Facultad de informática y Ciencias Aplicadas

Escuela de Ciencias Aplicadas

Matemáticas 1

Catedrático:René Avilés

Tema:Fracciones Parciales

Presentado por:Noé Guerrero

Carrera:Ingeniería en Sistemas y Computación

San Salvador, El Salvador, Centroamérica

Fracciones parcialesFracciones Parciales Concepto...............................................................................................4

Caso 1 Factores lineales distintos.........................................................................................4

Ejemplo caso 1...................................................................................................................................5

Caso 2 Factores Lineales Repetidos.....................................................................................6

Ejemplo Caso 2...................................................................................................................................6

Caso 3 Factores Cuadráticos Distintos.................................................................................8

Ejemplo caso 3...................................................................................................................................8

Caso 4 Factores Cuadráticos repetidos.............................................................................11

Ejemplo caso 4.................................................................................................................................12

Introducción

Se le conoce como fracciones parciales aquella de la forma F( x)G(x) en donde F(x) es

un polinomio de un grado menor al de G(x). También consisten en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado.

La investigación de las fracciones parciales no ayuda a que comprendamos mejor cada uno de los casos relacionados a ella, Las fracciones parciales es un tema no muy amplio pero de mucha importancia ya que nos enseña a convertir suma o división de fracciones, en fracciones parciales utilizando métodos de sustitución para encontrar el valor ya sea de A, B, C etc.

Cada paso o caso nos explica de una manera ordenada como resolverse, también se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.

Objetivos

Conocer la definición de fracciones parciales y su resolución con distintos casos para operar dichas fracciones.

Aprender cada caso de las fracciones parciales para su aplicación en la materia.

Fracciones Parciales.

Definición 1: Una fracción parcial es aquella de la forma F( x)G(x) en donde F(x) es un

polinomio de un grado menor al de G(x).

Definición 2: Las fracciones parciales consisten en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo diferencial. El requisito más importante es el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el de el numerador.

Definición 3: Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.

Considerando la siguiente suma de fracciones:

5x−2

+2x+3

=5 ( x+3 )+2(x−2)

(x−2 ) ( x+3 )=5 x+15+2x−4

( x−2 ) ( x+3 )=7 x+11x2+ x−6

En esta fracción se analizará el proceso inverso: dada una fracción, descomponer en una suma de fracciones es decir:

7 x+11x2+x−6

= 5x−2

+ 2x+3

Hay cuatro casos los cuales son:

1- El denominador q(x) es un producto de factores lineales distintos.2- El denominador q(x) es un producto de factores lineales, algunos de los

cuales se repiten.3- El denominador q(x) contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de

los cuales se repite.4- El denominador q(x) contiene un factor irreductible repetido.

Caso 1 Factores lineales distintos.

Para cada factor lineal (no repetido) de la forma ax+b que aparezca en el

denominador le corresponderá a la fracción: A

ax+b A= Constante que se deberá

determinar.

También se podría decir donde ningún par de factor es idéntico. En este caso, existen constantes A1 , A2 ,…, An Tales que:

P ( x )Q ( x )

=A1

a1 x+b1+

A2a2 x+b2

…+An

an x+bn

Ejemplo caso 1: Descomponer en fracción parcial la siguiente fracción:

7 x+3x2+3 x−4

Solución: Tenemos que el denominador puede descomponerse en factores simples:

7 x+3x2+3 x−4

= 7 x+3( x+4 ) ( x−1 )

Luego la descomposición en fracciones parciales es:

7 x+3x2+3 x−4

= 7 x+3( x+4 ) ( x−1 )

= Ax+4

+ Bx−1

Luego para encontrar sacamos Mínimo Común Múltiplo (MCM) de esta expresión

Ax+4

+ Bx−1 Que en este caso es ( x+4 ) (x−1 ) y al dividirlo por ambos términos

tendremos como resultado

A (x−1 )+B ( x+4 )

(x+4 ) ( x−1 )

Y al multiplicarlo nos quedara de esta forma:

Ax−A+Bx+4 B

( x+4 ) ( x−1 )

Desarrollando se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

A+B=7 A+B=7−A+4 B=3 −A+4 B=3 5B=10

B=105

B=2

Ahora será más fácil encontrar el valor de A

A+B=7A=7−Bó A=7−2A=5

Por lo que la fracción original nos quedara de esta manera:

7 x+3x2+3 x−4

= 7 x+3( x+4 ) ( x−1 )

= 5x+4

+ 2x−1

Caso 2 Factores Lineales Repetidos.

El denominador Q(x) contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite, es decir si Q(x) tiene un factor cuadrático no repetido de la forma

ax2+bx+c, en donde, b2−4 ac<0, entonces la descomposición en fracciones

parciales contiene un término de la forma:

Ax+Bax2+bx+c

Donde Ay B son constantes.

Ejemplo Caso 2: Descomponer en fracciones parciales:

5 x2+3x−1x3−2x2+x−2

Tenemos que:

5 x2+3x−1x3−2x2+x−2

Luego descomponemos esta integral en fracciones parciales comenzamos por escribir el integrando con su denominador factorizado se resolverá por agrupación de términos

x3−2 x2+x−2

(x3−2 x2 )+( x−2 )x2 ( x−2 )+1 ( x−2 )( x−2 ) (x2+1 )

5 x2+3 x−1( x−2 ) ( x2+1 )

= Ax−2

+Bx+Cx2+1

=A (x2+1 )+ (x−2 ) (Bx+C )

(x−2 ) (x2+1 )

Observamos la igualdad de dos fracciones con los mismos denominadores, entonces podríamos eliminarlos

5 x2+3 x−1( x−2 ) ( x2+1 )

=A (x2+1 )+( x−2 ) (Bx+C )

( x−2 ) (x2+1 )

5 x2+3 x−1=Ax2+A+Bx2+Cx−2Bx−2C5 x2+3 x−1=Ax2+Bx2+Cx−2Bx+A−2C

Luego se agruparan los términos de la derecha

5 x2+3 x−1=(Ax¿¿2+Bx2)+(Cx−2Bx )+(A−2C )¿5 x2+3 x−1=(A+B ) x2+(C−2B ) x+( A−2C )

1) A+B=52) C−2B=33) A−2C=−1

Para resolver este sistema de ecuaciones usaremos el método de sustitución

A+B=5 C−2B=3 4) A=5−B 5) C=3+2 B

Al sustituir tendremos:

A−2C=−15−B−2(3+2 B)=−15−B−6−4 B=−1−4B−B+5−6=−1−5B=−1+1

−5B=0B=0

−5B=0

Entonces al sustituir B

A+B=5 C−2B=3 A=5−0 C−2(0)=3 A=5 C=3

Ahora al final la expresión nos quedara de la siguiente manera

5 x2+3 x−1( x−2 ) ( x2+1 )

= 5x−2

+ 3x2+1

El valor de v no se pone ya que vale 0

Caso 3 Factores Cuadráticos Distintos

Si Q(x) tiene un factor lineal repetido n veces de la forma ¿, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene n términos de la forma:

A1a1 x+b1

+A2¿¿

Donde A1 , A2 ,…, An, son constantes.

Ejemplo caso 3: Descomponer en fracciones parciales

5x2−36 x+48x (x−4 )2

Solución: La descomposición en fracciones parciales es:

5x2−36 x+48x (x−4 )2

= Ax

+ B(x−4)

+ C( x−4 )2

=¿

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por el denominador común.

5x2−36 x+48x (x−4 )2

= Ax

+ B(x−4)

+ C( x−4 )2

Para poder operar observamos que la fracción posee distintos denominadores pero al efectuar la fracción observamos que su denominador común será:

x (x−4 )2

5x2−36 x+48x (x−4 )2

=A ( x−4 )2

x+B ( x ) ( x−4 )

(x−4)+ Cx

( x−4 )2=¿

Del resultado anterior se obtuvo:

5x2−36 x+48x (x−4 )2

= Ax2−8 Ax+16 A

x+Bx

2−4 Bx(x−4 )

+ Cx( x−4 )2

=¿

Ahora agrupamos términos en el lado derecho:

5 x2−36 x+48=Ax2−8 Ax+16 A+Bx2−4 B+Cx

5 x2−36 x+48=(Ax2+Bx2 )+(−8 Ax−4 Bx+Cx )+(16 A )

Luego aplicamos factor común pero en este caso quedara a la derecha:

5 x2−36 x+48=(A+B ) x2+(−8 A−4 B+C ) x+(16 A )

En el lado izquierdo la expresión sigue siendo la misma, ahora confrontamos los coeficientes de ambas expresiones:

5 x2−36 x+48=(A+B ) x2+(−8 A−4 B+C ) x+(16 A )

1¿A+B=5 2¿−8 A−4B+C=−36 3¿16 A=48

Al confrontar los coeficientes obtuvimos tres ecuaciones que conforman (lo que se llama) un sistema de ecuaciones de tres por tres (3*3), tres ecuaciones con tres incógnitas, para resolver este sistema de ecuaciones, podemos recurrir a los métodos de sustitución, igualación y eliminación. A continuación se resolverá por el método de sustitución donde despejaremos la ecuación 1 y 2.

A+B=5 −8 A−4 B+C=−363¿A=5−B 4 ¿C=−36+8 A+4 B

Al sustituir la expresión 4 en 3 tendremos

16 (5−B )=48 80−16B=48 −16 B=48−80 −16 B=−32

B=−32−16

B=2

Ahora que sabemos que B=2 sustituiremos la primera ecuación para encontrar A

A+B=5A+2=5A=5−2A=3

Ahora que ya sabemos que A=3 y B=2 sustituimos nuevamente para encontrar el Valor de C

−8 A−4 B+C=−36

−8 (3 )−4 (2 )+C=−36−24−8+C=−36C=−36+24+8C=−4

Luego la fracción nos quedara de la siguiente manera.

5x2−36 x+48x (x−4 )2

=3x+ 2(x−4 )

− 4( x−4 )2

También podíamos hacerlo de la siguiente manera

16 A=48A=4816A=3

Ahora encontramos el valor de B

A+B=53+B=5B=5−3B=2

Ahora encontramos C

−8 A−4 B+C=−36

−8 (3 )−4 (2 )+C=−36−24−8+C=−36C=−36+24+8C=−4

Y vemos que al final nos quedo de la misma manera entonces la fracción nos quedara

5x2−36 x+48x (x−4 )2

=3x+ 2(x−4 )

− 4( x−4 )2

Caso 4 Factores Cuadráticos repetidos

El denominador Q(n) contiene un factor irreductible repetido, si Q(x) tiene un factor

cuadrático repetido n veces de la forma (ax2+bx+c )n, entonces la descomposición

en fracciones parciales contiene que n términos de la forma

A1 x+B1ax2+bx+c

+A2 x+B2

(ax2+bx+c )2+…+

An x+Bn(ax2+bx+c )n

Ejemplo caso 4: Descomponer en fracciones parciales

1−x+2x2−x3

x (x2+1 )2

Solución: Así se descompondrá esta fracción parcial tenemos que

1−x+2x2−x3

x (x2+1 )2= Ax

+ Bx+C(x2+1 )

+ Dx+E(x2+1 )2

Sacaremos factor común para resolver la fracción

1−x+2x2−x3

x (x2+1 )2=Ax

+Bx+C(x2+1 )

+Dx+E

(x2+1 )2=A ( x2+1 )2+(Bx+c ) ( x ) ( x2+1 )+(Dx+E )(x )

x (x2+1 )2

Luego multiplicaremos los resultados

1−x+2x2−x3

x (x2+1 )2=A

(x¿¿4+2x2+1)+Bx2+Cx (x2+1 )+Dx2+Exx (x2+1 )2

¿

1−x+2x2−x3

x (x2+1 )2= A x

4+2 Ax2+A+Bx4+Bx2+Cx3+Cx+Dx2+Ex

x (x2+1 )2

Luego se agrupan los términos semejantes

1−x+2x2−x3

x (x2+1 )2= A x

4+Bx4+Cx3+2 Ax2+Bx2+Dx2+Cx+Ex+A

x (x2+1 )2

1−x+2x2−x3

x (x2+1 )2=( A+B ) x4+C(x¿¿3)+(2 A+B+D ) x2+(C+E ) x+A

x (x2+1 )2¿

Como el denominador es igual en ambas fracciones se elimina y nos queda de la siguiente manera

1−x+2 x2−x3=( A+B ) x4+C( x¿¿3)+(2 A+B+D ) x2+(C+E ) x+A ¿

A+B=0C=−12 A+B+D=2C+E=−1 A=1

Si ya se sabe cuánto vale A y cuánto vale C entonces solo nos queda sustituir valores

A=1 C=−1 A+B=0 C+E=−1 1+B=0 −1+E=−1 B=−1 E=−1+1 E=0

Ahora solo nos queda por encontrar cuánto vale D

2 A+B+D=22 (1 )−1+D=2D=2−1D=1

Ahora que ya sabemos cuánto vale cada fracción nos disponemos a sustituir.

1−x+2x2−x3

x (x2+1 )2=1x+−x−1

(x2+1 )+ x

(x2+1 )2

Conclusión

En conclusión se dio a conocer el concepto de las fracciones parciales, también los distintos casos que posee, cada caso lleva un ejemplo explicado para comprender mejor dicho tema

Ahora cundo hablamos de fracciones parciales sabemos que son aquellas que consisten en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Pero para cada caso se sabe que será diferente método para resolver dichas fracciones.