Física II. Grado en Ingeniería Química Industrial. Curso 16/17Boletín 1. Electricidad

1. Dos pequeñas esferas de masa m están suspendidas de un punto común mediante sendas cuerdas de longitudL . Se aplica un campo eléctrico ~E uniforme en el sentido positivo del eje x . Las esferas tienen cargas−q y+q .Determinar el módulo del campo eléctrico que permite a las esferas permanecer en equilibrio formando unángulo θ con la vertical.

2. Ocho cargas puntuales, cada una de valor+q , están situadas en los vértices de un cubo de lado s , como mues-tra la figura. Calcular:

(a) La fuerza sobre la carga situada en el punto A.

(b) El campo eléctrico en el centro de una cara del cubo.

(c) La energía electrostática de la distribución de cargas.

3. Cinco cargas puntuales de valor +q se colocan en cinco de los seis vértices de un hexágono regular de lado L .

(a) Calcular el campo eléctrico ~E en el vértice libre del hexágono.

(b) En el vértice libre se sitúa una carga −q en reposo. Calcular la velocidad que adquiere al llegar al centrodel hexágono por acción del campo eléctrico creado por las otras cargas.

4. Una esfera sólida no conductora de radio R y carga Q posee una densidad de carga volumétrica igual a:

ρ(r ) =α para r ≤R/2

ρ(r ) = 2α(1− r /R ) para R/2≤ r ≤R

ρ(r ) = 0 para r ≥R

donde α> 0 es una constante.

(a) Hallar α en función de Q y R . ¿Qué fracción de la carga total se encuentra en la región r ≤R/2?

(b) Calcular el campo y el potencial eléctrico en función de r para las tres regiones del espacio. Expresar lasrespuestas en función de la carga total Q .

5. Un cilindro no conductor, de longitud infinita y radio R contiene una distribución de carga:

ρ(r ) = a r para r ≤R

ρ(r ) = 0 para r >R

(a) Calcular la carga total del cilindro por unidad de longitud.

(b) Hallar el campo y el potencial eléctrico generado tanto en el interior como en el exterior de la distribuciónde carga. Tomar origen de potenciales en r =R .

(c) Representar gráficamente el campo y el potencial eléctrico en función de r .

6. Concéntrica con una esfera sólida no conductora de radio a , colocamos otra esfera hueca conductora de ra-dios interior y exterior, b y c , respectivamente. La esfera aislante tiene una densidad de carga uniformeρ y laesfera hueca no tiene carga neta. Hallar:

(a) Las densidades de carga superficialesσ inducidas en las superficies interior y exterior de la esfera hueca.

(b) La intensidad del campo y el potencial eléctrico a una distancia r del centro de las esferas cuando: r > c ,c > r > b , b > r > a y r < a .

(c) ¿Cómo se modifican estos resultados si la esfera hueca se conecta a tierra?

7. Cuatro condensadores están conectados como se muestra en la figura. Calcular la carga de cada uno de loscondensadores si Va b = 114 V.

8. Se introduce en el interior de un condensador plano, cargado a una tensión V0, cuya distancia entre arma-duras es d y el área de las placas es A, una placa de constante dieléctrica ε, de área igual a la de las placasdel condensador y de espesor e . Hallar el cambio en la energía del condensador si las placas, al introducir eldieléctrico, se encuentran:

(a) Cargadas y desconectadas de la fuente de alimentación.

(b) Mantenidas a la tensión V0.

9. Dos condensadores cargados idénticos, de placas plano paralelas de área A, poseen entre sus placas un huecode espesor d lleno de aire. Cuando se conectan en paralelo, como muestra la figura, cada uno adquiere la mis-ma carga Q . A continuación, se introduce entre las placas de uno de los condensadores, una lámina dieléctricade espesor d , área A y permitividad relativa εr . Calcular, en el equilibrio electrostático:

(a) La carga que adquiere cada condensador.

(b) La densidad de carga ligada en cada condensador.

(c) La diferencia∆U entre la energía final y la energía inicial del sistema completo.

(d) ¿Cuál es el significado físico del signo de∆U ?

Considerar d 2 << A.

10. Un condensador de placas plano-paralelas posee tres dieléctricos en su interior, tal como muestra la figura.Se puede asumir que ` d . Calcular la capacidad del condensador en función del área de las placas A, laanchura del condensador d y las constantes dieléctricas relativas κ1, κ2 y κ3.

11. Un condensador esférico está formado por un conductor macizo de radio a y por una esfera hueca de radiointerior b concéntrica con la anterior y conectada a tierra. Cargamos la esfera interior con una carga Q , des-conectamos de la fuente de carga y llenamos el espacio entre ellas con un líquido dieléctrico de constanterelativa εr y rigidez k . Determinar:

(a) El campo eléctrico.

(b) Las densidades superficiales de carga libre y ligada en las esferas conductoras y en el dieléctrico, respec-tivamente.

(c) La diferencia de potencial entre las armaduras del condensador.

(d) La energía máxima que puede almacenar.

12. Un condensador está formado por dos cilindros concéntricos de radios a y b (b > a ), siendo su longitudL b . El cilindro interior posee una carga +Q y el cilindro exterior una carga −Q . La región comprendidaentre los dos cilindros se llena con un dieléctrico de constante ε.

(a) Determinar la diferencia de potencial que existe entre los dos cilindros y la capacidad por unidad delongitud del condensador.

(b) Hallar la densidad de carga libreσ f del cilindro interior y del cilindro exterior.

(c) Determinar la densidad de carga ligadaσb en la superficie cilíndrica interior del dieléctrico y la superficieexterior del mismo.

(d) Calcular la energía electrostática total almacenada.

(e) Si el dieléctrico se desplaza sin rozamiento, ¿cuánta energía mecánica se necesita para extraer la capacilíndrica dieléctrica?

13. En el circuito indicado en la figura, la lectura del amperímetro es la misma cuando ambos interruptores estánabiertos que cuando están cerrados. Hallar la resistencia R .

14. En el circuito de la figura, calcular la corriente que circula por cada resistencia. Realizar un balance entre lapotencia suministrada / consumida en las fuentes y la potencia disipada en las resistencias.

15. En el circuito de la figura, la corriente en la batería de 20 V es de 5 A en el sentido que se indica, y la tensiónentre los extremos de la resistencia de 8 Ω es de 16 V, con el extremo inferior de la resistencia al potencial másalto. Hallar:

(a) La fuerza electromotriz (con su polaridad) de la batería X .

(b) La corriente I (con su sentido) a través de la batería de 200 V.

(c) La resistencia R .

16. Calcular la resistencia equivalente de la red que se muestra en la figura.

17. En estado estacionario, la carga del condensador del circuito de la figura es 1 mC. Determinar:

(a) La corriente suministrada por la batería

(b) Los valores de las resistencias R1, R2 y R3

18. En el circuito de la figura, el interruptor S se cierra en el instante t = 0.

(a) ¿Cuál es la intensidad de la corriente suministrada por la batería justo después de cerrar el interruptorS?

(b) ¿Y cuál es la intensidad de la corriente suministrada por la batería mucho tiempo después?

(c) Si el interruptor ha estado cerrado mucho tiempo y después se abre, determinar la variación de la inten-sidad que circula por la resistencia de 600 kΩ con respecto al tiempo.

Física II. Grado en Ingeniería Química Industrial. Curso 16/17Boletín 2. Magnetismo

1. Un espectrómetro de masas se encuentra precedido por un selector de velocidades constituido por un uncondensador de placas paralelas separadas entre sí 2 mm y entre las que existe una diferencia de potencial de160 V. El campo magnético entre las placas es de 0.42 T. El campo magnético del espectrómetro de masas esde 1.2 T. Calcular la diferencia entre los diámetros de las órbitas que siguen dentro del espectrómetro el 238Uy el 235U simplemente ionizados.

2. Una varilla metálica de densidad lineal de masa λ transporta una corriente I . La varilla cuelga de sendosalambres verticales y está situada en el seno de un campo magnético vertical uniforme, como se muestra enla figura. Cuando está en equilibrio, los alambres forman un ángulo θ con la vertical. Determinar el módulodel campo magnético.

3.

4. Tres conductores rectilíneos, infinitos y paralelos, por los que circula una corriente I , pasan a través de losvértices de un triángulo equilátero de lado L , según se muestra en la figura. Calcular:

(a) El campo magnético en el centro del triángulo.

(b) La fuerza por unidad de longitud ejercida sobre el conductor superior por los conductores inferiores.

5. Los alambres infinitamente largos de la figura transportan una corriente I dirigida hacia el sentido negativodel eje x .

(a) Calcular el campo magnético en cualquier punto del eje z .

(b) ¿A qué distancia d a lo largo del eje z el campo magnético es máximo? ¿Cuál es el valor del campo a esadistancia?

6. Un hilo infinitamente largo yace en el eje x y transporta una corriente I dirigida hacia el sentido positivo dedicho eje. Un segundo hilo yace en el eje y y transporta una corriente I dirigida hacia el sentido positivo dedicho eje. ¿En qué puntos del plano x y se anula el campo magnético resultante?

7. Calcular la fuerza sobre la espira cuadrada y triangular de las figuras, situadas en ambos casos cerca de un hilorectilíneo infinito. Tanto la espira como el hilo transportan una corriente estacionaria de intensidad I .

(a)

I a

I s

(b)

I a

I s

8. Por la espira cuadrada de la figura circula, en sentido antihorario, una corriente I . Calcular el campo magné-tico ~B en el punto P.

I L

L

L/4

L/4

P

9. Por dos hilos rectos, largos y coaxiales circula una corriente distribuida uniformemente por toda su secciónrecta metálicos. Por el hilo interior, de radio a , circula una corriente uniforme I ; por el que le rodea, de radio3a circula una corriente opuesta a la anterior de valor 3I . Calcular el campo magnético (indicado además susentido) en un punto situado a una distancia r del eje, cuando:

(a) r < a

(b) a < r < 3a

(c) r > 3a

10. Un conductor largo y cilíndrico de radio a transporta una corriente I . La densidad de corriente J , sin embargo,no es uniforme en toda la sección transversal del conductor, sino que varía según la relación

J (r ) =

2I0πa 2

1−

ra

2

para r ≤R

0 para r >R

(a) Demostrar que I0 es la corriente total que pasa a través de toda la sección transversal del alambre.

(b) Determinar la expresión para el campo magnético B (r ) a una distancia r > a y a una distancia r < a .

(c) Representar gráficamente el campo magnético B (r ).

11. Un cable largo y rectilíneo de radio a se recubre con un material ferromagnético aislante de espesor b y per-meabilidad µ. El cable así recubierto se encuentra en el aire. El alambre en sí mismo no es magnético y trans-porta una corriente I . Determinar:

(a) El campo magnético dentro del alambre en función del radio r .

(b) El campo magnético dentro del material ferromagnético en función del radio r .

(c) El campo magnético fuera del material ferromagnético en función de r .

12. Un hilo de resistencia R doblado en forma de parábola y = αx 2 se coloca en el seno un campo magnéticouniforme ~B perpendicular al plano x y y dirigido en el sentido positivo del eje z . En el instante t = 0, unabarra de masa y resistencia despreciables comienza a deslizarse sin fricción verticalmente hacia arriba desdeel vértice de la parábola con aceleración constante a . Calcular la fuerza electromotriz inducida en el hilo,indicando además su sentido. Expresar el resultado en función de la distancia recorrida por la barra.

13. Por dos hilos infinitos y paralelos situados en el plano del papel, circulan sendas corrientes antiparalelas devalor I1(t ) = I2(t ) = k t , con k > 0. Equidistante a ambos hilos se sitúa, tal como muestra la figura, una espiracuadrada de resistencia R .

(a) Calcular el campo magnético ~B en cualquier punto del plano del papel.

(b) Hallar el valor de la intensidad inducida en la espira.

(c) Analizar de forma razonada el sentido de la corriente inducida en la espira.

I1(t ) I2(t )

a

b

L

14. La barra de masa m de la figura se desplaza horizontalmente sobre raíles paralelos mediante un hilo sin masaque pasa por encima de una polea ideal y que está sujeto a un objeto suspendido de masa M . El campo mag-nético uniforme tiene módulo B y ` es la distancia entre los raíles. En un extremo, los raíles están conectadosmediante una resistencia R . Calcular la velocidad de la barra en función del tiempo, suponiendo que el objetosuspendido se libera con la barra en reposo en t = 0. Suponer que no existe rozamiento entre la barra y losraíles.

15. Calcular la inducción mutua entre la espira rectangular y el alambre recto y largo de la figura.

b

c

a

16. El toroide de sección transversal recta de la figura tiene N vueltas uniformemente espaciadas y aire en elinterior. Calcular su autoinducción.

17. Un condensador plano de placas circulares de radio R , separadas entre sí una distancia d y con vacío en suinterior, se somete a un potencial variable en el tiempo, según la expresión V (t ) =V0[1−exp(−t /τ)]. Calcular:

(a) La corriente de desplazamiento.

(b) El valor del campo magnético en un punto situado dentro del condensador a una distancia r de su ejede simetría.

Física II. Grado en Ingeniería Química Industrial. Curso 16/17Boletín 3. Ondas y óptica

1. El campo eléctrico de una onda electromagnética oscila en la dirección Y y el vector de Poynting viene dadopor ~S (x , t ) = 100 cos2[10x − (3×109)t ]~ı (W/m2), en donde x está en metros y t en segundos.

(a) Hallar la longitud de onda y la frecuencia.

(b) Hallar los campos eléctricos y magnéticos.

2. Una onda electromagnética tiene una frecuencia de 100 MHz y se propaga en el vacío. El campo magnéticoviene dado por ~B (z , t ) = B0 cos(k z −ωt )~ı con B0 = 10−8 T.

(a) Hallar la longitud de onda.

(b) Hallar el campo eléctrico ~E (z , t ).

(c) Determinar el vector de Poynting, y hallar la intensidad de la onda.

3. La figura muestra un transmisor de ondas de radio y un receptor separados una distancia d y ambos a unadistancia h sobre el terreno. El receptor puede recibir señales directas del transmisor e indirectas, de las quese reflejan del suelo. Supongamos que el suelo está nivelado entre el transmisor y el receptor y que existeun cambio de fase de 180o en la reflexión. Determinar las longitudes de onda más largas que interfieren (a)constructivamente y (b) destructivamente.

4. Dos altavoces idénticos están situados en los puntos A y B , separados 2 m. Los altavoces son alimentados porel mismo amplificador y producen ondas sonoras con una frecuencia de 680 Hz. La velocidad del sonido enel aire es 340 m/s. Un micrófono pequeño se aleja del punto B sobre una línea perpendicular a la línea queune A y B (línea B C de la figura).

(a) ¿A qué distancias de B habrá interferencias destructivas?

(b) ¿Y constructivas?

(c) Si la frecuencia es lo suficientemente baja, no habrá posiciones sobre la línea B C en las que haya inter-ferencia destructiva. ¿Cuál es entonces el valor mínimo de la frecuencia para que esto suceda?

5. Por medio de un espejo cóncavo se quiere proyectar un objeto de 1 cm sobre una pantalla plana, de modo quela imagen sea derecha y de 3 cm. La pantalla ha de estar colocada a 2 m del objeto. Calcular:

(a) La distancia del objeto al espejo

(b) El radio de curvatura del espejo

6. La distancia entre dos fuente luminosas puntuales es `= 24 cm. ¿En qué punto entre ellas debe colocarse unalente convergente con distancia focal f = 9 cm, para que las imágenes de ambas fuentes coincidan?

7. Un objeto está situado 7 cm a la izquierda de una lente convergente de 20 Dioptrías. A la derecha de ésta, y a13.5 cm, se coloca una segunda lente, divergente, de -12.5 Dioptrías.

(a) Hallar la posición de la imagen final.

(b) Calcular la amplificación lateral total y enumerar las características de la imagen final

(c) Dibujar un diagrama de rayos que ilustre la formación de la imagen final.

8. Un objeto está 15 cm a la izquierda de una lente delgada convergente de 10 cm de distancia focal. 25 cm a laderecha de la misma se halla un espejo cóncavo de 10 cm de radio.

(a) Hallar la posición de la imagen final formada por el espejo y la lente.

(b) ¿La imagen es virtual o real? ¿Derecha o invertida?

(c) Realizar un diagrama de rayos.