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EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURAEN INGENIERÍA ELÉCTRICA

Dirección General Adjunta de los EGEL

ENERO • 2014

formulario

Este Formulario es un instrumento de apoyo para quienes sustentarán el Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Eléctrica (EGEL-IELEC) y está vigente a partir de marzo de 2014. El Formulario para el sustentante es un documento cuyo contenido está sujeto a revisiones periódicas. Las posibles modificaciones atienden a los aportes y críticas que hagan los miembros de las comunidades académicas de instituciones de educación superior de nuestro país, los usuarios y, fundamentalmente, las orientaciones del Consejo Técnico del examen. El Ceneval y el Consejo Técnico del EGEL-IELEC agradecerán todos los comentarios que puedan enriquecer este material. Sírvase dirigirlos a:

Dirección General Adjunta de los EGEL Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura

Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C. Av. Revolución núm. 1570

Col. Guadalupe Inn Del. Álvaro Obregón

C.P. 01020 México, D. F. Tel: 01 (55) 5322-9200, ext. 5103

http://www.ceneval.edu.mx Email: [email protected]

D. R. 2014 Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C. (Ceneval)

Directorio

Dirección General Mtro. Rafael Vidal Uribe

Dirección General Adjunta de los Exámenes

Generales para el Egreso de la Licenciatura (EGEL) Lic. Jorge Hernández Uralde

Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura

M. en C. Laura Delgado Maldonado

Coordinación del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Eléctrica (EGEL-IELEC)

Ing. Eloín Alarcón Maldonado

Consejo Técnico

Representantes de instituciones educativas

M. en C. Jorge Carlos Canto Esquivel Instituto Tecnológico de Mérida

M. en I. Francisco Bañuelos Ruedas Universidad Autónoma de Zacatecas

Dr. Joaquín Cortez González Instituto Tecnológico de Sonora

M. en I. Luis Cisneros Villalobos Universidad Autónoma del Estado de

Morelos

M. en C. Víctor Mata Brauer Universidad Autónoma de Baja

California Dr. Miguel Ángel Gómez Martínez Universidad de Guanajuato

M. en C. Abel Eduardo Quezada

Carreón Universidad Autónoma de Ciudad

Juárez

Ing. Manuel Barrueta García Universidad Juárez Autónoma de Tabasco

M. en I. Aurelio Hernández Rodríguez

Universidad Autónoma de San Luis Potosí

Dr. Antonio Ramos Paz

Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo

Representantes de Colegios y Organizaciones gremiales

Ing. Jesús Aníbal Garza Macías Asociación Nacional de Facultades y

Escuelas de Ingeniería

Ing. Hernán López Cruz Colegio de Ingenieros Mecánicos y

Electricistas, A.C.

Representantes del Sector empleador

Dr. Hugo Ambriz Pérez Comisión Federal de Electricidad

Contenido Administración de los sistemas eléctricos ....................................................... 11 Operación y mantenimiento de equipos y sistemas eléctricos ...................... 11

Inversión inicial ............................................................................................................... 11

Tasa mínima aceptable de rendimiento .......................................................................... 11

Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta ................................................................ 11

Valor presente neto (con TMAR) .................................................................................... 12

Valor presente neto (con anualidad e interés) ................................................................ 12

Tasa interna de retorno .................................................................................................. 12

Periodo de recuperación de la inversión ........................................................................ 13

Punto de equilibrio en ventas ......................................................................................... 13

Costo beneficio ............................................................................................................... 13

Ingeniería económica ..................................................................................................... 14

Interés simple ................................................................................................................. 14 Interés compuesto .................................................................................................................... 14 Valor futuro pago único............................................................................................................. 14 Valor presente pago único ........................................................................................................ 14 Cantidad compuesta serie uniforme ......................................................................................... 14 Fondo de amortización ............................................................................................................. 15 Recuperación del capital de una serie uniforme ...................................................................... 15 Valor presente de una serie uniforme ...................................................................................... 15 Series de gradiente ................................................................................................................... 15 Tasa efectiva de interés anual .................................................................................................. 15 Capitalización continua ............................................................................................................. 15 Definición de e .......................................................................................................................... 16 Pagos continuos ....................................................................................................................... 16 Tasa mixta ................................................................................................................................ 16 Métodos de análisis de inversiones .......................................................................................... 17

Operación y mantenimiento de equipos y sistemas eléctricos ...................... 18 Costos de mantenimiento ......................................................................................................... 18 Costo total ................................................................................................................................. 18 Costo del consumo total anual ................................................................................................. 18 Costos mantenimiento preventivo ............................................................................................ 19 Indicadores control de trabajo .................................................................................................. 20 Efectividad del sistema ............................................................................................................. 21 Confiabilidad ............................................................................................................................. 23 Métodos de mantenimiento vs. costo ....................................................................................... 24 Sistemas en serie ..................................................................................................................... 24 Sistemas en paralelo ................................................................................................................ 24 Restablecimiento de la confiabilidad ........................................................................................ 25 Probabilidad de falla ................................................................................................................. 25 Mantenimiento productivo total ................................................................................................. 25 Disponibilidad intrínseca o de explotación ............................................................................... 26 Tiempo medio de parada por averías ....................................................................................... 26

Tiempo medio entre averías MTBF (tiempo de buen funcionamiento) .................................... 26 Tiempo de funcionamiento medio ............................................................................................ 26 Tasa de fallo ............................................................................................................................. 26 Trabajo en mantenimiento correctivo ....................................................................................... 27 Consumo de los aparatos electrodomésticos........................................................................... 27

Formulario general .............................................................................................. 28 Matemáticas ................................................................................................................... 28

Álgebra...................................................................................................................................... 28 Cálculo diferencial .................................................................................................................... 34 Cálculo integral ......................................................................................................................... 39 Geometría ................................................................................................................................. 48 Geometría analítica plana......................................................................................................... 49 Geometría analítica del espacio ............................................................................................... 51 Trigonometría ........................................................................................................................... 55 Números complejos .................................................................................................................. 60 Análisis vectorial ....................................................................................................................... 61 Función de fracciones racionales ............................................................................................. 66 Series de Fourier ...................................................................................................................... 67 Transformada de Fourier .......................................................................................................... 71 Transformada de Laplace ......................................................................................................... 74 Probabilidad y estadística ......................................................................................................... 79

Física .............................................................................................................................. 84 Mecánica .................................................................................................................................. 84 Electricidad y magnetismo ........................................................................................................ 93

Química .......................................................................................................................... 98

Teoría de circuitos eléctricos ........................................................................................ 100 Impedancia ............................................................................................................................. 100 Admitancia .............................................................................................................................. 101 Reactancia .............................................................................................................................. 102 Resonancia ............................................................................................................................. 103 Cargas reactivas y factor de potencia .................................................................................... 104 Potencia compleja .................................................................................................................. 106 Potencia trifásica .................................................................................................................... 106

Sistemas eléctricos de potencia ................................................................................... 108 Sistema por unidad ................................................................................................................. 108 Transformadores .................................................................................................................... 108 Componentes simétricas ........................................................................................................ 109 Cálculo de fallas ..................................................................................................................... 114 Transformadores .................................................................................................................... 115 Transformadores de instrumento (transformadores de medida) ............................................ 116 Corrección del factor de potencia ........................................................................................... 117 Reactores ............................................................................................................................... 119 Resonancia armónica ............................................................................................................. 121 Resistencia ............................................................................................................................. 122 Inductancia ............................................................................................................................. 122 Capacitancia ........................................................................................................................... 124 Líneas trifásicas de circuitos paralelos ................................................................................... 126 Cálculo de líneas .................................................................................................................... 126 Líneas aéreas ......................................................................................................................... 128 Líneas de tensión ................................................................................................................... 129

Cálculo de conductores .......................................................................................................... 130 Cálculo de conductores para cargas específicas ................................................................... 130 Transformadores .................................................................................................................... 133

Óptica e iluminación ..................................................................................................... 137

Tensiones eléctricas normalizadas ............................................................................... 149

Descripción de los números ANSI / IEEE ..................................................................... 150

NMX-J-136-ANCE-2007 ............................................................................................... 157

EN-60617 o IEC 60617 ................................................................................................. 159

Símbolos de acuerdo a la ANSI .................................................................................... 162

Extracto de la Norma Oficial Mexicana NOM-001-SEDE-2012, Instalaciones Eléctricas (Utilización) ................................................................................................................... 164

Datos prácticos ............................................................................................................. 244

Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Eléctrica (EGEL-IELEC)


11

Administración de los sistemas eléctricos

Operación y mantenimiento de equipos y sistemas eléctricos Inversión inicial

I I CO CP CA= + + donde: II: Inversión inicial CO: Costos de operación CP: Costos de producción CA: Costos de administración y ventas Tasa mínima aceptable de rendimiento

TMAR = (µ * i)n donde: TMAR: Tasa mínima aceptable de rendimiento µ: Monto i: Tasa de interés n: Número de periodos a considerar Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta

TMARmixta = [I1 + PR1 + %I1 + %PR1] + [I2 + PR2 + %I2 + %PR2] +…+ [In + PRn + %In + %PRn] donde: TMARmixta: Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta In: Inflación PRn: Premio al riesgo %In: Inflación ÷ 100 %PRn: Premio al riesgo ÷ 100



12

Valor presente neto (con TMAR)

== − +

+n

0 tt 1

S tV P N S(1 i)

donde: VPN = Valor presente neto SO = Inversión Inicial St = flujo de efectivo neto del periodo t n = número de periodos de la vida del proyecto i = tasa de recuperación mínima atractiva Valor presente neto (con anualidad e interés)

( )( )

n

n

1 i 1V P N P A V S

i 1 i

+ − = − + + +

donde: VPN: Valor presente neto P: Inversión inicial A: Anualidad i: Tasa de interés VS: Valor de salvamento al final del periodo n n: Número de periodos Tasa interna de retorno

nnn n

1

F N E V ST I R(1 i) (1 i)

= ++ +

donde: TIR: Tasa interna de retorno FNE: Flujo neto de efectivo del periodo n, o beneficio neto después de impuesto más depreciación VS: Valor de salvamento al final del periodo n i: Tasa de interés n: Número de periodos



13

Periodo de recuperación de la inversión

UNROII

=

donde: ROI: Periodo de recuperación de la inversión UN: Utilidad neta I: Inversión Punto de equilibrio en ventas

CFP ECV1V T

=−

donde: PE: Punto de equilibrio CF: Costos fijos CV: Costos variables VT: Ventas totales Costo beneficio

B B DC C

−=

donde: B: Beneficios asociados al proyecto C: Costo neto del proyecto D: Valor de las desventajas



14

Ingeniería económica Glosario de términos para ingeniería económica I: Inversión n: Periodo i: Tasa de interés P: Valor presente F: Valor futuro A: Serie uniforme G: Gradiente Ief: Tasa efectiva R: Tasa de interés divisible m: Periodo de intervalo

Â : Factor de pago continuo RC: Factor de recuperación de capital Vs: Valor de salvamento Θ: Tasa mixta Pr: Periodo de recuperación B: Beneficio C: Costo D: Desventaja e: Base de logaritmos neperianos

Interés simple

I = n i P Interés compuesto

n Fi 1I

= −

Valor futuro pago único

( )1 nF P i= + Valor presente pago único

( )1

1 nP F

i=

+

Cantidad compuesta serie uniforme

( ) + − =

n1 i 1F A

i



15

Fondo de amortización

( )niA F

1 i 1

= + −

Recuperación del capital de una serie uniforme

( )( )

n

n

i 1 iA P

1 i 1

+ = + −

Valor presente de una serie uniforme

( ) n1 1 IP A

i

− − + =

Series de gradiente

( )n

1A Gi n

1 i 1

= − + −

Tasa efectiva de interés anual

m

e fri 1 1m

= + −

Capitalización continua

mr

m

ri l i m 1 1 e 1m→∞

= + − = −



16

Definición de e

m

m

1i l i m 1 em→∞

= + =

mF e

P=

mP e

F−=

( )( )

m

r

e 1FA e 1

−=

−

( )( )

r

m

e 1AF e 1

−=

−

( )( )

r

m

e 1AP 1 e

−=

−

( )( )

m

r

1 ePA e 1

−−=

−

m mA 1 nG 1 e e 1−

= − − −

Pagos continuos

( )me 1Fˆ rA

−=

( )mÂ rF e 1

=−

( )mm

e 1PÂ r e

−=

m

mÂ reP e 1

=−

Tasa mixta

θ = (i – λ)/(1 – λ)



17

Métodos de análisis de inversiones Valor presente

n

j 0V p F l u j o(P / F,i, j)

==

Valor futuro

n

j 0V p F l u j o(F / P,i, j)

==

Costo anual uniforme equivalente (CAUE)

( )n

j 0V p F l u j o(P / F,i, j) * A / P,i, j

=

=

Serie uniforme equivalente

SAUE = - CAUE Recuperación de capital

CAUE = - SAUE = RC

(P – Vs)(A/P,i,n) + iVs Retiro y reemplazo

CAUE (j) = RC(j) + A(j) Tasa interna de retorno

n

j 1V p F l u j o i n i c i a l F l u j o(P / F,i, j)

=

= − +

Periodo de recuperación

ABS(f l u j o)P ri ng reso po r pe r i odo

=

Razón costo-beneficio

B DBC C

= −

Nota: El ROI no se maneja en este contexto ya que es un indicador financiero.



18

Operación y mantenimiento de equipos y sistemas eléctricos Costos de mantenimiento Para obtener los costos de mantenimiento se utiliza el TCA (Tráfico de Cambio Anual), el cual es un porcentaje de instrucciones que sufre un cambio por adición o modificación. Además, se toma en cuenta el esfuerzo de desarrollo estimado o real por personas-mes para hallar el esfuerzo anual requerido para el mantenimiento de software. Se calcula de la siguiente manera:

EMA = 1.0 * TCA * TDS EMA = Esfuerzo de mantenimiento anual TDS = Esfuerzo de desarrollo estimado Costo total

Ct = Cm + Cc + Co Ct = Costo total Cm = Costo de mantenimiento [refacciones + lubricantes + mano de obra + planeación] Cc = Costo de capital [valor factura + impuestos + fletes] Co = Costo de operación [consumo total anual + mano de obra operación] Costo del consumo total anual Consumo total anual = Potencia*F. U. * hr/día*día/sem.* Tarifa F. U. = Factor de utilización



19

Costos mantenimiento preventivo

Definición Fórmula de cálculo Objetivos Significado IGTR Índice general de trabajos realizados

= OTE=Ordenes de Trabajo Ejecutadas OTR=Ordenes de Trabajo Recibidas

Evaluar la proporción entre la cantidad de órdenes de trabajo ejecutadas respecto al total de órdenes de trabajo recibidas en el periodo considerado.

Permite evaluar en forma general el desempeño del personal del área de mantenimiento. Mientras mayor es el índice, mejor resulta el desempeño.

ITP Índice de órdenes de trabajo pendientes o en proceso

= OTPP=Ordenes de Trabajo Pendientes o en procesos OTR=Ordenes de Trabajo Recibidas

Evaluar la proporción de órdenes de trabajo pendientes o en proceso respecto al total de órdenes de trabajo recibidas.

Permite evaluar la fracción programada y no ejecutada de mantenimiento. Cuando mayor es el porcentaje menor es la efectividad de las acciones.

IMP Índice de mantenimiento preventivo

= HHMP=Horas de mantenimiento Preventivo THHM=Total de Horas de Mantenimiento

Determinar la proporción del tiempo total de mantenimiento dedicado a acciones de mantenimiento preventivo.

Evalúa la fracción de tiempo dedicada a los programas de mantenimiento preventivo. El óptimo se coloca entre el 20% y el 40%.

IOA Índice de órdenes abiertas

= EHH=Horas Hombre Estimadas HHD= Horas Hombre Disponibles

Establecer la relación entre la cantidad estimada de horas hombre para ejecutar las órdenes de trabajo abiertas y el total de horas hombre disponibles para trabajos de mantenimiento.

Señala el balance entre la carga de trabajo y la cantidad de personal. Mientras menor es el valor porcentual, mejor resulta la acción desplegada por el área de mantenimiento.

IHE Índice de horas extraordinarias o de sobretiempo

= CHE=Cantidad de Horas Estimadas THHM=Total de Horas Hombre de Mantenimiento

Expresa la relación entre la cantidad de horas de sobretiempo respecto al total de horas empleadas en mantenimiento.

Evalúa la fracción de tiempo destinado a trabajos fuera del horario. En general es aceptable en el orden de 1% o 2% del total.

ITM Índice de tiempo perdido (tiempo muerto)

= THR=Total de Horas de Retraso THHM=Total de Horas Hombre de Mantenimiento

Evalúa la relación entre la cantidad de horas de retraso en la ejecución de los trabajos (imputable a mantenimiento) y el total de horas de trabajo efectivo.

Mide la cantidad y efectividad del trabajo de mantenimiento preventivo



20

Indicadores control de trabajo

Control de trabajoIndicador Descripción1 = ODT recibidas / días hábiles del periodo 2 = ODT completadas / ODT recibidas 3 = ODT programadas completadas / ODT completadas 4 = ODT pendientes / ODT recibidas 5 = ODT prioritarias completadas / ODT completadas 6 = ODT completadas con retardo / ODT completadas 7 = > 2 ODT con más de dos semanas de retraso / ODT recibidas 8 = HH en trabajos planeados y programados / HH en el periodo 9 = HH en trabajos según programación / HH asignadas para trabajos programados 10 = HH consumidas en trabajos prioritarios / HH en el periodo 11 = HH en trabajos completados con retardo / HH en el periodo 12 = HH en sobretiempo / HH en tiempo reglamentario Soporte de logística 1 = Requisiciones abastecidas por almacén/ Requisiciones procesadas 2 = Requisiciones abastecidas con sustitutos / Requisiciones procesadas 3 = Requisiciones con material agotado / Requisiciones procesadas 4 = 1 Renglones agotados despachados con una semana de retardo / renglones despachados 5 = Renglones agotados que involucran costo de penal / renglones agotados 7 = 0 Renglones con existencia o en almacén / total de renglones 8 = Renglones con disponibilidad < punto PED / total de renglones 9 = > Valor de inventario por arriba del punto máximo / valor total del inventario 10 = > 12 Renglones con último movimiento mayor a 12 meses / total de renglones 11 = > 12 Valor de inventario con último movimiento mayor a 12 meses / valor total del inventario 12 = Valor total de los despachado / valor total del inventario 13 = Valor de los despachado / valor de lo comprado Uso de contratistas 1 = Contratos en marcha / total de contratos 2 = Contratos con variaciones / total de contratos



21

3 = Valor contratos en marcha / valor de contratos 4 = Valor de variaciones en contratos / valor de contratos 5 = Valor contratado por contratista / valor de contratos 6 = Valor contratos / costo de mantenimiento La organización 1 = Personal de mantenimiento / Total de personal 2 = Supervisores de línea de mantenimiento / operarios de mantenimiento 3 = Personal de mantenimiento en planeación y programación / operarios de mantenimiento 4 = Costo de nómina de mantenimiento / costos totales de mantenimiento 5 = Pagos por sobretiempo / pago de tiempo ordinario 6 = Operarios de mantenimiento / total de producción donde: CT = Control de trabajo ODT = Ordenes de desarrollo de trabajo HH = Horas hombre Efectividad del sistema 1 = Capacidad real / capacidad instalada 2 = ( + ) Horas de operación / (horas de operación + horas fuera de servicio) 3 = Horas de operación / número de corridas 4 = Horas fuera de servicio / número de corridas 5 = Paradas programadas / paradas no programadas 6 = Horas pérdidas por falla de equipo / horas fuera de servicio 7 = HH en reparación correctiva / HH en mantenimiento de equipo 8 = HH en mantenimiento preventivo / HH en mantenimiento de equipo 9 = HH en inspección / HH en mantenimiento de equipo 10 = HH en reacondicionamiento / HH en mantenimiento de equipo 11 = HH en mantenimiento de equipo / HH en el periodo 12 = Trabajos de mantenimiento preventivo completados / trabajos de mantenimiento preventivo programados 13 = Producción pérdida o diferida por falla de equipo / producción programada Costos 1 = Costos de mantenimiento / presupuesto aprobado



22

2 = Costos de mantenimiento / costos totales 3 = Costos de mantenimiento / costos de producción 4 = Costos de mantenimiento / unidades producidas 5 = Costos de penalización por producción pérdida / costos totales 6 = Costos de penalización por producción / costos de mantenimiento 7 = Costos por mantenimiento preventivo / costos de mantenimiento 8 = Costos por reparaciones correctivas / costos de mantenimiento 9 = Costos por inspecciones / costos de mantenimiento 10 = Costos por reacondicionamiento / costos de mantenimiento 11 = Costos por mantenimiento preventivo / trabajos de mantenimiento preventivo 12 = Costos por reparaciones correctivas / trabajos de reparación correctiva 13 = Costos por inspecciones / trabajos de inspección 14 = Costos por reacondicionamiento / trabajos de reacondicionamiento 15 = Costos de mantenimiento / valor de reemplazo de equipos 16 = Valor de los despachado / costo de mano de obra de mantenimiento 17 = Costo administrativo de mantenimiento / costos de mantenimiento



23

Confiabilidad

= + 100 donde: R: Confiabilidad MTBF: Tiempo medio entre fallas MTTR: Tiempo medio para reparación = ℎ 100 = ℎ 100 donde: hT: Horas trabajadas o de marcha durante el periodo de evaluación p: Número de paros durante el periodo de evaluación hp: Horas de paro durante el periodo de evaluación



24

Métodos de mantenimiento vs. costo

Sistemas en serie = donde: Rs = Confiabilidad en serie Cf1, Cf2,....., Cfn son las confiabilidades de cada equipo Sistemas en paralelo = ( ) + ( ) + ( )+ + donde: Rp = Confiabilidad en Paralelo Cf1, Cf2,...., Cfn son las confiabilidades de cada uno de los equipos. Pr1, Pr2,..., Prn son las participaciones de cada uno de los equipos en la producción del sistema evaluado.

Generalizando para n equipos en paralelo:

= ∑ ∑



25

Restablecimiento de la confiabilidad

Probabilidad de falla Mantenimiento productivo total = + donde: Dp = Mantenimiento productivo total TF = Tiempo disponible para producir (Tiempo real) TAP = Tiempo de parada propia (Set-Up)



26

Disponibilidad intrínseca o de explotación = −

= − donde: Di = Disponibilidad intrínseca o de explotación TR = Tiempo requerido, durante el cual se produce TAI = Tiempo de parado incluido (parada imprevista) Tiempo medio de parada por averías = donde: TP = Tiempo de averías NP = Número de averías Tiempo medio entre averías MTBF (tiempo de buen funcionamiento) = donde: TF = Tiempo de funcionamiento NP = Número de averías Tiempo de funcionamiento medio = donde: TF = Tiempo de funcionamiento NAP = Número de paradas planificadas Tasa de fallo = 1



27

Trabajo en mantenimiento correctivo Es la relación entre los hombres horas gastados en reparaciones de mantenimiento correctivo y los hombres horas disponibles. = ( )( ) Consumo de los aparatos electrodomésticos

Aparatos o equipos Potencias W

Lavaplatos Cocinas eléctricas Frigoríficos Lavadoras Televisor Plancha Asador Secador de pelo Estufa eléctrica Ventilador Aspirador Enceradora Batidora

3 500 240 - 4 000 150 - 250

2 000 - 4 000 180

500 - 1 200 700 350

500 - 2 500 200 - 2 000 250 - 600

600 400



28

Formulario general Matemáticas

Álgebra



29

Para matrices A y B

( )

( ) ( )

( )

( )

=

=

=+

= −−−

singular noA ;(A)det

1 )(Adet

I det(A) =A)A (Adj A AdjA

det(B) det(A)= (AB)det

)(Adet = (A)det

A B= AB

Atr a= aAtr

B tr +A tr B)tr(A

singulares no By A ;AB AB

1-

T

TTT

111

Si B = { }v1, , v , v2 n es base de un espacio V; x V∈ y x v v vn n= + + +α α α1 1 2 2 ; entonces, el vector de coordenadas de x respecto a B es:

( ) ( )x B T= α α α1, , , 2 n Si ( )u w, , v V C∈ espacio vectorial, entonces ( ) ( )f u v u v, |= es producto interno en V si: 1) ( ) ( )u v v| = |u 2) ( ) ( ) ( )u v w u u | v | w| + = + 3) ( ) ( )α α v | vu u| = 4) ( )u | u si u> ≠0 0

( )v v= | v 1 2 norma de v

( ), v distancia de u a vd u v u= −

( ) v uv cos •= uθ coseno del ángulo entre u y v



30

Si { }n21 g , ,g , gB = es base ortogonal de un espacio V; v V∈ y

( ) ( ) ( )( )vv

gBn

T= =α α α α1 2, , , ; entonces | g

g | i = 1, 2, , ni

i

i i Si { }e1, , e , e2 m es base ortonormal de un subespacio W del espacio V y v V∈ ; entonces, la proyección de ( )v ei sobre W es: v |e i

i=1

m

Para la transformación lineal T:V→W( ) ( ){ }( ) ( ){ }

( ) ( )

T V T v | v V recorrido de V

N T v V / T v O nucleo de T

d im V = d im T V + d im N T

= ∈

= ∈ =

Para T:V→W; A= { }v1, , v , v2 n base de V y B base de W la matriz asociada a T, ( )M TBA tiene por columnas a:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]T v v T vB B

nB

1 , , , T 2

para T:V→V, v V∈ es vector característico de T si:

( )T v v= ≠ ≠λ λ con 0 y v 0



31

Fórmulas para potencia y raíces

( )⋅ ± ⋅ = ± ⋅n n np a q a p q a m n m na a a +⋅ = m

m nn

a aa

−= ( ) ( )n mm n m na a a ⋅= =

1nna a

− = nn

n

a ab b

=

( )n n np a q a p q a⋅ ± ⋅ = ± ⋅ n n na b a b⋅ = ⋅ 1

n nn

n

a a ab bb

= =

n x nm x ma a⋅ ⋅ =

( ) mmn m n na a a ∗= = a i a− = ⋅

( ) ( )22 No es válida en algunos casos; p. ej., 2 2, 2 2∗ − = + − = − Nota: Los exponentes para potencias y raíces deben ser escalares Transformación de expresiones algebraicas usuales

( )2 2 22a b a ab b± = ± + ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b± = ± + ±

( )2 2 2 22 2 2a b c a ab ac b bc c+ + = + + + + + ( )( )2 2a b a b a b− = + −

( ) ( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − + ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + + 2

21,2

40 2

− ± −+ + = = b b acax bx c xa

22

1,20 2 4p px px q x q+ + = = − ± − ( )2 2 2 22 2 2a b c a ab ac b bc c− + = − + + − +

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 31 1 21 1 2 1 2 3

n n n n n nn n n n nna b a a b a b a b b− − −− − −

+ = + + + + +⋅ ⋅ ⋅

( )( )1 2 3 2 2 1n n n n n n na b a b a a b a b ab b− − − − −+ = − − + + +



32

Logaritmos

( )log log logx y x y⋅ = + log log logx x yy = −

log lognx n x= 1log logn x xn

=

log log=a n n a log 1=a alog1 0=

Binomio de Newton

( ) 1 2 2 3 30 1 2 3

n n n n nn n n na b a a b a b a b− − − + = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

Donde n tiene que ser un número entero

( ) ( )1 2 11 2 3

n n n n n kk k

− − − + = ⋅ ⋅

Teorema del binomio (de Newton)

( ) ( )2

n n n 1 xnx1 x 1 . . .1! 2!

−+ = + + +

Teorema binomial

( ) nn k n kk 0n

x a x ak

−=

+ =

Permutaciones Número de permutaciones de n elementos

! 1 2 3nP n n= = × × × ×



33

Combinaciones y ordenaciones

Número de combinaciones sin repetición

Número de combinaciones con repetición

( )!

! !nk

nnCkk n k

= = −

( )( )

11 !! 1 !

+ −+ − = = −

r nk

n kn kC

kk n

r con repetición

Número de ordenaciones sin repetición Número de ordenaciones con repetición

( )!!

!n nk k k

n nO C P kk n k

= ⋅ = ⋅ = − r n kkO n=

donde: C: número de combinaciones posibles n: número de elementos dados k: número de elementos seleccionados de entre n elementos dados O: número de ordenaciones posibles Serie binómica o binomial

( ) ( ) ( ) 211 1 ...2!

−= ± = ± + +f x x x xα

α αα

α es un número cualquiera, positivo o negativo, entero o fraccionario

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1!

− − − − + =

nn nα α α α α α

Serie de Taylor (serie de McLaurin)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ''

2

1! 2!f a f a

f x f a x a x a= + − + − +

Forma de McLaurin, cuando 0a =

( ) ( ) ( ) ( )' ''

20 001! 2!f f

f x f x x= + + +

Expansión de Taylor

2 3x x x xe 1 . . . , x

1! 2! 3!= + + + + − ∞ < < ∞



34

Cálculo diferencial Relación de cambio: Derivada Pendiente en un punto. Relación (o intensidad) de cambio Pendiente de una curva En una curva y = f (x) , la pendiente m varía en cada punto. La pendiente de la curva en un punto P es también la pendiente de su tangente en dicho punto:

m = tanα = Δy 'Δx '

Relación media de cambio (cociente incremental)

La intensidad media de variación de la función y = f (x) es la relación de los incrementos ΔyΔx

correspondientes al segmento de curva PP1

ΔyΔx

=f (x + Δx) − f (x)

Δx

Derivada (cociente diferencial) Cuando Δx tiende a cero, el punto P1 tiende al punto P, y la secante PP1 , a la tangente a la curva en P. De manera que la relación de incrementos se convierte en la relación de diferenciales, que es la derivada (o Intensidad de cambio) de la función en P:

y ' = limΔx→0

ΔyΔx

=dydx

= f '(x)

Interpretación geométrica de la derivada Curvas de derivadas sucesivas Si para cada x de una curva se lleva la pendiente (o derivada) correspondiente y' como ordenada, se obtendrá la curva de y ' = f '(x) , o de la primera derivada de la curva dada y = f (x) . Si se deriva la curva y ' = f '(x) se obtendrá y '' = f ''(x ) o la segunda derivada de la curva dada y = f (x) , etc. Radio de curvatura ρ en un punto dado x.

ρ = (1+ ′y2 )3

′′y



35

Coordenadas del centro de curvatura C correspondiente a un radio ρ

a = x − 1 + ′y2

′′y′y

b = y + 1 + ′y2

′′y

Determinación de los valores máximos, mínimos y puntos de inflexión Valores máximos y mínimos Hágase y ' = 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustitúyase ahora x = a en y '' Si y ''(a) > 0 habrá un mínimo en x = a Si y ''(a) < 0 habrá un máximo en x = a Punto de inflexión Hágase y '' = 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustitúyase ahora x = a en ''y Si y ''(a) ≠ 0 habrá un punto de inflexión en x = a Forma de la curva y = f (x)



36

Crecimiento y decrecimiento y '(x) > 0 y(x) crece si aumenta xy '(x) < 0 y(x) decrece si aumenta xy '(x) = 0 y(x) tiene en x una tangente paralela al eje x

Curvatura y ''(x) > 0 y(x) será cóncava hacia arribay ''(x) < 0 y(x) será cóncava hacia abajoy ''(x) = 0 con cambio de signo y(x) tendrá en x un punto de inflexión sin cambio de signo y(x) tendrá en x un máximo o un mínimo

Otros casos Si para x = a

( 1)'( ) ''( ) '''( ) ( ) 0−= == = = ny a y y y aa a , pero yn ≠ 0 , pueden presentarse los cuatro casos siguientes:



37

Tablas de derivadas ddx

c( ) = 0 ( )ddxcx c=

( )ddxcx ncxn n= −1 ( )d

dxu v w

dudx

dvdx

dwdx

± ± ± = ± ±

( )ddx

cu cdudx

= ( )ddxuv u

dvdx

vdudx

= +

( )ddx

uvw u vdwdx

u wdvdx

v wdudx

= + + ( ) ( )ddx

uv

v dudx udvdx

v

=

−2

( )ddxu nu

dudx

n n= −1 dudx dx du

= 1

dFdx

dFdududx

= (Regla de la cadena)

Derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas

[ ]ln ln

-1

ln

ln

v v u v u

v v

d d du e e v udx dx dx

du dvvu u udx dx

= = =

+ loglog 0, 1aa

ed duu a adx u dx

= > ≠

lnu ud dua a adx dx

= 1ln loged d duu udx dx u dx

= =

u ud due edx dx

=

Derivadas de las funciones trigonométricas y de las trigonométricas inversas ddx

u u dudx

sen cos= ddx

u u dudx

cot csc= − 2

ddx

u u dudx

cos sen= − ddx

u u u dudx

sec sec tan=

ddx

u u dudx

tan sec= 2 ddx

u u u dudx

csc csc cot= −

1 1

2

1cos 0 cos1

d duu udx dxu

π− −− = <



38

1

2 2

12

12

1 1sec ,1 1

0 sec sec

d du duudx dx dxu u u u

si usi u

π

π π

−

−

−

±= =− −

+ < < − < > − < < < + < < < −



39

Cálculo integral Significado de la integración Por integración se entiende el encontrar una función ( )F x a partir de una función dada ( )y f x= de manera que la derivada ( )F x′ sea igual a la original ( )f x . Por lo tanto,

( )( ) ( )dF xF x f xdx

′ = =

La integral indefinida

( ) ( )f x dx F x C= + C es una constante indeterminada que desaparece al derivar, ya que la derivada de una constante es igual a cero. Significado geométrico de la integral indefinida. Como muestra la figura, hay una infinidad de curvas ( )y F x= con pendiente o derivada ( )y F x′ = . Todas las curvas ( )y f x= son iguales pero desplazadas paralelamente y en la dirección del eje y. La constante C fija una curva determinada. Si la curva debe pasar por el punto 0 0,x y se tendrá:

0 0( )C y F x= −

La integral definida La integral definida tiene la forma:

( ) ( ) ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a= = −



40

En la integral resultante se sustituye primero el límite superior y luego el inferior, y se resta el segundo resultado del primero. Desaparece así la constante C.



41

Reglas de integración Formas fundamentales

u dv uv v du= − u ue du e C= +

u dun

u C nn n=+

+ ≠ −+ 1 1 11 a du

aaCu

u

= + ln

lndu u Cu

= +

Formas trigonométricas

sen cosu du u C= − + csc cot cscu u du u C= − +

+= Cuduu sencos += Cuduu seclntan

+= Cuduu tansec 2 cot ln senu du u C= +

2csc cotu du u C= − + Cuuduu ++= tanseclnsec

+= Cuduuu sectansec csc ln csc cotu du u u C= − +

Formas cuadráticas

a u duua u

au a u C2 2 2 2

22 2

2 2+ = + + + + + ln

dua u

uaC

2 21

−= +− sen

( )u a u du u a u a u a u a u C2 2 2 2 2 2 22

2 2

82

8+ = + + − + + + ln +=+

− Cau

auadu 1

22tan1

a uu

du a u aa a u

uC

2 22 2

2 2+= + −

+ ++ ln

duu u a a

uaC

2 211

−= +− sec

duu a u

a ua u

C2 2 2

2 2

2+= −

++

dua u a

u au a

C2 21

2−=

+−

+ ln



42

( )du

a uu

a a uC

2 2 3 2 2 2 2+=

++ / duu a a

u au a

C2 21

2−=

−+

+ ln a uu

dua uu

u a u C2 2

2

2 22 2+ = −

++ + + + ln du

u a u aa u a

uC

2 2

2 21+

= −+ +

+ ln

( )u a u du u u a a u a ua

C2 2 2 2 2 2 24

1

82

8− = − − + +− sen a u du u a u a u

aC2 2 2 2

21

2 2− = − + +− sen

u dua u

ua u

au a u C

2

2 22 2

22 2

2 2+= + − + + + ln du

a uu a u C

2 22 2

+= + + + ln

u a duuu a

au u a C2 2 2 2

22 2

2 2− = − − + − + ln u du

a uua u

a uaC

2

2 22 2

21

2 2−= − − + +− sen

a uu

du a u aa a u

uC

2 22 2

2 2−= − −

+ −+ ln a uu du u a u

uaC

2 2

22 2 11− = − − − +− sen

duu a u a

a a uu

C2 2

2 21−

= −+ −

+ ln ( )u u a duuu a u a

au u a2 2 2 2 2 2 2

42 2

82

8− = − − − + − + ln C

duu a u a u

a u C2 2 2 2

2 21−

= − − + u au

du u a aauC

2 22 2 1− = − − +− cos

( ) ( )a u du u u a a u a uaC2 2

32 2 2 2 2

41

82 5

38

− = − − − + +− sen u au

duu au

u u a C2 2

2

2 22 2− = −

−+ + − + ln

( )du

a u

ua a u

C2 2

32 2 2 2−

=−

+ duu a

u u a C2 2

2 2

−= + − + ln

+−++−=−Cauuaauu

auduu 22222

22

2

ln22

( )21 lnudu a bu a a bu C

a bu b= + − + +

+

( )( )

( )du

u a bua bu

a n ub na n

duu a bun n n+

= −+

−−

−− +− −

12 3

2 11 1

duu u a

u aa u

C2 2 2

2 2

2−=

−+

( ) ( )[ ]u dua bu b a bu a a bu a a bu C2

32 21

24 2

+= + − + + + + ln

( )3 2 2 22 2 2du u C

a u au a= − +

−−

( )du

u a bu au

a buC

+=

++ 1 ln du

u a bu aa bu a

a bu aC a

+=

+ −

+ ++ > 1 0ln , si

=−

+−

+



43

( ) ( )udua bu

ab a bu b

a bu C+

=+

+ + + 2 21

ln a buu

dua buu

b duu a bu

+= −

++

+ 2 2

( ) ( )du

u a bu a a bu aa buu

C+

=+

−+

+ 2 21 1

ln ( )udua bu b

bu a a bu+

= − + 23 22

( ) +

+−

+−+=

+Cbuaa

buaabua

bbuaduu ln21

2

32

2

( ) ( )u dua bu

u a bub n

nab n

u dua bu

n n n

+=

++

−+ +

−2

2 122 1

1

( )( )u a budub

bu a a bu C+ = − + + 215 3 223

2

Otras formas trigonométricas

3 1 12 2csc csc cot ln csc cotu du u u u u C= − + − + 2 1 12 4sen sen 2u du u u C= − +

1 21 1sen sen cos senn n nnnudu u u udun

− −−= − + 2 1 1

2 4cos sen 2u du u u C= + +

cos cos sen cosn n n nu du u unn

udu= +−− − 1 1 21

+−= Cuuduu tantan 2

−− −−= duuunduunnn 21 tantan

11tan +−−= Cuuduu cotcot

2

cot cot cotn n nu dun

u u du=−−

−− − 111 2 ( )3 213sen 2 sen cosu du u u C= − + +

sec sec secn n nu dun

tanu unn

u du=−

+−−

− − 1 121

2 2 ( )3 213cos 2 cos senu du u u C= + + csc cot csc cscn n nu du

nu u

nn

udu=−

+−−

− − 1 121

2 2 ++= Cuuduu coslntantan 2213

( )( )

( )( )

sen sensen sen

2 2a b u a b u

au bu du Ca b a b

− += − +

− + 3 21

2cot cot ln senu du u u C= − − + ( )( )

( )( )cos cos

sen senau budu

a b ua b

a b ua b

C=−−

+++

+ 2 23 1 1

2 2sec sec tan ln sec tanu du u u u u C= + + + 1cos sen senn n nu u du u u n u u du−= −

( )( )

( )( )sen cos

cos cosau bu du

a b ua b

a b ua b

C= −−−

−++

+ 2 2 sen sen cosu u du u u u C= − +

sen cosn mu u du= −

++

−+

− +−sen cos sen cos

n mn mu u

n mnn m

u udu1 1

21

= −+

+−

+

+ −−sen cos sen cos

n mn mu u

n mmn m

u udu1 1

21

cos cos senu u du u u u C= + + 1sen cos cosn n nu u du u u n u u du−= +

u u duu

uu u

Ccos cos− −=−

−−

+ 12

122 1

414

+−+= −− Cuuuduuu

2tan

21tan 1

21



44

u udun

u uu du

unn n

n

sen sen ,− + −+

=+

−−

≠ − 1 1 1

1

2

11 1

1 1 1 2sen sen 1u du u u u C− −= + − +

u udun

u uu du

unn n

n

cos cos ,− + −+

=+

+−

≠ − 1 1 1

1

2

11 1

1 1 1 2cos cos 1u du u u u C− −= − − +

−≠

+−

+=

+−+− 1,

1tan

11tan

2

1111 n

uduuuu

nduuu

nnn

( ) ++−= −− Cuuuduu 22111 1lntantan

Formas exponenciales y logarítmicas

( )ue dua

au e Cau au= − + 1 12 ln lnu du u u u C= − +

u e duau e

nau e dun au n au n au= − − 1 1

( )( )[ ]u u du u

nn u Cn

n

ln ln=+

+ − ++

1

211 1

( )e bu duea b

a bu b bu Cauau

sen sen cos=+

− + 2 2 1

u udu u C

lnln ln= +

( )e bu due

a ba bu b bu Cau

au

cos cos sen=+

+ + 2 2

Formas hiperbólicas

senh coshu du u C= + += Cuduu 21tanlnsech cosh senhu du u C= + += Cuduu tanhsech 2 += Cuduu coshlntanh +−= Cuduu cothcsch 2

coth ln senhu du u C= + +−= Cuduuu sechtanhsech += − Cutanduu senhsech 1 +−= Cuduuu cschcothcsch Otras formas cuadráticas

22

22

2 22

1au u duu a

au ua a u

aC− =

−− +

−

+− cos

duau u

a ua

C2 2

1

−=

−

+− cos

u au u duu au a

au ua a u

aC2

2 36

22

22

23

1− =− −

− +−

+− cos

uduau u

au u aa ua

C2

22

2 1

−= − − +

−

+− cos

22

2

22 1au u

udu au u a

a ua

C−

= − +−

+− cos

duu a u u

a u ua u

C2

22

2

−= −

−+

( ) +

−+−+−=

−− C

auaauauau

uauduu 122

2

2

cos2

3223

2

2 2 222

21au u

udu

a u uu

a ua

C−

= −−

−−

+− cos



45

Regla de Simpson Para curvas hasta de tercer grado

( )0 1 243ih

A y y y= + +

Para curvas de grado mayor que el tercero

( ) ( )0 2 4 2 1 3 12 ... 4 ...3 n n nh

A y y y y y y y y− − = + + + + + + + + +

Integrales múltiples

( )( )

2

1

( ),

b f x

x a y f xF x y dydx

= = ( )( ){ }2 1( ) ,b f xx a y f x F x y dy dx= == Donde ( )y f x= 1 e ( )y f x= 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:

( )( )

2

1

( ),

d g y

y c x g yF x y dxdy

= = ( )( ){ }2 1( ) ,d g yy c x g y F x y dx dy= == Dondex g y= 1( ) , x g y= 2 ( ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ, respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G. Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones.

( ) ( )t

as s t r t dt′= =

Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a t, .

En parámetro arbitrario: En parámetro s:

Vector tangente unitario ( )( )( )r tt tr t′

=′

( ) ( )t s r s=

Vector normal principal ( ) ( ) ( )n t b t t t= ×

n sr sr s

( )( )( )

=

Vector binormal ( )( )( )

r r tb tr r t′ ′′×=′ ′′×

( ) ( )( )( )

r s r sb sr s

×=



46

Los vectores unitarios t n b, , forman una triada positiva ( ) b t n n b t t n b= = =x x x, ,

Recta tangente en t0 Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica

( ) ( ) ( ) r r t r tλ λ= + ′0 0 x xxy yy

z zx

−′

= −′

= −′

0

0

0

0

0

0

Plano oscilador( ) t n, en t0 Ecuación vectorial Ecuación paramétrica

( )( ) ( ) ( )( ) r r t r t xr t− • ′ ′′ =0 0 0 0 x x y y z zx y zx y z

− − −′ ′ ′′′ ′′ ′′

=0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

Curvatura y torsión

32 2

´́

1 ( )́

y

yκ =

+

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

κ τtr t r tr t

tr t r t r tr t r t

=′ ′′

′=

′ ⋅ ′′ ′′′′ ′′

x xx3 2

( ) ( )s r sκ = d T kNds

=

d N B kTds

τ= −

d B Nds

τ= −

Plano normal Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:

( )( ) ( ) r r t r t− ⋅ ′ =0 0 0 ( ) ( ) ( )′ − + ′ − + ′ − =x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0 Plano rectificante ( ) t b, en t0 Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:

( )( ) ( ) r r t n t− ⋅ =0 0 0 x x y y z zx y z

y z y z z x z x x y x y

- - -0 0 00 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0′ ′ ′′ ′′ − ′′ ′ ′ ′′ − ′′ ′ ′ ′′ − ′′ ′

=



47

Componentes tangencial y normal de la aceleración

.T

aa Ta νν

→ →→ →

→= =

N

x aa Na

ν

ν

→ →

→ →

→= =

Propiedades de la divergencia

( ) ( )

) div( ) div( ) div( )

) div( ) div( ) (grad )

) div( ) rot - rot

i F G F G

ii F F F

iii F G G F F G

φ φ φ+ = +

= + •

+ = • •



48

Geometría

Áreas

Círculo =

Trapecio A= B b+

2 h

Triángulo A=ab bhsenα

2 2=

Volúmenes

Prismas V= SB h donde SB = área de la base

Pirámides V=S hB3

donde SB = área de la base

Volumen = 433π r

Área de la superficie = 4 2π r

Volumen = π r h2

Área de la superficie lateral = 2π rh



49

Volumen = 132πr h

Área de la superficie lateral = + =π πr r h r l2 2

Volumen ( )= + +13 2 2π h a a b b Área de la superficie lateral

( ) ( )( )

= + + −= +

ππa b h b aa b l

2 2

Geometría analítica plana Distancia entre dos puntos ( ) ( )x x y y2 1 2 2 1 2− + −

Pendiente de una recta 2 12 1

y ymx x

−=

− Ecuación de una recta 1 1m( ); 0y y x x Ax By C− = − + + =

Ángulo entre rectas 1 21 2

m mtan1 m m

θ −=+

Circunferencia 2 2 2 2 2( ) ( ) ; 0x h y k r Ax Ay Dx Ey F− + − = + + + + = Parábola

Eje vertical 2 2( ) 4 ( ); 0x h p y k Ax Dx Ey F− = − + + + =

Eje horizontal 2 2( ) 4 ( ); 0

4 e 1y k p x h By Dx Ey FLR p

− = − + + + == =

Elipse

Eje focal horizontal ( ) ( )x h

ay k

b−

+−

=2

2

2

21 ; a> b

Eje focal vertical ( ) ( )x hb

y ka

−+

−=

2

2

2

21 ; a> b



50

22 2 2

2 2

2; ; 1

0; 0

b ca b c LR ea a

Ax Cy Dx Ey F AC

= + = = <

+ + + + = >

Hipérbola

Eje focal horizontal ( ) ( )x ha

y kb

−−

−=

2

2

2

21

Eje focal vertical ( ) ( )y ka

x hb

−−

−=

2

2

2

21

2

2 2 2

2 2

2; ; 1

0; 0

b cc a b LR ea a

Ax Cy Dx Ey F AC

= + = = >

+ + + + = <



51

Geometría analítica del espacio Considerando ( )P x y z1 1 1 1= , , y ( )P x y z2 2 2 2= , , Vector que une P1 y P2:

( ) ( ) ( ) ( )P P x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1= − − − =, , , , Distancia entre dos puntos:

( ) ( ) ( )d x x y y z z l m n= − + − + − = + +2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 Recta que pasa por dos puntos: Forma paramétrica:

x x l t= +1 y y mt= +1 z z n t= +1

Forma simétrica:

t x xl

= − 1 t y ym

= − 1 tz zn

= − 1

Cosenos directores:

cosα = − =x xd

ld

2 1 cosβ =− =y yd

md

2 1 cosγ =− =z zd

nd

2 1

donde α β γ, , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z, respectivamente. Ecuación del plano:

- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a→

= 1 2 3, , :

( ) ( ) ( )a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0− + − + − =

-Forma general: Ax By Cz D+ + + = 0

cos cos cos2 2 2 1α β γ+ + = o l m n2 2 2 1+ + =



52

Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano 0Ax By Cz D+ + + =

d Ax By Cz DA B C

=±

+ + ++ +

0 0 02 2 2

en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa. Coordenadas cilíndricas:

x ry rz z

===

cossen

θθ ( )

==

+=−

zz

yxr

xy1

22

tanθ

Coordenadas esféricas:

===

φρθφρθφρ

cos

cos

zsenseny

senx

( )2 2 2

1

1

2 2 2

tan

cos

yx

x y z

zx y z

ρ

θ

ϕ

−

−

= + + =

= + +



53

Definiciones geométricas importantes

Ángulo entre dos rectas en el plano 1 21 2

tan1m mm m

α −=+

Producto escalar para a y b que pertenecen a R3

a b a b a b a b• = + +1 1 2 2 3 3

Producto vectorial ai j k

a a ab b b

x b = 1 2 31 2 3

Producto mixto [ ]a b ca a ab b bc c c

=1 2 3

1 2 3

1 2 3

Ángulo entre dos vectores cosθ =a •b

a b ; senθ =

a x b a b

Ecuación vectorial de la recta p p= o + tu

Ecuaciones paramétricas de la recta ( )x x aty y btz z ct

u a b co

o

o

= += += +

= , ,

Ecuaciones cartesianas de la recta, en forma simétrica

x xa

y yb

z zc

o o o− =−

=−

u a= ( , b, c)

Distancia de un punto Q a una recta dP Qo

= x u

u

Distancia entre dos rectas ( )1 2 1 2

1 2

u x u

PP u x ud

•=

Ecuación vectorial de un plano p p ru svo= + +



54

Ecuaciones paramétricas de un plano x x ru svy y ru svz z ru sv

o x x

o y y

o z z

= + += + += + +

Ecuación cartesiana de un plano en forma general

0Ax By Cz D+ + + = N A= ( , B, C)

Ecuación normal de un plano ( )PoP N 0 ; N A,B, C• = =

Distancia de un punto Q a un plano dPoQ N

N=

•

Ángulo entre una recta y un plano Nsen

u N uα •=



55

Trigonometría Medida de ángulos planos Representación: La medida de un ángulo puede expresarse en unidades comunes (grados) o en unidades de arco (radianes). Se representa a veces, respectivamente, por α y α̂ . Unidades comunes (sexagesimales): grado (°), minuto ('), segundo ("). 1° = 60'; 1' = 60"

Unidad de arco: 1 radián (rad) es el ángulo central de una circunferencia de radio unitario que intercepta un arco también unitario. Por lo tanto,

11 1(número adimensional)1

= =mradm

Con frecuencia no se indica específicamente la unidad, como en la siguiente tabla.

α 0° 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360°

α̂ 0 / 6π / 4π / 3π 5 /12π / 2π π 3 /2π 2π 0 0.52 0.78 1.05 1.31 1.57 3.14 4.71 6.28



56

Equivalencias. Por definición:

180360 2 rad, 1 rad = 57.2967

1 rad = 0.017453 rad180

ˆ =180 57.2967

longitud de arcoˆ = radio

°° = = °

° =

=

= arc

ππ

π

π αα α

α α

La longitud de un arco (b) es el producto del radio r y el ángulo central α̂ (en radianes) de la circunferencia:

b = rα̂ Funciones trigonométricas En un triángulo rectángulo:

cateto opuestosenhipotenusa

cateto adyacentecoshipotenusa

cateto opuestotancateto adyacente

acbcab

α

α

α

= =

= =

= =



57

Operaciones con funciones trigonométricas sen cos2 2 1A A+ = sen cos2 12 12 2A A= −

sec tan2 2 1A A− = cos cos2 12 12 2A A= +

csc cot2 2 1A A− = sen sen cos2 2A A A=

tan sencos

A AA

= cos cos sen2 2 2A A A= −

cot cossen

A AA

= ( )sen sen cos cos senA B A B A B± = ±

sen cscA A=1 ( )cos cos cos sen senA B A B A B± =

cos secA A=1 ( )tan A B tanA tanBtanAtanB

± =±

1

tan cotA A=1 sen cosA A2

12

= ± −

( )sen sen− = −A A cos cosA A2

12

= ± +

( )cos cos− =A A ( ) ( )[ ]sen sen cos cosA B A B A B= − − +12 ( ) AA tantan −=− ( ) ( )[ ]sen cos sen senA B A B A B= − + +12

( ) ( )[ ]cos cos cos cosA B A B A B= − + +12



58

Las leyes siguientes son válidas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C. Ley de los senos

aA

bB

cCsen sen sen

= =

Ley de los cosenos

c a b a b C2 2 2 2= + − cos

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar Ley de las tangentes

( )( )

a ba b

tan A Btan A B

+−

=+−

1212

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar Teorema de Pitágoras

2 2 2a b c+ = Valores de las funciones de ángulos importantes

θ sen θ cos θ tan θ cot θ sec θ csc θ

0° 0 1 0 ∞ 1 ∞

30° 21

23

33 3

332 2

45° 22

22 1 1 2 2

60° 23

21 3

33 2

332

90° 1 0 ∞ 0 ∞ 1



59

Relaciones entre ángulo simple, ángulo doble y mitad de ángulo:

sinα = cosα = tanα = cotα = cos(90 )α° − ° − αs n(90 )e cot(90 )α° − tan(90 )α° −

21 cos α− − α21 s ne 1

cotα 1

tanα

⋅2s n cos2 2

eα α

−2 2cos s n2 2

eα α

s ncose α

α

αα

coss ne

2

tan

1 tan

αα+

2

cot

1 cot

αα+

− 2s n

1 s n

e

e

αα

2

cos

1 cos

αα−

2cos cos2α α− −21 2 s n

2e

α

2

11

cos α− −2

11

s ne α

2

1

1 cot α+

2

1

1 tan α+

2

2 tan2

1 tan2

α

α+

2

2

1 tan2

1 tan2

α

α

−

+

2

2 tan2

1 tan2

α

α−

2cot 12

2 cot2

α

α

−

=s n 2e α cos2α = tan 2α = cot2α =

⋅2 s n cose α α −2 2cos s neα α

2

2 tan

1 tan

αα−

2cot 1

2cotα

α−

22 cos 1α − 2cot tanα α−

1 1cot tan2 2

α α− − 21 2sen α

=s n2

eα

cos2α = tan

2α = cot

2α =

1 cos2

α− 1 cos2

α+

+s n

1 cose α

α

−s n

1 cose α

α

−1 coss ne

αα

+1 coss ne

αα

1 cos1 cos

αα

−+

1 cos1 cos

αα

+−



60

Números complejos Forma trigonométrica o polar de un número complejo

Se tiene que ( , )r z x y= = y que 1arg( ) tan yzx

− θ = =

Luego:

sin sin

cos cos

y y rrx x rr

θ = = θ θ = = θ

Por lo tanto:

( , ) cos sin (cos sin )z x y x yi r i r r i= = + = θ + θ = θ + θ Forma exponencial de un número complejo Sea (cos sin )z r i= θ+ θ un número complejo donde r es su módulo y θ su argumento. Entonces mediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene:

(cos sin ) iz r i r e θ= θ + θ = Teorema de De Moivre Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que

r cosθ + isenθ( )[ ]p = r p cos pθ + isenpθ( ) Sea n cualquier entero positivo y p n=

1 , entonces

r cosθ + isenθ( )[ ]1n = r 1n cosθ +2kπn + isen θ +2kπn[ ] donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número complejo haciendo 1,,2,1,0 −= nk



61

Análisis vectorial Magnitud, dirección y componentes de vectores. Vector: Representación de una cantidad física con magnitud y dirección.

Coordenadas del punto inicial del vector

Coordenadas del punto final del vector Vectores unitarios sobre los ejes Componentes escalares

Componentes vectoriales

Magnitud de un vector: (o bien, )

( siempre )

Cosenos directores de un vector:

son los ángulos entre el vector y los ejes

, ,

Cálculo de las componentes. Si se conocen ,

A 1 1 1: , ,a x y z

B 2 2 2: , ,a x y z

, , : , ,OX OY OZ i j k

, , 0x y za a a><

2 1

2 1

2 1

x

y

z

a x x

a y y

a z z

= −= −= −

x y z

x y z

a a a a

a a i a j a k

= + += − +

a

a

2 2 2| | x y za a a a= + +

| |a

0≥

cos , cos , cosα β γ

, , α β γ a , , .OX OY OZ ( ), , 0 180 .α β γ = ° °

cos| |xa

aα = cos

| |ya

aβ = cos

| |za

aγ =

| |, , , a α β γ

| | cos ;xa a α=

| | cos ;ya a β=

| | cosza a γ=



62

Observación: Operaciones vectoriales como la determinación de magnitudes, cosenos directores, sumas y productos se llevan a cabo con las componentes de los vectores a lo largo de los ejes

Adición y sustracción de vectores Suma vectorial de dos vectores libres y

Diferencia vectorial de dos vectores libres y

Valores importantes

para 2 vectores

0°; 360° 90° 180° 270°

0 Suma vectorial de dos vectores libres y , , etc.:

, , .OX OY OZ

s

a b

2 2 2

, ,

| |

x y z

x x x y y y z z z

x y z

s a b s i s j s k

s a b s a b s a b

s s s s

= + = + += + = + = +

= + +

s

a b

2 2 2

( )

, ,

| |

x x x y y y z z z

x y z

s a b

s a b s a b s a b

s s s s

= + −= − = − = −

= + +

| |s

ϕ

| | | |a b≠

| | | |a b+ 2 2| | | |a b+

| | | |a b− 2 2| | | |a b+

| | | |a b= 2 | |a | | 2a | | 2a

s

a b

c−

2 2 2

, ,

| |

x y z

x x x x y y y y z z z z

x y z

s a b c s i s j s k

s a b c s a b c s a b c

s s s s

= + − + = + += + − + = + − + = + − +

= + +



63

Producto de un escalar por un vector Escalar: Magnitud física sin dirección. El producto escalar con el vector da el vector

Si entonces por lo que

Si entonces por lo que

Productos de dos vectores libres El producto escalar de dos vectores libres y da el escalar Símbolo del producto escalar: punto “ˑ”

Valores importantes

0°; 360° 90° 180° 270°

0 0 Ejemplo: Trabajo de una fuerza en el desplazamiento

Fuerza Desplazamiento

k a

c

; ; ; | |x x y y z z

c k a

c k a c k a c k a c k a

= ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

0,k > ,c a↑↑

0,k < ,c a↑↓

a b

k

1

cos | | | | cos

cos| | | |

x x y y z z

x x y y z z

k a b b a a b a b

k a b a b a b

a b a b a b

a b

ϕ ϕ

ϕ −

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅=

⋅

ϕ| | | | cosa b ϕ⋅

| || |a b+

| || |a b−

W Fs

W = × = F s⋅

cosW F s ϕ=



64

El producto vectorial de dos vectores libres y da el vector Símbolo del producto vectorial: cruz “x”

, , forman una triada derecha

Valores importantes

0°; 360° 90° 180° 270°

0 0

A B• = ≤ ≤A B cosθ θ π0 donde θ es el ángulo formado por A y B

A B• = + +A B A B A B1 1 2 2 3 3 donde:

A i j k= + +A A A1 2 3 B i j k= + +

∧ ∧ ∧B B B1 2 3

Son resultados fundamentales:

Producto cruz: 1 2 31 2 3

i j kA B A A A

B B B

∧ ∧ ∧

× =

( ) ( ) ( )kji ˆˆˆ 122131132332 BABABABABABA −+−+−= Magnitud del producto cruz senθ× =A B A B El operador nabla se define así:

a b

c

( )| | sin | || | sin

y

c a b b a

c ab a b

c a c b

ϕ ϕ= × = − ×

= =⊥ ⊥

a b

c

2 2 2| |

x y z z y

y z x x z

z x y y x

x y z

c a b a b

c a b a b

c a b a b

c c c c

= −= −= −

= + +

ϕ| | | | sina b ϕ⋅

| || |a b+

| || |a b−



65

x y z∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂

i j k

En las fórmulas siguientes se asume que ( , , )U U x y z= y ( , , )A A x y z= tienen derivadas parciales.

Gradiente de U grad( ) U U UU U Ux y z x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ∇ = + + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ i j k i j k

Divergencia de A ( ) 31 21 2 3div( )AA AA A A A A

x y z x y z ∂∂ ∂∂ ∂ ∂= ∇ • = + + • + + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

i j k i j k

Rotacional de A ( )1 2 3

1 2 3

3 32 1 2 1

rotA A A A Ax y z x y z

A A A

A AA A A Ay z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ∇ × = + + × + + = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

i j k

i j k i j k

i j k

Laplaciano de U 2 2 2

22 2 2( )U U UU Ux y z

∂ ∂ ∂∇ = ∇ • ∇ = + +∂ ∂ ∂



66

Función de fracciones racionales Descomposición

20 1 2

20 1 2

...( )( ) , donde y on enteros y ( ) ...

mmn

n

a a x a x a xP xy x n m s n mQ x b b x b x b x

+ + + += = >+ + + +

Los coeficientes , pueden ser reales o complejos. Si son las raíces de , se obtiene la

forma factorizada:

1 21 2

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ...( )k k kqq

P x P xy xQ x x n x n x nα

= =− − −

En esta expresión pueden representarse raíces de multiplicidad 1 2, , ..., qk k k de ( )Q x , que pueden ser reales o complejas; α es un factor constante. Descomposición de fracciones parciales Para lograr un manejo más sencillo de ( )y x es conveniente descomponerla en fracciones parciales:

1 111 122 1

1 1 1

2 221 222 2

2 2 2

1 22

( )( ) ...( ) ( ) ( )

... ...( ) ( )

...( ) ( )

kk

kk

q q qkqkq

q q q

AA AP xy xQ x x n x n x n

AA Ax n x n x nA A Ax n x n x n

= = + + +− − −

+ + + +− − −

+ + +− − −

Si los coeficientes de ( )Q x son reales, aparecen raíces complejas por parejas (raíces complejas conjugadas). Para efectuar la descomposición se agrupan estas parejas en fracciones parciales reales. Si en 2 1'1, b n n= (compleja conjugada de 1n ) y debido a su aparición por parejas 1 2 3k k k= = , entonces las fracciones parciales de ' 2b , con las constantes 11 2 2,..., kA A pueden agruparse en las fracciones parciales:

1 111 11 12 122 2 2 2...( ) ( )

k kk

B x CB x C B x Cx ax b x ax b x ax b

++ ++ + ++ + + + + +

aγ bμ nδ ( )Q x



67

Series de Fourier

Toda función periódica f(x), que puede descomponerse en el intervalo de periodicidad xπ π− ≤ ≤ en un número finito de intervalos continuos, podrá descomponerse en ese intervalo en una serie convergente de la forma:

( ) ( ) ( )01

cos s n2

∞

=

= + + n nn

af x a nx b e nx

Los coeficientes de cada término se forman como sigue:

( ) ( )1 coska f x kx dxπ

ππ −= ( ) ( )

1 s n−

= π

ππkb f x e kx dx

Funciones pares: ( ) ( )f x f x= −

( ) ( )0

2 coska f x kx dxπ

π= Para 0,1,2, ,k =

0kb =



68

Funciones impares: ( ) ( )f x f x= − −

0ka =

( ) ( )0

2 s n= π

πkb f x e kx dx Para

Tablas de desarrollo en series de Fourier

y a= para 0 x π< < y a= − para π π< < 2x

= + + + 4 n(3 ) n(5 )

s n ...3 5

a se x se xy e x

π

y a= para xα π α< < − y a= − para 2xπ α π α+ < < −

= ++ +

4 1cos s n cos(3 )s n(3 )

31

cos(5 )s n(5 ) ...5

ay e x e x

e x

α απ

α

y a= para 2xα π α< < −

( )2y f xπ= + − − −= − +

− − +

2 s n( ) s n2( )cos cos2

2 1 3

s n3( ) cos3 ...

3

a e ey x x

ex

π α π α π απ

π α

/y ax b= para 0 x b≤ ≤ y a= para b x bπ≤ ≤ −

( )/y a x bπ= − para b xπ π− ≤ ≤

0,1, 2, ,k =



69

= ++ +

2 2

2

4 1 1s n s n s n(3 )s n(3 )

1 31

s n(5 )s n(5 ) ...5

ay e b e x e b e x

b

e b e x

π

2ax

yπ

= para 0 2x π< <

( )2y f xπ= + = − + + + s n s n2 s n 3

...2 1 2 3a a e x e x e x

yπ

2 /y ax π= para 0 / 2x π≤ ≤

( )2 /y a xπ π= − para / 2 xπ π≤ ≤ ( )y f xπ= − + = − + − 2 2 2

8 s n 3 s n 5s n ...

3 5e x e x

y a e xπ

/y ax π= para 0 x π≤ ≤

( )2 /y a xπ �

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