FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA Y

NOTACIÓN DE LEIBNITZElaborado por:

Ing. Camilo Andrés Ortiz Daza

Objetivo • Representar a la derivada como una forma alternativa.• Mostrar la definición de Leibnitz para la derivada como la razón de

cambio de una función.

1. Forma Alternativa de la Derivada

1. Forma Alternativa de la Derivada

𝑚𝑠𝑒𝑐=𝑓 (𝑥2 )− 𝑓 (𝑥1)

𝑥2−𝑥1

Si consideramos a y a entonces la pendiente de la secante es:

𝑚𝑠𝑒𝑐=𝑓 (𝑥 )− 𝑓 (𝑐)

𝑥−𝑐

1. Forma Alternativa de la Derivada

• Entonces la derivada de una función en un punto “c” se escribe como:

lim𝑥→𝑐

𝑓 (𝑥 )− 𝑓 (𝑐)𝑥−𝑐 =𝑚𝑡𝑎𝑛

• Considerando el limite cuando x tiende a c tenemos que:

lim𝑥→𝑐

𝑓 (𝑥 )− 𝑓 (𝑐)𝑥−𝑐 = 𝑓 ´ (𝑐)

2. Notación de Leibnitz• Se refiere a la razón de cambio de una función, se llama razón de

cambio al cociente entre el cambio presentado en f(x) y el cambio presentado en x. Así, el cambio en f(x) será:

∆ 𝑓 = 𝑓 (𝑥2)− 𝑓 (𝑥1)

• El cambio en x será:

∆ 𝑥=𝑥2−𝑥1

2. Notación de Leibnitz

• La pendiente de la tangente se expresa como sigue:

𝑚𝑠𝑒𝑐=∆ 𝑓∆ 𝑥

𝑚𝑡𝑎𝑛= lim∆ 𝑥→0

∆ 𝑓∆𝑥

• Así pues, la pendiente de la secante se escribe como:

2. Notación de Leibnitz

• Llamado diferencial de f, dicho diferencial es la ecuación de la recta tangente en un punto dado.

𝑑 𝑓𝑑𝑥 = lim

∆ 𝑥→0

∆ 𝑓∆𝑥

• En notación de Leibnitz la derivada se escribe como:

𝑑𝑓=𝑚𝑑𝑥

• Por último, si entonces:

Conclusiones • La derivada puede ser escrita de forma alternativa como un cociente

que representa el cambio de la función con respecto a x.• La razón de cambio también es la pendiente de la recta tangente bajo

la curva, teniendo en cuenta que el cambio debe ser infinitamente pequeño.• La diferencial de f consiste en la ecuación de la recta tangente que

pasa bajo la curva.