formulas y ejerciciode caminos

7/24/2019 Formulas y Ejerciciode CAMINOS

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Las curvas circulares simples se definen como arcos de circunferencia

de un solo radio que son utilizados para unir dos alineamientos rectosde una va.

Una curva circular simple (CCS) est compuesta de los siguientes

elementos:

ngulo de deflexin []:El que se forma con

la prolongacin de uno de los alineamientosrectos y el siguiente. Puede ser a la izquierda o a

la derecha segn si est medido en sentido anti-horario o a favor

de las manecillas del reloj, respectivamente. Es igual al ngulo

central subtendido por el arco ().

Tangente [T]:Distancia desde el punto de interseccin de las

tangentes (PI) -los alineamientos rectos tambin se conocen conel nombre detangentes, si se trata del tramo recto que queda

entre dos curvas se le llama entretangenciahasta cualquiera de

los puntos de tangencia de la curva (PC o PT).

Radio [R]:El de la circunferencia que describe el arco de la curva.

Cuerda larga [CL]:Lnea recta que une al punto de tangencia

donde comienza la curva (PC) y al punto de tangencia donde

termina (PT).
https://doblevia.files.wordpress.com/2007/03/ccs.pnghttps://doblevia.files.wordpress.com/2007/03/ccs.png


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Externa [E]:Distancia desde el PI al punto medio de la curva

sobre el arco.

Ordenada Media [M] (o flecha [F]):Distancia desde el punto

medio de la curva hasta el punto medio de la cuerda larga.

Grado de curvatura [G]:Corresponde al ngulo central

subtendido por un arco o una cuerda unidad de determinada

longitud, establecida como cuerda unidad (c) o arco unidad (s). Ver

ms adelante para mayor informacin.

Longitud de la curva [L]:Distancia desde el PC hasta el PT

recorriendo el arco de la curva, o bien, una poligonal abiertaformada por una sucesin de cuerdas rectas de una longitud

relativamente corta. Ver ms adelante para mayor informacin.

Ahora vamos a detenernos en dos aspectos con un poco ms de

detalle:

Grado de curvatura

Usando arcos unidad:

En este caso la curva se asimila como una sucesin de arcos pequeos

(de longitud predeterminada), llamados arcos unidad (s). Comparando

el arco de una circunferencia completa (2R), que subtiende un ngulo


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de 360, con un arco unidad (s), que subtiende un ngulo Gs(Grado de

curvatura) se tiene:

Usando cuerdas unidad:

Este caso es el ms comn para calcular y materializar

(plasmar en el terreno) una curva circular, pues se

asume que la curva es una sucesin de tramos rectos de

corta longitud (tambin predeterminada antes de

empezar el diseo), llamados cuerda unidad (c). La continuidad de

esos tramos rectos se asemeja a la forma del arco de la curva (sin

producir un error considerable). Este sistema es mucho ms usado

porque es ms fcil medir en el terreno distancias rectas que distancias

curvas (pregunta: Se pueden medir distancias curvas en el terrenoutilizando tcnicas de topografa?cmo?).

Tomando una cuerda unidad (c), inscrita dentro del arco de la curva se

forman dos tringulos rectngulos como se muestra en la figura, de

donde:

Longitud de la curva

A partir de la informacin anterior podemos relacionar longitudes con

ngulos centrales, de manera que se tiene:

Usando arcos unidad:
https://doblevia.files.wordpress.com/2007/03/curvatura.pnghttps://doblevia.files.wordpress.com/2007/03/curvatura.png


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Usando cuerdas unidad:

La longitud de una cuerda unidad, o de un

arco unidad, se toma comnmente como 5m , 10 m , 20 m .

Localizacin de unacurva circularPara calcular y localizar (materializar) una curva circular a menudo se

utilizan ngulos de deflexin.

Un ngulo de deflexin () es el que se

forma entre cualquier lnea tangente a la

curva y la cuerda que va desde el punto de

tangencia y cualquier otro punto sobre lacurva.

Como se observa en la figura, el ngulo de deflexin () es igual a la

mitad del ngulo central subtendido por la cuerda en cuestin ().

Entonces se tiene una deflexin para cada cuerda unidad, dada por:


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Es decir, se puede construir una curva con deflexiones sucesivas desde

el PC, midiendo cuerdas unidad desde all. Sin embargo, rara vez las

abscisas del PC o del PT son cerradas (mltiplos exactos de la cuerda

unidad), por lo que resulta ms sencillo calcular una subcuerda desde

el PC hasta la siguiente abscisa cerrada y, de igual manera, desde la

ltima abscisa cerrada antes del PT hasta l.

Para tales subcuerdas se puede calcular una deflexin conociendo

primero la deflexin correspondiente a una cuerda de un metro (1 m )

de longitud m:

Entonces la deflexin de las subcuerdas se calcula como:

sc= m Longitud de la subcuerda

La deflexin para el PT, desde el PC, segn lo anotado, debe ser igual

al la mitad del ngulo de deflexin de la curva:

PT= /2

Lo cual sirve para comprobar la precisin en los clculos o de la

localizacin en el terreno.

EjemploPara una curva circular simple se tienen los siguientes elementos:

Rumbo de la tangente de entrada: N 7620 E

Rumbo de la tangente de salida: N 1940 E

Abscisa del punto de interseccin de las tangentes, PI: k2+226

Coordenadas del PI: 800 N , 700 E

Cuerda unidad: 20 m


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Radio de curvatura: 150 m

Calcular los elementos geomtricos de la curva; las abscisas del PC y

el PT; las coordenadas del PC, el PT y el centro de la curva; y las

deflexiones de la curva.

Solucin

Elementos geomtricos de la

curvaEl ngulo de deflexinde la curva est dado por la diferencia de los

rumbos de los alineamientos (no siempre es as, en este caso s porque

los dos estn en el mismo cuadrante NE):

= 7620 1940 = 5640 Izquierda

(A la izquierda porque el rumbo de la tangente de salida es menor queel de la de entrada)

Conociendo el radio y el ngulo de deflexin se pueden calcular los

dems elementos geomtricos:

Tangente:T = R Tan (/2)

Grado de curvatura:Gc= 2 Sen-1[ c / (2R) ]

Longitud de la curva:Lc= c/Gc

Cuerda Larga:CL = 2RSen(/2)


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Externa:E = R(1/Cos(/2) 1)

Ordenada Media (Flecha):M = R[1Cos(/2)]

Deflexin por cuerda:

Deflexin por metro:

Abscisas del PC y el PT

Conociendo la abscisa del PI y las longitudes, tanto de la tangente (T)como de la curva (Lc):

Abscisa del PC = Abscisa del PIT

Abscisa del PC = k2 + 22680,879 m = k2 + 145,121

Abscisa del PT = Abscisa del PC + Lc

Abscisa del PT = k2 + 145,121 + 148,243 m = k2 + 293,364

Se debe tener en cuenta que la abscisa del PT se calcula a partir de ladel PC y NO del PI, pues la curva acorta distancia respecto a los

alineamientos rectos.

Coordenadas de los puntosPC, PT y O


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Conociendo los rumbos de las tangentes de entrada y salida se pueden

calcular sus azimutes:

Azimut del PC al PI = 76 20Azimut del PI al PC =Contra azimutde PC-PI = 76 20 + 180 = 256

20

Azimut del PC a O = 256 20 + 90 = 346 20 (porque el radio es

perpendicular a la tangente de entrada en el PC)

Azimut del PI al PT = 19 40

Nota:Debe tenerse mucho cuidado con el

clculo de estos azimuts, pues lascondiciones particulares de cada curva

pueden hacer que cambie la manera de

calcularlos. Especialmente el hecho de si el

ngulo de deflexin es a la izquierda o a la

derecha. Lo que yo recomiendo para nocometer errores es, primero que todo, tener

bien claro el concepto deazimut,y luego

hacer un dibujo representativo para

ubicarse, que sea claro y ms o menos a

escala.Recordemos que, conociendo las coordenadas de un punto A (NAy

EA), las coordenadas de un punto B (NBy EB) se calculan a partir de la

distancia y el azimut de la linea que une los dos puntos (AB) as:

NB= NA+ DistanciaAB Cos(AzimutAB)

EB= EA+ DistanciaAB Sen(AzimutAB)

Coordenadas del PI:

800N 700E
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Coordenadas del PC:

N = 800 + TCos(256 20) = 800 + 80,879 Cos(256 20)

N = 780,890

E = 700 + TSen(256 20) = 700 + 80,879 Sen(256 20)

E = 621,411

Coordenadas del centro de la curva (O):

N = 780,890 + RCos(34620) = 780,890 + 150 Cos(34620)

N = 926,643

E = 621,411 + RSen(34620) = 621,411 + 150 Sen(34620)

E = 585,970

Coordenadas del PT

N = 800 + TCos(1940) = 800 + 80,879 Cos(1940)

N = 876,161

E = 700 + TSen(1940) = 700 + 80,879 Sen(1940)

E = 727,220

Deflexiones de la curva

Para calcular las deflexiones de la curva partimos de las abscisas

calculadas para el PC y el PT y dos ngulos que ya estn definidos: la

deflexin por cuerda y la deflexin por metro.

Como la cuerda unidad es de 20 m quiere decir que las abscisas de la

poligonal se vienen marcando a esa distancia, por lo tanto si la abscisa


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del PC es la k2 + 145,121 , la siguiente abscisa cerrada corresponde a

la k2 + 160 (no la k2 + 150 porque no es mltiplo de 20, es decir, si

empezamos desde la k0 + 000 sumando de 20 en 20 no llegamos a la

k2 + 150 sino a la k2 + 160). Esto genera una subcuerda, cuya

longitud se calcula como la diferencia entre las dos abscisas:

Subcuerda de entrada: 2 160 m2 145,121 m = 14,879 m

Ahora, si ya se haba calculado que por cada metro de curva existe una

deflexin m=01128,06, para la primera subcuerda tenemos una

deflexin (correspondiente a la abscisa k2 + 160) de:

Deflexin para la abscisa k2 + 160 = 14,879 m * 01128,06 =

25037,64

A partir de la abscisa k2 + 160 siguen abscisas cerradas cada 20 m (de

acuerdo a la longitud de la cuerda unidad), hasta llegar al PC, y la

deflexin para cada una de las abscisas siguientes corresponde a la

suma de la anterior con la deflexin por cuerda:

Deflexin para la k2+180 = 25037,64 + 34921,2 =

63958.84

Deflexin para la k2+200 = 63958.84 + 34921,2 =

102920,04


141841,24


180802,44


215723,64

Deflexin para la k2+280 = 215723,64 + 34921,2 =254644,84


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Pero ah hay que parar porque la abscisa del PT es la k2 + 293,364 ,

por lo tanto se genera otra subcuerda, la de salida, que se calcula de

manera similar a la de entrada:

Subcuerda de salida: 2 293,364 m2 280 m = 13,364

Y de la misma manera, la deflexin para la subcuerda es de:

Deflexin para la subcuerda de salida = 13,364 m * 01128,06 =

23315,23

As que al final, la deflexin para el PT es:

Deflexin para la k2+293,364 = 254644,84 + 23315,23 =

282000,07

La cual, segn lo visto en el artculo, debe corresponder con la mitad

del ngulo de deflexin de la curva:

Con esta informacin se construye la cartera de deflexiones, que va a

ser la que permita materializar la curva en el terreno, pues es la que

recibe el topgrafo para hacer su trabajo. A continuacin se muestran

las tres primeras que debe contener dicha cartera. Las otras tres, hacen

referencia a los elementos que ya se calcularon a lo largo de este

artculo (es necesario reescribirlos dentro de la cartera), el azimut de

los alineamientos rectos (de entrada y salida), y el sentido en el que

se deflectarla curva (en este ejemplo desde el PC hasta el PT, que es

el sentido en el que aumenta la deflexin). Ntese que la cartera est

escrita de abajo hacia arriba, para facilitar el trabajo de los topgrafos.

ESTACIN ABSCISA DEFLEXIN

PT k2+293,364 282000,07


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K2+280 254644,84

K2+260 215723,64

K2+240 180802,44

K2+220 141841,24

K2+200 102920,04

K2+180 63958.84

K2+160 25037,64

PC k2+145,121 00000

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formulas y ejerciciode caminos

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