ECUACIONES CLAVE 521

Ecuaciones clave

nmero promedio de llegadas por periodo de tiempo nmero promedio de personas u objetos atendidos

por periodo de tiempo

Las ecuaciones 13-1 a 13-7 describen caractersticas operativasen el modelo de un solo canal que tiene llegadas de Poisson ytasas de servicio exponenciales.

(13-1) L nmero promedio de unidades (clientes) en el sistema

(13-2) W nmero promedio que una unidad pasa dentro delsistema (tiempo de espera tiempo de servicio)

(13-3) Lq nmero promedio de unidades en la cola

(13-4) Wq tiempo promedio que una unidad pasa esperandoen la cola

(13-5)

(13-6) P0 probabilidad de 0 unidades en el sistema (es decir,la unidad de servicio est ociosa o inactiva)

(13-7) Pn>k probabilidad de ms de k unidades estn en el sis-

tema

Las ecuaciones 13-8 a 13-12 se utilizan para encontrar los costosde un sistema de colas

(13-8) Costo total del servicio mCs

dondem nmero de canalesC

s costo de servicio (costo de mano de obra) de cada

canal

(13-9) Costo total por periodo de tiempo de espera (W) Cw

Cw costo de espera

Costo de tiempo basado en el tiempo en el sistema.

(13-10) Costo total por periodo de tiempo de espera (Wq) CwCosto del tiempo de espera en funcin del tiempo en lacola.

(13-11) Costo total mCs WC

w

Costo del tiempo de espera en funcin del tiempo en elsistema.

(13-12) Costo total mCs WqCw

Costo del tiempo de espera en funcin del tiempo en lacola.

= a lbk+1

= 1 -l

m

r = factor de utilizacin para el sistema =l

m

=l

( - l)

=l2

( - l)

=1

m - l

=l

- l

Las ecuaciones 13-13 a 13-18 describen las caractersticasoperativas en los modelos multicanal que tienen llegadasde Poisson y tasas de servicio exponenciales, donde m = elnmero de canales abiertos.

(13-13)

Probabilidad de que no haya personas o unidades en elsistema.

(13-14)

Nmero promedio de personas o unidades en el sistema.

(13-15)

Tiempo promedio que pasa una unidad en la lnea de es-pera o recibiendo servicio (a saber, en el sistema).

(13-16)Nmero promedio de clientes o unidades en que esperanen la fila para recibir servicio.

(13-17)Tiempo promedio que pasa una persona o una unidad enla cola para recibir servicio.

(13-18)Tasa de utilizacin.

Las ecuaciones 13-19 a 13-22 describen las caractersticas opera-tivas de los modelos de un solo canal que tienen llegadas de Pois-son y tasas de servicio constantes.

(13-19)Longitud promedio de la cola.

(13-20)Tiempo de espera promedio en la cola

(13-21)Nmero promedio de clientes en el sistema.

(13-22)Tiempo de espera promedio en el sistema.

W = Wq +1m

L = Lq +l

m

Wq =l

2m(m - l)

Lq =l2

2m(m - l)

r =l

mm

Wq = W -1m

=Lq

l

Lq = L -l

m

W =m(l>m)m

(m - 1)!(mm - l)2P0 +1m

=L

l

L =lm(l>m)m

(m - 1)!(mm - l)2P0 +l

m

para mm 7 l

P0 =1

c an=m-1

n=0

1n!a lmbn d + 1

m!a lmbm mmmm - l

522 CAPTULO 13 MODELOS DE LNEAS DE ESPERA Y TEORA DE COLAS

Las ecuaciones 13-23 a 13-28 describen las caractersticas opera-tivas de los modelos de un solo canal que tienen llegadas de Pois-son y tasas de servicio exponenciales, as como poblacinpotencial finita.

(13-23)

Probabilidad de que el sistema est vaco.

(13-24)Longitud promedio de la cola.

(13-25)Nmero promedio de unidades en el sistema.

(13-26)Tiempo promedio en la cola.

Wq =Lq

(N - L)l

L = Lq + (1 - P0)

Lq = N - al + ml

b (1 - P0)

P0 =1

aN

n=0

N!(N - n)! a

l

mbn

(13-27)Tiempo promedio en el sistema.

(13-28)Probabilidad de n unidades en el sistema.

Las ecuaciones 13-29 a 13-31 son las ecuaciones de flujo de Lit-tle, que se pueden utilizar cuando exista una condicin de estadoestable.

(13-29)(13-30)(13-31) W = Wq + 1>m

Lq = lWq

L = lW

Pn =N!

(N - n)! al

mbnP0 para n = 0, 1, , N

W = Wq +1

Problemas resueltos

Problema resuelto 13-1La tienda Maitland Furniture recibe un promedio de 50 clientes por turno. La gerente de Maitland deseacalcular si debera contratar a 1, 2, 3 o 4 vendedores. Ella ha determinado que el tiempo de espera promedioser de 7 minutos con 1 vendedor, 4 minutos con 2 vendedores, 3 minutos con 3 vendedores y 2 minutoscon 4 vendedores. Ha estimado el costo por minuto que esperan los clientes en $1. El costo por vendedorpor cada turno (con prestaciones incluidas) es de $70.

Cuntos vendedores se deberan contratar?

SolucinLos clculos de la gerente son los siguientes:

NMERO DE VENDEDORES 1 2 3 4

a) Nmero promedio de clientes por turno 50 50 50 50b) Tiempo promedio de espera por cliente (minutos) 7 4 3 2c) Tiempo total de espera por turno (a b) (minutos) 350 200 150 100d) Costo por minuto de tiempo de espera (estimado) $1.00 $1.00 $1.00 $1.00e) Valor del tiempo perdido (c d) por turno $ 350 $ 200 $ 150 $ 100f) Costo del salario por turno $ 70 $ 140 $ 210 $ 280g) Costo total por turno $ 420 $ 340 $ 360 $ 380

Debido a que el costo total mnimo por turno corresponde a dos vendedores, la estrategia ptima de la ge-rente es contratar a 2 vendedores.

Problema resuelto 13-2Marty Schatz es dueo y gerente de un local de hot dogs y bebidas gaseosas cerca del campus. Aunque Mar-ty puede atender en promedio a 30 clientes por hora (), tan solo recibe a 20 clientes por hora (). Ya queMarty podra esperar un 50% ms de clientes que realmente visiten su tienda, pero para l no tiene sentidoalguno tener colas de espera.

Marty lo contrata a usted para que le ayude a examinar la situacin y para determinar algunas de lascaractersticas de la cola. Despus de estudiar el problema, encuentra que es un sistema M/M/1. Culesfueron sus resultados?