folleto 6 olimpiada 2012

7/21/2019 Folleto 6 Olimpiada 2012

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11Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Bsicas

4. SOLUCIN DE LAS PRUEBAS 2012

4.1 MATEMTICA

SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE MATEMTICA NIVEL I

Instrucciones:

A continuacin se le presenta una serie de siete problemas, resulvalos correctamenteen el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos.

Problema 1: (20 puntos)Resuelva las siguientes ecuaciones por el mtodo que considere conveniente

1.1 cos2 2 3sen , 0 2x x x

1.2 3 2

82 loglog4

162 log 8

3

xxx x

Problema 2: (10 puntos)

El tesorero de la sociedad de alumnos inform que los recibos por la venta de boletosdel

ltimo concierto haban sumado un total de Q916, con la asistencia de 560 personas. Silos estudiantes pagaron las entradas a Q1.25 y los que no eran estudiantes pagaron aQ2.25 cada entrada. Cuntos estudiantes asistieron al concierto?


Calcule el radio r del semicrculo, si el rea sombreada tiene Aunidades cuadradas.


Hallar los valores de las constantesay bdiferentes de cero tal que:


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12 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Bsicas

22 2

4 2lim lim

62( 2)x a x b

a xx a

bbx x


La figura muestra un sector circular inscrito en un tringulo rectngulo de 20cm debase. Si 1A es el rea sombreada que queda fuera del sector circular y dentro del

tringulo y 2A es el rea del sector circular,

5.1 Expresar 1A y 2A en trminos de .

5.2 Calcule

1

02

lim A

A.

5.3 Encuentre la razn de cambio de 12

A

A

con respecto a , cuando 3

.


En una situacin hipottica, una persona de 1.70 metros de altura se encuentra a 6metros de un poste de luz de 12 metros de longitud. Por efectos de la corrosin, elposte se deteriora y empieza a inclinarse hacia donde se encuentra la persona a unritmo constante de 0.5 grados por minuto. Suponiendo que el poste mantiene sulongitud constante, y la lmpara describe una trayectoria circular, determine a quritmo decrece la sombra de la persona cuando la inclinacin del poste es de 15 grados.


Un edificio debe apuntalarse con una viga que ha de pasar sobre un muro paralelo de10 pies de altura y a 8 pies de distancia del edificio. Hallar la mnima longitud posiblede esa viga.

10

8

20 m

h


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SOLUCIN DE LA PRUEBA

PROBLEMA 1

Resuelva las siguientes ecuaciones por el mtodo que considere conveniente

1.1 cos2 2 3sen , 0 2x x x

1.2 3 2

82 loglog4

162 log 8

3

xxx x

Solucin

1.1Resuelva la ecuacin

cos2 2 3sen , 0 2x x x

Utilizando la identidad 2 2cos2 cos senx x x para expresar la ecuacin en

trminos de un solo ngulo2 2cos sen 2 3senx x x

Expresando la ecuacin con una sola funcin trigonomtrica y resolviendo

2 2

2

1 sen sen 2 3sen

2sen 3sen 1 0

(2sen 1)(sen 1) 0

x x x

x x

x x

1sen ; sen 1

2

x x

Si 1sen

2x , 1 1sen

2x , como x puede estar en el primero o segundo

cuadrante las soluciones para 0 2x son6

x y 5

6x

.

Si sen 1x , 1sen 1x y la nica solucin en 0 2x es2

x .

Por lo tanto todas las soluciones de la ecuacin en 0 2x son

6x

,

2x

, 5

6

x


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1.2 Resuelva la Ecuacin

3 2

82 loglog4

162 log 8

3

xxx x

Expresando los logaritmos en base 2 y utilizando propiedades de losexponentes

23 2

2 2

2 2

2 2

log

log log 8 2

2

2 1log log

3 3

2/3 1/3log log

log 8162

3 log 4

2 8

2 8 0

x

x

x x

x x

x x

x x

x x

Haciendo la sustitucin 2log xu x se obtiene la ecuacin2/3 1/32 8 0u u

Factorizando y resolviendo para u1/3 1/3( 4)( 2) 0u u

1/3 4

64

u

u

1/3 2

8

u

u

Encontrando los valores de xpara 64u

2

2

log

log2 2

2 2

22

2

6 6

64

log ( ) log 64

(log )(log ) 6

(log ) 6

log 6

2 , 2

x

x

x

x

x x

x

x

x x

Para 8u , se tiene que

2

2

log

log2 2

8

log ( ) log ( 8)

x

x

x

x

Como 2log ( 8) , no est definido, no hay soluciones de la ecuacin para 8u

Las soluciones de la ecuacin son 62x y 62x


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PROBLEMA 2

El tesorero de la sociedad de alumnos inform que los recibos por la venta de boletosdel ltimo concierto haban sumado un total de Q916, con la asistencia de 560personas. Si los estudiantes pagaron las entradas a Q1.25 y los que no eranestudiantes pagaron a Q2.25 cada entrada. Cuntos estudiantes asistieron alconcierto?

Solucin

Suponga que xes el nmero total de estudiantes que asistieron al concierto,entonces:

El nmero de personas que no eran estudiantes es 560 x

Como el ingreso total por la venta de boletos es de Q916, la ecuacin queresuelve el problema es

1.25 2.25(560 ) 916x x Resolviendo la ecuacin para x

1.25 1260 2.25 916

344

344

x x

x

x

Por lo tanto el asistieron al concierto 344 estudiantes.


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PROBLEMA 3

Calcule el radio r del semicrculo, si el rea sombreada tiene Aunidades cuadradas.

Solucin

Si se trazan los radios de los circulos dentro de la figura, se puede observar

que el rea sombreada est formada por 8 segmentos circulares iguales.El rea de cada segmento es la diferencia entre el rea del sector de

angulo2

y radio2

r yel tringulo de base2

r y altura2

r .

Por lo tanto el rea sombreada equivale a:

2

2 2

2 2

8 sector tringulo

1 18

2 2 2 2 2 2

8 16 8

12

2

A A A

r r r

r r

A r r

Despejando el radio se obtiene2

2

2 ( 2)

2

2

2

2

A r

Ar

Ar


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Para ambos valores de a se obtiene que 1b .

Por lo tanto si 0b , las soluciones son 1a y 1b .

Si 0b , se pueden construir las ecuaciones siguiendo el mismo procedimientoy se obtienen las soluciones

7a y 549b


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PROBLEMA 5

La figura muestra un sector circular inscrito en un tringulo rectngulo de 20cm debase. Si 1A es el rea sombreada que queda fuera del sector circular y dentro del

tringulo y 2A es el rea del sector circular,

5.1 Expresar 1A y 2A en trminos de .5.2 Calcule

1

02

lim A

A.

5.3 Encuentre la razn de cambio de 12

A

Acon

respecto a , cuando 3

.

Solucin

5.1 El rea del sector circular con el ngulo en radianes es

2 22

1 1(20) 200

2 2A r

1A es el rea del tringulo menos el rea del sector circular

11 1

200 (20)(20tan ) 2002 2

200tan 200 200(tan )

A bh

De donde 1 200(tan )A y 2 200A

5.2 Calculando el lmite

1

0 02

0 0 0

200(tan )lim lim

200

sentan sen 1coslim lim lim 1

cos

(1)(1) 1 0

A

A

Por lo tanto 10

2

lim 0AA

5.3 Calculando la razn de cambio

12

2 2

2 2

tan

(sec 1) (tan )(1) sec tan

Ad d

d A d

20 m

h


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Evaluando cuando3

221

2 22

2 2 2

sec tan 2 33 3 3 3

93

4 3 34 933 12 9 33 2.24

9

Ad

d A

Por lo tanto 12

2

12 9 32.24

Ad

d A


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PROBLEMA 6

En una situacin hipottica, una persona de 1.70 metros de altura se encuentra a 6metros de un poste de luz de 12 metros de longitud. Por efectos de la corrosin, elposte se deteriora y empieza a inclinarse hacia donde se encuentra la persona a unritmo constante de 0.5 grados por minuto. Suponiendo que el poste mantiene sulongitud constante, y la lmpara describe una trayectoria circular, determine a quritmo decrece la sombra de la persona cuando la inclinacin del poste es de 15 grados.

Solucin

Cuando el poste comienza a inclinarse, forma un ngulo con su posicininicial. Sea H es la longitud total del poste y 1H la altura que hay desde el

foco hasta el suelo como se ilustra en figura siguiente

H

l

h

x

1H

Utilizando semejanza de tringulos

1

1

1

1

( )

x h

x l H

xH h x l

xH xh hl

hlx

H h

La altura1

H y la distancia lestn dadas por

1 cos

6 sen

H H

l H

Sustituyendo se obtiene que la longitud de la sombra es

(6 sen )

cos

h Hx

H h


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Derivando respecto al tiempo

2

(6 sen )

cos

( cos ) ( cos ) 6( sen )( sen )

( cos )

h Hdx d

dt dt H h

H h h H l H H d

dtH h

2 2 2 2

2

2

( cos cos 6 sen sen )

( cos )

( cos 6sen )

( cos )

h H hH H H dx d

dt dtH h

hH h H d

dtH h

Sustituyendo la informacin

2(1.7)(12) (1.7cos(15) 6sen(15) 12) 0.5

180(12cos15 1.7)

mts0.016 min

dx

dt

Por lo tanto la sombra decrece a mts0.016min


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PROBLEMA 7

Un edificio debe apuntalarse con una viga que ha de pasar sobre un muro paralelo de10 pies de altura y a 8 pies de distancia del edificio. Hallar la mnima longitud posiblede esa viga.

10

8

Solucin

Se definen las siguientes variablesL longitud de la viga

x distancia del pie de la viga al muro paralelo

y altura del apoyo de la viga en el edificio

En la siguiente figura se ilustran cada una de las variables que se handefinido anteriormente

10

8x

yL

Utilizando el teorema de Pitgoras, la longitud de la viga puede expresarsecomo

2 2( 8)L x y

Por semejanza de tringulos se expresa y entrminos de x

8

10

10( 8)

y x

x

xy

x

Al sustituir la restriccin nos queda


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SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE MATEMTICA NIVEL II

Instrucciones:A continuacin se le presenta una serie nueve de problemas, resulvalos correctamenteen el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos.


El material para el fondo de una caja rectangular cuesta el triple por pie cuadrado delo que cuesta el material de las caras y la tapa. Utilice el mtodo de multiplicadores deLagrange para obtener la mxima capacidad de dicha caja que se puede tener si lacantidad total de dinero disponible para material es de Q12.00 y el pie cuadrado de

material para el fondo cuesta Q0.60.


Verifique el teorema de Stokes al calcular la circulacin del campo

3 4 6F yi zj xk

, a lo largo de la frontera de la superficie 2 29z x y que se encuentra arriba delplano xy .


Calcular el volumen del slido acotado por las grficas de las ecuaciones:

0z , z h , exterior a 2 2 1x y , interior a 2 2 2 1x y z .


Utilice las tcnicas de integracin para encontrar:

3

4

4

4

x

x

edx

e

Problema 5: (10 puntos)Un equipo de oceangrafos est elaborando un mapa del fondo del ocano para ayudara recuperar un barco hundido. Utilizando el sonido, desarrollan el modelo:

2, 250 30 50sen 0 2, 0 22

yD x y x x y

dondeD es la profundidad, xe y son las distancias.Suponga que el barco se localiza enel puntoP(1, 0.5)
http://c/Documents%20and%20Settings/Arturo/Mis%20documentos/olimpiada2012/Nivel%202%2021012/NUEVONIVEL2ya.docx%23_Hlk335745130http://c/Documents%20and%20Settings/Arturo/Mis%20documentos/olimpiada2012/Nivel%202%2021012/NUEVONIVEL2ya.docx%23_Hlk335745130


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5.1Determine la pendiente del fondo del ocano en la direccin del eje y positivo apartir del punto donde se encuentra el barco.

5.2Determine la direccin de mayor tasa de cambio de la profundidad a partir delpunto donde se encuentra el barco.

5.3Determine el valor mximo del ritmo de cambio de la profundidad a partir del

punto donde se encuentra el barco.


Una masa que pesa 16 libras alarga 83

pies un resorte. La masa se libera inicialmente

desde el reposo desde un punto 2 pies abajo de la posicin de equilibrio y el movimientoposterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 1

2de la

velocidad instantnea. Encuentre la ecuacin de movimiento si se aplica a la masa unafuerza externa igual a

( ) 10cos3F t t


Dada la funcin: 2( , )f x y x y Determinar:

7.1El dominio de la funcin.

7.2Trazar 4 curvas de nivel.

Problema 8: (10 puntos)Resuelva la ecuacin diferencial:

3 6 30 15sen tan3xy y y x e x


Sea ( )f x la funcin cuya grfica semuestra en la figura.

Encontrar 1

0

( )f x dx

y

x

1y

1y

( )y f x

112

14

Contina la

misma tendencia

hasta x= 0

18


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PROBLEMA 1

El material para el fondo de una caja rectangular cuesta el triple por pie cuadrado de

lo que cuesta el material de las caras y la tapa. Utilice el mtodo de multiplicadores deLagrange para obtener la mxima capacidad de dicha caja que se puede tener si lacantidad total de dinero disponible para material es de Q12.00 y el pie cuadrado dematerial para el fondo cuesta Q0.60.

Solucin

Se definen las siguientes variables

V volumen

x lado de la basey ancho de la base

z altura

Como el costo de fabricacin es Q12, se tiene la siguiente restriccin

12 0.80 0.40xy yz xz

( , , ) 0.80 0.40 12G x y z xy yz xz

Como hay que encontrar el volumen mximo, la funcin a maximizar es

( , , )V x y z xyz

Utilizando multiplicadores de Lagrange

( , , ) ( , , )x xV x y z G x y z

0.8 0.400.80 0.40

yzyz y z

y z

( , , ) ( , , )y yV x y z G x y z

0.8 0.400.80 0.40

xzxz x z

x z

y

x

z


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( , , ) ( , , )z zV x y z G x y z

0.400.40

xyxy y x

y x

0.80 0.40 0.80 0.40yz xz

y z x z

0.80 0.40 0.40xyxz

x z y x

& 2x y z y

Al sustituir en la restriccin

2 2 212 0.80 0.40 2 2y y y

5 5 & 2 5y x z

Respuesta

310 5 piesV


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PROBLEMA 2

Verifique el teorema de Stokes al calcular la circulacin del campo

3 4 6F yi zj xk

, a lo largo de la frontera de la superficie 2 29z x y que se encuentra arriba del

plano xy .

Solucin

Verificar que

.c

S

F dr F dS

Por integral de lnea

Curva

2

0

9sen 0 18cos 3sen 3cos 0ti j tk tdti tdtj k

2 2

0

22272

0 0

27sen

1 cos2 sen227 27

2 2

tdt

t td t

Entonces

. 27c

F dr

Curva3cos ; 3sen

3sen ; 3cos0 ; 0

x t dx t dt

y t dy t dtz dz

y

z

S

x

c


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Por integral de superficie.

4 6 3

3 4 6

i j k

F i j kx dy z

y z x

2 2 2

2 2 1

4 4 (1)

xi yj k

x y

2 2 2

8 12 3

4 4 (1)

x yF

x y

S R

dydxF dS F

k

2 2 2

2 2 2

2 32 2

0 0

32 23 3

0 0

2

0

2

0

8 12 3

14 4 (1)4 4 (1)

8 12 3

( 8 cos 12 sen 3 )

8 3cos 4 sen3 2

2772cos 108sen

2

2772sen 108cos 27

2

R

Rxy

x y dydx

x yx y

x y dydx

r r r drd

rr r d

d

De donde

. 27c

S

F dr F dS


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PROBLEMA 3

Calcular el volumen del slido acotado por las grficas de las ecuaciones:

0z , z h , exterior a 2 2 1x y , interior a 2 2 2 1x y z .

Solucin

La figura siguiente muestra en forma aproximada la representacin grfica delas superficies que forman el slido

En coordenadas cilndricas el diferencial de volumen est dado por:

dV rdzdrd

Determinando los lmites de integracin detenemos:

z=h

z=0

h

z

y

z

x y
http://c/Documents%20and%20Settings/Arturo/Mis%20documentos/olimpiada2012/Nivel%202%2021012/NUEVONIVEL2ya.docx%23_Hlk335745130http://c/Documents%20and%20Settings/Arturo/Mis%20documentos/olimpiada2012/Nivel%202%2021012/NUEVONIVEL2ya.docx%23_Hlk335745130


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2 2 2

2 2

2

2

1

1

1

1

x y z

r z

z r

r z h

Determinando los lmites de integracin de r tenemos:

De: 2 1z r ,Si: z h se puede sustituir

2 1h r

Despejando r tenemos:

2 1r h

21 1r h Los lmites deestn dados por:

0 2 La integral de volumen est dado por:

2

2

2 13

0 1 1

1

3

h h

r

V rdzdrd h

y

r

x

1r

2

1r h


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Otra solucin del problema

V Volumen del hiperboloideVolumen del cilindro

El volumen del cilindro es2 2(1)CV r h h h

El volumen del hiperboloide se puede calcular por el mtodo de discos

2

2

0

32

0 0

3

1

(1 )3

1( )

3

h

H

hh

V z dz

zz dz z

h h

Por lo tanto el volumen del slido es

3

3

1

3

1

3

V h h h

h

z=h

z=0

h

z

y

dz


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PROBLEMA 4

Utilice las tcnicas de integracin para encontrar:

3

4

4

4

x

x

edx

e

SolucinSea xt e entonces xdt e dx

Sustituyendo:3 2 2

4 4 4

4 4 4

4 4 4

x x x

x x

e e e tdx dx dt

e e t

Completando el trinomio cuadrado perfecto en el denominador se tiene:

3 2 2

4 4 2 2 2 2 2

4 4 4

4 4 4 4 ( 2) 4

x

x

e t tdx dt dt

e t t t t t

Por diferencia de cuadrados:

2 2

2 2 2 2 2

2

2 2

4 4

( 2) 4 (( 2) 2 )(( 2) 2 )

4

( 2 2)( 2 2)

t tdt dt

t t t t t t

tdt

t t t t

Por fracciones parciales:2

2 2 2 2

4

( 2 2)( 2 2) 2 2 2 2

t At B Ct D

t t t t t t t t

2 2 24 2 2 2 2t At B t t Ct D t t

El sistema de ecuaciones correspondiente es

0A C

2 2 4A B C D 2 2 2 2 0A B C D 2 2 0B D

La solucin del sistema es1, 0, 1, 0A B C D

Sustituyendo:2

2 2 2 2

4

( 2 2)( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)

t t tdt dt dt

t t t t t t t t


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Sumando y restando 1,

2 2

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

t tdt dt

t t t t

t tdt dt dt dt

t t t t t t t t

Completando el trinomio cuadrado perfecto:

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 ( 1) 1 2 2 ( 1) 1

t tdt dt dt dt

t t t t t t

Por frmulas directas de integracin, se tiene:

2 1 2 11 1ln 2 2 tan 1 ln 2 2 tan 12 2

t t t t t t C

Finalmente, en trminos de x, se tiene:

2 1 2 11 1

ln 2 2 tan 1 ln 2 2 tan 12 2

x x x x x x

e e e e e e C


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PROBLEMA 5

Un equipo de oceangrafos est elaborando un mapa del fondo del ocano para ayudara recuperar un barco hundido. Utilizando el sonido, desarrollan el modelo:

2, 250 30 50sen 0 2, 0 2

2

yD x y x x y

dondeD es la profundidad, xe y son las distancias.Suponga que el barco se localiza enel puntoP(1, 0.5)

5.1Determine la pendiente del fondo del ocano en la direccin del eje y positivo apartir del punto donde se encuentra el barco.

5.2Determine la direccin de mayor tasa de cambio de la profundidad a partir delpunto donde se encuentra el barco.

5.3Determine el valor mximo del ritmo de cambio de la profundidad a partir delpunto donde se encuentra el barco.

Solucin

5.1

25 cos 2ydD

dy

1,0.5 55.5360dD

dy

5.2

60 25 cos2

1,0.5 60 55.5360

yD x

D

i j

i j

5.3

2 260 55.5360 81.7573D


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PROBLEMA 6

Una masa que pesa 16 libras alarga 83

pies un resorte. La masa se libera inicialmente

desde el reposo desde un punto 2 pies abajo de la posicin de equilibrio y el movimientoposterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 1

2de la

velocidad instantnea. Encuentre la ecuacin de movimiento si se aplica a la masa unafuerza externa igual a

( ) 10cos3F t t

Solucin

La ecuacin diferencial que resuelve el problema es

83

( )

16 1 1610cos3

32 2

1 1 6 10cos32 2

12 20 cos3

mx x kx F t

x x x t

x x x t

x x x t

Se tiene una EDO de 2 orden a coeficientes constantes, no homognea. Pararesolverla, primero encaramos el problema homogneo. Planteando laecuacin caracterstica y resolviendo tenemos:

21 1 4 1 12 1 472 2 2

m i

1 1

2 21 2

47 47( ) cos sen2 2

t tcx t C e t C e t

Ahora se encuentra una solucin particular del problema no homogneo.

cos3 sen3

3 sen3 3 cos3

9 cos3 9 sen3

p

p

p

x A t B t

x A t B t

x A t B t

12 9 cos3 9 sen3 3 sen3 3 cos3

12 cos3 12 sen3

p p px x x A t B t A t B t

A t B t

(3 3 )cos3 ( 3 3 )sen3 ( ) 20cos3A B t A B t F t t

103 10 10

3 3103

3 3 20cos3 sen3

3 3 0 p

AA Bx t t

BA B

La solucin general de la ecuacin no homognea es:


28/93


1 110 102 2

1 2 3 3

47 47( ) cos sen cos3 sen3

2 2

t tx t C e t C e t t t

Encontrar las constantes:

Para 0 2t x

101 3

41 3

2 C

C

1 1 1

2 2 21 1 2

1

22

1 47 47 47 1 47( ) cos sen sen

2 2 2 2 2 2

47 47cos 10sen3 10cos3

2 2

t t t

t

x t C e t C e t C e t

C e t t t

Para: 0 0t x

1 21 470 10

2 2C C

264

3 47C

La ecuacin de movimiento es:

1 110 102 23 3

4 47 64 47( ) cos sen cos3 sen3

3 2 23 47

t tx t e t e t t t


29/93


PROBLEMA 7

Dada la funcin: 2( , )f x y x y Determinar:

7.1El dominio de la funcin.

7.2Trazar 4 curvas de nivel.

Solucin

7.1 El dominio de la funcin est formado por todos los puntos ( , )x y tales que

2x y

La representacin grfica del dominio se muestra en la figura siguiente

7.2 Las cuatro curvas de nivel se muestran en la siguiente figura

x

y

x

y


30/93


PROBLEMA 8

Resuelva la ecuacin diferencial:3 6 30 15sen tan3xy y y x e x

SolucinDividiendo entre 3

12 10 5s n tan3

3

xy y y e x e x

La solucin de la ecuacin es de la forma

c py y y

Obteniendo :cy

2 10 0y y y

2 2 10 0m m

22 ( 2) 4(1)(10)1 3

2(1)m i

1 2cos3 e 3s nx x

cy C e x C e x

1 2p py y y

1sen cospy A x B x

1cos senpy A x B x

1sen cospy A x B x

( sen cos ) 2( cos sen ) 10( sen cos ) 5sen

sen cos 2 cos 2 sen 10 sen 10 cos 5sen

A x B x A x B x A x B x x

A x B x A x B x A x B x x

10 2 5 9 2 5A A B A B

10 2 0 9 2 0B B A B A La solucin del sistema es

45 10

85 85A B

1

45 10sen cos

85 85py x x

2 1 1 2 2py u y u y 1 cos3

xy e x 2 s 3enxy e x


31/93


2cos3 3 3cos3 3 3 3 3 cos3

sen

sen sen

x xx

x x x x

e x e x w e

e x e x e x e x

21

sen

se

0 3

1 tan3 sen31 3tan3 3 3 cos33

n

x

xx x x

e x

w e x x e x e x e x

22

sen

os3 01

tan3 cos31 3cos3 3 3 tan33

x

x

x x x

e xw e x x

e x e x

c

e x

11 2

1tan3 sen3

1 13 cos39cos3 93 x

x xwu xw xe

11 1 1 1

( cos3 ) ln sec3 tan3 cos39cos3 9 27 27

u x dx x x x x

2

22 2

1tan3 cos3

13 s n393

x

x

e x xw

u e xw e

21 1

( sen3 ) cos39 27

u x dx x

2 1 1 2 2

1 1ln sec3 tan3 sen3 cos3

27 27

1cos3 3

27

1cos3 ln sec3 tan3

2

s

7

en

p

x

x

x

y u y u y

x x x e x

x e x

e x x x

1 2

45 10 1sen cos cos3 ln sec3 tan3

85 85 27

xp p py y y x x e x x x

1 245 10

cos3 3 sen cos85 85

1cos3 ln sec3 tan3

2

sen

7

c p

x x

x

y y y

C e x C e x x x

e x x x


32/93


PROBLEMA 9

Sea ( )f x la funcin cuya grfica semuestra en la figura.

Encontrar

1

0

( )f x dx

Solucin

La integral se puede interpretar como la suma infinita de las reas de lostringulos de altura 1 y base que disminuye de acuerdo con la funcin. Lostringulos sobre el eje xse consideran con rea positiva, mientras que los quequedan por debajo del eje xse toma negativa

1

1 3 5 2 4 60

2 3

( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 8 2 32 2 4 2 16 2 64

1 1 1 1 1 1 1

2 2 8 32 4 16 64

1 1 1 1 1 1 1 1

2 4 16 64 2 4 4 4

f x dx A A A A A A

La suma resaltada con una llave es una serie geomtrica con

1

4a y 1

4r

Por lo tanto

1

0

11 14( )

12 614

f x dx

y

x

1y

1y

( )y f x

112

14

Contina la

misma tendencia

hasta x= 0

18


33/93


4.2 FSICA

SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE FSICA NIVEL I

Instrucciones:

A continuacin se le presenta una serie de cuatro problemas, resulvaloscorrectamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos.


Sobre un bloque de 500 N de peso, que inicialmente est en reposo, se aplica unafuerza P que vara con el tiempo como se muestra en la figura. Si los coeficientes defriccin esttica y cintica entre el bloque y la superficie horizontal son 0.500 y 0.400respectivamente:

a. En qu instante el bloque empezar a moverse?

b. Determine la rapidez mxima que alcanzar el bloque.

c. En qu instante, desde que se empieza a aplicar la fuerza P, el bloque dejar demoverse?

Problema 2: (25 puntos)Una onda tiene una frecuencia de = 512 Hz y una velocidad de v = 360 m/s. Calcule:

a. A qu distancia entre s estn dos puntos que difieran en fase por 55(0.31rad)

b. La diferencia de fase entre dos desplazamientos en el mismo punto pero entiempos que difieran en 1.12 ms.


34/93



El sistema de tanques abiertos muy grandes mostrado en la figura, contiene un fluidoideal. Si el rea transversal en Ces la mitad del rea enDy siDest a una distanciah1 =1m por debajo del nivel del lquido en A, a qu altura h2 subir el lquido en elcapilar F?


Una cuenta de masa m es obligada a moverse sobre un alambre sin rozamiento enforma de cicloide y colocado en un plano vertical, como se muestra en la figura. Lasecuaciones paramtricas son:

( sen )x a (1 cos )y a

El parmetro se encuentra entre 0 ( 0)t y 22

Tt . Si la cuenta parte

del reposo en el punto O.a. Encuentre su rapidez en el punto inferior de la trayectoria

b. Encuentre su perodo de oscilacin.

c. Demuestre que la oscilacin de la cuenta corresponde con el de un pndulo simplede longitud 4a.

BC

D

h1

Fh2

O x

y

A B

m

s

P2a


35/93



PROBLEMA 1

Sobre un bloque de 500 N de peso, que inicialmente est en reposo, se aplica una

fuerza P que vara con el tiempo como se muestra en la figura. Si los coeficientes defriccin esttica y cintica entre el bloque y la superficie horizontal son 0.500 y 0.400respectivamente:

a. En qu instante el bloque empezar a moverse?

b. Determine la rapidez mxima que alcanzar el bloque.

c. En qu instante, desde que se empieza a aplicar la fuerza P, el bloque dejar demoverse?

Solucina.

La partcula principia a moverse en el instante en que la fuerza Piguala a lafuerza de friccin esttica mxima f sF N


36/93


Sabemos que en este caso la magnitud de la normal es igual a la magnitud delpeso,

0.500 500 N 250 NfF

El valor de 250 N, en la grfica corresponde al tiempo t, el cual se calcula porsemejanza de tringulos as:

250 N

8.00 s 445 N

(8.00 s)(250)4.49 s

445

t

t

A los 4.49 s de haber principiado a aplicarse la fuerza, se mover la partcula

b. La rapidez mxima la alcanzar la partcula cuando el impulso de la fuerzaPalcanza la mxima diferencia sobre el impulso de la fuerza de friccin, que eslo que aparece sombreado en la grfica. Se calcula los valores b&c para

calcular el rea.El valor de bes solamente una diferencia:

8.00 s 4.49 s

=3.51s

b

El valor de cse obtiene de una semejanza de tringulos

245 N

8.00 s 445 N

(8.00 s)(245)4.40 s

445

c

c

Con estos resultados, se puede calcular el rea y se obtiene:

50 N 245 N (3.51 s) 245 N)(440 sArea

2 2

517.725 Ns 539 Ns

=1,056.725 Ns

Como p J y el movimiento es en una dimensin, se tiene que

0fmv mv J y el bloque parte del reposo,

2

Area

1056.725 Nsv

(500 N / 9.81m/s )

20.73 m/s

f

f

f

mv

v

La rapidez mxima que alcanza el bloque es de 20.73m/sfv


37/93


c. A partir de la rapidez mxima, principia a dominar el impulso que ejerce lafuerza de friccin. El intervalo de tiempo en el cual acta an la fuerza P, apartir de la rapidez mxima es d en la grfica

8.00 s 4.40 s 3.60 sd

0

0

2

impulso neto

2

2

(200 N)(3.60 s) 500 N(200 N)(3.60 s) 20.73 m/s

2 9.81 m/s

=360 Ns 720 Ns 1056.725 Ns

696.725 Ns

f f

f f

f

f

p

P tmv mv F t

P tmv F t mv

mv

mv

A partir de este momento, slo acta el impulso de la fuerza de friccin:

0

0

0

impulso

696.725 Ns3.48 s

200 N

16 s 3.48 s

f f

f

f

p

mv mv F t

mv F t

mvt

F

t

t

El bloque se detiene 19.48 s despus de aplicar la fuerzaP.


38/93


PROBLEMA 2

Una onda tiene una frecuencia de = 512 Hz y una velocidad de v = 360 m/s. Calcule:

a. A qu distancia entre s estn dos puntos que difieran en fase por 55(0.31rad)

b. La diferencia de fase entre dos desplazamientos en el mismo punto pero entiempos que difieran en 1.12 ms.

Solucin

a. De la ecuacin general de una onda, max seny y k x t , la fase viene

dada por el argumento del seno, es decir fase= (kx- t). De tal forma que esnecesario encontrar la fase para cada punto y encontrar su diferencia:

Primer punto: 1 1 1 11fase k x t

Segundo punto: 2 2 2 22fase k x t

Diferencia de fase: 1 2fase fase fase

1 1 1 1 2 2 2 2fase k x t k x t

Como estamos trabajando con una nica onda, los vectores de onda ky lasfrecuencias angulares son iguales, es decir, 1 2 1 2yk k . Adems, para

este inciso, el tiempo en que se estn analizando los puntos es el mismo. Demanera que la ltima ecuacin nos queda as:

1 2

( )fase k x x

fase k x

De los datos del problema es posible encontrar k para as sustituirlo en laecuacin anterior y despejar x tenemos:

2

2

kvT k

1

ms

2 (512Hz)22.84 m

360k

v v

De modo que x nos queda as:

-1

0.31 rad

2.84 m

0.11 m

fase k x

fasex

k

x


39/93


b. Ahora encontraremos el cambio de fase para un mismo punto, 1 2x x , pero

con una diferencia temporal, es decir 32 1 1.12 10 st t t . Procedamos

de la misma forma que en el inciso (a):

Tiempo 1: 1 1 1 11fase k x t

Tiempo 2: 2 2 2 22fase k x t

Diferencia de fase:

1 1 1 1 2 2 2 2

1 2fase fase fase

fase k x t k x t

Como estamos trabajando con una nica onda, los vectores de onda ky lasfrecuencias angulares son iguales, es decir, 1 2 1 2yk k . Adems, para

este inciso, las posiciones que se estn analizando son iguales. De manera que

la ltima ecuacin nos queda as: 1 2

2 1

-3

( )

2 2 (512Hz)(1.12 10 s)

1.15 rad

fase kx t kx t

t t

t

fase

El cambio de fase encontrado en grados tiene un valor de:

.0360

2 rad1.15 rad

206

fase

fase


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PROBLEMA 3

El sistema de tanques abiertos muy grandes mostrado en la figura, contiene un fluidoideal. Si el rea transversal en Ces la mitad del rea enDy siDest a una distanciah1 =1m por debajo del nivel del lquido en A, a qu altura h2 subir el lquido en elcapilar F?

Solucin

Utilizaremos el principio de Bernoulli donde existe fluido en movimiento yesttica de fluidos en el tanque F, considerando el nivel de referencia la lneapunteadaBD.

El tanque A es lo suficientemente grande como para considerar la velocidaden ese punto cero, 0Av .Aplicaremos la ecuacin de Bernoulli entre los

puntos AyD, la presin en el punto Aes la misma que en Dy es igual a la

presin atmosfrica ( A D atmp p p )de manera que:2 21 1

12 2

211 2

A A D D D

D

p v gh p v gh

gh v

Al despejar de la ecuacin anterior la velocidad en el puntoD,obtenemos:

12Dv gh (1)

Como es un fluido ideal, y conocemos la relacin de reas entre los puntos DyC(2 )C DA A , encontraremos la velocidad en C, con la condicin de

continuidad :

2

2

D D C C

C D C C

D C

A v A v

A v A v

v v

Si en la ecuacin anterior sustituimos la ecuacin (1) tenemos:

12 2 Cgh v (2)

BC

D

h1

Fh2


41/93


Aplicaremos ahora la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y C,considerando que pA= patmy que la altura en el punto Ces cero:

2 21 112 2

211 2

A A C C C

atm C C

p v gh p v gh

p gh p v

Si en la ecuacin anterior, sustituimos la velocidad encontrada en la ecuacin(2), y despejamos la diferencia de presiones entre el puntoAy C:

2

11 12

2 2atm C p gh p gh

13atm C p p gh (3)

Analicemos ahora el tanque F, y qu condiciones es posible aplicar. Note queen el punto F, la presin dentro del capilar es la misma que la que existe fueradel capilar, que es la presin atmosfrica. En la parte superior de la columnadel lquido, la presin es la misma que en C (ya que despreciamos la

contribucin del aire dentro del capilar), de manera que al aplicar esttica defluidos:

2

F dentrodelcapilar F fueradel capilar

C atm

p p

p gh p

2atm C p p gh (4)

Si finalmente igualamos la ecuacin (3) con la ecuacin(4) y ordenamos trminos obtenemos:

2 13gh gh

2 13h h

Fh2

p

aire


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PROBLEMA 4

Una cuenta de masa m es obligada a moverse sobre un alambre sin rozamiento enforma de cicloide y colocado en un plano vertical, como se muestra en la figura. Lasecuaciones paramtricas son:

( sen )x a (1 cos )y a

El parmetro se encuentra entre 0 ( 0)t y 22

Tt . Si la cuenta parte

del reposo en el punto O.

a. Encuentre su rapidez en el punto inferior de la trayectoria

b. Encuentre su perodo de oscilacin.

c. Demuestre que la oscilacin de la cuenta corresponde con el de un pndulo simplede longitud 4a.

Solucin

a. Sean P la posicin de la cuenta en cualquier tiempo, ty sla longitud del arcode la cicloide medida desde el punto O.

Teniendo en cuenta la conservacin de la energa y colocando el nivel dereferencia en la lnea AB que pasa por el punto ms bajo de la cicloide,tenemos:

2

12

(2 ) (2 ) 0ds

mg a y m mg adt

Entonces:

2

2 2ds

v gydt

En el punto ms bajo la velocidad tendra un valor de:

2v ga

O x

y

A B

ms

P

2a


43/93


b. De la ecuacin de velocidad de la parte a) tenemos:

2 222 2

2 2 2 2(1 cos ) sindyds dx

a adt dt dt

22

22 2 (1 cos ) 2 (1 cos )ds

gy ga adt

2

1g g

t ca a

Para las condiciones: =0 y t=0, =2, t=T/2, donde Tes el perodo, demanera que tenemos:

42

aT

g

c. Para un pndulo simple el perodo viene dado por la ecuacin:

2 l

Tg

De manera que la longitud equivalente de un pndulo simple que tenga elmismo perodo es de:

4l a


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SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE FSICA NIVEL II

Instrucciones:A continuacin se le presenta una serie de cuatro problemas, resulvaloscorrectamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos.


Dos electrones se encuentran fijos a 2m de distancia. Desde el infinito se lanza untercer electrn que queda en reposo en el punto medio entre los primeros dos. Culdebe ser su velocidad inicial?


Un circuito plano tiene la forma de un tringulo issceles, cuyos lados son dos barrasfijas perpendiculares y una tercera barra MNque se desplaza perpendicularmente convelocidad constante v como se indica en la figura. El circuito est colocado en uncampo magntico uniforme B que forma un ngulo con la normal al plano delcircuito. Sabiendo que la resistencia elctrica de las barras por unidad de longitud esr, determine:

a. La potencia necesaria para desplazar la barra MN

b. La potencia disipada en calor en funcin de la posicin de la barra.


45/93



Una esfera slida no conductora tiene una distribucin de carga volumtrica dada por:

( ) sen2

rr

r R

a. Encuentre la carga total contenida en el volumen esfrico.b. Encuentre el campo elctrico en la regin r R .


Tres lminas metlicas paralelas estn dispuestas como se indica en la figura: lalmina central, aislada, tiene una carga +Q y las otras dos estn unidas elctricamentey separadas de la lmina central distancias d y 3d respectivamente. Si a la lminaizquierda se le da una carga igual a -3Q determinar:

a. Las distribuciones de carga en las superficies de las tres lminas.

b. La fuerza que acta sobre la lmina central.

Se desprecian efectos de bordes d S .


46/93



PROBLEMA 1

Dos electrones se encuentran fijos a 2m de distancia. Desde el infinito se lanza un

tercer electrn que queda en reposo en el punto medio entre los primeros dos. Culdebe ser su velocidad inicial?

Solucin

Aplicando el principio de conservacin de la energa se tiene:

o o f f U K U K

La energa cintica final 0;fK ya que los tres electrones estn en reposo.

Denominaremos 1 y 2 a los electrones que se encuentran fijos y 3, al que eslanzado desde el infinito. Sea

12 2mr la distancia entre los electrones que se

encuentran fijos. Entonces: 13 231m; 1mr r

2

12 12 13 23

31 2 9 19 2

( )( ) ( )( ) ( )( )1

2

19.1 10 2(9 10 )(1.6 10 )

2

31.82 m/s

e o

o

o

k e ek e e k e e k e em v

r r r r

v

v


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PROBLEMA 2

Un circuito plano tiene la forma de un tringulo issceles, cuyos lados son dos barrasfijas perpendiculares y una tercera barra MNque se desplaza perpendicularmente convelocidad constante v como se indica en la figura. El circuito est colocado en uncampo magntico uniformeBque forma un ngulocon la normal al plano del circuito.Sabiendo que la resistencia elctrica de las barras por unidad de longitud es r,determine:

a. La potencia necesaria para desplazar la barra MN

b. La potencia disipada en calor en funcin de la posicin de la barra.

SolucinLa fem inducida en el circuito es:

2coscos 2 cos

2

d BAd d xN B Bxv

dt dt dt

La resistencia del circuito en funcin de x

2 2R r x

Y la intensidad de la corriente:

2cos

2 2

BvI

r

El signo significa que la corriente crea un campo que se opone al aumento deflujo producido por el movimiento de la barra y la fuerza que acta sobre labarra es opuesta a la velocidad, o sea una fuerza de frenado F IL B

con

una magnitud de:


48/93


2 22 cos2 cos

2 2

xvBF I xB

r

En un cierto instante la potencia necesaria para mover la barra y la potenciadisipada en calor son, respectivamente:

2 2 222

cos2

mxv BP Fvr

2 2 22 cos2

2 2e

xv BP I R

r


49/93


PROBLEMA 3

Una esfera slida no conductora tiene una distribucin de carga volumtrica dada por:

( ) sen2

rr

r R

a. Encuentre la carga total contenida en el volumen esfrico.

b. Encuentre el campo elctrico en la regin r R .

Solucin

a. Se trata de una distribucin volumtrica de carga, en la cual:

dq dV ; 24dq r dr

la carga total contenida en la esfera viene dada por:

2

0

0

sen 42

4 sen2

R

R

Q dq

rQ r dr

r R

rQ r dr

R

Integrando por partes; sea

; ;u r du dr

2sen cos2 2

r R rdv v

R R

2

2

2 24 cos cos

2 2

2 44 cos sen

2 2

Rr r R rQ dr

R R

Rr r R rQ

R R

Ahora valuando entre 0 y R:22

21644 RRQ


50/93


b. Encuentre el campo elctrico en la regin r R

Al dibujar una superficie gausiana esfrica de radio r R

0

encerradaqE dA

2

2

0

16

4

R

E r

2

2 20

4

RE r

r


51/93


52/93


Lminas A y C:

1 2 5 63Q

S

Lmina B:

3 4 QS

Aplicando la ley de Gauss a las superficies punteadas indicadas en la figura,como el campo en el interior de los conductores es cero, tambin es cero lacarga encerrada por la superficie gausiana por lo que:

2 3 0

4 5 0

Asimismo, las placas A y C se encuentran al mismo potencial 0;A CV V

52

0 0

(3 ) 0dd

2 53

Resolviendo el sistema de ecuaciones anteriores:

1 6Q

S ; 2

3;

4

Q

S 3

3

4

Q

S

4 ;4

Q

S 5

4

Q

S ;

b. La fuerza elctrica que acta sobre la lmina central es debida a los camposelctricos existentes a cada lado de la placa. Observe que la direccin de loscampos es normal a la placa. Denominaremos 1E

al campo que se encuentra

a la izquierda de la lmina y que ejerce sobre sta una fuerza hacia laizquierda, asimismo 2E

al campo que se encuentra a la derecha de la lmina

y que ejerce sobre sta una fuerza hacia la derecha.

3 1 4 2( ) ( )F S E S E

2 2 2

0 0 0 0 0

3 3 9

4 4 4 4 16 16 2

Q Q Q Q Q Q Q F

S S S S S

El signo negativo indica que est dirigida hacia la izquierda.


53/93


4.3 QUMICA

SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE QUMICA NIVEL I

INSTRUCCIONES:

A continuacin se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones yvalor adjunto. Est permitido el uso de Tabla Peridica, y calculadora. No estpermitido el uso de celular.

Primera Serie (50 puntos):

Consta de 25 preguntas de seleccin mltiple todas corresponden a la parte terica.Subraye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hgalo en la parte deatrs de la hoja, indicando el nmero de inciso que se razona.

1. Cuntos protones y electrones tiene el ion Se2-?

a. 36 protones y 36 electrones

b. 36 protones y 34 electrones

c. 34 protones y 34 electrones

d. 34 protones y 36 electrones

e. Ninguna de las anteriores

2. Cifras significativas son:

a. Slo los dgitos enteros de una cantidad

b. Slo los dgitos decimales de una cantidad

c. Todos los dgitos decimales de una cantidad

d. Todos los dgitos de una cantidad

e. Slo los nmeros enteros de una cantidad

3. Una estatua de Buda que se encuentra en el Tibet mide 26 m de alto y estrecubierta con 279 kg de oro. Si el oro se aplic con un espesor de 0.0015 mm, qu

rea superficial se recubri (en metros cuadrados)?a. 9600 m2

b. 9.6 x 103m2

c. 9.6 x 102m2

d. 4800 m2

e. 89 x 102m2


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4. El cobre tiene densidad de 8.94 g/cm3. Un lingote de cobre con masa de 57 kg seforma como alambre con dimetro de 9.50 mm. Qu longitud de alambre, enmetros, se podra producir?

a. 323 m

b. 100 m

c. 90 md. 85.37 m

e. 92.45 m

5. A cunto equivalen 327.5 C (el punto de fusin del plomo) en grados Fahrenheit?

a. 621.5 F

b. 600 F

c. 623.84 F

d. 650.853 F

e. 678.52 F

6. Cul de los compuestos siguientes es una substancia pura?

a. concreto

b. madera

c. agua salada

d. cobre elemental

e. leche

7. Cules de los siguientes son procesos qumicos?

a. Oxidacin de un clavo

b. Congelamiento del agua

c. Descomposicin del agua en hidrgeno y oxgeno

d. Compresin del gas oxgeno

e. Evaporacin del agua

8. La frmula del carbonato de amonio es:

a. (NH4)2CO3

b. NH4CO2c. (NH3)2CO4

d. (NH3)2CO3

e. N2(CO3)3


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9. Un cierto elemento tiene 3 istopos. Las masas isotpicas (uma) y sus abundanciasson: 159.37 (30.60%), 162.79 (15.79%), y 163.92 (53.61%). Cul es la masaatmica promedio (uma) de este elemento?

a. 161.75

b. 162.03

c. 162.35d. 163.15

e. 33.33

10. Cul es el porcentaje en masa del carbono en el compuesto dimetilsulfxido,C2H6SO?

a. 60.0

b. 20.6

c. 30.7

d. 7.74e. 79.8

11.De los siguientes conjuntos de nmeros cunticos cul, no puede ser correcto:

a. n = 3, l = 2, ml= -2

b. n = 3, l = 2, ml= 3

c. n = 1, l = 0, ml= 0

d. n = 6, l = 0, ml= 0

e. n = 2, l = 0, ml= -1

12.Cul es la frecuencia de la luz que tiene una longitud de onda de 456 nm?

a. 6.58 x 10-14Hz

b. 6.58 x 1014 Hz

c. 6.58 x 1013Hz

d. 3.29 x 1014 Hz

e. 3.29 x 10-14Hz

13.Calcule la energa de un fotn con una frecuencia de 2.85 x 1012s-1.

a. 2.32 x 10-46J

b. 6.97 x 10-38J

c. 1.89 x 10-21J

d. 4.30 x 1045J

e. 2.55 x 10-23J


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14.Para = 2, cules son los valores posibles de ml?

a. 2

b. 1, 0

c. 1, 0, -1

d. 2, 1, 0e. 2, 1, 0, -1, -2

15.Indique los valores de n, ly mlde cada orbital de la subcapa 2p.

a. n = 2, l = 2, ml= 2, 1, 0, -1, -2

b. n = 2, l = 1, ml= 1, 0, -1

c. n = 2, l = 0, ml= 0

d. n = 2, l = 1, ml= 0

e. n = 2, l = 3, ml= 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3

16.Identifique el elemento especfico que corresponde a la configuracin electrnicasiguiente: [Ne]3s23p1

a. Boro

b. Carbono

c. Aluminio

d. Silicio

e. Galio

17.Cul de los siguientes es un cambio fsico?

a.Al calentarse el agua se convierte en vaporb. El perxido de hidrgeno convierte el pelo amarillo

c. Al calentar el azcar se pone caf

d. La leche se pone agria

e. Las manzanas que se exponen al aire se oxidan

18.Los grupos de la tabla peridica corresponden a:

a. Las columnas de los elementos de la tabla

b. Las filas de los elementos de la tabla

c. Las diagonales de los elementos de la tablad. Los lantnidos y los actnidos

e. Los periodos de la tabla


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19.El nmero atmico de un elemento es igual a:

a. El nmero de protones de ese elemento

b. El nmero de neutrones de ese elemento

c. La sumatoria de los protones y neutrones de ese elemento

d. La sumatoria de los protones y electrones de ese elementoe. La sumatoria de los protones, electrones y neutrones de ese elemento

20.Los metales alcalinotrreos tienen _____ electrones de valencia.

a. Dos

b. Uno

c. Tres

d. Cuatro

e. Cinco

21.Los gases nobles existen como:a.tomos gaseosos individuales

b. Molculas gaseosas diatmicas

c. Iones gaseosos

d. Cationes gaseosos

e. Aniones gaseosos

22.Las formas diferentes de un mismo elemento se llaman:

a.Altropos

b. Compuestos molecularesc. Compuestos inicos

d. Iones

e. Iones poliatmicos

23.En referencia al tamao los aniones son:

a. Ms grandes que los tomos de los que se originan

b. Ms pequeos que los tomos de los que se originan

c. Del mismo tamao que los tomos de los que se originan

d. Levemente menores que los tomos de los que se originane. No ha sido determinado


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24.Un elemento neutro tiene el mismo nmero de:

a. Protones y electrones

b. Protones y neutrones

c. Neutrones y electrones

d. Electrones y cationese. Protones y aniones

25.La energa mnima requerida por un tomo o in para separar un electrn delestado basal del tomo o in aislado en estado gaseoso se llama:

a. Energa de ionizacin

b. Afinidad electrnica

c. Polaridad

d. Electronegatividad

e. Energa de red

Segunda Serie(50 puntos):

A continuacin encontrar 5 problemas. Resulvalos correctamente en su cuadernillode trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lgica, explcita y ordenada todosu procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y ecuacionesms importantes de forma inequvoca y anote la respuesta especfica en el temario.

Problema 1:

Para la elaboracin de vidrio se utiliza Oxido de Calcio, compuesto que le daresistencia al vidrio. Si para preparar un lote de vidrio (v= 2.5080 g/cm3), uno de loscomponentes es arena (arena= 1.3 g/cm3) con un volumen 0.69 m3y otro es Oxido deMagnesio 12%, Carbonato de Sodio 18 % y otros componentes 0.75%. Cul es la masade Oxido de Calcio que se debe de utilizar si el lote llena un mezclador cilndrico conun dimetro de 0.9 m y cuya altura es 2 veces el radio del mezclador?

Problema 2:

El gas Cloro se obtiene calentando cido Clorhdrico con xido de Manganeso. Si estegas se recoge sobre agua y luego se utiliza para preparar Hipoclorito de

Sodiohacindolo reaccionar con Hidrxido de Sodio a una temperatura de 35C,obtenindose como productos secundarios Cloruro de Sodio y agua. Cunto de gasCloro se necesita para preparar 1 m3 de Hipoclorito de Sodio al 15 % v/v si la reaccintiene un rendimiento del 95%?

Densidad de Hipoclorito de Sodio = 1.165 g/cm3


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Problema 3:

Realice la estructura de Lewis del Perxido de Hidrgeno.

a. Indique y explique el nmero de oxidacin de cada tomo de oxgeno en funcin delos electrones recibidos o proporcionados por el tomo.

b. Indique y explique el nmero de oxidacin de cada tomo de hidrogeno en funcinde los electrones recibidos o proporcionados por el tomo.

c. Cuntos enlaces covalentes polares existen e indique entre que tomos?

d. Cuntos enlaces covalentes puros existen e indique entre que tomos?

e. Si el Perxido de Hidrgeno perdiera los tomos de Hidrgeno y estos fueransustituidos por un solo tomo de Potasio (formando un Superxido), explique elnmero de oxidacin del Oxgeno realizando la estructura de Lewis y los pasos dela al d.

Problema 4:El umbral fotoelctrico del aluminio es de 5.986 V. Si, en el efecto fotoelctrico, elvoltaje de frenado de los electrones es de 0.3 V, cuando la placa de aluminio esirradiada con 300W, calcule la intensidad de flujo de electrones, en amperios.

Problema 5:

Considere la combustin del GLP, compuesto por 85 por 100 n/n de propano y el restoes butano. :

C3H8 +C4H10 + O2 CO + CO2+ H2O

En un proceso, se queman 35 lb/h de este gas, por una combustin el 85 por 100 n/ncompleta, y el resto produce monxido de carbono. Cuntos kg/h de O 2 consumeesteproceso? Cuntos kg/ao de gas de invernadero se vierte al ambiente?


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PRIMERA SERIE

1. d 6. d 11. b 16. c 21. a

2. d 7. a 12. b 17. a 22. a3. b 8. a 13. c 18. a 23. a

4. c 9. c 14. e 19. a 24. a

5. a 10.c 15. b 20. a 25. a

SEGUNDA SERIE

Problema 1:

Para la elaboracin de vidrio se utiliza Oxido de Calcio, compuesto que le daresistencia al vidrio. Si para preparar un lote de vidrio (v= 2.5080 g/cm3), uno de loscomponentes es arena (arena= 1.3 g/cm3) con un volumen 0.69 m3y otro es Oxido deMagnesio 12%, Carbonato de Sodio 18 % y otros componentes 0.75%. Cul es la masade Oxido de Calcio que se debe de utilizar si el lote llena un mezclador cilndrico conun dimetro de 0.9 m y cuya altura es 2 veces el radio del mezclador?

Solucin

arena arena arena

3 3

Masa Volumen

(1,300 kg/m ) (0.69 m ) 897 kg

Volumenmezclador= r2h = ()*(0.9 m/2)2*(0.9m) = 0.5723 m3

vidrio*Vmezclador= Masa Total

Masa Total = (2,508 Kg/m3)*(0.5723 m3)

Masa Total = 1,435.03 Kg

Masa Total= Masaarena+ MasaNa2CO3+ MasaMgO+ MasaOtros+ MasaCaO

X = MasaCaOMasa Total = 897 Kg + 0.18*MT + 0.12*MT + 0.0075*MT + X

1,435.03 = 897 + 0.3075*MT + X

602.78 = 0.3075*MT + X ec. 1

MT = 897 + 0.3075*MT + X

X = MT8970.3075*MT


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X = 0.6925*MT897 ec. 2

Sustituimos la ec. 2 en la ec. 1

602.78 = 0.3075*MT + 0.6925*MT897

602.78 = MT897

MT = 1,499.78 1,500 KgX = 0.6925*1,500897

X = 141.75 142 Kg

R. 142 Kg de CaO.

Problema 2:

El gas Cloro se obtiene calentando cido Clorhdrico con xido de Manganeso. Si estegas se recoge sobre agua y luego se utiliza para preparar Hipoclorito deSodiohacindolo reaccionar con Hidrxido de Sodio a una temperatura de 35C,obtenindose como productos secundarios Cloruro de Sodio y agua. Cunto de gasCloro se necesita para preparar 1 m3 de Hipoclorito de Sodio al 15 % v/v si la reaccintiene un rendimiento del 95%?

Densidad de Hipoclorito de Sodio = 1.165 g/cm3

Solucin

Cl2 + 2NaOH NaCl + H2O NaClO

1 m3NaClO al 15 % v/v 95%

1 m3 sol NaClO* 15 m3NaClO / 100 m3 sol* 1.165 Kg NaClO / 1 m3*

1,000g NaClO/ 1 Kg * 1 mol NaClO / 74.4394 g NaClO * 1 mol Cl2/1 molNaClO * 70.9054 g Cl2 / 1 mol Cl2= 166.45Cl2

% R = g Exp / g Teo * 100

gExp =( % R * g Teo) / 100gExp = (95*166.45) / 100 = 158.13 g Cl2

166.45 g Cl2 * L / 3.214 g = 51.78 L * 1 m 3/ 1,000 L = 0.051 m3*0.95= 0.049 m3

R. 49 L de Cl2


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Problema 3:

Realice la estructura de Lewis del Perxido de Hidrgeno.

a. Indique y explique el nmero de oxidacin de cada tomo de oxgeno en funcin delos electrones recibidos o proporcionados por el tomo.

b. Indique y explique el nmero de oxidacin de cada tomo de hidrogeno en funcinde los electrones recibidos o proporcionados por el tomo.

c. Cuntos enlaces covalentes polares existen e indique entre que tomos?

d. Cuntos enlaces covalentes puros existen e indique entre que tomos?

e. Si el Perxido de Hidrgeno perdiera los tomos de Hidrgeno y estos fueransustituidos por un solo tomo de Potasio (formando un Superxido), explique elnmero de oxidacin del Oxgeno realizando la estructura de Lewis y los pasos dela al d.

Solucin

a. Nmero de oxidacin del oxgeno, -1, existe un enlace covalente puro O-Opor lo que cada tomo recibe del H un .

b. Nmero de oxidacin del H es +1, ya que un tomo de H proporcionaun electrn a cada tomo de oxgeno.

c. Existen 2 enlaces covalentes polar, cada uno entre un tomo dehidrgeno y un tomo de oxgeno.

d. Existe un enlace covalente puro O-O.

e. Nmero de oxidacin de cada tomo de oxgeno -1/2, lo que significaque el electrn que proporciona el tomo de potasio permanece lamitad del tiempo en cada tomo de oxgeno. Nmero de oxidacin delK es +1, ya que un tomo de K proporciona un electrn a los dostomos de oxgeno.

Los enlaces formados por el potasio y cada tomo de oxgeno son

inicos debido a las propiedades de las especies que forman elenlace, diferencia de electronegatividades, enlace entre un metal y unno metal. Existe un enlace covalente puro O-O.


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Problema 4:

El umbral fotoelctrico del aluminio es de 5.986 V. Si, en el efecto fotoelctrico, elvoltaje de frenado de los electrones es de 0.3 V, cuando la placa de aluminio esirradiada con 300W, calcule la intensidad de flujo de electrones, en amperios.

Solucin

Los electrones se mueven gracias a una diferencia de potencial de:

Potencial total = (5.986 + 0.3) V = 6.286 V

Cuando son irradiados con 300 W.

Entonces:

1 C/6.286 J * 300 J/s = 47.73 C/s = 47.73 A

Respuesta: 47.73 A

Problema 5:

Considere la combustin del GLP, compuesto por 85 por 100 n/n de propano y el restoes butano. :

C3H8 +C4H10 + O2 CO + CO2+ H2O

En un proceso, se queman 35 lb/h de este gas, por una combustin el 85 por 100 n/n

completa, y el resto produce monxido de carbono. Cuntos kg/h de O 2 consumeesteproceso? Cuntos kg/ao de gas de invernadero se vierte al ambiente?

Solucin

Fracciones msicas, Yi: para un total de n mol de GLP:

C3H8 : n mol GLP * 85 mol C3H8/100 mol GLP * 44 g C3H8/1 mol C3H8 =37.40n g C3H8

C4H10: n mol GLP * 15 mol C4H10/100 mol GLP * 58 g C4H10/1 mol C4H10=8.70n g C4H10

Total= 37.40n g C3H8 + 8.70n g C4H10= 46.10n g

Y(C3H8) = 37.40n g / 46.10n g = 0.8113

Y(C4H10) = 0.1887

Reacciones:

Propano: 100/3 C3H8 + 955/3 O215 CO +85 CO2+ 400/3 H2O (1)

Butano: 25C4H10 + 155 O215 CO + 85 CO2+ 125 H2O (2)


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SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE QUMICA NIVEL II

INSTRUCCIONES:

A continuacin se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones yvalor adjunto. Est permitido el uso de Tabla Peridica, y calculadora. No estpermitido el uso de celular.

Primera Serie (50 puntos):

Consta de 25 preguntas, 21 de seleccin mltiple y las ltimas 4 de respuesta directa;

todas corresponden a la parte terica. Subraye la respuesta correcta en la de seleccinmltiple y razonela respuesta en las de respuesta directa.

1. Cul de las siguientes soluciones de NaCl es ms concentrada?

a. 0.1 M

b. 0.1 N

c. 0.1 m

d. Xsoluto = 0.2

e. 0.1 g soluto/ 1 L de solucin

2. Si una solucin acuosa congela a -0.93 C, se puede decir que ebulle a:a. 100C

b. 100.26C

c. 100.52C

d. 100.1C

e. 126C

3. Si una solucin acuosa ebulle a 100.26C, su concentracin molar es:

a. 0.26

b. 2.6c. 0.1

d. 0.5

e. 0.026


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4. Para convertir 100 ml de HCl con pH = 1 a otra de pH = 2, es necesario:

a. evaporar 100 ml de agua

b. adicionar 900 ml de agua

c. adicionar 100 ml de agua

d. adicionar 0.1 mol de cido clorhdricoe. Ninguno

5. Considere el equilibrio de la fase gaseosa:4HCl + O2 2H2O + 2Cl2 + calor

Esta reaccin se utiliza industrialmente para obtener Cl2. Cules son las mejorescondiciones:

a. Presin alta y temperatura alta

b. Presin baja y temperatura alta

c. Presin baja y temperatura bajad. Presin alta y temperatura baja

e. Temperatura baja y no afecta la presin

6. En una reaccin A + B C + D donde se emplea un catalizador. Sucede lo

siguiente:

a. La reaccin se desplaza hacia la derecha

b. Reaccin se desplaza hacia la izquierda

c. Aumenta la energa cintica de los productos.

d.Aumenta la concentracin de C pero disminuye la concentracin delcatalizador.

e. Ninguna

7. La velocidad de una reaccin qumica aumenta a:

a. Si aumenta la concentracin de los reactivos aumenta la velocidad de lareaccin:

b. Si aumenta la temperatura.

c. La presencia de un catalizador.

d.Al amentar el rea superficial de los reactivose. a,b y c son correctas

f. Todas son correctas


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8. La ecuacin de Arrehenius es:

a. K = A eea/rt

b. K = A e-ea/t

c. K = A e-ea/rt

d. K = e-ea/rt

e. Ninguno

9. El coloide formado por un lquido en un gas se denomina:

a. Emulsin

b.Aerosol

c. Sol

d. Espuma

e.

Ninguno

10. Tenemos la siguiente reaccin:

4NH3(g) + 5O2(g) 4NO (g) + 6H2O (g)

La velocidad de desaparicin del NH3es igual a la velocidad de:

a. De desaparicin del O2

b. Formacin del NO

c. Formacin H2O

d. Toda las velocidades son igualese. Si la velocidad de desaparicin del NH3 es ( 0.01 moles/ L S) la

velocidad de formacin del NO es(0.04 Mol/L S)

11. La energa de activacin de una reaccin puede ser disminuida por:

a.Aumento de la temperatura.

b.Adicin de un catalizador.

c. Aumentar la concentracin de los reactivos.

d. Incrementar la presin.

e. A y B son correctas.f. C y D son correctas.


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12. Cul de los siguientes conceptos es falso?

a.Velocidad

b. Los clculos basados en la teora cintica molecular muestran que apresiones y temperaturas normales, existen aproximadamente 1 x 1027colisiones binarias a un volumen de 1 ml cada segundo en fase gaseosa.

c. cuando las molculas chocan, la energa cintica se convierte en energavibracional, que es la responsable que se rompan los enlaces qumicos.

d. Para que haya una reaccin, es decir formacin de productos, lasmolculas en un choque deben tener una energa cintica total, igual omayor que la energa de activacin.

e. Todas son correctas

f. f. A y C son correctas.

13. Para la siguiente reaccin en equilibrio:

N2(g) + 3H2(g) 2NH3(g) + 22kcalConteste: A. Si el equilibrio se desplaza hacia la derecha

B. Si el equilibrio se desplaza hacia la izquierdaC. No Varia

a. Si aumenta el volumen del recipiente ____B_____

b. Si aumenta la presin sobre el sistema _____A____

c. Si se agrega un catalizador _____C____

d. Si se agrega N2____A_____

e. Si se extrae NH3____A_____

f. Si se calienta el sistema ____B______g. Si se aumenta la concentracin de N2 ____A____

14. Tenemos la siguiente ley de velocidad para una reaccin qumica:V = K [NO] [BR2]

Se puede decir:

a. Que el orden de la reaccin es 2

b. El mecanismo de reaccin es de una etapa

c. Que las unidades de K son

1

d. Que K no depende de la temperatura.

e. A y C son correctas

f. B y D son correctas


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15. Para la reaccin A productos de segundo orden se puede decir:

a. Que las dimensiones de K son1

b. Que la T1/2=1

[]

c.1

[]

=1

[]

+ KT

d. Que la vida media depende de la concentracin.

e. Todas son correctas.

f. b y d son correctas.

16. Subraye todas las respuestas correctas: puede haber ms de una.La solubilidad de los lquidos en los lquidos aumenta con la temperatura porque:

a. Las fuerzas de London entre partculas del soluto se hace ms pequeacuando aumenta la temperatura.

b. Las fuerzas de London entre partculas del soluto se hace ms grandecuando aumenta la temperatura.

c. La reaccin de disolucin es endotrmica.

d. La reaccin de disolucin es exotrmica.

17. La solubilidad de los gases en los lquidos disminuye con la temperatura porque:

a. Las fuerzas de London entre partculas del soluto se hace ms pequeacuando aumenta la temperatura.

b. Las fuerzas de London entre partculas del soluto se hace ms grande

cuando aumenta la temperatura.c. La reaccin de disolucin es endotrmica.

d. La reaccin de disolucin es exotrmica.

e. La presin de vapor de los gases es proporcional a la temperatura, segnla Constante Universal de los gases ideales.

18. La presin de vapor de los lquidos aumenta con la temperatura porque:

a. La distribucin de velocidad media en la campana de Gauss presentaun ala derecha mayor con respecto a la velocidad de escape.

b. El valor de las constantes en la Ecuacin de Antoine Aumenta.c. La distribucin molar del soluto en el solvente se hace ms grande hacia

el solvente.

d. La reaccin de presin se vuelve endotrmica.


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19. En una reaccin A 2B, en fase gaseosa, que es exotrmica y est en equilibrioen un recipiente rgido: un aumento de la presin del sistema, hacia dndedesplazar la reaccin?

a. Hacia A

b. Hacia B

c. Permanece en equilibrio

20. Un elemento tiene un potencial de oxidacin de 0.479 V. En una reaccin conHidrgeno en una celda, Quin es el ctodo?

a. El elemento

b. El Hidrgeno.

21. Qu condiciona que una reaccin sea exotrmica o endotrmica?

a. Las Energas de enlace

b. La diferencia de Electronegativadad de los enlaces.c. La diferencia mol entre productos y reactivos.

d. El estado de oxidacin de productos y reactivos.

22. Considere la combustin completa del propano:C3H8 + O2 CO2+ H2O

Cuntos Faraday dona 1 mol de propano al sistema?

Solucin:

1 F = 1 mol e.

Estado de oxidacin de C en el propano: -8/3

Estado de oxidacin de C en CO2 : +4

Electrones transferidos por 1 mol de propano:

Cada carbono transfiere: 4- (-8/3) = 20/3 e

Como hay 3 C en el propano: 20 mol e por mol de propano.

Respuesta: 20 Faraday.


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23. Considere la combustin completa del pentano:C5H12 + O2 CO2+ H2O

Cuntos equivalentes-gramo tiene el pentano en esta reaccin redox?

Solucin:

En una redox, el nmero de equivalentes-gramo es igual al nmero de

electrones transferidos por mol de sustancia que se reduce o se oxida. En estecaso, el pentano se oxida. Como se ve, el caso es igual que el anterior: elnmero de equivalentes-gramo es igual al nmero de Faraday (los qumicospuros tienden a no unificar conceptos, por eso usan varios nombres para unmismo fenmeno):

Estado de oxidacin de C en el pentano: -12/5

Estado de oxidacin de C en CO2: +4

Electrones transferidos por 1 mol de propano:

Cada carbono transfiere: 4- (-12/5) = 32/5 e

Como hay 5 C en el propano: 32 mol e por mol de propano.

Respuesta: 32 equivalentes-gramo (= 32 Faraday = 32 mol e transferidos pormol de compuesto).

24.La constante cintica de una reaccin particular aumenta con la temperatura en elrango de 0C a 100C, necesariamente seguir aumentando con la temperaturaarriba de ese rango? Explique.

Solucin

No necesariamente: Las reacciones siempre son paralelas: Imaginemos doscaminos (slo dos, para simplificar): A B, AC. Si la Energa de Activacinpara formar B es mucho menor que para formar A, la formacin de B serpreferida; pero si la temperatura del sistema llega a ser tal que C alcance suEnerga de Activacin, entonces la formacin de C ser igual que la de B. Yhasta puede ser que la formacin de C domine sobre la de B. Incluso puede serque la formacin de B se inhiba frente a la de C. Todo esto est dado por laEnerga de Activacin, y al fondo, por el cambio en la Energa Libre de Gibbsde formacin de B y de C.

25.Considere 2 alcanos lineales: A y B; si B tiene ms carbonos que A, quin tendr

mayor calor de combustin? Por qu?Solucin

B, que tiene ms carbono, tendr mayor calor de combustin: Esto es porqueel O2tiene un calor de formacin O.OO J, y al reducirse su calor de formacines negativo: la reaccin de reduccin de O2es negativa; por tanto, la reaccinde oxidacin del carbono es positiva, y tambin la del hidrgeno. Entre mscarbonos lineales, ms hidrgenos tambin, y ms oxgenos. Por tanto, lareaccin ser siempre ms exotrmica.


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SEGUNDA SERIE

A continuacin encontrar 5 problemas. Resulvalos correctamente en su cuadernillode trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lgica, explcita y ordenada todosu procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y ecuacionesms importantes de forma inequvoca y anote la respuesta especfica en el temario.

Problema 1:

El Texaco es un proceso de oxidacin parcial, destinado a la produccin de hidrgenopara sntesis de amoniaco, en el que se hace reaccionar octano gaseoso con oxgenopuro. Las reacciones que tienen lugar son las siguientes:

C8H18+ 4 O2 8 CO + 9 H2(Reaccin A)

C8H18+ 8 O2 8 CO2+ 9 H2(Reaccin B)

Con los datos que se indican a continuacin, calcula por cada 100 moles de octano que

reaccionan:a. La Cantidad de oxgeno consumido, si el 90% del octano se oxida segn la reaccin

A.

b. El Calor total desprendido en el inciso anterior, si el proceso ocurriese a 25 gradoscentgrados. Entalpas de formacin estndar a 25 oC, fHmo (kcal/mol): octano: -59,749 dixido de carbono: -94,052 y monxido de carbono: -26,416.

Solucin

a. Por estequiometra tenemos:

Reaccin A:

22

4 mol O90 mol Oct 360 mol O

1 mol Oct

Reaccin B:

22

8 mol O10 mol Oct 80 mol O

1 mol Oct

b. Considerando 100 moles de mezcla

Reaccin A:26.416 Kcal 59.74 Kcal

HA 8 mol CO 1 mol Octmol CO mol Oct

151.588 Kcal/mol Oct

151.588 KcalQA 90 mol Oct 13,643 Kcal

mol Oct


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Reaccin B:

94.052 Kcal 59.74 KcalHB 8 mol CO2 1 mol Oct

mol CO2 mol Oct

692.676 Kcal/mol Oct

692.676 KcalQB 10 mol Oct 6,926.76 Kcalmol Oct

Problema 2:

El diazometano, CH3-N=N-CH3, se descompone en etano, CH3-CH3, el nitrgeno, N2. Sila presin inicial es 360 mm Hg, transcurridos 400 s, asciende a 363,6 mm Hg. a) Cules la fraccin de diazometano descompuesta? b) Cul es la constante de Velocidad dedescomposicin, supuesta de primer orden? c) Cul es el periodo de Vida media, t1/2,del diazometano?

Solucin

a) la Ecuacin qumica correspondiente a la descomposicin del diazometano es:

CH3 N CH3 (g) CH3CH3 (g) N2 (g)N

Las presiones son:

diazometano Etano Nitrgeno

P (t=0) 360 --- ---P (T= 400) 360 - X X X

De acuerdo con la ley de Dalton de las mezclas gaseosas, la presin total parat=400 es:

P = Pdiazo + Petano + P N2

Sustituyendo las presiones dadas:

363,6 = (360X) + X +X

Se obtiene: x = 3,6 mm HgPor lo que la fraccin del diazometano descompuesta al cabo de 400 s seobtiene:

P diazo (transfo) 3.6 mmHg0.01 equivale al 1%

P diazo (inicial) 360 mmHg


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b) La ecuacin de velocidad de primer orden es:

0

[ ]ln

[ ]

Akt

A

En este caso

PdiazolnPdiazo ini

kt

Sustituyendo:

5 1

360 3.6ln 400

360

2.5 10 s

k

k

c) El periodo de la vida media al aplicar la ecuacin de velocidad es:

01/2

0

[ /2]ln[ ]

A ktA

Sustituyendo es 42.8 10 s

Problema 3:

Se dispone de 6.5 g de Disolucin acuosa de hidrxido de litio (LiOH) de 1,07 dedensidad relativa y 0.08 de fraccin molar en LiOH. Calcular: La Molalidad de la

disolucin. B) Cuntos gramos de agua habr que aadir a la citada cantidad dedisolucin para que la fraccin molar de LiOH sea Ahora 0.04?

Solucin

a) Calculando cantidades de soluto y solvente:

24 g LiOH0.08 mol LiOH =1.92 g LiOH

1mol LiOH

218 g H O

0.92 mol agua =16.56 g1mol agua

Al final se tiene 18.48 g de disolucin

Las cantidades de LiOH y H2O contenidas en los 6.5 g de disolucin son:

24 g LiOH0.08 mol LiOH =1.92 g LiOH

1mol LiOH


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1.92 g LiOH6.5 g disolucin =0.675 g LiOH

18.48 g disolucin

Entonces:

6.5 g disolucin0.675 g LiOH = 5.825 g agua

La molalidad es:30.675 g LiOH 10 g agua1 mol LiOH

=4.83 mol por kg5.825 g agua 24 g LiOH 1 kg de agua

c) la nueva disolucin contiene la misma cantidad de LiOH y n moles de agua:

2

1 mol LiOH0.675 g LiOH

24 g LiOH0.04

1 mol LiOH0.675 g LiOH mol H O

24 g LiOHn

Despejando se obtiene0.675 g aguan

Como la disolucin ya contiene 5.825 g de agua, la masa de esta sustancia aaadir es:

18 g agua0.675 5.825 g agua = 6.325 g

1mol agua

Problema 4:

La constante de equilibrio de la reaccin H2+ I22 HI es a 600 grados Celsius igual a70.0. Cuntos moles de hidrgeno pueden ser mezclados con un mol de yodo cuando el99 % del yodo es convertido en Ioduro de hidrgeno si la reaccin se lleva a cabo a 600grados Celsius?

Solucin

2[H ] Xc 0.99c 2[I ] c 0.99c

[HI] = 1.98 c2 2 2

2

1.98 c 1.98

0.01(X 0.99)c (1 0.99)(X 0.99)K

X= 6.59 mol H2


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Problema 5

Cuntas horas son necesarias para producir 30 g de oro metlico, haciendo pasar unacorriente elctrica continua de 4.00 A, a travs de una disolucin de un compuestoinico de oro (III)?

SolucinLa semireaccin en el ctodo sera:

Au 3e Au

Los moles de oro depositados son:

1mol Au30.0 g Au 0.152 mol Au

197 g Au

Sabiendo que 1 mol de electrones tiene una carga de 96500 C (1 Faraday), serelaciona el oro depositado con la corriente elctrica necesaria:

3mol e 96500 C0.152 mol Au 44004 C

1 mol Au 1mol e

La cantidad de corriente que circula a travs de la disolucin electrolticaviene dado por:

lq t

Por lo que el Tiempo sera:

44004 C 1 h3.1 h

4.00 A 3600 st


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4.4 BIOLOGA

SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE BIOLOGA NIVEL I

Instrucciones:

Esta prueba consta de seis series. Debe responder toda la prueba con tinta azul onegra. Puede usar calculadora, pero no celular. El tiempo mximo para responder es de90 minutos.

SERIE I:COMPLETACIN/RESPUESTA DIRECTAInstrucciones: responda nicamente lo que se le indica. Valor de cada inciso: 2 puntos.

1. Los seres vivos nacen, crecen, se reproducen y mueren. Indique otras DOScaractersticas compartidas por TODOS los organismos vivos.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Complete la ecuacin simplificada de disociacin del agua, escribiendo las frmulasy los nombres de los iones correspondientes.

H2O +

Ion _________ Ion _________

3. Cul es el nmero mximo de enlaces que puede formar un tomo de carbono?___________________________________________________________________________

4. En las plantas, en qu organelas (organelos/orgnulos) ocurre la fotosntesis?___________________________________________________________________________

5. Complete la reaccin general de la respiracin celular y encierre en un cuadro elreactivo que se reduce.

C6H12O6 + + 6 H2O + energa (ATP + calor)

6. Cules son los tres componentes de CADA NUCLETIDO de ADN?________________________________________________________________

7. En qu se diferencia la reproduccin sexual de la asexual?___________________________________________________________________________

8. Qu tipo de enlaces se forman entre dos molculas de agua?


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___________________________________________________________________________

9. Cules son los cuatro elementos qumicos predominantes en la materia orgnica?___________________________________________________________________________

10.De las macromolculas (cidos nucleicos, carbohidratos, lpidos y protenas),

cules NO son polmeros?___________________________________________________________________________

11.Enumere DOS distintas funciones de las protenas de membrana.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

12.Complete la ecuacin simplificada de la fotosntesis:

+ 6 H2O + Energa lumnica C6H12O6 +

Preguntas 13 a 16Complete el cuadro acerca de estructuras de las clulas eucariticas.

Estructura Descripcin FuncinEjemplo: Ncleo Estructura grande rodeada

por una membrana dobleLa informacin contenida enel ADN se transcribe a ARN

13.Cuerpo granular en elncleo; consiste en ARN yprotenas.

Sitio de sntesis del ARNribosmico y de ensamble desubunidades ribosmicas

14.Red de membranasinternas que se extiendenen el citoplasma, sinribosomas en su superficieinterna

Sitio de sntesis de lpidos ydestoxificacin de sustancias

15.Pilas de sacosmembranosos aplanados

Modificacin de protenas,empaque de protenassecretadas, clasificacin deotras protenas que sedistribuyen a vacuolas u otrosorganelos

16.Saco consistente en dosmembranas, de las cualesla interna se pliega para

formar crestas y contieneuna matriz

Sitio de la mayor parte de lasreacciones de la respiracincelular; transformacin de la

energa de glucosa o lpidosen energa almacenada en elATP

Preguntas 17 a 19

Indique la estructura de los grupos funcionales siguientes.


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17.hidroxilo

18.carboxilo

19.amino

SERIE II. ESQUEMATIZACIN

20.Esquematice la bicapa fosfolipdica de la membrana celular (1 punto).

21.Esquematice la traduccin del ARNm en una clula eucariota (5 puntos).Incluya y seale:

a. El ARNm

b. Un aminocido activado (aminocido + ARNt)

c. Un anticodn

d. Un codn

e. Un ribosoma con los sitios A, E y P

22.Esquematice las cinco fases de la mitosis (10 puntos)


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SERIE III. ORDENAMIENTO

Valor de cada inciso: 2 puntos.

23.Ordene los niveles de organizacin biolgica en secuencia DECRECIENTE: Bisfera

Clulas Comunidades

Ecosistemas

Molculas Organelas / organelos / orgnulos Organismos rganos y sistemas orgnicos Poblaciones Tejidos______________________________________________________________________________________________________________________