formalismo da teoria da...

Formalismo da Teoria da Probabilidade

FCT/UNL, Probabilidades e Estatıstica I

MLE

1 Introducao

Neste primeiro capıtulo o principal objectivo e definir o conjunto de conceitos que cons-titui o enquadramento dos desenvolvimentos posteriores. Algumas das nocoes podem tersido abordadas no ensino secundario. Para alem de eventuais revisoes, recomendamosa leitura das obras que desenvolvem o formalismo introdutorio da teoria das probabili-dades a um nıvel universitario, nas quais se incluem em lıngua Portuguesa [PV08] e emIngles [Fel68], [Shi96], [Sin92] e [Gne67] e [Par92].

2 Formalismo da Teoria das Probabilidades

Deve-se ao matematico russo A. N. Kolmogorov a introducao, em 1933 (veja-se [Kol56]),de um conjunto de axiomas que pemitiram o extraordinario sucesso da moderna teoriadas probabilidades. A ideia fundamental e fazer corresponder a uma algebra de Boolede acontecimentos, munida da conjuncao e da disjuncao exclusiva de acontecimentos,uma algebra de conjuntos com as operacoes de uniao e passagem ao complementar deconjuntos. Por razoes tecnicas, que serao aprofundadas em estudos mais avancados, adefinicao da estrutura essencial e a seguinte.

Definicao 1. Seja Ω um conjunto que suporemos nao vazio, salvo referenciaexplıcita em contrario. Uma famılia A de subconjuntos de Ω, isto e A ⊆ P(Ω),e algebra-σ sobre Ω se e so se se verificam as seguintes propriedades:

(i) ∅,Ω ∈ A;

(ii) ∀A ∈ A Ac ∈ A;

(iii) ∀A1, A2, . . . AN , · · · ∈ A⋃+∞

n=1An ∈ A.

Exemplo 1. As famılias ∅,Ω e P(Ω) sao algebras-σ sobre Ω e, em resultado da definicao,qualquer que seja A uma algebra-σ sobre Ω tem-se que:

∅,Ω ⊆ A ⊆ P(Ω) .

1

Capıtulo I Teoria da Probabilidade Seccao: 2

A fundamental contribuicao inicial de Kolmogorov foi reconhecer que o conceitointuitivo de probabilidade pode ser interpretado rigorosamente por meio da nocao ma-tematica, que detalhamos a seguir, de medida de massa total unitaria.

Definicao 2. Seja Ω um conjunto e A ⊆ P(Ω) uma algebra-σ sobre Ω. Umaprobabilidade sobre o par (Ω,A) e uma aplicacao de A em [0, 1] que verificaas duas propriedades seguintes.

(j) Propriedade da massa unitaria:

P [Ω] = 1 .

(jj) Propriedade da aditividade-σ: para qualquer sucessao (An)n≥1 de ele-mentos da algebra-σ A dois a dois disjuntos, isto e, tais que:

∀m,n ≥ 1 m 6= n⇒ Am ∩An = ∅ ,

verifica-se que:

P

[+∞⋃n=1

An

]=

+∞∑n=1

P [An] .

Exemplo 2. E imediato verificar que se Ω for um conjunto e A = ∅,Ω for a algebra-σdo exemplo 1, entao a aplicacao P de A em [0, 1] tal que P [∅] = 0 e P [Ω] = 1 e umaprobabilidade.

Estamos agora em condicoes de definir os termos iniciais do dicionario de Kolmogorovpara as probabilidades.

Definicao 3. Dado um fenomeno com caracter aleatorio sujeito a observacao,um modelo de Kolmogorov para o fenomeno e um trio (Ω,A,P), denominadoespaco de probabilidade, em que:

• Ω e um conjunto que inclui todas as realizacoes do fenomeno.

• A e uma algebra-σ em que os elementos A ∈ A sao acontecimentos,representando subconjuntos de realizacoes do fenomeno.

• P e uma probabilidade sobre (Ω,A) em que, para cada acontecimentoA ∈ A, a probabilidade de A, P [A], representa o grau de confianca domodelo na observacao do acontecimento A.

Exemplo 3. Consideremos o fenomeno seguinte: lancamos uma moeda ao ar e observamosa superfıcie virada para cima quando a moeda cai num chao liso. Este fenomeno admitevarios modelos no quadro da axiomatica de Kolmogorov. Assim, consoante as hipotesesadicionais que facamos temos, por exemplo, os dois modelos seguintes.

PEI 2 7 de Abril de 2012


1. Suponhamos que a moeda e fina, equilibrada e homogenea. Podemos admitir queha dois resultados possıveis, cara ou coroa, sendo o resultado da observacao 1, sesair cara e, 0 se sair coroa. Neste caso (Ω,A,P) ≡ (0, 1, ∅, 0, 1, 0, 1,P)em que P [0] = 1/2 = P [1] e um modelo aceitavel para o fenomeno.

2. Suponhamos que a moeda e grossa, equilibrada e homogenea. Podemos admitirque ha tres resultados possıveis, cara, coroa e superfıcie lateral, sendo o resultadoda observacao 1 se sair cara, 0 se sair coroa e s se observarmos que a moeda ficaassente sobre a superfıcie lateral. Neste caso, (Ω,A,P) ≡ (0, 1, s,P(0, 1, s),P)em que

P [0] =1− α

2= P [1] , P [s] = α ,

com α a definir apropriadamente consoante a grossura da moeda, pode ser ummodelo aceitavel para o fenomeno.

Ha um conjunto de propriedades importantes da nocao probabilidade, que podemosindicar desde logo, e que sao muito importantes para o calculo das probabilidades.

Proposicao 1 (Propriedades imediatas da probabilidade). Seja P for umaprobabilidade sobre A, uma algebra-σ sobre um conjunto Ω. Temos o seguinte.

1. P[∅] = 0.

2. Para qualquer sequencia (finita) A1, . . . , AN ∈ A de conjuntos dois a doisdisjuntos tem-se que:

P

[N⋃

n=1

An

]=

N∑n=1

P[An] .

3. Para quaisquer A,B ∈ A tais que A ⊆ B tem-se que P[A] ≤ P[B].

Demonstracao. A primeira propriedade decorre imediatamente da aditividade-σ da pro-babilidade se considerarmos a sucessao de contecimentos dois a dois disjuntos dada porA1 = Ω e para n ≥ 2, An = ∅. Tem-se entao que:

1 = P [Ω] = P

[+∞⋃n=1

An

]=

+∞∑n=1

P [An] = P [Ω] +

+∞∑n=2

P [∅] ,

pelo que∑+∞

n=2P [∅] = 0, donde decorre, necessariamente, em resultado da definicaode soma de uma serie, que P[∅] = 0. A segunda propriedade e uma consequencia daprimeira se considerarmos (Bn)n≥1 a sucessao de conjuntos dois a dois disjuntos dadapor:

Bn =

An n ∈ 1, . . . , N∅ n ≥ N + 1 .



Em resultado da aditividade-σ da probabilidade, temos que:

P

[N⋃

n=1

An

]= P

[+∞⋃n=1

Bn

]=

+∞∑n=1

P [Bn] =

N∑n=1

P [An] +

+∞∑n=N+1

P [∅] =

N∑n=1

P [An] ,

tal como foi anunciado. A terceira propriedade resulta da segunda, observando que seA ⊆ B entao B = (B \A) ∩ A, com B \ A e A acontecimentos disjuntos. Entao, pelasegunda propriedade, a propriedade da aditividade finita,

P [B] = P [(B \A) ∩A] = P [B \A] +P [A] ,

o que implica que P [A] ≤ P [B] uma vez que P [A] ≥ 0.

O resultado seguinte apresenta duas propriedades muito importantes para o calculodas probabilidades.

Teorema 1 (Continuidade da Probabilidade). Seja (Ω,A,P) um espaco deprobabilidade e seja (An)n≥1 ∈ AN

∗uma qualquer sucessao de acontecimentos.

1. Se A1, . . . , An, · · · ∈ A for uma sucessao crescente, isto e, verificandoAn ⊆ An+1 tem-se que:

P

[+∞⋃n=1

An

]= lim

n→+∞P[An] .

2. Se A1, . . . , An, · · · ∈ A for uma sucessao decrescente, isto e, verificandoAn+1 ⊆ An tem-se que:

P

[+∞⋂n=1

An

]= lim

n→+∞P[An] .

Demonstracao. Para a primeira assercao, consideremos a sucessao de acontecimentos(Bn)n≥1 definida por:

Bn =

A1 n = 1

An \An−1 n ≥ 2 .

Verifica-se que:

(a) Os acontecimentos (Bn)n≥1 sao disjuntos dois a dois.

(b) A uniao dos acontecimentos da famılia (An)n≥1 e igual a uniao dos acontecimentosda famılia (Bn)n≥1.



Tem-se entao, usando as propriedades da probabilidade e as propriedades, indicadasacima, dos acontecimentos da sucessao (Bn)n≥1, que:

P

[+∞⋃n=1

An

]= P

[+∞⋃n=1

Bn

]=

+∞∑n=1

P [Bn] = P [A1] +

+∞∑n=2

P [An \An−1] = P [A1] +

+

+∞∑n=2

(P [An]−P [An−1]) = P [A1] + limN→+∞

N∑n=2

(P [An]−P [An−1]) =

= P [A1] + limN→+∞

(P [AN ]−P [A1]) = limN→+∞

P [AN ] ,

tal como querıamos demonstrar. A segunda assercao e uma consequencia da primeiraconsiderando uma nova sucessao (Cn)n≥1 de acontecimentos dada por Cn = A1 \ An

para n ≥ 2. Observe-se que se tem sempre que:

P

[+∞⋃n=1

Cn

]= P

[+∞⋃n=1

(A1 \An)

]= P

[A1 \

(+∞⋂n=1

An

)]= P [A1]−P

[+∞⋂n=1

An

]. (1)

Aplicando a proposicao anterior tem-se que:

P

[+∞⋃n=1

Cn

]= lim

n→+∞P [Cn] = lim

n→+∞(P [A1]−P [An]) = P [A1]− lim

n→+∞P [An] , (2)

dado que (Cn)n≥1 e uma sucessao crescente de acontecimentos. Em consequencia dasformulas (1) e (2):

P [A1]−P

[+∞⋂n=1

An

]= P [A1]− lim

n→+∞P [An] ,

pelo que a segunda assercao fica demonstrada.

3 Espacos de probabilidade finitos e analise combinatoria

A analise combinatoria e um domınio fascinante e muito activo da matematica. Noque vai seguir-se desenvolveremos apenas aspectos introdutorios e elementares que nosservirao, sobretudo, para o calculo das probabilidades em conjuntos finitos.

Proposicao 2 (Princıpio fundamental da Analise Combinatoria). Considere-mos duas accoes A e B tais que:

• Ha nA formas de efectuar a accao A;

• Para cada forma de efectuar a accao A ha nB formas de efectuar a accaoB.

Entao ha nA × nB forma de efectuar a accao A seguida da accao B.



Demonstracao. Vamos tomar o princıpio fundamental da Analise Combinatoria comoevidente 1.

O resultado seguinte constitui a base para os calculos combinatorios nas contagensque ocorrem naturalmente nos modelos probabilısticos finitos, isto e, em que o universo,ou seja o conjunto de todas as realizacoes do fenomeno, e finito.

Teorema 2 (Arranjos, Permutacoes e Combinacoes). Em consequencia doprincıpio fundamental da Analise Combinatoria temos que:

1. o numero de aplicacoes injectivas de um conjunto com n ≥ 1 elementosnum conjunto com n+ k elementos, com k ≥ 0, e dado por An+k

n , isto e,pelos arranjos de n+ k elementos tomados n a n, dado por

An+kn = (n+ k)× (n+ k − 1)× (n+ k − 2)× · · · × (k + 1) ;

2. o numero das aplicacoes bijectivas de um conjunto de n elementos neleproprio e dado por n! := n×(n−1)×(n−2)×· · ·×2×1, as permutacoesde n;

3. o numero de subconjuntos de com n elementos que se podem formar numconjunto com n+ k elementos, com k ≥ 1, e dado por Cn+k

n , isto e pelascombinacoes de n+ k elementos tomados n a n em que:

Cn+kn =

(n+ k)!

n! k!.

Demonstracao. Observe-se que para determinar uma qualquer aplicacao injectiva σ de1, 2, . . . , n em 1, 2, . . . , n, . . . , n+k basta conhecer um n-uplo das imagens de σ dadopor (σ(1), σ(2), . . . , σ(n)). Temos n+k formas de escolher σ(1) e, uma vez este escolhido,temos n + k − 1 formas de escolher σ(2) dado que queremos que σ seja injectiva. Poressa mesma razao, ha n+ k− 2 formas de escolher σ(3) e, por inducao, k+ 1 formas deescolher σ(n). Pelo princıpio fundamental da analise combinatoria temos que ha:

(n+ k)× (n+ k + 1)× · · · × (k + 1)

formas de escolher σ(1), σ(2), . . . , σ(n). Para a segunda propriedade observe-se queuma aplicacao injectiva de 1, 2, . . . , n em 1, 2, . . . , n e necessariamente sobrejec-tiva e, por isso, bijectiva. O segundo enunciado deste teorema e assim um caso par-ticular do primeiro. Para demonstrarmos a terceira assercao basta observar que acada arranjo σ corresponde um conjunto definido pelos elementos do n-uplo (ordenado)(σ(1), σ(2), . . . , σ(n)). No entanto, como (σ(1), σ(2), . . . , σ(n)) e (σ(2), σ(1), . . . , σ(n))vao corresponder a um mesmo conjunto σ(1), σ(2), . . . , σ(n) o numero de subconjuntosdistintos com n elementos extraıdos de um conjunto com n+k elementos, isto e, o numerode combinacoes tera que verificar Cn+k

n = An+kn /n! em que n! sao as permutacoes.

1Uma ideia para a demonstracao seria usar uma dupla inducao.



Observacao 1. Os arranjos correspondem as tiragens sem reposicao.

Teorema 3 (Cardinal do conjunto dos subconjuntos). Seja Ω um conjunto comn ≥ 0 elementos. Entao, P(Ω) tem 2n elementos.

Demonstracao. Pelo teorema 2, o cardinal do conjunto de todos os subconjuntos de Ωcom, exactamente, k ∈ 0, 1, . . . , n elementos e Cn

k . Em consequencia da formula dobinomio de Newton temos que:

#P(Ω) = Cn0 + Cn

1 + · · ·+ Cnn =

n∑k=0

Cnk =

n∑k=0

Cnk 1k1n−k = (1 + 1)n = 2n ,

tal como foi anunciado.

Por vezes, quando nao ha meios computacionais disponıveis, pode ser util a deter-minacao numerica aproximada de quantidades envolvendo os factoriais. A proposicaoseguinte, que admitimos, permite esses calculos aproximados para grandes valores dosinteiros intervenientes.

Proposicao 3 (Formula de Stirling).

n! = nne−n√

2πn(1 + εn)

em que limn→ εn = 0.

4 Exercıcios

Exercıcio 1. [Jaf76] Considere dois lancamentos sequenciais, independentes, de um dado equilibrado. [1]

1. Proponha um modelo para a descricao e analise do fenomeno indicado, no quadro do formalismode Kolmogorov.

2. Descreva completamente os seguintes acontecimentos.

A = a diferenca entre os numeros dos lancamentos e par

B = nos dois lancamentos sai o mesmo numero C = em pelo menos um dos lancamentos sai um 1

3. Descreva completamente os acontecimentos A ∩B, A ∪B e A ∩Bc.

4. Calcule as probabilidades dos acontecimentos A, B e C.

5. Que alteracoes faria nas suas respostas se o fenomeno a estudar fosse: o lancamento simultaneode dois dados, um vermelho e outro azul, equilibrados.

Exercıcio 2. Considere o lancamento simultaneo de dois dados, indistinguıveis e equilibrados. Refaca [1]o exercıcio 1 para este fenomeno.



Exercıcio 3. Suponha um dado com a forma de um prisma de base quadrada formado de uma materia [1]homogenea. Sejam as bases designadas por B1 e B2 e as quatro faces laterais por C1, C2, C3 e C4.Sabendo que, devido a geometria e dimensoes do prisma se verifica que

P [ cai sobre uma face lateral ] = 3×P [ cai sobre uma base ] ,

proponha um modelo para a descricao e analise do fenomeno indicado, no quadro do formalismo deKolmogorov.

Exercıcio 4. [Jaf76] Considere um dado com as faces numeradas de 1 a 6 e tal que a probabilidade de [1]sair i ∈ 1, . . . , 6 seja proporcional a i. Proponha um modelo para a descricao e analise do fenomenoindicado, no quadro do formalismo de Kolmogorov e determine a constante de proporcionalidade referidaacima.

Exercıcio 5. Seja (An)n≥1 uma sucessao de subconjuntos de um conjunto dado arbitrario Ω. [2]

1. Determine ⋃n≥1

An

c

.

2. Determine ⋂n≥1

An

c

.

3. Mostre que se A for uma algebra-σ sobre Ω e para n ≥ 1 valer que An ∈ A, entao⋂n≥1

An ∈ A .

Exercıcio 6 (A funcao indicatriz de um conjunto). Seja para Ω um qualquer conjunto e A ⊆ Ω a funcao [1]indicatriz de A, representada por 1IA e definida por:

1IA(ω) =

1 ω ∈ A0 ω /∈ A

Mostre que:

1. 1IA ≡ 1IB ⇔ A = B.

2. 1I∅ ≡ 0 e 1IΩ ≡ 1.

3. ∀A ∈ P(Ω) 1IAc = 1− 1IA.

4. ∀A,B ∈ P(Ω) A ∩B = ∅ ⇒ 1IA∪B = 1IA + 1IB.

5. ∀A,B ∈ P(Ω) 1IA∩B = 1IA × 1IB.

6. ∀A,B ∈ P(Ω) 1IA∪B = 1IA + 1IB − 1IA∩B.

Exercıcio 7. Sendo Ω um conjunto e A,B ∈ P(Ω) mostre que (A ∪ B) ∩ (A ∪ Bc) = A usando as [1]propriedades das funcoes indicatrizes (veja o exercıcio 6).

Exercıcio 8. Sendo Ω um qualquer conjunto verifique que P(Ω) e uma algebra-σ sobre Ω. [1]

Exercıcio 9 (A probabilidade de Dirac concentrada num ponto). Seja Ω um conjunto e ω0 ∈ Ω um [2]qualquer ponto determinado. Mostre que δω0 definida para A ∈ P(Ω) por

δω0(A) =

1 ω0 ∈ A0 ω0 /∈ A

e uma probabilidade sobre Ω, munido da algebra-σ P(Ω).



Exercıcio 10. Seja Ω um conjunto e (an)n∈1,...,N, uma sucessao de numeros nao negativos tais que [3]∑Nn=1 an = 1 e (ωn)n∈1,...,N uma sucessao de pontos de Ω. Considere para cada n ∈ 1, . . . , N a

probabilidade de Dirac concentrada no ponto ωn (veja o exercıcio 9). Mostre que:

P :=

N∑n=1

anδωn

define uma probabilidade sobre Ω, munido da algebra-σ P(Ω).

Exercıcio 11. [Jaf76] Seja Ω = 1, 2, 3, 4, 5. Determine uma sucessao (an)n∈1,...,5 tal que a proba- [2]bilidade

P :=

5∑n=1

anδn

(ver exercıcio 10) verifique as seguintes condicoes: P [1, 2, 3] = P [4, 5], P [1, 2] = P [2, 3],P [2] = P [5] e P [1, 3] = P [4, 5].

Resposta: a1 = 1/4 = a3, a4 = 1/2, a2 = 0 = a5.

Exercıcio 12 (Sub-aditividade-σ). Considere um espaco de probabilidade arbitrario (Ω,A,P). Seja [3]A1, A2, . . . , An, · · · ∈ A.

1. Mostre que: P[A1 ∩A2] ≤ P[A1] +P[A2]

2. Mostre que para qualquer N ≥ 2:

P

[N⋃

n=1

An

]≤

N∑n=1

P[An]

3. Conclua, usando as alıneas anteriores, que e valida a desigualdade de Boole 2 :

P

[+∞⋃n=1

An

]≤

+∞∑n=1

P[An]

Indicacao: Use a propriedade de continuidade inferior da probabilidade.

Exercıcio 13 (Um problema da data de nascimento). Sabendo que na sala de aula estao presentes 37alunos, determine a probabilidade de haver pelo menos dois alunos nascidos no mesmo dia do mes. [1]

Indicacao: Use o princıpio de Dirichlet, tambem conhecido como o princıpio do pombal (pigeonholeprinciple): Se ha m ≥ 1 buracos no pombal e m+p pombos (com p ≥ 1) entao ha pelo menos dois pombosnum dos buracos.

Exercıcio 14 (O problema da data de nascimento). Quantas pessoas tem que estar numa sala para que [2]a probabilidade de haver pelo menos duas que tenham nascido no mesmo dia do ano seja superior a 0.5?

Indicacao: Podera guiar-se pelas questoes seguintes.

1. Mostre que se houver duas pessoas na sala, a probabilidade de terem nascido em diferentes diasdo ano e 364/365.

2. Mostre que se houver tres pessoas na sala, a probabilidade de terem nascido em diferentes diasdo ano e (364/365)× (363/365).

3. Etc.

Resposta: 23.



Exercıcio 15. [Jaf76] Numa urna com 10 bolas numeradas de um a 10 tiram-se sucessivamente, sem [1]repor, cinco bolas.

1. Determine a probabilidade para as bolas tenham sido retiradas com os numeros por ordem cres-cente.

2. Determine a probabilidade da questao anterior mas agora sob a hipotese de haver na urna 100bolas numeradas de um a 100.

Respostas: 1/5!.

Exercıcio 16. [SS99] Pretende-se formar uma comissao com dois matematicos e tres fısicos de entre [1]um grupo de cinco matematicos e um grupo de sete fısicos.

1. Qual a probabilidade de haver sempre o mesmo fısico na comissao?

2. Qual a probabilidade de haver dois matematicos que nunca integram a comissao?

Respostas: 15/35 e 105/350.

Exercıcio 17 (Nomenclatura de apostas). [Bur98, p. 209–211] A chance (em Ingles odds) de umacontecimento e a ratio entre a probabilidade do acontecimento e a probabilidade do complementar do [1]acontecimento.

1. Mostre que no lancamento de dois dados homogeneos e equilibrados o acontecimento definido por,saıu um de total ou de 7 ou de 11, tem uma chance de 2/7 (o que se pode referir na forma umachance a favor de 2 para 7, do acontecimento).

2. Mostre que se chance a favor de um acontecimento e uma chance de a para b entao a chance afavor do acontecimento complementar (ou a chance contra do acontecimento inicial) tem queser uma chance de b para a.

3. Considere um corretor de apostas que da uma chance a favor de 3 para 5 para o acontecimentoA definido por: o cavalo Panqueca ganha a corrida. Suponha que aposta 3 Euros no cavaloPanqueca para ganhar. Suponha que o jogo e equilibrado, isto e que, para qualquer apostador osganhos esperados sao nulos. Determine quanto recebe no total caso o cavalo Panqueca ganhe acorrida.

4. Considere um apostador que aposta 5 Euros num jogo em que a chance contra e 20 para 1.Determine a probabilidade do apostador ganhar e mostre que o lucro de uma tal aposta e 100Euros.

5. Mostre que, em geral, o lucro de um apostador que aposta α Euros numa aposta cuja chance afavor e a para b, e (α× b)/a.

Indicacao: Para a terceira questao; se α representar a quantia que lucra em caso de vitoria docavalo Panqueca teremos, dado que o ganho esperado e nulo, 0 = αP[A] − 3P[Ac]. Assim tera quereceber os 3 Euros que apostou mais α, ou seja 8 Euros no total.

Referencias

[Bur98] B. Burrell. Merriam-Webster’s Guide to Everyday Math: A Home and BusinessReference. Merriam-Webster, 1998.

[Fel68] William Feller. An introduction to probability theory and its applications. Vol.I. Third edition. John Wiley & Sons Inc., New York, 1968.

2Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Boole’s inequality para as desigualdades de Bonferroni e oprincıpio da inclusao-exclusao.



[Gne67] B. V. Gnedenko. The theory of probability. Translated from the fourth Russianedition by B. D. Seckler. Chelsea Publishing Co., New York, 1967.

[Jaf76] P. Jaffard. Probabilites. Masson, Paris, 1976. Resume de cours-exercices-problemes, Collection “Comprendre et Appliquer” Mathematiques PratiquesElementaires, No. 9.

[Kol56] A. N. Kolmogorov. Foundations of the theory of probability. Chelsea PublishingCo., New York, 1956. Translation edited by Nathan Morrison, with an addedbibliography by A. T. Bharucha-Reid.

[Par92] Emanuel Parzen. Modern probability theory and its applications. A Wiley Pu-blication in Mathematical Statistics. John Wiley & Sons Inc., New York, 1992.Reprint of the 1960 original, Wiley Classics Library.

[PV08] Dinis Pestana and Sılvio Velosa. Introducao a Probabilidade e a Estatıstica. Vol.I. Textos Universitarios. Fundacao Calouste Gulbenkian, Lisboa, third edition,2008. Terceira edicao revista e aumentada.

[Shi96] A. N. Shiryaev. Probability, volume 95 of Graduate Texts in Mathematics.Springer-Verlag, New York, second edition, 1996. Translated from the first(1980) Russian edition by R. P. Boas.

[Sin92] Yakov G. Sinai. Probability theory. Springer Textbook. Springer-Verlag, Berlin,1992. An introductory course, Translated from the Russian and with a prefaceby D. Haughton.

[SS99] Murray Spiegel and Larry Stephens. Theory and Problems of Statistics. SchaumOutline. McGraw-Hill, New York, third edition, 1999.


Probabilidade Condicional e Independencia


MLE

1 Introducao

Neste capıtulo estudamos as nocoes de probabilidade condicional e de independencia deconjuntos enfatizando as aplicacoes nos casos simples em que o espaco de probabilidades efinito. Tal como no primeiro capıtulo recomendamos a leitura das obras que desenvolvemo formalismo introdutorio da teoria das probabilidades a um nıvel universitario, nas quaisse incluem em lıngua Portuguesa [PV08] e em Ingles [Fel68], [Shi96], [Sin92] e [Gne67]e [Par92].

2 Probabilidade condicional e independencia

Com a probabilidade condicional faz-se intervir o aumento da informacao disponıvel namodelacao matematica dos eventos aleatorios.

Definicao 1. Seja (Ω,A,P) um espaco de probabilidade e B ∈ A um acon-tecimento verificando P[B] > 0. Para qualquer acontecimento A ∈ A, a pro-babilidade condicional de A dado B, representada por P[A | B], e definidapor:

P[A | B] =P[A ∩B]

P[B].

A proposicao seguinte permite aplicar as probabilidades condicionais todo o forma-lismo disponıvel para a nocao de probabilidade.

Proposicao 1. A aplicacao que a A ∈ A associa P[A | B] e uma probabilidadesobre (Ω,A).

Demonstracao. A verificacao decorre imediatamente das definicoes.

Definicao 2. Seja (Ω,A,P) um espaco de probabilidade e A,B ∈ A aconteci-mentos. A e B dizem-se independentes se e so se:

P[A ∩B] = P[A]P[B] .

1

Capıtulo II Probabilidade Condicional e Independencia Seccao: 2

Notacao 1. Para A e B independentes num dado espaco de probabilidade escrevemosA ⊥⊥ B.

Observacao 1 (Independencia e disjuncao). Sejam A e B acontecimentos independentese disjuntos. Entao tem-se que:

0 = P[∅] = P[A ∩B] = P[A]P[B] ,

o que implica, pela lei de anulamento do produto, que ou P[A] = 0 ou P[B] = 0. Ouseja, se dois acontecimentos incompatıveis (isto e, sem realizacoes em comum) foremindependentes entao um deles, pelo menos, tem probabilidade nula.

Observacao 2 (Auto-independencia e disjuncao). Seja A um acontecimento independentede si proprio. Entao tem-se que:

P[A] = P[A ∩A] = P[A]P[A] = P[A]2 ,

o que implica que ouP[A] = 0 ouP[A] = 1. Isto e, se um acontecimento for independentede si proprio entao, ou tem probabilidade nula ou tem probabilidade unitaria.

A proposicao seguinte mostra que a nocao de independencia probabilıstica de doisacontecimentos coincide, nos casos nao triviais de conjuntos com probabilidades naonulas, com o facto de sabermos que se um dos acontecimentos ocorreu isso nao altera aprobabilidade do outro.

Proposicao 2 (Independencia de dois acontecimentos). Seja (Ω,A,P) umespaco de probabilidade. Se B for um acontecimento com probabilidade naonula entao B e independente de um qualquer outro acontecimento A se e so sea probabilidade condicional de A dado B for igual a probabilidade de A, isto e,

∀A,B ∈ A P[B] > 0⇒ (A ⊥⊥ B ⇔ P[A | B] = P[A]) . (1)

Demonstracao. E uma simples aplicacao das defiicoes. Se P[B] > 0 vem, primeiro, emresultado da independencia que

P[A | B] =P[A ∩B]

P[B]=P[A]P[B]

P[B]= P[A] ,

o que mostra que a condicao mais a direita na formula (1) e necessaria. Em segundolugar, se se verificar a condicao mais a direita na formula (1), vira que:

P[A]P[B] = P[A | B]P[B] =P[A ∩B]

P[B]P[B] = P[A ∩B] ,

o que mostra que A e B sao independentes e que, portanto, a codicao e suficiente.

A proposicao seguinte mostra, num caso particular simples, uma propriedade geralmuito importante: faz todo o sentido definir a nocao de independencia no contexto dasalgebras-σ.



Proposicao 3 (Independencia e algebras-σ). Seja Ω um conjunto e A,B ∈P(Ω). Entao tem-se que:

1. σ(A) := ∅, A,Ac,Ω e σ(B) := ∅, B,Bc,Ω sao algebras-σ sobre Ω.

2. A e B sao acontecimentos independentes se e so se, todos os conjuntosde σ(A) forem (dois a dois) independentes de todos os conjuntos deσ(B), isto e, se e sse:

∀C ∈ σ(A) ∀D ∈ σ(B) C ⊥⊥ D .

Demonstracao. A primeira afirmacao demonstra-se sem dificuldade recorrendo a de-finicao de algebra-σ. Para demonstrar a segunda afirmacao, a unica verificacao naotrivial e que que A ⊥⊥ Bc (ou que Ac ⊥⊥ B). Mas, por exemplo no primeiro caso observa-se que, pela aditividade das probabilidades e, por se verificar que A ⊥⊥ B,

P [A] = P [A ∩ Ω] = P [A ∩ (B ∪Bc)] = P [(A ∩B) ∪ (A ∩Bc )] =

= P [A ∩B] +P [A ∩Bc] = P [A]P [B] +P [A ∩Bc] ,

donde resulta que:

P [A ∩Bc] = P [A]−P [A]P [B] = P [A] (1−P [B]) = P [A]P [Bc] ,

demonstrando-se assim que A ⊥⊥ Bc.

Proposicao 4 (Probabilidade Composta). Seja (Ω,A,P) um espaco de proba-bilidade. Seja A1, . . . , AN , · · · ∈ A, tal que

∀N ≥ 2 P [A1 ∩ · · · ∩AN−1] > 0 .

Entao, para qualquer N ≥ 2:

P

[N⋂

n=1

An

]= P [A1]×P [A2 | A1]×P [A3 | A1 ∩A2]×· · ·×P

[AN |

N−1⋂n=1

An

].

Demonstracao. Para N = 2 a proposicao resulta da definicao de probabilidade con-dicional. Para o caso geral demonstra-se por inducao. Suponha-se que se verifica apropriedade para um dado N > 2, isto e que:

P

[N⋂

n=1

An

]= P [A1]

N∏k=2

P

[Ak |

k−1⋂n=1

An

]. (2)

Verifiquemos a propriedade para o inteiro N + 1. Para tal basta observar que pelaassociatividade da interseccao e pela definicao de probabilidade condicional:

P

[N+1⋂n=1

An

]= P

[AN+1 ∩

(N⋂

n=1

An

)]= P

[AN+1 |

(N⋂

n=1

An

)]P

[(N⋂

n=1

An

)].



Pela hipotese de recorrencia dada pela formula (2):

P

[AN+1 |

(N⋂

n=1

An

)]P

[(N⋂

n=1

An

)]= P [A1]

N+1∏k=2

P

[Ak |

k−1⋂n=1

An

],

ou seja,

P

[N+1⋂n=1

An

]= P [A1]

N+1∏k=2

P

[Ak |

k−1⋂n=1

An

],

isto e, a propriedade enunciada para o inteiro N + 1.

Proposicao 5 (Probabilidade Total). Seja (Ω,A,P) um espaco de probabili-dade. Seja A1, . . . , AN , · · · ∈ A uma particao de Ω. Verifica-se que:

(∀n ≥ N P [An] > 0)⇒

(∀B ∈ A P [B] =

+∞∑n=1

P [B | An]P [An]

). (3)

Demonstracao. O teorema resulta das propriedades das probabilidades. Com efeito,dado que (An)n≥1 e uma particao de Ω, pela aditividade-σ da probabilidade:

P [B] = P

[B ∩

(+∞⋃n=1

An

)]= P

[+∞⋃n=1

(B ∩An)

]=

+∞∑n=1

P [B ∩An] . (4)

Finalmente, uma vez que para cada n ≥ 1 se tem que P [An] > 0, pela definicao deprobabilidade condicional:

P [B ∩An] = P [B | An]P [An]

o que, substituıdo no termo a direita em (4), da a formula anunciada.

Teorema 1 (Teorema de Bayes ou da probabilidade das causas). Seja (Ω,A,P)um espaco de probabilidade. Seja A1, . . . , AN , · · · ∈ A uma particao de Ω talque para n ≥ 1 se verifique: P [An] > 0. Entao para qualquer B ∈ A tal queP [B] > 0:

∀i ≥ 2 P [Ai | B] =P [B | Ai]P [Ai]∑+∞

n=1P [B | An]P [An].

Demonstracao. O teorema de Bayes e uma consequencia imediata das definicoes relativasas probabilidades condicionais e da proposicao 5 relativa a probabilidade total. Comefeito tem-se, em resultado da formula (3) que:

P [Ai | B] =P [Ai ∩B]

P [B]=P [B | Ai]P [Ai]

P [B]=

P [B | Ai]P [Ai]∑+∞n=1P [B | An]P [An]

.



Observacao 3. Uma ilustracao muito interesssante do teorema 1, no contexto dos ensaiosclınicos, pode ser estudada no exercıcio 10.

Definicao 3 (Acontecimentos independentes no seu conjunto). Uma famılia deacontecimentos (Ai)i∈I indexada por um conjunto I, e uma famılia de aconteci-mentos independentes no seu conjunto ou, mutuamente independentes, se e sose:

∀N ≥ 2 ∀i1, i2, . . . , iN ∈ I P

[N⋂k=1

Aik

]=

N∏k=1

P [ Aik ]

Observacao 4. Deve sublinhar-se que os elementos da famılia (Ai)i∈I podem ser dois adois independentes, verificando a definicao 1 mas nao serem mutuamente independentesno sentido da definicao 3. Um exemplo dessa situacao pode ser estudado no exercıcio 7.

As propriedades das probabilidades implicam que a formula de definicao de aconte-cimentos independentes vale para um numero infinito numeravel de acontecimentos.

Proposicao 6 (Acontecimentos independentes no seu conjunto). Seja I = N e(An)n∈N uma famılia de acontecimentos independentes no seu conjunto, entao:

P

[+∞⋂n=0

An

]=

+∞∏n=0

P [An] .

Demonstracao. A proposicao e uma consquencia da continuidade da probabilidade 1, seobservarmos que sendo, por definicao,

BN :=N⋂

n=0

An

se tem que BN+1 ⊆ BN , ou seja que a sucessao (BN )n≥1 e decrescente. Observe-se aindaque

+∞⋂N=1

BN =+∞⋂N=1

(N⋂

n=0

An

)=

+∞⋂n=0

An ,

o que implica, pela continuidade da probabilidade referida que:

P

[+∞⋂n=0

An

]= P

[+∞⋂N=1

BN

]= lim

N→+∞P [BN ] = lim

N→+∞P

[N⋂

n=0

An

]=

= limN→+∞

N∏n=0

P [An] =

+∞∏n=0

P [An]

1Este resultado foi estudado no primeiro capıtulo. Se (An)n≥1 for uma sucessao decrescente deconjuntos entao P

[∩+∞

n=1An

]= limn→+∞P [An] e, tambem, se (An)n≥1 for uma sucessao crescente de

conjuntos entao P[∪+∞

n=1An

]= limn→+∞P [An].



As nocoes de convergencia seguintes permitem transpor para os conjuntos as nocoesde maior sublimite, menor sublimite e de limite de uma sucessao, nocoes que foramestudadas no contexto das sucessoes de numeros reais.

Definicao 4 (Convergencias de conjuntos). Seja Ω um conjunto eA1, . . . , AN , · · · ∈ A uma sucessao de subconjuntos de Ω. Entao podemos definiros seguintes limites.

1. O limite superior da sucessao (An)n≥1 dado por:

lim supn→+∞

An :=+∞⋂n=1

⋃m≥n

Am

,

que e o acontecimento formado pelas realizacoes que pertencem a umainfinidade de elementos da sucessao (An)n≥1.

2. O limite inferior da sucessao (An)n≥1 dado por:

lim infn→+∞

An :=+∞⋃n=1

⋂m≥n

Am

,

que e o acontecimento formado pelas realizacoes que pertencem a todossalvo talvez a um numero finito de elementos da sucessao (An)n≥1.

3. O limite da sucessao (An)n≥1 que existe sempre que se verificalim supn→+∞An = lim infn→+∞An e, por definicao, igual a esse valorcomum, ou seja:

limn→+∞

An := lim supn→+∞

An = lim infn→+∞

An .

A determinacao dos sublimites ou do limite de uma sucessao de conjuntos, no casoem que a sucessao converge nao e, em geral, facil. No entanto, os casos das sucessoesmonotonas sao notaveis.

Proposicao 7 (Convergencias de conjuntos). Seja Ω um conjunto eA1, . . . , AN , · · · ∈ A uma sucessao de subconjuntos de Ω. Tem-se que:

1. lim infn→+∞An ⊆ lim supn→+∞An;

2. se a sucessao (An)n≥1 for crescente entao: limn→+∞An =⋃+∞

n=1An ;

3. se a sucessao (An)n≥1 for decrescente entao: limn→+∞An =⋂+∞

n=1An .

Demonstracao. Para demonstrarmos a primeira afimacao do enunciado da proposicao,



observemos que para um dado p ≥ 1 fixo se tem, para qualquer q ≥ 1:⋂m≥p

Am ⊆⋃m≥q

Am

pelo que vira uma vez que q ≥ 1 e arbitrario que

⋂m≥p

Am ⊆⋂q≥1

⋃m≥q

Am

= lim supn→+∞

An

o que, por sua vez implica, uma vez que nao ha restricao nos valores de p ≥ 1 que:

lim infn→+∞

An =⋃p≥1

⋂m≥p

Am

⊆ ⋂q≥1

⋃m≥q

Am

= lim supn→+∞

An

Suponhamos que a sucessao (An)n≥1 e crescente. Entao:⋂m≥n

Am = An

pelo que

lim infn→+∞

An =

+∞⋃n=1

⋂m≥n

Am

=

+∞⋃n=1

An . (5)

Por outro lado temos sempre que, para qualquer n ≥ 1

⋃m≥n

Am ⊆+∞⋃m=1

Am ⇒ lim supn→+∞

An =

+∞⋂n=1

⋃m≥n

Am

⊆ +∞⋃m=1

Am . (6)

Juntando as formulas (5) e (6) temos finalmente, em consequencia da primeira assercaodo enunciado que:

+∞⋃n=1

An = lim infn→+∞

An ⊆ lim supn→+∞

An ⊆+∞⋃n=1

An ,

o que implica, que a sucessao (An)n≥1 admite limite e que limn→+∞An =⋃+∞

n=1An. Ademostracao da terceira assercao da proposicao e semelhante a demosntracao da segundaassercao.

Os dois lemas seguintes mostram como relacionar informacao sobre elementos indi-viduais de uma sucessao de acontecimentos com a informacao sobre conjuntos notaveisconstruıdos a partir dessa sucessao de acontecimentos. O segundo lema oferece umaaplicacao importante da nocao de independencia de conjuntos.



Teorema 2 (Lemas de Borel Cantelli). Seja (Ω,A,P) um espaco de pro-babilidade e uma sucessao de acontecimentos A1, . . . , AN , · · · ∈ A. Definalim supn→+∞An, o limite superior da sucessao (An)n≥1. Mostre que:

1. Se∑+∞

n=1P [An] < +∞ entao P[lim supn→+∞An

]= 0.

2. Se (An)n≥1 for uma sucessao de acontecimentos independentes entao:

+∞∑n=1

P [An] = +∞⇒ P

[lim supn→+∞

An

]= 1 .

Demonstracao. Dado que se verifica para qualquer n ≥ 1 que

+∞⋂n=1

⋃m≥n

Am

⊆ ⋃m≥n

Am

o primeiro lema decorre trivialmente de se ter, em consequencia da monotonia da pro-babilidade, que

P

[lim supn→+∞

An

]= P

+∞⋂n=1

⋃m≥n

Am

≤ P ⋃m≥n

Am

≤ ∑m≥n

P [Am] ≤∑m≥n

P [Am] .

A conclusao segue, observando que uma vez que n ≥ 1 e arbitrario e que por hipotese∑+∞n=1P [An] < +∞, isto e, a serie das probabilidades converge, se tem que

∑m≥nP [Am],

o resto da serie, tende para zero quando n tende para +∞.O segundo lema decorre da continuidade da probabilidade, e da independencia dos

acontecimentos da sucessao. Vamos mostrar que P [lim infn→+∞Acn] = 0, atendendo a

que:

1−P[lim supn→+∞

An

]= P

+∞⋂n=1

⋃m≥n

Am

c = P

+∞⋃n=1

⋂m≥n

Acm

= P

[lim infn→+∞

Acn

].

Observemos que definindo

Bn =⋂m≥n

Acm

a sucessao (Bn)n≥1 e crescente pelo que pela continuidade da probabilidade, referida nademonstracao da proposicao 6, se tem que

P

[lim infn→+∞

Acn

]= P

[+∞⋃n=1

Bn

]= lim

n→+∞P [Bn] . (7)

Note-se que para qualquer p ≥ 1, pela independencia dos acontecimentos da sucessao(An)n≥1, a condicao ⋂

m≥nAc

m ⊆n+p⋂m=n

Acm



implica, usando a majoracao 1− x ≤ e−x que e valida para x ≥ 0 que,

P [Bn] ≤ P

[n+p⋂m=n

Acm

]=

n+p∏m=n

P [Acm] =

n+p∏m=n

(1−P [Am]) ≤n+p∏m=n

e−P[Am] =

= exp

(−

n+p∑m=n

P [Am]

).

(8)

Finalmente, a hipotese∑+∞

n=1P [An] = +∞, onde se supoe a divergencia da serie dasprobabilidades, implica que:

limp→+∞

n+p∑m=n

P [Am] = +∞ ,

pelo que, a majoracao da formula (8) implica que P [Bn] = 0, o que por sua vez pelaformula (7) implica queP [lim infn→+∞A

cn] = 0, isto e, o resultado anunciado no segundo

lema de Borel-Cantelli.

3 Exercıcios

Exercıcio 1 (Localizacao de um documento). [Jaf76, p. 15] Considerem-se as seguintes hipoteses. [1]

H1 O documento X pode estar arquivado ou nao. A probabilidade de que esteja arquivado e 1/2.

H2 Na sala de arquivo ha 9 estantes. O documento X pode ter sido arquivado numa qualquer das 9estantes com igual probabilidade.

1. Determine p a probabilidade de que o documento X esteja na nona estante.

2. Determine q a probabilidade de que tendo verificado que o documento nao se encontra nas oitoprimeiras estantes, o documento esteja na nona estante.

3. Comente a relacao observada entre p e q.

Exercıcio 2 (Primeiro exemplo de acontecimentos independentes). Considere um modelo para dois [1]lancamentos sequenciais de um dado equilibrado. Considere os acontecimentos:

B = no primeiro lancamento saiu 6 , A = no segundo lancamento saiu 2 .

Mostre que A e B sao independentes.

Exercıcio 3. [Jaf76, p. 17] Sejam a, b e N tres inteiros estritamente positivos tais que N seja divisıvel [2]por a e por b. Seja ω extraıdo ao acaso em Ω = 1, 2, . . . , N. Considere os dois acontecimentos:

A = ω e divisıvel por a , B = ω e divisıvel por b .

De uma condicao para que A e B sejam independentes.

Exercıcio 4. [Jaf76, p. 15] Numa assembleia de N pessoas escolhe-se uma comissao com s elementos e, [1]de entre estes, um presidente. Sabendo que uma certa pessoa da assembleia nao e presidente da comissao,qual e a probabilidade dessa pessoa fazer parte da comissao?



Exercıcio 5. [KL72, p. 74] Procuramos um guarda chuva que se encontra com uma probabilidade p/7 [1]num qualquer dos sete andares de um predio. Procurou-se em vao nos seis primeiros andares.

1. Determinar a probabilidade que o guarda-chuva se encontre no setimo andar.

2. Seja f(p) a probabilidade determinada na alınea anterior. Represente graficamente a variacao def(p) em funcao de p.

Exercıcio 6 (Sobre a formula das probabilidades totais). [KL72, p. 74] Uma urna contem bolas brancas [1]e pretas. Efectuamos uma sequencia de n tiragens na urna. Supomos que a probabilidade que a k-esimabola saia branca, dado que as k − 1 bolas tirandas anteriormente o eram tambem, e igual a 1/(k + 1).Determine a probabilidade de que as n primeiras bolas sejam todas brancas.

Exercıcio 7 (Acontecimentos independentes dois a dois e acontecimentos mutuamente independentes 2).[Mig05, p. 20] Considere um tetraedro regular equilibrado em que uma das faces e verde, uma outra e [1]encarnada, uma outra e azul e a quarta face e as pintas encarnadas, azuis e verdes. Lancamos otetraedro sobre uma superfıcie e observamos a face apoiada. Para cada uma das cores c ∈ V,A,E,considere os acontecimentos: Ac = A face apoiada contem a cor c. Estude, quanto a independencia,os acontecimentos Ac para c ∈ V,A,E.

Exercıcio 8. Considere uma sucessao infinita de lancamentos independentes de uma moeda equilibrada [2]ao ar. Em cada lancamento n ha dois resultados possıveis, a saber, cara (0) e coroa (1) e, como a moeda eequilibrada temos que Pn[1] = 0.5 = Pn[0]. Admita-se que o modelo para o fenomeno atras descritoe o seguinte. Ω = (αn)n≥1 : αn ∈ 0, 1, a algebra -σ esta bem definida e a probabilidade P do modelo etal que se um dado acontecimento A ∈ A so depender de um numero finito de lancamentos N ≥ 1, entaoP[A] coincide com PN [A] em que PN e a probabilidade usual sobre 0, 1N = (β1, . . . , βN ) : βi ∈ 0, 1.Mais concretamente, para (β1, . . . , βN ) ∈ 0, 1N tem-se que:

PN [(β1, . . . , βN )] =

N∏n=1

Pn[βn] .

1. Considerando para cada N ≥ 1 o acontecimento definido por saıram caras nos N primeiroslancamentos, isto e:

AN = (αn)n≥1 : αn ∈ 0, 1 ,∀ 1 ≤ i ≤ N αi = 1

mostre que a probabilidade de so saırem caras numa infinidade de lancamentos independentes deuma moeda equilibrada ao ar e nula.

2. Considerando para cada N ≥ 1 o acontecimento definido por saıu caras no lancamento N ,isto e:

BN = (αn)n≥1 : αn ∈ 0, 1 , αN = 1mostre que vale 1 a probabilidade de numa dada infinidade de lancamentos independentes de umamoeda equilibrada ao ar saırem uma infinidade de caras e uma infinidade de coroas.

Exercıcio 9. Seja para cada N ≥ 1 um prisma PN de base quadrada com lado igual a 1/N e de altura [3]N/4. Suponhamos que por razao de simetria e de homogeneidade, quando lancamos o prisma ele aterranuma dada face com probabilidade proporcional a area da face.

2Na obra classica [Fel68, p. 126] W. Feller refere que as situacoes em que os eventos sao independentesdois a dois mas nao sao mutuamente independentes sao tao raras que o fenomeno passou despercebidoate que o matematico S. Bernstein construıu um exemplo artificial.



1. Mostre que sendo aN a area total do prisma e sendo li = o prisma caıu sobre a face i, parai = 1, . . . , 4, e se bj = o prisma caıu sobre a base j, para j = 1, 2, se considerarmos Ω =l1, l2, l3, l4, b1, b2 e A = P(Ω) e ainda,

P[li] =1

4aN,P[bi] =

1

N2aN,

entao o espaco de probabilidade (Ω,A,P) e um modelo para o lancamento de o prisma PN descritoacima.

2. Seja para cada N ≥ 1 o acontecimento AN definido pela condicao: o prisma cai sobre umadas bases. Mostre que se lancar sequencialmente os prismas P1, P2, . . . , PN , . . . a probabilidadede uma infinidade de prismas caırem sobre uma das suas bases e zero.

3. Seja para cada N ≥ 1 o acontecimento BN definido pela condicao: o prisma cai sobre umadas faces laterais. Mostre que se lancar sequencialmente e de forma independente os prismasP1, P2, . . . , PN , . . . a probabilidade de uma infinidade de prismas caırem sobre uma das suas faceslaterais e um.

Exercıcio 10 (Probabilidade das causas). Suponhamos que e possıvel efectuar um teste de diagnostico [1]de uma doenca tal que:

• a probabilidade que o teste de positivo sabendo que o paciente tem a doenca e 0.95;

• a probabilidade que o teste de negativo sabendo que o paciente nao tem a doenca e 0.95;

• a probabilidade que um paciente tenha a doenca e: 0.005.

Determine a probabilidade que uma pessoa com um teste positivo tenha a doenca.Resposta: 8.7156%.

Exercıcio 11 (Probabilidade das causas). Sejam A1 e A2 dois conjuntos de bolas brancas e pretas. [1]Suponhamos que:

• A1 contem 70% de bolas brancas;

• A2 contem 80% de bolas brancas;

• A1 contem 3 vezes mais bolas que A2.

Colocam-se todas as bolas de A1 e A2 numa urna e tira-se ao acaso uma bola da urna observando-se quee branca. Qual a probabilidade que a bola provenha do conjunto A1.

Resposta: 72.4138%.

Exercıcio 12. Uma urna contem quatro bolas vermelhas e seis bolas pretas, distintas umas das outras. [1]Retiramos duas bolas da urna sequencialmente. Determine a probabilidade que a primeira bola extraıdaseja vermelha e a segunda seja preta sabendo que:

1. a primeira bola e reposta na urna antes da segunda extraccao;

2. nao se repoe a primeira bola extraıda na urna.

Respostas: 24/100 e 24/90.

Exercıcio 13. Uma urna contem sete bolas vermelhas, cinco bolas brancas e tres bolas pretas, distintas [1]umas das outras. Retiramos tres bolas da urna sequencialmente. Determine a probabilidade que aprimeira bola extraıda seja vermelha, a segunda seja branca e a terceira preta, sabendo que:

1. nao se repoem as bolas extraıdas na urna;

2. apos cada extraccao a bola extraıda e reposta na urna antes da extraccao seguinte.



Exercıcio 14. Seja (An)n≥1 uma sucessao de acontecimentos mutuamente independentes (independen- [1]tes no seu conjunto). Sejam I, J ⊂ N∗ tais que I ∩ J = ∅. Mostre que:(⋂

i∈I

Ai,⋂j∈I

Aj

)

e um par de acontecimentos independentes.

Exercıcio 15. Seja (An)n≥1 uma sucessao de acontecimentos dois a dois disjuntos e tais que para cada [1]n ≥ 1 os acontecimentos AN e B sejam independentes. Mostre que:⋃

n≥1

An, B

e um par de acontecimentos independentes.

4 Resolucoes

Resolucao:[Exercıcio 10] Seja D o acontecimento definido por o paciente tem a doenca,e T+ o acontecimento o teste deu positivo. As hipoteses podem ser expressas usando asprobabilidades condicionais na forma:

P [T+ | D] = 0.95 , P[T c+ | Dc

]= 0.95 , P [D] = 0.005 ,

pretendendo-se determinar P [D | T+]. Pelo teorema de Bayes ou da probabilidade dascausas, observando que D,Dc formam uma particao de Ω, tem-se a formula:

P [D | T+] =P [T+ | D]P [D]

P [T+ | D]P [D] +P [T+ | Dc]P [Dc].

Finalmente, observando que P [Dc] = 1−P [D] e que P [T+ | Dc] = 1−P[T c+ | Dc

],

P [D | T+] =0.95 · 0.005

0.95 · 0.005 + (1− 0.95) · (1− 0.005)= 0.087156 .

♦Resolucao:[Exercıcio 11] Este exercıcio poderia ser interpretado, por exemplo, da

forma seguinte. A1 e um conjunto de arbitros do centro e sul com 30% de arbitrosincorruptıveis, havendo duvidas para os restantes 70%. A2 e um conjunto de arbitrosdo norte com 20% de arbitros incorruptıveis, havendo duvidas para os restantes 80%.No contexto do enunciado, consideremos os seguintes acontecimentos. U corresponde abola extraıda ter origem no conjunto A1 e B corresponde a bola extraıda ser branca.Pretende-se determinar P [U | B]. Dado que U,U c formam uma particao de Ω vem, pelaformula de Bayes,

P [U | B] =P [B | U ]P [U ]

P [B | U ]P [U ] +P [B | U c]P [U c].



Sabemos pelas hipoteses que P [U ] = 3/4 e, portanto, que P [U c] = 1/4. Ainda pelashipoteses, sabemos que P [B | U ] = 0.7, e que P [B | U c] = 0.8, donde resulta que:

P [U | B] =0.7 · 0.75

0.7 · 0.75 + 0.8 · 0.25= 0.724138 .

♦Resolucao:[Exercıcio 12] Seja o conjunto das bolas vermelhas e pretas designado por:

B = v1, v2, v3, v4, p5, p6, p7, p8, p9, p10. Para a primeira questao, temos que o conjuntodas realizacoes e: Ω = (a, b) : a, b ∈ B = B × B, pelo que #Ω = 100. Temos aindaque as tiragens sao independentes pelo que a probabilidade que a primeira bola extraıdaseja vermelha e 4/10 e a a probabilidade que a segunda bola extraıda seja preta e 6/10.Em consequencia, no conjunto das duas extraccoes independentes a probabilidade que aprimeira seja vermelha e a segunda preta e: (4× 6)/100 = 24/100.

Para a segunda questao, consideremos os acontecimentos V1 dado pelas realizacoesem que a primeira bola extraıda e vermelha e P2 dado pelas realizacoes em que a segundabola extraıda e preta. Pela definicao de probabilidade condicional temos que:

P [V1 ∩ P2] = P [P2 | V1] ·P [V1] =6

9· 4

10=

24

90.

♦Resolucao:[Exercıcio 13] A resolucao e semelhante a do Exercıcio 12. Para a segunda

questao temos tiragens independentes pelo que a probabilidade da primeira sair vermelhaa segunda branca e a terceira preta e:

7

15· 5

15· 3

15=

7

225= 3.11111% .

Paara a primeira questao, em que ha reposicao, consideremos os acontecimentos V1 dadopelas realizacoes em que a primeira bola extraıda e vermelha, B2 dado pelas realizacoesem que a segunda bola extraıda e branca e P3 dado pelas realizacoes em que a terceirabola extraıda e preta. Temos pelas definicoes de probabilidade condicional, usando aassociatividade da interseccao, que:

P [(V1 ∩B2) ∩ P3] = P [P3 | V1 ∩B2] ·P [V1 ∩B2] =

= P [P3 | V1 ∩B2] ·P [B2 | V1] ·P [V1] =

=3

13· 5

14· 7

15=

1

26= 3.84615% .

♦

Referencias

[Fel68] William Feller. An introduction to probability theory and its applications. Vol.I. Third edition. John Wiley & Sons Inc., New York, 1968.

[Gne67] B. V. Gnedenko. The theory of probability. Translated from the fourth Russianedition by B. D. Seckler. Chelsea Publishing Co., New York, 1967.



[Jaf76] P. Jaffard. Probabilites. Masson, Paris, 1976. Resume de cours-exercices-problemes, Collection “Comprendre et Appliquer” Mathematiques PratiquesElementaires, No. 9.

[KL72] Albert Krief and Shemaya Levy. Calcul des Probabilites. Exercices. CollectionMethodes. Hermann, Paris, 1972.

[Mig05] Maria de Fatima Miguens. Probabilidades e Estatıstica I. Edicao da Autora,Outubro 2005. Notas de licoes na FCT/UNL.

[Par92] Emanuel Parzen. Modern probability theory and its applications. A Wiley Pu-blication in Mathematical Statistics. John Wiley & Sons Inc., New York, 1992.Reprint of the 1960 original, Wiley Classics Library.

[PV08] Dinis Pestana and Sılvio Velosa. Introducao a Probabilidade e a Estatıstica. Vol.I. Textos Universitarios. Fundacao Calouste Gulbenkian, Lisboa, third edition,2008. Terceira edicao revista e aumentada.

[Shi96] A. N. Shiryaev. Probability, volume 95 of Graduate Texts in Mathematics.Springer-Verlag, New York, second edition, 1996. Translated from the first(1980) Russian edition by R. P. Boas.

[Sin92] Yakov G. Sinai. Probability theory. Springer Textbook. Springer-Verlag, Berlin,1992. An introductory course, Translated from the Russian and with a prefaceby D. Haughton.


Variaveis Aleatorias


MLE

1 Introducao

Neste capıtulo vamos desenvolver a teoria das probabilidades no que toca as variaveisaleatorias. Nas aplicacoes correntes da teoria das probabilidades a problemas concre-tos necessitando respostas quantitativas pressupoe-se, em geral, que conhecemos umaaplicacao, definida no espaco de probabilidade, que a cada realizacao do fenomeno emestudo associa um valor numerico, nomeadamente, uma funcao tomando valores reais.O conhecimento concreto do espaco de probabilidade subjacente nao e relevante desdeque se conheca a distribuicao dos valores numericos tomados pela funcao. Acontece quea pratica permitiu identificar algumas distribuicoes de valores numericos, tomados pe-las aplicacoes em estudo, que sao manejaveis e que ocorrem com muita frequencia; porexemplo, a distribuicao normal ou Gaussiana, a distribuicao exponencial, a distribuicaobinomial e a distribuicao de Poisson. Sao estas distribuicoes notaveis que constituem onucleo do que vai seguir-se.

2 Variaveis aleatorias e suas caracterısticas fundamentais

Antes de definirmos os conceitos fundamentais deste capıtulo necessitamos definir aalgebra-σ natural sobre os intervalos de R. O resultado seguinte sera desenvolvido eestudado em unidades curriculares mais avancadas.

1

Capıtulo III Variaveis Aleatorias Seccao: 2

Princıpio 1 (Espacos de Borel na recta real). Dado um qualquer intervalo Ida recta real existe B(I) uma algebra-σ sobre I denominada algebra-σ de Borelsobre I; se I for limitado, seja por exemplo I = [a, b], existe uma probabilidadeque designaremos por PL, definida sobre B([a, b]), tais que:

(i) B(I) contem todos os subconjuntos de I que sejam finitos e infinitos nu-meraveis, ou ainda, todos os intervalos.

(ii) Se A for um qualquer subintervalo de I intervalo limitado, entao PL(I)e proporcional ao comprimento de A; no caso por exemplo e I = [a, b], seA =]c, d] ⊆ [a, b]:

PL []c, d]] =d− cb− a

.

(iii) Se A for um subconjunto finito ou infinito numeravel de I entao PL [A] =0.

Considerando agora que R =]−∞,+∞[ e um intervalo podemos definir o primeiroconceito fundamental.

Definicao 1 (Variavel aleatoria). Seja (Ω,A,P) um espaco de probabilidade.Uma aplicacao X : Ω 7→ R definida Ω e tomando valores reais e uma variavelaleatoria se e so se:

∀B ∈ B(R) X−1(B) = ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B = X ∈ B ∈ A . (1)

em que B(R) e a algebra-σ de Borel sobre R, definida de acordo com oprincıpio 1.

Exercıcio 1. De exemplos e contra-exemplos de variaveis aleatorias usando, por exemplo, as funcoesindicatrizes de conjuntos .

A proposicao seguinte mostra que na definicao de variavel aleatoria e possıvel con-siderar um subconjunto significativamente restrito de elementos da algebra-σ de Borelsobre R.

Proposicao 1 (Caracterizacao das variaveis aleatorias). X : Ω 7→ R aplicacaodefinida sobre Ω e tomando valores reais e uma variavel aleatoria se e so se:

∀x ∈ R X−1(]−∞, x]) = ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x = X ≤ x ∈ A . (2)

Demonstracao. E claro que a condicao e necessaria uma vez que, pelo princıpio 1, qual-quer intervalo da forma ] −∞, x] pertence a B(R). A verificacao de que a condicao esuficiente, isto e que a condicao (2) implica a condicao na formula (1) da definicao 1requer conceitos que ficam fora do ambito da disciplina.

PEI 2 26 de Junho de 2012


Tal como referimos na introducao, a importancia do conceito de variavel aleatoriareside na possibilidade de ignorar o espaco de probabilidade subjacente concentrando-nosna distribuicao dos valores que a variavel aleatoria toma. O formalismo necessario paraesse efeito e o de lei de probabilidade da variavel aleatoria que detalhamos seguidamente.

Definicao 2 (Lei de uma variavel aleatoria). Seja (Ω,A,P) um espaco deprobabilidade e X uma variavel aleatoria, sobre o espaco de probabilidade(Ω,A,P), tomando valores reais. LX a lei de X e, por definicao a aplicacaodefinida em B(R) a algebra-σ de Borel sobre R, por:

∀B ∈ B(R) LX [B] = P[X−1(B)

]= P [X ∈ B] .

Observacao 1. A lei de probabilidade LX da variavel aleatoria X esta bem definida umavez que sendo X uma variavel aleatoria se tem pela definicao 1 que X ∈ B ∈ A eP e uma probabilidade sobre A. Note-se ainda que nada impede que duas variaveisaleatorias tenham a mesma lei.

O resultado seguinte e crucial pois permite substituir o estudo de X e (Ω,A,P), porum novo espaco de probabilidade, designadamente (R,B(R),LX) no qual se concentratoda a informacao necessaria.

Teorema 1. Seja X : Ω 7→ R uma variavel aleatoria. Entao, sendo B(R) aalgebra-σ de Borel de R, a lei de X, LX , e uma probabilidade sobre (R,B(R)).

Demonstracao. E uma verificacao trivial. Com efeito, temos que:

LX [∅] = P[X−1(∅)

]= P [∅] = 0 ,

e aindaLX [R] = P

[X−1(R)

]= P [Ω] = 1 ,

dado que P e uma probabilidade. Complementarmente, se (Bn)n≥1 for uma sucessao deelementos de B(R) dois a dois disjuntos tem-se que (X−1(Bn))n≥1 e uma sucessao deelementos de A dois a dois disjuntos pelo que se verifica que:

LX

⋃n≥1

Bn

= P

X−1

⋃n≥1

Bn

= P

⋃n≥1

X−1 (Bn)

=∑n≥1

P[X−1 (Bn)

]=

=∑n≥1

LX [Bn] ,

em virtude de P ser uma probabilidade e por isso aditiva-σ.

A nocao seguinte esta associada a lei de probabilidade de uma variavel aleatoria pormeio dos conjuntos da algebra-σ de Borel que figuram na proposicao 1.



Definicao 3 (Funcao distribuicao de probabilidade ). Seja (Ω,A,P) um espacode probabilidade e X uma variavel aleatoria, sobre esse espaco de probabilidade.FX , a funcao distribuicao de probabilidade da variavel aleatoria X e a funcaoreal de variavel real dada por:

∀x ∈ R FX(x) = P [X ≤ x] .

Observacao 2 (Fundamental). Note-se que:

FX(x) = P [X ∈]−∞, x]] = P[X−1(]−∞, x])

]= LX []−∞, x]] ,

o que estabelece a ligacao entre LX , a lei de X e FX a funcao distribuicao de X. Veremosadiante que e equivalente descrever a distribuicao dos valores de X pela lei ou pela funcaode distribuicao de probabilidade.

Vamos estabelecer seguidamente as propriedades fundamentais das funcoes de dis-tribuicao de probabilidade, propriedades que tambem as caracterizam.

Proposicao 2 (Propriedades caracterısticas das FDP). Seja X uma variavelaleatoria e FX , a funcao distribuicao de probabilidade da variavel aleatoria X.Verifica-se entao que:

1. A funcao FX e monotona nao-decrescente, i.e., se x ≤ y entao FX(x) ≤FX(y).

2. FX(−∞) := limx→−∞ FX(x) = 0 e FX(+∞) := limx→+∞ FX(x) = 1.

3. A funcao FX e contınua a direita em todos os pontos de R, isto e:

∀x ∈ R limh→0,h≥0

FX(x+ h) = FX(x) .

Demonstracao. Veja os fotogramas das aulas.

Observacao 3. No seguimento do que foi afirmado na introducao, pode mostrar-se quedada uma funcao F real de variavel real satisfazendo as propriedades caracterısticas daproposicao 2, existe um espaco de probabilidade e uma variavel aleatoria X sobre esseespaco de probabilidade tal que a correspondente funcao de distribuicao de probabilidadeFX coincide com F . Mais ainda, pode mostrar-se que a cada funcao F real de variavel realsatisfazendo as propriedades caracterısticas da proposicao 2 se pode fazer corresponder,de forma unıvoca, uma probabilidade L sobre (R,B(R) de tal forma que a funcao realde variavel real definia para x ∈ R por G(x) = L []−∞, x]], coincide com F . Podepois garantir-se que as nocoes de lei de probabilidade e de funcao de distribuicao deprobabilidade sao equivalentes para descrever a distribuicao dos valores que toma umadada variavel aleatoria.



3 Variaveis discretas e contınuas e suas caracterısticas fundamentais

De entre a generalidade de variaveis aleatorias com valores reais ha dois tipos notaveisque estudaremos em seguida e que permitem a maioria das aplicacoes das Probabilidadese Estatıstica ao problemas simples da pratica.

Definicao 4 (Variavel aleatoria discreta). Uma variavel aleatoria X definidanum espaco de probabilidade (Ω,A,P) e com valores reais, diz-se discreta seexistir um conjunto I ⊆ N, que pode ser finito ou infinito, tal que

X(Ω) = xn : n ∈ I,

isto e, se X(Ω), o conjunto imagem de X, for um conjunto numeravel, finito ouinfinito. defina SX o suporte de uma tal variavel X.

Observacao 4. Os pontos do conjunto imagem de X cuja probabilidade e nula nao temrelevancia para a lei de X. Esa e a motivacao da definicao seguinte.

Definicao 5 (Suporte de uma variavel aleatoria discreta). Seja uma variavelaleatoria discreta X definida num espaco de probabilidade (Ω,A,P) e comvalores reais e con conjunto imagem dado por X(Ω) = xn : n ∈ I com I ⊆ N.O suporte de uma tal variavel X e o conjunto definido por:

SX := m ∈ I : P [X = xm] 6= 0

Observacao 5. Exemplos fundamentais de variaveis aleatorias discretas sao as variaveiscom leis de Bernoulli, Binomial e de Poisson.

(i) Seja uma observacao de um fenomeno com dois resultados possıveis (e.g. sucessoversus fracasso, cara versus coroa, etc) descritos por uma variavel aleatoria X talque X(Ω) = 0, 1. Se se verificar que P [X = 1] = p ∈ [0, 1] escrevemos queX _ B(p) e dizemos que X tem lei de Bernoulli de parametro p.

(ii) Seja X1, X2, . . . XN um conjunto de N ≥ 1 observacoes de um fenomeno com doisresultados possıveis (e.g. sucesso versus fracasso, cara versus coroa, etc) descritospor uma variavel aleatoria X tal que X(Ω) = 0, 1 e P [X = 1] = p ∈ [0, 1].Considere-se o numero de vezes em que se obtem o valor 1 nas N observacoes dofenomeno, isto e, considere-se a variavel aleatoria Y :=

∑Nk=1Xk. Escrevemos que

Y _ B(N, p) e dizemos que X tem lei binomial de parametros N e p.

(iii) Seja X o numero de utentes que aparecem por hora numa dada reparticao publica.Suponhamos que a probabilidade de ver aparecer X = k ≥ 0 utentes e dada por:

P [X = k] = e−λλk

k!.

Escrevemos que X _ P(λ) e dizemos que X tem lei de Poisson de parametro λ.



Teorema 2 (Caracterizacao das variaveis aleatorias discretas). X e umavariavel aleatoria discreta definida num espaco de probabilidade (Ω,A,P) e to-mando valores reais se e so se:

∃(xn)n≥1 ∈ RN∗ ∃(αn)n≥1 ∈ RN

∗+

∑n≥1

αn = 1 LX =∑n≥1

αnδxn


Um segundo tipo muito importante de variaveis aleatorias tem a funcao de distri-buicao de probabilidade dada como integral funcao do limite de inegracao superior deuma funcao nao negativa integravel.

Definicao 6. Uma variavel aleatoria X definida num espaco de probabilidade(Ω,A,P) e tomando valores reais diz-se contınua, se e so se existir fX : R 7→ R+,denominada a densidade da lei de X, tal que:

1. A densidade fX tem integral finito, ou seja,∫ +∞

−∞fX(x)dx < +∞ .

2. A funcao de distribuicao de X, FX , e dada por:

FX(x) = P [X ≤ x] =

∫ x

−∞fX(t)dt .

Observacao 6. Os exemplos seguintes sao muito importantes nas aplicacoes.

(j) Seja [a, b] um qualquer intervalo fechado limitado de R. Suponhamos que X re-presenta um qualquer numero, escolhido ao acaso no intervalo [a, b] de tal formaque para qualquer subintervalo [a1, b1] ⊆ [a, b] se tenha que a probabilidade de Xestar em [a1, b1] e proporcional ao comprimento deste intervalo, isto e a b1 − a1.Pode inferir-se desta condicao que:

P [X ∈ [a1, b1]] =b1 − a1

b− a.

Escrevemos que X _ U([a, b]) e dizemos que X tem lei (ou distribuicao) uniformeno intervalo [a, b].

(jj) Suponhamos que X descreve o tempo que medeia entre a chegada a uma dadareparticao publica de dois utentes e que esta variavel X tem uma funcao de distri-buicao de probabilidade dada por:

FX(x) = P [X ≤ x] =1

δ

∫ x

0e−

tδ dt ,

em que δ > 0. Escrevemos que X _ E(δ) e dizemos que X tem lei (ou distribuicao)exponencial de parametro δ.



(jjj) Suponhamos que X descreve os erros de medida nao sistematicos num determinadoprocesso em que a precisao das medicoes e arbitraria e que estes erros derivam dasoma de uma infinidade de perturbacoes, independentes e de pequena amplitudeem torno de zero. Pode mostrar-se (o teorema do limite central que estudaremosadiante) que esta variavel X tem uma funcao de distribuicao de probabilidade dadapor:

FX(x) = P [X ≤ x] =1√2π

∫ x

−∞e−

t2

2 dt .

Escrevemos que X _ N(0, 1) e dizemos que X tem lei (ou distribuicao) normal(ou Gaussiana) reduzida (ou estandardizada).

Pode encontrar outros exemplos de varıaveis contınuas na tabela 1. Nos exercıciospodera estudar algumas propriedades destas leis de probabiidade.

LX fX(t) FX(x)

N(0, 1) 1√2πe−

t2

21√2π

∫ x−∞ e

− t2

2 dt

N(µ, σ) 1√2πσ

e−(t−µ)2

2σ21√2πσ

∫ x−∞ e

− (t−µ)2

2σ2 dt

E(δ) 1δ e− tδ 1I[0,+∞[(t)

(1− e−

tδ

)1I[0,+∞[(t)

Γ(α, δ) β−αtα−1e− tβ

Γ(α) 1I]0,+∞[(t)∫ x

0β−αtα−1e

− tβ

Γ(α) dt

U([a, b]) 1b−a1I[a,b](t)

x−ab−a 1I[a,b](t) + 1I]b,+∞[(t)

L(µ, β) 12β e− |t−µ|

2β

(1− 1

2e− t−µ

β

)1I[µ,+∞[(t) + 1

2e−µ−t

β 1I]−∞,µ[(t)

Tabela 1: Leis contınuas

As variaveis contınuas tem uma propriedade que contrasta fortemente com a pro-priedade de definicao das variaveis discretas. Com efeito, ao inves destas, e nula aprobabilidade de uma variavel contınua tomar uma qualquer valor real em particular.Assim a probabilidade distribui-se pelos intervalos de R mas nao ha qualquer numeroreal em particular que tenha uma probabilidade positiva.

Teorema 3. Se Y for contınua e tiver como densidade uma funcao contınuaentao verifica-se:

∀y ∈ R P [Y = y] = LY (y) = 0 ,

em que LY e a lei de Y .


A definicao de variavel aleatoria com lei contınua faz-se com o auxılio da densidadede probabilidade. O resultado seguinte mostra como obter a densidade de probabilidadea partir da funcao de distribucao de uma variavel aleatoria com lei contınua. Trata-se



do caso particular das densidades que sao funcoes contınuas. O caso geral e de enormedificuldade e motivou extensas investigacoes matematicas no princıpio do seculo XX.

Proposicao 3. Seja X uma variavel aleatoria contınua num espaco de pro-babilidade (Ω,A,P). Entao se fX for uma funcao contınua da variavel real,F ′X = fX , isto e, FX a funcao distribuicao de X e derivavel e:

∀x ∈ R d

dxFX(x) = fX(x) .


Observacao 7. Dado que a soma de duas variaveis aleatorias ainda e uma variavelaleatoria pode naturalmente colocar-se a seguinte questao: Se X for discreta e Y forcontınua a lei de X + Y e discreta, contınua ou nem uma coisa nem outra? O leitorpodera convencer-se facilmente de que e a terceira resposta que esta certa somando umavariavel com lei uniforme no intervalo [−2,+2] com uma variavel com lei de Bernoulli,por exemplo com parametro 1/2 e calculando a respectiva funcao de distribuicao de pro-babilidade. A descricao completa das funcoes de distribuicao pode fazer-se no quadrodo integral de Lebesgue.

4 Valor esperado e variancia

A completar. Veja os fotogramas das aulas.

5 Leis dos Grandes Numeros

A completar. Veja os fotogramas das aulas.

Proposicao 4 (Desigualdade de Tchebychev).


Teorema 4 (Lei fraca dos grandes numeros).


O seguinte princıpio e muito util na especificacao de jogos justos.

Princıpio 2 (Princıpio do valor esperado). Seja X uma variavel aleatoria des-crevendo a soma das perdas e ganhos de um dos jogadores na realizacao de umdado jogo com dois oponentes, em que o ganho de um seja a perda do outro evice versa. Pode considerar-se que o jogo e justo, para os dois oponentes, se:

E [X] = 0 .



Observacao 8 (Justificacao do princıpio do valor esperado).

Definicao 7 (Variaveis aleatorias multivariadas). variavel aleatoria multivari-ada

Proposicao 5. X = (X1, . . . XN ) e uma variavel aleatoria multivariada to-mando valores em R

N , se e so se, para cada i ∈ 1, . . . , N, Xi for uma variavelaleatoria tomando valores reais.

6 Exercıcios

Exercıcio 2 (Exemplo de lei discreta). Seja (Ω,A,P) um espaco de probabilidade e para Ω0 ∈ Ω e [2]α ∈ R a aplicacao X := α1Iω0.

1. Mostre que X e uma variavel aleatoria tomando valores reais.

2. Mostre que LX , a lei de X, e dada por:

LX = P [ω0] δα +P [Ω \ ω0] δ0 ,

em que, para a ∈ R, δa e a probabilidade de Dirac em (R,B(R)).

Exercıcio 3 (A lei uniforme no intervalo real unitario). Considere o seguinte fenomeno: escolha-se um [2]numero ao acaso no intervalo [0, 1]. E, para um dado espaco de probabilidade (Ω,A,P) seja a variavelaleatoria X definida sobre esse espaco de probabilidade, o resultado da observacao desse numero extraıdoao acaso.

1. Mostre que se deve verificar

∀a, b ∈ [0, 1] LX ([a, b]) = b− a .

2. Conclua que:FX(x) := P [X ≤ x] = P [ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x] = x .

Exercıcio 4 (A lei normal reduzida). Considere uma variavel aleatoria X tomando valores reais e [2]definida num espaco de probabilidade (Ω,A,P) tal que

P [X ≤ x] =1√2π

∫ x

−∞e−

t2

2 dt .

1. Estude detalhadamente a funcao fX(t) = e−t2

2 (domınio, contradomınio, continuidade, zeros,derivabilidade, pontos crıticos, representacao grafica, integrabilidade, etc).

2. Mostre que FX(x) := P [X ≤ x] verifica as tres propriedades caracterısticas de uma funcao dis-tribuicao.

Exercıcio 5. Seja X uma variavel aleatoria discreta num espaco de probabilidade (Ω,A,P) com lei LX [2]e tal que X(Ω) = xn : n ≥ 1. Mostre que:

LX =∑n≥1

P [X = xn] δxn ,

em que δa e a probabilidade de Dirac concentrada em a.



Exercıcio 6 (Calculo de valor esperado I - Lei uniforme em no intervalo unitario). Seja uma variavel [1]aleatoria X _ U([0, 1]), isto e, tal que

FX(x) = P [X ≤ x] =

∫ x

0

dt .

Determine, se esta existir, fX a densidade de X e determine E [X], o valor esperado de X.

Exercıcio 7 (Calculo de valor esperado II - Lei normal reduzida). Seja X _ N(0, 1), isto e, tal que [1]

FX(x) = P [X ≤ x] =1√2π

∫ x

0

e−t2

2 dt .


Exercıcio 8 (Calculo de valor esperado III - Lei exponencial). Seja X _ E(δ), isto e, tal que [1]

FX(x) = P [X ≤ x] =1

δ

∫ x

0

e−tδ dt .


Exercıcio 9 (Calculo de valor esperado IV - Lei normal). Seja X _ N(µ, σ), com µ ∈ R e σ ∈∈ R+, [1]isto e, tal que

FX(x) = P [X ≤ x] =1

σ√

2π

∫ x

0

e− (t−µ)2

2σ2 dt .


Exercıcio 10 (Calculo de valor esperado V - Lei de Bernoulli). Seja X _ B(p), com p ∈]0, 1[, isto e, [1]tal que

X =

1 com probabilidade p0 com probabilidade 1− p

Explicite a lei de X e determine E [X], o valor esperado de X.

Exercıcio 11 (Calculo de valor esperado VI - Lei Binomial). Seja X _ B(N, p), com N ≥ 1 inteiro e [1]p ∈]0, 1[, isto e, tal que

∀k ∈ 0, 1, 2, . . . , N P [X = k] =

(N

k

)pk(1− p)(N−k) (3)

Mostre que a formula (3) define uma lei de probabilidade e determine E [X], o valor esperado de X.

Exercıcio 12 (Calculo de valor esperado VII - Lei de Poisson). Seja X _ P(λ) uma variavel aleatoria [1]com valores reais, tal que X(Ω) = N e verificando ainda

∀k ∈ N P [X = k] = e−λλk

k!, (4)

1. Mostre que a formula (4) define uma lei de probabilidade;

2. Determine E [X], o valor esperado de X.



Exercıcio 13 (Calculo de valor esperado VIII). [KL72] Seja X uma variavel aleatoria com valores reais [1]e tal que X(Ω) = 1, 2, . . . , N. Suponha que:

∀k ∈ 1, 2, . . . , N P [X = k] = C(N)k − 1

N, (5)

em que C(N) e constante.

1. Determine a constante C(N) de forma a que a formula (5) defina uma lei de probabilidade;

2. Determine E [X], o valor esperado de X.

Exercıcio 14 (Variaveis multivariadas I). Considere o seguinte jogo num casino. Lanca um dado [1]equilibrado e, de forma independente, uma moeda tal que a probabilidade de sair cara e 1/4. O casinopaga (em Euros, por exemplo) o numero de pintas da face oposta a face assente do dado se na moedativer saıdo caras e nao paga nada se na moeda tiver saıdo coroa. Usando o princıpio do valor esperado,determine o valor de entrada no jogo que o casino deve cobrar para que o jogo seja equilibrado.

Exercıcio 15 (Variaveis multivariadas II). Considere o seguinte jogo num casino. Lanca primeiro um [1]dado equilibrado e, depois, consoante i = 1, 2, . . . , 6, o numero de pintas da face oposta a face assente dodado, uma das seis moedas mi, para i = 1, 2, . . . , 6. Suponha que a probabilidade de sair cara na moedami e i/21 para i = 1, 2, . . . , 6 e que o casino paga 1 Euro sempre que sai caras e nao paga nada se saircoroa. Usando o princıpio do valor esperado, determine o valor de entrada no jogo que o casino devecobrar para que o jogo seja equilibrado.



Exercıcio 16 (Lei fraca dos grandes numeros de Tchebychev). [Gne97, p. 195] Seja (Xn)n≥1 uma [3]sucessao de variaveis aleatorias independentes e tais que:

∃C > 0 ∀n ≥ 1 V [Xn] ≤ C .

1. Mostre que para qualquer variavel aleatoria X com variancia finita se tem que:

∀ε > 0 P [|X −E [X]| ≥ ε] ≤ V [X]

ε2.

2. Mostre que:

∀N ≥ 1 V

[1

N

N∑n=1

Xn

]≤ C

N.

3. Mostre que:

∀ε > 0 ∀N ≥ 1 P

[∣∣∣∣∣ 1

N

N∑n=1

Xn −1

N

N∑n=1

E [Xn]

∣∣∣∣∣ < ε

]≥ 1− C

Nε2.

4. Conclua que:

∀ε > 0 limN→+∞

P

[∣∣∣∣∣ 1

N

N∑n=1

Xn −1

N

N∑n=1

E [Xn]

∣∣∣∣∣ ≥ ε]

= 0 .

[1]Exercıcio 17.

[1]Exercıcio 18.

[1]Exercıcio 19.

7 Resolucoes

Resolucao:[Exercıcio 12]♦

[1]Exercıcio 20.

Referencias

[Gne97] B. V. Gnedenko. Theory of probability. Translated from the sixth Russianedition by Igor A. Ushakov. Gordon and Breach Science Publishers, Amsterdam,sixth edition, 1997.

[KL72] Albert Krief and Shemaya Levy. Calcul des Probabilites. Exercices. CollectionMethodes. Hermann, Paris, 1972.


Funcoes Geradoras de Momentos


MLE

1 Introducao

Neste capıtulo introduzimos a funcao geradora de momentos que e uma das ferramentastecnicas mais importantes para o calculo de quantidades associadas as leis das variaveisaleatorias. A funcao geradora de momentos pode nao existir, num intervalo aberto, parauma dada lei de probabilidade. No entanto, dado que para algumas das leis mais usadasnas aplicacoes (e.g. binomial, Poisson, normal, exponencial, gama) pode ser definidanuma vizinhanca de zero e, ainda assim, de uma utilidade que justifica o estudo. Nestecapıtulo estudaremos, por meio da funcao geradora de momentos o calculo de momentosde leis de probabilidade e alguns teoremas limite importantes. Nomeadamente, umaversao do teorema do limite central e teoremas de aproximacao da normal e da Poissona binomial. Apresentamos ainda um teorema sobre somas de parcelas aleatorias comum numero aleatorio de parcelas que e importante para as aplicacoes. Com algumconhecimento das funcoes de variavel complexa e possıvel estudar a funcao caracterısticada lei de uma variavel aleatoria que e uma nocao semelhante a funcao geradora demomentos mas que nao tem as principais limitacoes desta existindo para todas as leisde probabilidade

2 Sobre o calculo de valores esperados

Nesta seccao apresentamos um resultado de grande utilidade que e enunciado sob formade princıpio dado que a sua demonstracao requer um formalismo fora do ambito doprograma desta disciplina. Seja X uma variavel aleatoria com valores reais definidanum espaco de probabilidade (Ω,A,P). Sabemos que, por definicao, se verifica que:

∀B ∈ B(R) X−1(B) ∈ A .

Seja h : R 7→ R for uma variavel aleatoria de (R,B(R)) em (R,B(R)). Entao a funcaodefinida em Ω pela composicao h X : Ω 7→ R 7→ R e uma variavel aleatoria. Comefeito, dado que, para qualquer B ∈ B(R) se verifica que:

(h X)−1 (B) = ω ∈ Ω : h(X(ω)) ∈ B = ω ∈ Ω : X(ω) ∈ h−1(B) = h−1(X−1(B))

a aplicacao repetida da definicao de variavel aleatoria mostra que (h X)−1 (B) ∈ A.O princıpio seguinte que e, de facto, um teorema que se pode demonstrar num

contexto teorico mais avancado, mostra como calcular os valores esperados das variaveis

1

Capıtulo IV Funcoes Geradoras de Momentos Seccao: 3

aleatorias hX desde que se conheca a lei de X e, claro esta, caso estes valores esperadosexistam.

Princıpio 1 (Calculo de valores esperados). Seja h : R 7→ R uma variavelaleatoria de (R,B(R)) em (R,B(R)). Entao, sempre que existam as quantida-des a direita nas igualdades seguintes tem-se:

E [h(X)] =∑i∈I

h(xi)P [X = xi] X discreta tomando os valores xi : i ∈ I(1)

E [h(X)] =

∫ +∞

−∞h(x)fX(x)dx X contınua com densidade fX (2)

Observacao 1 (Sobre a existencia dos valores esperados). No caso em que na formula (1)se verificar que I ⊆ N e um conjunto infinito, a existencia do valor esperado de h(X)esta condicionada a convergencia de uma serie. Se I ⊆ N for finito o valor esperado emquestao existe sempre. No que toca a formula (2), a existencia do valor esperado de h(X)esta condicionada a convergencia do integral improprio que a define e essa convergenciatem que ser analisada caso a caso.

3 Os momentos das variaveis aleatorias

No capıtulo sobre as variaveis aleatorias definimos o valor esperado de uma variavelaleatoria como sendo uma quantidade que corresponde ao valor que a variavel tomaem media. A definicoes seguintes estendem a nocao de valor esperado fazendo uso doprincıpio 1.

Definicao 1 (Momentos de uma variavel aleatoria). Seja X uma variavelaleatoria. Para cada inteiro n ≥ 1 o momento de ordem n de X e, quandoexiste, dado por E[Xn], ou seja,

E [Xn] =∑i∈I

xni P [X = xi] X discreta tomando os valores xi : i ∈ I (3)

E [Xn] =

∫ +∞

−∞xnfX(x)dx X contınua com densidade fX (4)

Definicao 2 (Momentos centrais). Seja X uma variavel aleatoria. Para cadainteiro n ≥ 2 o momento central de ordem n de X, designado por µn e, quandoexiste, dado por µn := E [(X −E [X])n], em que E [X] e o valor esperado deX, ou seja, definindo µ1 := E [X],

µn =∑i∈I

(xi − µ1)nP [X = xi] X discreta tomando os valores xi : i ∈ I(5)

µn =

∫ +∞

−∞(x− µ1)n fX(x)dx X contınua com densidade fX (6)



Observacao 2 (Sobre a existencia dos momentos e dos momentos centrais das variaveisaleatorias). Dado o que referimos na observacao 1, a existencia dos momentos de umavariavel aleatoria esta dependente da convergencia de uma serie no caso de uma variavelaleatoria discreta tomando uma infinidade de valores e da convergencia de um integralimproprio no caso de uma lei de probabilidade contınua.

Assume particular importancia o segundo momento central.

Proposicao 1 (Variancia). Seja X uma variavel aleatoria. Sempre que existamo primeiro e o segundo momentos de X, V(X) a variancia de X que e o segundo

momento central de X, ou seja V(X) := µ2 = E[(X −E [X])2

], e dada por:

V(X) = E[X2]−E [X]2 . (7)

Demonstracao. E uma consequencia da linearidade do valor esperado. Com efeito,

E

[(X −E [X])2

]= E

[X2 − 2XE [X] +E [X]2

]= E

[X2]− 2E [X]2 +E

[X2]2,

ficando assim demonstrada a formula (7).

Nas tabelas seguintes apresentamos exemplos de momentos para algumas leis impor-tantes nas aplicacoes.

LX E[X] E[X2] V[X]

N(0, 1) 0 1 1

N(µ, σ) µ σ2 + µ2 σ2

E(δ) δ 2 δ2 δ

Γ(α, δ) αβ 2 α(1 + α)β2 αβ2

Tabela 1: Dois primeiros momentos e variancias de algumas leis contınuas

4 A funcao geradora de momentos

Para a definicao da funcao geradora de momentos de uma dada variavel aleatoria Xutilisaremos o princıpio 1.

Definicao 3. A funcao geradora de momentos de X, e por definicao, a funcaodefinida por MX(t) = E

[etX], para os t ∈ R tais que E

[etX]

exista. Assim:

MX(t) =∑i∈I

etxiP [X = xi] X discreta tomando os valores xi : i ∈ I (8)

MX(t) =

∫ +∞

−∞etxfX(x)dx X contınua com densidade fX (9)



Observacao 3 (Motivacao da designacao). Consideremos o caso em que X e discreta etoma um numero finito N de valores. Nesse caso, considerando I = 1, . . . , N temosque

∑Ni=1 h(xi)P [X = xi] existe para qualquer funcao h : R 7→ R. Consideremos para

cada inteiro n ≥ 1 a funcao hn(x) = xn que 1, admitimos define uma variavel aleatoria.Pelo princıpio 1 podemos calcular

E [Xn] = E [hn(X)] =N∑i=1

hn(xi)P [X = xi] =N∑i=1

xni P [X = xi] .

Se agora considerarmos o valor da derivada de ordem n de MX(t) tomada no ponto t = 0temos

d(n)

dxnMX(t)

∣∣∣∣∣t=0

=

N∑i=1

xni etxiP [X = xi]

∣∣∣∣∣t=0

=

N∑i=1

xni P [X = xi] = E [Xn] ,

o que mostra que os momentos da variavel X podem ser recuperados a partir da funcaogeradora de momentos de X, calculando a derivada desta no ponto zero.

Na tabelas seguintes indicamos, a tıtulo de exemplos, para um conjunto de leisnotaveis as respectivas funcoes geradoras de momentos bem como a expressao geraldos correspondentes momentos.

LX fX(t) MX(t) E[Xk]

N(0, 1) 1√2πe−

t2

2 et2

2 (k(k − 2)(k − 4) . . . 2) 1Ik par (k)

N(µ, σ) 1√2πσ

e−(t−µ)2

2σ2 eµt+σ2t2

2

E(δ) 1δ e− tδ 1I[0,+∞[(t)

11−tδ1I[0, 1

δ[(t) δkk!

Γ(α, δ) β−αtα−1e− tβ

Γ(α) 1I]0,+∞[(t)1

(1−tβ)α 1I[0, 1β

[(t) βk∏k−1i=0 (α+ i)

U([a, b]) 1b−a1I[a,b](t)

etb−etat(b−a)

bk+1−ak+1

(k+1)(b−a)

L(µ, β) 12β e− |t−µ|

2β etµ

1−t2β2 1I]− 1β, 1β

[(t) Mk (L(µ, β))

Tabela 2: Algumas leis contınuas notaveis

Observacao 4. Note-se que:

Mk (L(µ, β)) =1

2

(e−µβ (−β)k

∫ +∞

−µβ

uk+1e−udu+ eµβ βk

∫ +∞

µβ

uk+1e−udu

)

Considerando a variavel aleatoria Y ≡ 1, isto e a variavel aleatoria que toma o valor1 com probabilidade 1, verifica-se imediatamente que a funcao geradora de momentosesta sempre definida em t = 0. Com efeito,

MX(t)|t=0 = E[etX∣∣t=0

]= E [Y ] = 1×P [Y = 1] = 1 .

1Sendo uma funcao real de variavel real contınua e uma variavel aleatoria.



LX P[X = x] MX(t)

B(0, 1) P[X = 1] = p 1− p+ pet

B(µ, σ) P[X = k] =(Nk

)pk(1− p)N−k (1− p+ pet)N

P(δ) P[X = k] = e−λ λk

k! eλ(et−1)

G(p) P[X = k] = p(1− p)k+1 pet

1−(1−p)et

Tabela 3: Algumas leis discretas notaveis

No entanto, qualquer eventual propriedade de regularidade em t = 0 de MX (e.g. conti-nuidade, derivabilidade, etc) requer que esta funcao esteja definida num intervalo abertocontendo t = 0. O teorema seguinte da uma condicao necessaria e suficiente para paraque tal aconteca. Veja-se [Esq07, p. 52] para uma demonstracao deste resultado que nasua generalidade esta fora do ambito do programa desta unidade curricular.

Teorema 1 (Existencia da funcao geradora de momentos). Seja X uma variavelaleatoria tomado valores reais. Uma condicao necessaria e suficiente para quea funcao geradora de momentos de X esteja definida num intervalo aberto,contendo zero, e que:

∃K,C > 0 P [|X| > x] ≤ Ce−Kx .

Para as variaveis aleatorias discretas e possıvel demonstrar, no ambito do programada disciplina, uma versao mais fraca do teorema 1.

Proposicao 2 (Sobre a existencia da funcao geradora de momentos). Seja Xuma variavel aleatoria discreta tomando uma infinidade de valores reais desig-nados por X(Ω) = xn;n ≥ 1. Considerem-se as duas condicoes seguintes.

1. A variavel X tem caudas com decaımento exponencial, isto e:

∃t0 > 0 ∃C > 0 ∃xC > 0 ∀x ≥ xC P [|X| ≥ x] ≤ Ce−t0x . (10)

2. Definindo I+X := n ≥ 1 : xn > 0 e I−X := n ≥ 1 : xn < 0, supoe-se que

tanto (xn)n∈I+Xcomo (xn)n∈I−X

sao conjuntos infinitos e nao limitados eque:

lim infn∈I+X , n→+∞

xnn> 0 e lim sup

n∈I−X , n→+∞

xnn< 0 . (11)

Entao, estas condicoes sao suficientes para que MX exista no intervalo ]−t0, t0[.

Demonstracao. Observe-se que com as notacoes introduzidas

MX(t) =

+∞∑n=1

etxnP [X = xn] = P [X = 0] +∑n∈I+X

etxnP [X = xn] +∑n∈I−X

etxnP [X = xn]



Consideremos, primeiramente o caso dos valores positivos de X. Sem perda de gene-ralidade, apos re-indexacao, podemos supor que I+

X = xm;m ≥ 1 esta ordenado porordem crescente, isto e, que para m ≥ 1 se tem xm ≤ xm+1. Seja 0 < t < t0. Consi-deremos, entao, o resto de ordem M da serie que define a parte da funcao geradora demomentos correspondente aos valores positivos de X, isto e, o termo mais a direita naigualdade seguinte:

∑m∈I+X

etxmP [X = xm] =

M−1∑m=1

etxmP [X = xm] +

+∞∑m=M

etxmP [X = xm] .

Escolha-se M(C) ≥ 1 tal que xM(C) ≥ xC e observe-se que com esta escolha se verificaque para m ≥M(C) se tem que xn ≥ xM(C) ≥ xC e que, em consequencia

P [X = xm] ≤ P [X ≥ xm] ≤ Ce−t0xm ,

donde resulta que o resto de ordem M da serie que define a parte de MX(t) correspon-dente aos valores positivos de X verifica, para M ≥M(C)

+∞∑m=M

etxmP [X = xm] ≤ C+∞∑m=M

1

e(t0−t)xm. (12)

Dado que, pela segunda hipotese, se tem que:

lim supm→+∞

1/m

√1

e(t0−t)xm= lim sup

m→+∞exp

(−(t0 − t)

xmm

)= exp

(−(t0 − t) lim inf

m→+∞

(xmm

))< 1

pode concluir-se pelo criterio da raız que a serie a direita na formula (12) convergeassegurando, assim, que a parte da funcao geradora de momentos correspondente aosvalores positivos de X esta bem definida. Para estudar a parte da funcao geradorade momentos correspondente aos valores negativos de X observe-se que considerandou = −t, ym = −xm e Y = −X se tem:∑

m∈I−X

etxmP [X = xm] =∑m∈I−X

e(−t)(−xm)P [−X = −xm] =

∑m∈I−X

euymP [Y = ym]

em que ym > 0 para m ∈ I−X . Observando que Y verifica obviamente a hipotese daformula (10) e que

lim supm∈I−X , m→+∞

xmm

< 0 ⇔ lim infm∈I−X , m→+∞

ymm

> 0

podemos concluir procedendo de igual modo que para u < t0, isto e para t > −t0 que aparte da funcao geradora de momentos correspondente aos valores negativos de X estabem definida, ficando assim demonstrado que a funcao geradora de momentos existepara t ∈]− t0, t0[



Observacao 5. Note-se que se, por exemplo, (xn)n∈I+Xfor uma sucessao limitada entao

(etxn)n∈I+Xtambem e uma sucessao limitada para t ∈ R e, em consequencia, para uma

certa constante M tal que para n ∈ I+X se verifique etxn ≤M , tem-se que:∑

n∈I+X

etxnP [X = xn] ≤M∑n∈I+X

P [X = xn] ≤M∑n≥1

P [X = xn] = M .

Em consequencia desta observacao e com a proposicao 2, fica estudada a existencia dasfunooes geradoras de momentos para todas as variaveis aleatorias discretas (tomandoum numero finito de valores ou um numero infinito de valores).

Na sequencia da observacao 3 pode mostrar-se que sempre que a funcao geradora demomentos tenha como domınio de definicao um intervalo aberto podem determinar-seos momentos da variavel aleatoria por derivacao da funcao geradora de momentos.

Teorema 2 (Existencia e calculo dos momentos). Seja X uma variavel aleatoriatomado valores reais cuja funcao geradora de momentos MX(t) esteja definidanum intervalo aberto I, por exemplo, I =]− t0, t0[. Entao,

∀t ∈]− t0, t0[ MX(t) =+∞∑n=0

E [Xn]tn

n!, (13)

donde se conclui a, derivando sucessivamente, que:

∀n ≥ 1d(n)

dxnMX(t)

∣∣∣∣∣t=0

= E [Xn] . (14)

aEsta conclusao pode ser tirada quer recorrendo a formula de Taylor quer recorrendo aspropriedades das series de potencias; nos exercıcios praticos usaremos, preferencialmente, aprimeira justificacao.

Demonstracao. A demonstracao deste resultado em toda a sua generalidade esta fora doambito do programa. Na referencia [Bil95, p. 278]pode ler-se uma demonstracao que usao integral de Lebesgue. Na referencia [Esq07, p. 53] proposicao 5.3, demonstra-se umresultado mais geral no ambito das funcoes de variavel complexa. E possıvel apresentaruma demonstracao simples no caso particular de uma variavel contınua com densidadecom suporte compacto. Seja entao X uma variavel aleatoria tal que para x /∈ [−A,+A]se verifique que fX(x) = 0. Seja T > 0 qualquer e observe-se que para t ∈ [−T, T ]qualquer mas fixo e para x ∈ [−A,+A] se tem que pelo criterio de Weierstrass que aserie

+∞∑n=0

|(tx)n|n!

≤+∞∑n=0

(AT )n

n!= eAT < +∞

converge uniformemente pelo que se tem, pelo resultado que permite integrar uma serie



desde que haja convergencia uniforme, que para t ∈ [−T, T ],

MX(t) =

∫ +∞

−∞etxfX(x)dx =

∫ +A

−AetxfX(x)dx =

∫ +A

−A

(+∞∑n=0

(tx)n

n!

)fX(x)dx =

=

+∞∑n=0

tn

n!

∫ +A

−AxnfX(x)dx =

+∞∑n=0

tn

n!

∫ +∞

−∞xnfX(x)dx =

+∞∑n=0

E [Xn]tn

n!,

que e o resultado apresentado na formula (13). Neste caso, o resultado e valido paraqualquer t ∈ R uma vez que T e arbitrario. A formula (14) resulta da formula (13) dadoser possıvel derivar uma serie de potencias no interior do intervalo de convergencia que,neste caso, e ]−∞,+∞[.

5 Propriedades da funcao geradora de momentos

A funcao geradora de momentos quando esta definida num intervalo aberto goza de umconjunto de propriedades muito uteis nas aplicacoes.

(a) Se duas variaveis aleatorias sao independentes entao a funcao geradora de momen-tos da soma das variaveis aleatorias e o produto das funcoes geradoras de momentosde cada uma das variaveis aleatorias.

(b) A funcao geradora de momentos caracteriza a distribuicao de probabilidade. As-sim quando duas funcoes geradoras de momentos de duas leis de probabilidadecoincidem num intervalo aberto, necessariamente nao vazio, pode concluir-se queas leis tambem coincidem.

(c) Se uma sucessao de funcoes geradoras de momentos, correspondente a uma sucessaode leis de probabilidade, converge num intervalo aberto para uma funcao geradorade momentos de uma certa lei de probabilidade entao a sucessao das leis convergepara essa lei.

Previamente, necessitamos explicitar a nocao de convergencia de leis de probabilida-des.

Definicao 4 (Convergencia de leis de probabilidade). A sucessao de leis deuma sucessao de variaveis aleatorias (Xn)n≥1 converge para a lei da variavelaleatoria X∞ se e so se qualquer que seja h : R 7→ R contınua e limitada severificar que:

limn→+∞

E [h(Xn)] = E [h(X∞)] .

Observacao 6. A convergencia definida na definicao 4 pode representar-se por

XnL−−−−−→

n→+∞X∞

o que se le: a sucessao (Xn)n≥1 converge em lei para X∞. Esta convergencia e, de facto,uma convergencia das leis de probabilidade e nao necessita da explicitacao das variaveis



aleatorias referidas (veja-se [Met79, p. 176] para uma abordagem mais avancada a estanocao).

Proposicao 3 (Condicao necessaria e suficiente para a convergencia de leis deprobabilidade). Uma sucessao (Xn)n≥1 converge em lei para X∞ se e so se paraqualquer ponto de continuidade x de FX∞, a funcao de distribuicao de X∞ severificar que: limn→+∞ FXn(x) = FX∞(x).

Demonstracao. Veja-se [Met79, p. 176] ou [Sin92, p. 114] para demonstracoes desteresultado.

Em complemento da proposicao 3, no caso em que a funcao de distribuicao limite econtınua pode garantir-se a convergencia uniforme.

Teorema 3 (Teorema de Polya sobre a convergencia uniforme das funcoes dedistribuicao). Seja (Fn)n≥1 uma sucessao de funces de distribuicao convergindopontualmente para uma funcao de distribuicao limite contınua em R. Entao aconvergencia e uniforme, isto e,

limn→+∞

supx∈R|Fn(x)− F (x)| = 0 .

Demonstracao. Em [0, 1], contradomınio comum das funcoes de distribuicao de proba-bilidade e para m ≥ 1 a determinar, consideremos m pontos de igualmente espacados deum comprimento igual a 1/m. Dado que F e funcao de distribuicao monotona crescentee contınua, existem m − 1 pontos x1, . . . , xm−1 ∈ R, domınio comum das funcoes dedistribuicao, tais que, dada a hipotese de convergencia pontual se verifica:

∀j = 1, . . . ,m− 1 F (xj) =j

me limn→+∞

Fn(xj) = F (xj) .

Seja agora ε > 0 arbitrario. Escolhendo m igual a parte inteira de 1/m acrescida deuma unidade, temos que pela convergencia pontual, para cada j = 1, . . . ,m − 1 existenj = nj(ε) ≥ 1 tal que:

∀n ≥ nj |Fn(xj)− F (xj)| ≤ ε .

Seja agora n0 = max (n1, . . . , nm−1) e considere-se n ≥ n0. Entao para x < x1 tem-seque:

0 < Fn(x) ≤ Fn(x1) ≤ F (x1) + ε ≤ 2ε .

Do mesmo modo para xl ≤ x ≤ xl+1:

F (xl)− ε ≤ Fn(xl) ≤ Fn(x) ≤ Fn(xl+1) ≤ F (xl+1) + ε . (15)

Mas tambem se verifica que

F (xl)− ε ≤ F (xl) ≤ F (x) ≤ F (xl+1) ≤ F (xl+1) + ε , (16)



tem-se em consequencia das formulas (15) e (16) que:

∀x ∈ R ∀n ≥ n0 |Fn(x)− F (x)| ≤ ε ,

tal como se pretendia.

Apresentamos seguidamente os enunciados dos resultados referidos acima.

Teorema 4 (FGM da soma de variaveis aleatorias independentes). Sejam Xe Y variaveis aleatorias independentes tomando valores reais cujas funcoes ge-radoras de momentos MX(t) e MY (t) estejam definidas em intervalos abertos,por exemplo, ]− tX , tX [ e ]− tY , tY [, respectivamente. Entao,

∀t ∈]− tX , tX [∩]− tY , tY [ MX+Y (t) = MX(t)×MY (t)

Demonstracao. Consideremos, que X e Y sao discretas, que X(Ω) = xn : n ≥ 1 queY (Ω) = ym : m ≥ 1, que MX(t) existe para t ∈] − tX ,+tX [ e que MY (t) existepara t ∈] − tY ,+tY [, com tX > 0 e tY > 0. Entao, para t ∈] − tX ,+tX [∩] − tY ,+tY [,observando que X + Y e a variavel aleatoria que vale xn + ym quando X vale xn e Yvale ym:

MX+Y (t) = E[et(X+Y )

]=∑n≥1

∑m≥1

et(xn+yn)P [X = xn, Y = ym] =

=∑n≥1

∑m≥1

etxnetynP [X = xn]P [Y = ym] =

=

∑n≥1

etxnP [X = xn]

∑m≥1

etynP [Y = ym]

= MX(t)MY (t)

em que na terceira igualdade usamos a independencia e a na quarta o facto de estarmosa fazer o produto de series a termos positivos convergentes. Suponhamos agora queX e Y sao contınuas admitindo densidades fX e fY e tais que, como no caso em queambas so discretas, MX(t) existe para t ∈] − tX ,+tX [ e que MY (t) existe para t ∈] − tY ,+tY [, com tX > 0 e tY > 0. Dado que X e Y sao independentes sabemos que:F(X,Y )(x, y) = FX(x)FY (y) o que implica que f(X,Y )(x, y) = fX(x)fY (y). Assim, parat ∈]− tX ,+tX [∩]− tY ,+tY [,

MX+Y (t) = E[et(X+Y )

]=

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞et(x+y)f(X,Y )(x, y)dxdy =

=

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞etxetyfX(x)fY (y)dxdy =

=

(∫ +∞

−∞etxfX(x)dx

)(∫ +∞

−∞etyfY (y)dy

)= MX(t)MY (t)

em que a quinta igualdade resulta das propriedades dos integrais multiplos. O caso geralque cobre, por exemplo, o caso em que X e discreta e Y e contınua pode ser demonstradomuito simplesmente no ambito do integral de Lebesgue.



Teorema 5 (Caracterizacao da lei pela FGM). Sejam X e Y variaveisaleatorias tomando valores reais cujas funcoes geradoras de momentos MX(t)e MY (t) estejam definidas em intervalos abertos, por exemplo, ] − tX , tX [ e]− tY , tY [, respectivamente. Entao,

(∀t ∈]− tX , tX [∩]− tY , tY [ MX(t) = MY (t))⇒ LX ≡ LY ,

Demonstracao. A demonstracao deste resultado no caso geral requer conhecimentos forado ambito desta disciplina (veja-se, por exemplo [Bil95, p. 388]).

Teorema 6 (Convergencia de FGM). Sejam (Xn)n≥1 e X variaveis aleatoriastomando valores reais cujas funcoes geradoras de momentos MXn(t) e MX(t)estejam definidas num intervalo aberto comum, por exemplo, ]−t0, t0[. Entao, separa todo o t ∈]− t0, t0[ se verificar que limn→+∞MXn(t) = MX(t) ter-se-a quea sucessao (Xn)n≥1 converge em lei para X o que implica que para todo o x ∈ Rque seja ponto de continuidade de FX se tem que limn→+∞ FXn(x) = FX(x).

Demonstracao. A demonstracao deste resultado requer conhecimentos fora do ambitodesta disciplina (veja-se, por exemplo [Bil95, p. 390]).

6 Teoremas limite

Os teoremas limite, como os teoremas do limite central, sao, conjuntamente com asleis dos grandes numeros, resultados fundamentais nas aplicacoes das probabilidades,em particular, nos problemas da Estatıstica. Para alem de permitirem a determinacaodos valores de probabilidades aproximadas de uma forma simples permitem, tambem, adeterminacao dos intervalos de confianca em muitas situacoes importantes na pratica.Nesta seccao exploraremos alguns exemplos de teoremas em que uma sucessao de dis-tribuicoes converge para a distribuicao de Poisson ou para a distribuicao Gaussiana.Previamente, necessitamos detalhar tres resultados tecnicos.

O primeiro resultado tecnico exprime a funcao geradora de momentos de uma trans-formacao afim da variavel aleatoria.

Proposicao 4 (Transformacao afim da variavel aleatoria). Seja X uma variavelaleatoria tomando valores reais com funcao geradora de momentos MX(t) de-finida num intervalo aberto, por exemplo, ] − t0, t0[. Sejam b ∈ R qualquer ea ∈ R \ 0. Entao aX + b e uma variavel aleatoria tomando valores reaiscuja funcao geradora de momentos MaX+b(t) esta definida no intervalo aberto]− t0

|a| ,−t0|a| [ e verifica

∀t ∈]− t0|a|,− t0|a|

[MaX+b(t) = etbMX(at) . (17)



Demonstracao. Para t nas condicoes da expressao (17) tem-se que:

MaX+b(t) = E[et(aX+b)

]= E

[etbetaX

]= etbE

[etaX

]= etbMX(at)

pelas propriedades do valor esperado uma vez que o factor etb e determinıstico.

O segundo e terceiros resultados resultam da teoria das series de potencias e saoessenciais para toda esta seccao.

Proposicao 5 (Comportamento local do logaritmo na vizinhanca de 1). ExisteRL : R 7→ R contınua em ]− 1,+1[, verificando RL(0) = −1/2 e tal que:

∀x ∈]− 1,+1[ log(1 + x) = x+ x2RL(x) .

Demonstracao. O desenvolvimento em serie de potencias da funcao log(1 + x), obtidopor integracao da serie geometrica de razao −x, para |x| < 1, e dado por:

log(1+x) =

∫dx

1− (−x)= x−x

2

2+x3

3−· · ·+(−1)n+1xn

n+· · · = x+x2

(+∞∑n=0

(−1)n+1xn

n+ 2

).

Se for, por definicao, RL(x) :=∑+∞

n=1(−1)n+1xn/(n+2) para |x| < 1, tem-se pelo criteriode d’Alembert que a serie converge para qualquer x ∈]−1, 1[, sendo neste intervalo abertouma funcao indefinidamente derivavel e tal que RL(0) = −1/2.

Proposicao 6 (Comportamento local da exponencial na vizinhanca de 0).Existe RE : R 7→ R contınua em R, verificando RE(0) = 1/3! e tal que:

∀x ∈]− 1,+1[ exp(x) = 1 + x+x2

2!+ x3RE(x) .

Demonstracao. O desenvolvimento em serie de potencias da funcao ex e dado para x ∈ Rpor:

ex =+∞∑n=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ · · · = 1 + x+

x2

2!+ x3

(+∞∑n=0

xn

(n+ 3)!

).

Se for, por definicao, RE(x) :=∑+∞

n=1 xn/(n + 3)! para x ∈ R, tem-se pelo criterio de

d’Alembert que a serie converge para x ∈ R, sendo neste conjunto aberto uma funcaoindefinidamente derivavel e tal que RE(0) = 1/3!.

O teorema seguinte, atribuıdo ao matematico Paul Levy, e um resultado util nasaplicacoes.



Teorema 7 (Aproximacao da Poisson a Binomial para eventos raros). Seja(Xn)n≥1 uma sucessao de variaveis aleatorias tais que para n ≥ 1 se tenha queXn _ B(Nn, pn) verificando:

(i) limn→+∞Nn = +∞,

(ii) limn→+∞Nnpn = λ.

Seja X∞ _ P(λ). Entao para t ∈ R tem-se que limn→+∞MXn(t) = MX∞(t)donde resulta que para todo o ponto de continuidade x de FX∞ se tem quelimn→+∞ FXn(x) = FX∞(x).

Demonstracao. Sabemos (ver tabela 3 ou exercıcio 9) que se tem:

MXn(t) =(1 + pn(et − 1)

)Nn =

(1 +

NnpnNn

(et − 1)

)Nn= e

Nn log(

1+NnpnNn

(et−1))

Observe-se que, pelas hipoteses acima, dado t ∈ R existe n0 ≥ 1 tal que para n ≥ n0 setem que ∣∣∣∣Nnpn

Nn(et − 1)

∣∣∣∣ < 1 .

Em consequencia, pelo lema 5 temos

limn→+∞

Nn log

(1 +

NnpnNn

(et − 1)

)=

= limn→+∞

Nn

(NnpnNn

(et − 1) +

(NnpnNn

(et − 1)

)2

RL

(NnpnNn

(et − 1)

))=

= limn→+∞

(Nnpn(et − 1) +

((Nnpn)2

Nn(et − 1)2

)2

RL

(NnpnNn

(et − 1)

))=

= λ(et − 1)

donde resulta imediatamente, (ver tabela 3 ou exercıcio 10) que:

limn→+∞

MXn(t) = eλ(et−1) = MX∞(t) ,

resultando a ultima conclusao de uma aplicacao directa do teorema 6.

Observacao 7. Na pratica e de uso comum aplicar a aproximacao da lei de Poisson a leibinomial para X _ B(N, p) com N ≥ 50 e Np < 5 (veja-se [SS99, p. 158]). O leitorpodera atraves de uma simulacao computacional verificar a qualidade desta aproximacao.

O teorema seguinte permite considerar uma variavel aleatoria adequadamente norma-lizada, com lei de Poisson, como assimptoticamente normal, no caso em que o parametrocresce indefinidamente.



Teorema 8 (Aproximacao da normal estandardizada a Poisson). Considere-mos (Xn)n≥1 uma sucessao de variaveis aleatorias tais que Xn _ P(λn), istoe, Xn e uma variavel com lei de Poisson de parametro λn. Suponha-se quelimn→+∞ λn = +∞. Seja X∞ _ N(0, 1). Entao para t ∈ R tem-se que

limn→+∞

MXn−λn√λn

(t) = MX∞(t) ,

donde resulta, em consequencia dos teoremas 6 e 3, que

limn→+∞

supx∈R

∣∣∣∣FXn−λn√λn

(x)− 1√2π

∫ x

−∞e−

t2

2 dt

∣∣∣∣ = 0 .

Demonstracao. A demonstracao segue a mesma linha de raciocınio que a a demonstracaodo teorema 7. Com efeito, aplicando a proposicao 4, temos que para t ∈ R :

MXn−λn√λn

(t) = e−√λntMXn(

t√λn

) = e−√λnteλn(e

t√λn −1) = eλn(e

t√λn −1)−

√λnt

uma vez que Xn sendo Poisson tem a funcao geradora de momentos conhecida (vertabela 3 ou exercıcio 9). Aplicando agora a proposicao 6 temos que:

λn(et√λn − 1)−

√λnt = λn

(1 +

t√λn

+1

2!

(t√λn

)2

+

(t√λn

)3

RE(t√λn

)− 1

)−

−√λnt =

=t2

2+

t3√λnRE(

t√λn

) ,

donde resulta que:

limn→+∞

MXn−λn√λn

(t) = limn→+∞

eλn(et√λn −1)−

√λnt = e

t2

2 = MX∞(t) ,

uma vez que a distribuicao normal estandardizada tem funcao geradora de momentosconhecida (ver tabela 2 ou exercıcio 1). A ultima conclusao resulta, mais uma vez, deuma aplicacao directa do teorema 6.

Observacao 8. Este teorema tem como aplicacao a determinacao de intervalos de con-fianca (segundo a definicao 5) para valores da variavel de Poisson (veja-se, por exemplo,o exercıcio 15).

Definicao 5 (Intervalo de confianca). Seja X uma variavel aleatoria tomandovalores reais. Um intervalo Ix0,α ⊆ R e um intervalo de confianca de nıvel αpara um valor x0 ∈ X(Ω) se se verificar que:

P [x0 ∈ Ix0,α] = α .



O primeiro teorema limite central que estudaremos e a versao de Lindeberg-Levydo teorema do limite central que e simples mas ainda assim muito util, em particular,em Estatıstica. A demonstracao apresentada e trabalhosa mas e do mesmo tipo dasanteriores.

Teorema 9 (Teorema do limite central para variaveis iid). Seja (Xn)n≥1, umasucessao de variaveis aleatorias, independentes e identicamente distribuıdas comX uma variavel aleatoria cuja funcao geradora de momentos exista num in-tervalo aberto, por exemplo, ] − t0,+t0[. Seja, para simplificar as notacoes,E [X] = 0 e V [X] = σ2. Seja, por definicao,

YN :=1√N

N∑n=1

Xn .

Entao, para t ∈]− t0,+t0[ tem-se que

limN→+∞

MYN (t) = et2σ2

2 ,

donde resulta, em consequencia dos teoremas 6 e 3, que:

limN→+∞

supx∈R

∣∣∣∣∣P[

1√N

N∑n=1

Xn ≤ x

]− 1

σ2√

2π

∫ x

−∞e−

t2

2σ2 dt

∣∣∣∣∣ = 0 . (18)

Demonstracao. Observe-se que se tem imediatamente, em resultado da independencia(ver teorema 4) e de todas as variaveis Xn terem a mesma distribuicao que X, que:

MYN (t) = E[etYN

]= E

[e∑Nn=1

tXn√N

]= E

[N∏n=1

etXn√N

]=

N∏n=1

E

[etXn√N

]=

(MX(

t√N

)

)N.

Observemos agora que para t ∈]− t0,+t0[ que consideraremos fixo de agora em diante,dado que MX e uma funcao contınua que vale 1 em t = 0, existe N0 ≥ 1 tal que paraN ≥ N0 se tem ∣∣∣∣MX

(t√N

)− 1

∣∣∣∣ < 1 .

Pela formula (13) do teorema 2, e com as hipoteses de que E [X] = 0 e V [X] = σ2,sabemos que:

MX

(t√N

)− 1 =

σ2t2

2N+

+∞∑k=3

E[Xk]

k!

(t√N

)k=

=σ2t2

2N+

(t√N

)3(

+∞∑k=0

E[Xk+3

](k + 3)!

(t√N

)k)



Note-se que se considerarmos a funcao RN , soma da serie de potencias dada para t ∈ Rpor

RN (t) :=+∞∑k=0

E[Xk+3

](k + 3)!

(t√N

)ktemos que RN esta bem definida por aplicacao do criterio de D’Alembert a serie daformula (13). Com efeito, dado que essa serie converge temos, pelo criterio de D’Alembert,que:

limk→+∞

∣∣∣∣∣E[Xk+1

]tk+1

(k + 1)!

k!

E [Xk] tk

∣∣∣∣∣ = limk→+∞

∣∣∣∣∣E[Xk+1

]E [Xk]

∣∣∣∣∣ |t|k + 1≤ 1 .

Em consequencia, aplicando o mesmo criterio a serie que define RN temos para N ≥sup(N0, 2) que:

limk→+∞

∣∣∣∣∣∣E[Xk+4

](k + 4)!

(t√N

)k+1 (k + 3)!

E [Xk+3]

(√N

t

)k∣∣∣∣∣∣ ≤ limk→+∞

∣∣∣∣∣E[Xk+4

]E [Xk+3]

∣∣∣∣∣ |t|k + 4

1√N0

< 1

pelo que a serie converge e RN esta bem definida, sendo uma funcao contınua da variavelt que vale E

[X3]/3! para t = 0. Note-se ainda que para N ≥ sup(N0, 2)

|RN (t)| ≤+∞∑k=0

∣∣E [Xk+3]∣∣

(k + 3)!

(|t|√N0

)ksendo que, pelo mesmo tipo de argumentacao que apresentamos para RN , a serie a direitadefine uma funcao contınua, que denominaremos R+

N0e que vale

∣∣E [X3]∣∣ /3! para t = 0.

Podemos agora concluir comecando por observar que:

MYN (t) =

(MX

(t√N

))N= exp

(N log

(1 + MX

(t√N

)− 1

))=

= exp

(N log

(1 +

σ2t2

2N+

(t√N

)3

RN (t)

)).

De seguida, escolha-se N1 ≥ 1 tal que para N ≥ N1:∣∣∣∣∣σ2t2

2N+

(t√N

)3

RN (t)

∣∣∣∣∣ ≤ σ2t2

2N+

(|t|√N

)3

R+N0

(t) < 1 .

Para N ≥ sup(N0, 2, N1) pode aplicar-se, de novo, a proposicao 5 vindo que:

MYN (t) = exp

(σ2t2

2+

t3√NRN (t)+

+N

(σ2t2

2N+

(t√N

)3

RN (t)

)2

RL

(σ2t2

2N+

(t√N

)3

RN (t)

) .



Dado o que sabemos sobre RL e sobre RM fica claro que:

limN→+∞

MYN (t) = et2σ2

2 , (19)

tal como querıamos demonstrar, sendo que a ultima conclusao decorre do teorema 6 edo facto da funcao a direita na formula (19) ser a funcao geradora de momentos de umavariavel aleatoria com lei N(0, σ2).

Observacao 9. O teorema 9 e valido para qualquer sucessao de variaveis aleatorias inde-pendentes e identicamente distribuıdas com media nula e variancia finita, isto e, sem ahipotese de que a funcao geradora de momentos existe num intervalo aberto. A demons-tracao, sem a hipotese restritiva faz-se com recurso a funcao caracterıstica, seguindo umalinha de argumentacao semelhante a que seguimos acima (veja-se, por exemplo, [Met79,p. 209]).

O teorema seguinte mostra que a distribuicao binomial tambem pode ser aproximadapela normal estandardizada quando as variancias crescem sem limite real.

Teorema 10 (De Moivre - Laplace; Aproximacao da normal estandardizadaa binomial). Consideremos (Xn)n≥1 uma sucessao de variaveis aleatorias taisque para n ≥ 1 se tem que Xn _ B(Nn, pn), isto e, uma sucessao de variaveisbinomiais de parametros Nn ≥ 1 e pn ∈ [0, 1]. Seja X∞ _ N(0, 1). Suponha-seque:

(i) limn→+∞√Nnpn(1− pn) = +∞;

(ii) Existe 0 < u < 1/2 tal que u ≤ pn ≤ 1− u.

Entao para t ∈ R, tem-se que:

limn→+∞

M Xn−Nnpn√Nnpn(1−pn)

(t) = MX∞(t) ,

donde resulta, em consequencia dos teoremas 6 e 3, que

limn→+∞

supx∈R

∣∣∣∣F Xn−Nnpn√Nnpn(1−pn)

(x)− 1√2π

∫ x

−∞e−

t2

2 dt

∣∣∣∣ = 0 .

Demonstracao. A prova segue o metodo que vimos usando nesta seccao. Consideremosas seguintes notacoes para facilitar a apresentacao.

µn := Nnpn , σn :=√Nnpn(1− pn) , Yn :=

Xn −Nnpn√Nnpn(1− pn)

=Xn − µnσn

.

Tem-se entao por aplicacao da proposicao 4 que

MYn(t) = e−µntσn MXn(

t

σn) = e−

µntσn

(1 + pn

(etσn − 1

))Nn=

= exp

(Nn log

(1 + pn

(etσn − 1

))− µnt

σn

)PEI 17 12 de Junho de 2012


Observamos seguidamente, a semelhanca do que se afirmou na proposicao 5, que existeRL,3 : R 7→ R contınua em ]− 1,+1[, verificando RL,3(0) = 1/3 e tal que:

∀x ∈]− 1,+1[ log(1 + x) = x− x2

2+ x3RL,3(x) ,

(veja-se o exercıcio 13). Pelo que temos com an = pn

(etσn − 1

)log(

1 + pn

(etσn − 1

))= pn

(etσn − 1

)− 1

2

[pn

(etσn − 1

)]2+ a3

nRL,3(an) .

Usando agora o comportamento local da exponencial na vizinhanca de zero, detalhadona proposicao 6 temos que:

etσn − 1 =

t

σn+

t2

2σ2n

+t3

σ3n

RE(t

σn)

e ainda reagrupando todos os termos de ordem superior ou igual a 3 em t/σn na funcaoR?E , funcao contınua tal que R?E(0) = 0:(

etσn − 1

)2=

t2

σ2n

+t3

2σ3n

+t4

σ4n

RE(t

σn) +

t4

4σ4n

+t5

σ5n

RE(t

σn) +

t6

σ6n

RE(t

σn)2 =

=t2

σ2n

+t3

2σ3n

R?E(t

σn) .

Temos entao, dado que µn := Nnpn que:

Nn log(

1 + pn

(etσn − 1

))− µnt

σn= µn

(t

σn+

t2

2σ2n

+t3

σ3n

RE(t

σn)

)−

− µnpn2

(t2

σ2n

+t3

2σ3n

R?E(t

σn)

)+Nna

3nRL,3(an)− µnt

σn=

=

(µnσ2n

− µnpnσ2n

)t2

2+µnt

3

σ3n

RE(t

σn)− µnpnt

3

4σ3n

R?E(t

σn) +Nna

3nRL,3(an) .

Observando agora, dado que µn = Nnpn e que que σ2n = Nnpn(1− pn)

µnσ2n

− µnpnσ2n

=1

1− pn− pn

1− pn= 1 ,

e que se verifica, em virtude das hipoteses, que:

limn→+∞

µnt3

σ3n

= 0 , limn→+∞

µnpnt3

4σ3n

= 0 , limn→+∞

Nna3n = 0 ,

podemos concluir que

limn→+∞

MYn(t) = et2

2 ,

tal como se afirmou no enunciado, ficando assim demonstrado o teorema.



Observacao 10. A primeiras versoes referenciadas do teorema 10 sao de Abraham DeMoivre em 1733, num artigo e em 1738 num livro. Em [Sin92, p. 30] e em [Fel71, p.186] pode-se encontrar discussoes do teorema de De Moivre - Laplace para variaveisbinomiais com lei B(N, p) em que o parametro N cresce indefinidamente, estando oparametro p ∈]0, 1[ fixo.

O ultimo teorema que estudaremos e um terorema de limite central para somasde variaveis aleatorias independentes com um numero de termos aleatorio, com lei dePoisson. Este tipo de teoremas e de grande utilidade em Matematicas Actuariais dadoque uma tal soma pode representar a soma das indemnizacoes pagas por uma companhiade seguros num dado instante (ver, por exemplo, [BGH+97, p. 386]).

Teorema 11 (Limite central para somas de variaveis iid com numero aleatoriode termos com lei de Poisson). Seja (Xn)n≥1, uma sucessao de variaveisaleatorias, independentes e identicamente distribuıdas com X uma variavelaleatoria cuja funcao geradora de momentos exista num intervalo aberto, porexemplo, ] − t0,+t0[. Seja (Nn)n≥1 uma sucessao de variaveis aleatorias comlei de Poisson P(λn) tal que limn→+∞ λn = +∞.Seja, para simplificar as notacoes, E [X] = µ, E

[X2]

= µ2 e V [X] = σ2. Seja,por definicao,

Sn :=

Nn∑i=1

Xi e Zn :=Sn − λnµ√

λnµ2

Entao, para t ∈]− t0/√µ2,+t0/

√µ2[ tem-se que

limn→+∞

MZn(t) = et2

2 ,

donde resulta, em consequencia dos teoremas 6 e 3, que:

limN→+∞

supx∈R

∣∣∣∣∣P[Sn −E [Sn]√V [Sn]

≤ x

]− 1√

2π

∫ x

−∞e−

t2

2 dt

∣∣∣∣∣ = 0 .

Demonstracao. A demonstracao segue a metodologia das outras demostracoes ja feitas.Determinemos a funcao geradora de momentos de S. Temos 2 que:

MSn(t) = E[et∑Nni=1Xi

]=

+∞∑k=0

P [Nn = k]E[et∑ki=1Xi | Nn = k

]=

=

+∞∑k=0

P [Nn = k]M∑ki=1Xi

(t) =

+∞∑k=0

P [Nn = k] (MX(t))k =

=

+∞∑k=0

P [Nn = k] ek log(MX(t)) = MNn (log (MX(t)))

2Usando os resultados relativos a esperanca condicional referidos no capıtulo III.



Aplicando agora o teorema 2 mostra-se que:

E [Sn] =d

dtMSn(t)

∣∣∣∣t=0

= E [N ]E [X] = λnµ ,

e que

E[S2n

]=

d2

dt2MSn(t)

∣∣∣∣t=0

= E[N2]E [X]2 +E [N ]

(E[X2]−E [X]2

).

Destes dois resultados pode concluir-se que:

V[S2n

]= E

[S2n

]−E [Sn]2 = λnµ2 .

Tal como anteriormente, aplicando a proposicao 4, tem-se que:

MZn(t) = e− λnµ√

λnµ2tMSn

(t√λnµ2

)= e− λnµ√

λnµ2tMNn

(logMX

(t√λnµ2

))=

= e− λnµ√

λnµ2teλn

(MX

(t√λnµ2

)−1

).

Em virtude da hipotese feita sobre a funcao geradora de momentos de X, invocando oteorema 2 e reagrupando os termos de ordem superior ou igual a tres em t, temos que

MX

(t√λnµ2

)= 1 +

E [X] t√λnµ2

+E[X2]t2

2λnµ2+

(1√λn

)3 +∞∑k=3

E[Xk]tk

k!(√λn)k−3 (√

µ2

)k .

Dado que para t ∈]− t0/√µ2, t0/

√µ2[, e para λn ≥ 1 se tem que

+∞∑k=3

∣∣E [Xk]tk∣∣

k!(√λn)k−3 (√

µ2

)k ≤ +∞∑k=3

∣∣E [Xk]tk∣∣

k!(√µ2

)k < +∞ , (20)

tem-se que

λn

(MX

(t√λnµ2

)− 1

)=

λnµ√λµ2

t+λnµ2

λnµ2

t2

2+

1√λn

+∞∑k=3

E[Xk]tk

k!(√λn)k−3 (√

µ2

)k .

Agora, com a funcao R3,λn(t) definida para t ∈]− t0/√µ2, t0/

√µ2[, e para λn ≥ 1 por

R3,λn(t) :=+∞∑k=3

E[Xk]tk

k!(√λn)k−3 (√

µ2

)kvem que

MZn(t) = et2

2+ 1√

λnR3,λn (t)

o que atendendo a majoracao dada na formula (20) mostra que

limn→+∞

MZn(t) = et2

2

tal como se pretendia.



Observacao 11. Os teoremas de limite central mostram que sob certas condicoes e paradeterminados grandes valores de um parametro e valida uma aproximacao pela distri-buicao normal. A questao natural que e coloca e a de saber a partir de que ordem degrandeza do parametro e valida uma tal aproximacao? Ou, mais precisamente, qual ea velocidade de convergencia da aproximacao? Um teorema celebre, a desigualdade deBerry-Esseen, diz-nos que no caso do teorema 9 a velocidade de convergencia para zerona formula (19) e maior que C/

√N , sendo C uma constante que depende dos segundos

e terceiros momentos dos termos. A demostracao deste teorema faz-se com recurso asfuncoes caracterısticas. Um interessante tema de trabalho aprofundado que propomosneste final de capıtulo e o de demonstrar resultados de tipo Berry-Esseen, usando asfuncoes geradoras de momentos, para os teoremas demonstrados acima.

7 Exercıcios

Exercıcio 1 (Lei normal estandardizada). Considere uma variavel aleatoria X _ N(0, 1) isto e, uma [1]variavel contınua com densidade

fX(t) =1√2πe−

t2

2 .

1. Determine MX(t) a funcao geradora de momentos e o domınio de existencia desta.

2. Determine, se possıvel, os dois primeiros momentos de X.

3. Determine, se possıvel, uma formula geral para os momento de X.

Exercıcio 2 (Lei de Cauchy). Considere uma variavel aleatoria X _ C isto e, uma variavel contınua [1]com densidade

fX(t) =1

1 + t2.




Exercıcio 3 (Lei Gaussiana ou de Laplace-Gauss geral). Considere uma variavel aleatoria X _ N(µ, σ) [1]isto e, uma variavel contınua com densidade

fX(t) =1√2πσ

e− (t−µ)2

2σ2 .




Exercıcio 4 (Lei exponencial). Considere uma variavel aleatoria X _ E(δ) isto e, uma variavel contınua [1]com densidade

fX(t) =1

δe−

tδ 1I[0,+∞[(t) .






Exercıcio 5 (Lei uniforme). Considere uma variavel aleatoria X _ U([a, b]) isto e, uma variavel [1]contınua com densidade

fX(t) =1

b− a1I[a,b](t) .




Exercıcio 6 (Lei gama). Considere uma variavel aleatoria X _ Γ(α, δ) isto e, uma variavel contınua [2]com densidade

fX(t) =β−αtα−1e

− tβ

Γ(α)1I]0,+∞[(t) .




Exercıcio 7 (Lei de Laplace). Considere uma variavel aleatoria X _ L(µ, β) isto e, uma variavel [2]contınua com densidade

fX(t) =1

2βe− |t−µ|

2β .




Exercıcio 8 (Lei de Bernoulli). Considere uma variavel aleatoria X _ B(p), para p ∈]0, 1[, isto e, uma [1]variavel discreta tal que X(Ω) = 0, 1 com lei dada por

P [X = 1] = p .




Exercıcio 9 (Lei Binomial). Considere uma variavel aleatoria X _ B(N, p), para p ∈]0, 1[ e N ≥ 2 [1]inteiro, isto e, uma variavel discreta tal que X(Ω) = 0, 1, . . . , N com lei dada por

P [X = k] =

(N

k

)pk(1− p)N−k .




Exercıcio 10 (Lei de Poisson). Considere uma variavel aleatoria X _ P(λ), para λ > 0, isto e, uma [1]variavel discreta tal que X(Ω) = N com lei dada por

P [X = k] = eλλk

k!.






Exercıcio 11 (Lei geometrica). Considere uma variavel aleatoria X _ G(p) isto e, uma variavel discreta [1]tal que X(Ω) = N \ 0 com lei dada por

P [X = k] = p(1− p)k−1 .




Exercıcio 12 (Teorema do limite central para variaveis nao centradas). Seja (Xn)n≥1, uma sucessao [3]de variaveis aleatorias, independentes e identicamente distribuıdas com X uma variavel aleatoria cujafuncao geradora de momentos exista num intervalo aberto, por exemplo, ]−t0,+t0[. Seja, para simplificaras notacoes, E [X] = µ e V [X] = σ2. Seja, por definicao,

YN :=1

σ√N

N∑n=1

(Xn − µ) .

1. Mostre que, para t ∈]− t0,+t0[ se tem que:

limN→+∞

MYN (t) = et2

2 .

2. Mostre que, em consequencia, para x ∈ R:

limN→+∞

supx∈R

∣∣∣∣∣P[

1

σ√N

N∑n=1

(Xn − µ) ≤ x

]− 1√

2π

∫ x

−∞e−

t2

2 dt

∣∣∣∣∣ = 0 .

Exercıcio 13 (Comportamento local de ordem 2, do logaritmo na vizinhanca de 1). Mostre que existe [2]RL,3 : R 7→ R contınua em ]− 1,+1[, verificando RL,3(0) = 1/3 e tal que:

∀x ∈]− 1,+1[ log(1 + x) = x− x2

2+ x3RL,3(x) .

Exercıcio 14. Com as notacoes do teorema 10 verifique que: [2]

limn→+∞

µnt3

σ3n

= 0 , limn→+∞

µnpnt3

4σ3n

= 0 , limn→+∞

Nna3n = 0 .

Exercıcio 15 (Intervalos de confianca para Poisson de parametro grande). Determine intervalos de [2]confianca para variaveis de Poisson de parametros λ = 200 e λ = 300 usando a aproximacao normal.



[1]Exercıcio 16.

[1]Exercıcio 17.

[1]Exercıcio 18.

[1]Exercıcio 19.

[1]Exercıcio 20.

[1]Exercıcio 21.

[1]Exercıcio 22.

[1]Exercıcio 23.

8 Resolucoes

Resolucao:[Exercıcio 12]♦

Referencias

[BGH+97] Newton Bowers, Hans Gerber, James Hickman, Donald Jones, and CecilNesbitt. Actuarial Mathematics. Second edition. Society of Actuaries, 1997.

[Bil95] Patrick Billingsley. Probability and measure. Wiley Series in Probability andMathematical Statistics. John Wiley & Sons Inc., New York, third edition,1995. A Wiley-Interscience Publication.

[Esq07] M. L. Esquıvel. Probability generating functions for discrete real-valued ran-dom variables. Teor. Veroyatn. Primen., 52(1):129–149, 2007.

[Fel71] William Feller. An introduction to probability theory and its applications.Vol. II. Second edition. John Wiley & Sons Inc., New York, 1971.

[Met79] M. Metivier. Notions fondamentales de la theorie des probabilites. Dunoduniversite. Dunod, second edition, 1979.

[Sin92] Yakov G. Sinai. Probability theory. Springer Textbook. Springer-Verlag,Berlin, 1992. An introductory course, Translated from the Russian and witha preface by D. Haughton.

[SS99] Murray Spiegel and Larry Stephens. Theory and Problems of Statistics.Schaum Outline. McGraw-Hill, New York, third edition, 1999.


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