Fractales Guillermo Mejías

Resumen

En este trabajo se hace una introducción al concepto de fractal y a su

dimensión. Se estudia con más detalle la curva y el copo de nieve de

Koch.

”Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line” (Mandelbrot, 1983)

Introducción:

A veces es necesario simplificar la realidad para poder hacer cálculos con ella. La geometría clásica, es decir, la geometría euclídea, es útil en muchos campos del conocimiento y en las matemáticas. Sin embargo las ideas de Euclides hacen una abstracción de la realidad, por ejemplo suponen que un punto no tiene tamaño, que una línea es un conjunto de puntos que no tiene ancho ni grueso, solo longitud, que una superficie no tiene altura, etc. (Braum, 2003).

En ocasiones, esto no es suficiente para describir la realidad más compleja. Hay elementos de la naturaleza que presentan irregularidades con un cierto orden, el contorno de una costa, un paisaje montañoso, etc. que no se pueden describir con la geometría clásica. La naturaleza parece que tiene un comportamiento caótico pero ”entre el dominio del caos incontrolado y el orden excesivo de Euclides, hay a partir de ahora una nueva zona de orden fractal”(Mandelbrot, 2013). Mandelbrot ideó los fractales para describir y medir esas irregularidades.

Por otro lado, un elemento que destaca en la geometría fractal es su dimensión. Encontramos curvas que son capaces de rellenar completamente un cuadrado. Por ser una curva, su dimensión debería ser uno pero por rellenar un cuadrado su dimensión debería ser dos. Veremos que en la geometría fractal se necesita definir dimensiones no enteras. (YouTube, 2013)

En este trabajo se muestran ejemplos en los que se observa la necesidad de medir curvas de manera distinta a la habitual. Se dan conceptos matemáticos que hacen falta para obtener la dimensión de algunos fractales. Se da una definición de fractal y algunos ejemplos de la vida real. Se presenta la curva de Koch, se comprueba que no se puede medir bien en dimensión 1 ni en dimensión 2 y hallamos su dimensión fractal. Para terminar, explico mis intentos de definir un nuevo fractal.

Índice:

Historia…………………………………………………………………………………………………………………………………….3

Conceptos matemáticos................................................................................................................4

¿Qué es un Fractal?.......................................................................................................................5

Ejemplo clásico de fractal: Curva de Koch.....................................................................................7

Ideando un Fractal……………………………………………………………………………………………………………………9

Conclusiones…………………………………………………………………………………………………………………………..10

Bibliografía..................................................................................................................................11

Historia

La palabra fractal apareció en la década de los 70. Benoît Mandelbrot la utilizó por primera

vez. Se basa en el adjetivo latino fractus que significa “interrumpido o irregular”. Si se suelta un

grano de polen en un vaso de agua hace un movimiento desordenado e irregular. Se mueve

siguiendo una trayectoria en forma de zigzag. En un cine, en la luz del proyector se puede ver

que las partículas de polvo que flotan en el aire hacen también un movimiento en zigzag.

Ambos movimientos reciben en física el nombre de browniano. Uniendo con rectas las

posiciones de las motas de polvo o de polen se ve una línea que el científico Benoit

Mandelbrot denominó fractal. Mandelbrot, 2013), (Braum, 2003)

No obstante, matemáticos anteriores, como por ejemplo Cantor, Perrin o Peano, manejaron

conjuntos de este tipo aunque no los llamaron fractales. (Mandelbrot, 2013)

A continuación damos dos ejemplos para ver la necesidad de introducir los fractales. ¿Cuánto mide la costa de Bretaña? (Mandelbrot, 2013), (Braum, 2003)

Queremos medir la distancia entre dos puntos de una costa, A y B (figura1). Como la costa es

irregular, la longitud será mayor que la de la línea recta que une A y B. Podríamos ahora tomar

como unidad una barra de longitud menor H, por ejemplo (figura 2). Entonces llevaríamos esta

barra a lo largo de la costa y contaríamos las veces que la barra cabe desde A hasta B. A este

número le llamamos longitud de la costa. Pero en esta medición hemos perdido algunas

irregularidades. Para mejorar la medición tomamos otra barra más pequeña, repetimos el

proceso y obtenemos otra medida. Igual que antes, esta no será tampoco la longitud exacta de

la costa. Podemos continuar indefinidamente de esta manera, tomando unidades cada vez

más pequeñas. Se espera que la sucesión de valores que se obtengan para las longitudes de la

costa, medidas de esta manera, se acerquen a un valor que sería la "verdadera" longitud de la

costa. Sin embargo, esto no ocurre, lo que sucede es que la longitud obtenida aumenta cada

vez más porque al ir cambiando de escala, como van apareciendo más bahías y penínsulas,

éstas contribuyen a la longitud que se está midiendo.

Medir fronteras (Braum, 2003)

Medir fronteras no es fácil. España dice que su frontera con Portugal mide 987 km, mientras

que Portugal dice que son 1214 km; según Holanda su frontera con Bélgica mide 380 km,

mientras que Bélgica dice que son 449 km. Lo que sucede es que, al hacer las mediciones, cada

país utilizó unidades distintas.

Fig 1 Fig 2

A diferencia de estos ejemplos, si medimos un segmento o un cuadrado, cualquiera que sea la

unidad de medida que usemos, obtendremos prácticamente el mismo resultado. (Braum,

2003).

He presentado estos ejemplos para justificar que las líneas con muchas irregularidades no se

pueden medir bien con las unidades de medida habituales. Mandelbrot introdujo los fractales

para resolver este problema.

Conceptos matemáticos necesarios para describir un fractal:

Medida y dimensión: El concepto de medida y dimensión están ligados. Por longitud se

entiende medida de dimensión 1, por área medida en dimensión 2, por volumen medida en

dimensión 3. Para medir los objetos hay que usar la medida de dimensión adecuada. Si se

quiere medir una cuerda, usamos la longitud (medida de dimensión1), para un terreno usamos

el área (medida de dimensión 2) y para la capacidad de un recipiente, el volumen (medida de

dimensión 3. Hasta la aparición de los fractales, cada objeto tenía una dimensión entera y su

medida asociada. En los fractales esto no es así, generalmente no tienen una dimensión

entera. (Braum, 2003)

Semejanza: Existe semejanza entre dos figuras geométricas cuando coinciden en aspecto pero

no en tamaño. La semejanza es una propiedad del aumento o disminución de una figura, fiel a

una escala. (Strobl, 1977) Ejemplos de figuras semejantes son: el segmento rojo y el segmento

completo de la figura 3, el cuadrado rojo y el cuadrado completo de la figura 4 o el cubo rojo y

el cubo completo de la figura 5.

Vamos a ver ahora una propiedad que relaciona la medida de figuras semejantes. La idea está

en (Amaro and Pérez Jiménez et al., 2009) y (N., 2013) pero yo la he adaptado, con un poco de

ayuda, para que se pueda entender bien.

En dimensión 1, tomamos un segmento de longitud 1 y otro de longitud ½. El primero (el

grande) contiene 2 veces al segundo (el pequeño), entonces:

2 · (1

2)1 = 1

El número de segmentos pequeños (2) por su medida (½) elevado a la dimensión (1) da como

resultado 1.

En dimensión 2, tomamos un cuadrado de lado 1 y otro de lado 1/2. El primero (el grande)

contiene 4 veces al segundo (el pequeño), entonces:

· 4 · (1

2)2 = 1

El número de cuadrados pequeños (4) por la medida de su lado (½) elevado a la dimensión (2)

da como resultado 1.

Fig 3

Fig 4

En dimensión 3, tomamos un cubo de lado 1 y otro de lado ½. El primero contiene 8 veces al

segundo, entonces:

8 · (1

2)3 = 1

El número de cubos pequeños (8) por la medida de su lado (½) elevado a la dimensión (3) da

como resultado 1.

Aquí hemos dividido el segmento de lado 1 en 2 partes pero se puede ver que si repetimos el

mismo procedimiento dividiendo el segmento en k=3, 4, 5… o en más partes, se tiene que si se

construye un elemento de lado 1/k (un segmento, un cuadrado, un cubo) y, en dimensión d,

(d=1, 2, 3), la repetimos hasta construir una figura semejante a ella de lado 1 como hemos

hecho en los ejemplos, se tiene que:

𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 · 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 = 1

¿Qué es un fractal?

Los fractales son conjuntos con todas o algunas de las siguientes propiedades:

Mirados a cualquier escala tienen los mismos detalles que a nivel global.

Son autosemejantes, es decir, que están formados por partes que son semejantes al

conjunto total.

Su construcción se basa en la repetición de unos pasos sencillos.

Amaro and Pérez Jiménez et al., 2009)

Hay dos tipos de fractales, unos que tienen una autosimilitud exacta, es decir, el fractal es

idéntico a sí mismo a diferentes escalas y otros con autosimilitud más débil, es decir, a

diferentes escalas, el fractal es solo parecido a sí mismo. Ejemplos de los primeros son el

conjunto de Cantor (fig 6) (Uruguayeduca.edu.uy, 2014), el triángulo (fig 7), (Dma.fi.upm.es,

2014) y la alfombra de Sierpinski (fig 8) (Dma.fi.upm.es, 2014) o el copo de nieve de Koch.

Fig 5

Fig 6 Fig 7 Fig 8

Ejemplos de los segundos con autosimilitud débil son el conjunto de Mandelbrot (fig 9) (Upload.wikimedia.org, 2014) o el conjunto de Julia (fig 10) (Casanovas.blogia.com, 2014)

El segundo grupo tiene un gran desarrollo no solo matemático, sino también artístico, porque produce imágenes espectaculares, pero para explicarlos se necesitan unas matemáticas que todavía yo no sé, así que en este trabajo nos dedicamos a los primeros.

Los fractales tienen aplicación en muchos campos, por ejemplo en Cardiología, Geología,

Medicina, Astronomía, Música o Arquitectura. En (N., 2013) puede verse una larga lista de

ellas. Yo solo voy a mostrar dos ejemplos que me he encontrado últimamente y una aplicación

muy sencilla. El primer ejemplo es la Estrella de la Muerte, la nave del Imperio que aparece en

La Guerra de las Galaxias, su superficie está hecha con fractales. (Juntadeandalucia.es, 2014)

En el País semanal del día 13 de enero encontré la mesa de la figura 11. Está hecha con

geometría fractal por una empresa que tiene matemáticos entre sus diseñadores. (País, 2014),

(Mgxbymaterialise.com, 2014)

Una aplicación de los fractales a la vida real es estimar la antigüedad de algunas coníferas. En

primavera, de la punta del tallo principal de la conífera salen varias ramas a una misma altura

en varias direcciones, que continúan creciendo mientras que la temperatura es favorable. En

invierno este crecimiento se frena y al llegar de nuevo la primavera el patrón se repite: de la

punta de cada rama salen a su vez varias ramas en diferentes direcciones. Y así sucesivamente

cada año. De este modo las ramas más bajas de la conífera son más complejas que las

superiores y más ramificadas. Contando los nudos de ramificación de las ramas bajas se puede

conocer aproximadamente la edad del árbol si las condiciones son favorables. Este método es

Fig 9 Fig 10

Fig 11 Fig 12

aplicable hasta que el árbol tiene 20 ó 25 años. A partir de entonces las ramas más bajas van

muriendo por falta de luz. (A., 2014)

Un ejemplo clásico de fractal: La curva y el copo de nieve de Koch

La curva de Koch fue ideada por Helge von Koch en 1904.

Se parte de un segmento de longitud 1. En el primer paso (n=1) se

divide en tres partes iguales, se construye un triángulo equilátero

sobre el intervalo central y se suprime la base del triángulo. En el

segundo paso (n=2) se hace lo mismo que en el paso 1 sobre cada

uno de los cuatro intervalos que han resultado. Se repite este

proceso infinitamente. (Amaro and Pérez Jiménez et al., 2009)

Cuando esto se hace sobre cada lado de un triángulo equilátero de

obtiene el “copo de nieve”. B. Mandelbrot llamó a esta figura “isla

de Von Koch” porque la consideró un modelo basto de la costa de

una isla. (Mandelbrot, 2013)

Longitud de la Curva de Koch. Vamos a medir la Curva de Koch en dimensión 1:

En el paso 1 (figura 15, b) la curva está formada por cuatro segmentos

de longitud 1

3, así que la curva mide

4

3. En el paso 2 (figura 15, c) hay 16

segmentos de longitud 1

9, por tanto la curva mide

16

9, que se puede

escribir como (4

3)

2. En el siguiente paso, por cada segmento que

tenemos ahora aparecerán 4 segmentos cuya medida será la que

tenemos ahora partido por 3, es decir, la longitud será (4

3)

3 y así

sucesivamente. El patrón es multiplicar la longitud del paso anterior por

4/3. En el paso k:

Longitud(paso k) = (4

3)

𝑘

Cuando k va creciendo (4

3)

𝑘se va haciendo muy grande. Como es una función exponencial con

base mayor que 1 tenderá a infinito, es decir, la longitud de la Curva de Koch cuando k tiende a

infinito va a infinito. (fig 18)

Área de la Curva de Koch. Vamos a medir la Curva de Koch en dimensión 2:

Para medir el área que encierra la Curva de Koch con la línea sobre la que se apoya vamos a

tener en cuenta que esa área está contenida en una unión de rectángulos cuya área es más

fácil de hallar.

Fig 13

Fig 14

Fig 15

En el paso 1 (figura 15, b) el área de la Curva de Koch está dentro de un rectángulo de base 1 y

altura 1

3 porque la figura está hecha sobre un segmento de base 1 y la altura del triángulo será

más pequeña que su lado, que es 1

3. De todas formas la altura se puede medir con el teorema

de Pitágoras.

ℎ = √(1/3)2 − (1/6 )2 = √1/12 ; √1/12 < 1/3

En el paso 2 (figura 15, c) está contenida en 4 rectángulos de base 1

3 y altura

1

9 porque cada

trozo de la curva de Koch que está dentro de un rectángulo se apoya sobre un segmento de

medida 1

3 y la altura de cada triángulo es más pequeña que su lado, que mide

1

9 así que el área

total será más pequeña que 4 · 1

3·

1

9 que también se puede escribir como

3

4· (

4

9)

2

En el siguiente paso, el tercero, el área estará contenida en 42 rectángulos de base 1

32 y altura

1

33 que también se puede escribir como 3

4· (

4

9)

3. En cada etapa el número de rectángulos se

multiplica por 4 y cada rectángulo tiene una altura y una base que se divide por 3. Esto lo

escribimos como potencia de 4/9 para que se vea que decrece.

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝐾𝑜𝑐ℎ(𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑘) ≤3

4· (

4

9)

𝑘

Cuando k se hace muy grande (4

9)

𝑘se acerca a 0 porque es una exponencial de base menor

que 1 como puede verse en la fig 19. Por tanto, el área de la Curva de Koch tiende a 0.

h

1/6

Fig 16

Fig 17

Fig 18 Fig 19

Fig 21 Fig 22

En consecuencia, ninguna de las medidas anteriores, ni la longitud ni el área son adecuadas

para medir la curva de Koch porque en dimensión 1 es infinito y en dimensión 2 mide 0. Por

esa razón la curva de Koch debe ser medida en una dimensión intermedia entre 1 y 2.

Dimensión Fractal:

Como en la curva de Koch la figura construida en cada etapa se obtiene de repetir segmentos,

vamos a usar la formula explicada anteriormente:

𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 · 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 = 1

En la figura (15,b) el segmento de medida 1/3 se repite 4 veces. Aplicando la fórmula se tiene

4 · (1

3)

𝑑= 1; 3𝑑 = 4 y tomado logaritmo neperiano se obtiene 𝑑 · ln 3 = ln 4 y por tanto

𝑑 =ln 4

ln 3= 1,2619

En la figura (15,c) tenemos 16 segmentos que miden 1/9, por tanto:

16 · (1

9)

𝑑= 1; 9𝑑 = 16 y tomado logaritmo neperiano, 𝑑 · ln 9 = ln 16 ; 𝑑 · ln 32 = ln 42

2𝑑 · ln 3 = 2 · ln 4 ; 𝑑 · ln 3 = ln 4; Y vuelve a salir 𝑑 =ln 4

ln 3= 1,2619

Repitiendo el mismo proceso, en todas las etapas d obtiene el mismo valor. Esa es la

dimensión fractal de la curva de Koch, que, como podemos ver, no es un número entero.

Ideando un Nuevo Fractal

Con lo aprendido hasta ahora he intentado inventar un nuevo fractal, pero no

me ha sido fácil. La primera idea fue hacer algo similar a un ejercicio visto en

clase (fig 20) que tiene una construcción repetitiva parecida a la de la Alfombra

de Sierpinski, pero me di cuenta de que el área calculada en clase (una

progresión geométrica de razón 1/4) es 1/3, no 0. Por lo tanto es una figura que

se puede medir en dimensión 2 así que no debe ser un fractal.

Mi siguiente idea fue construir una figura como la Curva de Koch, colocando un cuadrado en

lugar de un triángulo en cada segmento, pero al dibujarlo me di cuenta de que en internet ya

hay imágenes de esta curva. Lo que no he encontrado es la obtención de su dimensión y eso es

lo que voy a aportar ahora.

Se parte de un segmento de longitud 1. En el primer paso (n=1) se divide en tres partes iguales,

se construye un cuadrado sobre el intervalo central y se suprime la base del cuadrado. En el

segundo paso (n=2) se hace lo mismo que en el paso 1 sobre cada uno de los cuatro intervalos

que han resultado. Se repite este proceso infinitamente

Fig 20

En el cuadro siguiente se ve que la longitud y el área de esta figura tienden a infinito y a 0

respectivamente.

Para hallar la dimensión de este fractal vuelvo a utilizar la fórmula:

𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 · 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 = 1

En la figura 21 tenemos 5 segmentos que miden 1/3, por tanto: 5 · (1

3)

𝑑= 1; 3𝑑 = 5 .

Tomado logaritmo neperiano se obtiene 𝑑 · ln 3 = ln 5 y se tiene que 𝑑 =ln 5

ln 3= 1,4649

En la figura 22, hay 25 segmentos que miden 1/9, así 25 · (1

9)

𝑑= 1; 9𝑑 = 25 . Tomado

logaritmo neperiano, 𝑑 · ln 9 = ln 25 ; 𝑑 · ln 32 = ln 52

2𝑑 · ln 3 = 2 · ln 5 ; 𝑑 · ln 3 = ln 5; Y vuelve a salir 𝑑 =ln 5

ln 3= 1,4649

Repitiendo el mismo proceso, en todas las etapas d obtiene el mismo valor. Esa es la

dimensión de este fractal, que, como podemos ver de nuevo, no es un número entero.

Bibliografía Libros: [1] Braum, E. Caos, fractales y cosas raras Braum, E. (2003). Caos, fractales y cosas raras. Mexico: SEP. [2] Mandelbrot, B. The fractal geometry of nature Mandelbrot, B. (1983). The fractal geometry of nature. New York: W.H. Freeman. [3] Mandelbrot, B. eds. Los Objetos Fractales. Forma, azar y dimensión Mandelbrot, B. eds. (2013). Los Objetos Fractales. Forma, azar y dimensión. Barcelona: Tusquets. [4] Pérez Jiménez, Antonio y Sánchez Benito, Mercedes Matemáticas para estimular el talento Amaro, E., Pérez Jiménez, A. and Sánchez Benito, M. (2009). Matemáticas para estimular el talento. Sevilla: Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales. [5] Strobl, W. Diccionarios Rioduero Strobl, W. 1977. Diccionarios rioduero. Espana: Rioduero.

Paso 1 2 3 … k

nº segmentos 5 25 75 … 5k

Longitud segmento 1/3 1/9 1/27 … (1/3)k

Longitud total 5/3 25/9 75/27 … (5/3)k

Área (1/3)2 5/(32) 25/27 … (1/5)·(5/9)k

Tabla 1

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