fracciones parciales
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Documento que explica como trabajar con fracciones parciales. Indispensable para cálculo integral y ecuaciones diferenciales.TRANSCRIPT
FRACCIONES PARCIALES
Introducción a las fracciones parciales Sabemos que por adición algebraica, la
siguiente operación de suma de
fracciones da el resultado indicado.
2
54
22
631
)1)(2(
)2(3)1(1
1
3
2
1
2
2
−−
−=
−−+
−++=
+−
−++=
++
−
xx
x
xxx
xx
xx
xx
xx
El proceso inverso de moverse desde
2
542
−−
−
xx
x hacia
1
3
2
1
++
− xx es
conocido como solución en fracciones
parciales.
Para resolver una expresión algebraica
en fracciones parciales debe tenerse en
cuenta lo siguiente.
(i) el denominador debe poder
factorizarse. En el ejemplo anterior,
22−− xx se puede factorizar como
)1)(2( +− xx , y
(ii) el numerador debe ser de al menos
un grado menor que el denominador.
En el ejemplo anterior, )54( −x es
de grado 1, ya que la mayor potencia
de x es x1 y )2( 2
−− xx es de grado
2.
Cuando el grado del numerador es igual o mayor al grado del denominador, el numerador debe ser dividido hasta que se obtenga un numerador de menor grado que el denominador. Existen básicamente tres tipos de
fracciones parciales (ver tabla 1), donde
f(x) se asume que es de menor grado que
el respectivo denominador y donde A, B
y C son constantes a ser determinadas.
La última expresión cbxax ++2 es una
expresión cuadrática que no debe
factorizarse obteniendo
indeterminaciones o números complejos.
Tabla 1
Tipo El denominador contiene Expresión Forma de las fracciones parciales
1 Factores lineales ))()((
)(
cxbxax
xf
+−+
)()()( cx
C
bx
B
ax
A
++
++
+
2 Factores lineales repetidos 3)(
)(
ax
xf
+
32 )()()( ax
C
ax
B
ax
A
++
++
+
3 Factores cuadráticos ))((
)(2
dxcbxax
xf
+++
)()( 2 dx
C
cbxax
BAx
++
++
+
Problemas con factores lineales
Ejercicio 1. Resolver la siguiente
expresión en fracciones parciales.
32
3112
−+
−
xx
x
El denominador se puede factorizar
como )3)(1( +− xx y el numerador es de
un grado menos que el denominador, por
lo tanto la expresión puede resolverse en
fracciones parciales.
)3()1()3)(1(
311
++
−=
+−
−
x
B
x
A
xx
x
Por adición algebraica, tenemos.
)3)(1(
)1()3(
)3)(1(
311
+−
−++=
+−
−
xx
xBxA
xx
x
Debido a que los denominadores son
exactamente igual en ambos lados de la
igualdad, por lo tanto, sus numeradores
también lo son.
)1()3(311 −++=− xBxAx
Para determinar los valores de A y B, se
eligen valores de x de tal manera que los
términos en A ó en B se vuelvan cero.
Si x = 1, entonces
2
4
8
48
)0()4(311
)1()31()1(311
=
=
=
+=−
−++=−
A
A
A
BA
xBA
Si x = -3, entonces
5
54
20
)4(20
)13()33()3(311
−=
−=−
=
−=
−−++−=−−
B
B
B
BA
Asi,
)3(
5
)1(
2
)3)(1(
311
)3(
5
)1(
2
)3)(1(
311
)3()1()3)(1(
311
+−
−=
+−
−
+
−+
−=
+−
−
++
−=
+−
−
xxxx
x
xxxx
x
x
B
x
A
xx
x
Ejemplo 2. Resolver la siguiente
expresión en fracciones parciales.
23
12
2
+−
+
xx
x
El denominador es del mismo grado que
el numerador, por lo tanto hay que
efectuar la división.
13
1 23
2310
2
22
−
−+−
+−++
x
xx
xxxx
Por lo tanto,
)2)(1(
131
23
131
23
122
2
−−
−+=
+−
−+=
+−
+
xx
x
xx
x
xx
x
Tomemos la parte correspondiente a
)2)(1(
13
−−
−
xx
x y resolvámosla en
fracciones parciales.
)2()1()2)(1(
13
−+
−=
−−
−
x
B
x
A
xx
x
Por suma algebraica tenemos,
)2)(1(
)1()2(
)2)(1(
13
)2()1()2)(1(
13
−−
−+−=
−−
−
−+
−=
−−
−
xx
xBxA
xx
x
x
B
x
A
xx
x
Igualando los numeradores tenemos,
)1()2(13 −+−=− xBxAx
Si x = 1, tenemos,
2
2
)11()21(1)1(3
−=
−=
−+−=−
A
A
BA
Si x = 2, tenemos,
5
5
)12()22(1)2(3
=
=
−+−=−
B
B
BA
Por lo tanto,
)2(
5
)1(
2
)2)(1(
13
)2()1()2)(1(
13
−+
−−=
−−
−
−+
−=
−−
−
xxxx
x
x
B
x
A
xx
x
La expresión completa queda de la
siguiente manera.
)2(
5
)1(
21
23
12
2
−+
−−=
+−
+
xxxx
x
Problemas con factores lineales repetidos Ejemplo 3. Resolver la siguiente
expresión en fracciones parciales.
2)2(
32
−
+
x
x
El denominador contiene el factor lineal
repetido 2)2( −x .
22 )2()2()2(
32
−+
−=
−
+
x
B
x
A
x
x
Común denominador 2)2( −x .
22 )2(
)2(
)2(
32
−
+−=
−
+
x
BxA
x
x
Igualando los numeradores.
BxAx +−=+ )2(32
Si x = 2, entonces
B
BA
=
+−=+
7
)22(3)2(2
Por comparación de término vamos
hallar el valor de A.
Ya que una identidad es verdadera para
todos los valores no conocidos, los
coeficientes de los términos similares
pueden ser igualados.
BAAxx
BxAx
+−=+
+−=+
232
)2(32
Términos con x:
A=2
Términos sin x:
BA +−= 23
Pero sabemos que B = 7, por lo tanto,
2
2
73
723
=
=−
−
+−=
A
A
A
Por lo tanto,
22 )2(
7
)2(
2
)2(
32
−+
−=
−
+
xxx
x
Ejemplo 4. Resolver en fracciones
parciales la siguiente expresión.
2
2
)1)(3(
1925
−+
−−
xx
xx
El denominador es una combinación de
un factor lineal y de un factor lineal
repetido.
22
2
)1()1()3()1)(3(
1925
−+
−+
+=
−+
−−
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Común denominador 2)1)(3( −+ xx
2
2
2
2
)1)(3(
)3(
)1)(3()1(
)1)(3(
1925
−+
++
−++−
=−+
−−
xx
xC
xxBxA
xx
xx
Igualando los numeradores tenemos,
)3(
)1)(3()1(192522
++
−++−=−−
xC
xxBxAxx
Si x = -3, tenemos,
2
1632
)33( )13)(33(
)13(19)3(2)3(5 22
=
=
+−+−−+−+
−−=−−−−
A
A
CB
A
Si x = 1, tenemos,
4
416
)31()11)(31()11(19)1(2)1(5 22
−=
=−
++−++−=−−
C
C
CBA
Encontremos el valor de B, por
comparación de términos.
CCx
BBxBxAAxAxxx
xC
xxBxxAxx
3
3221925
)3(
)32()12(1925
222
222
++
−+++−=−−
++
−+++−=−−
Términos con x2:
BA +=5
Pero sabemos que A = 2, por lo tanto,
3
25
=
+=
B
B
Términos con x:
CBA ++−=− 222
Sabemos que A = 2 y C = -4, por lo
tanto,
32
82
4242
)4(2)2(22
==+−
−+−=−
−++−=−
B
B
B
La expresión completa, en fracciones
parciales queda de la siguiente manera.
22
2
)1(
4
)1(
3
)3(
2
)1)(3(
1925
−−
−+
+=
−+
−−
xxxxx
xx
Ejemplo 5. Resolver la siguiente
expresión en fracciones parciales.
3
2
)3(
15163
+
++
x
xx
323
2
)3()3()3()3(
15163
++
++
+=
+
++
x
C
x
B
x
A
x
xx
Común denominador 3)3( +x , entonces,
3
2
3
2
)3(
)3()3(
)3(
15163
+
++++=
+
++
x
CxBxA
x
xx
Igualando los numeradores, nos queda,
CxBxAxx ++++=++ )3()3(15163 22
Si, x = -3, tenemos,
6
)0()0(6
)33()33(15)3(16)3(3
22
22
−=
++=−
++−++−=+−+−
C
CBA
CBA
Por comparación de términos
encontremos el valor de A y B.
CBBxAAxAxxx
CBBxxxAxx
CxBxAxx
+++++=++
+++++=++
++++=++
39615163
3)96(15163
)3()3(15163
22
22
22
Términos con x2:
A=3
Términos con x:
BA += 616
Sabemos que A = 3, entonces,
B
B
B
=−
=−
+=
2
1816
)3(616
Para verificar, revisemos los términos
sin x:
CBA ++= 3915
Sabemos que A = 3, B = -2 y C = -6,
entonces,
1515
662715
)6()2(3)3(915
=
−−=
−+−+=
La expresión completa en fracciones
parciales queda de la siguiente manera.
323
2
)3(
6
)3(
2
)3(
3
)3(
15163
+−
+−
+=
+
++
xxxx
xx
Problemas con factores cuadráticos Ejemplo 6. Resolver la siguiente
expresión en fracciones parciales.
)1)(2(
13572
2
++
++
xx
xx
El denominador es una combinación del
factor cuadrático )2( 2+x y el factor
lineal )1( +x .
)1()2()1)(2(
135722
2
++
+
+=
++
++
x
C
x
BAx
xx
xx
Común denominador )1)(2( 2++ xx
)1)(2(
)2()1)((
)1)(2(
13572
2
2
2
++
++++=
++
++
xx
xCxBAx
xx
xx
Igualando los numeradores, obtenemos,
)2()1)((1357 22++++=++ xCxBAxxx
Si x = -1, tenemos,
53
15
315
)3()0)((15
)21(
)11]()1([13)1(5)1(7
2
2
==
=
++−=
+−+
+−+−=+−+−
C
C
CBA
C
BA
Por comparación de términos hallemos
el valor de B y C.
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
21357
)2()1)((1357
222
22
+++++=++
++++=++
Términos con x2:
CA +=7
Sabemos que C = 5, por lo tanto,
2
57
=
+=
A
A
Términos con x:
BA +=5
Sabemos que A = 2, por o tanto,
3
25
=
+=
B
B
Para comprobar estos valores, revisemos
los términos sin x:
CB 213 +=
Sabemos que B = 3 y C = 5, por lo
tanto,
1313
10313
)5(2)3(13
=
+=
+=
La expresión completa en fracciones
parciales queda de la siguiente manera.
)1(
5
)2(
32
)1)(2(
135722
2
++
+
+=
++
++
xx
x
xx
xx
Ejemplo 7. Resolver la siguiente
expresión en fracciones parciales.
)3(
246322
32
+
−++
xx
xxx
Los términos como x2 pueden ser
expresados como (x + 0)2, por lo que
aquí estamos ante un factor lineal
repetido.
)3()3(
24632222
32
+
+++=
+
−++
x
DCx
x
B
x
A
xx
xxx
Común denominador )3( 22+xx ,
entonces,
)3(
)(
)3()3(
)3(
246322
2
22
22
32
+
++
+++
=+
−++
xx
xDCx
xBxAx
xx
xxx
Igualando los numeradores, tenemos,
)(
)3()3(2463
2
2232
DCxx
xBxAxxxx
++
+++=−++
Resolvamos los productos indicados.
23
2332
332463
DxCx
BBxAxAxxxx
++
+++=−++
Si x = 0, tenemos,
1
33
)0()0( 3)0(
)0(3)0()0(2)0(4)0(63
232
332
=
=
++++
+=−++
B
B
DCBB
AA
Por comparación de términos hallemos a
A, C y D.
Términos con x3:
1]Ecuación [ 2 CA +=−
Términos con x2:
DB +=4
Sabemos que B = 1, por lo tanto,
3)1(4 =⇒+= DD
Términos con x:
2
36
=
=
A
A
Para comprobar, igualemos los términos
independientes (términos sin x).
B33 =
Sabemos que B =1, por lo tanto,
33
)1(33
=
=
Usemos la [Ecuación 1] para hallar el
valor de C.
CA +=− 2
Sabemos que A = 2, por lo tanto,
4
22
22
−=
=−−
+=−
C
C
C
La expresión completa en factores
parciales queda expresada de la siguiente
manera.
)3(
4312
)3(
24632222
32
+
−++=
+
−++
x
x
xxxx
xxx
BIBLIOGRAFÍA BIRD, John. ENGINEERING
MATHEMATICS. Newnes. Fourth
Edition. 2003. Pág: 51 - 56.
__________ Notas preparadas por Juan Felipe Muñoz
Fernández (http://www.juanfelipe.net).
EJERCICIOS DE FRACCIONES PARCIALES PROPUESTOS (Las respuestas se indican entre corchetes)
1.
− +
−
)3(
2
)3(
2
9
122
xx-
x
2.
−−
−
−
−
+ )3(
2
)1(
5
32
)4(42
xxxx
x
3.
−−
+−
−
−
−
+
)1(
4
)2(
23
)1)(2(
632
xxxxxx
xx
4.
−++
−−
−
−
+
−
+ 12
2
)1(
3
)4(
7
)12)(1)(4(
)182(3 2
xxx
xxx
xx
5.
−+
++
−
+
+
+
)2
6
)3(
21
6
892
2
xxxx
xx
6.
−−
−−
+
+
−
−
)1(
3
)3(
21
32
142
2
xxxx
xx
7.
+−
+−−
+
−
−
+−
)2(
5
)2(
123
)2)(2(
201623 23
xxx
xx
xxx
8.
+
−
+
−
+2
)1(
7
)1(
4
)1(
342
xxx
x
9.
+
++
+
−+
)3(
12
2
1
)3(
372
2
xxxxx
xx
10.
−
+−
−
+
−
−
−3
)2(
4
2)2(
10
)2(
5
)2(
443053
2
xxx
x
xx
11.
+−
−+
+
+
+
−
−2
)2(
4
)2(
3
)5(
2
2
2
)2)(5(
2118
xxx
xx
xx
12.
−+
−−
−
−
+
+
)2(
1
)72
(
32
)2)(7(
132
2
xx
x
xx
xx
13.
+−
−
+
−+
− )32
(
2
)4(
1
)3)(4(
562
x
x
xxx
x
14.
+
−++
+
−++
)52
(
52
2
31
)5(
4551522
32
x
x
xx
xx
xxx
15.
+−
−++
+
−+
−
+
− )82
(
21
2)1(
2
)1(
3
)8()1(
720422
23
x
x
xx
xx
xxx
16.
+−−
−+−
=
+−
−
+
−
−
)1062
(2
35
)2(2
12
)1062)(2(
40422
2
3934
}{
ss
s
ss
ssss
sss
L θ