flujo laminar a través de una placa plana

= Flujo laminar a través de una placa plana=

USO DE LA DINÁMICA DE FLUIDOS COMPUTACIONALES

PARA EN ANÁLISIS DE FLUJO SOBRE UNA PLACA

PLANA.

Por ROJAS CONTRERAS FERNANDO.

8AM2

1. Planteamiento del problema.

Se tiene una placa plana tal como muestra la siguiente imagen, y se pretende realizar una

simulación de CFD para determinar las características del flujo sobre ella con la finalidad

de comparar los resultados obtenidos con los que se calculan analíticamente, para así

llegar a una validación y análisis de dichos resultados.

Figura 1. Desarrollo de la capa límite sobre una placa plana de longitud x bajo la acción

de una velocidad de flujo libre U.

2. Considerando una malla estructurada de elementos cuadrangulares.

a) Para éste primer caso, se desarrollarán los cálculos considerando un dominio con las

siguientes características.

Número de Reynolds Re=380 [1]

Longitud de la placa L=1m

Altura del Dominio H=2.56m ≈ 3m [2]

#Divisiones a lo largo de la placa 100

#Divisiones para las fronteras verticales Factor Bias de aglutinamiento

50 298

Número de celdas dentro del dominio de la capa límite

21

Tipo de flujo Laminar e Incompresible

Velocidad del flujo libre sin perturbar V=1 m/s

Densidad del fluido ρ= 1 kg/m3

Viscosidad dinámica µ= 1/380 kg/m*s

Criterio de convergencia utilizado 1E-6

Número de iteraciones para encontrar la solución convergente

698

1 Para determinar éste valor, se tomó en cuenta el número de lista (29) y realizando la operación:

Re=90+10(29). 2 Para determinar éste valor del dominio se hizo uso de la expresión H=10*δ

La relación analítica que define la estimación del espesor de la capa límite, en función del

99% de la velocidad del flujo es:

√

√

Ahora bien, una vez definidos los parámetros para la simulación, se obtienen los

siguientes perfiles de velocidad.

Figura 2. Crecimiento de la capa límite a lo largo de la placa plana, nótese que se cumple

la condición teórica que en el borde de ataque la velocidad es cero, así también sobre la

superficie de la misma placa.

Figura 3. Perfiles de velocidad independientes a la mitad y al final de la placa.

Con la finalidad de hacer una comparación más objetiva y poder analizar de una manera

más clara el comportamiento de éstos perfiles de velocidad se construyó la siguiente

gráfica en la que se superponen ambas curvas que definen precisamente el

comportamiento de la velocidad en su componente longitudinal (dirección x) respecto al

crecimiento de la capa límite.

Como se puede observar el espesor de la capa límite es menor a la mitad de la placa e irá

decreciendo conforme se aproxime al borde de ataque debido a que éste valor depende

del número de Reynolds, el cual a su vez está en función de la distancia al borde de

ataque.

Al obtener la información del aumento de velocidad en función del crecimiento de la capa

límite es posible obtener una aproximación de éste valor mediante una interpolación lineal

al final de la placa, es decir:

Velocidad en su componente x Espesor de la capa límite

0.964132 0.121351

0.99 [3] 0.128014

1.02652 0.137421

Como se puede ver, éste valor difiere del calculado mediante la expresión analítica de

Blasius al inicio de éste análisis.

Espesor de la capa límite analítica (Blasius). Espesor de la capa límite numérica (FLUENT).

0.2565 0.128

Considerando éstos valores se puede decir que la solución numérica tiene un error

relativo porcentual de 50.09% respecto al valor teórico.

3 Se utiliza el valor correspondiente al 99% del valor de la velocidad del flujo libre sin perturbar, ya que

teóricamente a éste valor corresponde el espesor de la capa límite.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esp

eso

r d

e la

cap

a lím

ite

[m

]

velocidad del flujo [m/s]

x=1m

x=0.5m

Ya que se tiene el valor del espesor de la capa límite para el perfil de velocidades al final

de la placa es importante comparar dicha distribución de velocidad con la solución

analítica de Blasius. Cabe mencionar que resulta sumamente complicado encontrar una

solución a la ecuación de Blasius de manera analítica, por lo cual se utiliza el método de

diferencias finitas a la ecuación diferencial de segundo grado y posteriormente el

algoritmo de Thomas.4

La ecuación de Blasius se puede escribir de la siguiente manera:

O bien, denotando las derivadas con funciones primas, es decir:

Donde las primas se refieren a derivadas ordinarias; ahora bien, utilizando los valores de

f´ (que representa el factor porcentual de la velocidad del flujo libre sin perturbar), se

obtienen los diferentes valores del factor de forma η. Donde el valor correspondiente a

f´=0.99 (99% del valor absoluto de la velocidad de flujo libre) es 4.96 que para fines

prácticos se utiliza el redondeo a 5.0 para el cálculo del espesor de la capa límite. Ahora

bien, es importante aclarar que éste método se basa en el “principio de similaridad”, el

cual se deriva a partir de condiciones de similitud geométrica, es decir dos cuerpos son

similares cuando la relación entre sus dimensiones permanece constante, lo cual se

extiende a otras propiedades.

A continuación se muestra una tabla condensada con los valores respectivos a las

diferentes derivadas del factor de forma, nótese que la velocidad del flujo libre para éste

problema al ser unitaria, el factor de correlación porcentual a dicha velocidad se toma tal

cual de la tabla, pero es importante aclarar que éste factor se debe multiplicar por el valor

de velocidad al cual se esté trabajando para poder hacer los cálculos correspondientes a

la capa límite.

Otro punto interesante es que el valor de la capa límite para un valor de η igual a 5.0

resulta ser el valor anteriormente calculado, lo cual demuestra la validez y precisión de

éste código desarrollado por la Universidad de Ontario en Canadá. Lo cual una vez más

reafirma la idea de la importancia del desarrollo de códigos propios para la solución de la

dinámica de fluidos computacionales.

4 Para éste cálculo se utilizó la tabla 2.2 que se encuentra en el “Apéndice I: Solución de la capa límite fluido-

dinámica para una placa plana”, por Alberto Blasetti. Donde se muestran los valores del factor de forma, obtenidos bajo la expansión en diferencias finitas y algoritmo de Thomson resuelto bajo un código de programación en FORTRAN.

Una vez calculado el perfil de velocidades bajo ésta técnica y superponiendo la curva

característica al perfil obtenido numéricamente al final de la placa se obtiene la siguiente

gráfica:

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esp

eso

r d

e la

cap

a lím

ite

[m

]

Velocidad del flujo [m/s]

solución numérica

Solución analítica

Otro aspecto importante es comparar los resultados respectivos a la distribución de

coeficientes de fricción superficial a lo largo de la placa. Lo cual del mismo modo se

determina a partir del análisis que se realiza a la solución de Blasius.

Dicha distribución se encuentra expresada mediante la siguiente ecuación:

√

Donde el valor correspondiente al factor de forma se encuentra numéricamente en la tabla

anterior, teniendo un valor de 0.332, con lo cual la expresión para determinar los valores

de coeficiente de fricción a lo largo de la placa es:

√

Donde el valor del número de Reynolds varía respecto a la distancia al borde de ataque. A

continuación se muestra la comparación entre los valores obtenidos analítica y

numéricamente.

Como se puede observar, la expresión analítica estrictamente no se puede utilizar cerca

del borde de ataque, ya que matemáticamente hablando se tiene una singularidad cuando

x=0, por lo cual la teoría de capa límite no se puede aplicar ahí ya que la fricción crece

asintóticamente hasta infinito. Así también obsérvese que mientras se avanza en

dirección al borde de salida el valor de los coeficientes se asemeja más.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Co

efi

cie

nte

s d

e f

ricc

ión

su

pe

rfic

ial

Posición a lo largo de la placa [m]

distribución analítica

distribución numérica

Ahora bien, del mismo modo se puede emplear la solución de Blasius para determinar la

fuerza de resistencia al avance por fricción, la cual no es otra cosa que la integración de la

distribución anterior a lo largo de la placa. Ahora, poniéndolo en términos de coeficiente

de arrastre se tiene:

∫

√

√

Coeficiente de arrastre analítico (Blasius) Coeficiente de arrastre numérico (FLUENT)

0.06812 0.06723

Como se puede ver el error relativo porcentual relacionado al coeficiente de arrastre es de

1.3 % lo cual resulta realmente válido. Al tener una singularidad en x=0 para la

distribución de coeficientes de fricción se dijo que no se podía realizar el análisis en las

cercanías del borde de ataque, pero lo interesante es que para el coeficiente de arrastre

dicha singularidad sí es integrable, con lo cual se obtiene tal valor numérico que resulta

ser muy cercano al teórico.

b) Para éste segundo caso se tienen las siguientes condiciones geométricas, físicas y de

dominio de malla:

Número de Reynolds Re=380


Altura del Dominio H=5.33m ≈ 5.5m [5]



50 255


19






Como es de esperarse, el valor de la capa límite, al no estar en función del dominio de la

malla, conserva el valor antes calculado.

Del mismo modo que se realizó para el primer caso, se construyó la gráfica donde se

superponen las curvas que definen el perfil de velocidades a la mitad y al final de la placa

y se calcula el valor numérico del espesor de la capa límite al final de ésta con el objeto

de comparar su valor con el analítico y al mismo tiempo el error de aproximación

correspondiente.

5 Para determinar éste valor del dominio se hizo uso de la expresión H=20*δ

Figura 4. Perfiles de velocidad a la mitad y al final de la placa plana, con un dominio en

altura de 5.5m.

Velocidad en su componente x Espesor de la capa límite en x=L

0.922914 0.112847

0.99 0.1276

0.994857 0.128672

Como se puede ver, nuevamente éste valor difiere del calculado mediante la expresión

analítica de Blasius al inicio de éste análisis.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esp

eso

r d

e la

cap

a lím

ite

[m

]


x=1m

x=0.5


0.2565 0.1276

Considerando éstos valores se puede decir que la solución numérica tiene un error

relativo porcentual de 50.25% respecto al valor teórico.

Ahora, es prudente volver a realizar la comparación entre los perfiles de velocidad al final

de la placa de la solución numérica y la analítica.

Nótese que nuevamente el valor de la capa límite al final de la placa en la solución

analítica difiere del dado por la solución en FLUENT®.

Ahora, realizando la comparación entre la distribución de coeficientes de fricción

superficial se tiene que el valor del coeficiente en la cercanía del borde de ataque

disminuyó, pero aún así tiene un valor con error numérico dado por la solución del

algoritmo computacional que resuelve el problema. Es interesante ver hasta ahora, que en

un mismo problema, cambios en el dominio puede traer consigo cambios que si bien no

son radicales o dramáticos evidencian que la definición del dominio es de especial

importancia.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esp

eso

r d

e la

cap

a lím

ite

[m

]


Solución numérica

Solución analítica


0.06812 0.06658

Se puede notar que ahora el valor del coeficiente de arrastre por fricción es menor aún

que el anteriormente calculado en FLUENT® para un dominio en altura menor, con un

error de aproximación porcentual de 2.26%, el cual resulta una buena aproximación.

Ahora es interesante ver, que cambios en el dominio alteran la solución, entonces se

propone un dominio menor que el del primer análisis con el objeto de comparar los

resultados obtenidos y determinar cuáles son los cambios sustanciales en la solución.

c) Para éste segundo caso se tienen las siguientes condiciones geométricas, físicas y de

dominio de malla:



Altura del Dominio H=1.33m ≈ 1.5m [6]



50 222


29






6 Para determinar éste valor del dominio se hizo uso de la expresión H=5*δ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Co

efi

cie

nte

s d

e f

ricc

ión

su

pe

rfic

ial




Nuevamente se construye la grafica que compara los perfiles de velocidad a la mitad y al

final de la placa.

Velocidad en su componente x Espesor de la capa límite en x=L

0.927523 0.113185

0.99 0.1268

0.991278 0.127087

Como se puede ver, nuevamente éste valor difiere del calculado mediante la expresión

analítica de Blasius al inicio de éste análisis.


0.2565 0.1268

Ahora el error de aproximación porcentual relacionado a éste valor numérico

correspondiente al analítico es de 50.56%.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Títu

lo d

el e

je

Título del eje

x=1m

x=0.5m

Comparando ésta solución al final de la placa con la solución de Blasius se obtiene la

siguiente gráfica comparativa:

Y la distribución de coeficientes de fricción superficial:


0.06812 0.06751

Con un error de aproximación porcentual de 0.89%.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esp

eso

r d

e la

cap

a lím

ite

[m

]


solución numérica

solución analítica

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Co

efi

cie

nte

s d

e f

ricc

ión

su

pe

rfic

ial




Si comparamos las curvas que definen el crecimiento de la capa límite sobre la placa entre éstos tres últimos casos podemos

obtener la siguiente gráfica:

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Esp

eso

r d

e la

cap

a lím

ite

[m

]


x=1m ; H=3m

x=1m ;H=5.5m

x=1m ; H=1.5m

x=0.5m ; H=3m

x=0.5m ; H=5.5m

x=0.5m ; H=1.5m

Nótese que el comportamiento de éstas curvas es muy próximo, lo cual nos lleva a

concluir que las dimensiones del dominio no tienen un efecto directo importante en el

resultado de la determinación del espesor de la capa límite, aún así en los tres casos el

valor que se obtuvo es aproximadamente la mitad del que se encuentra analíticamente, lo

cual nos lleva a considerar la solución de Blasius como válida cuando se trata de calcular

ésta característica ya que se obtienen resultados con un gran nivel de precisión. Por otra

parte se puede observar que el error en el algoritmo para la solución de la distribución de

coeficientes de fricción superficial incrementa conforme el dominio es más cercano a la

capa límite, lo cual incrementa la discrepancia entre los valores de éste coeficiente en las

cercanías del borde de ataque, pero al mismo tiempo la integración de éstos da un

coeficiente de arrastre por fricción más próximo al analítico cuando el dominio es más

cercano al espesor teórico de la capa límite, en otras palabras a la superficie de análisis.

3. Considerando una malla no estructurada de elementos triangulares.

Ahora bien, con el objeto de comparar la solución cambiando el tipo de malla a no

estructurada con elementos triangulares se realiza el mismo caso a) considerando los

siguientes cambios:



Altura del Dominio H=3m [7]

#Divisiones a lo largo de la placa # Divisiones en la frontera superior

200 100


50 298


25






Espesor de la capa límite teórica δ=0.2565m

Del mismo modo que para los casos anteriores se analizará la comparación entre el perfil

de velocidades a la mitad y al final de la placa; la comparación entre el perfil al final con la

solución analítica de Blasius, la distribución de coeficientes de fricción a lo largo de la

placa y el valor del coeficiente de arrase por fricción numérico en comparación con el

analítico. Al final, de la misma manera que en el ejercicio anterior se compararán los

distintos perfiles de velocidad a lo largo de la placa y se discutirán los efectos de el tipo de

malla en la solución.

7 Para éste análisis se utilizó el mismo dominio que en el primer caso.

Al realizar la interpolación lineal se obtiene un espesor numérico de la capa límite de

0.12873m, donde el error de aproximación porcentual relacionado a éste valor numérico

correspondiente al analítico es de 49.81%.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esp

eso

r d

e la

cap

a lím

ite

[m

]


x=1m

x=0.5m

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esp

eso

r d

e la

cap

a lím

ite

[m

]


solución numérica

solución analítica

Donde el valor del coeficiente de arrastre es 0.07014, con un error de aproximación

porcentual del 2.96% respecto al teórico calculado.

En la siguiente gráfica se puede observar que hay ligeros cambios en los perfiles

de velocidad, y al mismo tiempo en el espesor de la capa límite, siendo en el caso de la

malla no estructurada ligeramente más cercano a la superficie, lo cual se puede

corroborar al comparar el valor de δ al final de la placa con la solución de Blasius, siendo

el porcentaje de error más pequeño, lo cual hay que señalar que también se debe al

número de divisiones que se ocupó para la superficie inferior del dominio.

Por otra parte se puede observar que la singularidad en el borde de ataque para

determinar el coeficiente de fricción superficial incrementa en la solución numérica, pero al

mismo tiempo lleva a encontrar un comportamiento más cercano a la distribución de éstos

coeficientes respecto a la solución analítica. Una vez integrando éstos coeficientes se

encuentra que el coeficiente de arrastre es cerca del 3% mayor en la solución numérica

que en la analítica, lo cual sigue siendo válido, ya que se debe a la integración del

coeficiente en x=0, lo cual no es de gran preocupación ya que es en distancias muy

pequeñas.

Para finalizar, es importante aclarar que si bien en éste problema no se ven cambios

dramáticos en los resultados obtenidos, es importante diseñar la solución del problema

determinando las dimensiones del dominio de tal manera que se requieran los mínimos

cómputos y los costos computacionales para encontrar la solución. Así también es

importante mencionar que el uso de mallas estructuradas resulta muy bueno en ésta clase

de análisis ya que se tiene geometrías sencillas y el cambio de las propiedades es

controlado, por lo cual el uso de mallas no estructuradas resulta menos certero en la

solución del problema.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Co

efi

cie

nte

s d

e F

ricc

ión

su

pe

rfic

ial




0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Esp

eso

r d

e la

cap

a lím

ite

[m

]


x=1m; m. no estruct.

x=0.5m ; m. no estruct.

x=1m ; m. estruct.

x=0.5m ; m. estruct.

flujo laminar a través de una placa plana

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