1

Fizica cuantica partea I-a

I. Originile mecanicii cuantice

1 Radiatia termica

1.1 Introducere

Este bine cunoscut faptul c pe seama diferitelor forme de energie, corpurile pot emite unde electromagnetice. Radiaia electromagnetic obinut pe seama energiei interne a corpurilor poart numele de radiaie termic. Toate celelalte tipuri de radiaie ( obinute pe seama altor forme de energie dect cea intern) sunt combinate n termenul de luminescen.

Astfel descrcrile n gaze reprezint fenomenul de electroluminescen, emisia de radiaie de ctre corpuri bombardate cu electroni poart numele de catodolumionescen iar emisia de radiaie pe baza radiaiei electromagnetice absorbit de corpuri este numit fotoluminescen, iar .

Orice substan aflat la o temperatur superioar lui 0 K emite radiaie termica.

Din punct de vedere fizic, principala problem referitoare la radiatia termica este legat de explicarea distribuiei energiei n spectrul acesteia.

1.2 Radiaia termic de echilibru

Presupunem un corp, care emite unde electromagnetice pe seama energiei sale interne (radiaie termic), aflat ntr-o incint vidat cu pereii considerai suprafee perfect reflecttoare. Radiaia reflectat de pereii incintei va fi absorbit de corp (parial sau complet). Ca urmare ntre corp i radiatia din cavitate va avea loc un schimb continuu de energie. Dac distribuia de energie ntre corp i radiaie rmne constant pentru orice lungime de und, starea sistemului alctuit din corp i radiaie va fi una de echilibru. Experienta arata ca singura radiatie, care se poate afla in echilibru cu corpurile emitatoare este radiatia termica.

Existena radiaiei termice de echilibru (radiaia electromagnetic aflat n echilibru cu corpul emitor) nu poate obine o explicaie corespunztoare plecnd de la legile fizicii clasice. Este uor de observat cum dou fenomene asemntoare din punctul de vedere al fizicii clasice nu pot fi explicate cu ajutorul acesteia. Astfel o bucat de fier, aflat la temperatura de 0C ntr-o incint vidat emite o energie de 5103 erg/secund pe fiecare centimetru al suprafeei sale n timp de o secund i se afl n echilibru cu o radiaie termic avnd o densitate de energie de 5104 erg/cm 2 . Pe de alt parte densitatea energiei termice n interiorul bucii de fier este de 9108 erg/cm3, fiind de

14102 ori mai mare dect aceea a radiaiei. Aceast energie este datorat vibraiei atomilor n jurul poziiilor lor de echilibru. Concluzia care se desprinde imediat este c in cazul atomilor de fier care vibreaz, aflai n echilibru termodinamic cu energia termic de echilibru, aproape toat energia este concentrat n atomii aflai n micare

2

de vibraie i doar o mic parte din aceast energie se afl n radiaia termic de echilibru. Acest fenomen este de neneles din punct de vedere al mecanicii clasice. Fie un model simplu corespuntor din punct de vedere clasic cu cel descris mai nainte: la suprafaa unei ape aflat ntr-o incint se afl un sistem de dopuri legate prin resorturi, intr-un astfel de mod nct ele pot oscila unul fa de altul. Dac facem s vibreze dopurile, acestea vor comunica energia lor apei cu suprafaa linitit la momentul iniial, observndu-se formarea unor unde. Undele se vor propaga la suprafa n direcii diferite, reflectndu-se pe pereii rezervorului divizndu-se n unde din ce n ce mai mici, iar ele se vor transforma ca urmare a vscozitii n energie caloric. Dup un timp energia dopurilor se va transforma n ntregime n energie caloric, dopurile transferndu-i energia mediului nconjurtor. Deosebirea dintre cele dou experiene este evident. Pe baza conceptelor fizicii clasice este imposibil s se poat explica diferena dintre densitile energiei electromagnetice din interiorul bucii de fier i accea a radiaiei termice de echilibru. Capacitatea radiaiei termice de a fi n echilibru cu corpurile ce emit radiaie termic se datoreaz faptului c intensitatea ei este dependent de temperatur. Astfel dac se consider o violare a echilibrului dintre radiaie i corp, corpul va emite mai mult energie dect absoarbe, avand loc o scdere a energiei corpului ceea ce va duce la o scdere a temperaturii. Acest lucru va conduce la o reducere a cantitii de energie emise de corp. Temperatura corpului se va micora pn ce cantitatea de energie emis va fi egal cu cantitatea de energie absorbit. Aadar violarea echilibrului dintre corp i radiaie genereaz procese care conduc la restaurarea echilibrului. Studiile experimentale asupra radiaiei termice arata ca aceasta are urmtoarele proprieti caracteristice: - spectrul su se ntinde n mod continuu pe ntreg domeniul de frecvene ntre 0 i

; - la echilibru termodinamic, radiaia termic este omogen i izotrop (are aceleai

proprieti n toate punctele i dup toate direciile); - radiaia termic este total nepolarizat.

n continuare prezentm mrimile care caracterizeaz radiaia termic de echilibru. Intensitatea radiaiei termice este caracterizat de fluxul de energie msurat n watti. Fluxul de energie emis de unitatea de suprafa a unui corp n toate direciile (n interiorul unui unghi solid de pi2 ) este cunoscut ca emitan radiant a corpului-R. Emitana radiant este o funcie de temperatur.

Energia radiaiei pe unitate de volum constituie densitatea de energie i va fi notat cu w fiind o mrime dependent de temperatur. Densitatea de energie a radiaie corespunztoare unui interval de frecven d este w i este legat de densitatea de energie prin relaia:

=0

dww (1.1) Dac se cosider c fluxul de energie emis pe unitatea de suprafa, a corpului

n intervalul de frecven d este dR atunci se poate scrie:

=0

dRR (1.2) unde drdR = (1.3)

r reprezentnd puterea spectral de emisie sau emisivitatea corpului.

3

Dac fluxul de energie d datorat radiaiei cu frecvena n intervalul d cade pe o suprafa elementar a corpului i id este fluxul absorbit de corp atunci mrimea definit de relaia:

=

dd

ai

T (1.4) este puterea spectral de absorbie sau absorbitivitatea corpului. Ea este o funcie de frecven i de temperatur. Prin definiie puterea spectral de absorbie este mai mic dect unitatea. Corpul ce absoarbe radiaia asociat tuturor frecvenelor ce cade pe el este cunoscut ca fiind corp negru. Corpurile cu 1

4

puterea spactral de absorbie ale unui corp. Vom presupune c un numr de corpuri se afl ntr-o incint vidat la temperatura T (fig. 1.2)

1

2

3

Fig. 1.2.

Corpurile pot schimba energie ntre ele doar prin emisie i absorbie de unde electromagnetice. Experiena arat c toate corpurile vor ajunge ntr-o stare de echilibru termodinamic atunci cnd ele vor avea aceeai temperatur T, egal cu temperatura incintei. n aceast stare, un corp cu o anumita putere spectrala de emisie va emite mai mult energie pe unitate de suprafa n unitatea de timp, dect un corp cu puterea spectral de emisie mai mic. Deoarece temperatura (i deci energia) corpului nu se schimb, atunci corpul ce emite mai mult energie va absorbi mai mult, deci va avea o putere spectral de absorbie mai mare. ntre cele dou marimi exist urmtoarea relaie:

......

21

=

==

=

iT

T

T

T

T

T

a

r

a

r

a

r

(1.5)

Relaia (1.5) reprezint legea stabilit de Kirchhoff, care se enun astfel: raportul dintre puterea spectral de emisie i puterea spectral de absorbie nu depinde de natura corpului, el este o funcie universal de fecven i de temperatur pentru toate corpurile:

),( Tfa

r

T

T

= (1.6)

unde f(,T) este funcia universal a lui Kirchhoff. Este evident c pentru un corp negru funcia universal a lui Kirchhoff este egal cu puterea spectral de emisie ( 1=Ta ). n studiile teoretice este mai convenabil s se utilizeze funcia de frecven, iar n studiile experimentale se utilizeaz mai frecvent funcia dependent de lungimea de und (,T). Cele dou funcii sunt legate prin relaia:

),(2

),(2),(2

2 TcTcTf

pi

pi == (1.7)

sau

= TccTf ,22),( 2

pi

pi (1.8)

5

1.4 Legtura dintre densitatea spectral a energiei radiaiei termice de echilibru i funcia lui Kirchhoff

Densitatea de energie spectral a radiaiei termice de echilibru este legat de emitana corpului negru R* printr-o expresie simpl, care va fi dedus n continuare.

Considerm o cavitate vidat cu perei corp negru. La echilibru un flux de aceeai densitate va trece prin fiecare punct n interiorul cavitii n orice directie. Dac radiaia s-ar fi propagat ntr-o direcie dat ( adic doar o raz ar trece printr-un punct), densitatea fluxului de energie la punctul considerat ar fi egal cu produsul dintre densitatea de energie si viteza luminii n vid c. Deoarece o multime de raze ale cror direcii sunt uniform distribuite n interiorul unui unghi solid de 4pi, fluxul de energie cu este de asemenea distribuit uniform n interiorul limitei de unghi solid. n consecin, un flux de energie a crui densitate este:

j=pi4

cu d (1.9)

va trece prin fiecare punct n interiorul limitei unghiului solid d. Lum o arie elementar S pe suprafaa cavitii (fig. 1.3)

d r

r Scos

S

Fig. 1.3.

Aceast arie emite urmtorul flux de energie n interiorul limitei de unghi solid ddd sin= , in direcia ce face unghiul cu normala rr :

pi

cos4

cos SdcuSdjd e == sau

pi

ddScue sincos4= (1.10)

Aria S emite fluxul de energie:

6

===2

0

2

0 4sincos

4pi pi

piSucddScud ee (1.11)

n toate direciile care se afl n interiorul limitelor unghiului solid 2pi. n acelai timp, fluxul de energie emis de aria S poate fi gsit multiplicnd emitana radiant R* cu S: SRe = * (1.12) Pe baza relaiilor (1.11) i (1.12) rezult: u

cR4

* = (1.13) Ecuaia (1.13) trebuie s fie satisfcut de fiecare component spectral a radiaiei. Rezult c

),(4

),( TwcTf = (1.14) Aceast relaie leag emitana radiant a corpului negru i densitatea spectral a energiei radiaiei termice.

1.5 Legile radiaiei termice de echilibru

1.5.1 Legea Stefan-Boltzmann

O prim lege a radiaiei corpului negru a fost stabilit experimental n anul 1879 de fizicianul austriac Stefan. Din analiza datelor experimentale el a ajuns la concluzia c emitana radiant a oricrui corp este proporional cu puterea a patra a temperaturii absolute. n 1884, fizicianul austriac Boltzmann a obinut pe baza unor considerente termodinamice valoarea emitanei radiante a corpului negru:

==0

4),()(* TdTfTR (1.15) unde este o constant i T este temperatura absolut. Aadar concluzia lui Stefan este adevrat doar pentru corpul negru. Valoarea lui este:

4281067,5

RmW

=

fiind obinut pe considerente experimentale. Pe considerente termodinamice se gsete i o alt form a legii Stefan-Boltzmann, care leag densitatea de enrgie a radiaiei termice de echilibru (corpului negru) de temperatur

w=aT4 (1.16)

1.5.2. Legea Wien i legea deplasrii Wien

n anul 1893 fizicianul german Wilhelm Wien folosind teoria electromagnetismului n combinaie cu conceptele termodinamicii a artat c densitatea spectral de energie a radiaiei termice de echilibru este dat de relaia:

=

TFTw

3),( (1.17) care este cunoscut sub denumirea de legea Wien.

7

Relaia (1.17) ofer o relaie pentru w care coincide cu rezultatele experimentale, doar n domeniul frecvenelor nalte. Utilizand relaia (1.7), relaia (1.17) se scrie:

)(1222),( 53

2 TTcFccTw

pi

pi

pi =

= (1.18)

unde este o funcie de produsul )( T . Relaia (1.18), ofer posibilitatea de a stabili o legtur ntre lungimea de und m ce corespunde maximului funciei w(,T) i temperatur. Astfel, derivnd relaia (1.18) n raport cu se obine:

[ ])(5)('1)(5)('1 665 TTTTTTddw

+= (1.19)

Expresia din parantez este o anumit funcie (,T). La lungimea de und m care corespunde maximului funciei w(,T) derivata dat de (1.19) se anuleaz, nct: 0)(16 ==

=

Td

dwm

mm

(1.20)

Din experien se tie c m este finit, ceea ce nseamn c va trebui satisfcut condiia (mT)=0. Rezolvnd ecuaia (1.20) n raport cu (mT) se va obine pentru acest produs o valoare constant, care se noteaz cu b. Deci putem scrie: mT=b (1.21) relaie ce reprezint legea deplasrii Wien. Valoarea experimental a constantei este: mKb 3109,2 = (1.22) In fig. 1.4 este reprezentata densitatea de energie pentru diferite temperaturi ale corpului

Fig. 1.4 Functia w () pentru diferite temperaturi ale corpului.

8

1.5.3 Legea Rayleigh-Jeans

Fizicienii englezi John William Strutt (Lord Rayleigh) i James Jeans au determinat densitatea spectral a energiei pe baza teoremei de echipartiie a energiei din fizica statistic i folosind densitatea de unde staionare rezultat din electromagnetism. Noi vom deduce mai nti numrul de unde staionare pe unitatea de volum existente ntr-o cavitate unde se afl unde electromagnetice, care se reflect pe pereii cavitii. Metoda utilizat se bazeaz pe ecuaia de propagare a luminii n vid:

2

2

22

2

2

2

2

2 1tczyx

=

+

+

(1.23)

unde este o variabil a cmpului electromagnetic, care este funcie de x, y, z i t. Considerand o unda armonica de frecven : )exp(),,(),,,( 0 tizyxtzyx = (1.24)

nlocuind (1.24) in ecuaia (1.23) obinem ecuaia atemporal sub forma: 002

2

02

=+c

(1.25)

Consderand ca undele se afla intr-o cavitate cubic de latur a iar ca urmare a reflexiilor pe pereti se formeaza un sistem de unde stationare. Utiliznd metoda separrii variabilelor se obine pe baza ecuaiei (1.25) i utiliznd condiiile la limit pentru undele stationare (anularea lui 0 pe peretii cavitatii: x, y, z=0 i x, y, z=b ) se obtine urmtoarea form pentru 0:

=

a

zn

a

yma

xlA pipipi sinsinsin0 (1.26) unde A este amplitudinea, iar l, m i n sunt numere naturale.

Substituind (1.26)n (1.24) se obine:

2

2

2

222222

ca

nml pipipi=

++

sau

22

22222

c

anml

pi

=++ (1.27)

Orice grup de numere (l, m, n) determin un mod particular de vibraie al undelor n cavitate i pentru o frecven unghiular dat ecuaia (1.27) este o limitare a numerelor posibile. Putem considera valorile l, m, n ca punctele unei reele cubice cu valorile descrise de l n lungul axei x, de m n lungul axei y i de n n lungul axei z. La valori foarte mari ale lui l, m, n putem privi distribuia ca un

9

continuum, iar ecuaia (1.27) reprezint sfera de raz

c

a

pi

n coordonate (l, m, n). n particular, toate punctele cu frecvene unghiulare mai mici dect o anumit valoare se afl n interiorul octantului pozitiv al sferei (fig. 1.5) n

octant de raz

c

a

pi

Fig. 1.5.

Dac construim doi octani de raz

c

a

pi

i respective ( )

c

adpi

+ , volumul

nchis n interiorul pturii sferice este egal cu numrul de moduri de vibraie dintre frecvenele unghiulare i (+d). Avem deci:

23

322

284)(

pi

pi

c

dadrrdN == (1.28)

dac: c

ar

pi

= .

Aceast metod permite enumerarea modurilor de vibraie posibile ntr-un sistem nchis de orice form. S-a gsit c numrul de moduri pe unitate de volum este indepemdent de forma incintei. Teoria complet a undelor electromagnetice arat c numrul de moduri terbuie s fie dublat innd seama de existena a dou unde polarizate transversal. Numrul de unde pe unitatea de vloum cu frecvene cuprinse ntre i +d este:

pi

d

cdn 32

2

)( = (1.29) La echilibru fiecrui mod i corespunde o energie medie egal cu kT, astfel nct densitatea spectral a energiei va fi:

pi

kTd

cdw 32

2

= (1.30) Expresia (1.30) este cunoscut ca formula Rayleigh-Jeans. Ea concord cu rezultate experimentale n domeniul frecvenelor joase. Integrarea ecuaiei (1.30) cu

10

privire la ntre 0 i d o valoare infinit de mare pentru densitatea de energie w(T). Acest rezultat, numit de Ehrenfest catastrofa de ultraviolet contrazice rezultatele experimentale.

1.5.4. Legea lui Planck

n anul 1900, fizicianul german Max Planck a determinat o form a funciei w(,T) care a corespuns exact rezultatelor experimentale. El a fcut o presupunere n total contradicie cu noiunile fizicii clasice, aceea c radiaia electromagnetic este emis sub forma unor poriuni separate de energie numite cuante a cror mrime este proporional cu frecvena radiaiei: h= (1.31) Constanta de proporionalitate h a fost numit constanta lui Planck. Valoarea ei este sJh = 341062,6 (1.32) Relaia (1.31) se mai scrie n funcie de frecvena unghiular h= (1.33) unde costanta h are valoarea

sJh == 3410054,12pi

h

Aa cum se vede, unitatea de msur a constantei lui Planck este aceeai cu a mrimii din mecanic numit aciune. n condiiile n care radiaia este emis n pachete de h , energia ei trebuie s fie un multiplu al acestei cantati: hnn = (n=0, 1, 2.) (1.34) ntr-o stare de echilibru energia este distribuit modurilor de oscilaie n conformitate cu legea lui Boltzmann. n concordan cu aceast lege probabilitatea Pn ca energia de oscilaie s fie n este dat de relaia:

==

n

n

n

nn

kT

kTNNP

exp

exp (1.35)

unde Nn reprezint numrul de moduri de oscilaie cu energia n, iar N este numrul total de oscilatori. Utiliznd probabilitatea Pn dat de relaia (1.35) se poate scrie valoarea medie a energiei: =

n

nnP (1.36)

deci:

( )( )

=

=

=

0

0

exp

exp

n

n

kTn

kTnn

h

hh

(1.37)

Pentru a uura calculele facem substituia : xkT

=

h, relaia (1.37) devenind:

11

=

=

=

=

=

0

0 )exp(ln)exp(

)exp(

n

on

n nxdxd

nx

nxn

hh (1.38)

Suma de sub logaritm este suma termenilor unei progresii geometrice cu raia exp(-x). Progresia va fi una descresctoare, iar suma vafi:

)exp(11)exp(

xnx

= .

Introducnd aceast sum n relaia (1.38) se obine: )exp(1

)exp()exp(1

1lnx

x

xdxd

=

= hh

sau prin nlocuirea lui x:

1exp

=

kT

h

h (1.39)

Densitatea energiei ce cade in intervalul d se obine nmulind cu densitatea de moduri de oscilaie dat de relaia (1.29): 32

2

1exp),(

c

d

kT

Twpi

=

h

h (1.40)

Aceast relaie reprezint formula lui Planck i este valabil pe tot domeniul de frecvene. Utiliznd relaia (1.40) pot fi deduse legile radiaiei termice de echilibru Ale cror expresii au fost scrise ceva mai nainte.

Probleme

1. O sfer de cupru de raz r=1cm cu suprafa perfect neagr este plasat ntr-o incint vidat ai crei perei sunt rcii n apropierea temperaturii de 0 K. Temperetura iniial a sferei este T0=300 K. s se determine n ct timp temperatura sferei scade de n=1,5 ori. Se cunosc cldura specific a cuprului c=0,38kJ/kg.K i densitatea cuprului =8,9g/cm3. Rezolvare: Conform legii Stefan-Boltzmann,

4TdSdR == , (1)

unde fluxul este:

dtdT

crdt

mcdTdt

dW pi 334

=== . (2) Integrnd relaia (1) rezult:

424 4 TrST pi == . (3) Egalnd relaiile (2) i (3) rezult: dTTcrdt 4

31

=

. (4)

Integrnd relaia (40 ntre T0 i T0/n se obine:

12

6,19)1( 303 == Tnrct ore.

2. Folosind formula lui Planck referitoare la densiatea spectral de energie s se determine: a) expresia ce d numrul de fotoni pe cm3 n interiorul intervalului spectral

(, +d) i (, +d); b) numrul de fotoni9 pe cm3 la temperatura T=300 K; c) energia cea mai probabil a fotonilor; d) valoarea medie a energiei fotonilor

la temperatura T=1000 K. Rezolvare

a) 1exp

1 232

==

kT

dc

dwdn

pi

hh. (1)

Cum pi

c2

= i deci pi

dcd 22

= din (1) rezult:

12exp8

4

=

pi

pi

kTc

ddnh

. (2)

b) Numrul total de fotoni din unitatea de volum va fi, innd seama de (1),

=

0

2

32

1exp

1

kT

dc

n

pi h. (3)

Cu notaia xkT

=

h, integrala din relaia (3) este:

0

2

405,21]exp[x

dxx. (4)

Introducnd (4) n (3):

83

105,5243,0 =

=

c

kTn

h cm3. (5)

c) Energia cea mai probabil este prpr h= , unde pr se determin efectund:

0=d

dn. (6)

Cu notaia xkT

=

h, relaia (60 devine:

xex = 22 , (7) ecuaie a crei rezolvare grafic d: 6,1x 6,1x . Aadar: 14,06,1 == kTprh eV.

d) Calculm mai nti energia tuturor cuantelor din unitaea de volum: E=

0 dnh . (8)

Introducnd n (8) dn dat de (1) se obine:

13

E=

0

3

32

1expkT

dc

pi h

h. (9)

Utiliznd din nou notaia xkT

=

h, (9) devine:

E=

0

4

32

3

4

44

32 49,61]exp[ hh

h

h kTcx

dxxTkc pipi

. (10)

Pe baza relaiilor (9) i (5) rezult: 23,07,2 === kT

n

E eV.

3. Cunoscndu-se legea lui Wien

=

TfTw 3),( , se cere:

a) S se arate cum aceasta conduce la legea Stefan-Boltzmann. b) S se demonstreze c dac se d curba de distribuie a energiei n spectrul

radiaiei corpului negru, pentru o temperatur T, se poate construi o curb analoag pentru o alt temperatur T1.

c) S se arate c din aceast lege rezult expresiile .constT

m=

sau

.constTm = , unde m i m corespund maximului densitii spectrale de energie.

Rezolvare

a)

=

==

0 0

3),()( dTfdTwT

==

=

0 0

4343

4 )( aTdxxfxTT

dT

fT

T (1)

b) innd seama de relaia: constTT

==

1

1, (2)

se obine:

),(),(3

1

1

131111

TwTT

TfTw

=

= . (3)

Deci, dac abscisele sunt n raportul 1T

T, atunci ordonatele sunt n raportul

31

TT

.

Aceeai problem se poate rezolva pornind de la relaia .11 constTT == (4) Atunci, se obine:

5

1

51

1 ),(),(

1

=

=

TT

TwTw

. (5)

14

Deci, n acest caz, dac abscisele sunt n raportul 1T

T, ordonatele sunt n raportul

51

TT

.

d) Punnd condiia: ( ) 0'13, 32 =

+

=

Tmf

TTmf

dTdw

mm

(6)

rezult:

03'

=+

TT

fT

fm

m

m

, adic, (7)

.constT

m=

Deoarece dTwdTw ),(),( = ,, din

=

TfTw 3),( , innd

seama c pi

c2

= , rezult:

),(1),( 5 TgTw = . (8)

Dac se pune condiia:

0)(')(5),( 56 =+= TTgTgd

Tdw

, (9) se obine:

05)()('

=

TgTg

Tm

m

m , adic:

bconstTm == . (aa numit lege de deplasare a lui Wien)

4. Cunoscnd formula lui Planck pentru densitatea de energie spectral emis de un un corp negru:

1exp),( 32

2

=

Tkc

Tw

B

pi

h

h,

se cer:

a) S se obin expresiile pentru ),( Tw i ),( Tw . b) S se determine constanta lui Stefan-Boltzmann 4TB = i constanta lui

Wien din legea de deplasare a lui Wien bTm = , funcie de constantele h , c i kB. Rezolvare

15

a) din expresia: ( ) ( ) dTwdTw ,, = , (1)

rezult:

[ ]1exp

18),(),( 33

2

==

=

Tkhc

hddTwTw

B

pi

pi . (2)

De asemenea, deoarece: dTwdTw = ),(),( , (3)

[ ] ===

pi

ddTwTw c2),(),(

11exp

185

=

Tkhc

ch

B pi

, (4)

unde: 22pi

c

dd

= .

b)

==

pi

0 0

34

332

4

1]exp[),()( xdxxT

hckdTwTw B . (5)

Deoarece:

( )...]3exp[]2exp[]exp[]exp[1]exp[

1]exp[3

33

+++=

=

xxxxx

xx

x

x i

=

04

3 6]exp[n

dxnxx , se obine:

15...

31

2116

1]exp[4

044

3 pi=

+++=

x

dxx. (6)

Introducnd rezultatul (6) n relaia (5) rezult:

433

42

15)( T

hck

Tw Bpi= . (7) Se tie c:

)(4

)( 4 TwcTTB == . (8) Din relaiile (7) i (8) rezult:

42832

42

1076,560

= KmWc

kBh

pi . (9)

Din expresia 0),( =

dTdw

, rezult:

xx = ])exp[1(5 , (10) unde:

Tkhc

xmB 1

= i bTm = .

(11) n expresia (10), se nlocuiete = 5x i se obine:

16

= ]exp[]5exp[5 (12) Dac

17

doar radiaia X de frnare. n figura 1.6 sunt nftiate curbele experimentale care arat cum este distribuit pe lungimea de und puterea radiaiei de frnare pentru diferite valori ale tensiunii U.

ddp

U=50keV U=40keV U=30keV

min

Fig. 1.6

n concordan cu teoria electromagnetismului clasic, cnd un electron este decelerat, va apare radiaie avnd toate lungimile de und de la zero la infinit. Rezultatele experimentale prezentate n figura 1.6 arart c teoria este infirmat, deoarece exist o lungime de und minim (o frecven maxim ) asociat tensiunii de accelerare, dat de relaia:

U12390

= (2.1) unde U este n voli, iar n angrstomi. Existena lungimii de und minime este legat de natura cuantic a radiaiei. Dac radiaia se obine pe seama energiei electronului, atunci energia cuantei h nu poate depi energia electronului eU, deci eUh (2.2) Relaia (1.42) permite obinerea fecvenei max i deci alungimii de und minime min, avnd valoarea:

( )U

ecc /22max

minhpi

pi == (2.3)

Determinnd valoarea lui h din ecuaiile (2.1) i (2.3) se obine un rezultat foarte precis .

2.2 Efectul fotoelectric

Prin efect fotoelectric se nelege fenomenul de emisie a electronilor de ctre o substan sub aciunea luminii. Fenomenul a fost descoperit de fizicianul german Heinrich Hertz n 1887. El a observat c o descrcare care se produce ntre doi electrozi poate avea loc mult mai uor dac unul dintre electrozi este iluminat cu un fascicul de raze ultraviolete.

18

Dispozitivul experimental este reprezentat n figura 1.7.

Q

C A

V

G P

Fig 1.7

Lumina care ptrunde prin fereastra de cuar Q, cade asupra catodului C. Electronii emii n urma efectului fotoelectric se mic suc aciunea cmpului electric spre anodul A. n circuit apare un fotocurent, care este msurat cu galvanometrul G. Tensiunea dintre anod i catod poate fi variat cu poteniometrul P. Se obin urmtoarele rezultate experimentale, care reprezint legile experimentale ale efectului fotoelectric:

a) Dac se msor intensitatea curentului electric ca funcie de tensiunea dintre electrozi la =ct, lund fluxul ca parametru se obine o proporionalitate ntre curentul de saturaie i fluxul luminos ce cade pe catodul celulei

= 1CI S (2.4)

n figura 1.8 se prezint evoluia fotocurenilor ca funcie de tensiune lund lund fluxul ca parametru.

I 3 123 >> IS3 2

19

IS2 1 IS1

Vr V Fig 1.8

n figura 1.8 se observ c anularea tensiunii dintre anod i catod nu conduce la anularea fotocurentului. Acesta se anuleaz pentru o valoare negativ Vr a tensiunii, n aceast situaie electronii sunt frnai i nu mai pot ajunge la catod. b) Meninnd fluxul care cade pe catod constant i variind fecvena se obine

rezultatul prezentat n figura 1.9, unde se vede c la creterea frecvenei luminii are loc o scdere a tensiunii de frnare.

I 1 3>2>1 2

3

V Fig. 1.9

c) Experiena arat c exist o frecven limit sub care efectul fotoelectric nu se produce. Reprezentarea grafic a tensiunii de frnare ca funcie de frecven este prezentat n figura 1.10. n figur p reprezint frecvena de prag, sub care efectul fotoelectric nu se produce.

V

p

20

Fig. 1.10

d) Efectul fotoelectric este practic instantaneu, timpul dintre momentul iluminrii i cel al apariiei fotocurentului fiind inferior lui s810 . ncercnd s explice rezultatele experimentale prezentate mai sus, fizica clasic s-a aflat n faa unor bariere de natrecut. Astfel electronii aflai n pturile superficiale ale atomilor sunt accelerai sub influena undelor luminoase, iar n momentul acumulrii unei energii suficient de mari, ei vor fi eliberai indiferent de frecvena radiaiei, lucru care n realitate nu se petrece. n cadrul teoriei clasice se consider c energia este distribuit uniform pe

suprafaa de und, ceea ce ar nsemna c timpuln care electronul ar acumula suficient energie pentru a prsi metalul ar fi foarte mare, fapt ce conytrazice realitatea. Rezultatele experimentale obinute asupra efectului fotoelectric pot fi explicate uor dac se admite ipoteza lui Einstein (1905), care presupune c efectul fotoelectric se produce ca urmare a interaciei dintre doi corpusculi foton-electron ( cu anihilarea fotonului ), fotonul fiind cuanta elementar a undelor electromagnetice. Pe baza acestei ipoteze se poate scrie ecuaia bilanului energetic ca urmare a ciocnirii foton-electron:

2

2mvA +=h (2.5)

unde h este energia fotonului, A este lucrul de extracie al metalului, iar 2

2mv

reprezint energia cinetic a fotoelectronului emis n urma interaciei cu fotonul. Efectul fotoelectric i lucrul de extacie depind puternic de suprafaa metalului (n particular de oxizii i de substanele absorbite de ea). Din acest motiv, formula lui Einstein nu a putut fi verificat pentru un lung timp. Relaia (2.5) a fost verificat cu o bun precizie de ctre R. Millikan (1916), care a descris un aparat n care suprafeele erau curate n vid, dup care au fost determinate lucrul de extracie i dependena energiei fotoelectronilor de frecvena luminii incidente. n ceea ce privete lucrul de extracie acesta este format din lucrul de extracie al electronului din atom i din lucrul necesar electronului pentru a prsi suprafaa substanei. Remarcm c n cadrul efectului fotoelectric prezentat mai sus electronul interacioneaz cu un singur foton. Descoperirea sistemelor care emit lumin de mare intensitate (laseri) a fcut posibil aparitia efectului fotoelectric bazat pe absorbia a mai multor fotoni d4e energie mic. n acest caz relaia lui Einstein se scrie: AmvN += 2

21

h (2.6) unde N este numrul fotonilor care duc la apariia unui fotoelectron. Efectul prezentat mai sus este un efect fotoelctric extern, existnd ns i substane care iluminate dau natere unui curent intern (semiconductorii), n acest caz avnd de-a face cu un efect fotoelectric intern.

21

2.3 Efectul Compton

n anii 1922-1923 fizicianul american Arthur Compton a investigat difuzia radiaiei X pe diferite substane. Schema instalaiei experimentale utilizate de Compton este prezentat In figura 1.11. F1 F2

G

CI Fig. 1.11 Cr

Radiaia unui tub Roentgen strbate fantele F1 i F2 i de un cristal de grafit (G). Compoziia spectral a radiaiei difuzate a fost studiat cu ajutorul unui spectrograf de raze X alctuit dintr-un cristal Cr i o camer de ionizare CI. Analiznd radiaia difuzat, Compton a constatat c pe lng radiaie cu aceeai lungime de und ca a radiaiei iniiele exist i radiaie cu lungime de und deplasat spre lungimi mai mari. De asemenea s-a observat c mrimea deplasrii lungimii de und a radiaiei depinde de unghiul de difuzare, crescnd odat cu creterea acestui unghi. Rezultatele studiului fcut pe radiaia difuzat (corespunztoare liniei K a molibdenului) pe grafit sunt prezentate n figura 1.12

Fig. 1.12

n figura 1.13 sunt prezentate spectrele radiaiei X (linia K a argintului =0,56267A) difuzat sub acelai unghi pe diverse substane.

22

Fig. 1. 13

Analiznd aceast figur se ajunge la urmtoarele concluzii: - mrimea deplasrii nu depinde de natura sunstanei; - cu creterea numrului atomic al substanei care interacioneaz cu radiaia,

intensitatea radiaiei nedeplasate crete, iar cea a radiaiei deplasate scade. Astfel pentru litiu radiaia difuzat este practic constituit dintr-o singur lungime de und deplasat, iar pentru cupru intensitatea radiaiei deplsate este foarte sczut fa de cea a radiaiaei nedeplaste.

Caracteristicile efectului Compton pot fi explicate dac se admite c procesul de difuzie a radiaiei X se produce ca urmare a ciocnirii elastice a fotonilor ce alctuiesc radiaia cu electronii practic liberi ai substanei. Electronii pot fi considerai liberi sunt electroni slab legati de atom daca energia lor de legtur este

23

mult mai mic dect energia pe care fotonul o poate transmite electronului pe care l ciocnete. Presupunnd, aadar, c ntre fototn i electron are loc o ciocnire elastic vom scrie n continuare legile de conservare pentru energie i impuls, considernd c un foton cu impulsul iniial k

rh i energia h ciocnete un electron aflat n repaus, cu

energia mc2 (cazul relativist). Dup ciocnire fotonul va avea impulsul 'kr

h i energia 'h , iar electronul se va deplasa relativist cu impulsul pr i energia 222 cmpc + .

Putem scrie:

2222' cmpcmc ++=+ hh (2.7)

'kpkr

hrr

h += (2.8) mprind relaia (2.7) la c i innd seama c k

c=

vom avea:

mckkcmp +=+ )'(222 h sau ridicnd la ptrat:

)'(2)'2'( 2222 kkmckkkkp ++= hh (2.9)

Ecuaia (2.8) se poate scrie: )cos'2'()'( 222222 kkkkkkp +== h

rrh (2.10)

Comparnd ecuaiile (2.9) i (2.10) obinem: )cos1(')'( = kkkkmc h (2.11) nmulind relaia (2.11) cu 2pi i mprind-o la mckk, razult: )cos1(22

'

2 pipipi =mckkh

(2.12)

Cum kpi 2= , relaia se mai scrie

=-=(1-cos) (2.13) unde:

mc

hpi2= este numit lungimea de und Compton. n cazul electronului are

valoarea: =0,0243A (2.14) Experiena arat c atunci cnd are loc interacia radiaiei cu electroni puternic legai n atom (cazul atomilor grei) energia i imulsul sunt schimbate cu atomul ca un ntreg. Deoarece masa unui atom este mult mai mare dect aceea a electronului,schimbarea lungimii de und este neglijabil, n acest caz coinciznd cu . Se poate astfel defini de o manier calitativ raporul intensittilor radiaiei deplasate pe baza masei atomului. n atomii uori toi electronii au legturi slabe, iar n atomii grei doar electronii periferici sunt slab legai de nucleu. Aadar cu creterea numrului atomic i n condiii identice, intensitatea radiaiei deplasate va scdea in timp ce aceea a radiaie nedeplasate va crete. Aceste rezultate coincid cu cele observate n figura 1.13.

24

Probleme

2.1. Suprafata unui metal oarecare este limitat cu lumina avand lungimea de unde de 3500 . Alegand o anumita diferenta cu potential de franare se taie fotocurentul.

Modificand lungimea de unda a luminii cu 500 , diferenta de potential de franare a trebuit sa fie marita cu VV 59,0= pentru a taiadin nou fotocurentul.. Considerand cunoscute constanta lui Planck Jsh 341065,6 = si viteza luminii in vid,

18103 msc , sa se determine sarcina electronului si lucrul de iesire al electronului din metal, considerand ca VV = 3

Rezolvare: Relatia lui Eeinstein, in cele doua cazuri, se scrie :

),( VVehc extr ++= (1)

+= extr

hc ).( VVe + (2)

Scazand expresia (1) din expresia (2), rezulta :

Ce Vch 19

)( 106,1

=

(3)

Introducand expresia lui e din relatia (3) in ecuatia (1), se obtine

eVhchc VVV

extr 76,1)( 4)()(

===

+

2.2. O radiatie monocromatica este trimisa pe o placa metalica foarte subtire plasata in vid si se extrag electroni care sunt supusi actiunii unui camp magnetic de inductie uniforma . TB 3105,1 = . Sa se determine energia, frecventa si lungimea de unda a radiatiei incidente plecand de la urmatoarele date: raza de curbura mR 1,0= a traiectoriilor electronice intr-un plan perpendicular pe B; lungimea de unda

15,0=k a discontinuitatii K a metalului; constanta Jsh 341062,6 ; viteza luminii in vid, 1810,3 msc ; masa de repaus a electronului, kgme

31109 si sarcina electronului. Se vor negliza corectiile relativiste.

Rezolvare: Bilantul energiei in actiunea fotoelectrica a fotonului de lungime de unda si de frecventa v se scrie:

ce

chhv +== , (1)

e fiind lucrul de iesire al electronului din metal si c energia cinetica a electronului. Energia cuantei fiind suficienta pentru a ioniza atomul metalic smulgandu-i un electron K, energia necesara pentru a extrage electronul de sub actiunea potentialului mediu al metalului este neglijabila. Ecuatia (1) devine:

25

2

21

vmhchc

e

k

+= (2)

Viteza v a electronului de sarcina e si masa em se deduce din raza de curbura R care are traiectoria sa normala la campul magnetic de inductie B:

17107,2 == msm

eBRv

e

(3)

Energia fontului va fi:

eVJeBRhchck

514 1003,11065,121

==+== , (4)

iar frecventa Hzh

v 19105,2 =

(5)

si lungimea de unda :

12,01012,0 10 === mv

cv (6)

2.3 ntr-o experien de difuzie Compton a radiaiilor s-a observat c fotonii cercuri cu raza r=3cm ntr-un incideni au fost difuzai sub unghiiul =30, iar electronii de recul au descris cmp magnetic B=9,1.10-2T. S se calculeze: a) Energia transferat unui electron de recul i lungimea de und a fotonului incident. b) Unghiul de deviaie al electronului de recul. c) Presupunnd c electronii de recul sunt incideni pe un monocristal cu constanta

d=2,4.10-10 m, s se calculeze unghiul de inciden pentru care se observ maximul de ordinul zece n fasciculul de electroni difractat pe monocristal.

Rezolvare a) electronii de recul se rotesc n cmp magnetic pe cercul de raz r cu viteza v

dat de condiia:

evBr

mv=

2

, (1) adic cu impulsul p=mv=erB. Energia transferat de foton electronului de recul este:

Erecul=

+ 11 22

0

22

0cm

pcm sau

Erecul=16

220

2222

0 1021711

=

+ ,

cm

Brecm J. (2)

Energia de recul mai poate fi scris sub forma:

Erecul=

+ 00

cch , unde cm

h0

= , (3)

deoarece 2pi = .

26

Astfel, lungimea de und afotnului incident este egal cu:

102

0

00 102601

412

=

+= ,

Ereculcm

cm

h m. (4)

b) Unghiul de deviaie al electronilor de recul:

9101

2

00

,=

+=

cm

h

ctgtg i '3042o= . (5)

c) Lungimea de und asociat electronilor de recul va fi egal cu:

131015 ===erBh

ph

B m. (6)

Din relaia Bragg: 2dsin=k, rezult: sin=0,03125 i =1o47. (7)

2.4 Intr-un efect Compton cu raze lungimea de und a radiaiei incidente este 0=2 pm, iar lungimea de und asociat electronilor de recul este egal cu lungimea de und Compton pentru electroni. Radiaiile incident i difuzat cad simultan, sub inciden normal pe o reea de difracie de lungime total l=2 cm, fiind observate distinct n spectrul de ordinul nti. S se calculeze: a) Deplasarea Compton, unghiul de difuzie al fotonilor i energia cinetic a

electronilor de recul. b) Constanta reelei i ordinul maxim al spectrului observat.

Rezolvare

a) Din condiia: B=C rezult c:

cm

hmv

h0

= , (1)

de unde 20 1

c

vcc

m

mv == , adic:

2c

v = . (2) Scriind legea conservrii energiei,

2

2

20

0

20

0 1c

v

cmhccm

hc

++

=+ , rezult: (3)

=

=

2

2

002

2

2

2200

111

11

c

vcm

c

vh

c

vcm

27

=

( )( )

14

00

0 10212

12

=

cm

h m (4)

Din expresia: ( ) cos10

=cm

h, (5)

Rezult unghiul de difuzie:

9917585,01cos 0 ==hcm i =7o22. (6)

Energia cinetic a electronilor de recul este egal cu EC=(m-m0)c2=

1420

2

2

2 10357,3)12(11

1

==

= cm

c

vcmo J. (7)

b) Radiaia difuzat are lungimea de und =0+. Puterea de rezoluie a reelei este:

NkP m =

=

(8) unde N este numrul total de linii ale reelei, iar k ordinul de difracie.

Constanta reelei, Nn

bad 11 ==+= .

Astfel, dklP = , iar ( )

221

00 +=+=m .

Deci,

+

=

=

022kl

mkld .

n cazul problemei, k=1, astfel c

4

0

1022

2

=

+

= ld m. (9)

Ordinul maxim al spectrului se obine pentru 2pi = n dsin=k0, astfel nct

8

0max 10==

dk . (10)

2.5. Intr-o experienta de difuzie Compton a radiatiilor s-a observat ca fotonii incidenti au fost difuzati sub unghiul 090= , iar electronii de recul au descris cercuri cu raza r = 3 cm intr-un camp magnetic de inductie TB 2101,9 = . Sa se calculeze :

a) Energia transferataunui electron de recul si lungimea de unda a fotonului incident ;

b) Unghiul de deviatie al electronului de recul ; c) Presupunand ca electronii de recul sunt incidenti pe un monocristal cu

constanta md 10104,2 = sa se calculeze unghiul de electroni difractat pe monocristal.

Rezolvare:

28

Electronii de recul se rotesc in camp magnetic pe cercul de raza r cu viteza v data de conditia:

evBr

mv=

2

, (1) adica cu impulsul erBmvp == . Energia transferata de foton electronului de recul este:

+= 22

0

22

0 1cm

pcmrecul sau

Jcm

Brecmrecul

1622

0

2222

0 1021,711

=

+= . (2)

Energia de recul mai poate fi scrisa sub forma:

cm

hundecchrecul

000

, =

+= , (3)

Deoarece .2pi =

Astfel, lungimea de unda a fotonului incident este egala cu:

mcm

cm

hrecul

102

0

00 1026,01

412

=

+

(4)

b) Unghiul de deviatie al electronilor de recul:

034291.01

2 0

00

==

+=

si

cm

h

ctgtg . (5)

d) Lungimea de unde asociata electronilor de recul va fi egala cu: m

erBh

ph

B131015 === (6)

Din relatia Bragg: kd =sin2 , (7) Rezulta : 74103125,0 0 == si

29

3. Fizica atomica clasica

3.1.Regulariti ale spectrului atomic.

Radiaia atomilor care nu interacioneaz unul cu altul (atomi n stare gazoas) se prezint sub forma unor linii discrete, caracteristice elementului. Totalitatea liniilor emise de un atom formeaz un spectru, numit spectru atomic. Un spectru poate fi constituit din mai multe serii spectrale. Prin serie spectral se nelege o submulime de linii emise de un atom, ale cror frecvene pot fi deduse pe baza aceleiai formule i care prezint proprietti identice n ceea ce privete despicarea liniilor n cmp magnetic sau n cmp electric.

Prima serie spectral a fost observat de eleveianul J. Balmer n 1885, care a artat c lungimile celor patru radiaii vizibile ale hidrogenului, notate cu H, H, H i H pot fi obinute cu relaia:

422

0

=

n

n , n=3,4,5 (3.1) unde 0 este o constant egal cu m10106,3645 . Scriind relaia (3.1) prin

nlocuirea lungimii de und cu frecvena se obine:

= 22

121

nR , n=3,4,5 (3.2)

unde R se numete constanta Rydberg i are valoarea: sradR /1007,2 16= . Relaia (3.2) poart numele de formula lui Balmer i corespunde seriilor de linii spectrale din spectrul vizibil. Investigaiile ulterioare au pus n eviden existena altor serii spectrale n spectrul invizibil. Liniile acestor serii pot fi reprezentate prin relaiile:

= 22

111

nR , n=2,3,4 (3.3)

Relaia (3.4) descrie liniile care formeaz seria Lyman, linii ce sunt plasate n zona de ultraviolet. Exist, de asemenea, trei serii n regiunea de infrarou date de relaiile: - seria Paschen:

= 22

131

nR , n=4,5,6 (3.5)

- seria Brackett:

= 22

141

nR , n=5,6,7 (3.6)

-seria Phund:

= 22

151

nR , n=6,7,8 (3.7)

Analiznd frecvenele liniilor din spectrul atomului de hidrogen, obinute pe baza relaiilor (3.2)-(3.7), se poate trage concluzia c liniile spectrale ale atomului de hidrogen pot fi deduse pe baza unei singure relaii, de forma:

30

= 22

11nm

Rmn (3.8) unde m ia valori ntre 1 i 5. Relaia (3.8) reprezint formula generalizat a lui Balmer. Se observ c atunci cnd n crete, frecvena liniilor seriei tinde ctre

valoarea 2mR

, numit limita seriei.

Studiind spectrele sltor atomi s-a observat c frecvenele liniilor n acest caz pot fi reprezentate ca diferene ntre doi termeni: )()( 21 nTmT = (3.9) Termenii T(m) i T(n) se numesc termeni spectrali. Termenul T(n) are o form mai complicat dect la atomul de hidrogen.

3.2.Modelul nuclear al atomului

Modelul nuclear al atomului a fost elaborat de savantul englez E. Rutherford ca urmare a rezultatelor pe care el i colaboratorii si le-au obinut n experienele de difuzie a particulelor atunci cnd acestea strbat foie metalice. Schema montajului experimental folosit este prezentat n figura 1.14.

M

R F

Fig. 1.14

Un fascicul ngust de particule ( nuclee de He cu dou sarcini pozitive) emise de substana radioactiv R cad pe o foi fin de metal F. La trecerea prin foi particulele sunt deviate de la direcia iniial a micrii cu diferite unghiuri . Particulele difuzate ating un detector de ZnS, producndu-se scintilaii, care pot fi observate cu ajutorul microscopului M. Microscopul i detectorul au putut fi rotite In jurul unei axe ce trece prin centrul foiei de metal, fiind astfel posibil poziionarea sub orice unghi . Aparatul a fost plasat ntr-o incint vidat, pentru a exclude difuzia particulelor datorit ciocnirilor cu moleculele. Ca urmare a intaraciei fasciculului cu foia metalic s-a observat c unele particule au fost deviate cu unghiuri foarte mari (aproape 180). Analiznd rezultatele

31

experimentale, Rutherford a ajuns la concluzia c o deviere att de mare a particulelor este posibil doar dac exist un cmp electric puternic n interiorul atomului, care este produs de a sarcin ncrcat asociat cu o mas mare concentrat ntr-un mic volum. Pe baza acestei concluzii, Ruthrford a propus n 1911 un model nuclear al atomului. Conform acestui model un atom este un sistem de sarcini al cror centru este un nucleu pozitiv greu de sarcin Ze, avnd dimensiuni mai mici de 1210 cm, n jurul nucleului existnd Z electroni distribui n ntreg volumul ocupat de atom. Aproape toat masa atomului este concentrat n nucleu. Pornind de la aceste presupuneri, Rutherford a dezvoltat o teorie cantitativ a difuziei particullelor i a dedus o formul pentru distribuia particulelor difuzate n funcie de valorile unghiului . Prezentm n continuare deducerea acestei formule, utiliznd figura 1.15.

pr pr

0pr

pr pr

r b /2

22pi

Fig. 1.15

Deflexia particulei nu poate avea loc ca urmare a intaraciei cu electronii, deoarece masa electronilor este cu patru ordine de mrime mai mic dect masa particulei . Deflexia se produce ca urmare a interaciei dintre particul i nucleul atomului. ntre particula aflat n apropierea nucleului nucleu se exercit fora Coulomb

20

2

42

r

ZeFpi

= (3.10)

Exercitndu-se asupra particulei aflat n micare, traiectoria acesteia va fi o hiperbol (vezi micarea particulei n cmp central). Presupunem c unghiul dintre asimptotele hiperbolei este . Acest unghi caracterizeaz devierea particulei de la direcia iniial. Distana b de la nucleu la direcia iniial a particulei se numete parametru de impact. Particulele ale cror traiectorii sunt mai apropiate de nucleu (b este mai mic) sunt deviate mai puternic. ntre b i exist o relaie simpl ce va fi dedus n continuare. Deoarece mrimea impulsului pariculei dup ce a fost deviat rmne nemodificat (p=p0) putem scrie:

2sin2

2sin2 0

vmpp == (3.11)

32

unde m este masa particulei , iar v este viteza iniial a acesteia. Pe baza legii lui Newton se poate scrie: = dtFp

rr (3.12)

Proiectnd vectorii din ecuaia (1.65) pe direcia lui pr vom avea: = dtFp p (3.13) n figura 1.15 se vede c:

+=

+== 2

sin22

sincos 22

r

ZeFFF p (3.14)

Introducnd (3.14) n (3.13) i nlocuind dt cu d

rezult:

+

=pi

2

0 222 2

sin2

r

dZep (3.15)

Dar cum &2rmL = este mrimea momentului cinetic al particulei n raport cu nucleul care o difuzeaz, iar fora ce se exercit asupra particulei este una central, putem spune c momentul cinetic rmne constant, iar mrimea sa este cea iniial

vbmL =0 . nlocium &2r cu vb n relaia (3.15) i n urma integrrii se obine:

2cos22

2 vbZep = (3.16)

Comparnd (3.16) i (3.15) se obtine:

2cos22

2sin2

2

vbZe

vm = (3.17) Deci:

bZe

vmctg 2

2

22

= (3.18) Considerm un strat de difuzie foarte subire astfel nct fiecare particul ce o strbate trece doar prin apropierea unui singur nucleu. O particul difuzat n interiorul unghiului i +d, va avea parametrul de impact cuprins ntre limitele b i b+db aa cum se vede n figura 1.16.

db d

b

33

Fig 1.16

Pornind de la relaia (3.18), prin difereniere se obine: db

Zevmd

2

2

2 222

sin

1 = (3.19)

Semnul minus n (3.19) este legat de faptul c odat cu scderea unghiului de deviere (d0). Notm aria fasciculului de particule cu S. Numrul de atomi ai foiei, aflat n faa fasciculului va fi nSa, unde n este numrul de atomi din unitatea de volum, iar a este grosimea foiei. Dac particulele sunt distribuite uniform pe seciunea transversal a fasciculului i numrul lor este foarte mare, atunci numrul relativ de particule care trec n apropierea unui nucleu n lungul unei traiectorii cu parametrul

de impact de la b la b+db va fi:

bdbnaS

bdbnSaN

dNpi

pi 22 == (3.20) n aceast expresie dN este fluxul total de particule din fascicul. Folosind i d n locul lui b i db pe baza relaiei (3.19) realia (3.20) devine:

22

sin

12

222

2

2

2

pi

dctgvm

Zena

NdN

= (3.21)

Transformnd 2

ctg relaia se mai scrie:

=

2sin4

sin224

2

2

2

pi

dvm

Zena

NdN

(3.22)

Relaia (3.22) reprezint formula lui Rutherford pentru difuzia particulelor . Aceast formul a fost verificat experimental de Rutherford i colaboratorii si, numrnd scintilaiile observate la diferite unghiuri , pentru intervale de timp identice. Interacia de tip Coulomb, admis la deducerea formulei (3..22), s-a dovedit a fi n concordan cu rezultatele experimentale, ntruct particulele care s-au aflat pe direcia nucleului au fost deviate cu un unghi de 180, dup ce s-au apropiat de nucleu la o distan dat de relaia:

min0

22

42

2 rZemv

pi= (3.23)

unde rmin reprezint distana dintre particul i centrul nucleului i a fost de aproximativ 12106 cm. Modelul nuclear contrazice legile mecanicii i electrodinamicii clasice. Astfel, deoarece un sistem de sarcini staionare nu se poate afla n echilibru stabil (teorema lui Ernshaw) Rutherford a renunat la modelul static al atomului i a admis c electronii se mic n jurul nucleului pe traiectorii curbe. n acest caz electronul se va mica accelerat i n concordan cu legile electrodinamicii clasice el va emite

34

continuu unde elctromagnetice. Procesul de emisie duce la pierderea energiei ceea ce nseamn c electronul va cdea pe nucleu. Experiena arat c atomii reprezint sisteme deosebit de stabile, eliminnd ipoteza de mai sus.

3.3 Teoria lui Bohr asupra atomului

3.3.1 Modelul planetar al atomului i postulatele cuantice ale lui Bohr

n cadrul modelului nuclear al lui Rutherford, atomul a fost presupus ca fiind alctuit dintr-o sarcin pozitiv grea i din electroni care se afl n jurul acesteia. Aa cum am artat modelul nuclear al atomului n combinaie cu mecanica clasic i electrodinamica clasic au fost incapabile s explice stabilitatea atomului i natura spectrului atomic. Am vzut de asemenea c deducerea formulei corecte (Planck) pentru radiaia termic de echilibru s-a fcut pe baza ipotezei existenei strilor staionare stabile ale oscilatorilor ce alctuiesc corpul negru. Pornind de la rezultatele de mai sus Bohr a introdus dou ipoteze n total contradicie cu legile mecanicii clasice. Acestea sunt cunoscute ca postulatele lui Bohr i au urmtoarele formulri: 1. Atomii i sistemele atomice nu se pot conserva n timp ndelungat dect n stri

bine definite, numite stri staionare n care nu emit i nu absorb energie. n aceste stri sistemele atomice posed un ir discret de energii: E1, E2 En. Aceste stri se caracterizeaz prin stabilitatea lor. n interiorul atomilor, electronii se deplaseaz pe orbite bine definite.

2. Orice trecere de la o stare staionar Em la o alt stare En poate fi nsoit de absorbie sau de emisie de radiaie, aceast radiaie este monocromatic i frecvena sa este dat de relaia:

mn EE =h (3.24) Aceste postulate sunt n contradicie cu rezultatele electrodinamicii clasice, ntruct pe baza primului postulat, dei electronii din atomi execut micri de rotaie, decelerate, iar conform cu cel de-al doilea postulat frecvenele emise nu au nimic comun cu frecvenele micrilor periodice ale electronilor.

3.3. 2. Experiena lui Franck i Hertz

Existena nivelelor discrete de energie a fost confirmat prin irul de experiene efectuate n 1914 de fizicienii J. Franck i G. Hertz. n figura 1.17 este nfiat diagrama aparatului utilizat de ei.

35

Fig 1.17

Tubul T umplut cu vapori de mercur, la o presiune sczut (n jur de 1 mm Hg) a fost prevzut cu trei electrozi. Electronii eliberai de catod (C) prin emisie termoelectronic au fost accelerai cu diferena de potenial U aplicat ntre catod i gril (Gr). Diferena de potenial a fost variat cu poteniometrul P. Un cmp electric slab (corespunztor unei diferene de potenial de 0,5V) a fost creat ntre gril i anod (A). Afost studiat relaia existent ntre curentul I alctuit din electronii colectai de anod i tensiunea U, msurate galvanometrul G i respectiv voltmetrul V. Evoluia curentului n funcie de tensiunea U este prezentat n figura 1.18.

I

4,9 9,42 9,43 U[V]

Fig. 1.18

Aa cum se vede n figura 1.18, pornind de la 0V curentul are o cretere monoton pn la 4,9V, dup care are loc o scdere urmat de o nou cretere monoton pn la 9,8V. Evoluia se repet, maximele urmtoare ale curentului fiind atinse pentru multiplii ai tensiunii de 4,9V. O astfel de form a curbei este explicat

36

prin faptul c posednd nivele discrete de energie E1, E2 En, atomii pot absorbi energie doar sub forma: E1=E2-E1, E2=E3-E2, etc. Ct timp energia electronului emis de catod i accelerat cu tensiunea U este mai mic dect E1 ciocnirile ntre electroni i atomii de mercur unt de natur elestic: deoarece masa electronului este mult mai mic dect masa atomului, iar energia electronului nu sufer o virtual schimbare ca urmare a ciocnirilor. O parte a electronilor sunt captai de gril, iar alii strbat grila i ajung la anod, producnd curentul I, ce strbate galvanometrul G. Pentru tensiuni mai mari fracia de electroni ce ajunge la anod va fi mai mare i ca urmare curentul I va fi mai mare. Cnd energia acumulat de electron n spaiul dintre catod i gril atinge valoarea E1, ciocnirile devin inelastice i electronii vor transfera energia E1 atomilor pe care i ciocnesc i ei vor continua s se deplaseze cu o vitez mai mic. Ca urmare numrul de electroni ce ajung la anod este mai mic. Crescnd tensiunea U, electronii vor cpta o energie egal cu E1 mai aproape de catod, dup care vor fi accelerai din nou. n cazul tensiunii de 9,8V, electronii au suferit dou ciocniri inelastice n urma crora au cedat energia atomilor. Prima la jumtatea distanei dintre catod i gril i cea de-a doua n apropierea grilei. La o tensiune mai mare sunt posibile trei ciocniri inelastice ale electronului cu atomul, ceea ce conduce la apariia unui maxim la 9,43 V. n acest fel experiana Franck i Hertz pune n eviden existena nivelelor de energie discrete ale atomului.

3.3.3 Cuantificarea orbitelor circulare

Postulatele lui Bohr sunt n total contradicie cu conceptele mecanicii clasice. Aceast contradicie este legat de faptul c n timp ce postulatele lui Bohr admit existena unui numr de nivele de nergie discrete asociate asociate n atom cu a serie de orbite cuantice, n cazul mecanicii clasice se obine o mulime continu de orbite. Pornind de la ipoteza lui Planck, conform creia pentru energia unui oscilator sunt posibile acele stri a cror energie este: hnEn = (n fiind ntreg), Bohr a obinut condiia de existen a orbitelor staionare. Consedernd coordonatele canonic-conjugate ale oscilatorului, coordonatele q i impulsul p, energia oscilatorului se scrie:

hnqm

m

pEn =+= 22

222

(3.25) de unde rezult:

12/2

22

=+ hh mn

pmn

q (3.26)

Planul cu coordonatele q i p poart numele de plan al fazelor i o curb ce determin pe p ca funcie de q pentru o micare dat se numete traiectoria fazei. Relaia (3.26) arat c traiectoria fazei unui oscilator armonic este o eleps cu semiaxele:

m

na

h2= i hmnb 2=

Cum aria elepsei este egal cu produsul semiaxelor multiplicat cu pi, rezult:

37

nabSn hpipi 2== (3.27) Aria elipsei mai poate fi ns scris sub forma: = pdqSn (3.28) Pe baza relaiilor (3.27) i (3.28) rezult: = hnpdq pi2 (3.29) Pentru un electron ce se rotete n jurul nucleului pe o orbit circular, coordonata generalizat va fi unghiul azimutal , iar impulsul asociat ei va fi momentul de inerie &2mrL = . Aadar pentru un electron care se deplaseaz pe o orbit circular condiia (1.83) are forma: = hnLd pi 2 (3.30) Doearece fora cre se exercit asupra electronului este o for cental, rezult c L=const. si relaia (3.30) se va scrie: hnL = (3.31) Astfel ca n concordan cu condiia lui Bohr, dintre toate orbitele posibile ale unui elctron (din punctul de vedere al mecanicii clasice) sunt posibile doar acelea pentru care momentul cinetic este un numr ntreg de cinstante Planck.

3.3. 4 Teoria elementar a lui Bohr pentru atomul de hidrogen

Vom cosidera un electron, care se ic n cmpul unui nucleu atomic cu sarcina Ze (atomul este aa zis hidrogenoid) unde Z este un numr ntreg. Pentru Z=1 acest sistem este reprezentat de atomul de hidrogen, pentru Z=2 de atomul de He+ simplu ionizat, pentru Z=3 de atomul de Li++, etc. Ecuaia de micare a electronului aflat n cmpul nucleului este:

20

22

4 rZe

r

mv

pi= (3.32)

Condiia de cuantificare a orbitelor (1.85) se scrie hnmvr = (n=1,2) (3.33) Eliminnd viteza v din relaiile (3.32) i (3.33) se obine pentru raza rn a orbitei n expresia:

Zmern 2

0

2

4pih

= (3.34)

Raza primei orbite a atomului de hidrogen este cunoscut ca fiind raza Bohr. Ea are valoarea:

oAr = 529,00 (3.35) Energia intern a atomului este alctuit din energia cinetic a electronului (nucleul fiind considerat staionar) i energia potenial a electronului aflat n cmpul nucleului, deci:

20

22

42 rZemvEpi

= (3.36) Substituim mv2 din relaia (3.32) n (3.36) i obinem: 2

0

2

8 rZeE

pi= (3.37)

38

Introducnd n relaia (3.37) expresia razei orbitei n dat de (3.34) rezult: 2

2

220

2

4

32 nZmeEn =

hpi (3.39)

unde En reprezint energia electronului aflat pe nivelul n al atomului. Atunci cnd un atom trece din starea n n starea m este emis un foton a crui energie )( h va fi:

== 2222

02

42 1132 nm

emZEE nmh

hpi

i deci frecvena fotonului este:

= 2232

02

42 1132 nm

emZmn

hpi (3.40)

Am obinut formula lui Balmer pentru cazul atomului de hidrogen (dac Z=1) unde constanta Rydberg este:

320

2

4

32 hpimeRH = (3.41)

Dac se introduc valorile constantelor n relaia (3.41) se obine o valoare n foarte bun concordan cu rezultatele experimentale pentru constanta Rydberg. Aceast coresponden ntre valoarea teoretic teoretice i cea experimental a lui R pune n eviden c relaia (3.39) dedus de Bohr pentru nivelele de energie ale atomului de hidrogen este corect. Astfel se poate spune c teoria lui Bohr are un rol important n dezvoltatrea teoriei atomului. ncercrile de extindere a teoriei lui Bohr la atomul de He au rmas fr rezultat. ntruct teoria lui Bohr are o contradicie logic intern nefiind consistent nici cu cea cuantic ea a rmas doar o etap de trecere n studiul fenomelor atomice.

4. Natura ondulatorie a particulei

4.1 Ipoteza lui de Broglie

Am vzut c pentru a putea explica rezultatele experimentale obinute n cazul curentului fotoelectric i efectului Compton a fost nevoie s se admit caracterul corpuscular al radiaiei electromagnetice, care in acest fel are o comportare dual de und i de corpuscul. n anul 1924 savantul francez Louis de Broglie, a pornit de la ideea c dualitatea nu reprezint doar o caracteristic a radiaiei elctromagnetice i a lansat ipoteza c particulele au o comportare ondulatorie. Pe baza acestei ipoteze de Broglie a presupus c micarea oricrei particule este asociat cu o und a crei lungime de und este:

ph

= (4.1) i a crei frecven este dat de o relaie identic cu cea care exprim energia fotonului: h=E .

39

Aadar particulele au o comportare dual, iar undele asociate acestora sunt unde de Broglie.. Lungimea de und asociat particulelor poart numele de lungime de und de Broglie. Relaia (4.1) poate fi scris i n funcie de vecorul de und k, innd seama c:

kpi 2=

deci: kp

rh

r= (4.2)

Conform ipotezei lui L. de Broglie micarea particulelor materiale libere este descris de o funcie de und de forma: ( )[ ] ( )[ ]tzkykxkiAtrkiA zyx ++== expexp rr (4.3) unde A este amplitudinea undei, k

r- vectorul de und, iar rr vectorul de poziie al

punctului n care se afl unda. innd seama de (4.2) putem scrie: ( )

++= EtpkypxpiA zyx

hexp (4.4)

Dei undele de lumin sunt asociate fotonilor n acelai mod n care undele de Broglie sunt asociate particulelor materiale, ntre cele dou unde exist o deosebire esenial, undele electromagnetice avnd n plus proprietatea c ele constau din variaii n timp ale cmpurilor electrice i magnetice i astfel pot fi puse n eviden cu ajutorul antenelor.

4.2 Experienta Davisson Germer

ntre anii 1921-1923 fizicienii americani Davisson i Kunsman au observat c n cursul difuziei electronilor pe filme metalice se obine o variaie pronunat a intensitii n funcie de unghiul de difuzie. Ipoteza lui de Broglie a fost confirmat n mod strlucit de experienele efectuate n 1927 de fizicienii Davisson i Germer. Ei au studiat reflexia electronilor pe un cristal de nichel. Un fascicul ngust de electroni este dirijat spre suprafaa cristalului de nichel (fig. 1.19) prelucrat la un unghi drept n raport cu diagonala celulei cristalului (planurile cristalului paralele cu suprafaa pe care cad electronii sunt descrise n cristalografie prin indicii (111).

TE G

detector

Cristal Ni

Fig 1.19

40

Electronii reflectai sunt captati de un cilindru conectat la un galvanometru. Viteza electronilor i unghiul au fost variate. n figura 1.20 se arat dependena curentului galvanometrului de unghiul la diferite energii ale elctronilor. Axele verticale determin direcia razei incidente.

Fig. 1.20

Urmrind curbele din figura 1.20 se observ c intensitatea datorata electronilor (caracterizat prin curentul galvanometrului) este foarte intens pentru o anumit valoare a unghiului . Acest unghi corespunde reflexiei unui fascicul de raze X de ctre un monocristal avnd distana dintre planele atomice egal cu d. Maximul curentului datorat electronilor reflectai corespunde unei legi a opticii legea lui Bragg obtinuta in cazul reflexiei radiatiei X de catre cristale: nd =sin2 (4.5) unde:

22pi = .

Cunoscnd distana dintre planurile cristalului de nichel, 101091,0 =d m i unghiul corespunztor primului maxim, pe baza relaiei (4.5) rezult: =1,65A. Acest maxim a fost obinut pentru o tensiune de accelerare de 54V. Impulsul electronilor ce cad pe monocristal pentru o tensiune U este meUp 2= , astfel c pe baza ipotezei de Broglie, lungimea de und asociat electronilor va fi, pentru cazul considerat:

oo AAU

67,125,12 == .

Diferena de 2102 A poate fi atribuit erorilor de msur. Faptul c pentru electronii accelerai s-a obinut o lungime de und, pe baza ipotezei de Broglie, egal cu aceea obinut cnd electronii sunt tratai dup o lege a opticii, duce la concluzia c acetia au ntradevr o comportare ondulatorie. Relaia de Broglie se aplic nun numai electronilor ci i altor particule: protoni, neutroni, nuclee, atomi, molecule etc. Datorit, ns, masei relativ mari a

41

acestor particule, lungimile de und asociate sunt foarte mici, n acest fel caracterul ondulatoriu al acestora fiind greu de evideniat. O alt confirmare experimental a naturii ondulatorii a fost obinut de fizicianul britanic G. Thomson, n anul 1927. Experimentul realizat de el a constat n trimiterea unui flux de electroni accelerai, la o diferen mare de potenial asupra unei foi subiri de metal, In spatele creia s-a aflat p plac fotografic. Rezultatul experienei a fost c figura de difracie obinut pe placa fotografic este similar cu aceea oinut n cazul difraciei razelor X pe o foi de aluminiu. Rezultatele experienelor Davisson-Germer i Thomson confirm aadar ipoteza lui de Broglie.

Problema

1. Un fascicul ingust de raze X cade pe un monocristal de NaCl. Unghiul minim la care se observ reflexia fasciculului pe faa cristalului este =4,1o. Cunoscnd constanta reelei d=2,81, s se determine valoarea tensiunii aplicate tubului de raze X. Rezolvare: Reflexia maxim se obine pentru acele valori ale lungimii de und care satisfac relaia Bragg: 2dsin=k. (1) n cazul nostru k=1. n acelai timp pe baza ipotezei de Broglie se obine:

meUh

ph

2== (2)

unde m este masa electronului. Eliminnd lungimea de und din relaiile (1) i (2) rezult:

31sin8 222

==

medhU kV.

4. 3. Interpretarea statistic a undelor de Broglie

Microparticulele sunt definite ca particule elementare (electroni, protoni, neutroni, fotoni, precum i alte particule simple) ca i din particule complexe formate dintr-un numr relativ mic de particule elementare (atomi, molecule, nuclee etc.). Orice microparticul combin ntr-un mod special proprietaile de microparticul i de und. O microparticul nu este capabil s acioneze direct asupra organelor noastre de sim (ea nu poate fi vzut sau simit). n cadrul fizicii clasice a nelege nseamn a forma o imagine vizual asupra unui obiect sau proces. Acest lucru este de neconceput in cadrul fizicii cuantice. Remarcm c daca analiznd proprietile undei i ale particulei, o microparticul nu se comport nici ca o und, nici ca o particul. Spre deosebire de und, microparticula este detectat ca un ntreg ( de exemplu nu se va observa niciodat o jumtate de electron). n acelai timp, o und poate fi despicat n pri, de exemplu cu o oglind semitransparent. O diferen ntre microparticul i macroparicul este aceea c n timp ce pentru o macroparticul coordonata i impulsul pot fi cunoscute simultan, n cazul

42

unei microparticule acest lucru nu este posibil, conceptul de traiectorie nemaifiind valabil. Natura particular a proprietilor unei microparticule poate fi pus n eviden cu o deosebit claritate de urmtoarea experien mental. Presupunem un fascicul de elctroni monoenergetic care cad asupra unui ecran n care sunt practicate dou fante (fig. 1.21) E P 1

1

2

2

(a) (b) (c)

Fig. 1.21

n spatele ecranului este plasat o plac fotografic sensibil la ciocnirile cu electronii din fascicul. La nceput vom nchide fanta inferioar pentru un timp . Vom constata c nnegrirea pe placa prelucrat va avea aspectul curbei 1 din figura 1.21(b). Lsnd liber fanta 2 i astupnd-o pe cea superioar pentru acelai timp, urma fasciculului pe plac va fi dat de curba 2. Dac se las libere ambele fante asupra crora fasciculul este trimis tot pe durata , figura obinut pe ecran va fi dat de curba din figura 1.21(c). Aa cum se vede, aceast figur nu este echivalent cu superpoziia primelor dou figuri, ci este similar cu figura de interferen obinut n dispozitivul Young, n cazul undelor coerente. Figura obinut arat c micarea fiecrui electron este afectat de ambele fante. Aceast concluzie este incompatibil cu noiunea pe care o avem despre traiectorie. Dac un electron se va afla la fiecare moment de timp ntr-un anume punct pe traiectorie, atunci el va trece prin una din cele dou fante. Experiena arat ns c are loc o interacie a electronului cu ambele fante. Explicaia fenomenului de mai sus este simpl dac se apeleaz la undele de Broglie asociate electronilor, de forma:

( )

= rpEtiA rr

hexp

Este de remarcat faptul c funcia de und nu are o semnificaie fizic direct, n sensul c nu poate fi msurat printr-un experiment. Experimental se poate obine probabilitaea de prezen a microparticulei la un moment dat, care are valoarea cuprins ntre limitele 0 (particula lipsete) i 1 (particula este prezent cu certitudine). Spre deosebire de undele din fizica clasic (acustic, optic), care sunt legate de un transport de energie, undele de Broglie, asociate microparticulelor, sunt unde de probabilitate, neavnd nici o legtur cu transportul de energie. Astfel funcia de und ( )tr ,r are o semnificaie statistic, mrimea = *2 determinnd probabilitatea de localizare a particulei la momentul t n punctul cu vectorul de poziie

),,( zyxrr :

43

dP( rr ,t)=P dVdVtr 2),( =r (4.6) unde P

2),( =trr (4.7) Reprezint densitatea de probabilitate asociat microparticulei. Probabilitatea de a gsi particula la momentul t n volumul V se obine prin integrarea relaiei (1.100) = V dVtrtrP

2),(),( rr (4.8) Funcia de und ),( trr satisface condiia de normare, adic probabilitatea de a gsi particula undeva n spaiul finit este egal cu 1 (certitudine), deci:

= 1),( 2 dVtrr (4.9) Experiena arat c n anumite cazuri microparticulele se manifest ca puncte materiale ascultnd de legile mecanicii clasice i deci avnd o traiectorie (micarea electronilor n tubul catodic, urmele n camera Wilson), iar n altele manifest proprieti ondulatorii (treceri prin fante). n ceea ce privete noiunea de traiectorie se poate spune c acest concept poate fi aplicat microparticuleleor dar numai cu un anumit grad de precizie. Problemele sunt aceleai ca n optic. Dac dimensiunile barierelor sau orificiilor sunt mari n comparaie cu lungimea de und propagarea luminii are loc n lungul unor raze definite (traiectorii). Remarcm din nou c microparticulele nu sunt nici unde pure, nici puncte materiale i c n aceste condiii nici unul din cele dou concepte nu realizeaz o descriere complet a comportrii microparticulelor. Acestea se supun unor legi de tip nou ce vor fi analizate n cadrul mecanicii cuantice.

4.4 Relatiile de nedeterminare ale lui Heisenberg (principiul de incertitudine).

Este cunoscut ca in mecanica clasica starea unei particule (particula clasica) este data de valorile coordonatei, impulsului, energiei, etc.). Aceste marimi reprezinta variabile dinamice. Informatiile despre o microparticula se obtin ca urmare a interactiunii acestor variabile cu instrumentele de masura, care sunt corpuri macroscopice. Rezultatele unor astfel de masuratori sunt exprimate in termeni asociati corpurilor macroscopice, deci sunt functii de variabilele dinamice. In cazul microparticulelor acest lucru nu mai este valabil, dat fiind comportamentul ondulatoriu al particulelor. Starea unei microparticule este descrisa cu ajutorul unei functii de unda (de Broglie) si determinarea acesteia este legata de o anumita probabilitate. Este cunoscut din mecanica analitica ca variabile precum coordonata si impulsul asociat acesteia sau energia si timpul sunt variabile canonic conjugate. In mecanica clasica acestea pot fi determinate simultan cu o precizie oricat de buna. In consecinta localizarea particulei in spatiu si timp este realizata cu aceiasi precizie. Principiul de incertitudine a fost stabilit prin luarea in consideratie a urmatorului experiente. Ne propunem sa determinam valoarea coordonatei x a unei microparticule (electron) care se deplaseaza in directia y, prin plasarea unei fante de latime x perpendicular pe directia de miscare a particulei (Fig. 1.22 ) .

44

Fig. 1.22 Consideram ca inainte de a traversa fanta impulsul microparticulei este orientat dupa o directie perpendiculara pe axa x, fiind evident ca componenta px a impulsului este nula, iar coordonata x este complet nedeterminata. Electronul care trece prin fanta are coordonata determinata cu precizia x (latime fantei). Ca urmare a interactiei cu fanta electronii sufera o difractie, caracterizata prin deplasarea acestora in lungul directiei x, ceea ce insemna ca acestia au un impuls cu o comonenta dupa aceasta directie, asa cum se arata in figura. Vom presupune ca la iesirea din fanta electronii au capatat un impuls px. Din teoria difractiei rezulta ca intre unghiul ca primul minim de difractie obtinut pe ecranul E este dat de relatia:

xsin = (1.103) Unde este lungimea de unda asociata electronilor. Din figura se vede ca impulsul dupa directia x este dat de relatia

px= psin (1.104) Considerand lungimea de unda asociata este data de relatia = h/p

Din relatiile (1.103) si (1.104) rezulta:

x px= h (1.105)

Asa cum se vede in figura, difractia se intinde pe o regiune superioara primului minim, astfel ca relatia ce lega cele doua imprecizii se va scrie in mod corect sub forma:

x px h (1.106)

Relatii asemanatoare se pot scrie pentru cele doua variabile:

y py h (1.107) zpz h (1.108)

Relatiile reprezinta relatiile lui Heisenberg.

45

Principiul de incertitudine este unul dintrte principiile fundamentale ale mecanicii cuantice. Acesta conduce la obtinerea unor rezultate importante in fizica. Ca un exemplu, pe baza principiului de incertitudine se poate explica de ce electronii unui atom nu cad pe nucleu si pe baza lui se pot calcula dimensiunea si energia minima a uni atom simplu. Presupunand ca electronul cade pe nucleu ( punctiform), coordonatele si impulsul sau vor fi nule, acest lucru fiind incompatibil cu principiul de incertitudine.

Probleme

8. Un atom emite un foton cu o lungime de und = 5500 . Timpul mediu de via al nivelului excitat este 810t s. S se calculeze:

a) Imprecizia n localizarea fotonului pe direcia sa de micare. b) Imprecizia n determinarea lungimii de und indicate.

Rezolvare:

a) Dac impulsul este c

p E= i 2mc=E atunci c

p E= . Relaia de

incertitudine

2t

hE (1) ne permite s calculm pe p:

xtcp

=

22hh

, adic 310103 88 = tcx m. (2)

b) Din relaia hc

=E , se obine:

Ehc

= . (3) Deci:

=

=

=

tct

hhchc

t

hchcpi

pi

442

2

222h

EEE

( ) 1488

210

108,01010314,34

105500

m. (4)

9. Folosind relaia de incertitudine a lui Heisenberg s se evalueze energia strii fundamentale a atomului de hidrogen i a unui atom cu doi electroni, nucleul su avnd sarcina Ze. Rezolvare: Notm cu r0 raza atomului de hidrogen n starea fundamental, considernd astfel c vectorul propriu este cuncentrat n interiorul unei sfere de raz r0.

46

Probabilitatea de a gsi electronul la distana r de nucleu este nenul doar pentru rr0. Aceast localizare a electronului implic o incertitudine a impulsului de ordinul

0r

h. Astefl, energia strii fundamentale va

avea valoarea:

5,13)4(21

4242)( 22

0

4

00

2

20

2

00

22

0 ====h

h

pipipi

me

r

e

mrr

e

m

prE eV, (1)

deoarece 22

00

4me

rhpi

= este prima raz Bohr.

n cazul atomului cu doi electroni localizai la distanele r1 i respectiv r2 de nucleu, incertitudinile impulsurilor celor doi electroni sunt

1r

h i respectiv

2r

h.

Energia total a atomului este:

21

2

212

22

1

2

211111

2),(

rr

e

rrZe

rrmrr

++

+

+=

hE ,

unde s-a inut cont de interacia electrostatic dintre nucleu i cei doi electroni i ntre cei doi electroni. Energia strii fundamentale se obine calculnd minimul energiei n expresia creia considerm r1=r2=r.

Minimul energiei se obine din condiia 0=drdE

, care are rdcina:

1

20

2

414

= Z

mer

pih,

1

2

220

42

min 412)4(4

1 EE

=

= ZmeZ

hpi,

unde E1=-13,5 eV este energia strii fundamentale a atomului de hidrogen. Astfel, rezult:

H- He Li+ Observaii

Z 1 2 3

Emin[eV] -15,3 -83 -205 Determinri teoretice

-14,2 -78,4 -196,6 Determinri experimentale

n bun acord cu valorile msurate.

47

II. Mecanica cuantica

2.1 Introducere.

Diferenta fundamentala intre mecanica clasica (newtoniana) si mecanica cuantica este legata de modul in care este descrisa comportarea unei particule. Astfel in mecanica clasica comportarea viitoare a unei particule este complet determinata prin cunoasterea pozitiei si imulsului initiale, impreuna cu fortele care actioneza asupra acesteia. Marimile acestora pot fi bine determinate si in consecinta si comportarea particulei va fi bine cunoscuta.

Fundamentarea mecanicii cuantice se situeaza intre 1923 si 1927, perioada in care au fost propuse aproape simultan doua formulari echivalente: mecanica cuantica ondulatorie si mecanica cuantica matriciala. Puncul de pleacare al mecanicii cuantice este reprezentat de analiza teoriei asupra cuantelor de energie. Teoria mecanicii cuantice ondulatorii a fost elaborata de Schrodinger si are la baza lucrarile lui Louis de Broglie asupra undelor de materie. Aprofundand si generalizand notiunea de unda de materie, Schrodinger a descoperit ecuatia de propagarea a functiei de unda, care descrie un sistem cuantic. Aceasta ecuatie constituie elementul esential al mecanicii cuantice ondulatorii. In cadrul teoriei lui Schrodinger unui sistem cuntic ise ataseaza o functie de unda, care descrie situatia acestuia din punct de vedere probabilistic. Variabilele dinamice ale sistemului (marimile observabile) sunt descrise de operatori.

Mecanica cuantica matriciala are la baza lucrarile lui Heisenberg, Born si Jordan. In cadrul acestui formalism se pleaca de la marimi fizice observabile

( variabile dinamice) carora li se asociaza o matrici. Aceste matrici se supun algebrei necomutative. Ecuatiile de miscare ale variabilelor dinamice asociate unui sistem sunt ecuatii intre matrici. Ecuatiile sunt formal identice cu ecuatiile asociate sistemului clasic corespunzator.

Schrodinger a aratat ca mecanica cele doua formalisme sunt echivalente.

2.2 Functia de unda

Comportarea particulei cuantice este descrisa cu ajutorul functiei de unda. Functia de unda nu are o semnificatie fizica directa (interpretare fizica). Interpretarea fizica este data de patratul modulului functiei *

, care reprezinta probabilitatea de a gasi particula intr-un punct la un anumit moment de timp. Problema centrala a mecanicii cuantice este de a detrmina functia de unda a unei particule aflata sub actiunea unor forte externe.

2.3. Principiile mecanicii cuantice

2.3.1 Principiul suprapunerii starilor

48

Enuntul principiului este: Un sistem cuantic care se poate gasi in starile reprezentate prin functiile de unda 1, 1,.... n se poate gasi si intr-o stare descrisa de functia de unda:

= c11 +c22 +....+ cnn = cii (2.1) unde ci sunt amplitudinele undelor de Broglie corespunzatoare acestor stari.

Conform acestui principiu rezulta ca ecuatiile pe care le satifac functiile de unda trebuie sa fie liniare.

2.3.2 Principiul de incertitudine

Principiul de incertitudine ne arata deosebirea neta dintre mecanica clasica si mecanica cuantica. In mecanica clasica se pot determina simultan si cu o precizie oricat de buna valorile pozitiei si impulsului asociat acesteia in cazul oricarei particule. In mecanica clasica cele doua valori nu pot fi determinate simultan cu o precizie oricat de buna datorita caracterului dual (unda- corpuscul) al microparticulelor. Daca se noteaza cu x, y, z impreciziile asupra coordonatelor si respectiv cu px py, pz impreciziile asupra impulsurilor , in baza principiului de incertitudine se scrie: x px h y pyh (2.2) z pz h

Relatiii ce arata ca nu se pot efectua masuratori asupra coordonatelor si impulsurilor asociata acestora cu precizie oricat de buna. Se observa ca in cazul cand imprecizia asupra coordonatei este nula, imprecizia asupra impulsului este infinita si invers.

In sensul lui Hamilton variabilele (x, px), (y, py), (z, pz ), dar si (E,t) unde e este energia si t este timpul sunt variabile canonic conjugate. In baza principiului de incertitudine rezulta ca variabilele canonic conjugate nu pot fi determinate simultan cu o precizie oricat de buna.

Principiul de corespondenta

Principiul de corespondenta afirma ca: legile mecanicii cuantice trec in legi ale clasice atunci cand efectele proportionale cu h pot fi neglijate.. Un alt enunt al principiului de corespondenta este: relatiile dintre variabilele dinamice existente in fizica clasica trec in relatii intre opertaorii asociati acestora in fizica cuantica.

Principiul cauzalitatii

Princiliul cauzalitatii afirma ca : daca se cunoaste functia de unda atasata unei particule cuantice (r,t) la momentul t=o, si se cunosc interactiunile pe care le sufera particula, atunci se poate calcula forma functiei de unda (r,t) la orice moment de timp (t0) . Aceasta insemna ca daca daca se cunoaste probabilitatea de localizarea a unei particule cuantice la un anumit moment de timp precum si interactiunile la care aceasta este supusa se cunoaste si probabilitatea de localizarea a acestei la un moment de timp ulterior.

49

2.4 Observabile si operatori.

Pentru a cunoaste o anumita variabila dinamica (coordonata, componenta impulsului pe o axa, energie, etc) este necesara efectuarea unei observatii (masuratori). Astfel variabila masurata reprezinta o observabila. Din punct de vedere matematic unei observabile i se ataseaza un operator. Prin operator se intelege o operatie matematica ce are proprietatea de a transforma o functie de un numar de variabile independente f1 (x1, x2, ... xn) intr-o alta functie de acelasi numar de variabile independente f2 (x1, x2, ... xn). Vom nota variabila dinamica cu A, iar operatorul asociat acesteia cu . Cel mai simplu operator este = x, astfel incat ca urmare a aplicarii operatorului unei functii f(x) se obtine:

f(x) = x f(x) (2.3)

Exemple de operatori: x, d/dx, d/dx, , etc. In continuare vom lucra cu o categorie aparte de operatori numiti operatori liniari. Un operator liniar satiface urmatoarele proprietati:

(f1 + f2) = f1 + f2 (2.4) (c f) = c f (2.5) unde c este o constanta iar functiile carora se aplica operatorul sunt functii de

anumite variabile independente. Liniaritatea opertorilor este necesara in vederea satifacerii principiului suprapunerii starilor. Astfel vom avea:

(c1f1+c2 f2)= c1 f1 + c2f2 (2.6)

Proprietatile operatorilor

a) Suma a doi operatori

(1 + 2)f = 1f + 2f (2.6)

b) Produsul a doi aperatori

(1 2 )f = 1 (2f) (2.7)

c) inmultirea unui operator cu o constanta

c 1f = c (1f) (2.8)

d) comutativitatea a doi operatori

Prin comutator a doi operatori se intelege expresia:

[ 1, 1] = 1 2 2 1 (2.9)

Daca [ 1, 1] = 0 se spune ca cei doi operatori sunt comutativi.

Daca [ 1, 1] este diferit de zero cei doi operatori sunt necomutativi.

50

Operatori unitari sunt operatorii care aplicati oricarei functii o lasa nemodificata.

f= f , (2.10)

Operatorul invers este definit de relatiile:

11 1-1f= 1 (2.11) sau 1-1 11f= 1 (2.12)

Operatori hermitici (autoadjuncti)

Operatori hermitici (autoadjuncti) sunt acei operatori liniari care satisfac conditia:

dVFdVF =

21)(

21 )( (2.13)

unde 1 si 2 sunt functii de aceleasi variabile independente;

F este operatorul hermitic, iar integrarea se face prin intregul domeniu de variatie al variabilelor

independente.

F este operatorul complex