Formulas de Integración

• 1.

• 2.

• 3.

Propiedades de la integral definida

Sean y . Entonces:

i) donde es cualquier constante.

ii)

Evalué

Evalué

Evalué

Puesto que el grado del numerador del integrando es igual al grado del denominador, se efectua la división larga:

Integrando equivalentemente:

Regla de la sustitución

Si es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I, es una función continua sobre I y es una antiderivada de sobre , entonces:

• Integral indefinida de la potencia de una función

• Evalué

y se hace la identificación:

y

• Evalue

Si , entonces ,luego

Evalué

Si se obtiene al despejar Luego:

Evalué

Si , entonces y .En consecuencia:

Formulas de Integración

Evalué

Evalué . Si y

Evalué

La integral dada no se ve como ninguna de las fórmulas de integración de la tabla anterior. No obstante, si el numerador y el denominador se multiplican por :

Evalué

Sea de modo que . Entonces:

• Evalué .

Si hacemos , entonces y .

Evalué

Si la sustitución con y

Evalué

Al factorizar del radical e identificar y tenemos:

Evalué

ES necesario comprobar que la integral no es de la forma Luego, al usar la fórmula de la mitad de un ángulo

1

La integral definida

• Sea una función definida sobre un intervalo cerrado .Entonces la integral definida de a , que se denota por se define como se define como:

El área como integral definida

Si es una función sobre el intervalo cerrado y para toda en el intervalo, entonces el área A bajo la gráfica sobre

Es:

Considere la integral

Teorema fundamental del cálculo: forma de antiderivada

Si es una función continua sobre un intervalo y es una antiderivada de sobre el intervalo, entonces:

Ejemplo

Evalué

Evalué

Evalué

Evalué

• Integración de una función continua Evalué donde:

• Sustitución en una integral definida

Evalué

a)Para evaluar la integral indefinida usamos y

Así:

Entonces:

b)Si , entonces implica mientras que con obtenemos . Asi:

Integración por partesFormula

Evalué

Solución. Primero la integral se escribe como:

A partir de esta última vemos que para la función hay varias opciones. De las posibles opciones para :

, o

Escogemos

y

Luego encontramos:

Al sustituir y se obtiene:

Evalué

De nuevo, hay varias opciones posibles para la función

, o

Aunque la elección es indudablemente el factor más complicado en el producto , esta opción se rechaza por que no coincide con ninguna fórmula conocida. De las dos funciones restantes anteriores, la mas “complicada” de modo que se escoge:

y

Asi por la formula de integración por partes:

Evalué

La elección no es prudente, puesto que no es posible integrar de inmediato esta función con base en un resultado previo conocido. Así escogemos:

• y

• y

Entonces:

Para evaluar la integral indefinida usamos de un ejemplo anterior la división larga: