FLEXIÓN DE VIGAS ASIMÉTRICAS

En nuestros análisis anteriores de la flexión, supusimos que las vigas tenían secciones transversales con al menos un eje de simetría. Ahora abandonaremos esa restricción y consideraremos vigas con secciones transversales asimétricas. Iniciaremos estudiando vigas en flexión pura y luego en secciones posteriores estudiaremos los efectos de cargas laterales. Igual que en los análisis anteriores, supondremos que las vigas están hechas de materiales linealmente elásticos. Suponga que una viga con una sección transversal asimétrica está sometida a un momento flexionante M que actúa en la sección transversal extrema (figura). Nos gustaría conocer los esfuerzos en la viga y la posición del eje neutro. Por desgracia, en esta etapa del análisis no hay una forma directa para determinar estas cantidades. Por tanto, utilizaremos un enfoque indirecto; en vez de empezar con un momento flexionante y tratar de encontrar el eje neutro, empezaremos con un eje neutro supuesto y determinaremos el momento flexionante asociado.

Eje neutro

Comenzamos trazando dos ejes perpendiculares (los ejes y y z) en un punto seleccionado de manera arbitraria en el plano de la sección transversal (figura). Los ejes pueden tener cualquier orientación, pero por conveniencia los orientaremos horizontal y verticalmente. Luego, suponemos que la viga se flexiona de tal manera que el eje z es el eje neutro de la sección transversal. En consecuencia, la viga se flexiona en el plano xy, que se convierte en el plano de flexión. En estas condiciones, el esfuerzo normal que actúa sobre un elemento de área dA ubicado a una distancia y desde el eje neutro es:

El signo menos es necesario debido a que pare de la viga arriba del eje z (el eje neutro) está en compresión cuando la curvatura es positiva. (La convención de signos para la curvatura cuando la viga se flexiona en el plano xy se muestra en la figura.) La fuerza que actúa sobre el elemento de área dA es xdA y la fuerza resultante que actúa sobre toda la sección transversal es la integral de esta fuerza elemental sobre el área de la sección transversal A. Como la viga está en flexión pura, la fuerza resultante debe ser cero; de aquí,

El módulo de elasticidad y la curvatura son constantes en cualquier sección transversal dada y, por tanto,

Esta ecuación muestra que el eje z (el eje neutro) pasa por el centroide C de la sección transversal. Ahora suponga que la viga se flexiona de tal manera que el eje y es el eje neutro y el plano xz es el plano de flexión. Entonces el esfuerzo que actúa sobre el elemento de área dA es

La convención de signos para la curvatura kz en el plano xz se muestra en la figura 6.20b. El signo menos se necesita en la ecuación ya que la curvatura positiva en el plano xz produce compresión sobre el elemento dA. La fuerza resultante para este caso es

De donde obtenemos

y de nuevo observamos que el eje neutro debe pasar por el centroide. Por tanto, hemos establecido que el origen de los ejes y y z para una viga asimétrica debe localizarse en el centroide C.Ahora consideremos el momento resultante de los esfuerzos x. Una vez más supongamos que la flexión tiene lugar con el eje z como eje neutro, caso en el cual los esfuerzos x están dados por la ecuación. Los momentos flexionantes correspondientes Mz y My con respecto a los ejes z y y, respectivamente (figura), son

En estas ecuaciones, Iz es el momento de inercia del área de la sección transversal con respecto al eje z e Iyz es el producto de inercia con respecto a los ejes y y z.*De las ecuaciones podemos sacar las siguientes conclusiones: (1) si el eje z se selecciona en una dirección arbitraria que pase por el centroide, será el eje neutro solo si los momentos My y Mz actúan con respecto a los ejes y y z y solo si estos momentos están en la razón establecida por las ecuaciones. (2) Si el eje z se selecciona como un eje principal, entonces el producto de inercia Iyz es igual a cero y el único momento flexionante es Mz. En ese caso, el eje z es el eje neutro, la flexión tiene lugar en el plano xy y el momento Mz actúa en ese mismo plano. Por tanto, la flexión ocurre de una manera análoga a la de una viga simétrica. En resumen, una viga asimétrica se flexiona de la misma manera general que una viga simétrica siempre que el eje z sea un eje centroidal principal y el único momento flexionante sea el momento Mz que actúa con respecto al mismo eje.

Si ahora suponemos que el eje y es el eje neutro, llegaremos a las mismas conclusiones. Los esfuerzos x están dados por la ecuación y los momentos flexionantes son

en donde Iy es el momento de inercia con respecto al eje y. De nuevo observamos que si el eje neutro (el eje y en este caso) está orientado de manera arbitraria, deberán existir los momentos My y Mz. Sin embargo, si el eje y es un eje principal, el único momento es My y tenemos flexión ordinaria en el plano xz. Por tanto, podemos establecer que una viga asimétrica se flexiona de la misma manera general que una viga simétrica cuando el eje y es un eje centroidal principal y el único momento flexionante es el momento My que actúa con respecto al mismo eje. Una observación adicional es que como los ejes y y z son ortogonales, sabemos que si cualquiera de ellos es un eje principal, entonces el otro es automáticamente un eje principal. Ahora hemos llegado a la siguiente conclusión importante: cuando una viga asimétrica esta en flexión pura, el plano en el cual el momento flexionante actúa es perpendicular a la superficie neutra solo si los ejes y y z son ejes centroidales principales de la sección transversal y el momento flexionante actúa en uno de los dos planos principales (el plano xy o el plano xz). En ese caso, el plano principal en el que actúa el momento flexionante se convierte en el plano de flexión y es válida la teoría usual de la flexión (incluyendo la fórmula de la flexión). Al haber llegado a esta conclusión, ahora tenemos un método directo para determinar los esfuerzos en una viga asimétrica sometida a un momento flexionante en una dirección arbitraria.

Procedimiento para analizar una viga asimétrica

Ahora describiremos un procedimiento general para analizar una viga asimétrica sometida a cualquier momento flexionante M (figura). Iniciamos ubicando el centroide C de la sección transversal y trazando un conjunto de ejes principales en ese punto (los ejes y y z en la figura).* Luego, el momento flexionante M se descompone en las componentes My y Mz, positivas en las direcciones que se muestran en la figura. Estas componentes son

en donde u es el ángulo entre el vector momento M y el eje z (figura). Como cada componente actúa en un plano principal, produce flexión pura en ese mismo plano. Por tanto, se aplican las fórmulas usuales para flexión pura y podemos encontrar fácilmente los esfuerzos debidos a los momentos My y Mz que actúan por separado. Luego los esfuerzos flexionantes obtenidos a partir de los momentos que actúan por separado se superponen para obtener los esfuerzos producidos por el momento flexionante original M. (Observe que este procedimiento general es similar al descrito en la sección anterior para analizar vigas doblemente simétricas con cargas inclinadas.) La superposición de los esfuerzos flexionantes con objeto de obtener el esfuerzo resultante en cualquier punto en la sección transversal está dado por la ecuación:

en donde y y z son las coordenadas del punto en consideración. Además, la ecuación del eje neutro nn (figura) se obtiene igualando x a cero y simplificando:

El ángulo entre el eje neutro y el eje z se puede obtener con la ecuación anterior, como sigue:

Esta ecuación muestra que en general los ángulos b y u no son iguales, de aquí que el eje neutro generalmente no sea perpendicular al plano en el que actúa el par aplicado M. Las únicas excepciones son los tres casos especiales descritos en la sección anterior en el párrafo que sigue a la ecuación.

En esta sección hemos puesto nuestra atención en las vigas asimétricas. Por supuesto, las vigas simétricas son casos especiales de vigas asimétricas y, por tanto, los análisis de esta sección también se aplican a las vigas simétricas. Si una viga tiene un solo eje de simetría, éste es uno de los ejes principales centroidales de la sección transversal; el otro eje principal es perpendicular al eje de simetría del centroide. Si una viga es doblemente simétrica, los dos ejes de simetría son ejes principales centroidales. En un sentido estricto los análisis de esta sección sólo se aplican a flexión pura, lo cual significa que no actúan fuerzas cortantes sobre las secciones transversales. Cuando existen fuerzas cortantes, surge la posibilidad de que la viga se tuerza con respecto al eje longitudinal. Sin embargo, la torsión se evita cuando las fuerzas cortantes actúan a través del centro de cortante, el cual se describe en la siguiente sección.Los ejemplos siguientes ilustran el análisis de una viga con un eje de simetría. (Los cálculos para una viga asimétrica sin ejes de simetría se llevan a cabo de la misma manera general, excepto que la determinación de las diversas propiedades de la sección transversal es mucho más compleja.)