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ESTABILIDAD II CAPITULO VI: FLEXIN

/2010 1

6

FLEXION

6.1. FLEXION EN VIGA DE EJE RECTO - INTRODUCCION

Supongamos una viga de eje recto, de seccin constante, con determinadas condiciones devnculo, sometido a un estado de cargas genrico:

Consideramos una seccin m- m definida por la traza del plano , y aislamos la porcin de la

izquierda. Para restablecer el equilibrio, trasladamos al baricentro de m- m el efecto de las acciones

actuantes a la derecha.

La fuerza y el momento resultante admiten componentes segn la direccin del eje de la pieza,

y componentes en el plano de la seccin.

M

R: Fuerza resultante

M: Momento resultante

Fig. 6.1

Fig. 6.2

x

P2 P4

P3

P1

y

z

x

R

M

P1

y

z

G


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/2010 2

Consideramos ahora una viga de eje recto, de seccin constante, sometida a un estado decargas que no produce momento torsor:

Fig. 6.4

, : ejes principales de inercia

f : eje de carga traza del plano de

momento en el plano de la seccin.

Veamos los diferentes casos de efectos de flexin que se pueden presentar, segn los esfuerzosexistentes en la seccin genrica y la ubicacin del plano de cargas respecto de los ejes principales de

inercia.

M 0 Si f = Eje principal Flexin Compuesta Recta o Normal

N 0 Si fEje principal Flexin Compuesta Oblicua

M 0 Si f = Eje principal Flexin Simple Recta o Normal

N = 0 Si fEje principal Flexin Simple Oblicua

Q 0

M 0 Si f = Eje principal Flexin Pura Recta o Normal

N = 0 Si fEje principal Flexin Pura OblicuaQ = 0

Seccin m Flexin Compuesta

Seccin m Flexin Simple

Seccin m Flexin Pura

Fig. 6.3

x

Rz

P1

y

z

RR

G

x

Mz

P1

y

z

MM

G

R Rz N

R Q Q xQ y

Mz Mt

M M Mf M x

M y

f

x

y

MxGz

xM

P

y

z

Q

N

q

m

m


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/2010 3

6. 2. MOMENTO DE INERCIA

El contenido temtico de este punto es dictado en la materia Estabilidad I

6. 3. FLEXION PURA RECTA O NORMAL

6.3.1. Conceptos generales Diagrama de tensiones

Tomemos el siguiente caso y analicemos el comportamiento de una porcin de viga aledaa a la

seccin m - m .

El estado de cargas es simtrico y produce los diagramas de esfuerzos que se indican.

La traza del plano de Momento sobre la secciones de la viga, es coincidente con uno de los ejes

principales de inercia.

Las cargas exteriores generan un estado tensional interior. Sea un elemento genrico d en la

seccin m m .

Por condicin de equilibrio y de acuerdo a las solicitaciones exteriores actuantes en la seccin m- m, se debe cumplir:

Fig. 6.5

Fig. 6.6

x

M

P

y

z

Q

N

P

f

x

y

Mx

Gzh

Pa a

m

m

L

Mx-

t zx

z

Gz

y

x

y

t z

s z

x

d


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/2010 4

0Qd.;0Qd.;0Nd. yxyxzxz mxzyztzxyzx MMy.d.;0Mx.d.;0MM)x.dy.d.(

Para establecer una relacin entre las tensiones y las solicitaciones exteriores, deben plantearse

condiciones de deformacin. Al cargar la viga esta se deforma; el eje z, originalmente recto,experimenta una ligera curvatura, conocindose a esta ltima con el nombre de elstica.

Los puntos sobre el eje representativo de las secciones, experimentan translaciones pequeas.

Dichos desplazamientos pueden considerrselos verticales, lo cual significa que la viga no modifica su

longitud.

Para el comn de las vigas podemos suponer una relacin l/h 10. Para esta situacin es vlido

lo siguiente: tomar en el tramo central dos secciones prximas entre si, alejadas de los puntos deaplicacin de las cargas. En correspondencia con las secciones adoptadas, dibujamos en los costados

dos lneas rectas individualizadoras de las secciones, antes de aplicar las cargas.-

A medida que se carga la viga, las lneas pintadas continan siendo rectas, pero ya no paralelas

entre s; tendrn un giro relativo. Que significa ello: que las secciones originalmente planas y norma-

les al eje de la pieza, se mantienen planas y normales a dicho eje que pas de su posicin rectaoriginal a la forma curva de la elstica.

En base a lo expuesto se admiten como hiptesis:

a) Despus de la deformacin, cada seccin transversal se conserva plana y normal al ejedeformado.( Hiptesis de Bernoulli- Navier).

b) En la deformacin, unas fibras del slido se acortan y otras se alargan, existiendo entre

ambas una capa de fibras que no sufren variacin. Dicha capa se conoce como zona o capade fibras neutras.

c) Las deformaciones que se producen en las fibras estn comprendidas dentro del campo devalidez de la Ley de Hooke.

Al mantenerse planas las secciones, no pueden originarse distorsiones en los elementos de

la misma, y en consecuencia, por ser .G , no existen tensiones tangenciales.-

Para encontrar una relacin entre tensiones normales y el Momento, analizamos elcomportamiento de una fibra genrica de la porcin definida por las secciones 1-1 y 2-2.

Llamamos:

d: giro relativo entre las secciones 1 y 2.

O: Centro de curvatura de la pieza deformada

: Radio de curvatura de las fibras neutrasm- m: Capa de fibras neutras

n-n: Interseccin de capa de fibras neutras con la seccinAB: Fibra en estudio

Fig. 6.7

P

y

z

df

h

Pa a

1

1

dz

2

2

dz1

1

2

2

O


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/2010 5

Trazamos por D una paralela a OE . Comparamos los tringulos OED con DBC:

y

AB

BCABEDcomo;

y

BCDE

Pero AB

BC alargamiento de la fibra por unidad de longitud =

y ; adems por Hooke y.ctey.EyEE zzz (6.1)De acuerdo a esta ltima expresin, la variacin de la tensin normal ser lineal y directamente

proporcional a la distancia a las fibras neutras, determinado en la seccin por el eje neutro (n- n).

Las deformaciones axiales z , se acompaan por deformaciones transversales x debidas al

efecto de Poisson. Las deformaciones de alargamiento z por debajo del eje neutro tienen x de

acortamiento. Por encima del eje neutro ocurre lo contrario. La deformacin transversal esdespreciable y no se tiene en cuenta al calcular el momento de inercia de la seccin.-

- Determinacin de la posicin y direccin del eje neutro:

0Fcondicinpor z 0Sd.yEd.y.E0d. nz el eje neutro es baricntrico.

0Mcondicinpor y 0Id.x.yEd.x.y.E0d.x. nyz el eje neutro yel eje de carga son ejes conjugados xn

0Mcondicinpor x n22xz I.Ed.yEd.y.EMd.y.

x

x

n

x

I

M

I

ME (6.2)

Fig. 6.8

n

y

Gz

y

nm

df

A B C

DE

df

m

O

y


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/2010 6

Reemplazando, tenemos: ECUACION FUNDAMENTAL (6.3)DE LA FLEXION

Para el caso de la seccin trapezoidal:

A la zona comprimida le asignamos tensiones de signo (-); a las fibras traccionadas signo (+).

De (6.2) obtenemos:I.EM1x (6.4)

El valor 1 resulta ser la curvatura de la pieza sometida a flexin. En la expresin podemos a-preciar que la curvatura es directamente proporcional al agente deformante e inversamente

proporcional al producto E.I, que recibe el nombre derigidez a la flexin.La rigidez a la flexin mide la resistencia que opone la pieza a dejarse deformar. Para ello

impone las propiedades mecnicas del material (E) y las propiedades geomtricas de la seccin (I).-

6.3.2. Mdulo Resistente Dimensionamiento

De la frmula de Tensin podemos ver que todos los puntos de la seccin con la misma

ordenada y tendrn igual tensin, siendo esta mxima y mnima en los extremos, o sea, en las fibras

superiores e inferiores de la seccin. En general no suele hablarse de tensin mxima o mnima, sinode mxima tensin de traccin y mxima tensin de compresin.-

y.I

M

x

xz

Fig. 6.9

Fig. 6.10

y

f

Y2

Y1

x n

G z

(+)

(-)

1

2

z

G

y

x

2

1G

M

C1

zC2 y

M

x


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El diagrama de tensiones resulta ser un esquema espacial, pero por simplicidad y atendiendo a

lo anterior, se lo representa usualmente con un plano.

Las tensiones extremas pueden calcularse mediante las siguientes expresiones:

1

1

x1

x1 W

M

cI

Mc.

I

M

2

2

x2

x2 W

M

cI

Mc.

I

M (6.5)

A los valores W1 y W2, que resultan ser el cociente entre el momento de inercia de la seccin

transversal respecto del eje x y la distancia desde dicho eje a la fibra mas alejada de la seccin, los

llamaremos mdulos de los momentos resistentes.

En los problemas de dimensionamiento debemos distinguir entre los materiales cuyaresistencia es la misma a traccin que a la compresin, y aquellos en que ambas resistencias son

distintas.

21mnadm

mnadmmn

mx

W,WmnW

MWWM

(6.6)

adm22adm2

22

adm11adm1

11

MW

W

M

MW

W

M

(6.7)

En el primer caso conviene que la seccin sea simtrica, de manera tal que W1 = W2, con lo

que puede llegarse prcticamente a valores iguales a la tensin admisible tanto en las fibras superiores

como en las inferiores. Si la pieza no es simtrica respecto del eje neutro, un de las dos fibras

extremas no es aprovechada ntegramente.

En el segundo caso vale todo lo opuesto a lo anterior. En general sera recomendable una

seccin no simtrica, de manera de aprovechar las tensiones mximas, tanto en las fibras superiorescomo en las inferiores.

Mdulo resistente de algunas secciones usuales:

a) Rectngulo:

Podemos apreciar que el mdulo resistente depende del cuadrado de la altura, siendo

conveniente que el mayor lado del rectngulo sea ubicado en forma perpendicular al eje x.

En el segundo caso:

En el primer caso:

6h.b

W

2h

12h.b

2hI

W2

x

3

xx

6b.h

W

2b

12b.h

2bI

W2

x

3

xx

h

b

x x

h

x xb


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b) Crculo:

32d.

4r.

r4r.

W33

4

x

c) Tringulo:

24h.b

h36

h.b

W12

h.b

3h

36h.b

W2

32

3

2x

2

3

1x

Desde el punto de vista del dimensionamiento, el parmetro geomtrico que influye es el

mdulo resistente, pero desde el punto de vista econmico la pieza cuesta en funcin del rea de la

seccin transversal, y no de su mdulo resistente. Por razones de economa se trata de buscar

secciones que provean el mdulo resistente requerido con la menor rea posible.

Para poder realizar una comparacin econmica entre las distintas secciones vamos a definir elsiguiente coeficiente de rendimiento:

h.

Wmn (6.8)

En la medida que este coeficiente aumenta, la seccin en ms econmica:

167,06

1

h.b

6/h.b2

2 125,0

81

4/h.32/h.

3

3 083,0

121

2/h.b24/h.b

2

2

32,0

6.3.3. Brazo de palanca elstico:

Definiremos como brazo de palanca elstico a la distancia que existe entre la resultante de

compresin y la resultante de traccin del diagrama de tensiones.

1/3h

2/3h

r

2

1

2/3h

1/3h

b

h

h

h

h


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/2010 9

y.I

M

x

xz

2xx2x2 x2

'

1xx1x1 x1

SIMd.y

IMd.y.

IMd.N

SI

Md.y

I

Md.y.

I

Md.N

1x

x

1x

x

x

1x S

Iz

S

I

IS.M

M

N

Mz

'NN

(6.9)

Numricamente, el brazo de palanca elstico se calcula como el cociente entre el momento de

inercia con respecto al eje x, y el momento esttico de media seccin con respecto al mismo eje.

Rectngulo: h67,0h.128

4h

.2h.b12h.b

z

3

Crculo: d57,0d.163

r..83

3r4

.2r.12r.

z 2

4

Tringulo: h56,0h.169

h.b.814

36h.bz2

3

6.3.4 Energa de deformacin.

Si aislamos de una barra una tajada elemental de ancho l, y suponemos que sobre las

secciones lmites actan dos momentos M que mantienen la porcin en equilibrio, entonces

obtendremos:

y.1y.I

M2.u

1.yIM.21u 2 d.yl.1.IM.21d.l.1y.IM.21dVol.uU 22volvoll

La energa de deformacin absorbida por toda la pieza es igual a la suma de la que absorbe

cada una de las tajadas.

l1

.M.2

1U

l


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/2010 10

Si ponemos la curvatura en funcin del momento, tendremos:

EI.2

l.MU

2 (6.10)

A continuacin vamos a ver un ejemplo de aplicacin, calculando el giro en los apoyos de laviga de seccin constante de la figura 6.12:

Fig. 6.10

.M.M21

.2Text

l.EI2

Mdl

EI2

Mdl.

EI2

MU

2

L

2

L

2

EI2L.M

L.EI2

M.MUT

2

ext (6.11)

6.4. FLEXION RECTA EN SECCIONES DE DOS MATERIALES

Vamos estudiar este problema apoyndonos en el ejemplo de la figura 6.13, que trata de una

viga de seccin rectangular de madera que esta reforzada inferiormente mediante un fleje de acero. El

fleje esta unido a la madera de manera tal que se deforma solidariamente con sta.

En base a la consideracin anterior, es posible continuar aceptando como vlida la Ley de

Navier- Bernoulli, es decir que la seccin plana antes de la deformacin se mantiene plana luego de la

deformacin.

De acuerdo a la Ley de Navier- Bernoulli:

y)y( y considerando la ley de Hooke:

y.E1

E)y()y(

Fig. 6.13

y

z

MM

M


11/18


/2010 11

luego:

dy.b.d.dN)y()y(

dy.y.b.E

1dN

por razones de equilibrio debe ocurrir que: dy.b.E.1.ydN.yM 2 (6.12)Al resolver esta integral en toda el rea, nos encontraremos con elementos dy donde el

material es madera y otros donde es acero.

dy.y.b.E1

dN

dy.y.b.E1

dN

aa2

mm1

resultara muy prctico si de alguna manera, en forma ficticia, pudisemos convertir uno de los

materiales en el otro, de manera tal que esto facilite las integraciones.

dy.y.b.E1dy.y.b.n.E1dN

dy.y.b.EE

.E1

EE

.y.dy.b.E1

dN

hm

b

am2

a

n

m

am

m

maa2

h

Si en la zona donde tenemos acero cambiamos el ancho verdadero de la seccin por uno

ficticio bh = n.b que denominamos ancho homogeneizado, en la ecuacin del momento no aparecenlos diferentes materiales. Por otro lado sabemos que:

0dy.b.E.y1

0dN. (6.13)En esta integral no podemos sacar como factor comn E, ya que ste es funcin de y; sin

embargo, si realizamos la homogeneizacin, esto sera posible ya que en la zona donde esta el acero

estaramos tomando el ancho bh.-

0dy.b.y

Eh

m (6.14)El cumplimiento de esta ltima ecuacin nos hace ver que la ordenada y debe medirse a

partir del baricentro de la seccin homogeneizada.

Como conclusin podemos decir que valen las expresiones generales de la flexin recta, a

condicin de que tomemos en lugar de la seccin real, la misma homogeneizada.

2xh

21xh

1y.

I

My.

I

M

(6.15)la tensin 1 sera la que correspondera si en la fibra 1 tuvisemos madera. Como el ancho

real es bh/n, luego la tensin real en el acero ser:


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/2010 12

1a1.n (6.16)

Esto ltimo tal vez pueda ser apreciado mas exactamente si observamos en la fig.6.13 la fibra

3. Si consideramos dos fibras ubicadas infinitamente prximas a sta, una del lado de la madera y otra

del acero, ambas tienen prcticamente la misma deformacin; sin embargo, debido a la diferencia de

mdulos de elasticidad las tensiones son distintas,con lo que el diagrama real de tensiones resulta dis-

continuo.

Si en lugar de tener dos materiales hay mas, la

homogeneizacin deber realizarse sobre la base de uno

de ellos. En la Fig.6.14 se indica el caso de una seccin

rectangular compuesta de tres materia-les distintos.

6.5. FLEXION OBLICUA

6.5.1. Frmula de dos trminos

Como ya hemos dicho, este caso se presenta cuando la lnea de fuerzas no coincide con uno de

los ejes principales de inercia. Dado que los ejes principales de inercia son perpendiculares, y el vectorrepresentativo del momento es perpendicular al eje de fuerzas, tambin podemos decir que la flexin

oblicua surge cuando el vector momento no coincide con alguno de los ejes principales de inercia.

Esta situacin se presenta con mucha frecuencia en los elementos estructurales que forman

parte de los techos inclinados. Las cargas gravitacionales originan un eje de fuerza vertical, el cual no

coincide con los ejes principales, los cuales se orientan segn el plano del techo.

Si analizamos este problema de flexin debemos decir que:

sen.MM

cos.MM

0N;0M;0M

(6.17)

Como podemos aplicar el principio de superposicin de efectos, siendo cada uno de los valores

de componentes de momento casos de flexin recta, la tensin normal se obtiene a travs de :

.I

M.

I

MMM

(6.18)

Fig. 6.15f

n

f

M

M

n

M


13/18


/2010 13

Esta expresin recibe el nombre defrmula de los dos trminos en la flexin oblicua simple.

Si queremos encontrar la ecuacin del eje neutro, planteamos la condicin de tensin normal nula.

.

I

I.

M

M0.

I

M.

I

M0

La ecuacin del eje neutro indica que este resulta baricntrico pero no coincidente con algunos

de los ejes principales de inercia.

Para:

tg.I

I.1tgtg..

I

I

sen.MM

cos.MM(6.19)

En la figura anterior podemos ver como el diagrama de tensiones puede obtenerse por

superposicin de efectos. Algo importante a tener en cuenta es que las tensiones son perpendiculares

a la seccin, es decir son tensiones z. El diagrama se dibuja abatido para poder representarlo con

mayor comodidad.En el caso de una seccin transversal doblemente simtrica como la de la figura 6.16. la

tensin normal mxima puede calcularse de la siguiente forma:

admmx

mxmx

mxmxmx

W

M

W

M

WM

WM

IM.

IM.

IM.

IM

(6.20)

Esta frmula de dimensionamiento no es directa como la de flexin recta, ya que la misma

depende de dos parmetros geomtricos. El proceso de dimensionamiento resulta entonces iterativo,

debiendo proponerse una seccin y verificar la ecuacin anterior.

Para realizar un procedimiento lo mas acertado posible puede tenerse presente lo siguiente:

Fig. 6.16

f

n

f

n

(M)

(M)

(-)

(+)

(+

(-)

(-)

(+)


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/2010 14

W

Wr

M.rMW

M.rM.W

1M.

W

WM.

W1

W

W.

W

M

W

M

adm

r

mx

(6.21)

r 7 a 9

r 4 a 6

r h / b

Proponiendo un valor de r puede obtenerse un valor de Wx necesario, y con ste se elige la

seccin.

Como el valor de r no resulta en general tal como se lo supone, debe siempre verificarse la

ecuacin. Si esta ecuacin no se cumple, entonces deber adoptarse otra seccin.

Cuando la seccin no es doblemente simtrica, los puntos donde se dan la mxima tensin de

compresin y traccin no tienen porqu tener simultneamente como coordenadas los valores de xmx

e ymx. Por esta razn suele resultar muy prctico dibujar la seccin en escala y trazar el eje neutro,como el diagrama de tensiones resulta perpendicular a dicho eje es posible determinar grficamente

las posiciones donde las tensiones son mximas, an sin calcular los valores.

6.5.2. Frmula de un trmino.

En virtud de considerar como vlidas las hiptesis de Navier- Bernoulli y la Ley de Hooke,

podemos decir que la tensin normal que surge como consecuencia del efecto de flexin ser

proporcional a la distancia al eje neutro medida desde el punto de aplicacin de la misma.

Hiptesis de Navier- Bernoulli:

n

y

Ley de Hooke: .E Entonces:

nn)y()y(y.y.E

1E (6.22)

Sobre un elemento diferencial de rea, debido a la tensin , existir una fuerza dN:

d.dN


15/18


/2010 15

Por razones de equilibrio:

0S0d.yd.y.

0d.dN

nnn

(6.23)

para que la condicin dada por la ecuacin anterior se satisfaga, debe ocurrir que el eje neutro

sea baricntrico. En la figura 6.17 as lo ubicamos porque ya conocamos el resultado a partir de lodesarrollado en el tem anterior.

Tambin por razones de equilibrio deber ocurrir:

0dN.xf

(momento con respecto al eje de fuerzas)0Id.y.x

0d.y.x.dN.x

nfnf

nff

(6.24)

De la ltima ecuacin se obtiene que el eje neutro y el eje de fuerzas son conjugados de iner-

cia. Si desarrollamos la ecuacin :

sen.MdN.yn (momento con respecto al eje neutro)obtenemos:

nn

2

n

2

nn I

sen.Msen.MI.d.yd.y.dN.y

con lo que:

nn

yIsen.M (6.25)

Fig. 6.17

y

xx

y

G

n

f

M

Yn

(-)

(+)

Xf

M.sen


16/18


/2010 16

Esta ltima frmula recibe el nombre defrmula de un trmino en la flexin oblicua simple, y

para poder utilizarla es necesario tener previamente ubicado en el eje neutro. La posicin del mismo

queda definida conociendo el valor del ngulo . Para calcular el valor de este ngulo, puede

emplearse la siguiente expresin:

tgII

tgII)(tg

.yxy

.xyx(6.26)

Debido a que tambin hay que conocer el momento de inercia con respecto al eje neutro, suele

ser conveniente aplicar el crculo de Mohr para inercias (crculo de Mohr- Land).

Fig. 6.18

Usando el crculo de Mohr, en realidad no es necesario medir el ngulo , ya que puede

medirse directamente In/sen.

In / sen = AP x Esc.Inercia.n

n

y.

senI

M

La frmula de un trmino puede resultar prctica, pero puede ser usada nicamente en verifi-

caciones, es decir, cuando la seccin ya ha sido dimensionada.Luego de las conclusiones obtenidas en este tem, podemos dar un nuevo concepto de flexin

recta y oblicua. La flexin se dice recta cuando el ngulo que forma el eje de fuerzas y el eje neutro es

un ngulo recto, es decir, que ambos ejes son perpendiculares. Como el eje neutro y el eje de fuerzas

son conjugados, esto solo puede darse cuando el eje de fuerzas coincide con un eje principal deinercia. Cuando la flexin no es recta se dice que es oblicua.

Ix

IyIxy

P

y

xx

y

G=o

c

n

f

B

AIn

tg

In/sen

M

yn


17/18


/2010 17

6.6. FLEXION EN VIGA DE EJE CURVO

Para estudiar el efecto de la flexin en una viga de eje curvo, se considerarn solamente

secciones que tengan un eje de simetra y el plano de accin del Momento Flector conteniendo a dicho

eje de simetra y al eje de la pieza. Analizaremos, como en temas anteriores, solo el caso de relacin

lineal entre solicitacin y deformacin y de que el mdulo de elasticidad es el mismo a traccin que a

compresin.Consideremos un elemento curvo como el que se muestra en la figura. El punto O define la

posicin del centro de curvatura; la pieza esta sometida nicamente a Momento.

De todo el sector curvo estudiaremos el comportamiento de la porcin definida por el ngulo

, determinndose dos secciones prximas entre si, la AB y la CD. Ambas secciones tienen su bari-centro a distancia R de c.c.

Debido a M, la porcin en estudio se va a deformar; hay fibras que se acortan, fibras que se a-

largan y fibras neutras. Como hiptesis suponemos que las secciones perpendiculares al eje de la pie-

za, permanecen planas luego de deformadas.

La seccin CD permanece plana luego de deformarse y ocupa una posicin CD con un girorelativo d, suponiendo que la seccin AB se mantiene en su posicin primitiva.

Aunque la hiptesis bsica de deformacin es la misma que para vigas rectas, y por Ley de

Hooke, la tensin normal E. ac tenemos una variante. La longitud inicial de una fibra como la

EF depende de la distancia al centro de curvatura . por lo tanto, aunque la deformacin total de las

fibras de (descriptas por el pequeo ngulo una viga d) sigue una ley lineal, con las deformaciones

especficas no sucede esto. El alargamiento de una fibra genrica, EF es (r-). d, donde r es la dis-

tancia desde el punto O hasta la superficie neutra (no conocida todava), siendo su longitud inicial i-

gual a x .La deformacin de nuestra fibra arbitraria es:

)yr( dyd)r(ll (6.27)siendo y la distancia de la fibra genrica respecto de la superficie neutra.

Para el elemento d , la tensin normal:

)yr(

y.

d.E.E (6.28)

En esta ultima ecuacin, para la misma seccin E, d, , r son constantes)yB(

yA ,expresin que representa una funcin hiperblica.

En (6.28 ) tenemos dos incgnitas, que son la ubicacin de las fibras neutras r y el giro re-

lativo d. Para definirlas utilizaremos dos condiciones de la esttica.


18/18


Teniendo en cuenta que sobre la seccin, solo se ha aplicado M, debe cumplirse que la suma de

las fuerzas que actan perpendicularmente a la seccin tome valor 0.

.d.rd.E.

.d.)yr(

yd.E.d.

)yr(

y.

d..Ed.0F

N Siendo E, d, , constantes, deber ser nula la integral

.dr0.d.

r(6.29)

Observando que el eje as definido difiere de la posicin del baricentro (G).

Una vez conocida la posicin del eje neutro, la expresin para la distribucin de esfuerzos seobtiene igualando el momento externo aplicado, al momento interno resistente.

Tomamos momento en la seccin respecto del eje n determinado por las fibras neutras:

d.yd.y

0d.yd.E.

d.)yr(

yrd.y

d.E.M

d.yr

y.ry

d.E.d.yy

)yr(

yd.E.M

.d.)yr(

yd.E.d.)yr(

y.d..Ey.d.M0M

2

22

n

(6.30)

donde la integral representa el momento esttico del rea de la seccin recta respecto de la l-nea neutra. Siendo e la separacin entre le baricentro y la lnea neutra, se debe cumplir:

rResiendoe.d.y (6.31)La distancia e se mide en sentido contrario al considerado como positivo para y.

Finalmente:

C

C

C

D

DD

y.

e.

M

y.

e.

M

y.

e.

M

e.Md.E.e..d.E.M

(6.32) Fig. 6.20

A diferencia del caso de viga de eje recto, donde la variacin de tensin es lineal, en el caso deeje curvo, la variacin es hiperblica. El eje neutro no coincide con el baricentro geomtrico de la

seccin, trasladndose hacia el Centro de Curvatura.

inferior =C

* Gnn

superior =D

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