folleto de ecuaciones diferenciales firmado

8/12/2019 Folleto de Ecuaciones Diferenciales Firmado

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Jasmany Barba Snchez Pgina 1

Escuela Superior Politcnica

Del Litoral

Teora y Ejercicios

Autor:

Jasmany Barba Snchez

Mtodos y Estrategias

para Resolucinde problemas.

Cursos vacacionales de Materias de ESPOL, Clases Particulares y grupales, preparacin para el examen del senescyt, Nivelacin de estudiantes de escuela y

colegio y Control de tareas.

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Contenido 1er Parcial

1) Definicin de Ecuacin Diferencial.2) Definicin de Solucin de una Ecuacin Diferencial.3) Ecuacin diferencial de variables separables.4) Ecuacin Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden.

4.1) Caso Homogneo.4.2) Teorema 14.3) Caso no Homogneo o Mtodo Clsico.4.4) Mtodo de la Solucin Complementaria y Particular.4.5) Ecuacin de Bernoulli.4.6) Teorema de Existencia y Unicidad.4.7) Ecuacin Diferencial Exacta.

5) Ecuacin Diferencial No Lineal Homognea.5.1) Ecuacin diferencial polinomio para polinomio.5.2) EcuacinDiferencial de la forma y=f(ax+by+c) .

6) Ecuacin Diferencial Ordinaria de Segundo Orden.6.1) Cuando no depende de X . 6.2) Cuando no depende de Y . 6.3) Wronskiano.6.4) Forma General de una E.D.O de Segundo Orden.6.5) Teorema de Abel.6.6) Teorema de la Solucin General de una E.D.O de Segundo Orden.6.7) Teorema de Reduccin de Orden.6.8) Mtodo de Coeficientes Contantes.

6.8.1) Races Iguales.6.8.2) Races no Iguales.6.8.3) Races complejas.

6.9) Ecuacin Diferencial Ordinaria de Cauchy-Euler.6.10) Ecuacin Diferencial Ordinaria de Segundo Orden Lineal no Homognea.6.11) Teorema de Independencia o Dependencia.6.12) Teorema de Existencia y Unicidad.6.13) Mtodo de Variacin de Parmetros.6.14) Mtodo de Coeficientes Indeterminados.7) Principio de Superposicin.

7) Principio de Superposicin.7.1) Teorema de Solucin de una E.D.O.7.2) Mtodo de Coeficientes constantes.7.3) Mtodo de Variacin de Parmetros.7.4) Teorema de Independencia o Dependencia.7.5) Mtodo de Coeficientes Indeterminados.

8) Ecuacin Diferencial Ordinaria de Orden Superior.9) Solucin de Series de Potencias para EDO Lineales (Taylor).10) Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

9.1) Aplicaciones para Fsica.

9.2) Crecimiento y Decrecimiento.9.3) Aplicaciones para Quimia.


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1) Ecuacin Diferencial. Definicin: Es una ecuacin que contiene la o las derivadas de una o ms funciones desconocidas,relacionadas con otras constantes y variables.

Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

2) Solucin de una Ecuacin Diferencial. Definicin: La solucin de una ecuacin diferencial es una funcin continua con derivadas continuasen algn intervalo o dominio comn, tal que al reemplazar a la funcin y a sus derivadas en laecuacin, la misma se reduzca a una identidad.Ejemplo:

a)

b)

Nota: Estos son ejemplos con ecuaciones diferenciales de orden 2, ya que podemos tener de orden n.

3) Ecuacin diferencial de variables Separables. El orden de una ecuacin diferencial lo proporciona la derivada mas alta presente en la ecuacin,

adems se dice que una ecuacin diferencial es ordinaria si la funcin o funciones desconocidas sonde una variable independiente y solo una.

Definicin: Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden es de variables separables, si es de laforma:

Estrategia de Solucin:

Nota: Las funciones p(x) y q(x) son datos del problema.El objetivo es encontrar una funcin continua con derivada continua. Ambas en un intervalo I,tal que:


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| | | | | |

| | , Por lo tanto la solucin general (familia de soluciones) de , es:

Reescribiendo la ecuacin:

Entonces: Solucin general implcita de la ecuacin diferencial lineal homognea de primer orden. Es implcita yaque no se conoce el valor de .

4.2) Teorema 1.El conjunto que contiene todas las soluciones de la E.D.O lineal homognea de primer orden:

Es un espacio vectorial con las operaciones tradicionales entre funciones de variable real (adicin ymultiplicacin por escalar).Adems el conjunto B= { } donde: Es una base para dicho espacio vectorial por lo que la solucin general de la E.D.O es:

4.3) Caso No Homogeneo Mtodo Clsico.

En este caso tendremos que g(x) 0 y la ecuacin diferencial nos queda de la siguiente manera:

Note que la ecuacin diferencial ya no es de variable separable.En este caso se buscara una funcin llamada factor integrante.

,- ,

De la condicin:

, -


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Integramos a ambos lados.

Entonces la solucin general de explicita de la lineal No homognea de primer orden es:Ahora hallamos

,- ,

Distribuimos y simplificamos.

Se tiene una E.D.O lineal de primer orden, entonces:

Como no queremos la familia de funciones, entonces .

Ecuacin de uso directo.

4.4) Mtodo de la Solucin Complementaria y Particular .Este mtodo se utiliza para resolver la E.D.O no homognea lineal de primer orden.

Recordando la solucin general anterior, se tiene que:

Realizando la siguiente equivalencia:


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Problema de examen:Sustituimos X=u y Y=v , para evitar errores.

Observacin: Este problema tiene un error con los valores de k y h, los valores correctos son k= -2 yh=1, el procedimiento esta correcto solo que al volver a las variables originales cambia un poco la

solucin:

| |


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y = w

6) Ecuacin Diferencial de segundo OrdenUna ecuacin de este tipo tiene la forma general.

y = f (x, y, y) 6.1) Qu ocurre si f NO depende de X?

Y = f (y, y)

Se recomienda el cambio de variable w= y

y = (y) y = (w) Regla de la Cadena = Luego:

y = f (y, y) w = f (y, w) f (y, w) g (y, w) = g (y, w )

EDO de primerOrden

6.2) Qu ocurre si f NO depende de Y? y = f (x, y)

Se recomienda el cambio de variable: w = y

Luego: Independiente

y = f (x, y) Dependiente

EDO de primer Orden

6.3) Wronskiano

Definicin: Sean f y g funciones de la clase Se define el Wronskiano de f y g, denotado ,para todo x como: Observacin:

Suponga que f y g son funciones linealmente dependientes en el intervalo

Luego:


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6.4) Forma General de una EDO de Segundo OrdenEs una ecuacin de la forma:

Forma General:

Forma estndar o cannica:

El objetivo es encontrar una funcin de clase en un intervalo abierto , que satisfaga laecuacin diferencial. Adems suponemos que son funciones continuas en

Si =0 para toda se tiene la EDO lineal homognea de orden dos:

Si 0, se tiene la EDO lineal NO homognea de Segundo Orden:

6.5) Teorema de ABEL Identidad de ABEL

Sean soluciones de la EDO:

(Lineal homognea de 2do Orden)

En un intervalo donde adems: Las funciones son continuas.

Luego, por hiptesis:

Recordar:

, ] , - (

Note que:

, -


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= ( = =

Se tiene entonces la EDO:

FORMULA DIRECTAConclusin:

Para dos soluciones de la lineal homognea de segundo orden ocurre que:

(1) El Wronskiano se anula en todo punto del intervalo es decir:

(2) El Wronskiano no es cero en ningn punto del intervalo es decir:

En otras palabras, el Wronskiano se anula en todo punto de o nunca se anula.

6.6) Teorema de la Solucin General de una EDO de Segundo Orden

El conjunto que contiene todas las soluciones de la EDO:

Lineal homognea de Segundo Orden

En un intervalo donde adems son funciones continuas en un espacio vectorial de dimensinigual a 2 con operaciones usuales entre funciones. Sea B= { + una base de dicho espacio vectorial.Entonces la solucin general de la EDO es la combinacin lineal arbitraria:

6.7) Teorema del Mtodo de Reduccin de Orden

Sea una solucin no nula de la EDO lineal homognea de Segundo Orden:

En un intervalo donde las funciones son continuas. Se desea encontrar otra solucin en de forma tal que sean linealmente independientes.

Nota: La funcin nula es solucin de la lineal homognea de Segundo Orden.

Se va a suponer que:

De forma abreviada:


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Reemplazamos:

Es CERO ya que es una solucin de

Luego:

, -

Cambio de Variable:

Reemplazamos:

, - (Lineal homognea de Primer Orden)

, ./ - Suponemos K=1 debido a que se busca una solucin particular:

, ./ - . || . ./

.

( )


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Formula del Mtodo de Reduccin de Orden

6.8) Mtodos de Coeficientes Constantes

Se va a estudiar la EDO: Donde a, b y c son constantes (a, b y c no dependen de x) Suponga que la solucin es de la forma:

Luego:

Reemplazamos:

Existen 3 posibles escenarios:

(1) Races Reales Iguales ( (2) Races Reales NO Iguales ( (3) Races Complejas Conjugadas (

6.8.1) Races Reales Iguales

Ahora suponemos que:

Se necesita encontrar una segunda solucin de tal forma que

sean Linealmente Independientes.Debemos aplicar entonces el mtodo de Reduccin de Orden. . /

La ecuacin Diferencial. (Recordar que la forma de Reduccin de Orden aplica cuando la ecuacin est ensu forma cannica)

./ ./


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De la ecuacin cuadrtica , se tiene que:

Pero. /

Uso directo:

La solucin General: 6.8.2) Races NO iguales

Sean races reales diferentes entonces, tenemos 2 soluciones para la EDO:

Son linealmente Independientes en algn intervalo ?

Calculamos el Wronskiano:

Son Linealmente Independientes

.

La solucin general es:

6.8.3) Races Complejas.Sean las races complejas conjugadas de .Entonces:

Usando la ecuacin de Euler:

Para todo


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Luego de utilizar la ecuacin de Euler se obtiene la solucin general:

Se puede proba que y son linealmente independientes. En cualquier intervalo ,simplemente verificando que:

, , ] Nota : Para la EDO: , siempre podemos encontrar dos soluciones linealmenteindependientes. En algn intervalo .6.9) E.D.O de Cauchy-Euler.

Se trata de una ecuacin lineal de la forma:

; EDO de segundo orden con coeficientes variables

Esta ecuacin se puede convertir en otra EDO con coeficientes constantes mediante el cambio devariable:

(La nueva variable independiente ser z y dejara de ser x).

Entonces se obtiene la siguiente ecuacin:EDO de segundo orden lineal homognea con coeficientes constantes.

6.10) E.D.O de segundo orden lineal No Homognea.

Sea la E.D.O: Donde p(x), q(x) y g(x) son funciones continuas en . Entonces la solucin general de la ecuacin anteriorse puede escribir como: Donde , conocida como la solucin complementaria, es la solucin general de la homogneacorrespondiente.

La solucin particular , es una solucin cualquiera de la no homognea.

Es decir que:


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Donde son dos soluciones linealmente independientes. de la homogneacorrespondiente.6.11) Teorema.

Sean dos soluciones en un intervalo de la E.D.O:

Donde las funciones p(x) y q(x) son continuas . Se cumple que:I. Las funciones son L.I en si y solo si .II. Las funciones son L.D en si y solo si

6.12) Teorema de Existencia y Unicidad.Sea la ecuacin diferencial ordinaria:

Suponga que: y Donde son reales y el punto , donde adems las funciones p(x), q(x) y g(x) son funcionescontinuas.Entonces el problemas de valor inicial Tiene solucin y dicha solucin es nica.

6.13) Mtodo de Variacin de Parmetros.El objetivo de este mtodo es de encontrar una solucin particular para la E.D.O lineal Nohomognea de segundo orden.

Sean dos soluciones L.I. En un intervalo para la homognea correspondiente.

Suponemos que ya conocemos , entonces.

Se va a suponer que:

Para hallar y resolvemos el siguiente sistema ya analizado previamente.

Debemos chequear que el determinante de la matriz de coeficientes del sistema sea distinto de cero.


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; ya que el supuesto era que son L.I.Utilizando la regla de Cramer.

y

6.14) Mtodo de Coeficientes Indeterminados.

Es otro mtodo que permite encontrar la solucin particular de la E.D.O lineal no homognea.

Sin embargo es un mtodo que presenta ciertas limitaciones, es decir NO aplica a toda ecuacin como lohace el mtodo de variacin de parmetros.

El mtodo de coeficientes indeterminados nicamente se usa si:

1) La E.D.O homognea correspondiente es de coeficientes constantes.

2) La funcin debe ser una de las funciones que se encuentra en la siguiente tabla.

N (No se conocen las constantes ) 1

2

3

4 ( )5

+

6


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7

+

Nota: en cualquier caso (1 al 7) de la tabla, la solucin particular se debe multiplicar por elfactor donde s es el mnimo valor del conjunto *+tal que no existe conflicto entre con. En otras palabras que no sea una combinacin lineal de las soluciones L.I de la homogneacorrespondiente.


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7) Principio de superposicin.

Suponga que son soluciones particulares, respectivamente de las ecuaciones:

..

Entonces por hiptesis:

.

.

Si sumamos las n ecuaciones:

. / . / ( ) Por el teorema de linealidad de la derivada.

( ) ( ) ( ) Donde nos damos cuenta que: , es una solucinparticular de la E.D.O

Ejemplo:

Resuelva lo siguiente:

1. Solucin complementaria. 0 ; Races no idnticas, entonces la solucin para la E.D.O es:

R:____

2. Solucin Particular: ( )


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Reemplazando en la ecuacin original:

Es una combinacin lineal entonces igualamos trmino a trmino:

Ahora hallamos la solucin particular

( )

Reemplazando en la ecuacin original:

Es una combinacin lineal entonces igualamos trmino a trmino:

Las solucin general de la E.D.O es:

R:

8) E.D.O Lineales de Orden Superior.

Una E.D.O lineal de orden n en su forma general tiene la siguiente presentacin:

Entonces en su forma cannica la E.D.O lineal de orden n es:

Si entonces se tiene la lineal homognea de orden n. Si entonces se tiene la lineal No homognea de orden n.


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Teorema

El conjunto de todas las soluciones de la lineal homognea de or den n.

Es un espacio vectorial de dimensin n. Sea * +una base de dicho espacio vectorial. Las soluciones en unintervalo son linealmente independientes, donde adems las componentes de la E.D.O sonfunciones continuas.Entonces, la solucin general de la E.D.O es la combinacin lineal arbitraria.

8.1) Coeficientes Constantes de orden n.

Suponga que se tiene una E.D.O lineal homognea de orden n con coeficientes constantes. Suponemosentonces que la solucin es de la forma:

; , , ,.., Reemplazamos en la ecuacin:

.

.

,es el polinomio caracterstico de la E.D.O de grado n en trminos de r. cada raz debera

aportar con una solucin L.I para la E.D.O homognea.

Supngase que es de coeficientes reales. El teorema fundamental del algebra, dice que entonces tiene n races entre reales y complejas, de ser complejas estas se presentan en pares conjugadas.

Una vez encontradas todas las n valores de r, tales que , para determinar las nsoluciones L.I de la E.D.O homognea.

8.1.1) Caso I (Races Distintas).Suponga que , son K soluciones de , ; reales distintas dos a dos conmultiplicidad uno, entonces:

.

.


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8.1.2) Caso II (Races Iguales).Suponga que , tiene una raz repetida K veces (es decir que la multiplicidad de es igual a k),entonces:

.

.

8.1.3) Caso III (Races Complejas).Suponga que son dos races complejas conjugadas de , cada una, de multiplicidad k( ).Entonces:

2 k soluciones linealmente independientes para la E.D.O homognea!Por ejemplo:

, - Las soluciones sern las siguientes:

Teorema

La solucin general de la E.D.O lineal no homognea de orden n se la puede expresar como:

= solucin complementaria o de la homognea correspondiente.

= solucin particular de la no homognea.

Donde la solucin complementaria es la solucin general de la E.D.O lineal homogneacorrespondiente de orden n, mientras que es una solucin particular de la misma E.D.O nohomognea.

8.2) E.D.O de Cauchy - Euler orden n.

Vamos a suponer que es una ecuacin diferencial de grado n=3, entonces son el cambio de variable

, su derivada , haciendo la demostracin respectiva se obtiene:


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; (E.D.O de Coeficientes constantes)

8.3 ) Variacin de Parmetros de orden n.

Supngase , son n solucio nes linealmente independientes de la homogneacorrespondiente.

; Suponemos que:

Se necesitaran n ecuaciones para encontrar las n parmetros:

Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

.

.

.

Recordar que la E.D.O a resolver debe estar en su forma cannica.

...


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Es importante suponer la solucin y colocar el sistema de ecuaciones con sus respectivas derivadas, ytenemos que hallar el wroskiano.

Teorema

Sean , soluciones linealmente independientes dela E.D.O:

E.D.O lineal homognea de orden n. en un intervalo donde tambin las funciones

, son continuas Entonces,

.

Nota : El reciproco del teorema tambin verdadero.

8.4 ) Coeficientes Indeterminados de orden n.

En este mtodo no hay mucha variacin lo nico que cambia es cuando hallemos la homogneacorrespondiente por que se podra hallar por medio de coeficientes constantes o el mtodo de cauchy euler, mientas para hallar la no homognea podemos utilizar el mtodo de superposicin y luegoprocedemos con lo mismo que se estudi para coeficientes indeterminados para grados n=2.Observamos en la tabla la componente y hacemos lo mismopara orden de n=2.Ejemplo:

Resuelva

1. Solucin complementaria.

2. Solucin particular.

Reemplazamos en la ecuacin:


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Reemplazamos en la ecuacin:

Tenemos una combinacin lineal y por ende podemos hallar A y B.

La solucin es:

9) Solucin con Series de Potencias para E.D.O Lineales.

Definicin: se dice que la funcin de variable real es analtica en a. si se puede representarcon una serie de potencias de (x-a) que tenga un radio de convergencia positivo o infinito.Es decir:

(cantidad finita), se tiene convergencia

Observacin:

1. Un polinomio de grado n es analtico para toda2. Una funcin racional es analtica en , siempre que . (a no debe ser una raz

del polinomio del denominador o de cualquier funcin que haga que la funcin racional seauna indeterminacin.)

9.1) Punto Ordinario.

Se dice que a es un punto ord inario de la E.D.O: .

Si las funciones , son analticas ambas en a. si una de ellas no es analtica o si ninguna lo es,decimos que a es un punto singular.


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9.2) Teorema del Punto Ordinario.

Sea a un punto ordinario de la E.D.O: , es decir que p(x) y q(x) son analticas en a. Entonces, al suponer la solucin de la forma:

Se puede encontrar 2 soluciones , en un intervalo donde son funciones continuas y las soluciones se expresan en series de potencias con

un radio de convergencia positivo o infinito.

Observacin:

Aplicando derivada termino a trmino:

Problema de Examen:

Halle la solucin general de la ecuacin homognea de segundo orden por medio de series depotencias de X, halle las soluciones linealmente independientes y si en caso de hallar una solautilice otro mtodo para hallar la segunda solucin L.I.

1. Pasamos la ecuacin a la forma cannica para poder observar a y verificar que seananalticas en 0.

, son analticas en 0. 2. Suponemos la solucin y derivamos dos veces la misma.

Al derivar los iteradores n=i se corren en una unidad.

3. Reemplazamos la solucin y las derivadas en la ecuacin original, no en la cannica, distribuimos.


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4. Ingresamos la x a las sumatorias. .

Observamos que al comenzar a evaluar los valores de n para cada serie, se pued e ver que algunosarrancan en n= 2 , n=1 y n=0 , pero lo importante es ver que exponente de x se tiene al evaluar elprimer valor de n para cada serie, y nos damos cuenta que unos arranca en , en este casoelegimos el que tenga mayor exponente es decir y realizamos los siguientes cambios de variables conel objetivo de que todas arranquen con un solo exponente de x y un mismo iterador que en este caso esn sin su cambio de variable.

5. Soltamos trminos para que todos arranque en un solo exponente.

.

6. Vemos que ahora todos los exponentes de x al evaluar los valores de n dan el mismo, entonces

realizamos el cambio de variable, para no arrastrar muchas variables asumiremos que es k paratodas las series.

o o o o 7. Luego reemplazamos k en las series, agrupamos los trminos que contengan a x del mismo grado,

extraemos el operador sumatoria y factorizamos .

, -

8. Igualamos a cero ambos trminos, y si tenemos ms de dos trminos igualmente lo igualamos a cero.

; (Ecuacin de relacin)De esta ecuacin despejamos el coeficiente C que tenga el mximo s ubndice.

;

; (Ecuacin de Recurrencia).

9. Ahora evaluamos la ecuacin de recurrencia desde k=1 ya que de 1 parte las series, y asi hallamoslas dems relaciones.


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Se puede notar que la estructura de los coeficientes es: ; , pero excepto

en n=0 y n=1 ya que no existen relaciones para . 10. Finalmente colocamos la solucin y comenzamos a soltar trminos.

Nos damos cuenta que en la serie nos hace falta un termino , para poder decir que esa serie es .

Entonces lo que vamos hacer es colocar la serie de y luego restamos el trmino que le sobra a dichaserie.

La solucin de ecuacin diferencial de segundo orden con es: ;

;


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10) Aplicaciones E.D.O de Primer Orden.

Fsica.

Se lanza con una velocidad inicial un objeto de masa , desde una altura H, a la cada se opone unafuerza de friccin de amortiguamiento , normalmente suponemos que:

La fuerza de friccin es directamente proporcional a la velocidad instantnea,H con la que el objeto cae.

;

(E.D.O lineal no homognea de 1er orden)

, -

;

; (Ecuacin modelo).

Sabemos que

. /. / ; (Ecuacin modelo)A la constate se la puede hallar por medio de datos que nos del problema como la velocidad limite, etc.,o el mismo problema nos da el valor de .

Los problemas pueden tener variantes como cambiar la forma de la fuerza de friccin, ejemplo:

, todo depende de cmo planteen el problema.


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Crecimiento y Decrecimiento.

Suponga que una variable , depende del tiempo.Qu representa ?La razn de cambio la tasa con la cual cambia o vara conforme transcurre el tiempo .

(+): Aumenta conforme pasa el tiempo. (-): Disminuye conforme pasa el tiempo.

La E.D.O es entonces:

= cantidad que se tiene de en un tiempo .

La solucin de la ecuacin diferencial es:

Supngase que

Para resolver los problemas hay que verificar que las condiciones se estn dando crecientemente o

decrecientemente, para poder comprobar con la ecuacin que se ha obtenido. ; Ecuacin decreciente.. / ; Ecuacin Creciente.

Variantes del mtodo.

Se representara las variantes por medio de un sencillo ejemplo:El virus se propaga en la poblacin, hay que ver la razn o tasa lo cual aumenta la cantidad de infectados.

Poblacin con N habitantes

Infectados en un tiempo t.

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