formulario teoria de juegos final(1)

SIS -2610 A INVESTIGACION OPERATIVA II Aux. : Egr. Challapa Llusco Gustavo Solo con fines de avance para la clase de ayudanta

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FORMULARIO SIS-2610 A TEORA DE JUEGOS 1.- ELEMENTOS DE UN JUEGO:

A.- Cantidad de jugadores: 1.- Juego de 2 jugadores. 2.- Juego de n jugadores.

B.- Reglas Son las condiciones del juego.

C.- Resultados Son los posibles resultados de la combinacin de las estrategias del juego estos resultados pueden llegar a ser: -Ganancia -Perdida -Empate

D.-Estrategia Una estrategia es una secuencia de pasos completos para jugar un juego. Tipos de estrategias: Estrategias puras.- Es aquella estrategia que se elige con una probabilidad de xito del 100%

para el transcurso de todo el juego. Estrategias mixtas.- Es aquella en la cual no siempre se opta por el mismo curso de accin a lo

largo del juego. E.-Valor del juego Es el promedio de ganancias a lo largo de las mltiples jugadas, donde cada jugador indica cual es el beneficio o prdida a recibir. F.- Tcnicas

Conjunto de reglas mediante las cuales se intenta resolver el juego. G.- Matriz de pagos

Fig. 1

Interpretacin f(1,1)=2 : El jugador A gana 2 u.m., y el jugador B pierde 2 u.m. f(1,2)=5 : El jugador A gana 5 u.m., y el jugador B pierde 5 u.m. f(1,4)=4 : El jugador A gana 4 u.m., y el jugador B pierde 4 u.m. f(2,2)=-2 : El jugador A pierde 2 u.m., y el jugador B gana 2 u.m. f(3,3)=-6 : El jugador A pierde 6 u.m., y el jugador B gana 6 u.m. f(3,1)=0 : Nadie gana o pierde. 2.- TIPOS DE JUEGO

Juegos de suma cero Este juego se caracteriza porque un jugador gana lo que otro jugador pierde. Juegos de suma diferentes de cero En estos tipos de juegos es inusual que los competidores estn en un conflicto total, no se permite la cooperacin entre los jugadores.

3.- ESTRATEGIAS PURAS

3.1.- Punto silla Valor Maxi-Min =Valor Mini-Max

Para el jugador A su objetivo es Maximizar sus mnimas ganancias (Maxi-Min) Para el jugador B su objetivo es Minimizar sus mximas perdidas (Mini-Max)


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4.- ESTRATEGIAS MIXTAS

4.1.- MTODOS DE SOLUCIN

a) DOMINACIN El mtodo de dominacin consiste en reducir el tamao de la matriz de pagos eliminando filas y columnas segn

ciertas condiciones que son: Para el jugador A Para el jugador A se eliminara las filas que tengan todos sus elementos menores o iguales respecto a los elementos de otra fila ya que estos elementos representan menores ganancias que no son favorables para este jugador. Es decir: Si la (Fila Ai) es menor a (Fila Aj) entonces se elimina (Fila Ai) Si:

Ai Aj se elimina Ai Para el jugador B Para el jugador B se eliminara las columnas que tengan todos sus elementos mayores o iguales respecto a los elementos de otra columna ya que estos elementos representan mayores prdidas que no son favorables para este jugador. Es decir: Si la (Columna Bi) es mayor a (Columna Bj) entonces se elimina (Columna Bi) Si:

Bi Bj se elimina Bi Una vez reducida la matriz de pagos se verifica si existe punto silla Maxi-Min para el jugador A, Mini-Max para el jugador B, si existe punto silla entonces finaliza el juego, sino se aplica los siguientes mtodos: b) SOLUCIN GRAFICA

Si la matriz presenta las siguientes dimensiones: CASO 1: 2 x N (2 filas por N columnas) Pasos para su resolucin 1.- Dada la matriz de pagos

Fig. 2

Donde: x1 y x2 probabilidades de las estrategias del jugador A {a1, a2} y1, y2, y3,,yn probabilidades de las estrategias del jugador B {b1, b2, b3,.., bn} 2.- La matriz de la Fig. 2 se expresa mediante las siguientes ecuaciones

Estrategias para el jugador B Pago esperado para el jugador A

r1: 2112111 )( axaa

r2: 2212212 )( axaa

. .

rn: nnn axaa 2121 )(


3

3.- Graficar las ecuaciones r1, r2, r3,..,rn (donde 1x se evaluar solo entre [0 y 1] )Fig. 3

Fig. 3

4.- De esta grafica establecer el MaxiMin

5.- De la interseccin de las rectas ( ir , jr ) que cumplan MaxiMin igualar ir = jr y hallar 1x y luego hallar 2x con la

igualdad 12 1 xx

6.- Hallar el valor del juego V* reemplazando 1x en cualquiera de las dos ecuaciones ( ir o jr ) que se uso

7.- La estrategia ptima para el jugador A ser el valor ms alto de 1x o 2x

8.- Para hallar las estrategias ptimas del jugador B se usan las ecuaciones de la interseccin Fig. 4.

Fig. 4

t1 ikiikij ayaa t2 mkimkmj ayaa

9.- Igualar t1=t2 hallar iy para hallar ky se usa la siguiente ecuacin

iy + ky = 1

10.- Hallar el valor del juego V* reemplazando en cualquiera de las ecuaciones (t1 y t2).

11.- La estrategia optima para el jugador B ser el valor ms alto de iy o ky el resto de las estrategias ny son cero.

CASO 2: M x 2 (M filas por 2 columnas) Pasos para su resolucin 1.- Dada la matriz de pagos

Fig. 5

Donde: x1, x2, x3, , xm probabilidades de las estrategias del jugador A y1, y2 probabilidades de las estrategias del jugador B


4

2.- La matriz de la Fig. 5 se expresa mediante las siguientes ecuaciones:

Estrategias para el jugador B Pago esperado para el jugador A

s1 1211211 )( ayaa

s2 2212221 )( ayaa

. .

sm 2121 )( mmm ayaa

3.- Graficar s1, s2,, sm. (donde 1y se evaluar solo entre [0 y 1] )

Fig.6

4.- De esta grafica establecer el MiniMax

5.- De la interseccin de las rectas ( is , js ) que cumplan MaxiMin igualar is = js y hallar 1y y luego hallar 2y con la

igualdad 12 1 yy

6.- Hallar el valor del juego V* reemplazando 1y en cualquiera de las dos ecuaciones ( is o js ) que se uso

7.- La estrategia ptima para el jugador A ser el valor ms alto de 1y o 2y

8.- Para hallar las estrategias ptimas del jugador A se usan las ecuaciones de la interseccin Fig. 7.

u1 mjimjij axaa

u2 mkimkik axaa Fig. 7

9.- Igualar u1=u2 hallar ix para hallar mx se usa la siguiente ecuacin

ix + mx =1

10.- Hallar el valor del juego V* reemplazando en cualquiera de las ecuaciones (u1 o u2).

11.- La estrategia optima para el jugador A ser el valor ms alto de ix o mx el resto de las estrategias kx son cero

c) SOLUCIN ALGEBRAICA

Solo es aplicable para matrices 2x2


5

Para el jugador B, frente a las estrategias de A (De la matriz de pagos)

Para las estrategias

2121111 : qaqay (1)

2221212 : qaqay (2)

121 qq (3)

Igualar 1y con 2y

Finalmente

Resolver el sistema de ecuaciones hallar 1q y 2q y el mayor es la estrategia optima.

1

0

21

2221212111

qq

qaaqaa

Para hallar el valor de juego remplazar 1q y 2q en cualquiera de las ecuaciones 1y con 2y es decir:

*v = 1y = 2y

Para el jugador A, frente a las estrategias de B (De la matriz de pagos)

Para las estrategias

2211111 : papax (1)

2221122 : papax (2)

121 pp (3)

Igualar 1x con 2x

Finalmente

Resolver el sistema de ecuaciones hallar 1p y 2p y el mayor es la estrategia optima.

1

0

21

2222111211

pp

paapaa

Para hallar el valor de juego remplazar 1p y 2p en cualquiera de las ecuaciones 1x con 2x es decir:

*v = 1x = 2x

d) TCNICAS DE PROGRAMACIN LINEAL

Esta tcnica de programacin lineal sirve para resolver un juego Suma Cero de dos oponentes con una matriz de consecuencias de orden n,m (n,m >= 2)

JUGADOR A JUGADOR B

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