Universidad Central del EcuadorFacultad de Ingeniera QumicaCarrera de Ingeniera Qumica

Nombre: Domnica PazmioAsignatura: Fsica IIDocente: Dr. Gustavo LpezFecha: 2014-12-18

Consulta: Fractales en la electrodinmica

Para comprender la aplicacin de fractales en la electrodinmica es fundamental conocer qu son los fractales. Segn Ortega (2013), el trmino fractal fue introducido por primera vez por el matemtico Benot Mandelbrot en 1975 y deriva del latn fractus que significa quebrado o fracturado. Mandelbrot sostuvo que un fractal es un objeto semigeomtrico cuya estructura bsica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. A simple vista, es un ente con bordes altamente irregulares y que a distintas escalas de observacin, parece conservar el mismo patrn, lo que le confiere la propiedad de autosimilitud, que es su propiedad ms importante. Un objeto es autosimilar si sus partes tienen la misma forma o estructura del todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y estar ligeramente deformadas.Un objeto geomtrico fractal posee otras propiedades, entre ellas: Es demasiado irregular para ser descrito en trminos geomtricos tradicionales. Posee detalle a cualquier escala de observacin. No se define mediante un simple algoritmo recursivo. No es diferenciable en ningn punto. Su dimensin de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensin topolgica.Los fractales se utilizan en diversas reas del conocimiento, como las comunicaciones, en el modelado del trfico de redes, la informtica en tcnicas de compresin en imgenes, audio y vdeo; en la fsica con el modelado de sistemas dinmicos y transiciones de fase en magnetismo, y en diversas aplicaciones de qumica, geologa y economa.La dimensin fractal de una entidad cualquiera puede determinarse del siguiente modo: Monstruo de von KochFuente: http://www.geofisica.cl/

Dnde:D= Dimensin fractalN= Cantidad de unidades que forman el objetoI= Altura del objeto (proyeccin)p= Altura de las unidades que forman el objeto

As, tras repetidas iteraciones, se puede por ejemplo llegar al monstruo de Von Koch a partir de una curva (GeoEnterprises, 2006).Por otra parte, la electrodinmica es la rama del electromagnetismo que trata de la evolucin temporal en sistemas donde interactan campos elctricos y magnticos con cargas en movimiento. La electrodinmica clsica consiste en el movimiento de un flujo de cargas elctricas que pasan de una molcula a otra a travs de un conductor, y la electrodinmica cuntica tambin conocida como QED, representa la contraparte cuntica del electromagnetismo clsico que da una explicacin completa de la materia y la interaccin de la luz, describe matemticamente todos los fenmenos relacionados con las partculas elctricamente cargadas que interactan a travs de un intercambio de fotones. Richard Feynman fue uno de sus padres fundadores y la apreciaba por sus predicciones muy precisas de cantidades, como el momento magntico anmalo del electrn. (Centro de Artigos, 2012)Segn Alieva, Calvo, Bastiaans, et. al., despus de la introduccin por Manderlbrot del concepto de geometra fractal, la investigacin sobre interaccin de ondas luminosas con estructuras fractales y el descubrimiento de propiedades fractales de algunos campos electromagnticos, llevaron al desarrollo de la electrodinmica y la ptica fractal. Sus resultados experimentales y simulacin numrica demuestran la gran eficacia de las transformadas cannicas, para el anlisis de estructuras fractales. En particular, estudiando la evolucin de la difraccin de Fresnel se puede construir el rbol fractal que revela la estructura jerrquica fractal, estimar su parmetro de escala, la dimensin fractal, entre otros.La electrodinmica fractal puede entenderse como la solucin de las ecuaciones de Maxwell con condiciones de contorno fractales y sus aplicaciones en el estudio de fenmenos como la radiacin. Aunque por mtodos analticos es prcticamente imposible resolver esta clase de problemas, gracias a tcnicas computacionales se ha logrado tener una idea aproximada de la solucin para el lmite fractal.Dentro de la electrodinmica se toma el problema de patrn de radiacin de la antena fractal como un referente. A diferencia de los mtodos tradicionales, cuando sintetizan los patrones de radiacin de la antena suave, la teora de fractal sntesis se basa en el principio de invarianza de escala, es decir, caractersticas de radiacin con la estructura replicada son independientes de la escala. Por tanto, hace posible realizar nuevos modos en electrodinmica fractal y encontrar nuevas propiedades fundamentales. Por ejemplo, la disposicin de los elementos fractales en el cuerpo objeto puede cambiar esencialmente la indicacin. Las antenas fractales pueden ser utilizadas en telecomunicaciones, radiolocalizacin no lineal, sistemas de bsqueda, deteccin de radar, etc.Los patrones de radiacin fractal se sintetizan con la ayuda de la funcin de Weierstrass.

Donde 1 < D < 2 ; > 1 ; g es una funcin peridica limitada. Aqu D es una dimensin fractal modificado:

Donde N es un nmero de elementos en un subconjunto ; r = r1 / r2 ; r1 es una distancia media entre elementos; r2 es una distancia media entre los elementos de un excitador de azar. La teora de la interaccin de la onda electromagntica se ha creado recientemente y ahora se est desarrollando rpidamente. Las estructuras fractales son auto-similares en diferentes escalas y no tienen un tamao caracterstico. Por eso estructuras fractales tienen un amplio rango en sentido electromagntico. Estas antenas fueron estudiadas en 1996. La propiedad de toda la gama permite usar antenas fractales con una estacin en medios en movimiento bajo el control de varios sistemas de telecomunicaciones.

Como se mencion anteriormente, el patrn de radiacin fractal se sintetiza con la ayuda de la funcin de Weierstrass. Las funciones son continuas y no diferenciales en todas partes, y fractales en todas las escalas. Con una antena de ingeniera matriz, la distribucin espacial de los radiadores es la tercera variable cuando la amplitud y la fase son las dos primeras variables. Entonces es posible controlar la antena patrn de radiacin con la ayuda de estas tres variables. (Bogolyubov, Aleksandrovich, & Shapkina, 2009)

Las propiedades de los fractales se aprovechan en la construccin de antenas que pueden obtener anchos de banda de 10 a 40% de la frecuencia central superiores a las antenas clsicas (de 10% a 20% de fc,), patrones de radiacin estables y gran nmero de bandas determinado por el nmero de iteraciones del fractal.

Las primeras antenas diseadas, fueron arreglos planos y lineales tipo fractales delgados, organizando los elementos en un patrn Fractal para reducir el nmero de elementos en el arreglo y obtener antenas de banda ancha o desempeo en mltiples bandas. Por ejemplo las antenas Logperidica y Espiral. Actualmente se est trabajando con curvas y objetos fractales como los tringulos de Sierpinski, rboles fractales, curvas e islas de Kock, entre otras que minimicen el rea de la antena, aprovechando su capacidad natural multibanda. Una antena fractal posee estas 3 principales caractersticas especiales:

Un gran ancho de banda y comportamiento multibanda. El rango de frecuencia es especificada por el tamao ms pequeo y ms grande presente en la antena. En la mayora de los casos tienen una ganancia considerable, por encima de un antena dipolo normal, y esta ganancia depende muy poco de la frecuencia en un rango de frecuencias grande. Poseen un patrn de radiacin estable para un rango amplio de frecuencias.

Los tpicos inconvenientes de baja resistencia de radiacin en el diseo de antenas cortas (smallantennas) que operan a una longitud de onda mayor que su tamao, pueden ser resueltos con curvas fractales que aumentan el permetro de la antena conservando o minimizando su rea. Sin embargo, esta nueva concepcin en el diseo de antenas, nos enfrenta ante problemas tericos difciles de resolver, ya que no podra tomarse las expresiones de la teora electromagntica en este tipo de curvas que desafan el clculo. Por ejemplo, la expresin del potencial vectorial magntico del cual se parte para encontrar la expresin de la distribucin de corriente y del campo radiado es:

La trayectoria de la curva de integracin C en la ecuacin cambia siempre de direccin y no tiene pendiente en ningn punto, ya que es fractal. Estos y otros inconvenientes, hacen indispensable utilizar complejos mtodos numricos para encontrar los campos, como por ejemplo el mtodo de los momentos (MoM), diferencias finitas (FDTD), DOTIG41, etc. Pero por otro lado, estos mtodos iterativos simplifican el clculo de los campos de radiacin de dichas antenas (Montoya, 2006).

Configuracin Monopolo de Kock en 5 iteracionesFuente: http://www.radiocomunicaciones.net/pdf/antenas_fractales.pdf

Patrones de radiacin del monopolo de Sierpinski para f=2,4,8,16 GHzFuente: http//tsc.es/eef/research_lines/antennas/fractals

Antena tringulo de Sierpinski con n=5 iteracionesFuente: http://www.radiocomunicaciones.net/pdf/antenas_fractales.pdf

BibliografaAlieva, T., Calvo, M., Bastiaans, M., Martn-Romo, J. R., & Merlo, D. R. (s.f.). Nuevos enfoques en ptica de fourier. Madrid: Universidad Complutense de Madrid, Departamente de ptica.Bogolyubov, A., Aleksandrovich, A., & Shapkina, N. (2009). Fractal Electrodynamics: Analysis and Synthesis of Fractal Antenna. Moscow: Progress In Electromagnetics Research Symposium Proceedings.Centro de Artigos. (2012). centrodeartigos. Obtenido de http://centrodeartigo.com/articulos-enciclopedicos/article_81560.htmlGeoEnterprises. (Enero de 2006). geofsica. Obtenido de http://www.geofisica.cl/English/FUM/Fractales/Fractales.htmMontoya, A. (2006). Antenas fractales: un paso en la evolucin de las telecomunicaciones. Medelln: Universidad de Antioqua.Ortega, E. (23 de Julio de 2013). Slide Share. Obtenido de http://es.slideshare.net/EmmanuelOrtega/fractales-y-anlisis-fractal?qid=2f57bec3-0a5b-48c6-a658-a825b59590c2&v=qf1&b=&from_search=1