formulario unidad 2, 3

7/25/2019 Formulario Unidad 2, 3

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Operaciones con matrices

Suma y resta

A B=[a

11 b

11 a

12 b

12 a

1 n b 1 n

a21

b21

a22

b22 a

2 n b 2 n

an 1

bn 1 an 2

bn 2

ann

bnn]

Multiplicacin por un escalar

k

[a b c

d e f

g h i ]=

[ka kb kc

kd ke kf

kg kh ki ]Multiplicacin de matrices

A=[a b c

d e f

g h i ] B=[ j k l

m n

o p q ]

a

bc

g

m p

m n

[

d

e

f

]n p

=

ad +de+ cf=g

Ordende las matrices (m x n ) (n x p )=m x p


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Transformaciones elementales por rengln

RmRn Intercambiar renglones.

Rm Multiplicar un rengln por un escalar.

Rm

El cociente entre un rengln y un escalar.

Rm R n Sumar o restar de dos renglones.

Rm Rn Sumar o restar a un rengln el producto de un escalar por otro rengln.

Nota: es comn la utilizacin de combinaciones entre las transformaciones ya citadas; sinembargo stas son las bsicas.

Determinante de una matriz de2 2

|A|=a11

a22a

21a

12

Determinante de una matriz de3 3

|A|=a11|

a22 a23a

32 a

33|a12|a21 a23a

31 a

33|+a13|a21 a22a

31 a

32|

Traspuesta de una matriz

Si A=

(a11 a12 a1 n

a21

a22

a2 n

am 1

am 2

amn), entonces A

T

=

(a 11 a21 am 1

a12

a22

am 2

a1 n

a 2n

anm)Inversa de una matriz por el mtodo algebraico


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A A1

=

A A1=(a11 a12a

21 a

22)(! x" # )=(1 00 1)

A A1

=(a11 ! + a12" a11x +a12#a21

! +a22

" a21

x + a22

#)=(1 00 1)

Inversa de una matriz por medio de la adjunta.

A1

= 1

det AAdj A

Inversa de una matriz de2 2

A1

= 1

det A ( a22 a12a21

a11)

a traspuesta de una matriz de cofactores es la matriz adjunta.

Adj A =

(+

|

A22 A23A

32

A33

|

|

A 21 A 23A

31

A33

| +

|

A21 A22A

31

A32

||A 12 A13A 32 A33| +|A

11 A

13

A31 A 33| |A

11 A

12

A31 A32|+|A12 A13A

22 A

23| |A 11 A 13A

21 A

23| +|A11 A12A

21 A

22|)

T


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Sistemas de ecuaciones lineales.

Tipos de sistemas:

CompatibleCuando tiene alguna solucin. Determinado: un nmero finito de soluciones. Indeterminado: conjunto infinito de soluciones.


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IncompatibleCuando no tiene ninguna solucin.

Interpretacin geomtrica de las soluciones.

Octantes.

1Ax+B"+$#=% 2A & x +B& "+$ & #=% &

Coincidentes. Paralelas. Secantes.

A

A=

B

B=

$

$=

%

% A

A=

B

B=

$

$'

%

%

A

A'B

B'$

$'%

%

Incompatible.

a1x+b1"=c1 "=m1 +n1 n1 'n2 Ordenadas diferentes

a2x+b2"=c2 "=m2+n2 m1=m2 Pendientes iguales

Compatible indeterminado.

"=a

1

b1+

c1

b1"=

a2

b2+

c2

b2n

1=n

2m

1=m

2

!liminacin "aussiana.


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n la eliminacin gaussiana se reduce por rengln la matri! de coeficientes a la formaescalonada por renglones por medio de las transformaciones elementales por rengln, sedespeja el "alor de la ltima incgnita # despu$s se usa la sustitucin %acia atr&s para lasdem&s incgnitas.

Algoritmo

'. Determine la primer columna (a la i!)uierda* no cero.+. Si el primer elemento de la columna es cero, interc&mbielo por un rengln )ue no

tenga cero.. Obtenga ceros abajo del elemento delantero sumando mltiplos adecuados a los

renglones debajo de $l.-. Cubra el rengln # la columna de trabajo # repita el proceso comen!ando en el paso

'. l t$rmino del ciclo entre el paso ' al - (cuando se %allan barrido todos losrenglones*, la matri! deber& tener forma de escaln.

/. Comen!ando con el ltimo rengln no cero a"ance %acia arriba para )ue en cadarengln tenga un ' delantero # arriba de $l )ueden slo ceros. Para ello deber&sumar mltiplos adecuados del rengln a los renglones correspondientes.

s importante obser"ar )ue en el m$todo de eliminacin 0aussiana:

1os pasos del ' al - aplicados repetidamente escalonan la matri!2 el paso / aplicado

repetidamente reduce la matri!. n el paso +, si el elemento no es cero no se reali!a intercambio. n el paso , los elementos )ue se %acen cero son slo los inferiores al pi"ote.

1Ax+B"+$#=%

2 (x +)"+*#=+

3x+,"+-#=.

[A B $ %

( ) * +

, - . ] [1 B $ %

0 1 * b

0 0 1 #]


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!liminacin de "auss#$ordan.

n la eliminacin de 0auss34ordan se reduce por rengln la matri! de coeficientes a laforma escalonada reducida por renglones por medio de las transformaciones elementalespor rengln.

l procedimiento es similar al proceso de la eliminacin gaussiana con ladiferencia )ue no solo elimina los t$rminos debajo de la diagonal principal sino tambi$n los)ue est&n sobre de ella.

Algoritmo.

'. Determine la primer columna ( a la i!)uierda* no cero.+. Si el primer elemento de la columna es cero, interc&mbielo por un rengln )ue no

tenga cero. 5ultiplicando apropiadamente al rengln, %&galo '. ste primer ' ser&llamado pi"ote.

. Obtenga ceros arriba # abajo del ' pi"ote sumando mltiplos adecuados a losrenglones debajo de rengln pi"ote en la matri! completa.

-. Cubra la columna # el rengln de trabajo # repita el proceso comen!ando en el paso' con la columna siguiente.

s importante obser"ar )ue en el m$todo de 0auss34ordan:

n la idea general, la matri! se "a escalonando # reduciendo a la "e!. n el paso +, si el elemento no es cero no se reali!a intercambio. n el paso , los elementos )ue se %acen cero no solo son los inferiores al pi"ote

(liminacin 0aussiana* sino tambi$n los superiores.

1Ax+B"+$#=%

2 (x +)"+*#=+

3x+,"+-#=.

[A B $ %

( ) * +

, - . ] [1 0 0 x

0 1 0 "

0 0 1 # ]


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%egla de &ramer.

l m$todo de Cramer consiste en utili!ar determinantes para encontrar las incgnitas de unsistema de ecuaciones lineales.

[a

11 a

12 a

1 n

a21

a22 a

2n

an 1

an2

ann] [

x1

x2

xn]=[

b1

b2

bn]

/=determinante de lamatri# general

/=

|

a11 a12 a1 n

a21

a22 a

2 n

an1

an 2

ann

|/x

1

=|b 1 a12 a1 n

b2

a22 a

2n

bn

an2

ann| x1= /x1/ /x2=|

a11 b1 a1 n

a21

b2 a

2 n

an 1

bn

ann|

x2

=/x

2

/


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/x n=|a11 a12 b1

a21

a22 b

2

an 1

an 2

bn| xn= /x n/

Nota: este mtodo es eficiente para matrices pe!ue"as de #asta3 3 $ para matrices de

un grado mayor se recomienda otro mtodo.

Mtodo de la matriz inversa

A 0=B

[a11 a12

a1 n

a21

a22 a

2n

an 1

an2

ann ] [x1x

2

xn]=[b1b

2

bn]A 0=BA

1 A 0 =A

1 B0=A

1 B

0=A

1

B

[x

1

x2

xn]=[

a11

a12 a

1 n

a21

a22 a

2 n

an1

an 2

ann]

1

[b

1

b2

bn]


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'ibliograf(a)

%ttp:66es.7i8ipedia.org67i8i65atri!9+;matemC'tica+ para los algoritmos de eliminacin 0aussiana # 0auss34ordan*

0rossman Stanle#, ?lgebra lineal, 5$=ico Df, 5c 0ra73@ill, Se=ta edicin, +>>A, p&gs. +# (tipos de solucin*, p&gs. < # '/ (resumen de la eliminacin 0aussiana # 0auss34ordan*,p&g.

formulario unidad 2, 3

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