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EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURAEN INGENIERÍA MECATRÓNICA

Dirección General Adjunta de los EGEL

NOVIEMBRE • 2013

formulario


ABRIL • 2013

EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURAEN INGENIERÍA MECATRÓNICA


NOVIEMBRE • 2013

formulario

Este Formulario es un instrumento de apoyo para quienes sustentarán el Examen General para el Egreso de Ingeniería Mecatrónica (EGEL-IMECATRO) y está vigente a partir de agosto de 2013. El Formulario para el sustentante es un documento cuyo contenido está sujeto a revisiones periódicas. Las posibles modificaciones atienden a los aportes y críticas que hagan los miembros de las comunidades académicas de instituciones de educación superior de nuestro país, los usuarios y, fundamentalmente, las orientaciones del Consejo Técnico del examen. El Ceneval y el Consejo Técnico del EGEL-IMECATRO agradecerán todos los comentarios que puedan enriquecer este material. Sírvase dirigirlos a:

Dirección General Adjunta de los EGEL Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura

Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A.C. Av. Revolución núm. 1570

Col. Guadalupe Inn Del. Álvaro Obregón

C.P. 01020 México, D.F. Tel: 01 (55) 5322-9200 Ext. 5110

http://www.ceneval.edu.mx Email: [email protected]

D.R. 2012 Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A.C. (Ceneval)

Segunda edición

Directorio

Dirección General Mtro. Rafael Vidal Uribe

Dirección General Adjunta de los Exámenes

Generales para el Egreso de la Licenciatura (EGEL) Lic. Jorge Hernández Uralde

Dirección del Área de Diseño, Ingenierías y Arquitectura

M. en C. Laura Delgado Maldonado

Coordinación del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Mecatrónica (EGEL-IMECATRO)

Lic. Claudia Myrna Rubio Pizarro

Consejo Técnico

Representantes de instituciones educativas

Dr. Ismael Osuna Galán Universidad Politécnica de Chiapas

Dr. Manuel Arias Montiel

Universidad Tecnológica de la Mixteca

Dr. Emmanuel Torres Ríos

Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla

Dr. Jorge Alejandro Manríquez Frayre

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey

M. en C Luis Ricardo Vidal Portilla Universidad Autónoma de Ciudad

Juárez

Mtro. Omar Aceves Suriano Universidad del Valle de México

Mtro. Sergio Rivera Vega Universidad La Salle

M. en C. Manuel Aparicio Razo

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla

M. en C. Juan Carlos Bretón Pozas Universidad Politécnica del Valle de

México

Dr. Eduardo Gamaliel Hernández MartínezUniversidad Iberoamericana

Dr. José Ramón Álvarez Bada Universidad Anáhuac del Norte

Dr. Héctor Méndez Azúa

Universidad Autónoma de San Luis Potosí

Dr. Aguilar Justo Marving Irving OmarUniversidad Politécnica de

Aguascalientes

Dr. Sergio Díaz Zagal Instituto Tecnológico de Toluca

Dr. Víctor Hugo Benítez Baltazar

Universidad de Sonora Mtra. Adriana Cecilia Avelar Dueñas Universidad de Guadalajara

Dr. Víctor Ayala Ramírez

Universidad de Guanajuato

Representantes de Colegios y Organizaciones Gremiales

M. en C. Braulio José Cruz Jiménez Asociación Nacional de Facultades y

Escuelas de Ingeniería, A. C.

g

Contenido

Integración de tecnologías para el diseño mecatrónico ........................................... 12

Esfuerzos y deformaciones ...................................................................................................... 12

Razón de Poisson .................................................................................................................... 12

Ley de Hooke generalizada ..................................................................................................... 12

Esfuerzos cortantes y deformación transversal ....................................................................... 12

Esfuerzos y deformación debido a torsión; potencia ............................................................... 12

Esfuerzos por flexión y cortante axial ...................................................................................... 13

Deflexión en vigas, método de integración .............................................................................. 13

Columnas ................................................................................................................................. 13

Comportamiento mecánico ...................................................................................................... 13

Motores/engranes .................................................................................................................... 13

Vida útil de un balero ............................................................................................................... 15

Momentos ................................................................................................................................ 15

Mecanismo biela manivela ....................................................................................................... 16

Coeficiente de Caudal .............................................................................................................. 17

Energía..................................................................................................................................... 17

Carga ....................................................................................................................................... 18

Corriente .................................................................................................................................. 19

Voltaje ...................................................................................................................................... 19

Resistencia............................................................................................................................... 19

Automatización de sistemas ........................................................................................ 28

Tabla de transformadas de Laplace ......................................................................................... 28

Teoremas de las transformadas de Laplace ............................................................................ 29

Expansión en fracciones parciales ........................................................................................... 29

Tipos de respuesta ................................................................................................................... 30

Regla de Mason ....................................................................................................................... 33

Controladores PID .................................................................................................................... 33

Tabla de propiedades de la transformada z ............................................................................. 37

Tabla de transformada –Z y Transformada –Z Modificada ...................................................... 38

Procesos de máquinas-herramientas ...................................................................................... 39

Configuraciones básicas de amplificadores operacionales ..................................................... 41

Puente de Wheatstone ............................................................................................................. 43

Coeficiente alfa de Cronbach ................................................................................................... 43

Cambios de base numérica ..................................................................................................... 43

Desarrollo y coordinación de proyectos mecatrónicos ............................................. 44

Células de manufactura ........................................................................................................... 44

Diseño de la estructura y configuración del sfm ...................................................................... 46

Calidad ..................................................................................................................................... 47

Redes (diagrama PERT) .......................................................................................................... 49

Toma de decisiones (árboles de decisión) ............................................................................... 49

Balanceo de líneas de ensamble ............................................................................................. 49

Balanceo de líneas con base en los operarios ........................................................................ 50

Secuenciación de tareas .......................................................................................................... 50

Inventarios................................................................................................................................ 50

Tiempo estándar ...................................................................................................................... 52

Punto de equilibrio ................................................................................................................... 52

Ingeniería económica ............................................................................................................... 52

Rotación de inventarios ............................................................................................................ 53

Análisis de la deuda ................................................................................................................. 54

Análisis de la rentabilidad ........................................................................................................ 54

Análisis de la liquidez ............................................................................................................... 54

Contabilidad ............................................................................................................................. 55

Estadística para la administración de operaciones .................................................................. 55

Anexos ........................................................................................................................... 59

Matemáticas ............................................................................................................................. 59

Física........................................................................................................................................ 89

Análisis dimensional y teoría de semejanza .......................................................................... 100

Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Mecatrónica (EGEL-IMECATRO)


12

Integración de tecnologías para el diseño mecatrónico

Esfuerzos y deformaciones

A

F=σ ; d

YFSσσ

= ; L

δε = ; εσ E= ; AE

PL=δ

Razón de Poisson

l a t

l o n g

εν = −

ε

Ley de Hooke generalizada

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

( )ν+=

τ=γτ=γτ=γ

σ+σν−σ=ε

σ+σν−σ=ε

σ+σν−σ=ε

12

1 ,

1 ,

1

1

1

1

EG

dondeGGG

E

E

E

zxzxyzyzxyxy

yxzz

xzyy

zyxX

Esfuerzos cortantes y deformación transversal

x

z

x

Y

εε

εεν −=−= ; γτ G=

Esfuerzos y deformación debido a torsión; potencia

J

Tc=τ ; JG

TL=φ ; ωTP = ; fπω 2=



13

Esfuerzos por flexión y cortante axial

I

My−=σ ; It

VQ=τ

Deflexión en vigas, método de integración

EI

xM

dx

yd )(2

2

=

Columnas

2

2

L

EIPcr

π= ; 22

2

=

rL

E

e

cr

πσ

Comportamiento mecánico

0A

F=σ ; 0

0

l

ll −=ε ; εσ E= ; AE

FLl =Δ ;

100% ×

−=

o

fo

A

AARA ; 100% ×

−=

o

of

l

llEl

22

3

wh

FLflexión =σ ;

)(

222

iDDDD

FHB

−−=

π;

afK πσ= ;

−−=

m

VF0

exp1)(σσ

;

nKCdN

da)(Δ= ; ( )

1000l n

TLM A B t

= +

; A

Ft =σ ;

=

f

ot A

Alnε ; n

tt kεσ = ;

Motores/engranes

=

33000

τωHPP

pN

D =

P =potencia (horse power) T =torsión (par) lb·in N =revoluciones por minuto (rpm) D =diámetro de paso (in) ω =velocidad angular (rpm)



14

p =paso diametral

Módulo N

Dm =

m=módulo del engranaje D=diámetro de paso N=número de dientes

Relación de velocidades e

s

v Ds

De

Ns

Nem

ωω===

mv =relación de velocidades Ne =número de dientes en el engrane de entrada Ns = número de dientes en el engrane de salida De =diámetro de paso del engrane de entrada Ds = diámetro de paso del engrane de salida ωe = velocidad angular del engrane de entrada ωs = velocidad angular del engrane de salida

Fuerza tangencial en un engrane recto N

pT

r

TWt

2==

Wt =fuerza tangencial T =torque r = radio de paso N =número de dientes p =paso diametral

Vibraciones mK

Frecuenciaresonancia =

441

3 2 2

DJ R

π= = π

ML

JGθ =

Mr

Jτ = 4 4 4 4

2 16E E

max,e je huecoE I E I

MR MD

(R R ) (D D )τ = =

π − π −

2P M f= π 3 3

2 1 6m a x

M R M M

J R Dτ = = =

π π



15

τ = esfuerzo cortante por torsión θ = deformación (ángulo de torsión) D = diámetro de la flecha F = frecuencia en revoluciones por segundo (también llamados hertz) G = módulo de elasticidad para cortante J = momento polar de inercia L = longitud de la flecha M = par interno en N⋅m o lb⋅in P = potencia transmitida en watts (N·m/s) R = distancia del plano neutro al punto interior de interés ( Rr ≥ ) R = radio de la flecha conversión de grados a radianes: multiplicar por 0.0175 conversión de radianes a grados: multiplicar por 57.3 1 HP = 33 000 lb·ft/min (caballo de potencia) 1 CV = 736 W (caballo de vapor)

Vida útil de un balero

L10=(C/P)^p

En donde: L10 vida nominal básica en millones de revoluciones C capacidad de carga dinámica(N) P capacidad dinámica equivalente (N) p= 3 para rodamientos de bolas p= 10/3 para rodamientos de rodillos

Momentos

M= F*d En donde: F fuerza aplicada d distancia perpendicular de la línea de acción de la fuerza al punto de aplicación



16

Mecanismo biela manivela

Velocidad Media: Vm= 2ƌR/ƌ Donde: Vm velocidad media

Ƌ velocidad de giro de la manivela R brazo de la manivela

Velocidad Máxima

VM= ƌR Donde: Ƌ velocidad de giro de la manivela

R brazo de la manivela Resorte helicoidal de torsión (El ángulo de torsión α se debe expresar en grados) Torsión máxima permanente ( ) ( )=

σα

f f perm

máx

lS

fE

57.3

Carga máxima permanente ( )=

f f perm

máx

SF

a

σ

Torsión (desplazamiento angular) ( )

=α57 3 Fal

lE

.

Longitud de una espira α=(57.3)

lEl

Fa



17

Coeficiente de Caudal

Cuando el flujo pasa a través de una válvula u otro dispositivo restrictivo pierde una energía. El coeficiente de caudal es un factor de diseño que relaciona la diferencia de altura (∆h) o presión (∆P) entre la entrada y salida de la válvula con el caudal (Q).

PQ K

SG

Δ= ⋅ (Líquidos)

Q: Caudal ∆P: Diferencia de presión SG: Gravedad específica (1 para agua) K: Coeficiente de caudal o Cv

Energía

Energía en una resistencia La energía W consumida en un tiempo t, para entregar una potencia constante P disipada en una resistencia R atravesada por una corriente I con una caída de Voltaje V: W = P t = V I t = V2 t / R = I2 R t = = = = Para obtener el resultado en calorías, y como 1 cal = 4 186 J, resulta: Energía almacenada en el campo capacitivo La energía W almacenada en el campo de una capacidad C para alcanzar un voltaje V con una carga Q es: W = C V2 / 2 = Q V / 2 = Q2 / 2 C Energía almacenada en el campo inductivo



18

La energía W almacenada en el campo de una inductancia L para llevar una corriente I con un flujo concatenado Y: W = L I2 / 2 = Y I / 2 = Y2 / 2 L Donde el flujo concatenado Y es igual al producto del número de vueltas N de la inductancia por el flujo magnético F: Y = N F = L I

Carga

Es una propiedad que tienen algunas de las partículas de los átomos que forman la materia. Se dice que los materiales están cargados cuando, por algún motivo, tienen un exceso o defecto de carga. * Hay dos tipos de carga: positiva ( + ) y negativa ( − ). Dos cargas con el mismo signo se repelen y con distinto signo se atraen, y su fuerza de atracción crece con la cantidad de carga y decrece con la distancia según la ley de Coulomb: * La constante dieléctrica relativa εr depende del material. Para el aire (o para el vacío) vale 1. Campo eléctrico Es la fuerza eléctrica por unidad de carga. Para una carga puntual q, el campo eléctrico viene dado por: Campo eléctrico Líneas de fuerza (o de campo)

2

212

00

2

29 1085,8 ,

4

1 109

mN

C

C

mNk

⋅⋅==⋅⋅= −ε

πε

Coulomb deLey 2

21 ←⋅

⋅=r

qqkF

rε

( ) ( ) [ ]metro

Volt

Coulomb

NewtonE

q

p

=== rFrE

( ) 2r r

QkrE ⋅=ε



19

Son todas las trayectorias que describiría una carga de prueba si la soltáramos cerca de la carga que produce el campo. - Líneas de fuerza de un dipolo - Las líneas de campo siempre van de ( + ) → ( − ) Potencial eléctrico Es la energía potencial eléctrica por unidad de carga. Diferencia de potencial Puede interpretarse como el trabajo que debe entregarse a una carga unitaria para moverla desde el punto 1 hasta el punto 2. Por lo tanto, indica qué posibilidad tiene una carga de ir desde un punto a otro, ya que es la energía potencial que tiene en un punto referido a la que tiene en el otro. Para un campo eléctrico constante se tiene: Diferencia de potencial entre dos placas planas paralelas:

Corriente = ( ) = ( )

Voltaje =

Resistencia

=R resistencia )(Ω

A

LR ρ=

[ ] voltr

QkV

r

=⋅= V ε

A

QddEV

r ⋅⋅⋅=⋅=Δ

0

1

εε

V = V2− V1 ΔV = E ⋅ d; [ V ]



20

=ρ resistividad del conductor

⋅Ωm

mm2

=L longitud )(m

=A área )( 2m Variación de la resistencia con la temperatura

( )[ ]122 1 ttRR −+= α Por relaciones de resistencia

T

tT

tT

R

R

11

2

1

2

=

++=

α

=α coeficiente de corrección por temperatura Inductancia

vdt

de

τ= vdt

diLe =

=e voltaje inducido en voltios

=dt

dτvelocidad del flujo )/( segvtaswb −

=dt

divelocidad de la corriente )/( segAmp

=L inductancia )(Henrios Enlace de flujo, voltaje inducido

LI=Ψ

=Ψ enlaces de flujo )( vtaswb −

=L inductancia )(Henrios

=I corriente )(Amperes

Ψ= ωjV2

1212 I

MΨ

=

=V voltios =ω velocidad angular )/( segrad



21

=12M inductancia mutua )(H Enlaces de flujo interno e inductancia en conductor

7int 10

2−×=Ψ I

………..… )/( mvtaswb −

7int 10

2

1 −×=L ………….... )/( mH

Inductancia entre dos puntos externos de un conductor

1

2712 ln102

D

DXL −= …… )/( mH

=D distancia )(m

Inductancia de una línea monofásica

1

71 ln102

r

DXL

′= − ………. )/( mH

2

72 ln102

r

DXL

′= − ………. )/( mH

21 LLL +=

r

DXL

′= − ln104 7 ………. )/( mH


=D distancia )(m

4

1−=′ rer =r radio conductor )(m

Inductancia de una línea monofásica con conductores compuestos

( )( ) ( )( )( ) ( )2

72 10 aa ab ac am ba bb bc bm na nb nc nmx

naa ab ac an ba bb bc bm na nb nc nn

D D D ...D D D D ...D ... D D D ...DL ln

D D D ...D D D D ...D ... D D D ...D

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′−= × ×

S

my D

DXL ln102 7−= ………. )/( mH

yx LLL +=



22


=xL inductancia lado x )(Henrios

=yL inductancia lado y )(Henrios

cabaaa DDD ′′′ distancia mutua )(m

41−=′= errD aaaa distancia propia )(m

41−=′= errD bbbb

41−=′= errD cccc

=mD distancia media geométrica entre conductores )(m

=sD distancia media geométrica propia (radio medio geométrico)

Reactancia inductiva en líneas monofásicas

2LX fL= π

s

mL D

DfX ln104 7−×= π ………. )/( mΩ

Por tablas

daL XXX += ………. )/( miΩ

=aX reactancia inductiva a 1 ft espaciamiento miΩ

=dX factor de espaciamiento )/( miΩ Motor de Corriente Continua Vt=Vc+Ia*Ra En donde: Et: Voltaje en las terminales de la armadura Vc: Fuerza contra electromotriz Ia: Corriente en la armadura Ra: Resistencia de la armadura



23

Circuito Oscilador LM555

= 10.693( + 2 )

= 0.693( + 2 ) = 0.693



24

El Transistor Circuitos de Polarización de Transitores Bipolares

Polarización de corriente de Base

= −+ (1 + ℎ )

= ℎ = − + 1 + ℎℎ

Si ≪ (ℎ ≫ 1) = −+ ℎ

= − ( + ) Polarización de tensión de base constante

= −+ (1 + ℎ )

= ℎ = − + 1 + ℎℎ

Autopolarización

Identicas formulas al caso anterior, siendo = || = +

= +

Polarización de colector base = −+ (1 + ℎ )( + ) = ℎ = El transistor nunca entra en saturación



25

Filtros Activos Filtro Pasa Bajo de Primer Orden

= 1 +

= +

= − 1

=

Filtro PB de segundo Orden (MFB)

=

=

= 2( + 1)+ ( − 4 ( + 1))

= 1



26

Filtro Pasa Bajos de 2º orden = 1 +

= 1+ ( + 4 ( + 1) − 4 )

= 1

= ( + )− 1 ; > 1

= ( + ) Filtro PA de primer orden = 1 +

= 1

= − 1 ; > 1

= = +

Filtro PA de 2º Orden (MFB)

=

= 1(2 + )

= (2 + )

= 10



27

Filtro PA de 2º Orden (VCVS)

= 1 +

= 4+ ( + 8 ( + 1))

=

= − 1 ; > 1

= = 10

Filtros Pasa Banda (MFB)

< 2 =

= 2 −

= 2

= 2

= − = − =

= ( ) Filtros Rechazo de Banda

= 12



28

= 2

= +

Automatización de sistemas

Tabla de transformadas de Laplace

Impulso unitario ( )tδ 1

Impulso ( )tAδ A

Escalón unitario ( )tu s

1

Escalón ( )tAu s

A

At

2s

A

A nt 1

!+ns

An

A te α− α+s

A

Asen ωt

22 ωω

+s

A



29

Acos ωt

22 ω+s

As

Teoremas de las transformadas de Laplace

L [ ] )()()()( 2121 sFsFtftf ±=±

L )0()0(...)0()0()()( 12121 −−−− −−−−−=

nnnnnn

nfsffsfssFs

dt

tfd

Donde 0),()0(1

11 == −

−− tatf

dt

df

n

nn

L s

f

s

sFtf

)0()()(

1−+=

s

sFtf

t )()(

0=

L [ ] )()( αα +=− sFtfe t

L ( ) ( )[ ] )(sFetutf sααα −=−−)()(

0ssFLimtfLim

st ∞→→=

)()(0

ssFLimtfLimst →∞→

=

L{ } )()1()( sFds

dtft

n

nnn −=

Expansión en fracciones parciales

CASO 1

))...()((

))...()((

)(

)()(

n

m

pspsps

zszszsK

sA

sBsF

++++++==

21

21 donde: 1 2

1 2

m

n

z , z ,..., z ceros

p , p ,..., p polos

m n

− − − →− − − →

<

)(...

)()()(

n

n

ps

a

ps

a

ps

asF

+++

++

+=

2

2

1

1 donde: ( )1 2ka k , ,...n=

constantes

( )kps

kk sA

sBpsa

−=

+=

)(

)(

CASO 2

))...()((

))...()((

)(

)()(

n

m

pspsps

zszszsK

sA

sBsF

++++++==

21

21 donde: 1 2

1 2

m

n

z , z ,..., z ceros

p , p ,..., p polos

m n

− − − →− − − →

<

repetidospolos

ri

r

ii

diferentespolos

rn

n

ps

b

ps

b

ps

b

ps

a

ps

a

ps

asF

)(...

)()()(...

)()()(

221

2

2

1

1

+++

++

++

+++

++

+=

−



30

( )ips

rir sA

sBpsb

−=

+=

)(

)(

( )ips

rir sA

sBps

ds

db

−=−

+=

)(

)(1

( )ips

rir sA

sBps

ds

db

−=−

+=

)(

)(

!2

12

2

2

…

( )ips

rir

r

sA

sBps

ds

d

rb

−=−

−

+

−=

)(

)(

)!1(

11

1

1

CASO 3

))()((

))...()((

)(

)()(

jsjsps

zszszsK

sA

sBsF m

β−α+β+α+++++== 21 donde:

realpolop

complejospolosj

ceroszzz m

→

→β±α−→−−− ,...,, 21

22)()(

βα ++++

+=

s

cbs

ps

asF ( )( ) jTS

sA

sBssR pp

jsp +=++=

+−= βαβα

)(

)()( 22

[ ]tSenStCosTeaetf pptpt ββ

βα ++= −− 1

)(

CASO 4 st1

st1e

o21

o21

st o

+

−=−

Tipos de respuesta

Respuesta al escalón de sistemas de primer orden

y(t) = 1− e−

t

τ Respuesta al escalón de sistemas de segundo orden

1. Subamortiguado 0 1< <ζ , raíces complejas conjugadas

2. Críticamente amortiguado ζ =1, raíces reales e iguales

3. Sobreamortiguado ζ >1, raíces reales y diferentes

4. No amortiguado ζ = 0 , raíces imaginarias puras



31

Especificaciones de la respuesta transitoria

Tiempo de retardo (Td) Es el tiempo que tarda la respuesta del sistema en alcanzar por primera vez la mitad del valor final. Tiempo de crecimiento (Tr) Es el tiempo requerido para que la respuesta crezca de 0 a 100% de su valor final o de 10 a 90%.

Tr =π − β

ω d

;β = tan−1 ω d

ζω n

Si ζ = 0 → y(t) = 1− cos(ωdt)

Si 0<ζ < 1→ y(t) = 1− e−ζωnt cos(ωdt) +ζ

1− ζ 2sen(ωdt)

Si ζ = 1→ y(t) = 1− e−ωnt − ωnte−ωnt

Si ζ > 1→ y(t) = 1+ωn

2 ζ 2 − 1

e− s1t

s1

−e− s2 t

s2



32

Tiempo de pico (Tp) Es el tiempo en el cual la respuesta del sistema alcanza el primer pico del sobreimpulso.

Tp =π

ωd

Máximo sobreimpulso (Mp) Es el valor pico máximo de la respuesta medido desde la unidad.

Mp = e−

ζ

1−ζ 2

π

Tiempo de establecimiento (Ts) Es el tiempo requerido por la curva de respuesta para alcanzar y mantenerse dentro de determinado rango alrededor del valor final especificando en porcentaje absoluto del valor final. Se usa generalmente 5% o 2%

Para un criterio de 2%, Ts =4

ζωn

Para un criterio de 5%, Ts =3

ζωn



33

Regla de Mason La función de transferencia entre una entrada U(s) y una salida Y(s) está dada por:

y donde:

= ganancia de la trayectoria directa i-ésima entre yentrada y ysalida

= determinante del sistema = 1 - (ganancia de todos los lazos individuales) +

(productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos que

no se tocan) - (productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos que no se tocan) +...

= el valor de para aquella parte del diagrama de bloques que no toca la k-ésima trayectoria directa

Controladores PID

Estructura ideal

donde: E(s)=R(s) - Y(s) R(s) es la transformada de Laplace de la referencia Y(s) es la transformada de Laplace de la variable de proceso controlada U(s) es la transformada de Laplace de la variable de manipulación Fórmulas para sintonización por el método de Ganancia Última.

ΔΔ

==i

iiG1

)s(U

)s(Y)s(G

iG

Δ

iΔ Δ

τ+

τ+== s

s

11K

)s(E

)s(U)s(Gc D

ic

GananciaProporcional

TiempoIntegral

TiempoDerivativo

Tipo de ControladorKc τi τd

ProporcionalP Ku/2 --- ---

Proporcional –Integral PI Ku/2.2 Tu/1.2 ---

Proporcional –Integral-Derivativo PID Ku/1.7 Tu/2 Tu/8



34

Sintonización por criterios integrales para cambios en perturbación para un PID ideal

donde: K= ganancia del proceso de primer orden,τ= constante de tiempo,

to = tiempo muerto

PPRROOPPOORRCCIIOONNAALL –– IINNTTEEGGRRAALL

ISE IAE ITAE

959003051

.t

K

.Kc

−

τ

=9860

09840.

t

K

.Kc

−

τ

=9770

08590.

t

K

.Kc

−

τ

=

73900

4920

.

it

.

τ

τ=τ7070

0

6080

.

it

.

τ

τ=τ6800

0

6740

.

it

.

τ

τ=τ

PPRROOPPOORRCCIIOONNAALL –– IINNTTEEGGRRAALL –– DDEERRIIVVAATTIIVVOO

ISE IAE ITAE

945004951

.t

K

.Kc

−

τ

=9210

04351.

t

K

.Kc

−

τ

=9470

03571.

t

K

.Kc

−

τ

=

77100

1011

.

it

.

τ

τ=τ7490

0

8780

.

it

.

τ

τ=τ7380

0

8420

.

it

.

τ

τ=τ

006105600

.

dt

*.

τ

τ=τ1371

04820.

dt

*.

τ

τ=τ9950

03810.

dt

*.

τ

τ=τ



35

Sintonización por criterios integrales para cambios en referencia para un PID ideal

PPRROOPPOORRCCIIOONNAALL –– IINNTTEEGGRRAALL

IAE ITAE

861007580

.t

K

.Kc

−

τ

=9160

05860.t

K

.Kc

−

τ

=

τ

−

τ=τ03230021

t*..

i

τ

−

τ=τ01650031

t*..

i

PPRROOPPOORRCCIIOONNAALL –– IINNTTEEGGRRAALL –– DDEERRIIVVAATTIIVVOO

IAE ITAE

869000861

.t

K

.Kc

−

τ

=8550

09650.t

K

.Kc

−

τ

=

τ

−

τ=τ01300740

t*..

i

τ

−

τ=τ014707960

t*..

i

914003480

.

dt

*.

τ

τ=τ92920

03080.

dt

*.

τ

τ=τ



36

Aportación de magnitud y fase para cada término de la función de transferencia



37

Tabla de propiedades de la transformada z

)(tx o )(kx [ ])(txZ o [ ])(kxZ

1. )(tax )(zaX

2. )()( 21 tbxtax + )()( 21 zbXzaX +

3. )( Ttx + o )1( +kx )0()( zxzzX −

4. )2( Ttx + )()0()( 22 TzxxzzXz −−

5. )2( +kx )1()0()( 22 zxxzzXz −−

6. )( kTtx + )(...)()0()( 1 TkTzxTxzxzzXz kkk −−−−− −

7. )( kTtx − )(zXz k−

8. )( knx + )1(...)1()0()( 1 −−−−− − kTzxxzxzzXz kkk

9. )( knx − )(zXz k−

10. )(ttx )(zX

dz

dTz−

11. )(kkx )(zX

dz

dz−

12. )(txe at− )( aTzeX

13. )(txe ak− )( azeX

14. )(kxak

a

zX

15. )(kxkak

−

a

zX

dz

dz

16. )0(x )(

limzX

z ∞→ si el límite existe

17. )(∞x [ ])()1(1

lim 1 zXzz

−−→

Si )()1( 1 zXz−− es analítica sobre y

fuera del círculo unitario. 18. )1()()( −−=∇ kxkxkx )()1( 1 zXz−−

19. )()1()( kxkxkx −+=Δ )0()()1( zxzXz −−

20.

0

n

k

x(k )= )(

1

11

zXz −−

21.

22.

),( atxa∂∂

),( azXa∂∂

)(kxk m

)(zXdz

dz

m

−



38

23.

24.

Tabla de transformada –Z y Transformada –Z Modificada

Función en el

dominio delTiempo, f(t)

Transformada deLaplace,

F(s)

Transformada Z, F(z) Transformada Z modificada, F(z,m)

1(t)

1

s

1

1

1 z−−

1

11

z

z

−

−− t

2

1

s

1

1 21

Tz

( z )

−

−−

1 2

1 1 21 1

mTz Tz =

z ) ( z )

− −

− −− − 2t

3

2 !

s

2 1 1

1 3

1

1

T Z ( z )

( z )

− −

−+

−

2 1 2 3

1 1 2 1 32 1 2

21 1 1

m z ( m )z z

z ( z ) ( z )T

− − −

− − −

++ + − − −

1nt −

1−n

(n )!

s

11

0 1 1

11

1

−−

→ − − −

∂ − ∂ −

nn

a n a tl i m ( )

a e z

1 11

0 1 11

1

− − −−

→ − − −

∂− ∂ −

n a m Tn

a n a t

e zl i m ( )

a e z

−a te 1

+s a 1

1

1 − −− a te z

1

11

− −

− −−

a m T

a t

e z

e z

1 − −−−

a t b t(e e )b a

1

+ +(s a) (s b)

1 1

1 1 1

1 1− − − − − − − − a T b tb a e z e z

1

1 11 1

− − −

− − − −

− − − −

a m T bm T

aT b t

z e e

b a e z e z

( )11 −− a te

a

1

+s(s a)

1

1 1

11

1 1

− −

− − −

−

− −

a t

a T

( e )za

( z ) ( e z )

1

1 1

1

1 1

− −

− − −

− − −

a m T

a T

z e

a ( z ) e T z

1 1 − −−

aTet

a a 2

1

+s (s a)

1 1

1 2 1 1

1 1

1 1 1

− − −

− − − −

−− − − −

aT

aT

Tz ( e )z

a ( z ) a( z ) ( e z )

1

1 2 1 1

1

1 1 1

a mT

a t )

z T a mT e

a ( z ) a( z ) a( e z

− −

− − − −

−+ +

− − −

=

−n

k

kTnTykTx0

)()()()( zYzX

∞

=0

)(k

kx)1(X



39

2

11 −

−+

+ −

a t

(a b) bt

aab

ea a

2

++

s b

s (s a) 1 2 1 1

1

1 1 1

−

− − − −

− −+ − − −

aT

aT

z bT (a b) ( e )

a ( z ) a( z ) ( e z )

1

1 1 2 1

1

11

1 1

1

a m T

a T

b T z bb m T

az ( z ) z

a b a e( )

a e z

−

− − −

−

−

+ + − − − − + −

Procesos de máquinas-herramientas

Torneado

cp c

L dt

a v

⋅= ⋅

π; cv

nd

=⋅π

; cv f n= ⋅ ; c pMRR v f a= ⋅ ⋅ ; ( )1tan D d

θ2 L

− −=

⋅

ap = profundidad de corte (m) tc = tiempo de corte (min) MRR = tasa de remoción de material (m3/min) n = velocidad de avance (rpm) f = alimentación del material (m/rev) L = longitud a tornear (m) d = diámetro de acabado (m) vc = velocidad de corte (m/min) θ = ángulo de giro D = diámetro mayor (m) Fresado

e p fMRR a a v= ⋅ ⋅ ; ( )1tan D d

θ2 L

− −=

⋅; f

c

vn

D

= π ⋅

; f c zv n z f= ⋅ ⋅

ap = ancho de corte axial (m) ae = ancho de corte radial (m) vf = velocidad de avance (m/min) Dc = diámetro de la herramienta (m) n = velocidad del husillo (rpm) zc = número efectivo de dientes fz = avance (m/diente) Taladrado

cc

d Lt

f v

π ⋅ ⋅=⋅ ⋅1000

; L t m= + ; m d= ⋅0.3

tc = tiempo de corte (min) d = diámetro de la broca (mm) L = recorrido total de la broca (mm) vc = velocidad de corte (m/min) f = avance por revolución de la broca (mm/rev) t = espesor de la pieza o profundidad de orificio (mm)



40

m = espacio muerto (mm) Equivalencia de elementos de sistemas dinámicos

Tipo de Sistema

Mecánico Traslacion

al

Mecánico Rotacional

Eléctrico Flujo Térmico

Variable tipo A

Velocidad, Velocidad, Voltaje, Presión, Temperatura

,

Elemento tipo A

Masa, Momento de

Inercia, Capacitor,

Flujo del Capacitor,

Capacitor Térmico,

Ecuaciones Elementales = = = = =

Energía Almacenada

Cinética Cinética Campo

Eléctrico Potencial Térmica

Ecuaciones de Energía ℰ = 12 ℰ = 12 ℰ = 12 ℰ = 12 ℰ = 12

Variable tipo T

Fuerza, Torque, Corriente, Tasa de Flujo,

Flujo de Calor,

Elemento tipo T

Esfuerzo, 1/k

Esfuerzo, 1/k Inductor, L Tensor de Inercia, I

Ninguno

Ecuaciones Elementales = 1 = 1 = = Ninguno

Energía Almacenada

Potencial Potencial CampoMagnético Cinética

Ecuaciones de Energía ℰ = 12 ℰ = 12 ℰ = 12 ℰ = 12

Elemento tipo D

Amortiguador, AmortiguadorRotacional, Resistor, Resistenciaalflujo, Resistor Térmico,

Ecuaciones Elementales

= = = 1 = 1 = 1

Energía Disipada

== 1=

== 1==== 1

=== 1

= Criterio de estabilidad de Routh Sea la función de transferencia de un sistema lineal en lazo cerrado:



41

( )( ) = + +⋯+ ++ +⋯+ + = ( )( ) , ≥

Ordenamiento de coeficientes a través de:

… … … … … ⋮

donde = −

= − = − ⋮ = − = − = − ⋮ = − = −

Resolución de un convetidor Digital a Analógico (DAC) Para un DAC el número total de escalones discretos es 2 − 1, donde n es el número de bits. Así, par un DAC de 8 bits, la resolución es: 12 − 1 100 = 0.3922%

Configuraciones básicas de amplificadores operacionales



42

Configuración Diagrama Relación entrada-salida

Seguidor Vout = Vin

Inversor = −

No inversor = + 1

Sumador inversor

= − + +⋯+

Restador

= ( + )( + )−

Integrador = − +



43

Derivador = −

Puente de Wheatstone

En condición de equilibrio, se cumple que: =

Coeficiente alfa de Cronbach

i

T

SK

K S

α = −

−

2

21

1

donde:

: El número de mediciones : Sumatoria de Varianzas de las mediciones : Varianza de la suma de las mediciones

: Coeficiente de Alfa de Cronbach

Cambios de base numérica

Número decimal

Representación binaria

Representación octal

Representación hexadecimal

0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2



44

3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9

10 1010 12 A (valor decimal 10) 11 1011 13 B (valor decimal 11) 12 1100 14 C (valor decimal 12) 13 1101 15 D (valor decimal 13) 14 1110 16 E (valor decimal 14) 15 1111 17 F (valor decimal 15) 16 10000 20 10

Desarrollo y coordinación de proyectos mecatrónicos

Células de manufactura

Emplea varias máquinas, herramientas de control numérico o centros de maquinado multifuncional, sistema de manipulación y cambio de pallets. Su tipo de procesamiento es intermitente y su volumen de producción puede ser de mediana y pequeña escala.

Selección del tipo de transportación por las condiciones de uso y aplicación



45

CARACTERÍSTICA TÉCNICA ECONÓMICA

TRANSPORTADOR DE RODILLOS

TRANSPORTADOR DE RIELES

AGV ROBOT CADENA GRÚA

SOBRE RIELES

GRÚA

Servicio práctico - + ++ + 0 ++ + Carga útil ++ - + - ++ + + Posibilidad de inclusión de equipo adicional

+ + ++ + -- 0 0

Posibilidad de ampliación

0 + ++ + - 0 +

Flexibilidad de ruta 0 + ++ - -- + - Posibilidad de emplear como almacén

++ -- - ++ + 0 0

Requerimientos de espacio

-- - 0 - 0 ++ ++

Gastos de instalación 0 -- ++ -- + -- + Inversión en equipo -- 0 + 0 - ++ ++

Simbología: ++ muy favorable, + favorable, 0 mediano, -- indeseable, - desfavorable.



46

Diseño de la estructura y configuración del sfm

Generar alternativas estructurales del sistema

Procesamiento con MHCN multifuncionales Procesamiento secuencial en varias MHCN Combinación de las anteriores

Generar alternativas de disposición de las máquinas Lineal Paralela Libre

Organizar el sistema de transporte Transporte flexible Transporte rígido

Organizar el sistema de almacenamiento Relacionado con AS/RS almacenamiento ordenado Relacionado con AS/RS almacenamiento aleatorio



47

Calidad

1 1 2 2 3 31

1 2 3

1

i n

i in ni

i nn

i

m ym y m y m y . . . m y

ym m m . . . m

mi

=

==

=

+ + + += =

+ + + +

T I a= α

F ma=

1 1 2 2 3 31

1 2 3

1

i n

i in ni

i nn

i

m xm x m x m x . . . m x

xm m m . . . m

mi

=

==

=

+ + + += =

+ + + +

1 1 2 2T U T→+ =

2 21

1 1

2 2

n

iT mv miv i== + Δ

1 2 12U M( )→ = Φ − Φ

21

2 1

n

E k T mi V ii

= = Δ=

2 21 1

2 2Ek I mv I W= = +

d uP F.V. MW

dt= = =

Tiempo de ciclo

Dc

p

TT

U=

TD = tiempo disponible Up = unidades por procesar

Porcentaje de utilización

R

D

P%U

C=

PR = producción real CD = capacidad diseñada

Índice de utilización de la máquina

t i e mp o d e ma rc h a

t i e mp o u t i l i za b l e

Eficiencia en el trabajo

R

e

P

Cε =

PR = producción real Ce = capacidad efectiva

Tamaño de lote económico

2A SE O Q

I=

A = demanda anual S = costo promedio de hacer un

pedido de material

I = costo de almacenar una unidad en el

inventario

Tiempo promedio de actividades



48

( )( )( )T o t a lT %T r a b a j o % a c t u a c i ó n

T p s u p l e m e n t o sN ú m.d e p i e za s p r o d u c i d a s

= +

Núm. de ciclos por observar

( )12

p

p pS

N

−=

Sp = Precisión relativa deseada P = % de presencia de la actividad N = número de observaciones o muestras

Teoría de colas Tiempo de espera cero

01P

t a s a d e l l e g a d a

t a s a d e s e r v i c i o

t a s a d e u t i l i za c i ó n

= − ρ

λρ =

μλ =μ =ρ =

Tiempo de espera “X”

2

1L q

ρ=

− ρ

Correlación

( )( )1 2

1 1 2 2

1 2

X X X Xr

n

− −=

σ σ

( )2

1 1

1

X X

n

−σ =

Error estándar de la producción

p

p q

nσ =

p = Porcentaje de tiempo inactivo q = Porcentaje de tiempo en marcha n = Número de observaciones o tamaño de la muestra

Pronóstico (suavización exponencial)

( )( )1 11

t t tF A F− −= α + − α

Tiempo básico de proceso

valor atribuidotiempo observado

valor tipo

Ft= Pronóstico para el periodo t Ft-1= Pronóstico para el periodo t-1 At-1= Datos reales del periodo t-1 α= Constante de suavización de 0 a 1



49

Redes (diagrama PERT)

6

)4(d ij

bma ++=

dij = duración de la actividad a = duración optimista m = duración más probable b = duración pesimista Tiempo más temprano tj Tiempo más tardío Tj

tj = máx(ti + dij) Tj = mín(Ti + dij)

j = suceso cuya fecha hay que calcular i = etapas origen de actividades que llegan a él

Toma de decisiones (árboles de decisión)

=

=N

jijji VsPdVE

1

)()(

VE = valor esperado de la alternativa de decisión di = alternativa de decisión P (sj) = probabilidad del estado de la naturaleza sj

Vij = resultado correspondiente a la alternativa de decisión di y el estado de la naturaleza sj

N = número de estados de la naturaleza

Balanceo de líneas de ensamble

T iemp o de p ro d u cc ió n po r d í a

T ie mpo d e c i c l o P ro d uc c i ón p o r d í a (e n un i d ad e s )

=

Suma de los t iempos de las tareas (T)

Número de estaciones Tiempo del ciclo

=

= Suma de los tiempos de las tareas (T)Eficiencia

Número real de estaciones de trabajo (Na) x Tiempo de ciclo de la estación de trabajo (C)



50

Balanceo de líneas con base en los operarios

100operaciónpor permitidos tiemposlos de Suma

operaciónpor tiemposlos de Suma Eficiencia ×=

E - 100 dinactivida de % =

MENúmero de operarios necesarios R

E= ×

R = tasa de producción deseada ME = tiempo por operación E = eficiencia

operación la de Tiempo

60min Xoperación la de operarios de Núm. operación una de horapor Piezas =

Secuenciación de tareas

Programación de N trabajos en una máquina actividad cada de flujo de tiemposlos de Suma flujo de totalTiempo =

sactividade de totalNúmero

flujo de totalTiempo flujo de medio Tiempo =

Inventarios

Costo Anual Total

HQ

SQ

DDCTC

2++=

TC = costo total anual D = demanda (anual) C= costo por unidad Q = volumen de la orden (cantidad óptima) S = costo por preparación o por colocar una orden L = tiempo de entrega

H = costo anual de mantener y almacenar una unidad del inventario promedio

MODELO Q. Cantidad óptima de la orden en un periodo de cantidad fija

H

DSQ

2=

Q = cantidad óptima de pedido D = demanda (anual) S = costo por preparación o por colocar una orden

H = costo anual de mantener y almacenar una unidad del inventario promedio



51

_

d

_

d

_

d

MODELO Q. Punto de reorden _

dLR =

R = punto de reorden = demanda diaria promedio L = tiempo de entrega en días

MODELO Q. Punto de reorden considerando existencia de seguridad

LzdLR σ+=_

R = punto de reorden = demanda diaria promedio L = tiempo de entrega en días

z = número de desviaciones estándar para una probabilidad específica de servicio

Lσ = desviación estándar de uso durante el tiempo de entrega

MODELO Q. Demanda diaria promedio

n

dd

n

ii

== 1_

n = número de días

MODELO Q. Desviación estándar de la demanda a lo largo de un periodo de n días

n

ddn

i i

d

=−

= 1

2_

)(σ

MODELO Q. Desviación estándar de una serie de demandas independientes

223

22

21 ...... is σσσσσ ++++=

MODELO Q. Desviación estándar durante el plazo

=

=L

idL i

1

2σσ

MODELO P. Cantidad óptima de la orden en un periodo fijo

IzLTdq LT −++= +σ)(_

q = punto de reorden

= demanda diaria promedio T = cantidad de días entre revisiones L = tiempo de entrega en días

z = número de desviaciones estándar para una probabilidad especifíca de servicio



52

LT+σ = desviación estándar de la demanda entre revisiones y tiempo de entrega I = nivel corriente del inventario

MODELO P. Desviación estándar de una serie de demandas independientes a lo largo del periodo entre revisiones T y el tiempo de entrega L.

+

=+ =

LT

idLT i

1

2σσ

Tiempo estándar

Tiempo normal

desempeño de índice unidadpor observado desempeño de tiempo normal Tiempo ×= Tiempo normal durante un periodo

desempeño de índice producidas unidades de núm.

trabajadotiempo normal Tiempo ×=

Tiempo estándar normal tiempo as(toleranci normal tiempoestándar Tiempo ×+= )

Punto de equilibrio

QP

CV-1

CFequilibrio de punto

×

=

CF = costos Fijos totales CV = costos variables totales P = precio del producto Q = cantidad de productos vendidos

Ingeniería económica

Encontrar un presente dado un futuro

+

=ni

FP)1(

1

Encontrar un futuro dado un presente niPF )1( +=

Encontrar un presente dada una anualidad

+

−+=n

n

ii

iAP

)1(

1)1(

Encontrar una anualidad dado un presente

−+

+=1)1(

)1(n

n

i

iiPA



53

Encontrar una anualidad dado un futuro

−+

=1)1( ni

iFA

Encontrar un futuro dada una anualidad

−+=i

iAF

n 1)1(

Encontrar un presente dado un gradiente

+

−+

−+=nn

n

i

n

ii

i

i

GP

)1()1(

1)1(

Encontrar un futuro dado un gradiente

−−+= n

i

i

i

GF

n 1)1(

Encontrar una anualidad dado un gradiente

−+

−=1)1(

1ni

n

iGA

Tasa de interés anual efectivo

11 −

+=

m

m

ri

Relación costo-beneficio

Costos

iosdesbeneficBeneficiosC/B

−=

Depreciación

n

VSBDt

−=

t = año Dt = cargo por depreciación anual B = costo inicial o base no ajustada VS = valor de salvamento n = vida depreciable esperada o periodo de recuperación

Depreciación valor en libros

ttDBVL −=

Rotación de inventarios

Rotación de inventarios = Costo de ventas

Inventario Rotación de los activos totales

Rotación de activos totales = Ventas

Activos totales



54

Análisis de la deuda

Razón de deuda

Razón de deuda = Pasivos totales

Activos totales Razón de la capacidad de pago de intereses

Razón de la capacidad de pago de intereses = Utilidad antes de intereses e impuestos

Intereses

Análisis de la rentabilidad

Margen de utilidad bruta

Margen de utilidad bruta = Ventas-costo de ventas

=Utilidad bruta

Ventas Ventas Margen de utilidad operativa

Margen de utilidad neta = Utilidad neta después de impuestos

Ventas Rendimiento sobre los activos

Rendimiento sobre los activos = Utilidad neta después de impuestos

Activos totales Rendimiento sobre el capital contable

Rendimiento sobre el capital contable = Utilidad neta después de impuestos

Capital contable

Análisis de la liquidez

Capital de trabajo neto

Capital de trabajo neto = activo circulante-pasivo circulante Razón circulante

Razón circulante = Activo circulante

Pasivo circulante



55

Razón rápida (prueba del ácido)

Razón rápida = Activo circulante-inventario

Pasivo circulante

Contabilidad

Estado de costos

Materias primas (Ei + C - Ef) + M.O.D. CIF (Mat. Ind. = Ei + C - Ef) ------------------------------------------------ Costo Px + I.I.P.P. - I.F.P.P. ------------------------------------------------- Costo PT + I.I.P.T. - I.F.P.T. ------------------------------------------------ Costo de ventas

Ei = existencia inicial C = compras M.O.D. = mano de obra directa CIF = costos indirectos de fabricación Mat. ind. = materiales indirectos Costo Px = costo de productos fabricados o costos del periodo I.I.P.P. = inventario inicial de productos en proceso I.F.P.P. = inventario final productos en proceso I.I.P.T. = inventario inicial productos terminados I.F.P.T. = inventario final productos terminados Costo PT = costo productos terminados

Estadística para la administración de operaciones

Media aritmética

X = xr -∆

− 1

ta

n

Xr = última marca de clase ∆ = amplitud de intervalo ta = frecuencia acumulada



56

= sumatoria

n = número de datos

Promedio

X = n

tx

• = sumatoria t = frecuencia x = marca de clase n= número de datos

Mediana

nc

2Md Lif

− = +

Li = límite inferior n = número de datos c = frecuencia acumulada anterior a la mediana t = frecuencia en la mediana i =amplitud del intervalo

Moda

Mo = Li

Δ+ΔΔ

21

1i

Li = límite inferior ∆1 = frecuencia en la moda menos anterior ∆2 = frecuencia en la moda menos la frecuencia posterior i = amplitud del intervalo

Media de proporción

inc

4Q=Li+ tf

−

Q = cuartil (4) D = decil (10) P = percentil (100) Li = límite inferior



57

in = número de datos c = frecuencia acumulada exterior f = frecuencia t = amplitud de intervalo

Desviación estándar

Poblacional

S =( )

1

2

−−

n

XXf

Muestral

S( )

1

2

−−

=n

XXf

∑ = sumatoria f = frecuencia x = marca de clase

X = media aritmética n = número de datos

Varianza S2

Poblacional 2s ═ ( ) − 2xxf

n Muestral

2s ═ ( ) − 2xxf

n - 1

Ingeniería Económica

Valor actual neto = (1 + ) −

donde: = = ó = ú = é



58

Amortización

Valor Actual : ( )

Valor Futuro: ( ) donde i es la tasa de interés y n, el número de períodos. Para el cálculo de la amortización de capital se usa la siguiente fórmula:

1 1n

m iA =

( i )+ −

donde m es el saldo al final del periodo.



59

Anexos

Ciencias básicas

Matemáticas

Geometría

Volumen = 43

3πr

Área de la superficie = 4 2π r

r

Volumen = πr h2

Área de la superficie lateral = 2π rh

r

h

Volumen = 13

2πr h

Área de la superficie lateral = + =π πr r h r l2 2

h

r

l

Volumen ( )= + +13

2 2π h a ab b

Área de la superficie lateral ( ) ( )( )

= + + −= +

ππ

a b h b a

a b l

2 2

h

a

b

l



60

Geometría analítica del espacio

Considerando ( )P x y z1 1 1 1= , , y ( )P x y z2 2 2 2= , , Vector que une P1 y P2:

( ) ( ) ( ) ( )P P x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1= − − − =, , , ,

Distancia entre dos puntos:

( ) ( ) ( )d x x y y z z l m n= − + − + − = + +2 1

2

2 1

2

2 1

2 2 2 2

Recta que pasa por dos puntos:

- Forma paramétrica: x x l t= +1 y y mt= +1 z z n t= +1

-Forma simétrica:

tx x

l= − 1 t

y y

m= − 1 t

z z

n= − 1

Cosenos directores:

cosα = − =x x

d

l

d2 1 cosβ = − =y y

d

m

d2 1 cosγ = − =z z

d

n

d2 1

dondeα β γ, , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z, respectivamente. Ecuación del plano

- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a→

= 1 2 3, , :

( ) ( ) ( )a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0− + − + − =

-Forma general: Ax By Cz D+ + + = 0

cos cos cos2 2 2 1α β γ+ + = o l m n2 2 2 1+ + = Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0

dAx By Cz D

A B C=

±+ + +

+ +0 0 0

2 2 2



61

en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.

Sistemas de Coordenadas Coordenadas cilíndricas:

x r

y r

z z

===

cos

sen

θθ o ( )

r x y

tan

z z

yx

= +=

=

−

2 2

1θ

θr

z

y

x

y

z

P(x,y,z)(r,θ,z){

x

O

Coordenadas esféricas:

x r

y r

z r

===

sen cos

sen sen

cos

θ φθ φθ

o ( )r x y z

tanyx

z

x y z

= + +=

=

−

−+ +

2 2 2

1

12 2 2

φ

θ cos

z

y

x

y

P (r,θ,{

φ

φ)(x,y,z)

O

θ

z

r

x

Ángulo entre dos rectas en el plano tanα = −+

m m

m m2 1

1 21

Vectores

A B• = ≤ ≤A B cosθ θ π0

donde θ es el ángulo formado por A y B A B• = + +A B A B A B1 1 2 2 3 3

dondeA i j k= + +A A A1 2 3 , B i j k= + +

∧ ∧ ∧B B B1 2 3

Son resultados fundamentales:

Producto cruz: 1 2 3

1 2 3

i j k

A B A A A

B B B

∧ ∧ ∧

× =

( ) ( ) ( ) kji ˆˆˆ122131132332 BABABABABABA −+−+−=

Magnitud del producto cruz senθ× =A B A B



62

El operador nabla se define así:

zyx ∂∂

∂∂

∂∂ ∧∧∧

++=∇ kji

En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z) tienen derivadas parciales.

Gradiente de U = grad U∧∧∧∧∧∧

++=

++=∇= kjikji

z

U

y

U

x

UU

zyxU

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Divergencia de A = div A

++•

++=•∇=

∧∧∧∧∧∧kjikjiA 321 AAA

zyx ∂∂

∂∂

∂∂

= + +∂∂

∂∂

∂∂

A

x

A

y

A

z1 2 3

Rotacional de A = rot A 1 2 3A A Ax y z

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ = ∇ × = + + + +

A i j k x i j k

321

kji

AAAzyx ∂

∂∂∂

∂∂

∧∧∧

=

= −

+ −

+ −

∧ ∧ ∧∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

A

y

A

z

A

z

A

x

A

x

A

y3 2 1 3 2 1i j k

Laplaciano de U = ( )2

2

2

2

2

22

z

U

y

U

x

UUU

∂∂

∂∂

∂∂

++=∇•∇=∇

Integrales múltiples

( )( )

2

1

( ),

b f x

x a y f xF x y dydx

= = ( )( ){ }2

1

( ),

b f x

x a y f xF x y dy dx

= ==

donde ( )y f x= 1 e ( )y f x= 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:

( )( )

2

1

( ),

d g y

y c x g yF x y dxdy

= = ( )( ){ }2

1

( ),

d g y

y c x g yF x y dx dy

= ==

dondex g y= 1( ) , x g y= 2 ( ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ, respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G. Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones.

( ) ( )t

as s t r t dt′= =



63

Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a t, .

En parámetro arbitrario: En parámetro s: Vector tangente unitario

t tr t

r t( )

( )

( )=

′′

t s r s( ) ( )= Vector normal principal

( ) ( ) ( )n t b t t t= ×

n sr s

r s( )

( )( )

=

Vector binormal

( )( )

( )

r r tb t

r r t

′ ′′×=′ ′′×

( ) ( )( )

( )

r s r sb s

r s

×=

Los vectores unitarios t n b, , forman un triedo positivo ( )

b t n n b t t n b= = =x x x, ,

Recta tangente en t 0 Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica

( ) ( ) ( ) r r t r tλ λ= + ′0 0

x x

x

y y

y

z z

x

−′

= −′

= −′

0

0

0

0

0

0

Plano osculador ( ) t n, en t 0

Ecuación vectorial Ecuación paramétrica

( )( ) ( ) ( )( ) r r t r t xr t− • ′ ′′ =0 0 0 0

x x y y z z

x y z

x y z

− − −′ ′ ′′′ ′′ ′′

=0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

Curvatura y torsión

32 2

´´

1 ( ´)

y

y

κ = +

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

κ τtr t r t

r tt

r t r t r t

r t r t=

′ ′′′

=′ ⋅ ′′ ′′′

′ ′′

x x

x3 2

( ) ( )s r sκ = dT k N

ds=

dN B kT

dsτ= −

dB N

dsτ= −

Plano normal Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:

( )( ) ( ) r r t r t− ⋅ ′ =0 0 0 ( ) ( ) ( )′ − + ′ − + ′ − =x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0



64

Plano rectificante ( ) t b, en t 0

Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:

( )( ) ( ) r r t n t− ⋅ =0 0 0

x x y y z z

x y z

y z y z z x z x x y x y

- - -0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0′ ′ ′′ ′′ − ′′ ′ ′ ′′ − ′′ ′ ′ ′′ − ′′ ′

=

Componentes tangencial y normal de la aceleración

.T

aa Ta ν

ν

→ →→ →

→= • =

N

x aa Na

ν

ν

→ →

→ →

→= • =

Propiedades de la divergencia

i) div (→F +

→G ) = div (

→F ) +div (

→G )

ii) div ( ) = div( ) + ( grad )

iii) div ( + ) = G rot ( ) - ( )

φ→F φ

→F φ •

→F

→F

→G • [ →

F ] →F • [rot

→G ]



65

Trigonometría Medida de ángulos planos Representación La medida de un ángulo puede expresarse en unidades comunes (grados) o en unidades de arco (radianes). Se representa a veces, respectivamente, por α y α . Unidades comunes (sexagesimales): grado (°), minuto ('), segundo ("). el 1° = 60'; 1' = 60"

Unidad de arco 1 radián (rad) es el ángulo central de una circunferencia de radio unitario que intercepta un arco también unitario. Por lo tanto,

1rad =1m

1m= 1(número adimensional)

Con frecuencia no se indica específicamente la unidad, como en la siguiente tabla.

α 0° 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360°

α 0 / 6π / 4π / 3π 5 / 12π / 2π π 3 / 2π 2π 0 0.52 0.78 1.05 1.31 1.57 3.14 4.71 6.28

Equivalencias. Por definición

180360 2 rad, 1 rad = 57.2967

1 rad = 0.017453 rad180

ˆ =180 57.2967

longitud de arcoˆ =

radioarc

ππ

π

π αα α

α α

°° = = °

° =

=

=



66

La longitud de un arco (b) es el producto del radio r y el

ángulo central α (en radianes) de la circunferencia: b = rα

Funciones trigonométricas En un triángulo rectángulo:

cateto opuestosen ;

cateto adyacente

cateto adyacentecos ;

hipotenusa

cateto opuestotan ;

cateto adyacente

a

c

b

c

a

b

α

α

α

= =

= =

= =

Operaciones con funciones trigonométricas

sen cos2 2 1A A+ = sen cos2 12

12 2A A= −

sec tan2 2 1A A− = cos cos2 12

12 2A A= +

csc cot2 2 1A A− = sen sen cos2 2A A A=

tansen

cosA

A

A= cos cos sen2 2 2A A A= −

cotcos

senA

A

A=

( )sen sen cos cos senA B A B A B± = ±

sen cscA A =1 ( )cos cos cos sen senA B A B A B± =

cos secA A =1 ( )tan A BtanA tanB

tanAtanB± =

±1

tan cotA A =1 sen

cosA A

2

1

2= ± −

( )sen sen− = −A A cos

cosA A

2

1

2= ± +

( )cos cos− =A A ( ) ( )[ ]sen sen cos cosA B A B A B= − − +12

( ) AA tantan −=− ( ) ( )[ ]sen cos sen senA B A B A B= − + +12

( ) ( )[ ]cos cos cos cosA B A B A B= − + +1

2



67

Las leyes siguientes son válidas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C.

Ley de los senos

a

A

b

B

c

Csen sen sen= =

Ley de los cosenos

c a b a b C2 2 2 2= + − cos

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

Ley de las tangentes

( )( )

a b

a b

tan A B

tan A B

+−

=+−

1212

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

A

B

C

a

c

b

Números complejos Forma trigonométrica o polar de un número complejo

Se tiene que ( , )r z x y= = y que 1arg( ) tan

yz

x− θ = =

.

Luego:

sin sin

cos cos

yy r

rx

x rr

θ = = θ θ = = θ

Por lo tanto:

( , ) cos sin (cos sin )z x y x yi r i r r i= = + = θ + θ = θ + θ



68

Forma exponencial de un número complejo Sea (cos sin )z r i= θ + θ un número complejo donde r es su módulo y θ su argumento. Entonces mediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene:

(cos sin ) iz r i r e θ= θ + θ = Teorema de De Moivre Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que

r cosθ + isenθ( )[ ]p= rp cospθ + isenpθ( )

Sea n cualquier entero positivo y p n= 1 , entonces

r cosθ + isenθ( )[ ]1n = r

1n cos θ +2kπ

n + isen θ +2kπn[ ]

donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las raíces n-ésimas

distintas de un número complejo haciendo 0 1 2 1, , , ,k n= −



69

Resolución geométrica de ecuaciones

Definiciones geométricas importantes

Producto mixto [ ]a b c

a a a

b b b

c c c

=1 2 3

1 2 3

1 2 3

Ángulo entre dos vectores cosθ =a • b

a b ; senθ =

a x b

a b

Ecuación vectorial de la recta p p= o + tu

Ecuaciones paramétricas de la recta ( )x x at

y y bt

z z ct

u a b co

o

o

= += += +

= , ,

Ecuaciones cartesianas de la recta, en forma simétrica

x x

a

y y

b

z z

co o o−

=−

=−

;

u a= ( , b, c)

Distancia de un punto Q a una recta dP Qo

= x u

u

Distancia entre dos rectas ( )1 2 1 2

1 2

u x u

PP u x ud

•=

Ecuación vectorial de un plano p p ru svo= + +

Ecuaciones paramétricas de un plano

x x ru sv

y y ru sv

z z ru sv

o x x

o y y

o z z

= + += + += + +

Ecuación cartesiana de un plano en forma general Ax+By+Cz+D=0 ; N A= ( , B, C)



70

Ecuación normal de un plano ( )PoP N 0 ; N A,B,C• = =

Distancia de un punto Q a un plano dPoQ N

N=

•

Ángulo entre una recta y un plano senα =u • N

u N



71

Álgebra Fórmulas para potencias y raíces

( )n n np a q a p q a⋅ ± ⋅ = ⋅ ⋅ m n m na a a +⋅ =

mm n

n

aa

a−= ( ) ( )n mm n m na a a ⋅= =

1nn

aa

− =

nn

n

a a

b b

=

( )n n np a q a p q a⋅ ± ⋅ = ± ⋅ n n na b a b⋅ = ⋅

1n n

nn

a a a

b bb

= =

n x nm x ma a⋅ ⋅ =

( ) mm

n m n na a a ∗= = a i a− = ⋅

( ) ( )22 No es válida en algunos casos; p. ej., 2 2, 2 2∗ − = + − = −

Nota: Los exponentes para potencias y raíces deben ser escalares. Transformación de expresiones algebraicas usuales

( )2 2 22a b a ab b± = ± + ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b± = ± + +

( )2 2 2 22 2 2a b c a ab ac b bc c+ + = + + + + + ( )( )2 2a b a b a b− = + −

( )( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − + ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + +

22

1,20 2 4

p px px q x q+ + = = − ± −

( )2 2 2 22 2 2a b c a ab ac b bc c− + = − + + − +

( ) ( ) ( )( )1 2 2 3 31 1 2

1 1 2 1 2 3n n n n n nn n n n nn

a b a a b a b a b b− − −− − −+ = + + + + +

⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )1 2 3 2 2 1n n n n n n na b a b a a b a b ab b− − − − −+ = − − + + +



72

Logaritmos

( )log log logx y x y⋅ = + log log logx

x yy

= −

log lognx n x= 1

log logn x xn

=

Binomio de Newton

( ) 1 2 2 3 3

0 1 2 3n n n n nn n n n

a b a a b a b a b− − − + = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

Donde n tiene que ser un número entero

( )( )1 2 1

1 2 3

n n n n n k

k k

− − − + = ⋅ ⋅

Permutaciones

Número de permutaciones de n elementos

! 1 2 2nP n n= = × × × ×

Combinaciones y ordenaciones

Número de combinaciones sin repetición Número de combinaciones con

repetición

( )!

! !nk

nnC

kk n k

= = −

( )1!

! !r n

k

n knC

kk n k

+ − = = −

r con repetición

Número de ordenaciones sin repetición Número de ordenaciones con repetición

( )!

!!

n nk k k

n nO C P k

k n k

= ⋅ = ⋅ = −

r n kkO n=

Donde: C: número de combinaciones posibles n: número de elementos dados k:número de elementos seleccionados de entre n elementos dados O: número de ordenaciones posibles



73

Serie binómica o binomial

( ) ( )1 1 1 11 1 1

f x x x x xα α α α

= ± = ± + ± + ± +

α es un número cualquiera, positivo o negativo, entero o fraccionario

( )( )( ) ( )1 2 3 1

1 2 3

n

n n

α α α α α α− − − − + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Serie de Taylor (serie de Maclaurin)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ''

2

1! 2!

f a f af x f a x a x a= + − + − +

Forma de Maclaurin, cuando 0a =

( ) ( ) ( ) ( )' ''20 0

01! 2!

f ff x f x x= + + +



74

Series de Fourier

Generalidades: Toda función periódica f(x), que puede descomponerse en el intervalo de periodicidad —π ≤ x ≤ π en un número finito de intervalos continuos, podrá descomponerse en ese intervalo en una serie convergente de la forma:

( ) ( ) ( )0

1

cos sin2 n n

n

af x a nx b nx

∞

=

= + +

Los coeficientes de cada término se forman como sigue:

( ) ( )1coska f x kx dx

π

ππ −

= ( ) ( )1sinkb f x kx dx

π

ππ −

=

Funciones pares: ( ) ( )f x f x= −

( ) ( )0

2coska f x kx dx

π

π= Para 0,1,2, ,k =

0kb =

Funciones pares: ( ) ( )f x f x= − −

0ka =

( ) ( )0

2sinkb f x kx dx

π

π= Para

0,1, 2, ,k =



75

Tablas de desarrollo en series de Fourier

y a= para 0 x π< <

y a= − para 0 2x π< <

4 in(3 ) in(5 )sin ...

3 5a s x s x

y xπ

= + + +

y a= para xα π α< < −

y a= − para 2xπ α π α+ < < −

4 1cos sin cos(3 )sin(3 )

31

cos(5 )sin(5 ) ...5

ay x x

x

α απ

α

= +

+ +

y a= para 2xα π α< < −

( )2y f xπ= +

2 sin( ) sin2( )cos cos2

2 1 3sin3( )

cos3 ...3

ay x x

x

π α π α π απ

π α

− − −= − +

−− +

/y ax b= para 0 x b≤ ≤

y a= para b x bπ≤ ≤ −

( ) /y a x bπ= − para b xπ π− ≤ ≤

2 2

2

4 1 1sin sin sin(3 )sin(3 )

1 31

sin(5 )sin(5 ) ...5

ay b x b x

b

b x

π

= +

+ +

2ax

yπ

= para 0 2x π< <

( )2y f xπ= +

sin sin 2 sin 3...

2 1 2 3a a x x x

yπ

= − + + +

2 /y ax π= para 0 / 2x π≤ ≤

( )2 /y a xπ π= − para / 2 xπ π≤ ≤

( )y f xπ= − +

2 2 2

8 sin 3 sin 5sin ...

3 5

x xy a x

π

= − + −



76

/y ax π= para 0 x π≤ ≤

( )2 /y a xπ π= − para 2xπ π< <

( )2y f xπ= +

2 2 2 2

4 cos cos 3 cos 5...

2 1 3 5

a a x x xy

π

= − + + +

siny a x= para 0 x π≤ ≤

siny a x= − para 2xπ π≤ ≤

( )y f xπ= +

2 4 cos 2 cos 4 cos 6...

1 3 3 5 5 7a a x x x

yπ π

= − + + + ⋅ ⋅ ⋅

0y = para 0 / 2x π≤ ≤

sin( / 2)y a x π= − para / 2 3 / 2xπ π≤ ≤

( )2y f xπ= +

2 2 2

2 1 cos 2 cos 4 cos 6cos . ...

2 4 2 1 4 17 6 1

a x x xy x

ππ

= − + − + − − − −

2y x= para xπ π≤ ≤ −

( ) ( )2y f x f xπ= − = +

2

2 2 2

cos cos2 cos 34 ...

3 1 2 3

x x xy

π = − − + −

axy

π= para 0 x π< <

( )2y f xπ= +

2 2 2 2

2 cos cos2 cos 3...

4 1 2 3sin sin2 sin 3

...1 2 3

a a x x xy

a x x xπ

π

= − + + +

+ − + −



77

Cálculo diferencial Relación de cambio: derivada Pendiente en un punto. Relación (ointensidad) de cambio Pendiente de una curva En una curva y = f (x) , la pendiente m varía en cada punto. La pendiente de la curva en un punto P es también la pendiente de su tangente en dicho punto:

m = tanα =Δy '

Δx '

Relación media de cambio (cociente incremental) La intensidad media de variación de la función y = f (x) es la relación de los incrementos

Δy

Δx correspondientes al segmento de curva PP1

Δy

Δx=

f (x + Δx) − f (x)

Δx

Derivada (cociente diferencial) Cuando Δx tiende a cero, el punto P1 tiende al punto P, y la secante PP1 , a la tangente a la curva en P. De manera que la relación de incrementos se convierte en la relación de diferenciales, que es la derivada (o intensidad de cambio) de la función en P:

y ' = limΔx→0

Δy

Δx=

dy

dx= f '(x)

Interpretación geométrica de la derivada Curvas de derivadas sucesivas Si para cada x de una curva se lleva la pendiente (o derivada) correspondiente y' como ordenada, se obtendrá la curva de y' = f '(x) , o de la primera derivada de la curva dada

y = f (x) . Si se deriva la curva y' = f '(x) se obtendrá y'' = f ''(x) o la segunda derivada

de la curva dada y = f (x) .

Ejemplo: y = Ax3 + Bx2 + Cx + D



78

Radio de curvatura ρ en un punto dado x

ρ =(1 + ′y 2 )3

′′y

Coordenadas del centro de curvatura C correspondiente a un radio ρ

a = x −1 + ′y 2

′′y′y

b = y +1 + ′y 2

′′y

Determinación de los valores máximos, mínimos y puntos de inflexión Valores máximos y mínimos Hágase y ' = 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustitúyase ahora x = a en y '' Si y ''(a) > 0 habrá un mínimo en x = a Si y ''(a) < 0 habrá un máximo en x = a Punto de inflexión Hágase y '' = 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustitúyase ahora x = a en y ''' Si y ''(a) ≠ 0 habrá un punto de inflexión en x = a

Forma de la curva y = f (x)



79

Crecimiento y decrecimiento y '(x) > 0 y(x) crece si aumenta x

y '(x) < 0 y(x) decrece si aumenta x

y '(x) = 0 y(x) tiene en x una tangente paralela al eje x

Curvatura y ''(x) > 0 y(x) será cóncava hacia arriba

y ''(x) < 0 y(x) será cóncava hacia abajo

y ''(x) = 0 con cambio de signo y(x) tendrá en x un punto de inflexión

sin cambio de signo y(x) tendrá en x un máximo o un mínimo

Otros casos Si para x = a

y'(a) = y''(a) = y'''(a) =…= y(n−1)(a) = 0 , pero yn ≠ 0 , pueden presentarse los cuatro casos siguientes:

Tablas de derivadas d

dxc( ) = 0 ( )d

dxcx c=

( )d

dxcx ncxn n= −1 ( )d

dxu v w

du

dx

dv

dx

dw

dx± ± ± = ± ±

( )d

dxcu c

du

dx= ( )d

dxuv u

dv

dxv

du

dx= +

( )d

dxuvw u v

dw

dxu w

dv

dxv w

du

dx= + +

( ) ( )d

dx

u

v

v dudx u dv

dxv

=

−2

( )d

dxu nu

du

dxn n= −1

du

dx dxdu

= 1

dF

dx

dF

du

du

dx= (Regla de la cadena)



80

Derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas

[ ]ln ln

-1

ln

ln

v v u v u

v v

d d du e e v u

dx dx dxdu dv

vu u udx dx

= = =

+

loglog 0, 1a

a

ed duu a a

dx u dx= > ≠

lnu ud dua a a

dx dx=

1ln loge

d d duu u

dx dx u dx= =

u ud due e

dx dx=

Derivadas de las funciones trigonométricas y de las trigonométricas inversas

d

dxu u

du

dxsen cos=

d

dxu u

du

dxcot csc= − 2

d

dxu u

du

dxcos sen= −

d

dxu u u

du

dxsec sec tan=

d

dxu u

du

dxtan sec= 2

d

dxu u u

du

dxcsc csc cot= −

1 1

2

1cos 0 cos

1

− −− = < < −

d duu u

dx dxuπ

1 12 22

1sen sen

1

− − = − < < −

d duu u

dx dxuπ π

1 12 22

1tan tan

1

d duu u

dx u dxπ π− − = − < < +

1 12

1cot 0 cot

1

d duu u

dx u dxπ− −− = < < +

1

2 2

12

12

1 1sec ,

1 1

0 sec

sec

d du duu

dx dx dxu u u u

si u

si u

π

π π

−

−

−

±= =− −

+ < < − < <

1

2 2

12

12

1 1csc ,

1 1

0 csc

csc 0

d du duu

dx dx dxu u u u

si u

si u

π

π

−

−

−

−= =− −

− < < + − < <

Derivadas de las funciones hiperbólicas y de las hiperbólicas recíprocas

d

dxu u

du

dxsenh cosh=

d

dxu u

du

dxcoth csc= − h2

d

dxu u

du

dxcosh senh=

d

dxu u u

du

dxsec sec tanhh h= −

d

dxu u

du

dxtanh sec= h2

d

dxu u u

du

dxcsc csc cothh h= −



81

-1

2

1sen h

1

d duu

dx dxu=

+ [ ]1

2

1tanh , 1 1

1

d duu u

dx u dx− = − < <

−

[ ]

-1

2

1csc h ,

1

si 0, si 0

d duu

dx dxu u

u u

−=+

− > + <

-1

2

1

1

1cos h ,

1

si cosh 0, 1

si cosh 0, 1

d duu

dx dxu

u u

u u

−

−

±=−

+ > > − < <

-1

2

1

1

1sec h ,

1

si sec h 0,0 1

si sec h 0,0 1

d duu

dx dxu u

u u

u u

−

−

±=−

− > < < + < < <

[ ]

12

1coth ,

11 ó 1

d duu

dx u dxu u

− =−

> < −

Cálculo integral Significado de la integración Por integración se entiende el encontrar una función ( )F x a partir de una función dada

( )y f x= de manera que la derivada ( )F x′ sea igual a la original ( )f x . Por lo tanto,

( )( ) ( )

dF xF x f x

dx′ = =

La integral indefinida

( ) ( )f x dx F x C= +

C es una constante indeterminada que desaparece al derivar, ya que la derivada de una constante es igual a cero. Significado geométrico de la integral indefinida. Como muestra la figura, hay una infinidad de curvas ( )y F x= con pendiente o derivada

( )y F x′ = . Todas las curvas ( )y f x= son

iguales pero desplazadas paralelamente y en la dirección del eje y . La constante C fija una curva determinada. Si la curva debe pasar por el punto 0 0,x y se tendrá:

0 0( )C y F x= −



82

La integral definida La integral definida tiene la forma:

( ) ( ) ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a= = −

En la integral resultante se sustituye primero el límite superior y luego el interior, y se resta el segundo resultado del primero. Desaparece así la constante C. Reglas de integración Formas fundamentales

u dv uv v du= − u ue du e C= +

u dun

u C nn n=+

+ ≠ −+ 1

111 a du

a

aCu

u

= +ln

lndu

u Cu

= +

Formas trigonométricas

sen cosu du u C= − + csc cot cscu u du u C= − +

+= Cuduu sencos += Cuduu seclntan

+= Cuduu tansec 2 cot ln senu du u C= +

2csc cotu du u C= − + Cuuduu ++= tanseclnsec

+= Cuduuu sectansec csc ln csc cotu du u u C= − +

Formas cuadráticas

a u duu

a ua

u a u2 2 2 22

2 2

2 2+ = + + + + ln

du

a u

u

aC

2 2

1

−= +− sen



83

( )u a u duu

a u a ua

u a u C2 2 2 2 2 2 22

2 2

82

8+ = + + − + + + ln +=

+− C

a

u

aua

du 1

22tan

1

a u

udu a u a

a a u

uC

2 22 2

2 2+= + −

+ ++ ln

du

u u a a

u

aC

2 2

11

−= +− sec

du

u a u

a u

a uC

2 2 2

2 2

2+= −

++

du

a u a

u a

u aC2 2

1

2−=

+−

+ ln

( )du

a u

u

a a uC

2 2 3 2 2 2 2+=

++ /

du

u a a

u a

u aC2 2

1

2−=

−+

+ ln

a u

udu

a u

uu a u C

2 2

2

2 22 2+

= −+

+ + + + ln du

u a u a

a u a

uC

2 2

2 21

+= −

+ ++ ln

( )u a u duu

u a a ua u

aC2 2 2 2 2 2 2

41

82

8− = − − + +− sen a u du

ua u

a u

aC2 2 2 2

21

2 2− = − + +− sen

u du

a u

ua u

au a u C

2

2 2

2 22

2 2

2 2+= + − + + + ln

du

a uu a u C

2 2

2 2

+= + + + ln

u a duu

u aa

u u a C2 2 2 22

2 2

2 2− = − − + − + ln

u du

a u

ua u

a u

aC

2

2 2

2 22

1

2 2−= − − + +− sen

a u

udu a u a

a a u

uC

2 22 2

2 2−= − −

+ −+ ln

a u

udu

ua u

u

aC

2 2

22 2 11−

= − − − +− sen

du

u a u a

a a u

uC

2 2

2 21

−= −

+ −+ ln ( )u u a du

uu a u a

au u a2 2 2 2 2 2 2

42 2

82

8− = − − − + − + ln C

du

u a u a ua u C

2 2 2 22 21

−= − − + u a

udu u a a

a

uC

2 22 2 1−

= − − +− cos

( ) ( )a u duu

u a a ua u

aC2 2

32 2 2 2 2

41

82 5

3

8− =− − − + +− sen u a

udu

u a

uu u a C

2 2

2

2 22 2−

=−−

+ + − + ln

( )du

a u

u

a a uC

2 23

2 2 2 2−

=−

+ du

u au u a C

2 2

2 2

−= + − + ln

+−++−=−

Cauua

auu

au

duu 222

22

22

2

ln22

( )2

1ln

udua bu a a bu C

a bu b= + − + +

+

( )( )

( )du

u a bu

a bu

a n u

b n

a n

du

u a bun n n+=−

+−

−−− +− −

1

2 3

2 11 1 du

u u a

u a

a uC

2 2 2

2 2

2−=

−+

( ) ( )[ ]u du

a bu ba bu a a bu a a bu C

2

32 21

24 2

+= + − + + + + ln

( )3 2 2 22 2 2

du uC

a u au a= − +

−−



84

( )du

u a bu a

u

a buC

+=

++ 1

ln du

u a bu a

a bu a

a bu aC a

+=

+ −

+ ++ > 1

0ln , si

=−

+−

+ <−201

a

a bu

aC atan , si

( )du

u a bu au

b

a

a bu

uC2 2

1

+= − +

++ ln

a bu

udu a bu a

du

u a bu

+= + +

+ 2

( ) ( )udu

a bu

a

b a bu ba bu C

+=

++ + + 2 2

1ln a bu

udu

a bu

u

b du

u a bu

+= −

++

+ 2 2

( ) ( )du

u a bu a a bu a

a bu

uC

+=

+−

++ 2 2

1 1ln ( )udu

a bu bbu a a bu

+= − + 2

322

( ) +

+−

+−+=

+Cbuaa

bua

abua

bbua

duuln2

1 2

32

2

( ) ( )u du

a bu

u a bu

b n

na

b n

u du

a bu

n n n

+=

++

−+ +

−2

2 1

2

2 1

1

( )( )u a budub

bu a a bu C+ = − + + 2

153 22

32

Otras formas trigonométricas

3 1 12 2csc csc cot ln csc cotu du u u u u C= − + − + 2 1 1

2 4sen sen 2u du u u C= − +

1 21 1sen sen cos senn n n

n

nu du u u u du

n− −−= − +

2 1 12 4cos sen 2u du u u C= + +

cos cos sen cosnn

n nu du u un

nu du= +

−− − 1 1 21

+−= Cuuduu tantan 2

−− −−

= duuun

duu nnn 21 tantan1

1tan +−−= Cuuduu cotcot 2

cot cot cotn n nu dun

u u du=−−

−− − 1

11 2 ( )3 21

3sen 2 sen cosu du u u C= − + +

sec sec secn n nudun

tanu un

nudu=

−+

−−

− − 1

1

2

12 2 ( )3 21

3cos 2 cos senu du u u C= + +

csc cot csc cscn n nudun

u un

nudu=

−+

−−

− − 1

1

2

12 2 ++= Cuuduu coslntantan 2

213

( )( )

( )( )

sen sensen sen

2 2

a b u a b uau bu du C

a b a b

− += − +

− +

3 212cot cot ln senu du u u C= − − +

( )( )

( )( )cos cos

sen senau budu

a b u

a b

a b u

a bC=

−−

+++

+2 2

3 1 12 2sec sec tan ln sec tanu du u u u u C= + + +

1cos sen senn n nu u du u u n u u du−= −

( )( )

( )( )sen cos

cos cosau bu du

a b u

a b

a b u

a bC=−

−−

−++

+2 2



85

sen sen cosu u du u u u C= − +

sen cosn mu u du=−

++

−+

− +−sen cos

sen cosn m

n mu u

n m

n

n mu udu

1 121

=−+

+−+

+ −−sen cos

sen cosn m

n mu u

n m

m

n mu udu

1 121

cos cos senu u du u u u C= + + 1sen cos cosn n nu u du u u n u u du−= +

u u duu

uu u

Ccos cos− −=−

−−

+ 12

122 1

4

1

4 +−+= −− C

uu

uduuu

2tan

2

1tan 1

21

u udun

u uu du

unn n

n

sen sen ,− + −+

=+

−−

≠− 1 1 1

1

2

1

1 11

1 1 2sen sen 1u du u u u C− −= + − +

u udun

u uu du

unn n

n

cos cos ,− + −+

=+

+−

≠− 1 1 1

1

2

1

1 11

1 1 2cos cos 1u du u u u C− −= − − +

−≠

+−

+=

+−+− 1,

1tan

1

1tan

2

1111 n

u

duuuu

nduuu

nnn

( ) ++−= −− Cuuuduu 22111 1lntantan

Formas exponenciales y logarítmicas

( )ue dua

au e Cau au= − + 112 ln lnu du u u u C= − +

u e dua

u en

au e dun au n au n au= − − 1 1

( )( )[ ]u u du

u

nn u Cn

n

ln ln=+

+ − ++

1

211 1

( )e bu due

a ba bu b bu Cau

au

sen sen cos=+

− + 2 2 1

u udu u C

lnln ln= +

( )e bu due

a ba bu b bu Cau

au

cos cos sen=+

+ + 2 2

Formas hiperbólicas

senh coshu du u C= + += Cuduu 21tanlnsech

cosh senhu du u C= + += Cuduu tanhsech 2

+= Cuduu coshlntanh +−= Cuduu cothcsch 2

coth ln senhu du u C= + +−= Cuduuu sechtanhsech

+= − Cutanduu senhsech 1 +−= Cuduuu cschcothcsch



86

Otras formas cuadráticas

22

22

2 22

1au u duu a

au ua a u

aC− =

−− +

−

+− cos

du

a u u

a u

aC

2 2

1

−=

−

+− cos

u au u duu au a

au ua a u

aC2

2 3

62

22

22

31− =

− −− +

−

+− cos

udu

au uau u a

a u

aC

22

2

2 1

−=− − +

−

+− cos

22

2

22 1

au u

udu au u a

a u

aC

−= − +

−

+− cos

du

u a u u

a u u

a uC

2

22

2

−= −

−+

( ) +

−+−+−=

−− C

a

uaauau

au

uau

duu 12

2

2

2

cos2

32

2

3

2 2 2 22

2

21

au u

udu

au u

u

a u

aC

−=−

−−

−

+− cos



87

Aplicaciones de la integración

Diferencial de arco

2

2 2 1dy

dS dx dy dxdx

= + = +

Longitud de arco Área de la superficie generada por el giro de una curva alrededor del eje x

21b

aS y dx= + 22 1

b

S aA y y dxπ= +

Momento estático de una curva con respecto al

eje x eje y

21b

x aM y y dx= + 21

b

y aM x y dx= +

Coordenadas del centroide G

yG

Mx

S=

xG

My

S=

Área de una superficie

Volumen de un

sólido generado por el giro de la superficie A alrededor del eje x

sólido cuya sección transversal A , es función de x

b

aA y dx= ⋅ 2b

aV y dxπ= ⋅ ( )

b

iaV A x dx= ⋅



88

Momento estático de una superficie con respecto al eje x eje y

2

2

b

x a

yQ dx= ⋅

b

y aQ xy dx= ⋅


yG

Qx

A=

xG

Qy

A=

Momento estático del volumen de un cuerpo con relación al plano yz

2b

yz aM xy dxπ= ⋅


yzG

Mx

V=

Integración numérica

Se divide la superficie en un número par n de franjas de igual ancho

b ah

n−=

El área se calcula entonces con la fórmula trapecial

( )0 1 2 2 12 2 ... 2 22 n n n

hA y y y y y y− −= + + + + + +

Regla de Simpson

Para curvas hasta de tercergrado

( )0 1 243i

hA y y y= + +



89

Para curvas de grado mayor que el tercero

( ) ( )0 2 4 2 1 3 12 ... 4 ...3 n n n

hA y y y y y y y y− −

= + + + + + + + + +

Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a t, .

En parámetro arbitrario: En parámetro s: Vector tangente unitario

( )( )

( )

r tt t

r t

′=

′

( ) ( )t s r s=

Vector normal principal ( ) ( ) ( )n t b t t t= ×

n sr s

r s( )

( )( )

=

Vector binormal

( )( )

( )

r r tb t

r r t

′ ′′×=′ ′′×

( ) ( )( )

( )

r s r sb s

r s

×=

Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC

Fuerza ejercida por un fluido

Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo

Ley de Torricelli v =

Física

Cinemática

( )Lq RqC

q E t′′ + ′ + =1

dyyLyFb

a)(⋅= γ

F A x g A x g= −δ δ2 20

2gh

zkyjxiF ++=dt

rdv

=

dt

vda

=

nt uudt

da ˆˆ

2

ρυυ += tuνν =

→

θθν urur rˆˆ +=

→

( ) ( ) θθθθ urrurra rˆ2ˆ2 ++−=

→



90

Movimiento en una dimensión

Dinámica

W: peso

Trabajo, energía y conservación de la energía

P: potencia

η : eficiencia

K: energía cinética

V: energía potencial

tvx=x x v to= +

( )021 vvv +=

atvv o +=

( )tvvxx oo ++=2

1

2

2

1attvxx oo ++=

( )oo xxavv −+= 222

ag

WamF

==

F Gm M

r= 2

F m dV dt= /

ABA

B XXX −=

ABA

B VVV −=

ABA

B aaa −=

rFU ⋅=rdFdU

⋅=

vFt

rF

t

UP

⋅=⋅==

ent

sal

P

P=η

if KKKU −=Δ=

2

2

1mvK =

if VVVW −=Δ−=

( ) mgyyV =2

2

1kxVe =



91

Impulso e ímpetu

p: ímpetu

: impulso

Electricidad y magnetismo

ΦE:flujo eléctrico

V: potencial electrostático

U: energía potencial electrostática

I F dt=

pI

Δ=vmp =

=−=Δ dtFppp if

pΔ

=

r

r

r

qqkF

2

212

21

r

qqkF =

21 rrr −=

q

FE

=

=⋅=Φo

E

qAdE

ε

r

qkV =

⋅−=−=−

=−b

a

ababab ldE

q

W

q

UUVV

=

−

=

=m

i

i

j ijo

ji

r

qqU

1

1

1 4πε



92

Capacitancia C: capacitancia

Capacitor de placas paralelas

k: constante dieléctrica

Capacitor cilíndrico

U: energía almacenada en un capacitor

u: densidad de energía

Corriente, resistencia y fuerza electromagnética

i: corriente eléctrica

j: densidad de corriente

A: área

ρ : resistividad

R: resistencia

Variación de R con la temperatura

Elev. de potencial = caídas de potencial

P: potencia eléctrica

Magnetismo

: velocidad

: campo magnético

: elemento de longitud

CVq =

d

AC oκε=

CA

d= ∈ ∈ = ∈k 0

( )abl

C oln

2πκε=

qVCVC

qU

2

1

2

1

22

2

===

2

2

1Eu oκε=

t

qi =

Aqni υ=

==i

iii vqnA

ij

j

E=ρ

A

l

i

VR ρ==

( )R R t= +0 1 α ΔεΣ−Σ= IRVab

i ient sal. .= = 0iv

R

VRiiVP

22 ===

F qv B= ×

v

B

F il B= ×

l

θτ senNiAB=

=⋅ ildB oμ

→→

⋅=Φ AdB



93

r: distancia

N: número de vueltas

r: radio

ε : fuerza electromagnética

r

iB o

πμ2

=

BI

a= μ0

2

r

NiB o

πμ2

=

0

4

IdB sen d

a

μ θ θπ

=

( )01 2cos cos

4

IB

a

μ θ θπ

= −

dt

d BΦ−=ε

vBl−=ε

ε =−d

dt

Φ



94

Momentos de inercia

Definición general

Momento de inercia con respecto a un eje x o un punto O, es la suma de los productos de elementos de longitud, área, volumen o masa, por el cuadrado de su distancia al eje o punto:

= ⋅ 2I x dm

Teorema de Steiner o de los ejes paralelos

Para cualquier momento de inercia (de longitud, área, volumen o masa), axial o polar, se verifica que:

= +G GJ J ml

Momentos de inercia de una curva plana con respecto al

eje x eje y

2 21b

Lx aI y y dx= + 2 21

b

Ly aI x y dx= +

En las ecuaciones anteriores:

I : momento de inercia con respecto al eje de referencia

J : momento polar de inercia con respecto al eje de referencia

GJ : momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centroide G

m : magnitud considerada (longitud, área, volumen o masa)

Gl : distancia del centroide al eje o punto de referencia



95

Momentos y productos de inercia de superficies planas

El momento de inercia axial de una superficie plana respecto a un eje x o y , situado en su plano, es igual a la suma de los

productos de los elementos de área dA y el cuadro de las distancias a los respectivos, y o x , respectivamente

= 2xI y dA ; = 2

yI x dA

Si se da la función = ( )y f x , entonces:

Con respecto al eje x eje y

= 3

b

x a

yI dx = ⋅ 2b

x aI x y dx

El momento de inercia polar de una superficie plana respecto a un punto O situado en su plano es igual a la suma de los productos de los elementos del área dA y el cuadrado de su distancia r a dicho punto (polo):

= 2OJ r dA

Si los ejes de referencia de los momentos de inercia xI e yI son

perpendiculares y se cortan en O, existe entre el momento polar y los axiales la relación

:

= + + = + 2 2 2( )O x yI r dA y x dA I I

El producto de inercia de una superficie plana respecto a los ejes situados en su plano es igual a la suma de los productos de los elementos de área dA y las distancias x, y, a ambos ejes:

= ⋅ ⋅ ≥ 0xyI x y dA ; o bien ≤ 0

Transformación a un eje inclinado x: si se conocen para los ejes perpendiculares x, y, y las cantidades Ix, Iy e Ixy, entonces el momento de inercia axial Ix, con respecto a un eje inclinado un ángulo α con respecto al eje x, es igual a:

α α α′ = + −2 2cos sin sin 2x x y xyI I I I



96

Ejemplos de cálculo de momentos de inercia y superficies planas Rectángulo

′

′

′ ′

= ⋅ = =

= − =

= =

= + = + = + = +

= +

3 3

2

00

2 3

3 3

3 32 2 2 2

3 3

2 12

;3 12

( ); ( )3 3 3 12

2 2

hh

x

x x

y y

O x y G

xy xy

y bhI y b dy b

h bhI I A

b h b hI I

bh b h bh bhI I I b h I b h

b hI I A

Como x’ y / y’ son ejes de simetría, = 0xyI , entonces

= =

2

( )2 2 2xy

b h bhI bh

Círculo

π

ππ

π π

= =

= =

= = = =

2 2

0 0

4 4

04 4

0

(2 )

24 2

2 2 64

R R

OR

x y

I r dA r r dr

r R

I R DI I

= 0xyI , puesto que x, y son los ejes de simetría

Semicírculo

π

π π

= =

= − = =

= = =

2 2

0 04

2 2 2

04 4

0

(2 )

28

2 ; 0,8 4

R R

x

R

y

xy

I y dA y x dy

Ry R y dy I

R RI I

Porque y es eje de simetría.

Polígono regular de n lados

⋅ ⋅= = = + =×

2 20 (12 ); 02 2 48x y xy

I n a rI I r a I



97

Donde r Radio de la circunferencia Inscrita

R Radio de la circunferencia circunscrita

a Longitud del lado a Número de lados

Momentos de inercia de volúmenes Prisma rectangular recto

Si

+

3 3

12 12bh b h

es el momento de inercia polar centroidal de un rectángulo, entonces con relación al eje z , queda:

⋅ ⋅= + = +

3 3

2 2( ) 0

( )12 12 12

a

z V

bh b h a b hJ dz b h

Cilindro circular recto Con respecto al eje z:

π π−

= = 2

2

4 4

( ) 4 2

h

hz V

r r hJ dz

Con respecto al eje x:

π ππ−

= + = +

2

2

4 22 2 2 2

( ) (3 )4 12

h

hz V

r r hJ r z dz r h

Momento de inercia de masa

Este momento, J, es el producto del momento de volumen ( )VJ

por la densidad ρ :

( )ρ= ⋅ 2( ) VJ J kg m

Donde

( )γρ −= ⋅ 3= m

kg mV g

Ejemplo: Para un cilindro π

π= = =

4 2

( ) 22 2V

m r h m mrJ J

V r h



98

Constantes universales

Carga electrón y protón

Masa electrón

Masa protón

Constante gravitacional

Constante dieléctrica = 8.85 x 10-12 F/m Constante de permeabilidad = 1.26 x 10-6 H/m

Electrón-volt (eV)

Radio medio de la Tierra =

Dist. de la Tierra a la Luna =

Masa de la Tierra =

Masa de la Luna = Aceleración en la superficie de:

la Luna

la Tierra = g = 9.8

Equivalencias

1 N = 0.2248 lb = 105 dinas 1 kCal = 418 Joule 1 Btu

1 HPh 1 Watt 1 Joule = 2.778 x10-7kWh 1 Joule = 9.481 x 10-4 Btu = 107 erg 1 Joule = 0.2389 cal = 6.242 x 1018 eV 1 Btu = 778 lb-ft

1 HP = 1 HP = 2545 Btu/h = 178.1 cal/s 1 Tesla = 10000 Gauss 1 milla = 1609 m 1 ft = 30.48 cm 1 libra = 454 gr sen (90 – θ) = cos θ cos (90 – θ) = sen θ

Sen 2θ = 2 sen θ cos θ Sen (α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β Cos (α ± β) = cos α cos β sen α sen β

tan (α ± β) =

C x 19106.1 −=319.11 x 10 kg−=271.673 x 10 kg−=

229 /109 CNmk x =2212

0 /1085.8 NmC−=∈ x

mT ⋅π=μ −70 104 x

11 2 26.672 x 10 /G Nm kg−=

191.60 x 10 J−=m61037.6 x

m81084.3 x 245.976 x 10 kg

227.36 x 10 kg

= 162 2.m

s

2sm

mCu ⋅Ω=ρ −81069.1 x

mAl ⋅Ω=ρ −81083.2 x

mAg ⋅Ω×= − .1062.1 8ρmFe ⋅Ω×= −81068.9ρ

331093.8

mkg

Cu x =δ

3

3

3

3

10 x 9060

10 x 72

mkg

madera

mkg

Al

..

.

−=δ

=δ

= 0 252. KCal

= 1 014. CVh= 0 860. KCal

h

Wslbft 7.745550 =⋅

βαβ±α

tantan1

tantan

Análisis dimensional y teoría de semejanza

De las 4 dimensiones básicas: M = masa, L = longitud, T = tiempo, θ = temperatura Se establece un sistema MLTθ ; algunos valores en la siguiente tabla.

Ceneval, A.C.

Camino al Desierto de los Leones (Altavista) 19, Col. San Ángel, Del. Álvaro Obregón, C.P. 01000, México, D.F.

www.ceneval.edu.mx El Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior es una asociación civil sin fines de lucro que quedó formalmente constituida el 28 de abril de 1994, como consta en la escritura pública número 87036 pasada ante la fe del notario 49 del Distrito Federal. Sus órganos de gobierno son la Asamblea General, el Consejo Directivo y la Dirección General. Su máxima autoridad es la Asamblea General, cuya integración se presenta a continuación, según el sector al que pertenecen los asociados, así como los porcentajes que les corresponden en la toma de decisiones: Asociaciones e instituciones educativas (40%): Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior, A.C. (ANUIES); Federación de Instituciones Mexicanas Particulares de Educación Superior, A.C. (FIMPES); Instituto Politécnico Nacional (IPN); Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM); Universidad Autónoma del Estado de México (UAEM); Universidad Autónoma de San Luis Potosí (UASLP); Universidad Autónoma de Yucatán (UADY); Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM); Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla (UPAEP); Universidad Tecnológica de México (UNITEC). Asociaciones y colegios de profesionales (20%): Barra Mexicana Colegio de Abogados, A.C.; Colegio Nacional de Actuarios, A.C.; Colegio Nacional de Psicólogos, A.C.; Federación de Colegios y Asociaciones de Médicos Veterinarios y Zootecnistas de México, A.C.; Instituto Mexicano de Contadores Públicos, A.C. Organizaciones productivas y sociales (20%): Academia de Ingeniería, A.C.; Academia Mexicana de Ciencias, A.C.; Academia Nacional de Medicina, A.C.; Fundación ICA, A.C. Autoridades educativas gubernamentales (20%): Secretaría de Educación Pública. • Ceneval, A.C.®, EXANI-I®, EXANI-II® son marcas registradas ante la Secretaría de

Comercio y Fomento Industrial con el número 478968 del 29 de julio de 1994. EGEL®, con el número 628837 del 1 de julio de 1999, y EXANI-III®, con el número 628839 del 1 de julio de 1999.

• Inscrito en el Registro Nacional de Instituciones Científicas y Tecnológicas del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología con el número 506 desde el 10 de marzo de 1995.

• Organismo Certificador acreditado por el Consejo de Normalización y Certificación de Competencia Laboral (CONOCER) (1998).

• Miembro de la International Association for Educational Assessment. • Miembro de la European Association of Institutional Research. • Miembro del Consortium for North American Higher Education Collaboration. • Miembro del Institutional Management for Higher Education de la OCDE.

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