada según el eje X es:

y = 0,5 sen(6πt − 2πx) (x, y en metros ; t en segundos) .

Determine:

a) los valores de la longitud de onda y de la velocidad de propagación de la onda;

b) las expresiones que representan la elongación y la velocidad de vibración en función

del tiempo, para un punto de la cuerda situado a una distancia x = 1,5 m del origen;

c) los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de vibración de los puntos de

la cuerda;

d) la distancia mínima que separa dos puntos de la cuerda que, en un mismo instante,

vibran desfasados 2π radianes.

Septiembre 2001

Solución.− a) λ = 1 m ; v = 3 m∙s−1

b) y(x = 1,5 m , t) = 0,5 sen(6πt − 3π) (m); v(x = 1,5 m , t) = 3π cos(6πt − 3π) (m∙s−1

)

c) vmáx = 3π m∙s−1

; amáx = 18π2 m∙s

−2

d) 1 m.

Página 21


67 − La expresión matemática que representa una onda armónica que se propaga a lo largo de

una cuerda tensa es:

y(x,t) = 0,01 sen(10πt + 2πx + π) ,

donde x e y están dados en metros y t en segundos. Determine:

a) el sentido y la velocidad de propagación de la onda;

b) la frecuencia y la longitud de onda;

c) la diferencia de fase de oscilación entre dos puntos de la cuerda separados 20 cm;

d) la velocidad y la aceleración de oscilación máximas de un punto de la cuerda.

Modelo 2007

Solución.− a) La onda va de +X a −X ; v = 5 m∙s−1

; b) ν = 5 s−1

; λ = 1 m

c) Δφ = 0,4π rad; d) vmáx = 0,1π m∙s−1

; amáx = π2 m∙s

−2 .

68 − Una onda armónica transversal se propaga en una cuerda tensa de gran longitud y está

representada por la siguiente expresión:

y(x,t) = 0,5 sen(2πt − πx + π) (x e y en metros y t en segundos).

Determine:

a) la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda;

b) la diferencia de fase en un mismo instante entre las vibraciones de dos puntos

separados entre sí: Δx = 1 m;

c) la diferencia de fase de oscilación entre dos posiciones de un mismo punto de

la cuerda cuando el intervalo de tiempo transcurrido es de 2 s;

d) la velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda.

Septiembre 2008

Solución.− λ = 2 m ; v = 2 m∙s−1

; Δφ(Δx = 1 m) = π rad ; Δφ(Δt = 2 s) = 4π rad ; vmáx = π m∙s−1

.

69 − Un tren de ondas armónicas se propaga en un medio unidimensional de forma que

las partículas del mismo están animadas de un movimiento armónico simple

representado por:

y = 4 sen

t

3

π (y en centímetros y t en segundos).

Determine:

a) la velocidad de propagación de las ondas, sabiendo que su longitud de onda es igual

a 240 cm;

b) la diferencia de fase en un instante dado correspondiente a dos partículas del medio

separadas una distancia de 210 cm.

Modelo 1999


; Δφ = 4

π7 rad.

Página 22


70 − Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la dirección del eje Y, según

la expresión:

y = 2 sen

2

π

4

πt (y en cm ; t en s) ,

originando una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X.

Sabiendo que dos puntos materiales de dicho eje que oscilan con un desfase de π radianes

están separados una distancia mínima de 20 cm, determine:

a) la amplitud y la frecuencia de la onda armónica;

b) la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda;

c) la expresión matemática que representa la onda armónica;

d) la expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para el punto

material del eje X de coordenada x = 80 cm, y el valor de dicha velocidad en

el instante t = 20 s.

Junio 2007 y Modelo 2010

Solución.− a) A = 0,02 m ; ν = 0,125 s−1

; b) λ = 0,40 m ; v = 0,05 m∙s−1

c) ψ(x,t) = 0,02 sen

2

πxπ5t

4

π (SI)

d) v = 0,005π cos

2

π7t

4

π (m∙s

−1) ; v(x = 80 cm , t = 20 s) = 0

71 − Una partícula de masa 5 g oscila con movimiento armónico simple, en torno a un punto O,

con una frecuencia de 12 Hz y una amplitud de 4 cm. En el instante inicial la elongación de

la partícula es nula.

a) Si dicha oscilación se propaga según una dirección que tomamos como eje X,

con una velocidad de 5 m/s, escribir la ecuación que representa la onda

unidimensional originada.

b) Calcular la energía que transmite la onda generada por el oscilador.

Septiembre 1997

Solución.− ψ(x,t) = 4 x 10−2

sen

5

xtπ24 (SI) ; E = 2,27 x 10

−2 J

(El signo + o − depende del sentido de propagación de la onda).

Página 23


72 − Una onda armónica transversal que se propaga a lo largo de la dirección positiva del eje de

las X tiene las siguientes características: amplitud A = 5 cm, longitud de onda λ = 8π cm,

velocidad de propagación v = 40 cm/s. Sabiendo que la elongación de la partícula de abscisa

x = 0, en el instante t = 0, es de 5 cm, determinar:

a) el número de onda y la frecuencia angular de la onda;

b) la ecuación que representa el movimiento vibratorio armónico simple de la partícula

de abscisa x = 0;

c) la ecuación que representa la onda armónica transversal indicada.

Junio 1996

Solución.− a) k = 25 rad∙m−1

; ω = 10 rad∙s−1

b) ψ(x = 0 , t) = 5 x 10−2

sen

2

π10t (m)

c) ψ(x,t) = 5 x 10−2

sen

2

πx2510t (SI) .

73 − Una onda armónica transversal se desplaza en la dirección del eje X en sentido positivo y

tiene una amplitud de 2 cm, una longitud de onda de 4 cm y una frecuencia de 8 Hz.

Determine:

a) la velocidad de propagación de la onda;

b) la fase inicial, sabiendo que para x = 0 y t = 0 la elongación es y = −2 cm;

c) la expresión matemática que representa la onda;

d) la distancia mínima de separación entre dos partículas del eje X que oscilan

desfasadas π/3 rad.

Septiembre 2006


; φ0 = 2

π3 rad ; ψ(x,t) = 0,02 sen

2

π3xπ50tπ16 (SI)

dmín = 6,67 x 10−3

m = 6

λ .

74 − Una onda transversal se propaga a lo largo de una cuerda horizontal, en el sentido negativo

del eje de abscisas, siendo 10 cm la distancia mínima entre dos puntos que oscilan en fase.

Sabiendo que la onda está generada por un foco emisor que vibra con un movimiento

armónico simple de frecuencia 50 Hz y una amplitud de 4 cm, determine:

a) la velocidad de propagación de la onda;

b) la expresión matemática de la onda, si el foco emisor se encuentra en el origen de

coordenadas, y en t = 0 la elongación es nula;

c) la velocidad máxima de oscilación de una partícula cualquiera de la cuerda;

d) la aceleración máxima de oscilación en un punto cualquiera de la cuerda.

Junio 2004

Solución.− a) v = 5 m∙s−1

b) ψ(x,t) = 0,04 sen(314,16t + 62,83x) (SI)

c) vmáx = 12,57 m∙s−1

d) amáx = 3,95 x 103 m∙s

−2 .

Página 24


75 − Una onda armónica transversal, de período: T = 2 s, se propaga con una velocidad

de 60 cm/s en una cuerda tensa orientada según el eje X, y en sentido positivo. Sabiendo que

el punto de la cuerda de abscisa x = 30 cm oscila en la dirección del eje Y, de forma que en

el instante t = 1 s la elongación es nula y la velocidad con la que oscila positiva, y en

el instante t = 1,5 s su elongación es 5 cm y su velocidad de oscilación nula, determine:

a) La frecuencia y la longitud de onda.

b) La fase inicial y la amplitud de la onda armónica.

c) La expresión matemática de la onda armónica.

d) La diferencia de fase de oscilación de dos puntos de la cuerda separados un cuarto de

longitud de onda.


Solución.− ν = 0,5 s−1

; λ = 1,20 m ; φ0 = 2

π3 rad ; A = 0,05 m

y = y(x,t) = 0,05 sen

2

π3x

3

π5tπ (m)

Δφ = 2

π rad .

76 − Una onda armónica transversal de amplitud 8 cm y longitud de onda 140 cm se propaga en

una cuerda tensa, orientada en el sentido positivo del eje X, con una velocidad de 70 cm/s.

El punto de la cuerda de coordenada x = 0 (origen de la perturbación) oscila en la dirección

del eje Y y tiene en el instante t = 0 una elongación de 4 cm y una velocidad de oscilación

positiva. Determine:

a) Los valores de la frecuencia angular y del número de onda.

b) La expresión matemática de la onda.

c) La expresión matemática del movimiento del punto de la cuerda situado a 70 cm

del origen.

d) La diferencia de fase de oscilación, en un mismo instante, entre dos puntos de

la cuerda que distan entre sí 35 cm.

Septiembre 2009

Solución.− a) ω = π rad∙s−1

; k = 4,49 rad∙m−1

b) ψ(x,t) = 0,08 sen

6

πx49,4tπ( (m)

c) y(x = 0,70 m , t) = 0,08 sen

6

π5tπ (m)

d) Δφ = 2

π rad.

Página 25


77 − Una onda armónica transversal de frecuencia 80 Hz y amplitud 25 cm se propaga a lo largo

de una cuerda tensa de gran longitud, orientada según el eje X, con una velocidad de 12 m/s

en su sentido positivo. Sabiendo que en el instante t = 0 el punto de la cuerda de abscisa

x = 0 tiene una elongación y = 0 y su velocidad de oscilación es positiva, determine:

a) La expresión matemática que representa dicha onda.

b) La expresión matemática que representa la velocidad de oscilación en función

del tiempo del punto de la cuerda de abscisa x = 75 cm.

c) Los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de oscilación de los puntos

de la cuerda.

d) La diferencia de fase de oscilación en un mismo instante entre dos puntos de

la cuerda separados 37,5 cm.

Modelo 2003

Solución.− a) ψ(x,t) = 0,25 sen(502,65t − 41,89x) (SI)

b) v(x = 75 cm , t) = 125,66 cos(502,66t − 31,42) (m∙s−1

)

c) vmáx = 125,66 m∙s−1

; amáx = 6,32 x 104 m∙s

−2

d) Δφ = 5π (equivalente a π) rad.

78 − Una onda armónica cuya frecuencia es de 50 Hz se propaga en la dirección positiva

del eje X. Sabiendo que la diferencia de fase, en un instante dado, para dos puntos separados

20 cm es de π/2 radianes, determinar:

a) El período, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda.

b) En un punto dado, ¿qué diferencia de fase existe entre los desplazamientos que tienen

lugar en dos instantes separados por un intervalo de 0,01 s?.

Junio 1997

Solución.− T = 0,02 s ; λ = 0,80 m ; v = 40 m∙s−1

; Δφ = π rad.

79 − El sonido emitido por un altavoz tiene un nivel de intensidad de 60 dB a una distancia

de 2 m de él. Si el altavoz se considera como una fuente puntual, determine:

a) La potencia del sonido emitido por el altavoz.

b) ¿A qué distancia el nivel de intensidad sonora es de 30 dB, y a qué distancia

es imperceptible el sonido?.

Dato: El umbral de audición es: I0 = 10−12

W∙m−2

.

Modelo 2001

Solución.− P = 5,03 x 10−5

W ; r(S = 30 dB) = 63,25 m ; r(S = 0) = 2.000 m.

Página 26


80 − Se realizan dos mediciones del nivel de intensidad sonora en las proximidades de un foco

sonoro puntual, siendo la primera de 100 dB a una distancia x del foco, y la segunda

de 80 dB al alejarse en la misma dirección 100 m más.

a) Obtenga las distancias al foco desde donde se efectúan las mediciones.

b) Determine la potencia sonora del foco.


W∙m−2

.

Junio 2008

Solución.− r1 = x = 11,11 m ; r2 = x + 100 = 111,11 m ; P = 15,51 W.

81 − Se tienen tres medios transparentes de índices de refracción: n1, n2 y n3, separados entre sí

por superficies planas y paralelas. Un rayo de luz de frecuencia: ν = 6 x 1014

Hz incide desde

el primer medio (n1 = 1,5) sobre el segundo formando un ángulo: θ1 = 30º con la normal a

la superficie de separación.

a) Sabiendo que el ángulo de refracción en el segundo medio es: θ2 = 23,5º, ¿cuál será

la longitud de onda de la luz en este segundo medio?.

b) Tras atravesar el segundo medio el rayo llega a la superficie de separación con

el tercer medio. Si el índice de refracción del tercer medio es: n3 = 1,3, ¿cuál será

el ángulo de emergencia del rayo?.


−1.

Modelo 2005

Solución.− a) λ2 = 2,66 x 10−7

m ; b) θ’3 = 35º 14’ 4’’ .

82 − Un rayo de luz blanca incide desde el aire sobre una lámina de vidrio con un ángulo de

incidencia de 30º.

a) ¿Qué ángulo formarán entre sí en el interior del vidrio los rayos rojo y azul,

componentes de la luz blanca, si los valores de los índices de refracción del vidrio

para estos colores son, respectivamente: nrojo = 1,612 y nazul = 1,671?.

b) ¿Cuáles serán los valores de la frecuencia y de la longitud de onda correspondientes

a cada una de estas radiaciones en el vidrio, si las longitudes de onda en el vacío son,

respectivamente: λrojo = 656,3 nm y λazul = 486,1 nm?.


−1.

Junio 1999

Solución.− a) Ángulo: 0º 39’ 32’’

b) νrojo = 4,571 x 1014

s−1

; λrojo = 4,071 x 10−7

m

νazul = 6,172 x 1014

s−1

; λazul = 2,909 x 10−7

m.

Página 27


83 − Un rayo de luz amarilla, emitido por una lámpara de sodio, tiene una longitud de onda en

el vacío de 589 x 10−9

m. Determinar:

a) Su frecuencia.

b) Su velocidad de propagación y su longitud de onda en el interior de una fibra de

cuarzo, cuyo índice de refracción es: n = 1,458.

c) El ángulo de incidencia mínimo para el rayo de luz que, propagándose por el interior

de la fibra de cuarzo, encuentra la superficie de discontinuidad entre el cuarzo y

el aire y experimenta reflexión total.


−1.

Septiembre 1996

Solución.− a) ν = 5,09 x 1014

s−1

; b) v = 2,06 x 108 m∙s

−1 ; λ = 4,04 x 10

−7 m

c) Ángulo límite: 43º 18’ 15’’

Sea cual sea el ángulo de incidencia con el que el rayo penetre en la fibra de

cuarzo, al intentar salir de ella sufrirá reflexión total.

84 − Un rayo de luz roja que se propaga en el aire tiene una longitud de onda de 650 nm.

Al incidir sobre la superficie de separación de un medio transparente y penetrar en él

la longitud de onda del rayo pasa a ser de 500 nm.

a) Calcule la frecuencia de la luz roja.

b) Calcule el índice de refracción del medio transparente para la luz roja.

c) Si el rayo incide desde el aire con un ángulo de 30º respecto a la normal, ¿cuál será

el ángulo de refracción en el medio transparente?.

d) Si el rayo se propagara por el medio transparente en dirección hacia el aire,

¿cuál sería el ángulo de incidencia a partir del cual no se produce refracción?.


−1.

Septiembre 2009

Solución.− a) ν = 4,62 x 1014

s−1

; b) n = 1,3

c) θ’ = 22º 37’ 12’’ ; d) ángulo límite = 50º 17’ 6’’ .

85 − Un láser de longitud de onda: λ = 630 nm tiene una potencia de 10 mW y un diámetro de haz

de 1 mm. Calcule:

a) la intensidad del haz;

b) el número de fotones por segundo que viajan con el haz.

Datos: Velocidad de la luz en el vacío: c = 3 x 108 m∙s

−1.

Constante de Planck: h = 6,63 x 10−34

J∙s.

Junio 1999

Solución.− I = 1,27 x 104 W∙m

−2 ; n = 3,17 x 10

16 fotones / segundo.

Página 28

FÍSICA de

2º de BACHILLERATO

INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA




(1996 − 2010)








(1996 − 2010)

INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

Cuestiones

1 − Efectúe un estudio comparativo entre el campo gravitatorio, el campo eléctrico y el campo

magnético, contemplando los siguientes aspectos: fuentes del campo, líneas de fuerza y

carácter conservativo.

Modelo 1999

Solución.−

2 − a) Defina las superficies equipotenciales en un campo de fuerzas conservativo.

b) ¿Cómo son las superficies equipotenciales del campo eléctrico creado por

una carga puntual?.

c) ¿Qué relación geométrica existe entre las líneas de fuerza de un campo conservativo

y las superficies equipotenciales?.

d) Indique un ejemplo de campo de fuerzas no conservativo.

Septiembre 2003

Solución.− a) Una superficie equipotencial es la constituida por todos los puntos en los que

el potencial asociado al campo conservativo tiene el mismo valor.

b) Esferas concéntricas con la carga puntual.

c) Son perpendiculares entre sí.

d) El campo magnético.

Página 2

Campo gravitatorio Campo eléctrico Campo magnético

Fuentes del campo Masa

Carga eléctrica

Campo magnético

variable

Carga eléctrica

en movimiento

(corriente eléctrica)

Campo eléctrico

variable

Líneas de fuerza Abiertas y entrantes

Abiertas:

entrantes (−q)

salientes (+q)

Cerradas

(de N a S)

Carácter conservativo Conservativo Conservativo No conservativo

Ejercicios de acceso a la Universidad − Cuestiones de Interacción Electromagnética

3 − ¿Puede existir diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de una región en la cual

la intensidad del campo eléctrico es nula?. ¿Qué relación general existe entre el vector

intensidad de campo eléctrico y el potencial eléctrico?.

Junio 1997

Solución.− No ;

k

z

)z,y,x(Vj

y

)z,y,x(Vi

x

)z,y,x(VE .

4 − Si una carga eléctrica negativa se desplaza en un campo eléctrico uniforme a lo largo de

una línea de fuerza bajo la acción de la fuerza del campo:

a) ¿Cómo varía la energía potencial de la carga al pasar ésta desde un punto A

a un punto B del campo?.

b) ¿Dónde será mayor el potencial eléctrico del campo: en A o en B?.

Razona las respuestas.

Septiembre 1997

Solución.− Ep B < Ep A ; VB > VA .

5 − Una carga puntual de valor Q ocupa la posición (0,0) en el plano XY en el vacío.

En un punto A del eje X el potencial es: V = −120 V y el campo eléctrico es:

E = −80 i N/C, siendo i el vector unitario en el sentido positivo del eje X.

Si las coordenadas están dadas en metros, calcule:

a) la posición del punto A y el valor de Q;

b) el trabajo necesario para llevar un electrón desde el punto B (2,2) hasta el punto A.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1,6 x 10−19

C

Constante de la Ley de Coulomb en el vacío: K0 = 9 x 109 N∙m

2∙C

−2.

Junio 2006

Solución.− A (1,5,0) (m) ; Q = −2 x 10−8

C ; WB→A = −9,02 x 10−18

J.

6 − Dos cargas puntuales de +6 μC y −6μC están situadas en el eje X, en dos puntos A y B

distantes entre sí 12 cm. Determine:

a) el vector campo eléctrico en el punto P de la línea AB, si AP = 4 cm y BP = 8 cm;

b) el potencial eléctrico en el punto C perteneciente a la mediatriz del segmento AB y

distante 8 cm de dicho segmento.

Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K0 = 9 x 109 N∙m

2∙C

−2.

Modelo 2005

Solución.− E(P) = 4,22 x 107 N∙C

−1 (dirigido hacia la carga negativa) ; Vtot C =0.

Página 3


7 − Se disponen tres cargas de 10 nC en tres de los vértices de un cuadrado de 1 m de lado.

Determine en el centro del cuadrado:

a) el módulo, la dirección y el sentido del vector campo eléctrico;

b) el potencial eléctrico.


2∙C

−2.

Septiembre 2008

Solución.− Intensidad del campo eléctrico total: vector según la diagonal que une la carga

intermedia con el vértice del cuadrado donde no hay carga, sentido hacia dicho

vértice sin carga y módulo: Etotal = 180 N∙C−1

.

Potencial total: Vtotal = 381,84 V.

8 − Dos cargas puntuales e iguales, de valor 2 μC cada una, se encuentran situadas en

el plano XY en los puntos (0,5) y (0,−5), respectivamente, estando las distancias expresadas

en metros.

a) ¿En qué punto del plano el campo eléctrico es nulo?.

b) ¿Cuál es el trabajo necesario para llevar una carga unidad desde el punto (1,0)

al punto (−1,0)?.

Junio 2000

Solución.− a) En el origen de coordenadas ; b) W = 0.

9 − Se crea un campo eléctrico uniforme de intensidad 6 x 104 N/C entre dos láminas metálicas

planas y paralelas que distan entre sí 2,5 cm. Calcule:

a) La aceleración a la que está sometido un electrón situado en dicho campo.

b) Si el electrón parte del reposo de la lámina negativa, ¿con qué velocidad llegará a

la lámina positiva?.

Nota: Se desprecia la fuerza gravitatoria.


C

Masa del electrón: m = 9,1 x 10−31

kg.

Modelo 2004

Solución.− a = 1,1 x 1016

m∙s−2

(dirigida de la placa negativa a la positiva) ; vf = 2,3 x 107 m∙s

−1

Página 4


10 − a) Enuncie el Teorema de Gauss y escriba su expresión matemática.

b) Utilice dicho Teorema para deducir la expresión matemática del campo eléctrico en

un punto del espacio debido a una carga puntual.

Modelo 2008

Solución.− Teorema de Gauss del campo eléctrico: El flujo del campo eléctrico debido a

una distribución de carga a través de una superficie (gaussiana) que la envuelve

es igual a la carga total encerrada por dicha superficie dividida entre la permitividad

eléctrica del medio.

Ф = dSES =

ε

q eriorint

E (carga puntual) = 2r

q

πε4

1 .

11 − a) Enuncie y exprese matemáticamente el Teorema de Gauss.

b) Deduzca la expresión del módulo del campo eléctrico creado por una lámina plana,

infinita, uniformemente cargada con una densidad superficial de carga σ.


Solución.− Teorema de Gauss del campo eléctrico: El flujo del campo eléctrico debido a

una distribución de carga a través de una superficie (gaussiana) que la envuelve

es igual a la carga total encerrada por dicha superficie dividida entre la permitividad

eléctrica del medio.

Ф = dSES =

ε

q eriorint

E (lámina plana infinita uniformemente cargada) = ε2

σ

S

qσ .

12 − Una superficie esférica de radio R tiene una carga eléctrica Q distribuida uniformemente

en ella.

a) Deduzca la expresión del módulo del vector campo eléctrico en un punto situado en

el exterior a dicha superficie haciendo uso del Teorema de Gauss.

b) ¿Cuál es la razón entre los módulos de los vectores campo eléctrico en dos puntos

situados a las distancias del centro de la esfera: r1 = 2 R y r2 = 3 R?.

Septiembre 2009

Solución.− a) Eext = 22 R

QK

R

Q

πε4

1 ; b)

)R3r(E

)R2r(E

2

1

= 2,25 .

Página 5


13 − a) ¿Puede ser cero la fuerza magnética que se ejerce sobre una partícula cargada que

se mueve en el seno de un campo magnético?.

b) ¿Puede ser cero la fuerza eléctrica sobre una partícula cargada que se mueve en

el seno de un campo eléctrico?.

Junio 1998

Solución.− a) Sí, cuando v y B son paralelos ; b) No.

14 − Analice si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) Una partícula cargada que se mueve en un campo magnético uniforme aumenta

su velocidad cuando se desplaza en la misma dirección de las líneas del campo.

b) Una partícula cargada puede moverse en una región en la que existe un campo

magnético y un campo eléctrico sin experimentar ninguna fuerza.

Junio 2009


15 − Una partícula cargada penetra con velocidad v en una región en la que existe un campo

magnético uniforme B . Determine la expresión de la fuerza ejercida sobre la partícula en

los siguientes casos:

a) La carga es negativa, la velocidad es: v = v0 j y el campo magnético es:

B = −B0 k .

b) La carga es positiva, la velocidad es: v = v0 ( j + k ) y el campo magnético es:

B = B0 j .

Nota: Los vectores i , j y k son los vectores unitarios según los ejes X, Y y Z,

respectivamente.

Septiembre 2005

Solución.− a) F = |q|v0B0 i ; b) F = −qv0B0 i .

16 − Una partícula de carga positiva q se mueve en la dirección del eje de las X con

una velocidad constante: v = a i y entra en una región donde existe un campo magnético

de dirección eje Y y módulo constante: B = b j .

a) Determine la fuerza ejercida sobre la partícula en módulo, dirección y sentido.

b) Razone qué trayectoria seguirá la partícula y efectúe un esquema gráfico.

Septiembre 2003

Solución.− a) F = qab k (N)

b) Circunferencia en el plano XZ, en sentido horario visto desde el semieje +Y.

Página 6


17 − Indique el tipo de trayectoria descrita por una partícula cargada positivamente que posee

inicialmente una velocidad: v = v i al penetrar en cada una de las siguientes regiones:

a) Región con un campo magnético uniforme: B = B i .

b) Región con un campo eléctrico uniforme: E = E i .

c) Región con un campo magnético uniforme: B = B j .

d) Región con un campo eléctrico uniforme: E = E j .

Modelo 2007

Solución.− a) La partícula sigue moviéndose a lo largo del eje X -hacia +X- con velocidad:

v = v i constante.

b) La partícula se mueve a lo largo del eje X -hacia +X- con movimiento

rectilíneo uniformemente acelerado.

c) La partícula describe un movimiento circular uniforme en el plano XZ,

en sentido horario visto desde el semieje +Y.

d) La partícula describe un movimiento parabólico en el plano XY,

hacia los semiejes +X y +Y visto desde el semieje +Z.

18 − Un electrón se mueve con velocidad v en una región del espacio donde coexisten

un campo eléctrico y un campo magnético, ambos estacionarios. Razone si cada uno de estos

campos realiza o no trabajo sobre la carga.

Septiembre 2002

Solución.− El campo eléctrico sí realiza trabajo, pero el campo magnético no.

19 − Una partícula cargada se mueve en línea recta en una determinada región.

a) Si la carga de la partícula es positiva, ¿puede asegurarse que en esa región el campo

magnético es nulo?.

b) ¿Cambiaría la respuesta si la carga fuese negativa en vez de ser positiva?.

Modelo 2002

Solución.− En ambos casos, no se puede asegurar.

20 − En una región del espacio existe un campo magnético uniforme dirigido en el sentido

negativo del eje Z. Indique mediante un esquema la dirección y el sentido de la fuerza que

actúa sobre una carga, en los siguientes casos:

a) la carga es positiva y se mueve en el sentido positivo del eje Z;

b) la carga es negativa y se mueve en el sentido positivo del eje X.

Septiembre 2004

Solución.− a) F = 0 ; b) F = −qvB j .

Página 7


21 − Un protón que se mueve con una velocidad v entra en una región en la que existe

un campo magnético B uniforme. Explique cómo es la trayectoria que seguirá el protón:

a) si la velocidad del protón v es paralela a B ;

b) si la velocidad del protón v es perpendicular a B .

Septiembre 2006

Solución.− a) Seguirá con movimiento rectilíneo uniforme por su trayectoria inicial.

b) Describirá un movimiento circular uniforme dentro del campo magnético.

22 − Un protón penetra en una región donde existe un campo magnético uniforme.

a) Explique qué tipo de trayectoria describirá el protón si su velocidad es:

a.1) paralela al campo;

a.2) perpendicular al campo.

b) ¿Qué sucede si el protón se abandona en reposo en el campo magnético?.

c) En qué cambiarían las anteriores respuestas si en lugar de un protón fuera

un electrón?.

Junio 2003

Solución.− a.1) Línea recta con movimiento uniforme.

a.2) Circunferencia con movimiento circular uniforme.

b) Permanece en reposo.

c) Respuestas idénticas a las anteriores. En el apartado a.2) la circunferencia

es descrita en sentido contrario y con un radio casi 2.000 veces menor que en

el caso del protón.

23 − Una carga puntual Q con velocidad: v = vx i entra en una región donde existe un campo

magnético uniforme: B = Bx i + By j + Bz k . Determine:

a) la fuerza que se ejerce sobre la carga en el campo magnético;

b) el campo eléctrico E que debería existir en la región para que la carga prosiguiese

sin cambio del vector velocidad.

Modelo 2010

Solución.− a) F = −QvxBz j + QvxBy k ; b) E = vxBz j − vxBy k .

Página 8


24 − a) ¿Cuál es la velocidad de un electrón cuando se mueve en presencia de un campo

eléctrico de módulo: 3,5 x 105 N/C y de un campo magnético de 2 T, ambos

mutuamente perpendiculares y, a su vez, perpendiculares a la velocidad del electrón,

para que éste no se desvíe?.

b) ¿Cuál es el radio de la órbita descrita por el electrón cuando se suprime

el campo eléctrico?.

Datos: Masa del electrón: me = 9,1 x 10−31

kg

Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1,6 x 10−19

C.

Septiembre 2007 y Modelo 2010

Solución.− a) v = 1,75 x 105 m∙s

−1 ; b) R = 4,97 x 10

−7 m.

25 − Un protón y un electrón se mueven perpendicularmente a un campo magnético uniforme,

con igual velocidad. ¿Qué tipo de trayectoria realiza cada uno de ellos?; ¿cómo es

la trayectoria que realiza el protón en relación con la que realiza el electrón?.

Razona la respuesta.

Dato: Se considera que la masa del protón es igual, aproximadamente, a 1.836 veces

la masa del electrón.

Junio 1996

Solución.− Trayectorias circulares en sentidos opuestos, con radios: Re y Rp = 1.836 Re.

26 − Un protón y un electrón se mueven en un campo magnético uniforme B bajo la acción

del mismo. Si la velocidad del electrón es ocho veces mayor que la del protón y ambas

son perpendiculares a las líneas del campo magnético, deduzca la relación numérica

existente entre:

a) los radios de las órbitas que describen;

b) los períodos orbitales de las mismas.

Dato: Se considera que la masa del protón es 1.836 veces la masa del electrón.


Solución.− )e(R

)p(R = 229,5 ;

)e(T

)p(T = 1.836 .

27 − Un electrón que se mueve con una velocidad constante v penetra en un campo magnético

uniforme B , de tal modo que describe una trayectoria circular de radio R. Si la intensidad

del campo magnético disminuye a la mitad y la velocidad aumenta al doble, determine:

a) el radio de la órbita;

b) la velocidad angular.

Septiembre 1998

Solución.− a) R2 = 4 R1 ; b) ω2 = 2

ω1 .

Página 9


28 − La figura representa una región en la que existe un campo

magnético uniforme B , cuyas líneas de campo son

perpendiculares al plano del papel y saliendo hacia fuera

del mismo. Si entran sucesivamente tres partículas con

la misma velocidad v y describe cada una de ellas

la trayectoria que se muestra en la figura (cada partícula

está numerada):

a) ¿Cuál es el signo de la carga de cada una de

las partículas?.

b) ¿En cuál de ellas es mayor el valor absoluto de

la relación carga-masa (q/m)?.

Modelo 2006

Solución.− q1: negativa ; q2 = 0 ; q3: positiva ; m

q(carga q3): la mayor.

29 − Un electrón que se mueve con una velocidad de 106 m/s describe una órbita circular en

el seno de un campo magnético uniforme de valor 0,1 T cuya dirección es perpendicular a

la velocidad. Determine:

a) el valor del radio de la órbita que realiza el electrón;

b) el número de vueltas que da el electrón en 0,01 s.


kg


C.

Junio 2001

Solución.− R = 5,7 x 10−5

m ; n = 2,8 x 107 vueltas.

30 − Una partícula de carga: q = 1,6 x 10−19

C se mueve en un campo magnético uniforme

de valor: B = 0,2 T, describiendo una circunferencia en un plano perpendicular a la dirección

del campo magnético con período de 3,2 x 10−7

s y velocidad de 3,8 x 106m/s. Calcule:

a) el radio de la circunferencia descrita;

b) la masa de la partícula.

Septiembre 2001

Solución.− R = 0,2 m ; m = 1,6 x 10−27

kg -un protón- .

Página 10

. . . . . . . . . . . . . B . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . .

v


31 − Un protón (carga eléctrica: +e) y una partícula alfa (carga eléctrica: +2e) se mueven en

un campo magnético uniforme según circunferencias de igual radio. Compara los valores de:

a) sus velocidades;

b) sus energías cinéticas;

c) sus momentos angulares.

Se admite que la masa de la partícula alfa es igual a cuatro veces la masa del protón.

Septiembre 1996

Solución.− )αv(

v(p) = 2 ;

)α(E

(p)E

c

c = 1 ;

)αL(

L(p) =

2

1 .

32 − Dos partículas de idéntica carga describen órbitas circulares en el seno de un campo

magnético uniforme bajo la acción del mismo. Ambas partículas poseen la misma energía

cinética y la masa de una es el doble que la de la otra. Calcule la relación entre:

a) los radios de las órbitas;

b) los períodos de las órbitas.


Solución.− m1 = 2 m2 ; 2

1

R

R = 2 ;

2

1

T

T = 2 .

33 − a) Analice cómo es la fuerza que ejercen entre sí dos conductores rectilíneos e

indefinidos, paralelos, separados una distancia d y recorridos por una corriente de

intensidad I, según que los sentidos de las corrientes coincidan o sean opuestos.

b) Explique si es posible que un electrón se mueva con velocidad v, paralelamente

a estos conductores y equidistante entre ellos sin cambiar su trayectoria.

Modelo 1999

Solución.− a) Fuerza atractiva si las corrientes tienen el mismo sentido, y repulsiva si tienen

sentidos opuestos.

b) Si las corrientes tienen el mismo sentido el electrón no cambia su trayectoria;

si las corrientes tienen sentidos opuestos el electrón se desvía de

su trayectoria inicial.

Página 11


34 − Una espira cuadrada de 10 cm de lado está recorrida por una corriente eléctrica constante

de 30 mA.

a) Determine el momento magnético de la espira.

b) Si esta espira está inmersa en un campo magnético uniforme: B = 0,5 T paralelo a

dos de sus lados, determine las fuerzas que actúan sobre cada uno de sus lados.

Analice si la espira girará o no hasta alcanzar la posición de equilibrio en el campo.

Modelo 2009

Solución.− Momento magnético: vector perpendicular al plano de la espira, sentido según

la regla de la mano derecha -en función del sentido de circulación de la corriente

eléctrica- y módulo: Mmagnético = 3 x 10−4

A∙m2.

Sobre cada uno de los lados de la espira paralelos a B la fuerza es 0.

Sobre cada uno de los otros dos lados la fuerza tiene un módulo: 1,5 x 10−3

N.

Estas últimas dos fuerzas constituyen un par de fuerzas que hace girar la espira hasta

alcanzar su posición de equilibrio en el campo magnético.

35 − a) Enuncie las Leyes de Faraday y de Lenz de la inducción electromagnética.

b) La espira circular de la figura adjunta está

situada en el seno de un campo magnético

uniforme. Explique si existe fuerza

electromotriz inducida en los siguientes casos:

b.1) La espira se desplaza hacia la derecha.

b.2) El valor del campo magnético aumenta

linealmente con el tiempo.

Junio 2004

Solución.− Ley de Faraday–Henry: La fuerza electromotriz inducida en un circuito es

directamente proporcional a la variación temporal del

flujo del campo magnético a través del mismo.

Ley de Lenz: La fuerza electromotriz inducida se opone a

la variación de flujo del campo magnético a través del

circuito que la ha generado.

b.1) No existe

(mientras la espira permanezca completamente dentro del campo magnético).

b.2) Sí existe.

Página 12

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x B x

x x x x x x x x x

x x x x x x B x x

x x x x x x x x x


36 − Una espira se coloca perpendicularmente a un campo magnético uniforme B . ¿En qué caso

será mayor la fuerza electromotriz inducida en la espira:

a) si B disminuye linealmente de 300 mT a 0 en 1 ms, o

b) si B aumenta linealmente de 1 T a 1,2 T en 1 ms?.

Modelo 2001

Solución.− |ε|a) > |ε|b) .

37 − Un campo magnético uniforme y constante de 0,01 T está dirigido a lo largo del eje Z.

Una espira circular se encuentra situada en el plano XY, centrada en el origen, y tiene

un radio que varía con el tiempo según la función: r = 0,1 − 10t (en unidades SI).

Determine:

a) La expresión del flujo magnético a través de la espira.

b) ¿En qué instante de tiempo la fuerza electromotriz inducida en la espira es 0,01 V?.

Septiembre 2000

Solución.− a) Φ = Φ(t) = π(t2 − 2 x 10

−2t + 10

−4) Wb ; b) t = 8,41 x 10

−3 s .

38 − Explique cómo se puede producir en una espira de área S una corriente alterna mediante

un campo magnético uniforme B .

Septiembre 1999

Solución.− Al girar la espira varía su orientación respecto al campo magnético, lo que provoca

una variación del flujo y, por inducción electromagnética, la aparición de una tensión

-y, en consecuencia, de una corriente- alternas en la espira.

39 − Una espira metálica circular, de 1 cm de radio y resistencia 10−2

Ω, gira en torno a un eje

diametral con una velocidad angular de 2π rad/s en una región donde hay un campo

magnético uniforme de 0,5 T dirigido según el sentido positivo del eje Z. Si el eje de giro de

la espira tiene la dirección del eje X y en el instante t = 0 la espira se encuentra situada en

el plano XY, determine:

a) la expresión de la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo;

b) el valor máximo de la intensidad de la corriente que recorre la espira.

Junio 2005

Solución.− ε = ε(t) = 9,87 x 10−4

sen(6,28t) (V) ; Imáx = 9,87 x 10−2

A.

Página 13


40 − Un solenoide de resistencia 3,4 x 10−3

Ω está formado por 100 espiras de hilo de cobre

y se encuentra situado en un campo magnético de expresión: B = 0,01 cos(100πt)

en unidades SI. El eje del solenoide es paralelo a la dirección del campo magnético y

la sección transversal del solenoide es de 25 cm2. Determine:

a) la expresión de la fuerza electromotriz inducida y su valor máximo;

b) la expresión de la intensidad de la corriente que recorre el solenoide y

su valor máximo.

Modelo 2005

Solución.− ε = ε(t) = 0,25π sen(100πt) (V) ; εmáx = 0,25π V

I = I(t) = 231 sen(100πt) (A) ; Imáx = 231 A.

41 − Una bobina de sección circular gira alrededor de uno de sus diámetros en un campo

magnético uniforme de dirección perpendicular al eje de giro. Sabiendo que el valor máximo

de la fuerza electromotriz inducida es de 50 V cuando la frecuencia es de 60 Hz, determine

el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida:

a) si la frecuencia es 180 Hz en presencia del mismo campo magnético;

b) si la frecuencia es 120 Hz y el valor del campo magnético se duplica.

Junio 2002

Solución.− a) εmáx = 150 V ; b) εmáx = 200 V.

42 − a) ¿Qué es un transformador?. ¿Por qué son útiles para el transporte de

la energía eléctrica?.

b) Si el primario de un transformador tiene 1.200 espiras y el secundario 100,

¿qué tensión habrá que aplicar al primario para tener en la salida del secundario

6 V?.

Junio 1999

Solución.− Un transformador es un dispositivo que, mediante inducción electromagnética,

modifica el valor de la tensión eléctrica.

En el transporte de la energía eléctrica primero se emplean transformadores

elevadores, y luego reductores; así se consiguen minimizar las pérdidas en la línea

de transporte.

b) Vp = 72 V.

Página 14

Ejercicios de acceso a la Universidad − Cuestiones y Problemas de Interacción Electromagnética

43 − Para transformar el voltaje de 220 V de la red eléctrica a un voltaje de 12 V que necesita

una lámpara halógena se utiliza un transformador.

a) ¿Qué tipo de transformador debemos utilizar?. Si la bobina del primario tiene

2.200 espiras, ¿cuántas espiras debe tener la bobina del secundario?.

b) Si la lámpara funciona con una intensidad de corriente de 5 A, ¿cuál es el valor de

la intensidad de la corriente que debe circular por la bobina del primario?.

Modelo 2003

Solución.− Transformador reductor ; ns = 120 espiras ; Ip = 0,27 A.

Problemas

44 − Se tienen dos cargas puntuales sobre el eje X: q1 = −0,2 μC está situada a la derecha

del origen y dista de él 1 m; q2 = +0,4 μC está a la izquierda del origen y dista de él 2 m.

a) ¿En qué puntos del eje X el potencial creado por las dos cargas es nulo?.

b) Si se coloca en el origen una carga: q = +0,4 μC, determine la fuerza ejercida sobre

ella por las cargas q1 y q2.

Dato: Constante de la Ley de Coulomb en el vacío: K0 = 9 x 109 N∙m

2∙C

−2.

Septiembre 2001

Solución.− Vtot = 0 en x = 0 y x = 4 m

13F = 7,2 x 10−4

i ; 23F = 3,6 x 10−4

i ; totalF = 1,08 x 10−3

i (N) .

45 − Se tienen dos cargas eléctricas puntuales de 3 μC cada una, una positiva y la otra negativa,

colocadas a una distancia de 20 cm. Calcular la intensidad del campo eléctrico y el potencial

eléctrico en los siguientes puntos:

a) en el punto medio del segmento que las une;

b) en un punto equidistante 20 cm de ambas cargas.

Dato: Medio: el vacío. Constante de la Ley de Coulomb: K0 = 9 x 109 N∙m

2∙C

−2.

Junio 1996

Solución.− a) E = 5,40 x 106

i (N∙C−1

) ; V = 0 ; b) E = 6,75 x 105

i (N∙C−1

) ; V = 0

Página 15

Ejercicios de acceso a la Universidad − Problemas de Interacción Electromagnética

46 − Dos cargas puntuales de −3 μC y +3 μC se encuentran situadas en el plano XY, en

los puntos (−1,0) y (1,0) respectivamente. Determine el vector campo eléctrico:

a) en el punto de coordenadas (10,0);

b) en el punto de coordenadas (0,10).

Todas las coordenadas están expresadas en metros.


2∙C

−2.

Junio 2009

Solución.− a) E (10,0) = 110,19 i (N∙C−1

) ; b) E (0,10) = −53,20 i (N∙C−1

) .

47 − Dos partículas con cargas de +1 μC y de −1 μC están situadas en los puntos del plano XY de

coordenadas (−1,0) y (1,0) respectivamente. Sabiendo que las coordenadas están expresadas

en metros, calcule:

a) el campo eléctrico en el punto (0,3);

b) el potencial eléctrico en los puntos del eje Y;

c) el campo eléctrico en el punto (3,0);

d) el potencial eléctrico en el punto (3,0).


2∙C

−2.

Junio 2007

Solución.− a) E (0,3) = 569,21 i (N∙C−1

) ; b) V(0,y) = 0

c) E (3,0) = −1.687,50 i (N∙C−1

) ; d) V(3,0) = −2.250 V.

48 − Se disponen dos cargas eléctricas sobre el eje X: una de valor Q1 en la posición (1,0),

y la otra de valor Q2 en (−1,0). Sabiendo que todas las distancias están expresadas en

metros, determine en los dos casos siguientes:

a) los valores de las cargas Q1 y Q2 para que el campo eléctrico en el punto (0,1)

sea el vector E = 2 x 105

j (N/C), siendo j el vector unitario en el sentido positivo

del eje Y;

b) la relación entre las cargas Q1 y Q2 para que el potencial eléctrico en el punto (2,0)

sea cero.


2∙C

−2.


Solución.− a) Q1 = Q2 = 3,14 x 10−5

C ; b) 2

1

Q

Q =

3

1 .

Página 16


49 − Tres partículas cargadas: Q1 = +2 μC, Q2 = +2 μC y Q3 de valor desconocido están situadas

en el plano XY. Las coordenadas de los puntos en los que se encuentran las cargas son:

Q1: (1,0); Q2: (−1,0) y Q3: (0,2). Si todas están expresadas en metros:

a) ¿Qué valor debe tener Q3 para que una carga situada en el punto (0,1)

no experimente ninguna fuerza neta?.

b) En el caso anterior, ¿cuánto vale el potencial eléctrico resultante en el punto (0,1),

debido a las cargas Q1, Q2 y Q3?.


2∙C

−2.

Junio 2005

Solución.− Q3 = +1,41 x 10−6

C ; Vtot(0,1) = 3,82 x 104 V.

50 − Dos cargas eléctricas positivas e iguales de valor 3 x 10−6

C están situadas en los puntos

A (0,2) y B (0,−2) del plano XY. Otras dos cargas iguales Q están localizadas en los puntos

C (4,2) y D (4,−2). Sabiendo que el campo eléctrico en el origen de coordenadas es:

E = 4 x 103 i N/C, siendo i el vector unitario en el sentido positivo del eje X, y que

todas las coordenadas están expresadas en metros, determine:

a) el valor numérico y el signo de las cargas Q;

b) el potencial eléctrico en el origen de coordenadas debido a esta configuración

de cargas.


2∙C

−2.

Septiembre 2006

Solución.− Q = −4,97 x 10−6

C ; Vtot(0,0) = 7 x 103 V.

51 − Se tienen tres cargas situadas en los vértices de un triángulo equilátero cuyas coordenadas

(expresadas en cm) son:

A (0,2) ; B (− 3 ,−1) ; C ( 3 ,−1) .

Sabiendo que las cargas situadas en los puntos B y C son idénticas e iguales a 2 μC

y que el campo eléctrico en el origen de coordenadas (centro del triángulo) es nulo,

determine:

a) el valor y el signo de la carga situada en el punto A;

b) el potencial en el origen de coordenadas.

Dato: Medio: el vacío. Constante de la Ley de Coulomb: K0 = 9 x 109 N∙m

2∙C

−2.

Junio 2002

Solución.− qA = +2 x 10−6

C ; Vtot(0,0) = 2,7 x 106 V.

Página 17


52 − Tres cargas puntuales de valores: q1 = +3 nC, q2 = −5 nC y q3 = +4 nC están situadas,

respectivamente, en los puntos de coordenadas: (0,3) , (4,3) y (4,0) del plano XY.

Si las coordenadas están expresadas en metros, determine:

a) La intensidad del campo eléctrico resultante en el origen de coordenadas.

b) El potencial eléctrico en el origen de coordenadas.

c) La fuerza ejercida obre una carga: q = 1 nC que se sitúa en el origen de coordenadas.

d) La energía potencial electrostática del sistema formado por las tres cargas: q1, q2 y q3.


2∙C

−2.


Solución.− E (0,0) = −0,81 i − 1,92 j (N∙C−1

) ; V (0,0) = 9 V

F = −8,1 x 10−10

i − 1,92 x 10−9

j (N) ; Ep = −7,22 x 10−8

J .

53 − Los puntos A, B y C son los vértices de un triángulo equilátero de 2 m de lado. Dos cargas

iguales, positivas de 2 μC están en A y B.

a) ¿Cuál es el campo eléctrico en el punto C?.

b) ¿Cuál es el potencial en el punto C?.

c) ¿Cuánto trabajo se necesita para llevar un a carga positiva de 5 μC desde el infinito

hasta el punto C si se mantienen fijas las otras dos cargas?.

d) Responder al apartado anterior c) si la carga situada en B se sustituye por una carga

de −2 μC.

Dato: Permitividad del vacío: ε0 = 8,85 x 10−12

N−1

∙m−2

∙C2

Septiembre 2000

Solución.− a) Etot C = 7,79 x 103 N∙C

−1 (perpendicular al lado AB y alejándose de dicho lado)

b) VC = 1,80 x 104 V

c) W = 8,99 x 10−2

J -contra el campo eléctrico- ; d) W = 0.

54 − Dos cargas eléctricas en reposo, de valores: q1 = 2 μC y q2 = −2 μC, están situadas en

los puntos (0,2) y (0,−2) respectivamente, estando las distancias expresadas en metros.

Determine:

a) el campo eléctrico creado por esta distribución de cargas en el punto A,

de coordenadas (3,0);

b) el potencial en el citado punto A y el trabajo necesario para llevar una carga de 3 μC

desde dicho punto hasta el origen de coordenadas.


2∙C

−2.

Septiembre 2004

Solución.− E (3,0) = −1,54 x 103

j (N∙C−1

) ; V(3,0) = 0 ; W = 0.

Página 18


55 − Dos cargas eléctricas puntuales, de valor 2 μC y −2 μC, se encuentran situadas en

el plano XY, en los puntos (0,3) y (0,−3) respectivamente, estando las distancias expresadas

en metros.

a) ¿Cuáles son los valores de la intensidad del campo en el punto (0,6) y en

el punto (4,0)?.

b) ¿Cuál es el trabajo realizado por el campo sobre un protón cuando se desplaza desde

el punto (0,6) hasta el punto (4,0)?.


C

Permitividad del vacío: ε0 = 8,85 x 10−12

N−1

∙m−2

∙C2

Septiembre 1999

Solución.− E (0,6) = 1,78 x 103

j (N∙C−1

) ; E (4,0) = −8,63 x 102

j (N∙C−1

)

W = 6,39 x 10−16

J.

56 − Se tienen dos cargas eléctricas iguales y de signo opuesto, de valor absoluto 1 x 10−9

C,

situadas en el plano XY, en los puntos (−1,0) la carga positiva y (1,0) la carga negativa.

Sabiendo que las distancias están dadas en metros, se pide:

a) el potencial y el campo eléctrico en los puntos A (0,1) y B (0,−1);

b) el trabajo necesario para llevar un electrón desde A hasta B, interpretando

el resultado.

Modelo 1999

Solución.− a) E (0,1) = E (0,−1) = 6,36 i (N∙C−1

) ; V(0,1) = V(0,−1) = 0

b) W = 0.

57 − Dos cargas fijas Q1 = +12,5 nC y Q2 = −2,7 nC se encuentran situadas en los puntos

del plano XY de coordenadas (2,0) y (−2,0) respectivamente. Si todas las coordenadas están

expresadas en metros, calcule:

a) el potencial eléctrico que crean estas cargas en el punto A (−2,3);

b) el campo eléctrico creado por Q1 y Q2 en el punto A;

c) el trabajo necesario para trasladar un ión de carga negativa igual a −2e del punto A

al punto B, siendo B (2,3), indicando si es a favor o en contra del campo;

d) la aceleración que experimenta el ión cuando se encuentra en el punto A.


C

Constante de la Ley de Coulomb: K0 = 9 x 109 N∙m

2∙C

−2

Masa del ión: m = 3,15 x 10−26

kg.

Junio 2008

Solución.− a) VA = 14,4

b) E tot A = −3,6 i (N∙C−1

)

c) WA→B = 5,84 x 10−18

J -Trabajo desarrollado por el campo eléctrico-

d) a = 3,66 x 107

i (m∙s−2

) .

Página 19


58 − Tres cargas positivas e iguales de valor q = 2 μC cada

una se encuentran situadas en tres de los vértices de

un cuadrado de lado 10 cm. Determine:

a) El campo eléctrico en el centro del cuadrado,

efectuando un esquema gráfico en su explicación.

b) Los potenciales en los puntos medios de los lados

del cuadrado que unen las cargas y el trabajo

realizado al desplazarse la unidad de carga entre

dichos puntos.

Dato: Constante de la Ley de Coulomb en el vacío: K0 = 9 x 109 N∙m

2∙C

−2.

Junio 2001

Solución.− Etot = E2 = 3,60 x 106 N∙C

−1 (dirigido hacia el vértice del cuadrado sin carga)

V = 8,81 x 105 V -en los dos puntos- ; W = 0.

59 − A una distancia “r” de una carga puntual “Q”, fija en un punto “O”, el potencial eléctrico es:

V = 400 V y la intensidad del campo eléctrico es: E = 100 N/C. Si el medio considerado es

el vacío, determinar:

a) los valores de la carga “Q” y de la distancia “r”;

b) el trabajo realizado por la fuerza del campo al desplazarse una carga de 1 μC desde

la posición que dista de “O” el valor “r” calculado hasta una posición que diste de

“O” el doble de la distancia anterior.


2∙C

−2.

Septiembre 1997

Solución.− Q = +1,78 x 10−7

C ; r = 4 m ; W = 2,00 x 10−4

J (realizado por el campo eléctrico).

60 − Un electrón, con velocidad inicial de 3 x 105 m/s dirigida en el sentido positivo del eje X,

penetra en una región donde existe un campo eléctrico uniforme y constante de valor

6 x 10−6

N/C dirigido en el sentido positivo del eje Y. Determine:

a) las componentes cartesianas de la fuerza experimentada por el electrón;

b) la expresión de la velocidad del electrón en función del tiempo;

c) la energía cinética del electrón 1 segundo después de penetrar en el campo;

d) la variación de la energía potencial experimentada por el electrón al cabo de

1 segundo de penetrar en el campo.


C

Masa del electrón: me = 9,1 x 10−31

kg.

Junio 2004

Solución.− Fx = 0 ; Fy = −9,6 x 10−25

N ; v = v (t) = 3 x 105

i − 1,1 x 106t j (m∙s

−1)

Ec(t = 1 s) = 5,5 x 10−19

J ; ΔEp = −5,1 x 10−19

J.

Página 20

q

q q


61 − Un electrón es lanzado con una velocidad de 2 x 106 m/s paralelamente a las líneas de

un campo eléctrico uniforme de 5.000 V/m. Determine:

a) la distancia que ha recorrido el electrón cuando su velocidad se ha reducido a

0,5 x 106 m/s;

b) la variación de la energía potencial que ha experimentado el electrón en

ese recorrido.


C


kg.

Modelo 2002

Solución.− s = 2,14 x 10−3

m ; ΔEp = 1,71 x 10−18

J.

62 − a) ¿Qué diferencia de potencial debe existir entre dos puntos de un campo eléctrico

uniforme para que un electrón que se mueva entre ellos, partiendo del reposo,

adquiera una velocidad de 106 m∙s

−1?. ¿Cuál será el valor del campo eléctrico

si la distancia entre estos dos puntos es 5 cm?.

b) ¿Qué energía cinética posee el electrón después de recorrer 3 cm, desde el reposo?.


kg


C.

Septiembre 1998

Solución.− ΔV = 2,85 V ;

E = 56,94 N∙C−1

(dirigido de potenciales mayores a potenciales menores)

Ec = 2,73 x 10−19

J.

63 − Una carga positiva de 2 μC se encuentra situada inmóvil en el origen de coordenadas.

Un protón moviéndose por el semieje positivo de las X se dirige hacia el origen de

coordenadas. Cuando el protón se encuentra en el punto A, a una distancia del origen de

x = 10 m, lleva una velocidad de 1.000 m/s. Calcule:

a) el campo eléctrico que crea la carga situada en el origen de coordenadas en

el punto A;

b) el potencial y la energía potencial del protón en el punto A;

c) la energía cinética del protón en el punto A;

d) el cambio de momento lineal experimentado por el protón desde que parte de A y,

por efecto de la repulsión, vuelve al mismo punto A.

Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K0 = 9 x 109 N∙m

2∙C

−2

Masa del protón: mp = 1,67 x 10−27

kg

Carga del protón: qp = 1,6 x 10−19

C.

Modelo 2007

Solución.− E (A) = 180 i (N∙C−1

) ; V(A) = 1.800 V ; Ep(A) = 2,88 x 10−16

J

Ec(A) = 8,35 x 10−22

J ; Δ p = 3,34 x 10−24

i (kg∙m∙s−1

).

Página 21


64 − Una carga de +10 nC se distribuye homogéneamente en la región que delimitan dos esferas

concéntricas de radios: r1 = 2 cm y r2 = 4 cm. Utilizando el Teorema de Gauss, calcule:

a) El módulo del campo eléctrico en un punto situado a 6 cm del centro de las esferas.

b) El módulo del campo eléctrico en un punto situado a 1 cm del centro de las esferas.

Dato: Permitividad eléctrica del vacío: ε0 = 8,85 x 10−12

N−1

∙m−2

∙C2

Septiembre 2008

Solución.− E(r = 6 cm) = 2,50 x 104 N∙C

−1 ; E (r = 1 cm) = 0.

65 − En el plano x = 0 existe una distribución superficial infinita de carga cuya densidad

superficial de carga es: σ1 = +10−6

C/m2.

a) Empleando el Teorema de Gauss determine el campo eléctrico generado por

esta distribución de carga en los puntos del espacio de coordenadas: (1,0,0)

y (−1,0,0).

Una segunda distribución superficial infinita de carga de densidad superficial σ2

se sitúa en el plano x = 3.

b) Empleando el Teorema de Gauss determine el valor de σ2 para que el campo

eléctrico resultante de ambas distribuciones superficiales de carga en el punto

(−2,0,0) sea: E = +104

i (N/C).

Nota: Todas las coordenadas están expresadas en unidades del SI.

Dato: Permitividad eléctrica del vacío: ε0 = 8,85 x 10−12

N−1

∙m−2

∙C2

Modelo 2009

Solución. − a) E (1,0,0) = 5,65 x 104

i ; E (−1,0,0) = −5,65 x 104

i (N∙C−1

)

b) σ2 = −1,18 x 10−6

C∙m−2

.

66 − Un electrón se mueve en una región en la que están superpuestos un campo eléctrico:

E = ( 2 i + 4 j ) (V/m) y un campo magnético: B = 0,4 k (T). Determinar para

el instante en el que la velocidad del electrón es: v = 20 i (m/s):

a) las fuerzas que actúan sobre el electrón debidas al campo eléctrico y al campo

magnético, respectivamente;

b) la aceleración que adquiere el electrón.


kg


C.

Septiembre 1996

Solución.− elF = −3,20 x 10−19

i − 6,40 x 10−19

j ; magF = 1,28 x 10−18

j (N)

a = −3,51 x 1011

i + 7,03 x 1011

j (m∙s−2

).

Página 22


67 − Dos isótopos, de masas: 19,92 x 10−27

kg y 21,59 x 10−27

kg, respectivamente, con

la misma carga de ionización son acelerados hasta que adquieren una velocidad constante de

6,7 x 105 m/s. Se les hace atravesar una región de campo magnético uniforme de 0,85 T

cuyas líneas de campo son perpendiculares a la velocidad de las partículas.

a) Determine la relación entre los radios de las trayectorias que describe cada isótopo.

b) Si han sido ionizados una sola vez, determine la separación entre los dos isótopos

cuando han descrito una semicircunferencia.

Dato: Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1,6 x 10−19

C.

Junio 1999

Solución.− )kg10x92,19m(R

)kg01x21,59R(m27

27

= 1,08 ; d = 1,65 x 10

−2 m.

68 − En una misma región del espacio existen un campo eléctrico uniforme de valor

0,5 x 104 V∙m

−1 y un campo magnético uniforme de valor 0,3 T, siendo sus direcciones

perpendiculares entre sí.

a) ¿Cuál deberá ser la velocidad de una partícula cargada que penetra en esa región en

dirección perpendicular a ambos campos para que pase a través de la misma sin

ser desviada?.

b) Si la partícula es un protón, ¿cuál deberá ser su energía cinética para

no ser desviado?.

Dato complementario: Masa del protón: mp = 1,672 x 10−27

kg.

Junio 1997


−1 ; Ec = 2,32 x 10

−19 J.

69 − Una partícula cargada pasa sin ser desviada de su trayectoria rectilínea a través de

dos campos, eléctrico y magnético, perpendiculares entre sí. El campo eléctrico está

producido por dos placas metálicas paralelas (situadas a ambos lados de la trayectoria)

separadas 1 cm y conectadas a una diferencia de potencial de 80 V. El campo magnético

vale 0,002 T. A la salida de las placas el campo magnético sigue actuando

perpendicularmente a la trayectoria de la partícula, de forma que ésta describe

una trayectoria circular de 1,14 cm de radio. Determine:

a) la velocidad de la partícula en la región entre las placas;

b) la relación carga

masa de la partícula.

Modelo 2005

Solución.− v = 4 x 106 m∙s

−1 ;

q

m = 5,7 x 10

−12 kg∙C

−1 .

Página 23


70 − Por un hilo conductor rectilíneo e infinitamente largo, situado sobre el eje X, circula

una corriente eléctrica en el sentido positivo del eje X. El valor del campo magnético

producido por dicha corriente es de 3 x 10−5

T en el punto P (0,−dP,0), y es de 4 x 10−5

T en

el punto Q (0,+dQ,0). Sabiendo que dP + dQ = 7 cm, determine:

a) la intensidad que circula por el hilo conductor;

b) el valor y la dirección del campo magnético producido por dicha corriente en

el punto de coordenadas (0,6 cm,0).

Datos: Permeabilidad magnética del vacío: μ0 = 4π x 10−7

N∙A−2

Las cantidades dP y dQ son positivas.

Septiembre 2001

Solución.− I = 6 A ; B (0,6 cm,0) = 2 x 10−5

k (T).

71 − Por un hilo conductor rectilíneo y de gran longitud circula una corriente de 12 A. El hilo está

situado en el eje Z de coordenadas y la corriente fluye en el sentido positivo. Un electrón

se encuentra situado en el eje Y en el punto P de coordenadas: (0,20,0) expresadas en

centímetros. Determine el vector aceleración instantánea del electrón en los siguientes casos:

a) Se encuentra en reposo.

b) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección positiva del eje Y.

c) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección positiva del eje Z.

d) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección negativa del eje X.


N∙A−2


kg


C.


Solución.− a) y d) a = 0

b) a = −2,11 x 106

k (m∙s−2

)

c) a = 2,11 x 106

j (m∙s−2

) .

Página 24


72 − Por un hilo conductor rectilíneo y de gran longitud circula una corriente de 12 A. El hilo

define el eje Z de coordenadas y la corriente fluye en el sentido positivo. Un electrón

se encuentra situado en el eje Y a una distancia del hilo de 1 cm. Calcule el vector

aceleración instantánea que experimenta dicho electrón si:

a) Se encuentra en reposo.

b) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección positiva del eje Y.

c) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección positiva del eje Z.

d) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección negativa del eje X.


N∙A−2


kg


C.

Junio 2005

Solución.− a) y d) a = 0

b) a = −4,22 x 107

k (m∙s−2

) -electrón en (0,1 cm,0)-

a = 4,22 x 107

k (m∙s−2

) -electrón en (0,−1 cm,0)-

c) a = 4,22 x 107

j (m∙s−2

) -electrón en (0,1 cm,0)-

a = −4,22 x 107

j (m∙s−2

) -electrón en (0,−1 cm,0)- .

73 − Un conductor rectilíneo indefinido transporta una corriente de 10 A en el sentido positivo

del eje Z. Un protón, que se mueve a 2 x 105 m/s, se encuentra a 50 cm del conductor.

Calcule el módulo de la fuerza ejercida sobre el protón si su velocidad:

a) es perpendicular al conductor y está dirigida hacia él;

b) es paralela al conductor;

c) es perpendicular a las direcciones definidas en los apartados a) y b).

d) ¿En qué casos, de los tres anteriores, el protón ve modificada su energía cinética?.


N∙A−2


C.

Junio 2004

Solución.− a) y b) F = 1,3 x 10−19

N

c) F = 0

d) En ningún caso.

Página 25


74 − Dos hilos conductores de gran longitud,

rectilíneos y paralelos, están separados

una distancia de 50 cm, tal como

se indica en la figura. Si por los hilos

circulan corrientes iguales de 12 A de

intensidad y sentidos opuestos, calcule

el campo magnético resultante en

los puntos indicados en la figura:

a) punto P equidistante de ambos

conductores;

b) punto Q situado a 50 cm de

un conductor y a 100 cm del otro.

Dato: Permeabilidad magnética del vacío: μ0 = 4π x 10−7

N∙A−2

.

Modelo 2005

Solución.− a) B (P) = −1,92 x 10−5

i (T)

b) B (Q) = 2,4 x 10−6

i (T).

75 − Dos conductores rectilíneos, indefinidos y

paralelos, perpendiculares al plano XY, pasan

por los puntos A (80,0) y B (0,60) según indica

la figura, estando las coordenadas expresadas

en centímetros. Las corrientes circulan por

ambos conductores en el mismo sentido, hacia

fuera del plano del papel, siendo el valor de la

corriente I1 de 6 A. Sabiendo que I2 > I1 y que

el valor del campo magnético en el punto P,

punto medio de la recta que une ambos

conductores, es de: B = 12 x 10−7

T, determine:

a) el valor de la corriente I2;

b) el módulo, la dirección y el sentido del

campo magnético en el origen de coordenadas O, utilizando el valor de I2 obtenido

anteriormente.


N∙A−2

.

Modelo 2006

Solución.− I2 = 9 A ; B (O) = 3 x 10−6

i − 1,5 x 10−6

j (T).

Página 26

B I2

Y

O

P

I1

A

X

P

P Q

50 cm 50 cm


76 − Un hilo conductor rectilíneo de longitud infinita está situado en el eje Z y transporta

una corriente de 20 A en el sentido positivo de dicho eje. Un segundo hilo conductor,

también infinitamente largo y paralelo al anterior, corta al eje X en el punto de coordenada:

x = 10 cm. Determine:

a) La intensidad y el sentido de la corriente en el segundo hilo, sabiendo que el campo

magnético resultante en el punto del eje X de coordenada: x = 2 cm es nulo.

b) La fuerza por unidad de longitud que actúa sobre cada conductor, explicando cuál es

su dirección y sentido.


N∙A−2

.

Septiembre 2009

Solución.− a) I2 = 80 A -del mismo sentido que I1-

b) Fuerzas atractivas de 3,2 x 10−3

N cada una.

77 − Por dos hilos conductores, rectilíneos y paralelos, de gran longitud, separados una distancia

de 10 cm, circulan dos corrientes de intensidades 2 A y 4 A respectivamente, en sentidos

opuestos. En un punto P del plano que definen los conductores, equidistante de ambos,

se introduce un electrón con una velocidad de 4 x 104 m/s paralela y del mismo sentido que

la corriente de 2 A. Determine:

a) el campo magnético en la posición P del electrón;

b) la fuerza magnética que se ejerce sobre el electrón situado en P.


N∙A−2


C.

Modelo 2004

Solución.− B = −2,4 x 10−5

i (T) ; F = 1,5 x 10−19

j (N).

(Los resultados anteriores corresponden a la corriente de 2 A en sentido +Z y a la de

4 A en sentido −Z.)

Página 27


78 − Sea un conductor rectilíneo y de longitud infinita, por

el que circula una intensidad de corriente: I = 5 A.

Una espira cuadrada de lado: a = 10 cm

está colocada con dos de sus lados paralelos

al conductor rectilíneo, y con su lado más próximo

a una distancia: d = 3 cm de dicho conductor.

Si la espira está recorrida por una intensidad de

corriente I’ = 0,2 A en el sentido que se indica en

la figura, determine:

a) el módulo, la dirección y el sentido del campo

magnético creado por el conductor rectilíneo

en cada uno de los lados de la espira paralelos

a dicho conductor;

b) el módulo, la dirección y el sentido de

la fuerza ejercida sobre cada uno de los lados

de la espira paralelos al conductor rectilíneo.


N∙A−2

.

Modelo 2002

Solución.− B izda = −3,33 x 10−5

i (T) ; B dcha = −7,69 x 10−6

i (T)

F izda = −6,67 x 10−7

j (N) ; F dcha = 1,53 x 10−7

j (N).

79 − Tres hilos conductores rectilíneos y paralelos,

infinitamente largos, pasan por los vértices de un triángulo

equilátero de 10 cm de lado, según se indica en la figura.

Por cada uno de los conductores circula una corriente de

25 A en el mismo sentido, hacia fuera del plano del papel.

Calcule:

a) El campo magnético resultante en un punto

del conductor C3 debido a los otros dos

conductores. Especifique la dirección del vector

campo magnético.

b) La fuerza resultante por unidad de longitud ejercida

sobre el conductor C3. Especifique la dirección

del vector fuerza.


N∙A−2

.

Modelo 2003

Solución.− B = −8,66 x 10−5

i (T) ; F = 2,17 x 10−3

j (N).

Página 28

10 cm 10 cm

10 cm C2 C1

C3

a

d

I


80 − En la figura se representan dos hilos conductores rectilíneos

de gran longitud que son perpendiculares al plano del papel

y llevan corrientes de intensidades I1 e I2 de sentidos hacia

el lector.

a) Determine la relación entre I1 e I2 para que el campo

magnético B en el punto P sea paralelo a la recta

que une los hilos indicada en la figura.

b) Para la relación entre I1 e I2 obtenida anteriormente,

determine la dirección del campo magnético B en

el punto Q (simétrico del punto P respecto al plano

perpendicular a la citada recta que une los hilos y

equidistante de ambos).

Nota: b y c son las distancias del punto P a los hilos conductores.

Septiembre 2002

Solución.− I1 = I2 ; B (Q) también es paralelo a la recta que une los dos hilos.

81 − Tres hilos conductores rectilíneos, muy largos

y paralelos, se disponen como se muestra en

la figura (perpendiculares al plano del papel

pasando por los vértices de un triángulo

rectángulo). La intensidad de corriente que circula

por todos ellos es la misma: I = 25 A, aunque

el sentido de la corriente en el hilo C es opuesto

al de los otros dos hilos.

Determine:

a) el campo magnético en el punto P, punto

medio del segmento AC;

b) la fuerza que actúa sobre una carga

positiva Q = 1,6 x 10−19

C si se encuentra

en el punto P moviéndose con una velocidad de 106 m/s perpendicular al plano

del papel y con sentido hacia fuera.


N∙A−2

.

Septiembre 2007

Solución.− B tot = 5 x 10−5

i + 1,5 x 10−4

j ; Btot = 1,58 x 10−4

T

F = −2,4 x 10−17

i + 8 x 10−18

j ; F = 2,53 x 10−17

N.

Página 29

I1

I2

b = 3 cm

90º

c = 4 cm

P

Q

10 cm

C B

10 cm P

A


82 − Una espira circular de 0,2 m de radio se sitúa en un campo magnético uniforme de 0,2 T con

su eje paralelo a la dirección del campo. Determine la fuerza electromotriz inducida en

la espira si en 0,1 s y de manera uniforme:

a) se duplica el valor del campo;

b) se reduce el valor del campo a cero;

c) se invierte el sentido del campo;

d) se gira la espira un ángulo de 90º en torno a un eje diametral perpendicular a

la dirección del campo magnético.

Septiembre 2005

Solución.− a) ε = −0,25 V ; b) y d) ε = 0,25 V ; c) ε = 0,50 V.

83 − Un solenoide de 200 vueltas y de sección circular de diámetro 8 cm está situado en

un campo magnético uniforme de valor 0,5 T cuya dirección forma un ángulo de 60º con

el eje del solenoide. Si en un tiempo de 100 ms disminuye el valor del campo magnético

uniformemente a cero, determine:

a) el flujo magnético que atraviesa inicialmente el solenoide;

b) la fuerza electromotriz inducida en dicho solenoide.

Junio 2001

Solución.− Φi = 0,25 Wb ; ε = 2,51 V.

84 − Un solenoide de 20 Ω de resistencia está formado por 500 espiras circulares de 2,5 cm de

diámetro. El solenoide está situado en un campo magnético uniforme de valor 0,3 T, siendo

el eje del solenoide paralelo a la dirección del campo.

Si el campo magnético disminuye uniformemente hasta anularse en 0,1 s, determine:

a) el flujo inicial que atraviesa el solenoide y la fuerza electromotriz inducida;

b) la intensidad recorrida por el solenoide y la carga transportada en ese intervalo

de tiempo.

Septiembre 2003

Solución.− Φi = 7,36 x 10−2

Wb ; ε = 7,36 x 10−1

V ; I = 3,68 x 10−2

A ; q = 3,68 x 10−3

C.

Página 30


85 − Sea un campo magnético uniforme B dirigido en el sentido positivo del eje Z. El campo

solo es distinto de cero en una región cilíndrica de radio 10 cm cuyo eje es el eje Z y

aumenta en los puntos de esta región a un ritmo de 10−3

T/s. Calcule la fuerza electromotriz

inducida en una espira situada en el plano XY y efectúe un esquema gráfico indicando

el sentido de la corriente inducida en los dos casos siguientes:

a) Espira circular de 5 cm de radio centrada en el origen de coordenadas.

b) Espira cuadrada de 30 cm de lado centrada en el origen de coordenadas.

Junio 2009

Solución.− a) ε = −7,85 x 10−6

V ; b) ε = −π x 10−5

V

En ambos casos la corriente inducida circula en sentido horario -vista desde +Z-.

86 − Un campo magnético uniforme forma un ángulo de 30º con el eje de una bobina de

200 vueltas y radio 5 cm. Si el campo magnético aumenta a razón de 60 T/s, permaneciendo

constante la dirección, determine:

a) la variación del flujo magnético a través de la bobina por unidad de tiempo;

b) la fuerza electromotriz inducida en la bobina;

c) la intensidad de la corriente inducida, si la resistencia de la bobina es 150 Ω.

d) ¿Cuál será la fuerza electromotriz inducida en la bobina, si en las condiciones

del enunciado el campo magnético disminuyera a razón de 60 T/s en lugar

de aumentar?.

Septiembre 2006

Solución.− a) ΔΦ = 81,62 Wb∙s−1

; b) ε = −81,62 V ; c) I = 0,54 A ; d) ε = 81,62 V.

87 − Una bobina circular de 20 espiras y radio 5 cm se coloca en un campo magnético dirigido

perpendicularmente al plano de la bobina. El módulo del campo magnético varía con

el tiempo de acuerdo con la expresión: B = 0,02t + 0,08t2 (t en segundos y B en teslas).

Determinar:

a) el flujo magnético que atraviesa la bobina en función del tiempo;

b) la fuerza electromotriz inducida en la bobina para t = 5 s.

Septiembre 1997

Solución.− Φ = Φ(t) = 3,14 x 10−3

t + 1,26 x 10−2

t2 (Wb) ; ε(t = 5 s) = −1,29 x 10

−1 V.

Página 31


88 − Una bobina circular de 30 vueltas y radio 4 cm se coloca en un campo magnético dirigido

perpendicularmente al plano de la bobina. El módulo del campo magnético varía con

el tiempo de acuerdo con la expresión: B = 0,01t + 0,04t2, donde t está expresado en

segundos y B en teslas. Calcule:

a) el flujo magnético que atraviesa la bobina en función del tiempo;

b) la fuerza electromotriz inducida en la bobina para t = 5 s.

Junio 2000

Solución.− Φ = Φ(t) = 1,51 x 10−3

t + 6,03 x 10−3

t2 (Wb) ; ε(t = 5 s) = −6,18 x 10

−2 V.

89 − Una espira cuadrada de 1,5 Ω de resistencia está

inmersa en un campo magnético uniforme: B = 0,03 T

dirigido según el sentido positivo del eje X. La espira

tiene 2 cm de lado y forma un ángulo α variable con

el plano YZ como se muestra en la figura.

a) Si se hace girar la espira alrededor del eje Y

con una frecuencia de rotación de 60 Hz,

siendo α = π/2 en el instante t = 0, obtenga

la expresión de la fuerza electromotriz inducida

en la espira en función del tiempo.

b) ¿Cuál debe ser la velocidad angular de la espira

para que la corriente máxima que circule por

ella sea de 2 mA?.

Junio 2006

Solución.− a) ε = ε(t) = 4,52 x 10−3

sen

2

πtπ120 (V) ; b) ω = 250 rad∙s

−1 .

90 − Una espira circular de sección 40 cm2 está situada en un campo magnético uniforme de

módulo: B = 0,1 T, siendo el eje de la espira paralelo a las líneas del campo magnético.

a) Si la espira gira alrededor de uno de sus diámetros con una frecuencia de 50 Hz,

determine la fuerza electromotriz máxima inducida en la espira, así como el valor de

la fuerza electromotriz 0,1 s después de comenzar a girar.

b) Si la espira está inmóvil y el módulo del campo magnético disminuye de manera

uniforme hasta hacerse nulo en 0,01 s, determine la fuerza electromotriz inducida en

la espira en ese intervalo de tiempo.

Modelo 2010

Solución.− a) εmáx = 0,04π V ; ε(t = 0,1 s) = 0 ; b) ε = 4 x 10−2

V.

Página 32

α

Z

Y

X

B


91 − Una espira conductora circular de 4 cm de radio y de 0,5 Ω de resistencia está situada

inicialmente en el plano XY. La espira se encuentra sometida a la acción de un campo

magnético uniforme B , perpendicular al plano de la espira y en el sentido positivo

del eje Z.

a) Si el campo magnético aumenta a razón de 0,6 T/s, determine la fuerza electromotriz

y la intensidad de la corriente inducida en la espira, indicando el sentido de la misma.

b) Si el campo magnético se estabiliza en un valor constante de 0,8 T, y la espira gira

alrededor de uno de sus diámetros con velocidad angular constante de 10π rad/s,

determine en estas condiciones el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida.

Septiembre 2004

Solución.− a) ε = −3,02 x 10−3

V

I = 6,03 x 10−3

A (la corriente circula en sentido horario -vista desde +Z-)

b) εmáx = 0,13 V.

92 − Una espira circular de radio r = 5 cm y resistencia 0,5 Ω se encuentra en reposo en

una región del espacio con campo magnético B = B0 k , siendo B0 = 2 T y k el vector

unitario en la dirección Z. El eje normal a la espira en su centro forma 0º con el eje Z.

A partir de un instante t = 0 la espira comienza a girar con velocidad angular constante

ω = π (rad/s) en torno a un eje diametral. Se pide:

a) la expresión del flujo magnético a través de la espira en función del tiempo t,

para t ≥ 0;

b) la expresión de la corriente inducida en la espira en función de t.

Junio 2008

Solución.− Φ = Φ(t) = 5 x 10−3

π cos(πt) (Wb) ; I = I(t) = 10−2

π2 sen(πt) (A).

Página 33


93 − En el circuito de la figura la varilla MN se mueve

con una velocidad constante de valor: v = 2 m/s

en dirección perpendicular a un campo magnético

uniforme de valor 0,4 T. Sabiendo que el valor

de la resistencia R es de 60 Ω y que la longitud

de la varilla es 1,2 m:

a) Determine la fuerza electromotriz

inducida y la intensidad de la corriente

que circula en el circuito.

b) Si a partir de un cierto instante (t = 0)

la varilla se frena con aceleración

constante hasta pararse en 2 s, determine

la expresión matemática de la fuerza

electromotriz inducida en función del

tiempo, en el intervalo de 0 a 2 segundos.

Modelo 2007

Solución.− a) ε = −0,96 V ; I = 0,016 A ; b) ε = ε(t) = 0,48t − 0,96 (V).

94 − Sobre un hilo conductor de resistencia

despreciable, que tiene la forma que

se indica en la figura, se puede deslizar

una varilla de resistencia: R = 10 Ω en

presencia de un campo magnético

uniforme B , de valor 50 mT,

perpendicular al plano del circuito.

La varilla oscila en la dirección del

eje X de acuerdo con la expresión:

x = x0 + A sen ωt, siendo x0 = 10 cm,

A = 5 cm y el período de oscilación 10 s.

a) Calcule y represente gráficamente, en función del tiempo, el flujo magnético que

atraviesa el circuito.

b) Calcule y represente gráficamente, en función del tiempo, la corriente en el circuito.

Modelo 2001

Solución.− Φ = Φ(t) = 10−4

+ 5 x 10−5

sen(0,2πt) (Wb) I = I(t) = −10−6

π cos(0,2πt) (A)

Página 34

M

R

N

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

l = 2 cm

x

Y

X

M

N

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


95 − Una espira cuadrada de 5 cm de lado,

situada en el plano XY, se desplaza con

velocidad v = 2 i (cm∙s−1

), penetrando

en el instante t = 0 en una región

en donde hay un campo magnético

uniforme: B = −200 k (mT), según

se indica en la figura.

a) Determine la fuerza electromotriz

inducida y represéntela gráfica-

mente en función del tiempo.

b) Calcule la intensidad de la corriente en la espira si su resistencia es de 10 Ω.

Haga un esquema indicando el sentido de la corriente.

Junio 1998

Solución.− a) ε = ε(t) = −2 x 10−4

V

-solo entre 0 y 2,5 s, mientras está penetrando en el campo magnético-

b) I = 2 x 10−5

A (la corriente circula en sentido antihorario -vista desde +Z-).

Página 35

|ε| (V)

2 x 10−4

0 2,5

t(s)

Y

x x x x x

x x x x x

x x x B x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

v

X


96 − Una espira cuadrada de lado l = 5 cm

situada en el plano XY se desplaza como

se muestra en la figura. En el instante

t = 0 la espira encuentra una región del

espacio en donde hay un campo magnético

uniforme B = 0,1 T, perpendicular al

plano XY con sentido hacia dentro

del papel (ver figura).

a) Sabiendo que al penetrar la espira

en el campo se induce una corriente

eléctrica de 5 x 10−5

A durante

2 segundos, calcule la velocidad v

y la resistencia de la espira.

b) Represente gráficamente la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo

desde el instante t = 0 e indique el sentido de la corriente inducida en la espira.

Modelo 2008

Solución.− v = 2,5 x 10−2

m∙s−1

; R = 2,5 Ω

La corriente circula en sentido antihorario -vista desde +Z- .

Página 36

|ε| (V)

1,25 x 10−4

0 2

t(s)

Y x x x x x

x x x x x

x x x B x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

v l

t = 0

X

FÍSICA de

2º de BACHILLERATO

ÓPTICA -GEOMÉTRICA-




(1996 − 2010)








(1996 − 2010)

ÓPTICA -GEOMÉTRICA-

Cuestiones

1 − a) Enuncie las Leyes de la reflexión y de la refracción de la luz y efectúe los esquemas

gráficos correspondientes.

b) Defina el concepto de ángulo límite y explique el fenómeno de reflexión total.


Solución.− REFLEXIÓN.− Primera Ley: Los rayos incidente y reflejado y la normal

son coplanarios.

Segunda Ley: Los ángulos de incidencia y de reflexión

son iguales.

REFRACCIÓN.− Primera Ley: Los rayos incidente y refractado y la normal

son coplanarios.

Segunda Ley: El producto del índice de refracción por el seno

del ángulo que forma el rayo con la normal es

el mismo en cada medio (Ley de Snell).

Ángulo límite: Es el mayor ángulo de incidencia posible para que se produzca

refracción al pasar la luz de un medio a otro menos refringente.

Reflexión total: Se da cuando un rayo incide con un ángulo superior al ángulo

límite desde un medio más refringente que el otro. La luz no

se refracta, y tan sólo se refleja, no cambiando de medio

de propagación.

Página 2

Ejercicios de acceso a la Universidad − Cuestiones de Óptica -Geométrica-

2 − Una superficie plana separa dos medios de índices de refracción distintos n1 y n2. Un rayo

de luz incide desde el medio de índice n1. Razone si son verdaderas o falsas

las afirmaciones siguientes:

a) El ángulo de incidencia es mayor que el ángulo de reflexión.

b) Los ángulos de incidencia y de refracción son siempre iguales.

c) El rayo incidente, el reflejado y el refractado están en el mismo plano.

d) Si n1 > n2 se produce reflexión total para cualquier ángulo de incidencia.

Junio 2007

Solución.− a) y d): Falso ; c): Verdadero ; b): Falso, excepto en el caso de incidencia normal.

3 − Una superficie de discontinuidad plana separa dos medios de índice de refracción n1 y n2.

Si un rayo incide desde el medio de índice n1, razone si las siguientes afirmaciones son

verdaderas o falsas:

a) Si n1 > n2 el ángulo de refracción es menor que el ángulo de incidencia.

b) Si n1 < n2 a partir de un cierto ángulo de incidencia se produce el fenómeno de

reflexión total.

Septiembre 2002

Solución.− Las dos afirmaciones son falsas.

4 − a) Defina el concepto de ángulo límite y determine su expresión para el caso de

dos medios de índices de refracción n1 y n2, si n1 > n2 .

b) Sabiendo que el ángulo límite definido entre un medio material y el aire es 60º,

determine la velocidad de la luz en dicho medio.


−1 .

Septiembre 2004

Solución.− Ángulo límite es el máximo ángulo con el que incide un rayo luminoso desde

un medio con índice de refracción n1 para que se produzca rayo refractado cuando

la luz pasa a otro medio, con índice de refracción n2, tal que n1 > n2.

Ángulo límite = arc sen1

2

n

n ; v = 2,60 x 10

8 m∙s

−1.

5 − a) Un rayo luminoso que se propaga en el aire incide sobre el agua de un estanque con

un ángulo de 30º. ¿Qué ángulo forman entre sí los rayos reflejado y refractado?.

b) Si el rayo luminoso se propagase desde el agua hacia el aire, ¿a partir de qué valor

del ángulo de incidencia se presentará el fenómeno de reflexión total?.

Dato: Índice de refracción del agua = 4/3 .

Junio 2000

Solución.− a) γ’ ≈128º ; b) ángulo límite = 48º 35’ 25’’ .

Página 3


6 − Un buceador enciende una linterna debajo del agua (índice de refracción: 1,33) y dirige

el haz luminoso hacia arriba formando un ángulo de 40º con la vertical.

a) ¿Con qué ángulo emergerá la luz del agua?.

b) ¿Cuál es el ángulo de incidencia a partir del cual la luz no saldrá del agua?.

Efectúe esquemas gráficos en la explicación de ambos apartados.

Septiembre 2006

Solución.− a) β’ = 58º 44’ 58’’ ; b) ángulo límite = 48º 45’ 12’’ .

7 − Un rayo de luz monocromática que se propaga en un medio de índice de refracción 1,58

penetra en otro medio de índice de refracción 1,23 formando un ángulo de incidencia de 15º

(respecto a la normal) en la superficie de discontinuidad entre ambos medios.

a) Determine el valor del ángulo de refracción correspondiente al ángulo de incidencia

anterior. Haga un dibujo esquemático.

b) Defina ángulo límite y calcule su valor para este par de medios.

Junio 2001

Solución.− a) β’ = 19º 25’ 7’’ ; b) ángulo límite = 51º 7’ 18’’

Ángulo límite: el máximo ángulo de incidencia para el que existe rayo refractado.

8 − Una lámina de vidrio (índice de refracción: n = 1,52) de caras planas y paralelas y espesor d

se encuentra entre el aire y el agua. Un rayo de luz monocromática de frecuencia 5 x 1014

Hz

incide desde el agua en la lámina. Determine:

a) las longitudes de onda del rayo en el agua y en el vidrio;

b) el ángulo de incidencia en la primera cara de la lámina a partir del cual se produce

reflexión total interna en la segunda cara.

Datos. Índice de refracción del agua: nagua = 1,33

Velocidad de la luz en el vacío: c = 3 x 108 m∙s

−1.

Junio 2008

Solución.− λagua = 4,51 x 10−7

m ; λvidrio = 3,94 x 10−7

m ; α = 48º 45’ 12’’ .

9 − a) ¿Qué diferencias existen entre una imagen real y una imagen virtual formadas por

un sistema óptico centrado?.

b) Realiza un ejemplo de construcción geométrica para cada una de ellas utilizando

espejos esféricos. Explica qué tipo de espejo esférico puedes emplear en cada caso.

Septiembre 1997

Solución.− La imagen real se obtiene al cruzarse los rayos, y se puede recoger en una pantalla.

Imagen real: con espejos cóncavos, estando el objeto más lejos que el foco.

La imagen virtual se obtiene al cruzarse las prolongaciones de los rayos,

y no se puede recoger en una pantalla.

Imagen virtual: con espejos cóncavos (estando el objeto entre el foco y el centro

óptico) y con espejos convexos (para cualquier posición del objeto).

Página 4


10 − a) ¿Puede un espejo cóncavo producir una imagen virtual, derecha y menor que

el objeto?.

b) ¿Puede una lente convergente producir una imagen real, invertida y mayor que

el objeto?.

Justifique la respuesta en cada caso mediante un diagrama de rayos.

Modelo 2008

Solución.− a) No ; b) Sí.

11 − ¿Qué tipo de imagen se obtiene con un espejo esférico convexo?; ¿y con una lente esférica

divergente?. Efectúe las construcciones geométricas adecuadas para justificar las respuestas.

El objeto se supone real en ambos casos.

Modelo 2001 y Junio 2004

Solución.− En ambos casos: imagen virtual, menor y derecha.

12 − a) Explique la posibilidad de obtener una imagen derecha y mayor que el objeto

mediante un espejo cóncavo, realizando un esquema con el trazado de rayos.

Indique si la imagen es real o virtual.

b) ¿Dónde habría que colocar un objeto frente a un espejo cóncavo de 30 cm de radio

para que la imagen sea derecha y de doble tamaño que el objeto?.

Junio 2009

Solución.− Hay que colocar el objeto entre el foco y el centro óptico del espejo cóncavo.

b) s = −0,075 m.

13 − Un objeto luminoso se encuentra delante de un espejo esférico cóncavo. Efectúe

la construcción geométrica de la imagen e indique su naturaleza si el objeto está situado

a una distancia igual, en valor absoluto, a:

a) la mitad de la distancia focal del espejo;

b) el triple de la distancia focal del espejo.

Junio 2002

Solución.− a) Imagen virtual, mayor y derecha; b) Imagen real, menor e invertida.

14 − Calcule a qué distancia debe colocarse un objeto a la izquierda del vértice de un espejo

cóncavo cuyo radio de curvatura es de 12 cm para que su imagen sea tres veces mayor que

el objeto. Interprete los posibles resultados y efectúe las construcciones geométricas

correspondientes.

Modelo 1999

Solución.− s = −0,04 m (imagen derecha, triple y virtual)

s = −0,08 m (imagen invertida, triple y real).

Página 5


15 − La distancia focal de un espejo esférico es de 20 cm en valor absoluto. Si se coloca un objeto

delante del espejo a una distancia de 10 cm de él, determine la posición y la naturaleza de

la imagen formada en los dos casos siguientes:

a) el espejo es cóncavo;

b) el espejo es convexo.

Efectúe la construcción geométrica de la imagen en ambos casos.

Septiembre 2009

Solución.− Espejo cóncavo: s’ = 0,20 m (imagen virtual, mayor -doble- y derecha).

Espejo convexo: s’ = 0,067 m (imagen virtual, menor y derecha).

16 − a) Si un objeto se sitúa a una distancia de 2 cm delante de una lente convergente o

delante de un espejo cóncavo, ambos de distancia focal 5 cm en valor absoluto,

¿cómo están relacionados los aumentos laterales y las posiciones de las imágenes que

la lente y el espejo producen de dicho objeto?.

b) Realice el trazado de rayos en ambos casos.

Modelo 2009

Solución.− s’ = 3,33 x 10−2

m (espejo) ; s’ = −3,33 x 10−2

m (lente) ; A = +1,67 (ambos).

En ambos casos: imagen virtual, mayor y derecha.

17 − Sobre una lámina transparente de índice de refracción 1,5 y de 1 cm de espesor, situada en

el vacío, incide un rayo luminoso formando un ángulo de 30º con la normal a la cara.

Calcule:

a) El ángulo que forma con la normal el rayo que emerge de la lámina. Efectúe

la construcción geométrica correspondiente.

b) La distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina.

Junio 2005

Solución.− θ’ = 30º ; l = 1,06 x 10−2

m.

18 − Sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas, de espesor 2 cm y de índice de

refracción n = 3/2, situada en el aire, incide un rayo de luz monocromática con un ángulo

θi = 30º.

a) Compruebe que el ángulo de emergencia es el mismo que el ángulo de incidencia.

b) Determine la distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina y el desplazamiento

lateral del rayo emergente.

Septiembre 2000

Solución.− Distancia recorrida: 2,12 x 10−2

m ; desplazamiento lateral: 3,88 x 10−3

m.

Página 6


19 − Se tiene un prisma óptico de índice de refracción

1,5 inmerso en el aire. La sección del prisma

es un triángulo rectángulo isósceles como

muestra la figura.

Un rayo luminoso incide perpendicular-

mente sobre la cara AB del prisma.

a) Explique si se produce o no reflexión total

en la cara BC del prisma.

b) Haga un esquema gráfico de la trayectoria

seguida por el rayo a través del prisma.

¿Cuál es la dirección del rayo

emergente?.

Septiembre 2005

Solución.− El rayo penetra en incidencia normal (no se refracta) en la cara AB, sufre reflexión

total en la cara BC y sale en incidencia normal (no se refracta) por la cara AC.

20 − a) Explique qué son una lente convergente y una lente divergente. ¿Cómo están

situados los focos objeto e imagen en cada un a de ellas?.

b) ¿Qué es la potencia de una lente y en qué unidades se acostumbra a expresar?.

Septiembre 2003

Solución.− Una lente es un elemento óptico hecho de un material transparente y limitado por

dos dioptrios, uno de los cuales, al menos, es curvo.

Una lente convergente es la que acerca los rayos luminosos cuando éstos

la atraviesan. Su foco objeto está a su izquierda y su foco imagen está a su derecha.

Una lente divergente es la que separa los rayos luminosos cuando éstos

la atraviesan. Su foco objeto está a su derecha y su foco imagen está a su izquierda.

Potencia de una lente es el inverso de su distancia focal imagen. Se expresa

en dioptrías (m−1

).

Página 7

B

A C


21 − a) Defina para una lente delgada los siguientes conceptos: foco objeto, foco imagen,

distancia focal objeto y distancia focal imagen.

b) Dibuje para los casos de lente convergente y de lente divergente la marcha de

un rayo que pasa (él o su prolongación) por:

b1) el foco objeto;

b2) el foco imagen.

Septiembre 2001

Solución.− Foco objeto (F) de una lente es el punto del eje óptico tal que un rayo

-para lente convergente, o su prolongación para lente divergente- que pase por él sale

paralelo al eje óptico tras atravesar la lente.

Foco imagen (F’) de una lente es el punto del eje óptico tal que un rayo que

incida paralelo a dicho eje óptico y atraviese la lente pasa por él -para una lente

convergente; en una lente divergente quien pasa por dicho foco imagen es

la prolongación del rayo saliente-.

Distancia focal objeto es la separación entre el foco objeto y el centro óptico.

Distancia focal imagen es la separación entre el centro óptico y

el foco imagen.

22 − Explique mediante construcciones geométricas qué posiciones debe ocupar un objeto,

delante de una lente delgada convergente, para obtener:

a) una imagen real de tamaño menor, igual o mayor que el objeto;

b) una imagen virtual. ¿Cómo está orientada esta imagen y cuál es su tamaño

en relación con el objeto?.

Modelo 2002

Solución.− a) Objeto entre −∞ y 2f: imagen real, menor e invertida.

Objeto en 2f: imagen real, igual e invertida.

Objeto entre 2f y f: imagen real, mayor e invertida.

b) Objeto entre F y O: imagen virtual, mayor y derecha.

23 − Delante de una lente convergente se coloca un objeto perpendicularmente a su eje óptico.

a) ¿A qué distancia de la lente debe colocarse para obtener una imagen de igual tamaño

e invertida?. ¿Cuál es la naturaleza de esta imagen?.

b) ¿A qué distancia de la lente debe colocarse para obtener una imagen de doble tamaño

y derecha?. ¿Cuál es la naturaleza de esta imagen?.

Efectúe la construcción geométrica en ambos apartados.

Modelo 2005

Solución.− a) s = 2f (imagen real, igual e invertida) ; b) s = 2

f (imagen virtual, doble y derecha).

Página 8


24 − ¿En qué posición debe colocarse un objeto delante de una lente esférica convergente para

producir una imagen virtual?. Obtenga gráficamente la imagen.

Septiembre 1998

Solución.− Entre el foco y el centro óptico.

25 − Un objeto de 1 mm de altura se coloca a una distancia de 1 cm delante de una lente

convergente de 20 dioptrías.

a) Calcule la posición y tamaño de la imagen formada, efectuando su construcción

geométrica.

b) ¿Se podría recoger esta imagen en una pantalla?. ¿Qué instrumento óptico constituye

la lente convergente utilizada de esta forma?.

Modelo 2006

Solución.− s’ = −1,25 x 10−2

m ; y’ = 1,25 x 10−3

m

La imagen no se puede recoger en una pantalla (es virtual). La lente es una lupa.

26 − Una lente convergente tiene una distancia focal de 20 cm. Determine la posición, naturaleza

y aumento de la imagen que produce dicha lente para un objeto que se encuentra delante de

ella a las siguientes distancias:

a) 50 cm;

b) 15 cm.

Realice el trazado de rayos en ambos casos.


Solución.− a) s’ = 0,33 m ; A = −0,67 Imagen real, menor e invertida.

b) s’ = −0,60 m ; A = 4 Imagen virtual, mayor y derecha.

27 − Explique dónde debe estar situado un objeto respecto a una lente delgada para obtener

una imagen virtual y derecha:

a) si la lente es convergente;

b) si la lente es divergente.

Realice en ambos casos las construcciones geométricas e indique si la imagen es mayor o

menor que el objeto.

Junio 2006

Solución.− Lente convergente: objeto entre el foco objeto y el centro óptico (imagen mayor).

Lente divergente. objeto en cualquier posición (imagen menor).

Página 9


28 − Determine el tipo de imagen y el aumento lateral que se obtiene al situar un objeto delante

de una lente divergente en los siguientes casos:

a) el objeto se sitúa a una distancia igual al doble de la distancia focal;

b) el objeto se sitúa a una distancia la mitad de la distancia focal de la lente.

Efectúe la construcción geométrica en ambos casos.

Modelo 2007

Solución.− a) Aumento lateral = 3

1 ; b) Aumento lateral =

3

2

En cualquier caso la imagen es virtual, menor y derecha.

29 − Un microscopio consta de dos lentes convergentes (objetivo y ocular).

a) Explique el papel que desempeña cada lente.

b) Realice un diagrama de rayos que describa el funcionamiento del microscopio.

Septiembre 2008

Solución.− El objetivo -la lente más cercana al objeto observado- forma una imagen real, mayor

e invertida delante del ocular -entre él y su foco objeto-, actuando este ocular como

lupa y formando una imagen final virtual, muy aumentada e invertida con respecto

al objeto original.

30 − a) ¿Qué combinación de lentes constituye un microscopio?. Explique mediante

un esquema gráfico su disposición en el sistema.

b) Dibuje la marcha de los rayos procedentes de un objeto a través del microscopio,

de manera que la imagen final se forme en el infinito.

Modelo 2004

Solución.− Básicamente, un microscopio -compuesto- está integrado por dos lentes (o sistemas

de lentes) convergentes: el objetivo -la más cercana al objeto observado- y el ocular,

con una distancia focal imagen superior a la del objetivo y que actúa de lupa con

respecto a la imagen formada por el objetivo. Al final se obtiene una imagen virtual,

mayor e invertida.

Para que al final no se obtenga imagen (se forme en el infinito) la imagen

formada por el objetivo debe estar en el foco objeto del ocular.

Página 10

Ejercicios de acceso a la Universidad − Problemas de Óptica -Geométrica-

Problemas

31 − Un espejo esférico, cóncavo, ha de formar una imagen invertida de un objeto en forma de

flecha, sobre una pantalla situada a una distancia de 420 cm delante del espejo. El objeto

mide 5 mm y la imagen ha de tener una altura de 30 cm. Determinar:

a) a qué distancia del espejo debe colocarse el objeto;

b) el radio de curvatura del espejo.

Efectuar la construcción geométrica de la citada imagen.

Junio 1996

Solución.− s = −0,070 m ; r = −0,138 m.

32 − Por medio de un espejo cóncavo se quiere proyectar la imagen de un objeto de tamaño 1 cm

sobre una pantalla plana, de modo que la imagen sea invertida y de tamaño 3 cm.

Sabiendo que la pantalla ha de estar colocada a 2 m del objeto, calcule:

a) las distancias del objeto y de la imagen al espejo, efectuando su construcción

geométrica;

b) el radio del espejo y la distancia focal.

Septiembre 2003

Solución.− s = −1 m ; s’ = −3 m ; f = −0,75 m ; r = −1,50 m.

33 − Se tiene un espejo cóncavo de 20 cm de distancia focal.

a) ¿Dónde se debe situar un objeto para que su imagen sea real y doble que el objeto?.

b) ¿Dónde se debe situar el objeto para que la imagen sea doble que el objeto pero tenga

carácter virtual?.


Septiembre 2006

Solución.− a) s = −0,3 m ; b) s = −0,1 m.

34 − Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de 10 cm.

a) Determine la posición y el tamaño de la imagen de un objeto de 5 cm de altura que

se encuentra frente al mismo, a la distancia de 15 cm. ¿Cómo es la imagen obtenida?.

Efectúe la construcción geométrica de dicha imagen.

b) Un segundo objeto de 1 cm de altura se sitúa delante del espejo, de manera que

su imagen es del mismo tipo y tiene el mismo tamaño que la imagen del objeto

anterior. Determine la posición que tiene el segundo objeto respecto al espejo.

Septiembre 2007

Solución.− a) s’ = −7,5 x 10−2

m ; y’ = −2,5 x 10−2

m

Imagen real menor -mitad- e invertida.

b) s = −7 x 10−2

m .

Página 11


35 − Delante de un espejo cóncavo de 1 m de radio y a una distancia de 0,75 m se coloca

un objeto luminoso de tamaño 10 cm.

a) Determine la posición, la naturaleza y el tamaño de la imagen formada por el espejo.

b) Si desde la posición anterior el objeto se acerca 0,5 m hacia el espejo, calcule

la posición, la naturaleza y el tamaño de la imagen formada por el espejo en

este caso.


Modelo 2006

Solución.− a) Imagen real, doble e invertida; s’ = −1,50 m ; y’ = −0,20 m

b) Imagen virtual, doble y derecha; s’ = 0,50 m ; y’ = 0,20 m.

36 − Un objeto de tamaño: 15 cm se encuentra situado a 20 cm de un espejo cóncavo de distancia

focal: 30 cm.

a) Calcule la posición y el tamaño de la imagen formada.

b) Efectúe la construcción gráfica correspondiente e indique cuál es la naturaleza de

esta imagen.

Si el espejo considerado fuese convexo en lugar de cóncavo y del mismo radio:

c) ¿Cuál sería la posición y el tamaño de la imagen formada?.

d) Efectúe la resolución gráfica en este último caso, indicando la naturaleza de

la imagen formada.


Solución.− a) Espejo cóncavo: s’ = 0,60 m ; y’ = 0,45 m

Imagen virtual, mayor y derecha.

b) Espejo convexo: s’ = 0,12 m ; y’ = 0,09 m

Imagen virtual, menor y derecha.

37 − Un espejo esférico convexo proporciona una imagen virtual de un objeto que se aproxima

a él con velocidad constante. El tamaño de dicha imagen es 1/10 del tamaño del objeto

cuando éste se encuentra a 8 cm del espejo.

a) ¿A qué distancia del espejo se forma la correspondiente imagen virtual?.

b) ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo?.

c) Un segundo después, el tamaño de la imagen formada por el espejo es 1/5 del tamaño

del objeto. ¿A qué distancia del espejo se encuentra ahora el objeto?.

d) ¿Cuál es la velocidad del objeto?.

Modelo 2004

Solución.− a) s’ = 8 x 10−3

m ; b) r = 1,78 x 10−2

m

c) s = −3,56 x 10−2

m ; d) v = 4,44 x 10−2

m∙s−1

.

Página 12


38 − Un rayo de luz, de longitud de onda en el vacío:

λ0 = 650 nm, incide desde el aire sobre el extremo de

una fibra óptica formando un ángulo θ con el eje de

la fibra (ver figura), siendo el índice de refracción n1

dentro de la fibra: 1,48.

a) ¿Cuál es la longitud de onda de la luz dentro

de la fibra?.

b) La fibra está revestida de un material de

índice de refracción: n2 = 1,44. ¿Cuál es

el valor máximo del ángulo θ para que

se produzca reflexión total interna en P?.


Solución.− a) λ = 4,39 x 10−7

m (439 nm) ; b) θmáx = 19º 59’ 3’’ .

39 − Una lámina de vidrio de caras planas y paralelas, situada en el aire, tiene un espesor de 8 cm

y un índice de refracción n = 1,6. Calcular para un rayo de luz monocromática que incide en

la cara superior de la lámina con un ángulo de 45º:

a) los valores del ángulo de refracción en el interior de la lámina y del ángulo de

emergencia correspondiente;

b) el desplazamiento lateral experimentado por el citado rayo al atravesar la lámina.

c) Dibujar la marcha geométrica del rayo.

Junio 1997

Solución.− β’ = 26º 13’ 40’’ ; γ’ = 45º ; d = 2,87 x 10−2

m.

40 − Sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas de 3 cm de espesor y situada en

el aire incide un rayo de luz monocromática con un ángulo de incidencia de 35º.

La velocidad de propagación del rayo en la lámina es 3

2c, siendo c la velocidad de la luz en

el vacío.

a) Determine el índice de refracción de la lámina.

b) Compruebe que el rayo emergerá de la lámina y determine el ángulo de emergencia.

c) Dibuje la marcha del rayo a través de la lámina.

d) Calcule la distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina.

Modelo 2009

Solución.− a) n = 1,5 ; d) d = 3,25 x 10−2

m

b) El rayo emerge ya que para salir de la lámina forma con la normal un ángulo

de incidencia inferior al ángulo límite para la refracción vidrio−aire.

Página 13

n2

n1

θ

P


41 − Un rayo de luz monocromática incide sobre una cara lateral de un prisma de vidrio,

de índice de refracción n = 2 . El ángulo del prisma es α = 60º. Determine:

a) El ángulo de emergencia a través de la segunda cara lateral si el ángulo de incidencia

es de 30º. Efectúe un esquema gráfico de la marcha del rayo.

b) El ángulo de incidencia para que el ángulo de emergencia del rayo sea 90º.

Junio 2004

Solución.− a) θ’ = 63º 35’ 29’’ ; b) β = 21º 28’ 15’’ .

42 − Se construye un prisma óptico de ángulo A con un vidrio de índice de refracción n = 2 .

Sabiendo que el rayo que incide perpendicularmente en la primera cara lateral del prisma

tiene un ángulo de emergencia de 90º a través de la segunda cara lateral y que el prisma está

inmerso en el aire, determine:

a) el ángulo A del prisma;

b) el valor del ángulo de desviación mínima.

Dibuje la marcha del rayo en ambos casos.

Modelo 2008

Solución.− A = 45º ; δmín = 20º 31’ 49’’ .

43 − El ángulo de desviación mínima en un prisma óptico es de 30º. Si el ángulo del prisma es

de 50º y éste está situado en el aire, determine:

a) el ángulo de incidencia para que se produzca la desviación mínima del rayo;

b) el índice de refracción del prisma.

Septiembre 1998

Solución.− β = 40º ; n = 1,52.

44 − Sobre la cara lateral de un prisma de vidrio, de índice de refracción 1,4 y ángulo en

el vértice 50º, incide un rayo de luz con un ángulo de 20º. Determine:

a) el ángulo de desviación sufrido por el rayo;

b) el ángulo de desviación mínima que corresponde a este prisma.

El prisma se encuentra situado en el aire.

Septiembre 1999

Solución.− δ = 25º 5’ 48’’ ; δmín = 22º 33’ 2’’ .

Página 14


45 − Sobre un prisma de ángulo 60º como el de

la figura, situado en el vacío, incide un rayo

luminoso monocromático que forma un ángulo

de 41,3º con la normal a la cara AB. Sabiendo que

en el interior del prisma el rayo es paralelo a

la base AC:

a) Calcule el índice de refracción del prisma.

b) Realice el esquema gráfico de la trayectoria

seguida por el rayo a través del prisma.

c) Determine el ángulo de desviación del rayo

al atravesar el prisma.

d) Explique si la frecuencia y la longitud de

onda correspondientes al rayo luminoso son

distintas, o no, dentro y fuera del prisma.

Junio 2006

Solución.− n = 1,32 ; δ = 22º 36’ ; ν(vacío) = ν(prisma) ; λ(vacío) > λ (prisma).

46 − Un objeto luminoso de 2 cm de altura está situado a 4 m de distancia de una pantalla.

Entre el objeto y la pantalla se coloca una lente esférica delgada, de distancia focal

desconocida, que produce sobre la pantalla una imagen tres veces mayor que el objeto.

Determine:

a) la posición del objeto respecto a la lente y la clase de lente necesaria;

b) la distancia focal de la lente, y efectúe la construcción geométrica de la imagen.

Septiembre 2004

Solución.− s = −1 m ; lente convergente ; f’ = +0,75 m.

47 − Un objeto luminoso de 2 mm de altura está situado a 4 m de distancia de una pantalla.

Entre el objeto y la pantalla se coloca una lente esférica delgada L, de distancia focal

desconocida, que produce sobre la pantalla una imagen tres veces mayor que el objeto.

a) Determine la naturaleza de la lente L, así como su posición respecto del objeto y de

la pantalla.

b) Calcule la distancia focal, la potencia de la lente L y efectúe la construcción

geométrica de la imagen.

Junio 1998

Solución.− Lente convergente ; s = −1 m ; s’ = 3 m ; f’ = +0,75 m ; P = +1,33 dioptrías.

Página 15

A

B

C

60º


48 − Un objeto luminoso está situado a 6 m de una pantalla. Una lente, cuya distancia focal

es desconocida, forma sobre la pantalla una imagen real, invertida y cuatro veces mayor que

el objeto.

a) ¿Cuál es la naturaleza y la posición de la lente?. ¿Cuál es el valor de la distancia

focal de la lente?.

b) Se desplaza la lente de manera que se obtenga sobre la misma pantalla una imagen

nítida, pero de tamaño diferente al obtenido anteriormente. ¿Cuál es la nueva

posición de la lente y el nuevo valor del aumento?.

Junio 2000

Solución.− a) Lente convergente ; s = −1,20 m ; s’ = 4,80 m ; f’ = +0,96 m

b) s = −4,80 m ; s’ = 1,20 m ; A = −0,25.

49 − Una lente convergente con radios de curvatura de sus caras iguales, y que suponemos

delgada, tiene una distancia focal de 50 cm. Proyecta sobre una pantalla la imagen de

un objeto de tamaño: 5 cm.

a) Calcule la distancia de la pantalla a la lente para que la imagen sea de tamaño:

40 cm.

b) Si el índice de refracción de la lente es igual a 1,5, ¿qué valor tienen los radios de

la lente y cuál es la potencia de la misma?.

Septiembre 2000

Solución.− s’ = 4,50 m ; rizda = 0,50 m ; rdcha = −0,50 m ; P = +2 dioptrías.

50 − Una lente convergente forma, de un objeto real, una imagen también real, invertida y

aumentada 4 veces. Al desplazar el objeto 3 cm hacia la lente, la imagen que se obtiene

es virtual, derecha y con el mismo aumento en valor absoluto. Determine:

a) la distancia focal imagen y la potencia de la lente;

b) las distancias del objeto a la lente en los dos casos citados;

c) las respectivas distancias imagen;

d) las construcciones geométricas correspondientes.

Junio 2007

Solución.− f’ = +0,06 m ; P = +16,67 dioptrías ; s1 = −0,075 m ; s2 = −0,045 m

s’1 = 0,30 m ; s’2 = −0,18 m.

51 − Una lente delgada convergente proporciona de un objeto situado delante de ella una imagen

real, invertida y de doble tamaño que el objeto. Sabiendo que dicha imagen se forma

a 30 cm de la lente, calcule:

a) la distancia focal de la lente;

b) la posición y naturaleza de la imagen que dicha lente formará de un objeto situado

5 cm delante de ella, efectuando su construcción geométrica.

Septiembre 2002

Solución.− a) f’ = +0,10 m ; b) s’ = −0,10 m (imagen virtual, doble y derecha).

Página 16


52 − Una lente convergente de 10 cm de distancia focal se utiliza para formar la imagen de

un objeto luminoso lineal colocado perpendicularmente a su eje óptico y de tamaño

y = 1 cm.

a) ¿Dónde hay que colocar el objeto para que su imagen se forme 14 cm por detrás de

la lente?. ¿Cuál es la naturaleza y el tamaño de esta imagen?.

b) ¿Dónde hay que colocar el objeto para que su imagen se forme 8 cm por delante de

la lente?. ¿Cuál es la naturaleza y el tamaño de esta imagen?.


Modelo 2003

Solución.− a) s = −0,35 m (Imagen real, menor e invertida).

b) s = −4,44 x 10−2

m (Imagen virtual, mayor y derecha).

53 − Una lente esférica delgada biconvexa, cuyas caras tienen radios iguales a 5 cm y el índice de

refracción es n = 1,5, forma de un objeto real una imagen también real reducida a la mitad.

Determinar:

a) La potencia y la distancia focal de la lente.

b) Las posiciones del objeto y de la imagen.

c) Si esta lente se utiliza como lupa, el aumento de la lupa cuando observa un ojo

normal sin acomodación.

Efectuar las construcciones geométricas del problema.

Datos Distancia mínima de visión neta para el ojo: d = 25 cm.

El medio exterior es el aire.

Septiembre 1997

Solución.− P = +20 dioptrías ; f’ = +0,050 m ; s = −0,150 m ; s’ = 0,075 m ; aumento (lupa) = 6.

54 − Un objeto luminoso de 3 cm de altura está situado a 20 cm de una lente divergente de

potencia −10 dioptrías. Determine:

a) la distancia focal de la lente;

b) la posición de la imagen;

c) la naturaleza y el tamaño de la imagen;

d) la construcción geométrica de la imagen.

Junio 2001

Solución.− f’ = −0,10 m ; s’ = −6,67 x 10−2

m ; imagen virtual, menor (un tercio) y derecha.

Página 17


55 − Un objeto de 1 cm de altura se sitúa a 15 cm delante de una lente convergente de 10 cm de

distancia focal.

a) Determine la posición, tamaño y naturaleza de la imagen formada, efectuando

su construcción geométrica.

b) ¿A qué distancia de la lente anterior habría que colocar una segunda lente

convergente de 20 cm de distancia focal para que la imagen final se formara en

el infinito?.

Junio 2003

Solución.− a) Imagen real, doble, invertida y situada 0,30 m delante de la primera lente.

b) Debe haber 0,50 m entre las dos lentes.

56 − Un sistema óptico está formado por dos lentes delgadas convergentes, de distancias focales

10 cm la primera y 20 cm la segunda, separadas por una distancia de 60 cm. Un objeto

luminoso de 2 mm de altura está situado 15 cm delante de la primera lente.

a) Calcule la posición y el tamaño de la imagen final del sistema.

b) Efectúe la construcción geométrica de la imagen mediante el trazado de rayos

correspondiente.

Septiembre 2005

Solución.− s’imagen final = 0,60 m ; y’imagen final = 8 x 10−3

m.

57 − Sea un sistema óptico formado por dos lentes delgadas convergentes de la misma distancia

focal (f’ = 20 cm), situadas con el eje óptico común a una distancia entre sí de 80 cm.

Un objeto luminoso lineal perpendicular al eje óptico, de tamaño y = 2 cm, está situado a

la izquierda de la primera lente y dista de ella 40 cm.

a) Determine la posición de la imagen final que forma el sistema óptico y efectúe

su construcción geométrica.

b) ¿Cuál es la naturaleza y el tamaño de esta imagen?.

Septiembre 2001

Solución.− Imagen real, igual y derecha, situada 0,40 m a la derecha de la segunda lente.

58 − Un sistema óptico centrado está formado por dos lentes delgadas convergentes de igual

distancia focal (f’ = 10 cm) separadas 40 cm. Un objeto lineal de altura 1 cm se coloca

delante de la primera lente a una distancia de 15 cm. Determine:

a) la posición, el tamaño y la naturaleza de la imagen formada por la primera lente;

b) la posición de la imagen final del sistema, efectuando su construcción geométrica.

Junio 2002

Solución.− a) s’1 = 0,30 m ; y’1 = −0,02 m ; imagen real, mayor e invertida.

b) Al final el sistema no forma imagen: s’2 = +∞ .

Página 18


59 − Un sistema óptico está formado por dos lentes: la primera es convergente y con distancia

focal de 10 cm; la segunda, situada a 50 cm de distancia de la primera, es divergente y

con 15 cm de distancia focal. Un objeto de tamaño 5 cm se coloca a una distancia de 20 cm

delante de la lente convergente.

a) Obtenga gráficamente mediante el trazado de rayos la imagen que produce

el sistema óptico.

b) Calcule la posición de la imagen producida por la primera lente.

c) Calcule la posición de la imagen producida por el sistema óptico.

d) ¿Cuál es el tamaño y la naturaleza de la imagen final formada por el sistema?.

Junio 2008

Solución.− La imagen producida por la lente convergente está 0,20 m detrás de ésta.

La imagen final producida por el sistema óptico está 0,10 m delante de la lente

divergente, y es virtual, menor -un tercio del tamaño del objeto- e invertida

con respecto al objeto inicial.

Página 19

FÍSICA de

2º de BACHILLERATO

FÍSICA RELATIVISTA




(1996 − 2010)








(1996 − 2010)

FÍSICA RELATIVISTA

Cuestiones

1 − Justifique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, según la teoría de

la relatividad especial:

a) La masa de un cuerpo con velocidad v respecto de un observador es menor que

su masa en reposo.

b) La energía de enlace del núcleo atómico es proporcional al defecto de masa

nuclear: Δm.

Junio 2008


2 − La energía en reposo de un electrón es 0,511 MeV. Si el electrón se mueve con

una velocidad: v = 0,8 c, siendo c la velocidad de la luz en el vacío:

a) ¿Cuál es la masa relativista del electrón para esta velocidad?.

b) ¿Cuál es la energía relativista total?.


C

Velocidad de la luz en el vacío: c = 3 x 108 m/s.

Septiembre 2009

Solución.− m = 1,5 x 10−30

kg ; E = 1,4 x 10−13

J.

Página 2

FÍSICA de

2º de BACHILLERATO

FÍSICA CUÁNTICA




(1996 − 2010)








(1996 − 2010)

FÍSICA CUÁNTICA

Cuestiones

1 − a) ¿Cuál es la Hipótesis Cuántica de Planck?.

b) Para la explicación del efecto fotoeléctrico, Einstein tuvo en cuenta las ideas

cuánticas de Planck. ¿En qué consiste el efecto fotoeléctrico?. ¿Qué explicación

del mismo efectuó Einstein?.

Junio 1997

Solución.− La Hipótesis Cuántica de Planck supone que los átomos de las paredes de un cuerpo

negro se comportan como osciladores cuya energía es discreta, tomando e

intercambiando con la radiación únicamente valores múltiplos del cuanto elemental:

E = hν.

El efecto fotoeléctrico consiste en la emisión de electrones por superficies

metálicas sobre las que incide radiación electromagnética. Einstein supuso que dicha

radiación consiste en cuantos -fotones- de energía: E = hν, que al incidir sobre

la superficie comunican parcial o totalmente su energía a los electrones, haciéndoles

salir -siempre que la frecuencia de la radiación incidente sea superior a la frecuencia

umbral: ν0, relacionada con el trabajo de extracción: Φ del metal-. Los fotoelectrones

salen con una energía cinética máxima: Ec máx = hν − Φ.

2 − Discuta la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) Un fotón de luz roja tiene mayor longitud de onda que un fotón de luz azul.

b) Un fotón de luz amarilla tiene mayor frecuencia que un fotón de luz azul.

c) Un fotón de luz verde tiene menor velocidad de propagación en el vacío que un fotón

de luz amarilla.

d) Un fotón de luz naranja es más energético que un fotón de luz roja.

Modelo 2009

Solución.− a) y d): verdaderas ; b) y c) falsas.

Página 2

Ejercicios de acceso a la Universidad − Cuestiones de Física Cuántica

3 − Una radiación de frecuencia ν produce efecto fotoeléctrico al incidir sobre una placa

de metal.

a) ¿Qué condición tiene que cumplir la frecuencia para que se produzca

efecto fotoeléctrico?.

Explique qué ocurre:

b) si se aumenta la frecuencia de la radiación;

c) si se aumenta la intensidad de la radiación.

Modelo 2003

Solución.− La frecuencia de la radiación ha de ser superior a la frecuencia umbral.

Si aumenta la frecuencia de la radiación crece la energía cinética máxima de

los fotoelectrones.

Si aumenta la intensidad de la radiación crece el número de fotoelectrones,

pero no su energía cinética máxima.

4 − La longitud de onda umbral de la luz utilizada para la emisión de electrones en un metal por

efecto fotoeléctrico es la correspondiente al color amarillo. Explique si son verdaderas o

falsas las siguientes afirmaciones:

a) Iluminando con la luz amarilla umbral, si duplicamos la intensidad de luz

duplicaremos también la energía cinética de los electrones emitidos.

b) Iluminando con luz ultravioleta no observaremos emisión de electrones.

Septiembre 2008

Solución.− Las dos afirmaciones son falsas.

5 − Un cierto haz luminoso provoca efecto fotoeléctrico en un determinado metal. Explique

cómo se modifica el número de fotoelectrones y su energía cinética si:

a) aumenta la intensidad del haz luminoso;

b) aumenta la frecuencia de la luz incidente;

c) disminuye la frecuencia de la luz por debajo de la frecuencia umbral del metal.

d) ¿Cómo se define la magnitud trabajo de extracción?.

Junio 2004

Solución.− a) Aumenta el número de fotoelectrones, pero su energía cinética máxima

no varía.

b) No varía el número de fotoelectrones, pero su energía cinética

máxima aumenta.

c) No se emiten fotoelectrones.

d) Función de trabajo o Trabajo de extracción es la energía que liga

los electrones a la superficie metálica siendo, por consiguiente,

también la energía mínima que han de poseer los fotones de la radiación

incidente para que se produzca emisión fotoeléctrica.

Página 3


6 − La energía mínima necesaria para extraer un electrón del sodio es de 2,3 eV. Explique si

se producirá el efecto fotoeléctrico cuando se ilumina una lámina de sodio con las siguientes

radiaciones:

a) luz roja de longitud de onda: 680 nm;

b) luz azul de longitud de onda: 360 nm.

Datos: Constante de Planck h = 6,63 x 10−34

J∙s

Velocidad de la luz en el vacío: c = 3 x 108 m/s


C .

Modelo 2010

Solución.− Con luz roja no se produce efecto fotoeléctrico; con luz azul sí se produce.

7 − Se ilumina una superficie metálica con luz cuya longitud de onda es de 300 nm, siendo

el trabajo de extracción del metal de 2,46 eV . Calcule:

a) la energía cinética máxima de los electrones emitidos por el metal;

b) la longitud de onda umbral para el metal.


C


−1

Constante de Planck h = 6,63 x 10−34

J∙s .

Modelo 2006

Solución.− Ec máx = 2,69 x 10−19

J ; λ0 = 5,05 x 10−7

m.

8 − Una radiación monocromática de longitud de onda de 600 nm incide sobre un metal cuyo

trabajo de extracción es de 2 eV. Determine:

a) La longitud de onda umbral para el efecto fotoeléctrico.

b) La energía cinética máxima de los electrones emitidos, expresada en eV.


C


J∙s


−1 .


Solución.− λ0 = 6,22 x 10−7

m (622 nm) ; Ec máx = 0,072 eV.

9 − Un haz de luz monocromática de longitud de onda en el vacío 450 nm incide sobre un metal

cuya longitud de onda umbral, para el efecto fotoeléctrico, es de 612 nm. Determine:

a) la energía de extracción de los electrones del metal;

b) la energía cinética máxima de los electrones que se arrancan del metal.


−1


J∙s .

Junio 2001

Solución.− Φ = 3,25 x 10−19

J ; Ec máx = 1,17 x 10−19

J.

Página 4


10 − El potencial de frenado de los electrones emitidos por la plata cuando se incide sobre ella

con luz de longitud de onda de 200 nm es 1,48 V. Deduzca:

a) la función de trabajo (o trabajo de extracción) de la plata, expresada en eV;

b) la longitud de onda umbral, en nm, para que se produzca el efecto fotoeléctrico.


J∙s


−1


C.

Junio 2008

Solución.− Φ = 4,74 eV ; λ0 = 262 nm.

11 − En un átomo un electrón pasa de un nivel de energía a otro inferior. Si la diferencia

de energías es de 2 x 10−15

J, determine la frecuencia y la longitud de onda de

la radiación emitida.


J∙s


−1 . Modelo 2004

Solución.− ν = 3,02 x 1018

s−1

; λ = 9,95 x 10−11

m.

12 − Un electrón de un átomo salta de un nivel de energía de 5 eV a otro inferior de 3 eV,

emitiéndose un fotón en el proceso. Calcule la frecuencia y la longitud de onda de

la radiación emitida, si ésta se propaga en el agua.

Datos: Índice de refracción del agua: nagua = 1,33


−1


J∙s


C .

Modelo 2007

Solución.− ν = 4,83 x 1014

s−1

; λ = 4,67 x 10−7

m.

13 − a) ¿Qué intervalo aproximado de energías (en eV) corresponde a los fotones del

espectro visible?.

b) ¿Qué intervalo aproximado de longitudes de onda de De Broglie tendrán

los electrones en ese intervalo de energías?.

Las longitudes de onda del espectro visible están comprendidas, aproximadamente,

entre 390 nm en el violeta y 740 nm en el rojo.


kg


C


−1


J∙s .

Septiembre 2000

Solución.− 1,68 eV < Efotón visible < 3,19 eV ; 6,88 x 10−10

m < λelectrón < 9,48 x 10−10

m.

Página 5


14 − En un conductor metálico los electrones se mueven con una velocidad de 10−2

cm/s.

Según la hipótesis de De Broglie, ¿cuál será la longitud de onda asociada a estos electrones?.

Toda partícula, sea cual sea su masa y velocidad, ¿llevará asociada una onda?. Justifica

la respuesta.

Junio 1996

Solución.− λ = 7,274 m.

Siempre existe onda asociada, pero λ ≈ 0 si la masa es muy grande.

15 − A una partícula material se le asocia la llamada longitud de onda de De Broglie.

a) ¿Qué magnitudes físicas determinan el valor de la longitud de onda de De Broglie?.

¿Pueden dos partículas distintas con diferente velocidad tener asociada la misma

longitud de onda de De Broglie?.

b) ¿Qué relación existe entre las longitudes de onda de De Broglie de dos electrones

cuyas energías cinéticas vienen dadas por 2 eV y 8 eV?.

Septiembre 2003

Solución.− a) La masa y la velocidad de la partícula. Sí, siempre que: m1v1 = m2v2.

b) eV) 8 λ(E

eV) 2 λ(E

= 2.

16 − Dos partículas no relativistas tienen asociada la misma longitud de onda de De Broglie.

Sabiendo que la masa de una de ellas es el triple que la masa de la otra, determine:

a) la relación entre sus momentos lineales;

b) la relación entre sus velocidades.

Septiembre 2001

Solución.− p1 = p2 ; v2 = 3 v1 (m1 = 3 m2).

17 − Considere las longitudes de onda de De Broglie de un electrón y de un protón. Razone cuál

es menor si tienen:

a) el mismo módulo de la velocidad;

b) la misma energía cinética.

Suponga velocidades no relativistas.

Junio 1999

Solución.− En los dos casos: λprotón << λelectrón.

Página 6


18 − a) ¿Qué velocidad ha de tener un electrón para que su longitud de onda de De Broglie

sea 200 veces la correspondiente a un neutrón de energía cinética 6 eV?.

b) ¿Se puede considerar que el electrón a esta velocidad es no relativista?.


kg

Masa del neutrón: mn = 1,7 x 10−27

kg


C


−1 . Junio 2002


−1 ; es un electrón no relativista.

19 − Determine la longitud de onda de De Broglie y la energía cinética, expresada en eV, de:

a) un electrón cuya longitud de onda de De Broglie es igual a la longitud de onda en

el vacío de un fotón de energía 104 eV ;

b) una piedra de masa 80 g que se mueve con una velocidad de 2 m/s.


J∙s


−1


kg


C.

Septiembre 2007

Solución.− a) λ(e) = 1,24 x 10−10

m ; Ec(e) = 97,68 eV

b) λ(piedra) = 4,14 x 10−33

m ≈ 0 ; Ec(piedra) = 1018

eV.

20 − Un protón que parte del reposo es acelerado por una diferencia de potencial de 10 V.

Determine:

a) la energía que adquiere el protón expresada en eV y su velocidad en m/s;

b) la longitud de onda de De Broglie asociada al protón moviéndose con la velocidad

anterior.


J∙s


kg

Carga del protón: qp = 1,6 x 10−19

C .

Septiembre 2005

Solución.− Ec = 10 eV ; v = 4,38 x 104 m∙s

−1 ; λ = 9,07 x 10

−12 m.

Página 7


21 − Un electrón que parte del reposo es acelerado por una diferencia de potencial de 50 V.

Calcule:

a) el cociente entre los valores de la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad

alcanzada por el electrón;

b) la longitud de onda de De Broglie asociada al electrón después de atravesar dicha

diferencia de potencial


J∙s


−1


kg


C .

Junio 2005

Solución.− ev

c = 71,56 ; λ = 1,74 x 10

−10 m.

22 − a) Calcule la longitud de onda asociada a un electrón que se propaga con una velocidad

de 5 x 106 m∙s

−1.

b) Halle la diferencia de potencial que hay que aplicar a un cañón de electrones para

que la longitud de onda asociada a los electrones sea de 6 x 10−11

m.


J∙s


kg


C .

Septiembre 1998

Solución.− λ = 1,46 x 10−10

m ; ΔV = 418,85 V.

23 − Calcule en los dos casos siguientes la diferencia de potencial con que debe ser acelerado

un protón que parte del reposo para que después de atravesar dicho potencial:

a) el momento lineal del protón sea 10−21

kg∙m∙s−1

;

b) la longitud de onda de De Broglie asociada al protón sea 5 x 10−13

m.

Datos: Carga del protón: qp = 1,6 x 10−19

C


kg


J∙s .

Junio 2006

Solución.− a) ΔV = −1,87 x 103 V ; b) ΔV = −3,29 x 10

3 V.

Página 8


24 − Un protón que se mueve con una velocidad constante en el sentido positivo del eje X penetra

en una región del espacio donde hay un campo eléctrico E = 4 x 105 k N/C y un campo

magnético B = −2 j T, siendo k y j los vectores unitarios en las direcciones de

los ejes Z e Y, respectivamente.

a) Determine la velocidad que debe llevar el protón para que atraviese dicha región sin

ser desviado.

b) En las condiciones del apartado anterior, calcule la longitud de onda de De Broglie

del protón.

Datos: Constante de Planck: h = 6,63 x 10−34

J∙s


kg.

Junio 2007

Solución.− v = 2 x 105

i (m∙s−1

) ; λ = 1,99 x 10−12

m.

25 − Las partículas α son núcleos de helio, de masa cuatro veces la del protón. Consideremos

una partícula α y un protón que poseen la misma energía cinética, moviéndose ambos

a velocidades mucho más pequeñas que la luz. ¿Qué relación existe entre las longitudes

de onda de De Broglie correspondientes a las dos partículas?.

Junio 1998

Solución.− λ(p)

)αλ( =

2

1.

26 − Una partícula α y un protón tienen la misma energía cinética, Considerando que la masa de

la partícula α es cuatro veces la masa del protón:

a) ¿qué relación existe entre los momentos lineales de estas partículas?;

b) ¿qué relación existe entre las longitudes de onda de De Broglie correspondientes a

estas partículas?.

Modelo 2005

Solución.− p(p)

)αp( = 2 ;

λ(p)

)αλ( =

2

1.

27 − Dos partículas poseen la misma energía cinética. Determine en los dos casos siguientes:

a) La relación entre las longitudes de onda de De Broglie correspondientes a las dos

partículas, si la relación entre sus masas es: m1 = 50 m2.

b) La relación que existe entre las velocidades, si la relación entre sus longitudes de

onda de De Broglie es: λ1 = 500 λ2.


Solución.− a) 1

2

λ

λ = 50 ; b)

2

1

v

v = 500 .

Página 9


28 − En un experimento de efecto fotoeléctrico un haz de luz de 500 nm de longitud de onda

incide sobre un metal cuya función de trabajo (o trabajo de extracción) es de 2,1 eV.

Analice la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) Los electrones arrancados pueden tener longitudes de onda de De Broglie menores

que 10−9

m.

b) La frecuencia umbral del metal es mayor que 1014

Hz.


J∙s


−1


kg


C.

Modelo 2008


29 − El trabajo de extracción para el sodio es de 2,5 eV. Calcule:

a) la longitud de onda de la radiación que debemos usar para que los electrones salgan

con una velocidad máxima de 107 m∙s

−1;

b) la longitud de onda de De Broglie asociada a los electrones que salen del metal con

la velocidad de 107 m∙s

−1.


J∙s


−1


C


kg .

Septiembre 2004

Solución.− a) λ = 4,33 x 10−9

m ; b) λe = 7,29 x 10−11

m.

30 − Enuncie el Principio de indeterminación de Heisenberg y comente su significado físico.

Junio 2000

Solución.− Es imposible conocer simultáneamente con total precisión la posición y la velocidad

-y, en consecuencia, el momento lineal- de una partícula: Δx∙Δpx ≥ ћ = h/2π.

Página 10

Ejercicios de acceso a la Universidad − Problemas de Física Cuántica

Problemas

31 − Un metal tiene una frecuencia umbral de 4,5 x 1014

Hz para el efecto fotoeléctrico.

a) Si el metal se ilumina con una radiación de 4 x 10−7

m de longitud de onda,

¿cuál será la energía cinética y la velocidad de los electrones emitidos?.

b) Si el metal se ilumina con otra radiación distinta de forma que los electrones emitidos

tengan una energía cinética el doble que en el caso anterior, ¿cuál será la frecuencia

de esta radiación?.


C

Masa del electrón en reposo: me = 9,1 x 10−31

kg


J∙s


−1 . Septiembre 2003

Solución.− a) Ec máx = 1,99 x 10−19

J ; vmáx = 6,61 x 105 m∙s

−1 ; b ) ν’ = 1,05 x 10

15 s

−1 .

32 − Una radiación monocromática que tiene una longitud de onda en el vacío de 600 nm y

una potencia de 0,54 W penetra en una célula fotoeléctrica de cátodo de cesio, cuyo trabajo

de extracción es de 2,0 eV. Determine:

a) el número de fotones por segundo que viajan con la radiación;

b) la longitud de onda umbral del efecto fotoeléctrico para el cesio;

c) la energía cinética de los electrones emitidos;

d) la velocidad con que llegan los electrones al ánodo si se aplica una diferencia de

potencial de 100 V.


−1 Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1,6 x 10

−19 C


kg


J∙s .

Junio 2000

Solución.− a) n = 1,63 x 1018

fotones ; b) λ0 = 6,22 x 10−7

m ; c) Ec máx = 1,15 x 10−20

J

d) vf ≈ 5,93 x 106 m∙s

−1

(ΔV en directa; si ΔV se aplica en inversa no llegan electrones a la placa opuesta).

Página 11


33 − El cátodo de una célula fotoeléctrica es iluminado con una radiación electromagnética de

longitud de onda λ. La energía de extracción para un electrón del cátodo es 2,2 eV, siendo

preciso establecer entre el cátodo y el ánodo una tensión de 0,4 V para anular la corriente

fotoeléctrica. Calcular:

a) la velocidad máxima de los electrones emitidos;

b) los valores de la longitud de onda de la radiación empleada λ y la longitud de onda

umbral λ0. Datos: Masa del electrón: me = 9,1 x 10

−31 kg


C


−1 Constante de Planck h = 6,63 x 10

−34 J∙s .

Modelo 1999

Solución.− vmáx = 3,75 x 105 m∙s

−1 ; λ = 4,78 x 10

−7 m ; λ0 = 5,65 x 10

−7 m

34 − Al iluminar un metal con luz de frecuencia 2,5 x 1015

Hz se observa que emite electrones

que pueden detenerse al aplicar un potencial de frenado de 7,2 V. Si la luz que se emplea

con el mismo fin es de longitud de onda en el vacío 1,78 x 10−7

m, dicho potencial pasa a ser

de 3,8 V. Determine:

a) el valor de la constante de Planck;

b) la función de trabajo (o trabajo de extracción) del metal.


−1


C .

Modelo 2001

Solución.− h = 6,68 x 10−34

J∙s ; Φ = 5,18 x 10−19

J.

35 − Los fotoelectrones expulsados de la superficie de un metal por una luz de 400 nm de

longitud de onda en el vacío son frenados por una diferencia de potencial de 0,8 V.

a) Determine la función de trabajo del metal.

b) ¿Qué diferencia de potencial se requiere para frenar los electrones expulsados de

dicho metal por una luz de 300 nm de longitud de onda en el vacío?.


C


J∙s


−1 .

Septiembre 2002

Solución.− a) Φ = 3,69 x 10−19

J ; b) ΔV = −1,84 V.

Página 12


36 − Si se ilumina con luz de λ = 300 nm la superficie de un material fotoeléctrico, el

potencial6de frenado vale 1,2 V. El potencial de frenado se reduce a 0,6 V por oxidación del

material. Determine:

a) la variación de la energía cinética máxima de los electrones emitidos;

b) la variación de la función de trabajo del material y de la frecuencia umbral.


C


−1


J∙s .

Septiembre 1999

Solución.− ΔEc máx = −9,6 x 10−20

J ; ΔΦ = 9,6 x 10−20

J ; Δν0 = 1,45 x 1014

s−1

.

37 − Un protón se encuentra situado en el origen de coordenadas en el plano XY. Un electrón,

inicialmente en reposo, está situado en el punto (2,0). Por efecto del campo eléctrico creado

por el protón (supuesto inmóvil) el electrón se acelera. Estando las coordenadas expresadas

en μm, calcule:

a) el campo eléctrico y el potencial creados por el protón en el punto (2,0);

b) la energía cinética del electrón cuando se encuentra en el punto (1,0);

c) la velocidad y el momento lineal del electrón en la posición (1,0), y

d) la longitud de onda de De Broglie asociada al electrón en el punto (1,0).

Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K0 = 9 x 109 N∙m

2∙C

−2


C


kg


J∙s.

Junio 2003

Solución.− E (2,0) = 360 i (N∙C−1

) ; V(2,0) = 7,2 x 10−4

V ; Ec(1,0) = 1,15 x 10−22

J

v (1,0) = −1,59 x 104

i (m∙s−1

) ; p (1,0) = −1,45 x 10−26

i (kg∙m∙s−1

)

λ(1,0) = 4,58 x 10−8

m.

Página 13

FÍSICA de

2º de BACHILLERATO

FÍSICA NUCLEAR




(1996 − 2010)








(1996 − 2010)

FÍSICA NUCLEAR

Cuestiones

1 − a) Calcule el defecto de masa y la energía total de enlace del isótopo N15

7 ,

de masa atómica: 15,0001089 u.

b) Calcule la energía de enlace por nucleón.

Datos: Masa del protón: mp = 1,007276 u

Masa del neutrón: mn = 1,008665 u

Unidad de masa atómica: 1 u = 1,66 x 10−27

kg


−1 .

Septiembre 1999

Solución.− Δm == 0,120143 u = 1,99 x 10−28

kg ; E = 1,79 x 10−11

J ; A

E = 1,20 x 10

−12 J.

2 − Razone por qué el tritio H3

1 es más estable que el helio-3 He3

2 .

Datos: Masa del núcleo de helio-3: = 3,016029 u

Masa del núcleo de tritio: = 3,016049 u

Masa del protón: mp = 1,007276 u


Unidad de masa atómica: 1 u = 1,66055 x 10−27

kg


−1 .

Modelo 1999

Solución.− Δm (tritio) > Δm (helio-3).

3 − ¿Cuáles son los tipos de radiaciones más comunes que se producen en una desintegración

radiactiva?. Explique la naturaleza de cada una de dichas radiaciones.

Modelo 2001

Solución.− Radiactividad alfa: Emisión de núcleos de helio-4.

Radiactividad beta: Desintegración β−: emisión de electrones y antineutrinos.

Desintegración β+: emisión de positrones y neutrinos.

Captura electrónica: captura de un electrón interno y emisión

de un neutrino.

Radiactividad gamma: Emisión de fotones de muy alta energía.

Página 2

Ejercicios de acceso a la Universidad − Cuestiones de Física Nuclear

4 − a) ¿A qué se llama vida media de un núcleo inestable?. ¿Cuál es la Ley de

desintegración radiactiva?.

b) ¿Qué es una serie radiactiva?. Cita alguna de ellas.

Septiembre 1996

Solución.− Vida media de un núcleo inestable es el tiempo promedio que dura ese núcleo antes

de desintegrarse.

Ley de la desintegración radiactiva: N = N0e−λt

.

Serie radiactiva: familia en la que se agrupan algunos núcleos radiactivos:

unos proceden de otros por desintegración. Hay cuatro: la del thorio, la del neptunio

(artificial), la del uranio-radio y la del actinio.

5 − La ley de desintegración de una sustancia radiactiva es la siguiente: N = N0 e−0,003 t

, donde N

representa el número de núcleos presentes en la muestra en el instante t. Sabiendo que t está

expresado en días, determine:

a) el período de semidesintegración (o semivida) de la sustancia: T1/2 ; b) la fracción de núcleos radiactivos sin desintegrar en el instante: t = 5 T1/2 .

Septiembre 2006

Solución.− a) T1/2 = 231,05 días = 2 x 107 s

b) Quedan sin desintegrarse el 3,125 % de los núcleos iniciales.

6 − El isótopo U234 tiene un período de semidesintegración (semivida) de 250.000 años.

Si partimos de una muestra de 10 gramos de dicho isótopo, determine:

a) la constante de desintegración radiactiva;

b) la masa que quedará sin desintegrar después de 50.000 años.

Septiembre 2002

Solución.− λ = 2,77 x 10−6

años−1

= 8,79 x 10−14

s−1

; m = 8,71 g = 8,71 x 10−3

kg.

7 − De los 120 g iniciales de una muestra radiactiva se han desintegrado, en una hora, el 10 % de

los núcleos. Determine:

a) La constante de desintegración radiactiva y el período de semidesintegración de

la muestra.

b) La masa que quedará de la sustancia radiactiva transcurridas cinco horas.


Solución.− λ = 2,93 x 10−5

s−1

; T1/2 = 23.684 s (6 h 34 min 44 s)

m(t = 5 h) = 70,86 g.

Página 3

Ejercicios de acceso a la Universidad − Cuestiones de Física Nuclear

8 − a) ¿Cómo se define la actividad de una muestra radiactiva?. ¿Cuál es su unidad en

el Sistema Internacional?.

b) El curio es la unidad de actividad definida como la actividad de una muestra de

un gramo de radio. ¿Cuál es la relación entre esa unidad y la del

Sistema Internacional?.

Datos: La masa atómica del radio es 226 u.

Constante de desintegración del radio: λ = 1,4 x 10−11

s−1

Número de Avogadro: NA = 6,022 x 1023

mol−1

.

Modelo 2002

Solución.− Actividad es el ritmo al cual se van desintegrando los núcleos atómicos.

Unidad SI de actividad: el Becquerel: 1 Bq = 1 desintegración / segundo.

1 curio = 3,7 x 1010

Bq.

9 − Se dispone inicialmente de una muestra radiactiva que contiene 5 x 1018

átomos de

un isótopo de Ra, cuyo período de semidesintegración (semivida) es de 3,64 días. Calcule:

a) la constante de desintegración radiactiva del Ra y la actividad inicial de la muestra;

b) el número de átomos en la muestra al cabo de 30 días.

Junio 2003

Solución.− λ = 0,19 días−1

= 2,20 x 10−6

s−1

; A0 = 1,10 x 1013

Bq

N(30 días) = 1,65 x 1016

átomos.

10 − Una muestra de un material radiactivo posee una actividad de 115 Bq inmediatamente

después de ser extraída del reactor donde se formó. Su actividad 2 horas después resulta

ser 85,2 Bq.

a) Calcule el período de semidesintegración de la muestra.

b) ¿Cuántos núcleos radiactivos existían inicialmente en la muestra?.

Dato: 1 Bq = 1 desintegración / segundo.

Junio 2007

Solución.− T1/2 = 1,66 x 104 s ; N0 = 2,76 x 10

6 núcleos.

11 − Una roca contiene dos isótopos radiactivos A y B de períodos de semidesintegración de

1.600 años y 1.000 años respectivamente. Cuando la roca se formó el contenido de A y B era

el mismo (1015

núcleos) en cada uno de ellos.

a) ¿Qué isótopo tenía una actividad mayor en el momento de su formación?.

b) ¿Qué isótopo tendrá una actividad mayor 3.000 años después de su formación?.

Considere un año = 365 días.

Junio 2009

Solución.− a) El isótopo B ; b) El isótopo A.

Página 4

Ejercicios de acceso a la Universidad − Problemas de Física Nuclear

Problemas

12 − El deuterio es un isótopo del hidrógeno de masa atómica igual a 2,0136 u. Su núcleo está

formado por un protón y un neutrón.

a) Indique el número atómico (Z) y el número másico (A) del deuterio.

b) Calcule el defecto de masa del núcleo de deuterio.

c) Calcule la energía media de enlace (expresada en MeV) por nucleón del deuterio.

d) Si un ión de deuterio es acelerado mediante un campo eléctrico, partiendo del reposo,

entre dos puntos con una diferencia de potencial de 2.000 V, calcule su longitud de

onda de De Broglie asociada.

Datos: Masa del protón: mp = 1,0073 u



C

Unidad de masa atómica: u = 1,67 x 10−27

kg


−1


J∙s.

Modelo 2008

Solución.− a) Z = 1 ; A = 2 ; b) Δm = 0,0024 u = 4,008 x 10−30

kg

c) A

E= 1,1 MeV ; d) λ = 4,52 x 10

−13 m.

13 − El período de semidesintegración del estroncio-90 es de 28 años. Calcule:

a) su constante de desintegración y la vida media;

b) el tiempo que deberá transcurrir para que una muestra de 1,5 mg se reduzca un 90 %.

Septiembre 1998

Solución.− a) λ = 0,025 años−1

= 7,85 x 10−10

s−1

; τ = 40,40 años = 1,27 x 109 s

b) t = 93,01 años = 2,93 x 109 s.

Página 5


14 − El período de semidesintegración del Ra228 es de 5,76 años mientras que el de Ra224 es

de 3,66 días. Calcule la relación que existe entre las siguientes magnitudes de estos

dos isótopos:

a) Las constantes radiactivas.

b) Las vidas medias.

c) Las actividades de 1 g de cada isótopo.

d) Los tiempos para los que el número de núcleos radiactivos se reduce a la cuarta parte

de su valor inicial.

Modelo 2009

Solución.− a) y c) Raλ

Raλ224

228

= RaA

RaA224

228

= 1,74 x 10−3

b) y d) Raτ

Raτ224

228

=

Ra4

NNt

Ra4

NNt

2240

0

2280

0

= 5,75 x 102 .

15 − Una muestra contiene inicialmente 1020

átomos, de los cuales un 20 % corresponden a

material radiactivo con un período de semidesintegración (o semivida) de 13 años. Calcule:

a) la constante de desintegración del material radiactivo;

b) el número de átomos radiactivos iniciales y la actividad inicial de la muestra;

c) el número de átomos radiactivos al cabo de 50 años;

d) la actividad de la muestra al cabo de 50 años.

Modelo 2007

Solución.− λ = 5,33 x 10−2

años−1

= 1,69 x 10−9

s−1

; N0 = 2 x 1019

átomos; A0 = 3,38 x 1010

Bq

N(50 años) = 1,39 x 1018

átomos ; A(50 años) = 2,35 x 109 Bq.

16 − En una muestra de azúcar hay 2,1 x 1024

átomos de carbono. De éstos, uno de cada

1012

átomos corresponden al isótopo radiactivo C14 . Como consecuencia de la presencia de

dicho isótopo la actividad de la muestra de azúcar es de 8,1 Bq.

a) Calcule el número de átomos radiactivos iniciales de la muestra y la constante de

desintegración radiactiva (λ) del C14 .

b) ¿Cuántos años han de pasar para que la actividad sea inferior a 0,01 Bq?.

Dato: 1 Bq = una desintegración por segundo.

Septiembre 2008

Solución.− a) N0 = 2,1 x 1012

átomos de C14 ; λ = 3,86 x 10

−12 s

−1

b) 5,50 x 104 años.

Página 6


17 − En un tiempo determinado una fuente radiactiva A tiene una actividad de 1,6 x 1011

Bq

y un período de semidesintegración de 8,983 x 105 s, y una segunda fuente B tiene

una actividad de 8,5 x 1011

Bq. Las fuentes A y B tienen la misma actividad 45,0 días

más tarde. Determine:

a) la constante de desintegración radiactiva de la fuente A;

b) el número de núcleos iniciales de la fuente A;

c) el valor de la actividad común a los 45 días;

d) la constante de desintegración radiactiva de la fuente B.

Dato: 1 Bq = una desintegración por segundo.

Septiembre 2009

Solución.− a) λA = 7,716 x 10−7

s−1

b) N0 A = 2,1 x 1017

núcleos

c) AA (45 días) = AB (45 días) = 8,0 x 109 Bq

d) λB = 1,2 x 10−6

s−1

.

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