PEANOAcabodeterminarunartículoquehetituladoFRACTALES.AlfinalmehetropezadoconlascurvasdePeanoqueresultansertambiénfractálicas;mehaparecidoexcesivoincorporarlasalescrito,asíquelesvoyadedicarotroporquecreoquemerecelapena,dadasusingularidad.FueGiuseppePeanounmatemáticoitaliano(1858-1932)queseespecializóenmatemáticasnoeuclídeasconresultadossorprendentesenmateriadellenadodesuperficiesydevolúmenesapar-tirdelíneasquebradas.EnFRACRALESdigoqueMandelbrotafirmaquelosconjuntoscondimensiónDnoentera,sonfracta-les.Ymásadelante,ensumismolibro,aseguraquehayotrabandadebuscadoresdel<<amitaddecamino>>.Yonoveootramaneradeinterpretarestoúltimoqueimaginandolosiguiente.Supongamoslasu-perficieplanadeuncuadradodeladoa(D=2,dosdimensiones)y,ensuinterior,unalíneaque-bradaformadapornumerosossegmentos(deD=1,cadauno,conunadimensión);esossegmentospodríancruzarsetodoloquesequieraemborronandoacapricholasuperficie.Elresultadoseríahaberconseguidoqueunalíneaunidimensionalseconvirtieraenunborrónbidimensional.LoquehizoPeanofueponerordenentodoeso.Pensemosqueelcuadradoestáintegradoenunacuadrícularegularyquesuladoaestádivididopornnodos;dichocuadradotendráuntotalden2nodos.Acontinuacióndecidióquelalíneaquebradaencuestióndeberíaestarcompuestadesegmentosigualesdelongituda/(n–1)detalmaneraquedostramosconsecutivosformenunángulode90ºode180ºyquelalíneaquebradahabríadetenertodossusvérticesentodosycadaunodelosno-dosdelcuadrado,esdecir,dichalíneaquebradahabríadepasarunasolavezporcadaunodeellos,teniendounnododeinicioyotrodefinal.NovoyaentrarenlaslíneasplanasdePeanoqueestánmuybienestudiadasyrepresentadasenformadevariadassoluciones,yvoyaocuparmedesusvariantestridimensionalesquehandere-girseporexigenciasanálogasalasbidimensionales.Deboañadirqueesaocupaciónyameresultófamiliarunavez,cuandodesarrollémitrabajosobrelostubosacodadosenelespacio.

http://www.caprichos-ingenieros.com/ewExternalFiles/vida.pdf Página112DOS Paradarunaideadeloqueentrañaesto,copioloquealpiedelapágina286dellibrodePicko-ver,enlaqueserefierealacurvadePeano,escribeelautor,paraexplicarlaimagenqueyoutilizocomoFig.1.

ElcubodeHilbertesunaextensióntridimensionaldelastradicionalescurvasdePeano.Estaesculturadebronceyaceroinoxidable,obradeCarloH.Sequin(delaUniversidaddeBerkeley)midepocomásdediezcentímetros.

LabellezadelaFig.1nosólonoevitaladificultaddesuconstrucción,sinoquelaagranda.Obsérve-sequelalíneaquebradaespura,notieneredondeosensusnodos,yque,sobretodo,noeslínea

porquetienegrosor.Noheencontradoenpartealgunaelalgoritmoquepuedegenerartantaher-mosura.¿Alguienseimaginaloquepuedehaberdentrodeesalíneaquebradagordaycúbicaquenosllamalaatencióndesdesusclarasaristasvistas,peroquecontiene512nodosy,portanto,511tramos?CopiodellibrodePickover:

LascurvasdePeanosoncontinuas,peronotienentangenteúnicaenningúnpunto,co-moocurreconelcopodenievedeCocholafuncióndeWeierstrass.TodaslascurvasquellenanelespaciotieneunadimensióndeHausdorffiguala2.

Heintentadoqueestafigura,uotrasporelestilo,in-clusomássencillas,medieranlapistaparaconstruiryoalgosemejanteenmodoalámbrico.Conescasoéxi-tomepusemanosalaobraparacomprobarque,la-mentablemente,ladificultadcrecíaamedidaquemeacercabaalnúcleodelcubo:Unossegmentostapabanaotroshaciendoimposiblelatarea.MiideaeraconstruirprimerolafiguraenLIBRECAD,paraluegomaterializarlaconalambre.Acudíarepre-sentaruncubocontodossusnodos,enperspectivaisométrica(comoladelaFig.1):Desconciertototal,alconfundirselíneasquesecortanconotrasquesecru-zan.Cambiélaformadecuboporladeprismaafindesa-lirmedelaisometría,ysimplifiquéelcontenidodelafiguralimitandoa4losnodosdecadaaristadelpris-ma.Elloconlleva,naturalmente,quelalongituddelostramosdelalíneaquebradaespacialseadistintase-gúncadaunadelastrescoordenadas.

Aúnasílacosaresultabadifícilpor-queeltotaldenodosdelprismaerade43=64;yeldetramosdelalíneaquebrada,63.LaFig.2muestraeseprismaenelquesepuedencontarlos64nodosylos63segmentos,yverqueexistenvariosfalsosnodosquellevanaconfusión.Todoestoayuda,peronoresuelveloprincipaldelproblema,queeshallarlarutaquehandeseguirlostramosdelalíneaquebradaparapasarunasolavezportodosycadaunodelosnodos.

Fig.1

Fig.2

Despuésdemuchostanteos(tryandcut,quedicenlosingleses;mihilaMªJesúslollamapruebayerror)conseguílasoluciónqueseveenlaFig3.Obsérvesequeenellahay6nodoscuyostramosestána180º(circuladosenverde).

EnlaFig.4seapreciamásclaramentelatrayectoriadelalíneaquebradaconsusnodosextremoscirculadosenblanco;enellasepuedencontarconfacilidadlostramosylosnodos.Loquenohepodidoessacarlafórmuladelalgoritmogenerador.Seguroquealgúnlectorpodrá.ApesardedisponerdelaFig.4,nomeveíacapazdeconstruirlaconelalambrefinodelatónquepudeconseguir;yanoestabadisponibleeldelgadocabledecobrerecubiertodeplásticoqueuséenotrasocasiones;ahoranecesitabaunosalicatesdedifícilmanejoenelnúcleodelaconstrucción.

Optéentoncesporclareardichonúcleoabasedeunprismaconaristade3nodosenvezdelos4delasFigs.2,3y4.AsíresultólaFig.5.Vistalaexperienciaanterior,yparaevitarlasinterferenciasporcrucedelíneas,redibujélaFig.5separandolosplanoshorizontalessuperioreinferior,delcentral.AsíconseguílaFig.6demásfácilmanejo.LaFig.7eselregresodela6alaformaseudocú-bica.Yla8eslamisma7conlalíneaquebradaliberadadelaplantilladelaFig.5.

Fig.3Fig.4

Fig.5

EstaFig.8eslaquemehaservidoparamaterializarlaversiónalámbrica,ayudadodeunosalicates(Fig.9).

Fig.7

Fig.6

Fig.8

Bieny,todoesto¿Quétienequeverconelfractalismo?DescribamoslaFig.9.d=diámetrodelalambredelatón(noengañosidigoquepareceoro)=0,8mm.a=ladodelcubo=40mm.Vc=volumendelcubo=403=64.000mm3.n=3nodos/arista.Nodosenelvolumentotaldelcubon3=33=27.Tramosenelvolumentotal=n3–1=27-1=26.Longituddeuntramo=a/(n-1)=a/2=40/2=20mm.*Longituddelalíneaquebrada=a/(n-1)×(n3–1)=20×26=520mm.VQ=volumendelalíneaquebrada=520×π(0,82/4)=261mm3.Lalíneaquebradallena261×100/64.000=0,4%deVc.ParaqueelalambreempleadoenlaFig.9llenarael75%delvolumendelcubo,veamoselvalordenqueharíafalta:

0,75a3=[a/(n-1)](n3-1)π(d2/4)quesustituyendovaloresseconvierteenestaecuaciónincompletadetercergrado

n3–2400n+2399=0

Fig.9

quedacomoresultadoparalacantidaddenodosporaristan=48(48nodosenlaaristade40mm,y483=110.592nodosenelvolumentotaldelcubo).Sonéstas,cifrasquemareanperoquedanideadelsaltoqueseproducedesdeunllenadodel0,4%aotrodel75%.Esdecir,nosencontramosconalgoparecidoalovistoenelfractaldelaisla:Aquí,vemosllenarseunvolumenconunacantidadcrecientedesegmentosdelíneaquebrada,quesoncadavezmáspe-queños.QuieroexpresarmiagradecimientoalosdiseñadoresdelcalculadordeecuacionesdetercergradoquehanpuestoenInternet,paraaliviarnosdelosengorrososcálculosquehabíaquehacercuandolosestudiábamos.

https://www.calculadoraconversor.com/ecuaciones-de-tercer-grado/

Ahora,unacuestióncolateralreferidaalllenadodevolúmenes.ElfamosoarquitectoMiguelFisacloteníaresueltodeformadis-tintaaladePeano.EnlaFig.10sevecómoelrematedelcampa-nariodelaiglesiaquelosdominicostienenenAlcobendas,Ma-drid,consisteenunconjuntocaóticodealambrilloadaptadoalespacioquedebeocupar.Yo,pormiparte,meplanteoporquédarundoblesalto,delalíneaalvolumen,cuandopuedopartirdeunasuperficieplanadepapelpinochoyconunsimplesalto,engurruñarelpapel,parallenarelvolumendeuncubocomoeldelaFig.11.Asícontrastoharmónicamente,locaóticoconloreglado.

BibliografíaLageometríafractaldelanaturaleza,deBenoîtMandelbrot.EditorialTusquets,2009.662páginas.EllibrodelasMatemáticas,deCliffordA.Pickover(dePitágorasala57ºdimensión;250hitosdelahistoriadelasMatemáticas).ILUSBOOKSS.L.526páginas.

Fig.10 Fig.11