8/17/2019 Fórmulas de Taylor de Uso Frecuente

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Universidad de Costa Rica

Escuela de Matemática

Prof. Miguel Walker Ureña

Dpto. Matemática Aplicada

MA-1002: Cálculo 2

Ciclo 1-2014

Fórmulas de Taylor de uso Frecuente

A continuación una lista de Fórmulas de Taylor de uso frecuente

1. Exponenciales

ex = 1 + x + x2

2  +

 x3

3!  + · · · +

 xn

n!  +

  eθ xn+1

(n + 1)!  , θ  ∈ V   (0, x)

e−x = 1 − x + x2

2  −

x3

3!  + · · · +

 (−1)n xn

n!  +

 (−1)n+1 e−θ xn+1

(n + 1)!  , θ  ∈ V   (0, x)

2. Trigonométricas

sen(x) = x −x3

3!  +

 x5

5!  − · · · +

 (−1)n x2n+1

(2n + 1)!  +

 (−1)n+1 cos(θ)

(2n + 3)!  x2n+3 , θ  ∈ V   (0, x)

cos(x) = 1 − x2

2  +  x

4

4!  − · · · + (

−

1)n

x2n

(2n)!  + (

−

1)n+1

cos(θ)(2n + 2)!

  x2n+2 , θ  ∈ V   (0, x)

3. Hiperbólicas

senh(x) = x + x3

3!  +

 x5

5!  + · · · +

  x2n+1

(2n + 1)! +

  cosh(θ)

(2n + 3)! x2n+3 , θ  ∈ V   (0, x)

cosh(x) = 1 + x2

2  +

 x4

4!  + · · · +

  x2n

(2n)! +

  cosh(θ)

(2n + 2)! x2n+2 , θ  ∈ V   (0, x)

4. Geométricas

1

1 − x = 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn +

  xn+1

(1 − θ)n+2  , θ  ∈ V   (0, x)

1

1 + x = 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)nxn +

 (−1)n+1 xn+1

(1 + θ)n+2  , θ  ∈ V   (0, x)

5. Logaritmos

ln(1 + x) = x −x2

2  +

 x3

3  − · · · +

 (−1)n xn+1

n + 1  +

  (−1)n+1 xn+2

(n + 2)(1 + θ)n+2  , θ  ∈ V   (0, x)

ln(1 − x) =  −x − x2

2  − x

3

3  − · · · − x

n+1

n + 1 − x

n+2

(n + 2)(1 − θ)n+2  , θ  ∈ V   (0, x)

6. Tangentes inversas

arctan(x) = x −x3

3  +

 x5

5  − · · · +

 (−1)n x2n+1

2n + 1  +

  (−1)n+1 x2n+3

(2n + 3)(1 + θ)n+2  , θ  ∈ V   (0, x2)

arctanh(x) = x + x3

3  +

 x5

5  + · · · +

  x2n+1

2n + 1 +

  x2n+3

(2n + 3)(1 + θ)n+2  , θ  ∈ V   (0, x2)

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7. Binomial

(1 + x)α = 1 + α x + α(α − 1) x2

2

+ α(α − 1) (α − 2) x3

3!..

.+ α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n + 1)

 xn

n!

+ α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n + 1)(α − n) (1 + θ)α−n−1

(n + 1)!  xn+1, θ  ∈ V   (0, x)

Nota 0.1.  Se denota el binomialα

n

= α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n + 1)

  1

n!

entonces

(1 + x)α =

nk=0

αk

xk +

  α

n + 1

(1 + θ)α−n−1 xn+1, θ  ∈ V   (0, x)

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