Las Transformaciones GeométricasEn el diseño Geométrico de objetos

Manuel Hidalgo Herrera

Arquitecto y Geómetra

Madrid - Agosto 20092Soy Arquitecto , y siempre he considerado que en ese echo predominantemente cultural había que considerar la componente Geométrica por estar inmerso en nuestro casi desconocido espacio , tiempo y vida . Esa compleja componente Geométrica es por mi considerada como básica en todo el proceso de su cristalización material . En las primeras ideas , en sus primeras propuestas , en su anteproyecto , proyecto , construcción y ocupación por los usuarios . En todos ellos .Además debe ser coherente en todos ellos .De manera breve , pero clara para el lector , quiero exponer algunas de las subcomponentes geométricas que yo considero en este tema :

Nuestro cerebro está genéticamente creado en una Geometría . El ADN es una prueba irrefutable de ello . Además de su doble espiral y número de genes que tienen ordenes de actuación , se desarrolla y multiplica de manera Geométrica . Su funcionamiento también es geométrico matemático . Una moderna computadora , además de maquina y estructura de sus componentes , es matemática y geométricamente organizada y funcionable . Nuestro cerebro mucho más .

“ Cerebro “ es una cosa y “mente” otra asociada . Como funciona ese órgano , como se ha desarrollado y como produce pensamientos , son cosas muy complejas , pero evidentemente lo hacen “ Geométricamente “ . Geometrías físicas , químicas , impulsos genéticos y racionales , tienen que ser coherentes . Si no lo fueran sería terrible . Dejemos en este punto innegable esta primera y básica componente .Deben ser procesos conjuntos , coherentes ó consensuados , en cada persona y en lo personal da cada uno . GEOMETRIA MENTAL .

Después , vivimos inmersos en un espacio , casi totalmente desconocido , afectados por un tiempo y sucesos , que nos afectan y afectamos . Ese espacio tiene una componente dimensional y temporal ( al menos cuatro dimensiones no homogéneas , LARGO , ANCHO y GRUESO … más el TIEMPO ) . Cuando estas aparecen y junto a ellas la ENERGIA , se conjuntan en algo que llamamos MASA ó MATERIA . Sin estas componentes , simultaneas nuestro espacio DESAPARECERIA y con el nosotros mismos , ( ó parte de nosotros para algunos ) .

Esto conlleva un concepto … LA FORMA de la masa ó materia , implicada en la energía , la luz y el tiempo .

Toda Arquitectura tiene una FORMA y esta su propia GEOMETRIA FORMAL . Para cristalizarse en algo edificatorio , deberá cumplir todas las condicione anteriores y para poder ser “ pensadas “ también las del cerebro y mente , si se quiere hasta teatralmente .

Con esta GEOMETRIA de LA FORMA , los arquitectos han querido estar jugando a lo largo de la historia .

Cuando se piensan formas con el cerebro y mente , el ser humano pone unos objetivos y tiempos que la propia NATURALEZA NO CONSIDERA . Esto se debe a la temporalidad del propio ser humano . Entre esos objetivos están … LA CULTURA y el aprovechamiento ( dígase ganancias , intereses y otros ) LO MERCANTIL de todo tipo .

El quehacer interesado del ser humano , también cultura , conlleva a unas formas de proceder que también tienen su propia GEOMETRIA DE LA CULTURA . Estilos , tendencias , modas , ajustes y disciplinas formarían parte de esta componente .

Las necesidades materiales , resistentes , duraderas …. De esas formas , sus ventas y mercados , procesos constructivos , sistemas y producciones … etc 33necesariamente deben ser consideradas . El mercado lo exige . Tiene por tanto que tenerse en cuenta una llamada GEOMETRIA DEL MATERIAL Y SU PROCESO DE REALIZACION ó construcción .

El ser humano , sueña ideas hasta irracionales , tiene una Imaginación ( que algunos definen como arte ) creativa . Quiere emular a la propia Naturaleza … yo diría que está obligado a ello . Pero distingue dos maneras de hacerlo :

Lo Lógico y lo Mágico .

Debemos por tanto considerar ambos conceptos ( que pueden ser el mismo ) y unas GEOMETRIAS LOGICAS Y MAGICAS .

Quedan todavía muchas otras a considerar , la creación … lleva a la desaparición de lo creado . La construcción a la destrucción … lo aparecible a lo desaparecible .. Etc . Cada una con sus propias geometrías . EL orgullo y la idiosincrasia también cuentan …

Pero con las expuestas … tenemos suficientes para liarnos … para qué más

Mi “ GEOMETRIA “ englobaría a todas ellas . Es la propia de la naturaleza , es la nuestra y la de nuestras cosas , es la de nuestros tiempos y la de los otros……

ES TODO .

Empecemos : FLUIR POR CURVAS

Como no se por donde empezar ( si es que tiene principio ) , me sitúo ante mi ordenador y comienzo a indagar cosas ( para mi desconocidas ) raras y veo en el proceso mental que sigo … que cosas aparecen y para que me pueden servir , sin OBJETIVO NI TIEMPO DETERMINADO . Luego se les asigna … y se equivoca uno … posiblemente ó casi seguro …

Desde hace ya muchos años , mis devaneos geométricos de profesor en nuestra Escuela de Madrid , de la que he sido profesor casi medio siglo a caballo entre el XX y el XXI , me intrigaron sobre cierto capitulo de transformaciones en el programa RHINOCEROS y en este caso en su versión 3 . Si el lector tiene la V4 , podrá comprobar que lo que voy a decir NO ES VALIDO ó posible con ella .

Las versiones NO SIEMPRE MEJORAN ( solo comercialmente )

En este programa , hay un transformación que se llama FLUIR POR CURVA . Consiste en deformar una forma u objeto ( 1D , 2D ó 3D deformable ) de la siguiente manera ó con la siguiente Ley :

Cada punto adopta una nueva posición en función de sus distancias a una curva

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ORIGEN y OTRA FINAL . Lo hace mediante relaciones geométricas de distancia y escala de una a otra . Es decir , va cambiando la forma según leyes geométricas y matemáticas , de cada punto a una y otra referencia . Si las dos curvas NO SON LA MISMA por su posición en el espacio , evidentemente CAMBIARA LA FORMA 5

Las formas así fluidas , tienen unas evidentes conexiones con las originales , aunque cueste creerlo realmente . La variedad de formas naturales que nos rodean , pueden por tanto , a pesar de sus diferencias aparentes , tener una conexión geométrica . Presentamos a continuación algún ejemplo de lo dicho .

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9Pues bien si partimos de un cuadrado en área , como la cara de apoyo de

un cubo ó hexaedro y tomamos dos curvas VERTICALES , una la diagonal del cuadrado y otra el arco , media elipse ó parábola verticales a la cara supuesta , la deformada por FLUIR por CURVA , sería un PARABOLOIDE HIPERBOLICO , inmerso en el CUBO .

En el caso del arco ó medio circulo … sería un PH mas bajo . En los casos de elipse y parábola un paraboloide ajustado al cubo .

Esta extraña propiedad , posiblemente presentada por PRIMERA vez en la historia , ha estado siempre en esa Geometría TOTAL y de alguna manera en su reflejo en nuestra mente genética .

Solo ver la lámina en cuestión , es un goce . Pero recuerda que solo en la V3 de Rhinoceros y NO en la V4

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En estas dos láminas se presenta la fruición de la cara de apoyo ( cuadrada 9 en área ó superficie .La segunda curva de Fluición es en cada caso una curva pasando por AMC , una quebrada simple AMC ó unamixta de dos curvas invertidas , con punto de retroceso ,pero en los tres PLANAS en ACM.

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Aprovechando esta propiedad vamos a crear alguna forma pseudo Arquitectónica.

Lo haremos utilizando como segunda ley de fluir una parábola vertical , situada enUno de los lados verticales del cubo .

El paraboloide hiperbólico se desplaza , hacia un lado y podremos generar una por cada lado ( 4 ) ó bien una matriz polar con la primera forma . Obtendremos una forma “ demasiado “ recordatoria de una conocida de Félix Candela .

Podríamos asegurar que esa forma no fue sugerida a Félix Candela por la geometría en su mente . El no pudo hacerlo de la manera que

acabamos de hacer , pero su mente era un estupendo ordenador con Rhinoceros incluido . 14

En Arquitectura y sus construcciones , suelen ser considerados a priori módulos que por sus soluciones garantizaban resultados edificables . La inclusión de estas formas y sus transformadas , que lógicamente mantenían esas relaciones ( siempre que fueran manejadas GEOMETRICAMENTE hablando ) .

Conocer estas transformaciones , hoy fácilmente y cómodamente manejadas con los programas informáticos ( que lo admitan claro ) de manera automatizada , pueden garantizar esos resultados dentro de VARIANCIAS VALIDAS . La imaginación y juego creador , puede utilizarse en otras fases ó simplemente con la observación de los procesos , se sugieren caminos y pasos , pero con toda garantía geométrico Euclídeas , que las hace siempre cristalizables en 3D .

Claro que el campo es enorme y las posibilidades se multiplican . Se trata de saber escoger , razonablemente entre esas posibilidades .

Siempre se han buscado formulas , reglas , acertijos , magias … etc para “ acertar “ en el juego . Ruletas , cartas , loterías , carreras de caballos ….

Aquellos que se fían del destino , bolas mágicas , musas inspiradoras y formulas maravillosas del más allá ó……. más acá , despreciando la observación , razonamientos , análisis … etc …. Es decir los “ listos “ , no suelen conseguir nada más que alguna casualidad … de a que vanagloriarse .

Pero esto no suele ser enseñable . Es atrayente , por su escaso esfuerzo y trabajo .

Bien es verdad que es un camino INMENSAMENTE NATURAL , pero dentro de nuestra necesaria HUMILDAD … siempre posible .

Si el lector , Posee una Versión V4 de Rhinoceros , podrá comprobar que lo antedicho NO ES VALIDO , ya que esas fluiciones NO DOTAN DE DOBLE CURVATURA necesaria a la superficie plana , para convertirla en el Paraboloide Hiperbólico y en su lugar se obtienen formas cilíndricas cuádricas simples .

Como anteriormente hemos citado ya , las marcas , en su lógico afán de mejorar , pueden empobrecer por desconsiderar estas cosas .

De cualquier manera se atisba una serie de cuestiones formales .En cualquier tipo de transformaciones pueden considerarse una serie de INVARIANCIAS . Es como si determinadas formas geométricas , tuvieran una importancia ó consideración , más clara que otras . El cuadrado ( en área ó línea ) es una de ellas , también el Cuadrilátero Alabeado ( Paraboloide Hiperbólico ). Ambas se relacionan como hemos visto Directa e Inversamente , por la Fluición . Pasamos de superficies 2D ( planas ) a curvadas 3D y viceversa . Incluso hemos podido ver que son independientes de las curvas de fluición , siempre y cuando coincidan en una serie de propiedades , también geométricas . Es decir que fijando una , las otras son innumerables y hacen que el Paraboloide Hiperbólico , sea una forma y figura muy singular y relacionante al

cuadrado , al cubo y al tetraedro . Por tanto SI QUEREMOS UTILIZAR EN NUESTROS DISEÑOS ESTA FIGURA (FÁCILMENTE CRISTALIZABLE EN CONSTRUCCIONES MATERIALES ) SERÁ ? CONVENIENTE ¿ CONOCERLO Y SUS FAMILIAS DE TRANSFORMACIONES . Parece evidente que SI ….

Aunque siempre será discutido por aquellos que creen saberlo todo de por si ….

15Sin versiones 3 ó 4 , posteriores ó anteriores … pero ahora si lo tenemos encima de nuestra mesa y próximo a nosotros . Su ejecución nos hará conocer mejor a Candela y respetarlo mucho más .

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Esta primera propiedad , nos ha dado lugar a refrescar algunos modelos, que en nuestra época de estudiantes nos dieron bastantes quebraderos de cabeza . A Candela , que tuvo que huir a Méjico en tiempos desgraciados , les sirvieron después ( sin saber muy bien el por qué ) para hacerse un sitio

y renombre , según trató de explicar hace unos años , en una visita a nuestra Escuela de Madrid .

El hombre de los Paraboloide y cuádricas , que trató de recordar cosas allí estudiadas , y que muy probablemente ya estarían genéticamente en su cerebro .

Pero vamos a recordar otras , también en el mismo sitio :

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También cualquier estudiante de aquella época , fuera mareado y “

suspendido “ con la no menos famosa “ SILLA DE MONTAR “ porción cilíndrica de un paraboloide hiperbólico ( PH desde ahora ) .

Si consideramos en la forma anterior un recito circular … obtendríamos una silla de montar . Pero ese recinto pueden estar inscrito en el cuadrado anterior . La sila de montar pertenece al PH ya indicado .

La fruición por curvas de ese recinto , PRODUCIRIA ESA SILLA DE MONTAR . Si tomamos como primera curva la diagonal y segunda la parábola ( elipse …. ) anterior , amabs formas corresponderían a el mismo PH . Cualquier otra segunda curva de fruición que pasara por los tres puntos BMD , producirían SIEMPRE , LAS MISMAS FORMAS , SI CUMPLEN ADEMAS LA DE ESTAR EN ESE PLANO Y SER SIMETRICAS A MN ( eje de parábola y PH ) .

Esta extraña propiedad , nos dice que existen familias de diferentes curvas , que en determinadas condiciones , generarán las mismas figuras ó formas .

No tiene por tanto nada de extraño , que estas relaciones ocupen un sitio en alguna parte de nuestra mente , genéticamente impuestas por la naturaleza , que clavó el ADN , igual en todo nosotros , pero generando muy diferentes sujetos , dentro de una misma familia . Cualquier variación en estas premisas , cambiaran la forma del PH y por consiguiente sus formas posteriores ó derivadas .

En base a estas condiciones , hemos generado diferentes espacio formas , con posibilidad de ser pseudo arquitecturas , que presentamos a continuación :

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El ser humano´s , se integrará siempre en estos paisajes geométricos . Los programas en este momento así lo permiten . En nuestro caso Rhinoceros , Flamingo , Bonus , 3DStudio … Piranesi ….. Y muchos otros …

OTRAS VARIACIONES SOBRE EL MISMO TEMA Y…. ? DISTINTOS RESULTADOS ¿:

COMPOSICIONES METRICAS :

En muchas ocasiones , vamos a partir del cubo y sus formas asociadas .

En el siguiente ejemplo , también ese hexaedro natural , nos servirá de punto de partida ó final … ya veremos .

En ese cubo cabe todo y de “ El “ sale todo . Este es otro caso , también surgirán Paraboloides , todo está dentro y fuera , todo lo conecta y dirige , será difícil destacar y umbralizar sus fronteras ( si es que las hubiere ) . Los elementos de un cuadrado y por tanto de un cubo ( multiplicados ) son innumerables . En las láminas que siguen , se muestran algunas de las figuras por ellos integradas y sus relaciones métricas más conocidas .

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Algunas de ellas ya han sido utilizadas , más ó menos “ mágicamente “ a pesar de ser totalmente “ lógicas y racionales “ .

Desde Raimundo Lulio a Juan de Herrera , Vitruvio , Palladio , Pacioli … y tantos otros , siempre con acierto seguro… pero con ciertos misterios .

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Trazados del Escorial , a medio camino de Dios Arte y Científico , dejaban tranquilos a quienes los usaban e intranquilos a los que los criticaban .

Ha sido una constante Universal sus aplicaciones , en épocas lejanas , a muchos miles de kilómetros de distancia , pero en los mismos tiempos . Misterios mitificados , pero se olvidan de varias cosas …. Mismas estructuras y geometrías cerebrales y mentales , mimos razonamientos , mismas peguntas … y mismas momentaneas respuestas , a veces convincentes , a veces impuestas , a veces causantes de males …… a veces de la propia muerte .

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En Oriente ,, más respetuosos con el saber y no saber , también sin explicaciones , que eran obvias … se utilizaron . Unas veces de manera numeral , ótras geometricas y otras religiosas …. CENCIA , ARTE Y RELIGION .

AHORA PURA APÀRIENCIA NUMÉRICA Y GEOMETRICA .

Supongamos un cuadrado y cada uno de sus lados dividido en un número de partes , que determinarían puntos ( 7 y 6 partes en nuestro caso ) .

Si trazamos segmentos que vayan de los vértices a estos puntos , formaremos claramente una trama 2D. Los puntos de encuentro de esta trama cuarta , quedarían definidos en su totalidad como intersecciones .

Estos puntos pertenecen a muy diferentes figuras y formas , incluidas en la cara cuadrada . Por ejemplo a un circulo inscrito al cuadrado ( 8 ) , también a polígonos regulares , semi rregulaes y estrellados y a un sinfín de figuras conocidas y por conocer .

Durante siglos , nos han enseñado artilugios sistemas de definirlas , construirlas y

26dibujarlas . PERO ESTO NO ES OTRA COSA QUE UNA MULTIPLE PLANTILLA DE HACERLO .PLANTILLA GRÁFICA , SI SE QUIERE .

? POR QUÉ , NO PUEDE SERVIRNOS PARA NUESTRAS “ CREACIONES “ ¿

Más bién RECREACCIONES , a menudo objeto de “ RECREO “ sin demasiada seriedad ni rigor explicado .

Basándonos en esas “ PLANTILLAS “ ( partes de esas plantillas ) , vamos a a investigar en formas , que luego cristalizarán en espacio formas y pseudo arquitecturas ( u otros objetos sin objetivo preestablecido ) .

27Andemos esos caminos … con humildad y alegría … nada nos obliga

El cuadrado y cubo , además de sus caras , vértices , centros , diagonales de caras , aristas … etc .. Que al parecer son su únicos

elementos “ Métricos “ a considerar….Tienen otros muchos más… muchísimos . En mis trabajos colgados en scribd enInternet ( de libre consulta y descarga ) he intentado presentar solo algunos .28

29Pueden dar lugar a muchas composiciones , siguiendo solo ciertas reglas aritméticas ó matemáticas . El número de oro , la proporción Áurea , Phi , Fibonacci …. Etc han

Situado a los estilos y modos de componer , durante siglos .Una muy sencilla la proponemos ahora , simples proporciones númericas

.

Presentamos primero unos elementos singulares en el cuadrado , como muestra de

30la complejidad y riqueza de ellos .

Le espacio , su luz , sus sombras , el entorno natural vegetal ….. Todas

esas cossas que el tiempo permite y al materializarlas , en materiales

costruibles , posibilitan su total 3D .

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EL SIMPLE CUBO ó MEJOR SIMPLE HEXAEDRO

MEZQUITADO :

Otra más simple , será casi directamente a partir del cubo HUECO , ó

como diría Pacioli ó Jemmnitzer , Poliedros aristados , vaciados ó

edificables . A ellos les costaron muchas horas de artesanías el

montarlos . Ahora son automatizados con buenos programas de CAD 3D ,

texturados y sombreados . Visitados en su interior y visualizados en

cualquier situación , exigida ó supuesta .

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? Como serán nuestras Escuelas de Arquitectura ? En los aspectos

formales y espaciales . Como se enseñará es juego espacio - formal ,

através de

susgeometrías y luces ……

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El juego formal , espacial , usado , usable y edificable …. Comienza a

explicarse

31 hojas , pueden ser demasiadas y además es ago más de TRES

ELEVADO AL CUBO…..

Suficiente …..verdad…. Para inquietarnos e intrigarnos …..

Ahora nos vamos … pero solo por un largo momentos de miles de años

….

Yo , que soy del pasado siglo … si es que lo fui en algún sitio y tiempo …

digo ahora … hasta pronto ……

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LA GEOMETRIA DE LOS NÚMEROS … Ó LA NUMERACIÓN DE LAS

GEOMETRIAS …

Dicen que 33 es la edad de Cristo …. También es 11 x 3 , dos números

primos .

69 ( número del diablo ) es 23 x 3 ( otros dos números primos ) …. Un

11 del 9 cayeron dos torres prismáticas …. Un 11 del 3 … desaparecieron

cerca de doscientos seres …… subidos en paralelas

………………………………………………

…………

“ Los ejes de mi carreta….. Ya no los puedo escuchar …… “

Acabo en ese 33 …… años .. Y un día …..

Manuel Hidalgo Herrera

Arquitecto y Geómetra .