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Formulario Matemático CompletoTRANSCRIPT
FORMULARIO BÁSICODE
MATEMÁTICAS SUPERIORES
ÍNDICE
Geometría 1
Trigonometría 2
Números Complejos 6
Geometría Analítica del Espacio 6
Reglas Generales de Derivación 7
Tablas de Integrales 9
Vectores 13
Integrales Múltiples 14
Fórmulas Misceláneas 16
Tabla de Transformadas de Laplace 18
FORMULARIO DE MATEMÁTICAS
Geometría
Volumen 43
3 r
Área de la Superficie 4 2 r
Volumen r h2
Área de la superficie lateral 2 rh
r
h
Volumen 13
2 r h
Área de la superficie lateral r r h r l2 2
Volumen 13
2 2 h a ab b
Área de la superficie lateral
a b h b aa b l
2 2
h
a
b
l
TrigonometríaIDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
FUNCIONES DE UN ANGULO
FUNCIONES DE ANGULOS MULTIPLES
IDENTIDADES DE ÁNGULO TRIPLE:
Identidades de ángulo cuádruple:
Generalizando, para cualquier múltiplo de ángulo:(teorema de Moivre)
SUMA Y DIFERENCIA DE FUNCIONES
E XPRESIÓN DE UNA F UNCIÓN M EDIANTE O TRA (del mismo ángulo):
PRODUCTO DE FUNCIONES
POTENCIAS DE FUNCIONES
sen sen A A cos cos A A
Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C.
Ley de los senos
Ley de los cosenosc a b a b C2 2 2 2 cos
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
Ley de las tangentes
a ba b
tan A Btan A B
1212
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
A
B
C
a
c
b
Números Complejos
Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que
r i r p i pp pcos sen cos sen
Sea n cualquier entero positivo y , entonces
r i r in n kn
kncos sen cos sen 1 1 2 2
donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número complejo haciendo
Geometría Analítica del Espacio
Considerando P x y z1 1 1 1 , , y P x y z2 2 2 2 , ,
Vector que une P1 y P2 : PP x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1 , , , ,
Distancia entre dos puntos: d x x y y z z l m n 2 1
2
2 1
2
2 1
2 2 2 2
Recta que pasa por dos puntos:- Forma Paramétrica:
x x l t 1 y y mt 1 z z n t 1
-Forma Simétrica:
t x xl
1 t y y
m
1 t z zn
1
Cosenos Directores:
cos
x x
dld
2 1 cos
y y
dmd
2 1 cos
z z
dnd
2 1
donde , , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente.
Ecuación del Plano:- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a
1 2 3, , :
a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0
-Forma General:Ax By Cz D 0
cos cos cos2 2 2 1 o
Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0
en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.
Coordenadas cilíndricas:
x ry rz z
cossen
o
r x ytan
z z
yx
2 2
1
r
z
y
x
y
z
P(x,y,z)(r,z){
x
O
Coordenadas esféricas:
x ry rz r
sen cossen sencos
o r x y z
tan yx
zx y z
2 2 2
1
12 2 2
cos
z
y
x
y
P (r,{
(x,y,z)
O
z
r
x
Ángulo entre dos rectas en el plano tan
m m
m m2 1
1 21
Reglas Generales de Derivación
ddx
cx c
ddx
cx ncxn n 1
ddx
u v wdudx
dvdx
dwdx
ddx
cu cdudx
ddx
uv udvdx
vdudx
ddx
uvw u vdwdx
u wdvdx
v wdudx
ddx
uv
v dudx u dv
dxv
2
ddx
u nududx
n n 1
(Regla de la cadena)
Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas
ddx
ue
ududx
a aaalog
log, 0 1
Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas
ddx
uu u
dudx u u
dudx
si u
si usec
sec
sec
12 2
12
21
1
1
1
1
0
ddx
uu u
dudx u u
dudx
si u
si ucsc
csc
csc
12 2
12
21
1
1
1
1
0
0
Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas
ddx
u u dudx
coth csc h2
ddx
u u u dudx
sec sec tanhh h
ddx
u u u dudx
csc csc cothh h
ddx
uu
dudx
si u u
si u ucos
cosh ,
cosh ,h-1
1
1
0 1
0 12
1
1
ddx
uu
dudx
u o ucoth
12
11
1 1
ddx
uu u
dudx
si u u
si u usec
sec ,
sec ,h
h
h-1
1
1
0 0 1
0 0 12
1
1
ddx
uu u
dudx u u
dudx
si u si ucsc ,h-1
11
11
0 02 2
Tablas de Integrales
u dv uv v du csc cot cscu udu u C u du
nu C nn n
1
111
duu
u C ln cot ln senu du u C
e du e Cu u
a dua
aCu
u
lncsc ln csc cotudu u u C
sen cosudu u C dua u
ua
C2 2
1
sen
duu u a a
ua
C2 2
11
sec
csc cot2 udu u C dua u a
u au a
C2 2
12
ln
duu a a
u au a
C2 2
12
ln
a u duu
a ua
u a u C2 2 2 22
2 2
2 2 ln du
u a u aa u a
uC
2 2
2 21
ln
u a u duu
a u a ua
u a u C2 2 2 2 2 2 22
2 2
82
8 ln du
u a u
a ua u
C2 2 2
2 2
2
a u
udu a u a
a a uu
C2 2
2 22 2
ln du
a uu
a a uC
2 2 3 2 2 2 2
/
a uu
dua u
uu a u C
2 2
2
2 22 2
ln
a u du2 2
a u duu
a ua u
aC2 2 2 2
21
2 2 sen
dua u
u a u C2 2
2 2
ln
u dua u
ua u
au a u C
2
2 22 2
22 2
2 2 ln
a uu
du a u aa a u
uC
2 22 2
2 2
ln
a uu
duu
a uua
C2 2
22 2 11
sen u a duu
u aa
u u a C2 2 2 22
2 2
2 2 ln
u dua u
ua u
a ua
C2
2 22 2
21
2 2 sen
Cdu
u a u aa a u
uC
2 2
2 21
lnu a
udu u a a
au
C2 2
2 2 1 cos
duu a u a u
a u C2 2 2 2
2 21
u au
duu a
uu u a C
2 2
2
2 22 2
ln
duu a
u u a C2 2
2 2
ln
du
a u
u
a a uC
2 23
2 2 2 2
du
u u a
u aa u
C2 2 2
2 2
2
du
u a
u
a u aC
2 23
2 2 2 2
udua bu b
a bu a a bu C
12 ln u du
a bu ba b u abu a bu
2
32 2 22
158 3 4
duu a bu a
a bu a
a bu aC a
1
0ln , si
2 01
aa bu
aC atan , si
du
u a bu au
a buC
1
ln a buu
du a bu adu
u a bu
2
du
u a bu auba
a buu
C2 2
1
ln a buu
dua bu
ub du
u a bu
2 2
udu
a bua
b a bu ba bu C
2 2
1ln
u a bu du
b nu a bu na u a bu dun n n
2
2 332 1
du
u a bu a a bu aa bu
uC
2 2
1 1ln
u dua bu
u a bub n
nab n
u dua bu
n n n
2
2 122 1
1
du
u a bua bu
a n ub n
a ndu
u a bun n n
1
2 32 11 1
u a budub
bu a a bu C 215
3 22
32
udua bu b
bu a a bu
23
22
sen sen2 12
14 2udu u u C csc csc cot ln csc cot3 1
212u du u u u u C
cos sen2 12
14 2udu u u C sen sen cos senn
nn nu du u u
nn
u du 1 1 21
cos cos sen cosnn
n nu du u un
nu du
1 1 21
sen sen cos3 13
22udu u u C cot cot cotn n nudun
u u du
11
1 2
cos cos sen3 13
22u du u u C sec sec secn n nu dun
tanu unn
udu
11
21
2 2
csc cot csc cscn n nudun
u unn
u du
11
21
2 2
cot cot ln sen3 12
2u du u u C
sen sen
sen senau bu du
a b ua b
a b ua b
C
2 2sec sec lnsec3 1
212u du u tanu u tanu C
cos cos
sen senau budu
a b ua b
a b ua b
C
2 2
sen cos
cos cosau bu du
a b ua b
a b ua b
C
2 2u udu u u n u udun n ncos sen sen 1
u u du u u u Csen sen cos sen cosn mu u du
sen cos
sen cosn m
n mu un m
nn m
u u du1 1
21
sen cos
sen cosn m
n mu un m
mn m
u udu1 1
21
u u du u u u Ccos cos sen u u du
uu
u uCcos cos
1
21
22 14
14
u udu u u n u u dun n nsen cos cos 1
sen sen 1 1 21udu u u u Cu u du
nu u
u du
unn n
n
sen sen ,
1 1 1
1
2
11 1
1
cos cos 1 1 21udu u u u Cu udu
nu u
u duu
nn nn
cos cos ,
1 1 1
1
2
11 1
1
u u duu
uu u
Csen sen
12
122 1
414
ue dua
au e Cau au 112
ln lnudu u u u C
u e dua
u ena
u e dun au n au n au 1 1
u u du
un
n u Cnn
ln ln
1
211 1
e bu due
a ba bu b bu Cau
au
sen sen cos
2 2
1u u
du u Cln
ln ln
e bu due
a ba bu b bu Cau
au
cos cos sen
2 2
senh coshudu u C cosh senhudu u C
coth ln senhudu u C
22
22
2 22
1au u duu a
au ua a u
aC
cos
dua u u
a ua
C2 2
1
cos
u au u duu au a
au ua a u
aC2
2 36
22
22
23
1
cos
udu
au ua u u a
a ua
C2
22
2 1
cos
22
2
22 1a u u
udu a u u a
a ua
C
cos
duu a u u
a u ua u
C2
22
2
2 2 22
2
21a u u
udu
a u uu
a ua
C
cos
Vectores
A B A B cos 0
donde es el ángulo formado por A y B
A B A B A B A B1 1 2 2 3 3
donde A i j k A A A1 2 3 , B i j k
B B B1 2 3
Son resultados fundamentales:
Producto cruz: AxBi j k
A A AB B B
1 2 3
1 2 3
Magnitud del Producto Cruz AxB A B sen
El operador nabla se define así:
En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z) tienen derivadas parciales.
Gradiente de U = grad U
Divergencia de A = div A
Ax
Ay
Az
1 2 3
Rotacional de A = rot A
Ay
Az
Az
Ax
Ax
Ay
3 2 1 3 2 1i j k
Laplaciano de U =
Integrales Múltiples
F x y dydx
y f x
f x
x a
b,
( )
1
2
F x y dy dx
y f x
f x
x a
b,
( )
1
2
donde y f x 1 e y f x 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:
F x y dxdyx g y
g y
y c
d,
( )
1
2
F x y dx dyx g y
g y
y c
d,
( )
1
2
donde , son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G.
Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones.
s s t r t dta
t ( ) ( )
Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico .
En parámetro arbitrario: En parámetro s:
Vector tangente unitario
t tr tr t
( )( )( )
t s r s( ) ( )
Vector normal principal
n sr sr s
( )( )( )
Vector binormal
b sr s r s
r s( )
( ) ( )( )
x
Los vectores unitarios t n b, , forman un triedo positivo
b t n n b t t n b x x x, ,
Recta tangente en Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica
r r t r t 0 0
Plano osculador t n, en
Ecuación vectorial Ecuación paramétrica
r r t r t xr t 0 0 0 0
x x y y z zx y zx y z
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
Curvatura y Torsión
tr t r t
r tt
r t r t r tr t r t
x x
x3 2
s r s
Plano Normal
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
r r t r t 0 0 0 x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0
Plano Rectificante t b, en
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
r r t n t 0 0 0
x x y y z zx y z
y z y z z x z x x y x y
- - -0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración
aT a T a
.
aN a Nx a
.
Propiedades de la Divergencia
i) div ( + ) = div ( ) +div ( )ii) div ( ) = div( ) + ( grad ) iii) div ( + ) = G rot ( ) - ( )
Fórmulas misceláneas
Ecuaciones paramétricas de la cicloide para
Trabajo W
Longitud de arco de y f x en a b y dxa
b, ( ) 1 2
Centro de gravedad de una región plana ,
Longitud de arco en forma paramétrica
Momento de inercia de R respecto al origen
Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x
Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y
Cálculo del volumen
Ecuación diferencial de primer orden y P x y Q x( ) ( )Solución ye Q x e dx kP x dx P x dx( ) ( )( )
Ecuación del resorte helicoidal r t t tt
( ) cos ,sen ,2
Derivada direccional D f x y z f x y zu, , , , u (
u vector unitario)
Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC Lq RqC
q E t 1
Fuerza ejercida por un fluído
Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo F A x g A x g 2 20
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE
L
1
, es entero positivo
,
, es entero positivo
1
U
U
TRANSFORMADAS DE DERIVADAS
L
TRANSFORMADA DE INTEGRAL